河北省高二下学期数学周考试题(5) 含答案
河北省张家口市2022高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)
.
（Ⅱ） ，
，
， .
【点睛】本题主要考查复数的求法和复数的运算，考查复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
18.某地为了调查市民对“一带一路”倡议的了解程度，随机选取了 名年龄在 岁至 岁的市民进行问卷调查，并通过问卷的分数把市民划分为了解“一带一路”倡议与不了解“一带一路”倡议两类.得到下表：
【详解】解：（Ⅰ）根据已知数据得到如下列联表
年龄低于 岁 人数
年龄不低于 岁的人数
合计
了解
不了解
合计
故有 的把握认为以 岁为分界点“一带一路”倡议的了解有差异.
（Ⅱ）由题意，得市民了解“一带一路”倡议的概率为 ， .
， ， ，
， ，
则 的分布列为
， .
【点睛】本题要注意选取4人是在总体中选，而不是在100人的样本中选，如果看成是在样本中100人选4人，很容易误用超几何分布模型求解.
（2）对方程根的个数转化为函数零点个数，通过对参数 进行分类讨论，利用函数的单调性、最值、零点存在定理等，判断函数图象与 轴的交点个数.
【详解】（Ⅰ） 的导数为 .
在区间 ， ， 是增函数；在区间 上， ， 是减函数.
为奇函数， ，
令 ，其图象如图所示，则 ，
设曲边梯形ABCD的面积为 ，则 ，
，
原式的值为 .
【点睛】在求积分时，如果原函数不易求时，可考虑用积分的几何意义，把求积分值转化为求面积问题.
12.函数 ，若 有8个不相等的实数根，则 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
方程有8个不相等的实数根指存在8个不同 的值；根据函数 的图象，可知方程 必存在2个大于1的不等实根.
2019学年河北省高二下学期周考理科数学卷【含答案及解析】
2019学年河北省高二下学期周考理科数学卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知，，等于（）A ．___________B ．_________C ．___________D ．2. 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示，则有（）A．，___________________________________B．，C．，___________________________________D ．，3. 若随机变量的分布列如下表所示，则等于A ．___________B ．___________C ．___________D ．4. 一个口袋装有个白球和个黑球，则先摸出个白球后放回，再摸出个白球的概率是（）A ．___________B ．___________C ．_________D ．5. 某同学通过计算机测试的概率为，他连续测试次，其中恰有次通过的概率为（）A ．___________B ．___________C ．________D ．6. 若随机变量的分布列为，其中，则下列结果中正确的是（）A．B．C．D ．7. 设随机变量，若 , ,则参数，的值为（）A．，B．，C．，D ．，8. 某一试验中事件发生的概率为，则在次独立重复试验中，发生次的概率为（）A． B．C ．D ．9. 盒中个黑球，个白球，它们除颜色不同外，其他方面没什么差别，现由人依次摸出个球后放回，设第个人摸出黑球的概率是，第个人摸出黑球的概率是，则（）A ．B ．C ．D ．10. 将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）A ．___________B ．___________C ．___________D ．11. 某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为（）A ．___________B ．___________C ．___________D ．12. 位于西部地区的、两地，据多年的资料记载：、两地一年中下雨天仅占和，而同时下雨的比例为，则地为雨天时，地也为雨天的概率为（）A ．___________B ．___________C ．___________D ．二、填空题13. 已知随机变量，随机变量，则____________________________ ．14. 已知、、相互独立，如果，，，________________________ ．15. 设离散型随机变量，则________________________ ；______________________________ ．16. ．在某次学校的游园活动中，高二班设计了这样一个游戏；在一个纸箱里放进了个红球和个白球，这些球除了颜色不同外完全相同，一次性从中摸出个球，摸到个或个以上红球即为中奖，则中奖的概率是．（精确到）三、解答题17. 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对一、二、三个问题分别得分、分、分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为、、，且各题答对与否相互之间没有影响．（1）求这名同学得分的概率；（2）求这名同学至少得分的概率．18. 甲、乙两人独立解出某一道题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率为．求：（1）甲独立解出该题的概率；（2）解出该题的人数的数学期望．19. ．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落过程中，将次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是．（1）求小球落入袋中的概率；（2）在容器入口处依次放入个小球，记为落入袋中小球的个数，试求的概率与的数学期望．20. 某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生只选修甲的概率为，只选修甲和乙的概率是，至少选修一门的概率是，用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．（1）记“函数为上的奇函数”为事件，求事件的概率；（2）求的分布列和数学期望．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
河北省沧州市吴桥县吴桥中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题(含答案解析)
河北省沧州市吴桥县吴桥中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若()()()()()201923201901232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（）A ．-2B ．-1C ．0D ．12．某单位计划从5人中选4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排两人，则安排方法数为（）A ．30B ．60C ．120D ．1803．二项式821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为（）A ．70-B ．70C ．358-D ．3584．重庆，我国四大直辖市之一，在四大直辖市中，5A 级旅游点最多，资源最为丰富，不仅有山水自然风光，还有人文历史景观．现有甲、乙两位游客慕名来到重庆旅游，分别准备从武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个国家5A 级旅游景区中随机选择其中一个景区游玩．记事件A ：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件B ：甲和乙选择的景区不同，则条件概率()P B A =（）A ．56B ．67C ．78D ．895．文字的雏形是图形，远古人类常常通过创设一些简单的图形符号，借助不同的排列方式，表达不同的信息，如图.如果有两个“ ”，两个“⨯”和两个“ ”.把它们从上到下摆成一列来传递一些信息，其中第一个位置确定为“ ”，同一种图形不相邻，那么可以传递的信息数量有（）A ．8个B ．10个C ．12个D ．14个6．某班团支部换届选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别担任书记、副书记和组织委员，并且规定：上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职结果有（）.A ．15B ．11C ．14D ．237．已知()0.6P A =，()0.3P AB =，()|0.5P B A =，下列选项正确的是（）A ．()0.4P B =B ．()06|.P A B =C ．()|0.5P A B =D ．()()()P AB P A P B ≠8．1234202220222022202220222022C 2C 3C 4C 2022C ++++⋅⋅⋅+=（）A ．202321-B ．202421-C ．202110112⨯D ．202210112⨯二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．已知2251818C C x x +-=，则x 可能取值为6B ．已知2251818C C x x +-=，则x 可能取值为7C ．在921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数和为0D ．在921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数和为2910．身高各不相同的六位同学A B C D E F 、、、、、站成一排照相，则说法正确的是（）A ．A 、C 、D 三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法B ．A 与C 同学不相邻，共有5424A A ⋅种站法C ．A 、C 、D 三位同学必须站在一起，且A 只能在C 与D 的中间，共有144种站法D ．A 不在排头，B 不在排尾，共有504种站法11．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是（）A ．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数B ．123356781C C C C +++=C ．第2020行的第1010个数最大D ．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为2:11三、填空题12．22x x +n 的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大，则n 的值为.13．若()()()()72701271222x a a x a x a x +=+++++++ ，则4a =.14．已知甲同学从学校的2个科技类社团、4个艺术类社团、3个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率为.四、解答题15．某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有A 、B 两类关键元素含量指标需要检测，设两元素含量指标达标与否互不影响．若A 元素指标达标的概率为34，B 元素指标达标的概率为89，按质量检验规定：两元素含量指标都达标的食品才为合格品．(1)一个食品经过检测，AB 两类元素至少一类元素含量指标达标的概率；(2)任意依次抽取该种食品4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ分布列及()E ξ．16．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的6道，试求：(1)抽到他能答对题目数X 的分布列；(2)求X 的期望和方差17．三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占40%，机器乙生产的占25%，机器丙生产的占35%.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有3%、5%和1%不合格.三部机器生产的零件混合堆放在一起，现从中随机地抽取一个零件.(1)求取到的是不合格品的概率；(2)经检验发现取到的产品为不合格品，它是由哪一部机器生产出来的可能性大？请说明理由.18．一种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是12，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为13、23；若前次出现绿球，则下一次出现红球，绿球的概率分别为35、25，记第()N,1n n n ∈≥次按下按钮后出现红的概率为n P ．(1)求2P 的值；(2)当,N 2n n ∈≥，求用1n P -表示n P 的表达式；(3)求n P 关于n 的表达式．19．2024年高三数学适应性考试中选择题有单选和多选两种题型组成．单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得3分，有错误选择或不选择得0分．(1)已知某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立，记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量X ．（i ）求()3P X =；（ii ）求使得()P X k =取最大值时的整数k ；(2)若该同学在解答最后一道多选题时，除确定B ，D 选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答．已知此题正确答案是两选项与三选项的概率均为12，求该同学在答题过程中使得分期望最大的答题方式，并写出得分的最大期望．参考答案：1．B【分析】令1x =，即可求01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-出的值.【详解】解：在所给等式中，令1x =，可得等式为()20190123201912a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅-，即012320191a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-.故选：B.【点睛】本题考查二项式定理的展开使用及灵活变求值，特别是解决二项式的系数问题，常采用赋值法，属于中档题.2．B【分析】根据分步乘法计数原理结合捆绑法分析求解.【详解】先从5人中选出4人值班，再从4人中选出2人值第三天，剩余2人分别值第一、二天，所以安排方法数为422542C C A 60⋅⋅=.故选：B.3．D【分析】由82181C 2kk kk T x-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令820k -=得出k 后代入计算即可得.【详解】88218811C C ,0,1,2,,822k kk kk kk T x x k x --+⎛⎫⎛⎫=-=-=⋯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令820k -=，即4k =，故445817035C 2168T ⎛⎫=-==⎪⎝⎭，即展开式的常数项为358.故选：D.4．D【分析】求出事件A 发生的个数和事件,A B 同时发生的个数，根据条件概率的计算公式，即得答案.【详解】由题意可知事件A 发生的情况为甲乙两人只有有一人选择巫山小三峡或两人都选选择巫山小三峡，个数为1124C C 19+=,事件,A B 同时发生的情况为一人选巫山小三峡，另一人选其他景区，个数为1124C C 8=，故()()8()9P AB P B A P A ==,故选：D 5．B【分析】列出所有的基本事件即可..【详解】列举得：,,,,,⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ，,,,⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ，共10种，故选：B.6．B【分析】利用正难则反的方法，求出总的方法数，利用分类讨论的方法，分一、二、三个职位连任，可得答案.【详解】四人中选出三人分别任职三个不同的岗位，其方法数为34A 43224=⨯⨯=，三个职位中有一位连任，假设上届任职的甲、乙、丙三人分别担任书记、副书记和组织委员，假设甲连任书记，副书记可选的人选分别为丙和丁，当丁担任了副书记，则组织委员只能选乙；当丙担任了副书记，则组织委员只能选乙和丁，故其方法数为()13C 129+=；三个职位中有两位连任，其方法数为23C 13⨯=；三个职位中三位都连任，其方法数为1.故符合题意的方法数为2493111---=.故选：B.7．B【分析】根据条件概率的概率公式计算可得.【详解】因为()|0.5P B A =，即()()()()()0.51P BA P B P BA P A P A -==-，又()0.6P A =，()0.3P AB =，所以()0.5P B =，故A 错误；又()()()0.3|0.60.5P AB P A B P B ===，故B 正确；()()()P AB P A P B =，故D 错误；()()()()()()0.50.3|0.40.5P AB P B P BA P A B P B P B --====，故C 错误.故选：B 8．D【分析】结合导数以及二项式展开式的知识求得正确答案.【详解】()01221C C C C nn nn n n n x x x x +=++++ ，两边求导得()11211C 2C C n n n n n n n x x x n x--+=+++ ，令1x =得1122C 2C C n nn n n n n -⋅=+++ ，再令2022n =得：123420222021202220222022202220222022C 2C 3C 4C 2022C 2022210112++++⋅⋅⋅+=⨯=⨯.故选：D 9．BC【分析】对于选项A 和选项B ，根据组合数公式2251818C C x x +-=，计算求解即可判断；对于选项C 和选项D ，根据赋值法求解即可判断．【详解】根据组合数公式2251818C C x x +-=，则225x x +=-或22518x x -=++，解得7x =，经检验符合题意；故A 错B 对；令1x =，则921x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数和为0，故C 对D 错.故选：BC.10．ABD【分析】根据全排列和定序即可判断A ；利用插空法即可判断B ；利用捆绑法即可判断C ；利用间接法即可判断D.【详解】对于A ，6个人全排列有66A 种方法，A 、C 、D 全排列有33A 种方法，则A 、C 、D 从左到右按高到矮的排列有6633A 120A =种方法，A 正确；对于B ，先排列除A 与C 外的4个人，有44A 种方法，4个人排列共有5个空，利用插空法将A 和C 插入5个空，有25A 种方法，则共有44A 25A 种方法，B 正确；对于C ，A 、C 、D 必须排在一起且A 在C 、D 中间的排法有2种，将这3人捆绑在一起，与其余3人全排列，有44A 种方法，则共有442A 48=种方法，C 错误；对于D ，6个人全排列有66A 种方法，当A 在排头时，有55A 种方法，当B 在排尾时，有55A 种方法，当A 在排头且B 在排尾时，有44A 种方法，则A 不在排头，B 不在排尾的情况共有6546544A 2A A 50-+=种，D 正确.故选：ABD 11．ABD【分析】根据杨辉三角读出数据即可判断A ，利用组合数公式判断B ，分析各行数据的特征，即可判断C ，求出第12行中从左到右第2个数与第3个数，即可判断D.【详解】对于A ：第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：1，7，28，其和为172836++=；而第9行第8个数字就是36，故A 正确；对于B ：因为123567611C C 6576515523C 21⨯⨯⨯=+++⨯+=⨯⨯++，38876C 56321⨯⨯==⨯⨯，所以123356781C C C C +++=，故B 正确；对于C ：由图可知：第n 行有1n +个数字，如果n 是偶数，则第12n+（最中间的）个数字最大；如果n 是奇数，则第12n +和第112n ++个数字最大，并且这两个数字一样大，所以第2020行的第1011个数最大，故C 错误；对于D ：依题意：第12行从左到右第2个数为112C 12=，第12行从左到右第3个数为212C 66=，所以第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为12:662:11=，故D 正确；故答案为：ABD.12．5【分析】根据二项式定理求解.【详解】因为22nx ⎫⎪⎭的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大，所以23C C n n =，解得n=5；故答案为：5.13．35-【分析】所求4a 为()42x +的系数，因为()77(1)21x x +=+-⎡⎤⎣⎦，利用其展开式通项公式，求得()43347(1)2T C x =-+，即可得答案.【详解】()77(1)21x x +=+-⎡⎤⎣⎦展开式的通项公式为()7172(1)kkk k T C x -+=+-，令74k -=，则k =3，则()43347(1)2T C x =-+，所以3347(1)35a C =-=-.故答案为：-3514．613【分析】根据题意，结合组合的知识分别求得事件A 与事件AB 的概率，从而利用条件概率公式即可得解.【详解】依题意，设事件A 为“所报的两个社团中有一个是艺术类”，事件B 为“所报的两个社团中有一个是体育类”，则11211454432299C C C C C 2612(),()C 36C 36P A P AB +====，所以12()636()26()1336P AB P B A P A ===∣.故答案为：613.15．(1)3536；(2)分布列见解析，期望值为83.【分析】（1）根据给定条件，利用对立事件、相互独立事件的概率公式计算即得.（2）求出合格品的概率，利用二项分布的概率求出分布列和数学期望.【详解】（1）令M 为一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的事件，则M 是A ，B 都不达标的事件，因此1135()1()14936P M P M =-=-⋅=，所以一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的概率为3536.（2）依题意，A ，B 两类元素含量指标都达标的概率为382493⨯=，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，显然2(4,)3ξB ，因此411(0)()381P ξ===，134218(1)C ()3381P ξ⋅⋅===，2224218(2)C (()3327P ξ===，3342132(3)C ()3381P ξ⋅===，4216(4)()381P ξ===，所以ξ的概率分布为：ξ01234P18188182732811681数学期望18832168()0123481812781813E ξ=++⨯+⨯+⨯+⨯=.16．(1)分布列见解析(2)期望()95E X =；方差()1425D X =【分析】（1）列举出X 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；（2）根据期望和方差的计算公式直接求解即可.【详解】（1）由题意知：X 所有可能的取值为0,1,2,3，()34310C 410C 12030P X ====；()2146310C C 3631C 12010P X ====；()1246310C C 6012C 1202P X ====；()36310C 2013C 1206P X ====；X ∴的分布列为：X0123P 1303101216（2）期望()1311901233010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；又()213111901493010265E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，∴方差()()()2219811452525D XE X E X =-=⎡⎤⎣⎦.17．(1)0.028(2)它是机器乙生产的概率最大【分析】（1）根据全概率公式求得正确答案.（2）根据贝叶斯公式求得正确答案.【详解】（1）取到的是不合格品的概率为：0.40.030.250.050.350.010.028⨯+⨯+⨯=.（2）取到的产品为不合格品，它是机器甲生产的概率为0.40.031230.028287⨯==，它是机器乙生产的概率为0.250.05125250.02828056⨯==，它是机器甲生产的概率为0.350.013570.02828056⨯==，所以它是机器乙生产的概率最大.18．(1)2715P =(2)143155n n P P -=-+(3)()1149N,1381519n n P n n -⎛⎫=-+∈≥ ⎪⎝⎭【分析】（1）分两种情况讨论：①第一次和第二次均出现红球；②第一次出现绿球第二次出现红球，根据互斥事件概率法则可求得2P ．（2）第n 1-次按下按钮后出现红球的概率为()1N,2n P n n -∈≥，则出现绿球的概率为11n P --，根据互斥事件概率法则可用1n P -表示n P ；（3）根据143155n n P P -=-+，将其变形为1949191519n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭构造等比数列，从而可求得n P ．【详解】（1）若按钮第一次、第二次按下后均出现红球，则其概率为111236⨯=，若按钮第一次、第二次按下后依次出现绿球、红球，则其概率为1332510⨯=，故所求概率为213761015P =+=.（2）由题意可得第n 1-次按下按钮后出现红球的概率为()1N,2n P n n -∈≥，则出现绿球的概率为11n P --，若第n 1-次、第n 次按下按钮后均出现红球，则其概率为113n P -⨯，若第n 1-次、第n 次按下按钮后依次出现绿球、红球，则其概率为()1315n P --⨯，所以()1111343135155n n n n P P P P ---=+-⨯=-+（其中,N 2n n ∈≥）.（3）由（2）得1949191519n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭（其中,N 2n n ∈≥），又191911921938P -=-=，所以919n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭构成首项为138，公比为415-的等比数列，所以()1149N,1381519n n P n n -⎛⎫=-+∈≥ ⎪⎝⎭.19．(1)（i ）()3364P X ==；（ii ）1k =(2)该同学选择单选A 或单选C 的得分期望最大，最大值为125分【分析】（1）（i ）易知X 服从二项分布，据此计算()3P X =；（ii ）令()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩，结合二项分布的概率公式得到不等式组，解得k 的取值范围，再由k 为整数确定取值；（2）算出单选、双选和三选条件下的数学期望，比较大小即可.【详解】（1）（i ）因为14,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()3341333C 4464P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭．（ii ）因为()4413C ,0,1,,444k k k P X k k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．依题意()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩，即4131444151441313C C 44441313C C 4444k k k k k k k k k k k k -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得1544k ≤≤，又k 为整数，所以1k =，即1k =时()P X k =取最大值.（2）由题知，B,D 选项不能同时选择，故该同学可以选择单选、双选和三选．正确答案是两选项的可能情况为AB,AC,BC,AD,CD ，每种情况出现的概率均为1112510⨯=．正确答案是三选项的可能情况为ABC,ACD ，每种情况出现的概率为111224⨯=．若该同学做出的决策是单选，则得分的期望如下：()()1112A C 33231045E E ==⨯⨯+⨯⨯=（分），()()1127B D 321310420E E ==⨯⨯+⨯⨯=（分），若该同学做出的决策是双选，则得分的期望如下：()()()()1127AB AD BC CD 6310420E E E E ====⨯+⨯=（分），()1121AC 62310410E =⨯+⨯⨯=（分）．若该同学做出的决策是三选，则得分的期望如下：()()13ABC ACD 642E E ==⨯=（分）．经比较，该同学选择单选A 或单选C 的得分期望最大，最大值为125分.【点睛】方法点睛：根据正确答案的所有可能结果，对答题情况进行分类讨论，计算每种答题情况的得分期望值，选择最优方案.。
河北省五校2024_2025学年高二数学下学期期末联考试题含解析
河北省五校2024-2025学年高二数学下学期期末联考试题（含解析）一、单选题（共8题；共40分）1.已知集合，，则中的元素个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 52.设向量，，则“ ”是“ ”成立的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.设是△ 边上的随意一点，为上靠近的三等分点，若，则（）A. B . C.D.14.已知函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.5.随着2024年北京冬奥会接近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品德业市场增长.下面是2014年至2024年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中正确的是（）①2015年至2024年，中国雪场滑雪人次逐年削减；②2015年至2017年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加；③2024年与2015年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等；④2024年与2024年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为30.5%A. ②④B. ①②C. ②③D. ①④6.已知定义在上的偶函数在上单调递减，则（）A. B.C. D.7.面对全球扩散的疫情，疫苗是限制传染的最有力的技术手段，中国疫苗的上市为全球战胜疫情注入信念.各地通过多种有效措施加快推动新冠病毒疫苗接种，目前接种实力显著提升.同时依据任务须要，针对市民关切的问题，某市须要在每个接种点支配专职负责健康状况询问与接种禁忌核查的医师.经协商，现支配甲、乙、丙等5位医师前往、、、四个接种点进行答疑解惑，每位医师去一个接种点，每个接种点至少支配一名医师，其中，甲必需去地，乙与丙须要支配到不同的接种点，则不同的支配方法共（）A. 120种B. 54种 C. 336种 D. 80种8.已知双曲线的上下焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的上支交于，两点，，分别交轴于，两点，若的周长为12，则取得最大值时，双曲线Γ的渐近线方程为（）A. B.C. D.二、多选题（共4题；共20分）9.已知各项均为正数的等比数列，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.10.已知，则（）A. B. C.D.11.（多选题）在如图所示的几何体中，底面是边长为2的正方形，，，，均与底面垂直，且，点，分别为线段，的中点，则下列说法正确的是（）A. 直线与平面平行B. 三棱锥的外接球的表面积是C. 点到平面AEF的距离为D. 若点在线段上运动，则异面直线和所成角的取值范围是12.已知定义在上的函数满意，且当时，，若方程有两个不同的实数根，则实数可以是（）A. B.C.D.三、填空题（共4题；共20分）13.已知是虚数单位，复数满意，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于第________象限.14.已知圆的圆心，其中，圆与轴相切且半径为1，直线过点且倾斜角为45°，直线与圆交于两点，则的面积为________.15.已知为常数，，函数的最大值为，则的值为________.16.设为坐标原点，抛物线焦点坐标为________，过的直线与抛物线的第一象限的交点为，若点满意，求直线斜率的最小值________.四、解答题（共6题；共70分）17.的内角所对的边分别为，，，且满意 . （1）求；（2）若，且向量与垂直，求的面积.18.已知等差数列的前项和为，且，是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）从① ，② 这两个条件中任选一个补充在下列问题中，并解答:数列满意▲，其前项和为，求 .19.九个人围成一圈传球，每人可传给圈中任何人（自己出外），现在由甲发球.（1）求经过3次传球，球回到甲的手里的概率；（2）求经过次传球，球回到甲手里的概率 .20.为等腰直角三角形，，，分别为边的中点，将三角形沿折起，使到达点，且，为中点.（1）求证：平面 .（2）求二面角的余弦值.21.已知椭圆过点，，为椭圆的左右顶点，且直线，的斜率的乘积为 .（1）求椭圆的方程；（2）过左焦点F的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值.22.已知函数， .（1）求函数的单调区间；（2）存在，使得成立，求实数的取值范围.答案解析部分一、单选题（共8题；共40分）1.已知集合，，则中的元素个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】 B【考点】交集及其运算【解析】【解答】中的元素必满意，且，中的元素必在这七个元素中，，为中的元素，故答案为：B.【分析】依据集合的元素特征可得中的元素必在这七个元素中，即可得出答案。
(河北省)高二第二学期数学周考试卷汇总(共8套)
(河北省 )高二下学期数学周考试卷汇总 (共8套 )高二 (下 )数学周考试题 (1 )一、选择题(每题5分,共50分,只有一项为哪一项最|符合题目要求的.)1、假设函数()y f x =在区间(,)a b 内可导,且0(,)x a b ∈那么000()()limh f x h f x h h→+-- 的值为( )A.0()f x 'B.02()f x 'C.02()f x '-D.02、一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.8米/秒 3、曲线x x y 43-=在点(1,3)-处的切线倾斜角为( )A.34πB.2πC. 4πD.6π 4、曲线3()2f x x x 在0p 处的切线平行于直线41y x ,那么0p 点的坐标为( )A.(1,0)B.(2,8)C.(2,8)和(1,4)--D.(1,0)和(1,4)-- 5、假设()sin cos f x x α=-,那么()f α'等于 ( ) A.cos α B.sin α C.sin cos αα+D.2sin α6、假设曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,那么l 的方程为( )A.430x y --=B.450x y +-=C.430x y -+=D.430x y ++= 7、对正整数n ,设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,那么 数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是( ) A.2nB.22n- C.12n + D.122n +-8、32()967,f x ax x x =++-假设(1)4f '-=,那么a 的值等于( ) A.193 B.163 C.103 D.1339、二次函数()y f x =的图象过原点,且它的导函数()y f x '=的图象过第|一、二、三象限的一条直线,那么函数()y f x =的图象的顶点所在象限是( )10、设a ∈R ,函数()e e x x f x a -=+⋅的导函数是()f x ',且()f x '()y f x =的一条切线的斜率是32,那么切点的横坐标为 ( ) A. ln 2 B.ln 2- C.ln 22 D.ln 22-二、填空题(本大题共2小题,每题5分,共10分.把答案填在题中的横线上.)11、曲线32242y x x x =--+在点(1,一3)处的切线方程是___________ 12、函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,0)1(=f ,0)()(2>-'xx f x f x (0)x >,那么不等式()0f x >的解集是 . 三、解答题 (共10分 )13. 设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线1870x y +-=垂直,导函数'()f x 的最|小值为12.(1)求a ,b ,c 的值; (2)设2()()f x g x x =,当0x >时,求()g x 的最|小值.高二 (下 )数学周考试题 (1 )答案1.B 000000()()()()limlim 2[]2h h f x h f x h f x h f x h h h →→+--+--=0000()()2lim 2()2h f x h f x h f x h→+--'==.2.C ()21,(3)2315s t t s ''=-=⨯-=.3.A 21334,|1,tan 1,4x y x k y αα=''=-==-=-=π. 4.D 设切点为0(,)P a b ,22()31,()314,1f x x k f a a a ''=+==+==±,把1a =-, 代入到3()2f x x x 得4b =-;把1a =,代入到3()2f x x x 得0b =,所以0(1,0)P 和(1,4)--.5.B ()sin ,()sin f x x f αα''==.6.A 与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=,即4y x =在某一点的导数为4,而34y x '=,所以4y x =在(1,1)处导数为4,此点的切线为430x y --=. 7.D ()()11222,:222(2)n n n x y n y n x --='=-++=-+-切线方程为,令0x =,求出切线与y 轴交点的纵坐标为()012n y n =+,所以21n na n =+,那么数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和()12122212nn nS +-==--8.B2()3186f x ax x '=++,由(1)4,f '-=得31864a -+=,即163a =. 9.C 设2(),()2f x ax bx f x ax b '=+=+,()f x '的图象是过第|一、二、三象限的一条直线,故20,0a b >>,又22()24b b f x a x a a ⎛⎫=+-⎪⎝⎭,即项点2,24b b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第三象限. 10 .A '()x x f x e ae -=-,()f x '是奇函数'(0)10f a =-=,∴1a =,有'()x x f x e e -=-, 设切点为00(,)x y ,那么0003'()2xx f x e e -=-=,得02xe =或012x e =-(舍去),∴0ln2x =.11.520x y +-= 易判断点(1, -3)在曲线32242y x x x =--+上,故切线的斜率()211|344|5x x k y x x =='==--=-,∴切线方程为()351y x +=--,即520x y +-=12.),1()0,1(+∞- 可得()'()f x f x x>,由导数的定义得,当01x <<时, ()(1)()1f x f f x x x->-,又0)1(=f ,()(1)()xf x x f x <-,∴()0f x <;当1x >时,同理得()0f x <.又)(x f 是奇函数,画出它的图象得()0f x >⇒(1,0)(1,)x ∈-+∞.13. .解:(1)∵()f x 为奇函数,∴()()f x f x -=-,即33ax bx c ax bx c --+=---, ∴0c =,又∵2'()3f x ax b =+的最|小值为12,∴12b =; 又直线1870x y +-=的斜率为118- ,因此,'(1)318f a b =+=, ∴2a =, ∴2a =,12b =,0c =为所求. (2)由(1)得3()212f x x x=+,∴当x >时,2()()f x g x x=62()2x x =+≥⋅=∴()g x 的最|小值为46高二 (下 )数学周考试题 (2 )一、选择题(每题5分,共50分,只有一项为哪一项最|符合题目要求的.)1、函数()x x a x f +=ln 在1=x 处取到极值,那么a 的值为 ( )21.A 1.-B 0.C 21.-D 2、函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是( )A.)2,(-∞B.(0,3)C.(1,4)D.),2(+∞3、函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.必要非充分条件4、函数x x y ln =的最|大值为( ) A.1-e B.e C.2e D.310 5、函数1ln1y x =+的大致图象为 ( ) 6、设函数1()ln (0),3f x x x x =->那么()y f x =( ) 1(,1),(1,)e e 1(,1),(1,)e e 内均无零点 1(,1)e 内无零点,在区间(1,)e 内有零点 1(,1)e内有零点,在区间(1,)e 内无零点 7、等比数列{}n a 中,36a =,前三项和3304S xdx =⎰,那么公比q 的值为 ( )A.1-或12-B.1或12-C.12- D.1 8、函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,那么实数a 的取值范围是yA.112O x -yB. 21Ox -- yC. 12O x yD.21O x --( )A.),3[]3,(+∞--∞B.]3,3[-C.),3()3,(+∞--∞D.)3,3(- 9、方程322670x x -+=在(0,2)内根的个数有 ( )10、22(sin cos )x x dx ππ-+⎰的值为( ) .0 B. C.2 D.44A π 二、填空题(本大题共2小题,每题5分,共10分.把答案填在题中的横线上.)11、直线23y x =+与抛物线2y x =所围成的图形面积是___________________. 12、设321()252f x x x x =--+,当]2,1[-∈x 时,()f x m <恒成立,那么实数m 的 取值范围为三、解答题(共10分,解容许写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)13. 函数22()(1)x bf x x -=-,求导函数()f x ',并确定()f x 的单调区间.高二 (下 )数学周考试题 (2 )答案1.B '()1af x x=+,'(1)010f a =⇒+=,∴1a =-. 2.D ()()(3)(3)(2)x xxf x x e x e x e'''=-+-=-,令()0f x '>,解得2x >3.C 对于32(),()3,(0)0,f x x f x x f ''===不能推出()f x 在0x =取极值,反之成立4.A 令22(ln )ln 1ln 0,x x x x xy x e x x''-⋅-'====,当x e >时,0y '<; 当x e <时,0y '>,1()y f e e ==极大值,在定义域内只有一个极值,所以max 1y e=5.D 函数的图象关于1x =-对称,排队A 、C,当1x >-时,ln(1)y x =-+为减函数.3()3x f x x-'=,令()0f x '>得3x >;令()0f x '<得03x <<;()0f x '=得3x =,故知函数()f x 在区间(0,3)上为减函数,在区间(3,)+∞为增函数,在点3x =处有极小值1ln 30-<;又1(1)03f =>,()103e f e =-<,11()103f e e=+>. 7.A 3304S xdx =⎰＝18,∴3122(1)12a a a q q+=+=⇒1q =或12q =-.8.B 2()3210f x x ax '=-+-≤在),(+∞-∞恒成立,24120a a ∆=-≤⇒≤≤9..B 令32()267f x x x =-+，＝6(2)x x -,∴2()612f x x x '=-, 由()0f x '>得2x >或0x <;由()0f x '<得02x <<;又(0)70f =>，(2)10f =-<,∴方程在(0,2)内只有一实根.10.C 令)cos sin ,F x x x =-+（∴()sin cos F x x x '=+,所以22(sin cos )()()1(1)222x x dx F F ππ-ππ+--=--=⎰＝.11.323直线23y x =+与抛物线2y x =的交点坐标为(－1,1)和(3,9), 那么3213223)3S x x dx -=⎰＝（＋－ 12.(7,)+∞ 易知]2,1[-∈x 时,max ()7f x =,由()f x m <恒成立,所以max ()m f x >13.42)1()1(2)2()1(2)(--⋅---='x x b x x x f3222(1)x b x -+-=-32[(1)](1)x b x --=--. 令()0f x '=,得1x b =-.当11b -<,即2b <时,()f x '的变化情况如下表:当11b ->,即2b >时,()f x '的变化情况如下表:所以,当2b <时,函数()f x 在(1)b -∞-，上单调递减,在(11)b -，上单调递增, 在(1)+∞，上单调递减.当2b >时,函数()f x 在(1)-∞，上单调递减,在(11)b -，上单调递增,在(1)b -+∞，上单调递减.当11b -=,即2b =时,2()1f x x =-,所以函数()f x 在(1)-∞，上单调递减,在(1)+∞，上单调递减.高二 (下 )数学周考试题 (3 )一、选择题(每题5分,共50分,只有一项为哪一项最|符合题目要求的.)1、函数xx y 142+=单调递增区间是( ) A.),0(+∞ B.)1,(-∞ C.),21(+∞ D.),1(+∞ 2、以下计算错误的选项是( )A.ππsin 0xdx -=⎰B.23=⎰C.ππ22π02cos 2cos xdx xdx -=⎰⎰D.π2πsin 0xdx -=⎰3、函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为( ) A.10 B. 5 C. 1- D.73-4、有一段演绎推理是这样的: "直线平行于平面,那么平行于平面内所有直线;直线b ⊂/平面α,直线a ⊂平面α,直线b ∥平面α,那么直线b ∥直线a 〞的结论显然是错误的,这是因为( )5、用数学归纳法证明不等式 "11113(2)12224n n n n +++>>++〞时的过程中,由n k =到1n k =+时,不等式的左边( )12(1)k + 11212(1)k k +++ 11212(1)k k +++,又减少了一项11k + 12(1)k +,又减少了一项11k +6、分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的( )7、在ABC △中,sin sin cos cos A C A C >,那么ABC △一定是( )8、(1)332p q +=,求证2p q +≤,用反证法证明时,可假设2p q +≥;(2)a b ∈R ，,1a b +<,求证方程20x ax b ++=1x 的绝|对值大于或等于1,即假设11x ≥,以下结论正确的选项是( )A.(1)的假设错误,(2)的假设正确B.(1)与(2)的假设都正确C.(1)的假设正确,(2)的假设错误D.(1)与(2)的假设都错误 9、观察式子:213122+<,221151233++<,222111712344+++<,,那么可归纳出式子为( )Ａ.22211111(2)2321n n n ++++<-≥Ｂ.22211111(2)2321n n n ++++<+≥ Ｃ.222111211(2)23n n n n -++++<≥Ｄ.22211121(2)2321nn n n ++++<+≥ 10、扇形的弧长为l ,所在圆的半径为r ,类比三角形的面积公式:12S =⨯底⨯高,可得扇形的面积公式为( )Ａ.212rＢ.212lＣ.12rl二、填空题(本大题共2小题,每题5分,共10分.把答案填在题中的横线上.)11、经过计算和验证有以下正确的不等式:112>,111123++>,111312372++++>,111122315++++>,,根据以上不等式的规律,写出一个一般性的不等式 .12、命题: "假设数列{}n a 是等比数列,且0n a >,那么数列2()n n b a n *=∈N 也是等比数列〞.可类比得关于等差数列的一个性质为________________________________.三、解答题(共10分,解容许写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)13. 如下等式:212316⨯⨯=,22235126⨯⨯+=,2223471236⨯⨯++=,当n *∈N 时,试猜测2222123n ++++的值,并用数学归纳法给予证明.高二 (下 )数学周考试题 (3 )答案1.C 令3222181180,(21)(421)0,2x y x x x x x x x -'=-=>-++>>2.Ｄ 可由微积分根本定理或定积分的几何意义易得结果.3.D 23()34,(1)7,(1)10,107(1),0,7f x x f f y x y x ''=+==-=-==-时 4.A 直线平行于平面,那么直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直.大前提错误. 5..C kk k k k n ++++++==1...2111,左边时, 22112111)1...2111( )1()1(1...2)1(11)1(1,+++++-++++++=++++++++++==k k k k k k k k k k k k n 左边时6. A 由分析法的定义知A 正确.7 .B 由得sin sin cos cos cos()0,A C A C A C -=-+>∴cos()0,A C +< ∴A C +为锐角,得B 为钝角,ABC △为钝角三角形. 8 .A 2p q +≤ 的假命题应为.2>+q p9.Ｃ 由每个不等式的不等号左边的最|后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最|后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母可知,选C. 10. Ｃ 三角形的高类比扇形半径,三角形的底类比扇形的弧. 11. 一般不等式为:1111()23212nnn *++++>∈-N . 12 .假设数列{}n a 是等差数列,那么数列12nn a a a b n+++=也是等差数列.证明如下:设等差数列{}n a 的公差为d ,那么12nn a a a b n+++=11(1)2(1)2n n dna d a n n -+==+-,所以数列{}n b 是以1a 为首|项,2d为公差的等差数列.13. 解:由,猜测2222(1)(21)1236n n n n ++++++=,下面用数学归纳法给予证明:(1)当1n =时,由得原式成立;(2)假设当n k =时,原式成立,即2222(1)(21)1236k k k k ++++++=那么,当1n k =+时,222222(1)(21)123(1)(1)6k k k k k k ++++++++=++22(1)(21)6(1)(1)(276)66k k k k k k k +++++++==(1)(2)(23)6k k k +++==(1)[(1)1][2(1)1]6k k k +++++故1n k =+时,原式也成立. 由(1)、(2)知2222(1)(21)1236n n n n ++++++=成立.高二 (下 )数学周考试题 (4 )一、选择题(每题5分,共50分,只有一项为哪一项最|符合题目要求的.)1．设x ∈R ,那么 "x ＝1”是 "复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数〞的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2、用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=-····,从k 到1k +,左边需要增乘的代数式为( )A.2(21)k +B.21k +C.211k k ++ D.231k k ++ 3．实数m ,n 满足m1＋i ＝1－n i(其中i 是虚数单位) ,那么双曲线mx 2－ny 2＝1的离心率为( ) A ．3 B ．2 C ． 2D ．34．证明n ＋22<1＋12＋13＋14＋…＋12n <n ＋1(n >1) ,当n ＝2时 ,中间式子等于 ( )A ．1B ．1＋12C ．1＋12＋13D ．1＋12＋13＋145．定义一种运算 "*〞：对于自然数n 满足以下运算性质：,那么=*1n ( )A ．nB ．1+nC ． 1D ．1-n 6 设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ,b ,c ∈R )．假设x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点 ,那么以下图象不可能为y ＝f (x )图象的是( )7．设x ,y ,z ∈R ＋,a ＝x ＋1y ,b ＝y ＋1z ,c ＝z ＋1x ,那么a ,b ,c 三数( )A ．至|少有一个不大于2B ．都小于2C ．至|少有一个不小于2D ．都大于28．假设函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝⎛⎭⎫π6 ,那么f ⎝⎛⎭⎫－π3与f ⎝⎛⎭⎫π3的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3＞f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎭⎫－π3＜f ⎝⎛⎭⎫π3 D ．不确定 9．假设由曲线y ＝x 2＋k 2与直线y ＝2kx 及y 轴所围成的平面图形的面积S ＝9 ,那么k ＝( )A.33 －3或3 C.3 D ．－3 10．a ≥0 ,函数f (x )＝(x 2－2ax )e x ,假设f (x )在[－1,1]上是单调减函数 ,那么a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12 34C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫34 ＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 12二、填空题(本大题共2小题,每题5分,共10分.把答案填在题中的横线上.)11．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________． 12．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a c bd ＝ad －bc ,复数z 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪zi 1 i ＝1＋i ,z 为z 的共轭复数 ,那么z ＝___________.三、解答题(共10分,解容许写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)13．函数f (x )＝x ln x ,g (x )＝(－x 2＋ax －3)e x (a 为实数)． (1)当a ＝5时 ,求函数y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤t t ＋2(t >0)上的最|小值．高二 (下 )数学周考试题 (4 )答案1. 由纯虚数的定义知：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0x ＋1≠0 ⇒x ＝1 ,选C.2..A 当n k =时,左边 =(1)(2)()k k k k ++⋅⋅+1,[(1)1][(1)2][(1)(1)]n k k k k k =+=++++⋅⋅+++当时左边(2)(3)()(1)(2)k k k k k k k k =++⋅⋅⋅+++++ (1)(2)(1)(2)()1k k k k k k k k k ++++=++⋅⋅⋅++(1)(2)()[2(21)]k k k k k =++⋅⋅⋅++,∴从k 到1k +,左边需要增乘的代数式为2(21)k +. 3. m ＝(1＋i)(1－n i)＝(1＋n )＋(1－n )i ,那么⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1＋n 1－n ＝0 ∴n ＝1 ,m ＝2 ,从而e ＝ 3.4.当n ＝2时 ,中间的式子1＋12＋13＋122＝1＋12＋13＋14.5.6. 因为[]f x e x ′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[]f x ＋f ′xe x ,且x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点 ,所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；选项D 中 ,f (－1)>0 ,f ′(－1)>0 ,不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0.7.a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x≥6 ,因此a 、b 、c 至|少有一个不小于2.8.依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6 ,所以f ′⎝⎛⎭⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6 ,f ′⎝⎛⎭⎫π6＝12 ,f ′(x )＝－sin x ＋1 , 因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2 π2时 ,f ′(x )＞0 ,所以f (x )＝cos x ＋x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2π2上是增函数 ,又－π2＜－π3＜π3＜π2,所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＜f ⎝⎛⎭⎫π3. 9．由⎩⎨⎧y ＝x 2＋k 2y ＝2kx .得(x －k )2＝0 ,即x ＝k ,所以直线与曲线相切 ,如下图 ,当k >0时 ,S ＝ʃk 0(x2＋k2－2kx )d x ＝ʃk 0(x －k )2d x ＝13(x －k )3|k 0＝0－13(－k )3＝k 33,由题意知k 33＝9 ,∴kk ＝－3也满足题意 ,故k ＝±3.10 f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e 2＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x ,由题意当x ∈[－1,1]时 ,f ′(x )≤0恒成立 ,即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a,那么有⎩⎨⎧g －1≤0g 1≤0 即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2－2a ·－1－2a ≤0 12＋2－2a －2a ≤0解得a ≥34. y ′＝1x ln 2 ,所以k ＝1ln 2 ,所以切线方程为y ＝1ln 2(x －1) ,所以三角形面积为S △＝12×1×1ln 2＝12ln 2＝12log 2e.12.⎪⎪⎪⎪⎪⎪zi 1 i ＝z i －i ＝1＋i ,故z ＝1＋2ii ＝2－i.∴z ＝2＋i. 13．解：(1)当a ＝5时 ,g (x )＝(－x 2＋5x －3)e x ,g (1)＝e.又g ′(x )＝(－x 2＋3x ＋2)e x ,故切线的斜率为g ′(1)＝4e. 所以切线方程为：y －e ＝4e(x －1) ,即y ＝4e x －3e. (2)函数f (x )的定义域为(0 ,＋∞) ,f ′(x )＝ln x ＋1 , 当x 变化时 ,f ′(x ) ,f (x )的变化情况如下表：x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 1e 1e ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ＋∞ f ′(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减极小值单调递增①当t ≥1e 时 ,在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤t t ＋2上f (x )为增函数 ,所以f (x )min ＝f (t )＝t ln t . ②当0<t <1e 时 ,在区间⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫t 1e 上f (x )为减函数 ,在区间⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤1e t ＋2上f (x )为增函数 ,所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e .高二 (下 )数学周考试题 (5 )1．过椭圆1422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于B A ,两点 ,那么B A ,与椭圆的另一个焦点F 2构成2ABF ∆的周长是( )A ．2 B ．4 C.2D ．222． 设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点 ,P 为直线32a x =上一点 ,21F PF ∆是底角为30的等腰三角形 ,那么E 的离心率为 ( )(A)12 (B)23 (C)34 (D)453．假设椭圆221369x y +=的弦被点()4,2平分 ,那么此弦所在直线的斜率为 ( )A ．2B ．-2C ．13D ．12-4．假设双曲线的离心率为 ,那么其渐近线的斜率为 ( )A. B.C.D.5．点(,)P x y 在2211612x y +=上 ,那么2x y +的最|大值 ( )A ．5 B ．6 C ．7 D ．86过(1,1)的直线l 与2213y x -=有且仅有一个公共点直线有 ( )条A4 B3 C2 D17．O 为坐标原点 ,F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点 ,,A B 分别为C 的左 ,右顶点．P 为C 上一点 ,且PFx⊥轴过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E ．假设直线BM 经过OE 的中点 ,那么C 的离心率为 ( ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．348．双曲线()222210,0x y a b a b-=>> ,过1F 的直线l 与双曲线交于,A B ,假设2ABF ∆为等边三角形 ,那么渐近线的斜率为 ( )A ．3± B ．2± C. 6± D ．2±9.椭圆 ( ), 为直线上点 ,的垂直平分线恰好过点,那么椭圆的离心率的取值范围 ( )AB. C D.10．设1F ,2F 分别为双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左、右焦点 ,双曲线上存在一点P 使得123PF PF b += ,1294PF PF ab •= ,那么该双曲线的离心率为 ( )A ．43B ．53C ．94D ．311．椭圆2212516x y +=上的点M 到左焦点1F 的距离为3 ,N 为1MF 的中点 ,O 为坐标原点 ,那么||ON =__________.12．过点11,2（）作圆221x y +=的切线 ,切点分别为A 、B ,直线AB 恰好经过椭圆 222210x y a b a b+=>>（）的右焦点和上顶点 ,那么该椭圆的标准方程为 13．定圆M ：()22316x y ++= ,动圆N 过点F()3,0且与圆M 相切 ,记圆心N 的轨迹为E ． (Ⅰ )求轨迹E 的方程； (Ⅱ )设点A ,B ,C 在E 上运动 ,A 与B 关于原点对称 ,且|AC| =|CB| ,当△ABC 的面积最|小时 ,求直线AB 的方程．高二 (下 )数学周考试题 (5 )参考答案1．B2．C3．D 4．B5．D 设(4cos ,23sin )24cos 43sin 8sin()6P x y πααααα⇒+=+=+⇒2x y+的最|大值为8,应选D. 6．A42246810510157．A 如图取P与M重合 ,那么由2(,0),(,)b A a M c a--⇒直线22:()(0,)b b a AM y x a Ec a a c=+⇒-+-同理由222221(,0),(,)(0,)33b b b b B a Mc G a c e a a c a c a c -⇒⇒=⇒=⇒=+-+,应选A.8．C 由212BF BF a -= ,122AF AF a -= ,又2ABF ∆为等边三角形 ,所以121AF AF BF -=2a= ,所以24BF =.在12AF F ∆中 ,16AF a = ,24AF a = ,122F F c = ,1260F AF ∠=︒ ,由余弦定理得22243616264cos 60c a a a a =+-⨯⨯⨯︒,所以227c a = ,22226b c a a =-= ,所以xyoABFP MEG6b a= ,应选C.9．D 由的垂直平分线过点可知 ,右焦点到直线的距离为 ,结合图形可知有 ,所以离心率的范围是.10．B由双曲线的定义可得 ,aPF PF 2||||||21=- ,由bPF PF 3||||21=+ ,ab PF PF 49||||21=⋅ ,那么有221|)||(|PF PF +2221499||||4a ab b PF PF =-=⋅- ,即有0)3)(43(=+-a b a b ,即有ab 43= ,即)(91692222ac a b -== ,那么22259a c = ,即有ac 53= ,那么35e ==a c ．应选B ． 考点：双曲线的几何性质以及离心率的求解. 11．72【解析】试题分析：因为椭圆2212516x y +=的实轴长为10 ,所以5,210a a == ,由椭圆的定义得21037MF =-= ,而ON 是12MF F ∆的中位线 ,所以||ON =72.考点：椭圆的标准方程及其应用.12．22154x y +=【解析】试题分析：设过点 (1 ,12 )的圆221x y +=的切线为l ：y -12 =k (x -1 ) ,即kx -y -k +12=0①当直线l 与x 轴垂直时 ,k 不存在 ,直线方程为x =1 ,恰好与圆221x y +=相切于点A (1 ,0 )；②当直线l 与x 轴不垂直时 ,原点到直线l 的距离为：21211k d k -+==+ ,解之得34k =-, 此时直线l 的方程为3544y x =-+ ,l 切圆221x y +=相切于点B 34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭；因此 ,直线AB 斜率为14052315k -==-- ,直线AB 方程为y = -2 (x -1 ) ∴直线AB 交x 轴交于点A (1 ,0 ) ,交y 轴于点C (0 ,2 ).椭圆22221x y a b+=的右焦点为 (1 ,0 ) ,上顶点为 (0 ,2 )∴c =1 ,b =2 ,可得a 2 =b 2 +c 2=5 ,椭圆方程为22154x y +=考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程 13． (Ⅰ )2214x y +=； (Ⅱ )y =x 或y =﹣x ．【解析】试题分析： (Ⅰ )由两圆的相切的关系判断可得点N 的轨迹是一个椭圆 ,由椭圆标准方程易得； (Ⅱ )由得OC AB ⊥,因此先求当AB是实轴时 ,S ＝2 ,当AB 斜率存在且不为0时 ,设方程为y kx = ,代入椭圆方程可求得A 点坐标 ,从而得OA ,而OC 斜率为1k- ,同理得OC ,由2ABC OAC S S OA OC ∆∆==可用k 表示出面积 ,最|后由根本不等式可得最|小值 ,还要与斜率为0的情形比拟后可得．试题解析： (Ⅰ )因为点(3,0)F 在圆22:(3)16M x y ++=内 , 所以圆N 内切于圆M ,因为|NM| +|NF| =4＞|FM| ,所以点N 的轨迹E 为椭圆 ,且24,3a c == ,所以b =1 ,所以轨迹E 的方程为2214x y +=．(Ⅱ ) (i )当AB 为长轴 (或短轴 )时 ,依题意知 ,点C 就是椭圆的上下顶点 (或左右顶点 ) ,此时12ABC S OC AB ∆==2．(ii )当直线AB 的斜率存在且不为0时 ,设其斜率为k ,直线AB 的方程为y =kx ,联立方程2214x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得22414A x k =+ ,222414A k y k =+ , 所以222224(1)14AAk OA x y k +=+=+．由|AC| =|CB|知 ,△ABC 为等腰三角形 ,O 为AB 的中点 ,OC ⊥AB ,所以直线OC 的方程为1y xk =- ,同理得2222214(1())4(1)1414()k k OC k k +-+==++- ,22222224(1)4(1)4(1)21441(14)(4)ABC OACk k k S S OA OC k k k k ∆∆+++===⨯=++++ ,由于22222(14)(4)5(1)(14)(4)22k k k k k ++++++≤=,所以85ABC S ∆≥,当且仅当1 +4k 2 =k 2 +4 ,即k =±1时等号成立 ,此时△ABC 面积的最|小值是85 ,因为825>,所以△ABC 面积的最|小值为85 ,此时直线AB 的方程为y =x 或y =﹣x ．考点：椭圆的标准方程 ,直线与椭圆相交问题．高二 (下 )数学周考试题 (6 )一、选择题 (60分 )1．设0a ≠ ,a R ∈ ,那么抛物线24y ax =的焦点坐标为 ( ) A ．(),0a B ．()0,a C ．1(0,)16a D ．随a 符号而定2．抛物线上有两点到焦点的距离之和为 ,那么到轴的距离之和为( )A. B. C. D.3．假设抛物线22y x =上一点M 到它的焦点F 的距离为32,O 为坐标原点 ,那么MFO ∆的面积为 ( )A ．22B ．24C ．12D ．144．过抛物线y x 42=的焦点F 作一直线交抛物线于Q P ,两点 ,假设线段PF 与FQ 的长分别为q p , ,那么qp 11+等于 ( )A ．21 B ．2 C ．1 D ．16 5．过抛物线24y x =的焦点且倾斜角为30︒的直线交抛物线于,A B两点 ,那么AB =( )A ．4B ．8 C.16 D ．326．F 是抛物线x y =2的焦点 ,B A 、是该抛物线上的两点 ,3||||=+BF AF ,那么线段AB的中点到y 轴的距离为 ( )A ．43 B ．1 C ．45 D ．477．i i Z +=12 (i 为虚数单位 ) ,那么Z 的共轭复数在复平面内对应的点位于 ( )A ．第|一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．设复数i z 21231+= ,i z 432+= ,其中i 为虚数单位 ,那么=||||220161z z ( ) A ．20152 B ．20161 C ．251 D ．519．当x>1时不等式a x x ≥-+11恒成立 ,那么实数a 的取值范围是 ( ) A. (]3,∞- B.13 , +)∞ C. (]2,∞- D.12 , +)∞10．假设直线2000mx ny m n ++=（＞，＞） 截得圆22311x y +++=（）（）的弦长为2 ,那么13m n +的最|小值为 ( ) A ．4 B ．12 C ．16 D ．6 二、填空题 (10分 )11．假设向量a ,b 的夹角为150,3,42a b a b ==+=，则___________. 12．1220111x dx dx x-+=⎰⎰__________. 三、解答题 (10分 ) 13．如图 ,在四棱锥ABCDP -中 ,底面ABCD是正方形 ,侧棱PD⊥底面ABCD ,DC PD = ,E 是PC 的中点 ,作PB EF ⊥交PB 于点F ．(1 )求证：PA //平面EDB ；(2 )求二面角B DE F --的正弦值．高二 (下 )数学周考试题 (6 )参考答案1．C 2．D 3．B 4．C 5．C ：由22sin pAB α=得2416sin 30AB == ,选C.6．C 设),(),,(2211y x B y x A ,中点),(00y x M ,那么3212)41(41||||021=+=+++=+x x x BF AF ,解得450=x ；应选C ．7．D 8．D 因为2016367267211()11zz === ,所以20161222||11||534z z ==+ ,应选D ．9．A 10．D ∴直线mx +ny +2 =0过圆心 ( -3 , -1 ) ,即-3m -n +2 =0 , ∴3m +n =2 , ∴1313319193326222m n n m n mm n m n m n m n+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++≥+⨯= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , 当且仅当9n m m n=时取等号 ,由932n mm n m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩截得131m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ,∴13m n +的最|小值为6 ,11．2 12．ln 24π+1201x dx -⎰表示 ,圆心在坐标原点 ,半径为1的14个圆的面积 ,所以12014x dx π-=⎰,又22111ln |ln 2dx x x==⎰ ,所以1220111x dx dx x-+=⎰⎰ln 24π+. 13． 如图建立空间直角坐标系 ,点D 为坐标原点 ,设1=DC . (1)分(1 )证明：连结,AC AC交BD 于点G ,连结EG .依题意得)21,21,0(),1,0,0(),0,0,1(E P A .因为底面ABCD 是正方形 ,所以点G 是此正方形的中|心 ,故点G 的坐标为)0,21,21( ,且)21,0,21(),1,0,1(-=-=EG PA .所以EG PA 2=,即EG PA //,而⊂EG 平面EDB ,且⊄PA 平面EDB , 因此PA//平面EDB ． (5)分(2 ))1,1,1(),0,1,1(-=PB B ,又)21,21,0(=DE ,故0=⋅DE PB ,所以DE PB ⊥.由PB EF⊥ ,且EDE EF = ,所以⊥PB 平面EFD . ………7分所以平面EFD 的一个法向量为)1,1,1(-=PB .)0,1,1(),21,21,0(==DB DE ,不妨设平面DEB 的法向量为),,(z y x a =那么⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅00)(21y x DB a z y DE a不妨取1=x那么1,1=-=z y ,即)1,1,1(-=a…10分设求二面角B DE F--的平面角为θ31||||cos -==PB a PBa θ 因为],0[πθ∈ ,所以322sin =θ．二面角B DE F --的正弦值大小为322． ………12分高二 (下 )数学周考试题 (7 )一、选择题1．非零向量,a b 满足23,2a b a b a b =-=+ ,那么a与b 的夹角的余弦值为( )A ．23 B ．34 C ．13 D ．142．由 "正三角形的内切圆切与三边的中点〞可类比猜测：正四面体的内切球切于四个面 ( )A ．各三角形内一点B ．各正三角形的中|心C ．各正三角形的某高线上的点D ．各正三角形外的某点 3．()1sin cos 0 2αααπ+=∈，， ,那么1tan 1tan αα-=+ ( )A.7-733-4．tan 2α= ,α为第三象限角 ,那么2sin cos αα+= ( )A.2-B.22-C.3-D.23- 5．在锐角中 ,角所对的边长分别为.向量,且.假设面积为 ,那么的周长为 ( )A. 10B. 20C. 26D. 40 6．向量1331,,2222BA BC ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,那么ABC ∠= ( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°7．?张丘建算经?是我国南北朝时期的一部重要数学著作 ,书中系统的介绍了等差数列 ,同类结果在三百多年后的印度才首|次出现．书中有这样一个问题 ,大意为：某女子善于织布 ,后一天比前一天织的快 ,而且每天增加的数量相同 ,第|一天织布5尺 ,一个月 (按30天计算 )总共织布390尺 ,问每天增加的数量为多少尺 ?该问题的答案为 ( ) A ．829尺 B ．1629尺 C ．3229尺 D ．12尺8．类比平面内正三角形的 " 三边相等 , 三内角相等〞 的性质 , 可推出正四面体的以下哪些性质 , 你认为比拟恰当的是 ( )①各棱长相等 , 同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形 , 相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形 , 同一顶点上的任两条棱的夹角都相等. A ．①③ B ．②③ C. ①② D ．①②③ 9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,又知101ln eS xdx =⎰ ,2011S= ,那么30S 为 ( )A ．21B ．30C ．48D ．5010．如下等式：;30282624222018;161412108;642++=++++=++=+……以此类推 ,那么2021会出现在第 ( )个等式中.A.33B.30C.31D.32 二、填空题11．()11sin x x dx -+=⎰___________．12．函数()y f x =的图象在点()()2,2M f 处的切线方程是4y x =+ ,那么()()22f f '+=____________．三、解答题 13．函数且 . (1 )当时 ,求单调区间和极值 (2 )求在区间上的最|小值.高二 (下 )数学周考试题 (7 )参考答案1．C 2．B 由平面中关于正三角形的内切圆的性质: "正三角形的内切圆切于三边的中点〞,根据平面上关于正三角形的内切圆的性质类比为空间中关于内切球的性质,我们可以推断在空间几何中有: "正四面体的内切球切于四面体各正三角形的位置是各正三角形的中|心〞 ,所以B 选项是正确的.3．A 4．C 由tan α= ,得sin αα= ,结合22sincos 1αα+= ,可得21cos 3α=,又α为第三象限角 ,所以cos α=.所以cos 3cos ααα+==应选C.5．B 6．A 03cos 302||||BA BC ABC ABC BA BC •∠==⇒∠,应选A.7．B 增量为30302916305390229d S d d ⨯⇒=⨯+=⇒= ,应选B.8D 9．B 1012010103020301ln (ln )|12()()30eeS xdx x x x S S S S S S ==-=⇒-=+-⇒=⎰,10．C 【解析】试题分析:因173132100922018+⨯==÷,故依据所给等式左右两边的数字特点及个数特征,数2018应在第31个等式中,故应选C.(1)所有等式中的数都是偶数；(2)左边的数的个数比右边的数的个数多1个,所以可将2018化为173132100922018+⨯==÷,其中右边的数字是等式的个数,由此可以推测2018应在第31个等式中.11．1 【解析】 试题分析：()()()111111sin sin x x dx x dx x dx ---+=+⎰⎰⎰ ,()11x dx -⎰根据定积分的几何意义可知 ,函数x 在[]1,1-上的面积为111⨯= ,同理 ,由于sin y x =为奇函数 ,根据定积分的几何意义有()11sin 0x dx -=⎰,所以()11sin 1x x dx -+=⎰.考点：定积分. 12．7 【解析】试题分析：由函数()y f x =的图象在点()()2,2M f 处的切线方程是4y x =+ ,那么()21f '= ,且()2246f =+= ,所以()()22167f f '+=+=．考点：导数的几何意义． 13．(1)函数的单调递减区间是,函数的极小值为无极大值. (2)详见解析 【解析】 试题分析： (1 )把代入 ,先求定义域 ,在求导数 ,令,,求解函数的单调区间及极值； (2 )先求导数 ,研究函数的极值点、端点的函数值 ,比拟极小值与端点函数值的大小 ,进而求出最|小值. 试题解析： (1 )当时 ,,由 ,解得,所以函数的单调递增区间是.由,解得,所以函数的单调递减区间是.所以函数的极小值为无极大值.(2 )当时,,设,当时 ,,此时恒成立 ,所以在上单调递增 ,所以.当时 ,,令,即,解得或；令,即,解得.①当时,即当时, 对恒成立,那么在区间单调递减, 所以.②当时,即当时,在区间上单调递减,在区间上单调递增, 所以.③当,即时,对恒成立,那么在区间单调递增,所以.综上所述 ,当时 ,,当时 ,；当或时,.高二 (下 )数学周考试题 (8 )1．A (2 ,－5 ,1 ) ,B (2 ,－ 2 ,4 ) ,C (1 ,－4 ,1 ) ,那么与的夹角为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．在空间直角坐标系中 ,()()()4,1,9,10,1,6,2,4,3A B C - ,那么ABC ∆为 ( ) A ．等边三角形 B ．等腰直角三角形 C. 钝角三角形 D ．锐角三角形 3．0x > ,由不等式32221144422,33,,2222x x x x x x x x x x x x+≥⋅=+=++≥⋅⋅=可以推出结论：*1(),n a x n n N a x+≥+∈则 = ( )A ．2nB ． 3nC ．n 2D ．n n 4．有一段 "三段论〞推理是这样的：对于可导函数()f x ,假设0'()0f x = ,那么0x x =是函数()f x 的极值点 ,因为()f x 3x =在0x =处的导数值为0 ,所以0x =是3()f x x =的极值点 ,以上推理是 ( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确5．在平行六面体ABCD EFGH -中 ,假设233AG xAB yBC zHD =++ ,那么x y z++等于 ( )A ．76B ．23C ．56D ．126．假设19(0,2,)8A ,5(1,1,)8B - ,5(2,1,)8C -是平面α内的三点 ,设平面α的法向量),,(z y x a =,那么=z y x :: .7．设正方体的棱长为2 ,那么点到平面的距离是( )A ．B ．C ．D ．8．三角形的三边分别为,,a b c ,内切圆的半径为r ,那么三角形的面积为()12s a b c r =++；四面体的四个面的面积分别为1234,,,s s s s ,内切球的半径为R ．类比三角形的面积可得四面体的体积为 ( )A. ()123412V s s s s R =+++B. ()123413V s s s s R =+++C. ()123414V s s s s R =+++D. ()1234V s s s s R =+++9．证明*11111()234212nnn N +++++>∈- ,假设n k =时成立 ,当1n k =+时 ,左端增加的项数是 A ．1项 B ．2k项 C ．1k -项 D ．k 项 10．设a b c 、、均为正实数 ,那么三个数111a b c b c a+++、、 ( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至|少有一个不大于2D ．至|少有一个不小于2 11．设,0,5a bab,1++3a b 的最|大值为________.12．在等腰△ABC 中 ,AB AC=,AC 边上的中线BD 长为6 ,那么当ABC ∆的面积取得最|大值时 ,AB 的长为 ． 13．在ABC∆中 ,角,,A B C所对的边分别为,,a b c,ABC∆的面积为S,假设22243a b c +-=． (Ⅰ )求角C 的大小； (Ⅱ )假设3c =3S =求a b +的值．数学周考试题 (8 )参考答案1．C2．B3．D 对于给出的等式 ,1n a x n x +≥+ ,要先将左式n a x x +变形为n na x x x a x x n n n x +≥++++ , 在nx x x a n nn x ++++中 ,前n 个分式分母都是n , 要用根本不等式 ,必有nx x x a n n n x⨯⨯+⨯为定值 ,可得n a n = 4．A5．D6．2：3： ( -4 )7．D如图 ,建立空间直角坐标系 , 那么(0 ,0 ,2) ,(2 ,0 ,2) ,D(0 ,0 ,0) ,B(2 ,2 ,0) ,∴＝(2 ,0 ,0) ,＝(2 ,0 ,2) ,＝(2 ,2 ,0) ,设平面A 1BD 的法向量n ＝(x ,y ,z) , 那么令x ＝1 ,那么n ＝ (1 ,－1 ,－1) , ∴点D 1到平面A 1BD 的距离．选D ．8．D9．B10．D111111111()()()2226a b c a b c a b c b c a a b c a b c+++++=+++++≥⨯⨯⨯= ,当且仅当1a b c ===时 ,等号是成立的 ,所以111a b c b c a+++、、至|少有一个不小于2 ,11．23【解析】由222ab a b ≤+两边同时加上22a b +得222()2()a b a b +≤+两边同时开方即得：a b +≤(0,0a b >>且当且仅当a b =时取 " =〞 ) ,从而有1++3a b ≤== (当且仅当13a b +=+,即73,22a b ==时 , " =〞成立 )12．设2AB AC x== ,那么AD x =(26)x << ,由余弦定理 ,得cos A＝2222AB AD BD AB AD +-⋅＝2225365944x x x -=- ,所以sin A = ,所以1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅＝142x ⋅＝24≤ ,当220x = ,即x=时等号成立 ,所以当当ABC ∆的面积取得最|大值时 ,AB 的为13． (Ⅰ )因为222a b c +-=,所以12cos sin 2ab C ab C =⨯化简得：tan C = ,又0Cπ<< ,3C π=∴．(Ⅱ )3C π= ,c =223a b ab +-=∴ ,()233a b ab +-=∴①又ABC S ∆=,1sin 23ab π=∴ ,即2ab =②联立①②可得()29a b += ,又0a b +> ,3a b +=∴．。
河北省石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)
石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（时间：120分钟，分值150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.2. 设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（）A. 0B.C. 2D. 33. 已知随机变量的分布列如下，随机变量满足，则随机变量的期望E(Y)等于（）012A. B. C. D.4. 函数的大致图像是（）A. B.C. D.5. 为了培养同学们的团队合作意识，在集体活动中收获成功、收获友情、收获自信、磨砺心志，2023年4月17日，石家庄二中实验学校成功举办了首届“踔厉奋发新征程，勇毅前行赢未来”25公里远足活动. 某班()22x x'-=-()2e2ex x'=()cos cos sinx x x x x'=-()()122xx x-'=⋅()e xf x a b=+()πcos2xg x c=+()02P，+ab cπX Y21Y X=-YXP1613a43835373()(1)ln1f x x x=+-现有5名志愿者分配到3个不同的小组里协助班主任摄影，记录同学们的青春光影，要求每个人只能去一个小组，每个小组至少有一名志愿者，则不同的分配方案的总数为（ ）A 120B. 150C. 240D. 3006. 的展开式中的系数为（ ）A B. 17C. D. 137. 设，，，则（ ）A. B. C. D. 8. 若方程有三个不同的解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 展开式中最大的系数为10. 已知函数，下列说法正确的有（ ）A. 若，，则函数F (x )有最小值B. 若，，则过原点可以作2条直线与曲线相切C. 若，且对任意，恒成立，则D. 若对任意，任意，恒成立，则的最小值是11 已知函数，若且，则有（ ）...()632x x ⎛- ⎝6x 17-13-35ln 23a =253e 5b =1c =c b a >>a b c >>a c b >>c a b>>()()23ln 12ln x a x ax x x--=a 224e 104e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，224e 114e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，()224e 10114e 4e ⎛⎫+⋃ ⎪-⎝⎭，，()224e 1014e 4e ⎧⎫+⋃⎨⎬-⎩⎭，()62601262a a x a x a x =+++⋯+3360a =-()()2202461351a a a a a a a +++-++=(6612622a a a ++⋯+=--2a ()()()2e 114ax F x m x m =++++0m =1a =-1m =-0a ≠()y F x =0a =m ∈R ()0F x >11x -<<R m ∈0x >()0F x ≥a 2e()()y f x x =∈R ()0f x >()()0f x xf x '+>A. 可能是奇函数或偶函数B. C. 当时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 为弘扬我国古代“六艺文化”，某夏令营主办方计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”，“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有______种排法.13. 某校辩论赛小组共有5名成员，其中女生比男生多，现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，若抽到一男一女的概率为，则抽到2名男生的概率为_____________.14. 若，使得成立（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，（1）求的值；（2）求其展开式中所有的有理项．16. 某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛．现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有个选择题和个填空题，乙箱中有个选择题和个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答．每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中．（1）如果第一支部从乙箱中抽取了个题目，求第题抽到的是填空题的概率；（2）若第二支部从甲箱中抽取了个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目．求第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题的概率．17. 已知函数.（1）求函数的极值；（2）若对任意恒成立，求的最大整数值.18. 张强同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，前的()f x ()()11f f -<ππ42x <<()()cos22sin e cos x f x f x >()()01f >35[]0,2x ∃∈()1eln e e 1ln xa a x x a --+≥-+e 2.71828= a nx ⎛- ⎝a b 32a b +=n 5343222()ln f x x x x =+()f x ()()1k x f x -<1x >k 1312两次投篮是否命中相互之间没有影响.第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为，如果前两次投篮均未命中，则第三次投篮命中的概率为.（1）求张强同学三次投篮至少命中一次的概率；（2）记张强同学三次投篮命中的次数为随机变量，求的概率分布.19. 设定义在R 上的函数．（1）若存在，使得成立，求实数a 的取值范围；（2）定义：如果实数s ，t ，r 满足，那么称s 比t 更接近r ．对于（1）中的a 及，问：和哪个更接近？并说明理由．石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C 【2题答案】【答案】C 【3题答案】【答案】C 【4题答案】【答案】B 【5题答案】【答案】B 【6题答案】2315ξξ()()e xf x ax a =-∈R [)01,x ∈+∞()0e f x a <-s r t r -≤-1x ≥ex1e x a -+ln x【答案】C 【7题答案】【答案】A 【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD 【10题答案】【答案】ACD 【11题答案】【答案】BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）4 （2）【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1）极小值，无极大值为1441100.121e,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦42135,54,81T x T x T x-===377122e --（2）3【18题答案】【答案】（1）；（2）答案略.【19题答案】【答案】（1） （2）比更接近，理由略1115e a >ex1e x a -+ln x。
河北省石家庄市高二下册第二学期期末考试数学(理)试题-含答案【精编】.doc
第二学期期末教学质量检测高二理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数z 满足(34)25i z -=，则z =（ ）A ．34i -+B ．34i --C ．34i +D ．34i -2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0'()0f x =，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值'(0)0f =，所以，0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确 3.在回归分析中，2R 的值越大，说明残差平方和（ ）A ．越小B ．越大C ．可能大也可能小D ．以上都不对 4.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ）A ．62n -B ．82n -C ．62n +D ．82n + 5.如果函数()y f x =的图象如图所示，那么导函数'()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 6.某产品的广告费用x 万元与销售额y 万元的统计数据如下表： 广告费用x （万元） 4 2 3 5销售额y （万元）502638m根据以上数据可得回归直线方程y bxa =+，其中9.4b =，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5万元，则$a，m 的值为（ ） A ．$9.4a =，52m = B ．$9.2a =，54m = C ．$9.1a =，54m = D ．$9.1a =，53m =7.利用数学归纳法证明不等式1111()2321n f n +++⋅⋅⋅+<-*(2,)n n N ≥∈的过程，由n k =到1n k =+时，左边增加了（ ）A ．1项B ．k 项C ．21k -项D ．2k 项 8.如图，用K ，1A ，2A 三类不同的元件连接成一个系统.当K 正常工作且1A ，2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K ，1A ，2A 正常工作的概率依次为0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为（ ）A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576 9.设复数(1)(,)z x yi x y R =-+∈，若1z ≤，则y x ≥的概率为（ ） A ．3142π+ B ．112π+ C ．112π- D ．1142π- 10.设函数()y f x =的定义域为{|0}x x >，若对于给定的正数K ，定义函数,()()(),()k K f x K f x f x f x K≤⎧=⎨>⎩，则当函数1()f x x =，1K =时，定积分214()k f x dx ⎰的值为（ ） A ．2ln 22+ B ．2ln 21- C ．2ln 2 D ．2ln 21+11.已知等差数列{}n a 的第8项是二项式41x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式的常数项，则91113a a -=（ ）A ．23B ．2C ．4D ．6 12.已知函数()f x 的定义域为R ，'()f x 为()f x 的导函数，且'()()2xf x f x xe -+=，若(0)1f =，则函数'()()f x f x 的取值范围为（ ） A ．[1,0]- B ．[2,0]- C ．[0,1] D ．[0,2]第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知随机变量服从正态分布2(2,)X N σ:，若()0.32P X a <=，则(4)P a X a ≤<-等于 ．14.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）15.63(2x x ⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数是 ． 16.已知()y f x =是奇函数，当(0,2)x ∈时，()ln f x x ax =-，（12a >），当(2,0)x ∈-时，()f x 的最小值为1，则a 的值等于 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.复数213(10)5z a i a =+-+，22(25)1z a i a=+--，若12z z +是实数，求实数a 的值. 18.某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（2）已知一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率. 19.在数列{}n a ，{}n b 中，12a =，14b =，且n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列（*n N ∈）.（1）求2a ，3a ，4a 及2b ，3b ，4b ；（2）根据计算结果，猜想{}n a ，{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明.20.学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计.其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的60%，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的75%，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人. （1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的22⨯列联表：请问是否可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关？（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量X .①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数X 的分布列（概率用组合数算式表示）； ②求X 的数学期望和方差.（()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）21.已知函数()ln f x x x =，2()2g x x ax =-+-（e 为自然对数的底数，a R ∈）. （1）判断曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =的公共点个数；（2）当1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若函数()()y f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围.请考生在22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点P 的直角坐标为33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为5ρ=，直线l 过点P 且与曲线C 相交于A ，B 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若8AB =，求直线l 的直角坐标方程. [选修4-5：不等式选讲]23.已知函数2()f x ax x a =+-的定义域为[1,1]-. （1）若(0)(1)f f =，解不等式3()14f x ax -<+； （2）若1a ≤，求证：5()4f x ≤.2019-2020学年度期末试题高二数学理科答案一、选择题1-5 CAACA 6-10 CDBDD 11、12：CB二、填空题13. 0.36 14. 660 15. 243 16. 1三、解答题17.解：2123(10)5z z a i a +=+-+2(25)1a i a++-- 232[(10)(25)]51a a i a a ⎛⎫=++-+- ⎪+-⎝⎭213(215)(1)(5)a a a i a a -=++--+.∵12z z +是实数， ∴22150a a +-=，解得5a =-或3a =，由于50a +≠， ∴5a ≠-，故3a =.18.解：（1）设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故()0.20.20.10.050.55P A =+++=.（2）设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3， 故()0.10.050.15P B =+=. 又()()P AB P B =， 故()()0.153(|)()()0.5511P AB P B P B A P A P A ====.因此所求概率为311. 19.解：（1）由已知条件得12n n n b a a +=+，211n n n a b b ++=，由此算出26a =，312a =，420a =，29b =，316b =，425b =.（2）由（1）的计算可以猜想(1)n a n n =+，2(1)n b n =+，下面用数学归纳法证明：①当1n =时，由已知12a =，14b =可得结论成立.②假设当n k =（2k ≥且*k N ∈）时猜想成立，即(1)k a k k =+，2(1)k b k =+.那么，当1n k =+时，2122(1)(1)k k k a b a k k k +=-=+-+232(1)(2)k k k k =++=++，2222112(1)(2)(2)(1)k k k a k k b k b k ++++===++， 因此当1n k =+时，结论也成立.由①和②和对一切*n N ∈，都有(1)n a n n =+，2(1)n b n =+成立.20.解：（1）由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的22⨯列联表：2K 的观测发传真2300(1201560105)180********k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯16.66710.828≈>，所以可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关.（2）①对教师教学水平和教师管理水平全好评的概率为25，且X 的取值可以是0，1，2，3，4，其中43(0)5P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭；31423(1)55P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 222423(2)55P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；313423(3)55P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；404423(4)55P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， X 的分布列为：②由于24,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:， 则28()455E X =⨯=，2224()415525D X ⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭. 21.解：（1）'()ln 1f x x =+，所以切线斜率'(1)1k f ==. 又(1)0f =，∴曲线在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，由221y x ax y x ⎧=-+-⎨=-⎩得2(1)10x a x +-+=. 由22(1)423(1)(3)a a a a a ∆=--=--=+-， 可得当0∆>时，即1a <-或3a >时，有两个公共点； 当0∆=时，即1a =-或3a =时，有一个公共点； 当0∆<时，即13a -<<时，没有公共点. （2）2()()2ln y f x g x x ax x x =-=-++， 由0y =，得2ln a x x x=++， 令2()ln h x x x x =++，则2(1)(2)'()x x h x x -+=. 当1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由'()0h x =，得1x =. 所以()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,e 上单调递增，因此min ()(1)3h x h ==.由1121h e e e⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，2()1h e e e =++，比较可知1()h h e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以，结合函数图象可得，当231a e e<≤++时，函数()()y f x g x =-有两个零点.22.解：（1）由5ρ=，可得225ρ=，得2225x y +=， 即曲线C 的直角坐标方程为2225x y +=.（2）设直线l 的参数方程为3cos 3sin 2x t y t αα=-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）， 将参数方程①代入圆的方程2225x y +=， 得2412(2cos sin )550t t αα-+-=，∴216[9(2cos sin )55]0αα∆=++>，上述方程有两个相异的实数根，设为1t ，2t ，∴128AB t t =-==， 化简有23cos 4sin cos 0ααα+=， 解得cos 0α=或3tan 4α=-， 从而可得直线l 的直角坐标方程为30x +=或34150x y ++=. 23.解：（1）(0)(1)f f =，即1a a a -=+-，则1a =-， ∴2()1f x x x =-++， ∴不等式化为234x x x -+<-+， ①当10x -≤<时，不等式化为234x x x -<-+，∴0x <<； ②当01x ≤≤时，不等式化为234x x x -+<-+， ∴102x ≤<.综上，原不等式的解集为12x x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭. （2）证明：由已知[1,1]x ∈-，∴1x ≤. 又1a ≤，则22()(1)(1)f x a x x a x x =-+≤-+2211x x x x ≤-+=-+2155244x ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭.。
河北省唐山市开滦第二中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学试题(含答案解析)
河北省唐山市开滦第二中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．将5封信投入3个邮筒，不同的投法有（）A ．35种B ．53种C ．3种D ．15种2．已知二项式((0)na >的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，且展开式中2x 项的系数为84，则a 为A ．2B ．1C ．15D ．3103．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种4．某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有下表关系：x24568y3040605070y 与x 的线性回归方程为ˆ 6.517.5y x =+，当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为（）A ．10-B ．20-C ．20D ．105．将7个座位连成一排，安排4个人就坐，恰有两个空位相邻的不同坐法有A ．240B ．480C ．720D ．9606．5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有A ．150种B ．180种C ．200种D ．280种7．形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字，千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可组成数字不重复的五位“波浪数”的个数为A ．20B ．18C ．16D ．118．有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有A ．1344种B ．1248种C ．1056种D ．960种二、双空题9．已知离散型随机变量X 的分布列如下：X 012Px4x5x由此可以得到期望E (X )=___________，方差D (X )=___________.三、填空题10．设随机变量()~3,1X N ，若()4P X p >=，则()24P X <<=___________.11．若2019220190122019(12)()x a a x a x a x x R -=++++∈ ，则010********()()()()a a a a a a a a ++++++++ =_______．（用数字作答）12．某学校要对如图所示的5个区域进行绿化（种花），现有4种不同颜色的花供选择，要求相邻区域不能种同一种颜色的花，则共有___________种不同的种花方法.13．用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.14．投掷3枚骰子，记事件A ：3枚骰子向上的点数各不相同，事件B ：3枚骰子向上的点数中至少有一个3点，则()P A B =___________.四、解答题15．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.(1)求所选3人既有女生又有男生的概率；(2)设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望.16．考取驾照是一个非常严格的过程，有的人并不能够一次性通过，需要补考.现在有一张某驾校学员第一次考试结果汇总表，由于保管不善，只残留了如下数据（见下表）：成绩性别合格不合格合计男性4510女性30合计105(1)完成此表；(2)根据此表判断：是否可以认为性别与考试是否合格有关？如果可以，请问有多大把握；如果不可以，试说明理由.参考公式：①相关性检验的临界值表：()20P k x ≥0.400.250.150.100.050.0250.100x 0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635②卡方值计算公式：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++.其中n a b c d =+++.17．有4个编号为1，2，3，4的小球，4个编号为1，2，3，4的盒子，现需把球全部放进盒子里，（最后结果用数字作答）(1)没有空盒子的方法共有多少种？(2)可以有空盒子的方法共有多少种？(3)恰有1个盒子不放球，共有多少种方法？(4)恰有一个小球放入自己编号的盒中，有多少种不同的放法？18．已知在()*n n N ∈的展开式中，第6项为常数项．()I 求n 的值；()II 求展开式的所有项的系数之和；()III 求展开式中所有的有理项．19．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.（1）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望；（2）求乙至多击目标2次的概率；（3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.20．某银行招聘，设置了A，B，C三组测试题供竞聘人员选择.现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加A组测试，丙独自参加B组测试，丁、戊两人各自独立参加C组测试.若甲、乙两人各自通过A组测试的概率均为23；丙通过B组测试的概率为12；而C组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功.假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题.(1)求丁、戊都竞聘成功的概率；(2)记A、B两组通过测试的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】本题是一个分步计数问题，首先第一封信有3种不同的投法，第二封信也有3种不同的投法，以此类推每一封信都有3种结果，根据分步计数原理得到结果．【详解】：由题意知本题是一个分步计数问题，首先第一封信有3种不同的投法，第二封信也有3种不同的投法，以此类推每一封信都有3种结果，∴根据分步计数原理知共有35种结果，故选：B ．2．B【分析】如果n 是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n 是偶数，那么是最中间那项的二次项系数最大，由此可确定n 的值，进而利用展开式，根据二次项的系数，即可求出a 的值．【详解】∵二项式(0)na ⎛> ⎝的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，∴9n =，又∵9⎛⎝的通项为：275999362199r r r r r r r r T C a x x a C x -----+==，令27526r-=，解得3r =，又∵展开式中2x 项的系数为84，即63984a C =，解得1a =或1a =-（舍去）故选B.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，根据展开式中某项的系数求参数，属于中档题3．B【详解】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．解：最左端排甲，共有55A =120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有1444C A =96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选B ．【分析】随机误差的效应（残差）为观测值减去预测值【详解】当广告支出5万元时，观测值为60，预测值为ˆ 6.5517.550y=⨯+=，则随机误差的效应（残差）为605010-=.故选：D.5．B【详解】12或67为空时，第三个空位有4种选择；23或34或45或56为空时，第三个空位有3种选择；因此空位共有24+43=20⨯⨯，所以不同坐法有4420480A =,选B.6．A【详解】人数分配上有两种方式即122，，与113，，若是113，，，则有311352132260C C C A A ⨯=种若是122，，，则有122354232290C C C A A ⨯=种则不同的分派方法共有150种故选A点睛：本题主要考查的知识点是排列，组合及简单计数问题．由题意知本题是一个分类问题，根据题意可知人数分配上两种方式即122，，与113，，，分别计算出两种情况下的情况数目，相加即可得到答案．7．C【分析】根据“波浪数”的定义，可得“波浪数”中，十位数字，千位数字必有5、另一数是3或4，分别计算出每种的个数，相加即可.【详解】此“波浪数”中，十位数字，千位数字必有5、另一数是3或4；是4时“波浪数”有232312A A =；另一数3时4、5必须相邻即45132；45231；13254；23154四种．则由1，2，3，4，5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为16，故选C ．【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，要对该问题准确分类，做到不充分，不遗漏，正确求解结果，属于中档题.【详解】首先确定中间行的数字只能为1，4或2，3，共有1222C A 4=种排法.然后确定其余4个数字的排法数.用总数46A 360=去掉不合题意的情况数：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有24A 12=种排法.所以此时余下的这4个数字共有360412312-⨯=种方法．由乘法原理可知共有43121248⨯=种不同的排法，选B ．9． 1.40.44【详解】根据分布列的性质可知：45101x x x x ++==，解得110x =.()042514 1.4E x x x x x =⨯++⨯==.()()()()2220 1.41 1.442 1.45 1.960.64 1.80.44D x x x x x x x =-⨯+-⨯+-⨯=++=.10．12p-【分析】由正态曲线的对称性直接求得.【详解】因为随机变量()~3,1X N ，()4P X p >=，所以由正态曲线的对称性可得：()2P X p <=，所以()()()2112442p P X P X P X <<=->=--<.故答案为：12p -.11．2017【分析】由题意，根据二项式的展开式，令0x =和1x =可得00120191,1a a a a =+++=- ，进而得01020201900122019()()()2018()a a a a a a a a a a a ++++++=+++++ ，即可求解，得到答案.【详解】由题意，可知201922018201901220182019(12)x a a x a x a x a x -=+++++ ，令0x =，可得01a =，令1x =，可得012320191a a a a a +++++=- ，所以01020302019001232019()()()()2018()a a a a a a a a a a a a a a ++++++++=++++++ 2018112017=⨯-=，故答案为2017.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用问题，其中解答中利用二项展开式，合理化简、赋值是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.12．72【分析】根据题意，分4步进行分析：依次分析区域1、2、3、4和5的着色方法数目，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分4步进行分析：①对于区域1，有4种颜色可选，即有4种着色方法，②对于区域2，与区域1相邻，有3种颜色可选，即有3种着色方法，③对于区域3，与区域1、2相邻，有2种颜色可选，即有2种着色方法，④对于区域4，若其颜色与区域2的相同，区域5有2种颜色可选，若其颜色与区域2的不同，区域4有1种颜色可选，区域5有1种颜色可选，所以区域4、5共有2+1=3种着色方法；综上，一共有4×3×2×(1+2)=72种着色方法；故答案为：7213．90【分析】一共有3个奇数，故只能是3个奇数加1个偶数，分类讨论该偶数是不是为0.【详解】一共有3个奇数，故只能是3个奇数加1个偶数.当该偶数不为0时，则有1434C A 72=种；当该偶数为0时，0不能作为首位，则有1333C A 18=种；故共有721890+=种.故答案为：90.14．6091【分析】分别求出事件B 和事件AB 所包含的基本事件的个数，再根据条件概率公式求解即可.【详解】解：投掷3枚骰子，3枚骰子向上的点数共有36216=种情况，其中3枚骰子向上的点数没有一个3点的有35125=种，则3枚骰子向上的点数中至少有一个3点有21612591-=种，即()91n B =，3枚骰子向上的点数中至少有一个3点且3枚骰子向上的点数各不相同有1235C A 60=种，即()60n AB =，所以()6091P A B =.故答案为：6091.15．(1)45(2)分布列见解析，1【分析】（1）根据对立事件的概率和为1得，之需求两人来自同一性别即可.(2)此分布为超几何分布，对应的概率为()32436C C C k kP k ξ-==.【详解】（1）3个人来自于两个不同专业的概率为3436C 41C 5-=（2）ξ可能取的值为0，1，2.()32436C C C k k P k ξ-==，0,1,2k =.∴ξ的分布列为ξ012P153515∴ξ的数学期望为1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=16．(1)答案见解析(2)可以，有97.5%的把握【分析】（1）直接根据题意即可完成表格；（2）计算得出2 6.109k ≈，根据独立性检验思想即可得结果.【详解】（1）成绩合格不合格合计性别男性451055女性302050合计7530105（2）假设0H ：性别与考试是否合格无关，()2210545203010 6.10975305550k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.若0H 成立，()25.2040.025P k ≥=，∵2 6.109 5.204k ≈≥，∴有97.5%的把握认为性别与考试是否合格有关.17．(1)24(2)256(3)144(4)8【分析】（1）4个球全放4个盒中，没有空盒则全排列即可求得.（2）有4个球，每个球有4种放法，此时随意放，盒子可以空也可以全用完.（3）恰有一个空盒，说明另外三个盒子都有球，而球共四个，必然有一个盒子中放了两个球.(4)恰有一个小球放入自己编号的盒中,选定从四盒四球中选定标号相同得球和盒，另外三球三盒不能对应共两种.【详解】（1）没有空盒子的方法：4个球全放4个盒中，没有空盒则全排列共44A 24=种；（2）可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法共44256=种；（3）恰有一个空盒子，说明另外三个盒子都有球，而球共四个，必然有一个盒子中放了两个球，先将四盒中选一个作为空盒，再将四球中选出两球绑在一起，再排列共123443C C A 144=种；（4）恰有一个小球放入自己编号的盒中,选定从四盒四球中选定标号相同得球和盒，另外三球三盒不能对应共两种，则共14C 28⋅=种.18．（I ）10n =；（II ）11024；（III ）有理项分别为23454T x =，6638T =-；2945256T x -=⋅.【分析】()1在二项展开式的第六项的通项公式1055361()2n n T C x -=⋅-⋅中，令x 的幂指数等于0，求出n 的值；()2在二项展开式中，令1x =，可得展开式的所有项的系数之和；()3二项式()*n n N ∈的展开式的通项公式为10231101()2r r r r T C x -+=⋅-⋅，令1023r -为整数，可求出r 的值，即可求得展开式中所有的有理项．【详解】()1在()*n n N ∈的展开式中，第6项为1055361(2n n T C x -=⋅-⋅为常数项，1003n -∴=，10n ∴=．()2在()*10)n n N ∈=的展开式中，令1x =，可得展开式的所有项的系数之和为1011(1)21024-=．()3二项式()*n n N ∈的展开式的通项公式为10231101()2r r r r T C x -+=⋅-⋅，令1023r -为整数，可得2r =，5，8，故有理项分别为22231014544T C x x =⋅⋅=，50610163328T C x ⎛⎫=⋅-⋅=- ⎪⎝⎭；8822910145(2256T C x x --=⋅-⋅=⋅．【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.19．（1）分布列见解析，1.5；（2）1927；（3）124.【分析】(1)ξ的可能取值为0,1,2,3，根据独立事件概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得ξ的数学期望；(2)根据独立事件与对立事件的概率公式求解即可；(3)根据互斥事件的概率公式以及独立事件的概率公式求解即可.【详解】(1)ξ的概率分布列为ξ0123P()E ξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.5或()E ξ＝3×＝1.5.(2)乙至多击中目标2次的概率为1－C ()3＝.(3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A ，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B 1，甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次为事件B 2，则A ＝B 1＋B 2，B 1、B 2为互斥事件，P (A )＝P (B 1)＋P (B 2)＝×＋×＝.20．(1)925(2)分布列见解析，116【分析】对于（1），因两人竞聘成功相互独立，算出一人竞聘成功概率即可.而一人竞聘成功概率，相当于从6道题中至少抽中3道会做题的概率；对于（2），由题意可知通过的总人数可能为3，2，1，0.又甲，乙，丙竞聘成功相互独立，结合题目条件可分别算得人数为3，2，1，0的概率，即可得答案.【详解】（1）设参加C 组测试的每个人竞聘成功为A 事件，则()43144246C C C 183C 155P A ++===又两人竞聘成功相互独立，故丁、戊都竞聘成功的概率等于3395525⨯=（2）由题意可知ξ可取0，1，2，3，又3人竞聘成功相互独立，则()21210112318P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221121512113323218P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()22112182213323218P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()221433218P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，故ξ的分布列为：ξ0123P 118518818418所以()15843311 0123 181********E=⨯+⨯+⨯+⨯==ξ.。
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2015级高二（下）数学周考试题（5）
1．过椭圆1422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于B A ,两点，则B A ,与椭圆的另一个焦点F 2构成
2ABF ∆的周长是( )A ．2 B ．4 C.
D ．
2． 设12F F 是椭圆2
2
2
2:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =
上一点，
21F PF ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）
(A)12
(B)23
(C)34
(D)45
3．若椭圆2
2
1369
x
y +=的弦被点()4,2平分，则此弦所在直线的斜率为（ ）
A ．2
B ．-2
C ．13
D ．12
-
4．若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为（ ）
A. B.
C. D.
5．点(,)P x y 在2
2
11612
x
y +=上，则2x y +的最大值（ ）A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 6过(1,1)的直线l 与2
213
y x -
=有且仅有一个公共点直线有（）条A4 B3 C2 D1
7．已知O 为坐标原点，F 是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的
左，右顶点．P 为C 上一点，且PF
x
⊥轴过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于
点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）
A ．13
B ．12
C ．23
D ．34
8．双曲线()2
2
2
210,0x y a b a b
-=>>，过1F 的直线l 与双曲线交于,A B ，若2ABF ∆为等
边三角形，则渐近线的斜率为（ ）A ． B ．2± C. D ．
9.椭圆（）, 为直线上点，的垂直平分线恰好
过点，则椭圆的离心率的取值范围（ ）A B. C D.
10．设1F ，2F 分别为双曲线()2
2
2
210,0x y a b a
b
-
=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得123PF PF b +=，1294
PF PF ab ∙=，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．43
B ．53
C ．94
D ．3
11．已知椭圆2
212516
x
y +=上的点M 到左焦点1F 的距离为3，N 为1MF 的中点，O 为坐
标原点，则||ON =__________.
12．过点11,2
（）
作圆221x y +=的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好经过椭圆 22
22
10x y a b a b +=>>（）
的右焦点和上顶点，则该椭圆的标准方程为
的轨迹为E ．（Ⅰ）求轨迹E 的方程；（Ⅱ）设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且|AC|=|CB|，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程．
2015级高二（下）数学周考试题（5）参考答案 1．B2．C3．D4．B 5．D
设
(4cos ,)24cos 8sin()6
P x y π
ααααα⇒+=+=+
⇒
2x y
+的最大值
21
(,0),(,)(0,)33
b b b b B a M
c G a c e
c -⇒⇒=⇒=⇒=,故选
A.
8．C 由已知212BF BF a -=，122AF AF a -=，又2ABF ∆为等边三角形，所以121AF AF BF -=
2a
=，所以24BF =.在12AF F ∆中，16AF a =，24AF a =，122F F c =，
x。