高二数学周测一试题及答案
高二数学上立体几何周测
高二数学上 周测一、 选择题(每小题5分，共50分)1．三个互不重合的平面能把空间分成n 部分，则n 所有可能值为 （ ）A ．4、6、8B ．4、6、7、8C ．4、6、7D ．4、5、7、82．已知三个球的体积之比为1:8:27,则它们的表面积之比为 （ ） A ．1:2:3 B ．1:4:9 C ．2:3:4 D ．1:8:27 3．3.如图,正方体1111A B C D A B C D -中,E ,F 分别为棱AB ,1C C 的中点,在平面11AD D A 内且与平面1D E F 平行的直线（ ） A .有无数条 B ．有2条C ．有1条D ．不存在4．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点P 是平面ABC 外一点，PA ＝PB ＝PC ，AC ＝12，P 到平面ABC 的距离为8，则P 到BC 的距离为 （ ）A ． 6B ． 8C ． 10D ． 125．直平行六面体的底面是菱形，一个底面面积为4，两个对角面面积分别为5和6，那么它的体积为 （ ）A ．302B ．30C ．152D ． 1546．6.两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长 为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个7．如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1， S 2，则必有（ ）A ．S 1<S 2B ．S 1>S 2ABCDA 1B 1C 1D 1EFDBAOEFC ．S 1=S 2D ．S 1，S 2的大小关系不能确定8．如果//αβ,AB 和CD 是夹在平面α、β之间的两条线段，AB ⊥CD ，且AB ＝2，直线AB与平面α成300角，那么线段CD 的取值范围是 （ ）A .⎪⎪⎭⎫⎝⎛334,332 B .[)+∞,1 C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡332,1 D .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,3329．设球O 的半径是1，A 、B 、C 是球面上三点，已知A 到B 、C 两点的 球面距离都是2π，且二面角B-OA-C 的大小是3π，则从A 点沿球面经B 、C 两点再回到A 点的最短距离是 (A)67π (B)45π (C )34π (D)23π10、如图，1l、2l是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段。
泸溪一中高二数学(文)周测试题(1)
泸溪一中高二数学（文）周测试题（1）姓名： 得分：一．选择题1．点()3,1-P ，则它的极坐标是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π2．复数3＋2i2－3i ＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i3、已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程y ＝b ^x ＋a^必过( )A ．(2,2)点B ．(1.5,0)点C ．(1,2)点D ．(1.5,4)点4. 已知双曲线2218x y a -=的一条渐近线为x y 2=，则实数a 的值为（ ）A ．16B ．8C ．4D ．2 5. 函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x 的单调增区间为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)6. “62<<m ”是“方程16222=-+-my m x 为椭圆方程”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件7. 将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 8. 若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =( ) A ． 1 B ．0 C ．－1 D ．29. 若圆的方程为⎩⎨⎧+=+-=θθsin 23cos 21y x （θ为参数），直线的方程为⎩⎨⎧-=-=1612t y t x （t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ）。
A. 相交过圆心B.相交而不过圆心C.相切D.相离二．填空题10. “若2x >”是“24x >”成立的 条件11. 观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想：第n (n ∈N ＋)个等式应为 ．12．在同一平面直角坐标系中，直线22=-y x 变成直线42='-'y x 的伸缩变换是 。
高二数学上学期十月份周测
高二数学阶段性质量检测 2011.10.13本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，共150分，考试时间120分钟。
第一卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每个小题都有四个选项，其中，只有一个选项正确，请将正确选项的题号涂在答题卡的相应位置上，答对一个小题得5分） 1、数列1234,,,,355779911--⨯⨯⨯⨯ 的通项为（ ）A . ()()()1112123n n n +-++ B . ()()()112123n nn n +-++C . ()()()112123nn n -++ D . ()()()12123nnn n -++2、甲、乙两人同时从A 到B 。
甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步。
如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（ ） Ａ．甲先到B Ｂ．乙先到BＣ．两人同时到B Ｄ．谁先到无法确定3、已知, , a b c 满足c b a <<，且0a c <，那么下列选项中一定成立的是（ ）A . ab ac >B . ()0c b a -<C . 22cb ab < D . ()0ac a c ->4、在⊿ABC 中，已知A=60°， a b ==，则∠B 的度数是（ ）A . 45°或135°B . 135°C . 45°D . 75°5、下列结论正确的是（ ） A ．当x>0且x ≠1时，lgx+xlg 1≥2 B ．当x>0时，x +x1≥2C ．当x ≥2时，x ＋x1 ≥2 D ．当0<x ≤2时，x －x1无最大值6、等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项的和分别记为n A 、n B ，若231n nA nB n =+，则1010a b 等于（ ）A . 1B . 23C . 1929D . 20317、已知⊿ABC 中，222sin sin sin A B C =+且cos cos 0b B c C ⋅-⋅=，则⊿ABC 为（ ） A . 直角三角形 B . 等腰三角形C . 等腰直角三角形D . 等边三角形8、在等差数列{}n a 中，公差1d =，98137s =，则24698a a a a ++++ 等于（ ）A . 91B . 92C . 93D . 949、如果满足 60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ）A ．38=kB ．120≤<kC ．12≥kD ．120≤<k 或38=k10、设数列{}n a 的通项公式为()27n a n n N +=-∈，则1215a a a +++ 等于（ ）A . 139B . 153C . 144D . 17811、在⊿ABC 中，∠A=60°，AB=2，且⊿ABC 2，则BC 边的长为（ ）A .B . 3C .D . 712、若}{n a 是等差数列，首项01>a ，020082007>+a a ，020082007<⋅a a ，则使数列}{n a 的前n 项和n S 为正数的最大自然数n 是（ ）A.4013B. 4014C. 4015D. 4016第二卷（共90分）二、填空题（本大题共4个小题，请将正确答案填在横线上，每个小题4分，满分共16分） 13、设0≠x ，则函数1)1(2-+=xx y 在x =________时，有最小值__________。
高二数学下学期周练一
2012-2013学年度高二年级第二学期周练(一)理 科一、填空题：（本大题共10题，每小题5分，共50分）1.12(3x 展开式中1x -的项的系数为 . （用数字作答）2.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为__________.3.若n的展开式中各项系数之和为64，则展开式中的常数项为 . 4.从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为 .5.821(12)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）6.8名同学排成前后两排，每排4人.如果甲、乙两同学必须排在前排，丙同学必须排在后排，那么不同的排法共有_____________种(用数字作答)． 7.若n ∈N *，且n 为奇数，则6n +C n 16n-1+…+C n n-16-1被8除所得的余数是 。
8.甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人中至少有一人达标的概率是 .9.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 . （用数字作答）10.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有 种（用数字作答）. 二、解答题：（本大题共8题，共110分） 11.求8展开式中的所有的有理项.12.已知()()nmx x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含2x 项的系数最小值13.某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留最简分数）：（1）5次预报中恰有2次准确的概率； （2）5次预报中至少有2次准确的概率；（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率.14.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现在从甲、乙两个盒内各任取2个球. (I)求取出的4个球均为黑色球的概率；(II)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(III)设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望.15.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望3E ξ=，标准差V ξ（Ⅰ）求n ,p 的值并写出ξ的分布列；（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率.16.将编号为1、2、3、4的四个小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，求满足下列条件的放法分别有多少种？(1)每个小球可任意放入其中的一个盒子里；(2)每盒至多放入一球；(3)恰好有一个空盒；(4)每个盒内放一个求，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同；(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，且恰有一个空盒；(6) 把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数．17.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的.（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望. 18.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家、杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.下图是一个11阶杨辉三角：（1）求第20行中从左到右的第4个数；（2）若第n行中从左到右第14与第15个数的比为32，求n的值；（3）求n阶（包括0阶）杨辉三角的所有数的和；（4）在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35.显然，1+3+6+10+15=35.事实上，一般地有这样的结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数.试用含有m、k),(*Nkm∈的数学公式表示上述结论，并给予证明.。
2022-2023学年吉林省长春市高二下学期基础教育质量监测能力抽测数学试题【含答案】
2022-2023学年吉林省长春市高二下学期基础教育质量监测能力抽测数学试题一、单选题1．已知复数(其中i 是虚数单位)，则z 在复平面内对应的点的坐标是（ ）1i iz +=A ．(1，1)B ．(1，-1)C ．(-1，1)D ．(-1，-1)【答案】B【分析】利用复数的除法求得复数，然后利用几何意义求得z 在复平面内对应的点的坐标.z 【详解】复数，1i i z +=()21i i 1ii +==-则z 在复平面内对应的点的坐标是(1，-1)，故选：B.2．幂函数的图象过点，则（ ）()f x x α=12⎛ ⎝(2)f =AB ．C ．D212【答案】A【解析】先求得，然后求得的值.α()2f 【详解】由于幂函数的图象过点，所以，()f x x α=12⎛ ⎝12111222αα⎛⎫⎛⎫==⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，所以()12f x x=()1222f ==故选：A3．下列函数定义域为且在定义域内单调递增的是 ()0,∞+()A ．B ．C ．D ．xy e=1πy log x=-y =12y log x=【答案】B【分析】根据题意，依次分析选项中函数的定义域以及单调性，即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，，为指数函数，其定义域为R ，不符合题意；xy e =对于B ，，为对数函数，定义域为且在定义域内单调递增，符合题意；1ππy log x log x=-=()0,∞+对于C ，，不符合题意；y =[)0,∞+对于D ，，为对数函数，定义域为且在定义域内单调递减，不符合题意；12y log x=()0,∞+故选B ．【点睛】本题考查函数的定义域以及单调性的判定，涉及对数函数的性质，属于基础题．4．若集合，，则下列结论正确的是（ ）{}21A x x =-<{}(1)(4)0B x x x =--≥A ．B ．C ．D ．A B ⋂=∅A B =R A B ⊆R B A⊆ 【答案】A【分析】解不等式求得集合A 、B ，然后逐一验证所给选项即可．【详解】，{}{}{}2112113A x x x x x x =-<=-<-<=<<，，{}{}(1)(4)014B x x x x x x =--≥=≤≥或{}R14B x x =<< ，选项A 正确；A B ⋂=∅，选项B 错误；{}34A B x x x ⋃=<≥或不是的子集，选项C 错误；A B ，选项D 错误．R A B⊆ 故选：A ．5．为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体，该项目由长方形核心喷泉区（阴影部分）和四周绿化带组成.规1111D C B A ABCD 划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为和（如图所示）.当整个项目占地ABCD 21000m 2m 5m 面积最小时，则核心喷泉区的长度为（ ）1111D C B A BCA ．B ．C ．D ．20m 50m 100m【答案】B【解析】设，得到的值，进而求得矩形面积的表达式，利用基本不等式求得面BC x =CD 1111D C B A 积的最小值，，而根据基本不等式等号成立的条件求得此时的长.BC【详解】设，则，所以BC x =1000CD x =11111000(10)(4)A B C D S x x=++，100001040(4x x =++10401440≥+=当且仅当，即时，取“”号，100004x x =50x ==所以当时，最小．50x =1111A B C D S 故选:B ．【点睛】本小题主要考查矩形面积的最小值的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.6．将函数的图象向右平移单位后，所得图象对应的函数解析式为（ ）24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12πA ．B ．5212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭5212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．D ．212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】先将函数中x 换为x-后化简即可.24y x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭12π【详解】化解为2(124y x ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选D【点睛】本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将x 按要求变换.7．设是直线，是两个不同的平面，那么下列判断正确的是（ ）l αβ､A ．若，则.B ．若，则.,∥∥l l αβαβ∥,l l αβ⊥∥αβ⊥C ．若，则.D ．若，则.,l αβα⊥⊥l β ,l αβα⊥∥l β 【答案】B【分析】根据各选项中线面、面面的位置关系，结合平面的基本性质判断线面、面面关系即可.【详解】对于A ，若，，则可能平行、相交，A 错误；//l αl //β,αβ对于B ，若，过的平面且，则，而即，又，则，B //l αl γm γα= //l m l β⊥m β⊥m α⊂αβ⊥正确；对于C ，若，，则或，C 错误；αβ⊥l α⊥l //βl β⊂对于D ，若，，则或或线面相交，D 错误.αβ⊥//l αl //βl β⊂故选：B 8．已知向量，，则下列说法正确的是（ ）()2,1a =()3,1b =-A ．B ．向量在向量上的投影向量是//a ba bC ．D ．与向量方向相同的单位向量是24a b += a【答案】D【分析】利用向量平行的坐标表示判断A ；根据投影向量定义求向量在向量上的投影向量判断a bB ；应用向量数量积运算律求判断C ；由单位向量定义求与向量方向相同的单位向量判断2a b+ a D.【详解】A ：由，故不成立，错；211(3)⨯≠⨯-//a bB ：由，错；1||cos ,2||||||b a b b a a b bb b b ⋅⋅=⋅=-C ：，则，错；2222445204025a b a a b b +=+⋅+=-+=25a b += D ：与向量方向相同的单位向量是，对.a||a a = 故选：D9．如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，则下列结论正确的是A ．PB ⊥ADB ．平面PAB ⊥平面PBC C ．直线BC ∥平面PAED ．直线CD ⊥平面PAC【答案】D【分析】由题意，分别根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可得到答案.【详解】因为AD 与PB 在平面ABC 内的射影AB 不垂直，所以A 答案不正确．过点A 作PB 的垂线，垂足为H ，若平面PAB ⊥平面PBC ，则AH ⊥平面PBC ，所以AH ⊥BC.又PA ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAB ，则BC ⊥AB ，这与底面是正六边形不符，所以B 答案不正确．若直线BC ∥平面PAE ，则BC ∥AE ，但BC 与AE 相交，所以C 答案不正确．故选D.【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．10．已知函数若方程f （x ）=m 有4个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4，且()()22log 113816,3x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则（）（x 3+x 4）=（ ）1211+x x A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【分析】画出f （x ）的图象，由对称性可得x 3+x 4＝8，对数的运算性质可得x 1x 2＝x 1+x 2，代入要求的式子，可得所求值．【详解】作出函数f （x ）的图象如图，()221138163log x x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+⎪⎩，＜，＞f （x ）＝m 有四个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，可得x 3+x 4＝8，且|log 2（x 1﹣1）|＝|log 2（x 2﹣1）|，即为log 2（x 1﹣1）+log 2（x 2﹣1）＝0，即有（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝1，即为x 1x 2＝x 1+x 2，可得（）（x 3+x 4）＝x 3+x 4＝8．1211x x +故选C ．【点睛】本题考查分段函数的图象和应用，考查图象的对称性和对数的运算性质，属于中档题．二、填空题11．求值:______．sin 75cos 75︒⋅︒=【答案】.14【详解】分析：直接应用正弦函数的二倍角公式即可.详解： sin75cos75︒⋅︒=011sin150.24=故答案为.14点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．一般，，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知sin cos sin cos αααα+-，sin *cos αα22sin cos 1αα+=一求三.12．有一道数学难题，在半小时内，甲、乙能解决的概率都是，丙能解决的概率是，若3人试1213图独立地在半小时内解决该难题，则该难题得到解决的概率为___．【答案】56【分析】根据独立事件的乘法公式和概率的性质求解.【详解】设“在半小时内，甲、乙、丙能解决该难题”分别为事件A ，B ，C ，“在半小时内解该难题得到解决”为事件D ，则，，，表示事件“在半小时内没有解决该难题”，1()()2P A P B ==1()3P C =D A B C = D ，D ABC =所以，1121()()(((2236P D P ABC P A P B P C ====；5()1(6P D P D =-=故答案为：.5613，则这个圆锥的外接球体积为______________．【答案】【分析】由圆锥的侧面积得出圆锥的底面半径，设出球的半径，根据题意得出关系式求出球的半径，进而得出球的体积．【详解】解：设圆锥的底面半径为，r ，侧面积，解得，r=r =所以，圆锥的高h =设球半径为R ，球心为，其过圆锥的轴截面如图所示，O 由题意可得，，即，解得222()R h R r-+=22)3R R +=R =所以，．34R 3V π==故答案为：．三、双空题14．直线：截圆的弦为，则的最小值为l 10mx y -+=224640x y xy ++-+=MN MN __________，此时的值为__________．m 【答案】21【分析】设圆心到直线的距离为，则l dd然后由MN =MN ==进而利用均值不等式可求解【详解】可化简为，224640xy x y ++-+=22(2)(3)9x y ++-=设圆心到直线的距离为，则l d dMN====，当时，有最小值，当时，没===m>MNm<MN有最小值，所以，当且仅当时，等号成立，此时，1=mm1m=故答案为：①2；②1【点睛】关键点睛：解题关键在于求出MN==答案，属于中档题四、解答题15．某校对100名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成五组，得到如图所示频率分布直方图.[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100](1)求图中a的值；(2)估计该校高一学生这次数学成绩的众数和平均数；(3)估计该校高一学生这次数学成绩的75%分位数.【答案】(1)0.01a=(2)众数为，平均数为7575.5(3)84【分析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解；可得，()0.020.0250.035101a a++++⨯=（2）根据频率分布直方图的中众数的概念和平均数的计算公式，即可求解；（3）因为50到80的频率和为0.65，50到90的频率和为0.9，结合百分数的计算方法，即可求解.【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得，()0.020.0250.035101a a ++++⨯=解得.0.01a =（2）解：根据频率分布直方图的中众数的概念，可得众数为，75平均数为.0.1550.2650.35750.25850.19575.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（3）解：因为50到80的频率和为0.65，50到90的频率和为0.9，所以75%分位数为.0.75(0.10.20.35)8010840.25-+++⨯=16．在中，ABC222.b c a +=（1）求的值；cos A （2）若，，求的值.2B A=b =a 【答案】（1）2）.cos A =2【分析】（1）利用余弦定理可求得的值；cos A （2）利用二倍角的正弦公式求出的值，然后利用正弦定理可求得的值.sin B a 【详解】（1）因为在中，，所以，ABC 222b c a +=222c 2os b ca A cb =+=-=（2）由（1）知，，所以02A π<<sin A ==因为，所以2B A=sin sin 22sin cos 2B A A A ====又因为，由正弦定理，可得B =sin sin a bA B =sin 2.sin b Aa B===17．设为奇函数，a 为常数．131()log 1axf x x -=-（1）求a 的值．（2）若，不等式恒成立，求实数m 的取值范围．[2,4]x ∀∈1()3xf x x m⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2）.1a =-89m <【解析】（1）由奇函数的性质，代入运算后可得，代入验证即可得解；()()0f x f x -+=1a =±（2）转化条件为对于恒成立，令131log 113xx x m x +<⎛⎫- ⎝+⎪⎭-[2,4]x ∀∈，结合函数的单调性求得即可得解.()[]131log ,2,4113xx g x x x x ⎛⎫-+=+⎝⎭∈- ⎪()min g x 【详解】（1）因为为奇函数，131()log 1axf x x -=-则1113331111()()log log log 1111ax ax ax ax f x f x x x x x +-⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()21231log 01ax x -==-则，所以即，()22111ax x -=-21a =1a =±当时，，不合题意；1a =()11331()log log 11xf x x -==--当时，，由可得或，满足题意；1a =-131()log 1x f x x +=-101xx +>-1x >1x <-故；1a =-（2）由可得，1()3xf x x m⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭131log 113xx x m x ⎛⎫>+ +⎪⎭+⎝-则对于恒成立，131log 113xx x m x +<⎛⎫- ⎝+⎪⎭-[2,4]x ∀∈令，()[]131log ,2,4113xx g x x x x ⎛⎫-+=+⎝⎭∈- ⎪因为函数在上单调递减，12111x y x x +==+--[2,4]所以函数在上单调递增，131log 1xy x +=-[2,4]所以在上单调递增，所以，()g x [2,4]()()1min 32log 182993g x g -===+所以.89m <【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将恒成立问题转化为求函数的最值.18．如图，在正方体中，棱长为2.1111ABCD A B C D -（1）证明：；1AC BD ⊥（2）求二面角的平面角的余弦值.1D AC B --【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）连结交于点O ，证明平面，利用线面垂直的性质定理即可证明BD AC AC ⊥1BDD ；1AC BD ⊥（2）连结，证明是二面角的平面角.利用由余弦定理求出的111AD CD OD 、、1BOD ∠1D AC B --1BOD ∠大小即可.【详解】（1）连结交于点O ，在正方形中，，BD AC ABCD AC BD ⊥平面，平面，1DD ⊥ ABCD AC ⊂ABCD ，，，平面，1AC DD ∴⊥1DD BD D = 1DD BD ⊂1BDD 平面，又平面，.AC ∴⊥1BDD 1BD ⊂ 1BDD 1AC BD ∴⊥（2）连结.111AD CD OD 、、在正方体中，，O 是线段的中点，，1111ABCD A B C D -11AD CD =AC 1D O AC ⊥在中，，，ABC AB BC =BO AC ⊥是二面角的平面角.1BOD ∴∠1D AC B --在中，1BOD △2BD BO ====1BD ===1OD ===由余弦定理得:1cos BOD ∴∠==即二面角的平面角的余弦值为1D AC B --。
高二数学第一次周练
高二数学第一次周练卷考试时间：120分钟 审题人：高二数学组第I 卷（选择题）一、选择题1．已知{|24}A x Z x =∈-<<，则()R A C B 的元素个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．在等差数列{}n a 中，210,a a 是方程2270x x --=的两根，则6a 等于（ ）． A3．已知关于x 的方程0cos )cos (2=+-B a x A b x 的两根之积等于两根之和，且边ba ,为ABC∆的两内角B A ,所对的边，则ABC ∆是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形4．已知向量a ，b满足：b 在a 上的投影长度的取值范围是（ ）A5．执行如图所示的程序框图，若输入的{1,2,3}n ∈，则输出的s 属于（ ）A ．{1,2}B ．{1,3}C ．{2,3}D ．{1,3,9}6）7．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边，且（b －c ）（sinB ＋ sinC ）＝（a ） ·sinA，则角B 的大小为（ ） A. 300B. 450C. 600D 、 12008．若{}n b 为等差数列，244,8.b b ==数列{}n a 满足*111,(),n n n a b a a n N +==-∈则8a =（ ）A.56B.57C.72D.73 9．如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东60°方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B 处时，发现北偏西45°方向有一艘船C ，若船C 位于A 的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B 处与船C 的距离是( )A ．．C ．．10．已知数列满足，则等于( )11．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）A ．12B ．4C12．向边长分别为5，6M ，则该点M 与三角形三个顶点距离都大于1的概率为（ ）第II 卷（非选择题）二、填空题13．函数k x f x g -=)()(有三个不同的零点，则实数k的取值范围是_________．14．若,x y R ∈，且1230x x y y x≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则1-x y 的取值范围是_______．15．已知等差数列}{n a 中，，那么=+)cos(53a a ． 16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若b 为a 与c 的等差中项，30,B = ABC ∆的面积为，则b =_________． 三、解答题17．（10 （1（218．（12分）已知△ABC 的三个内角A B C ,,所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a c b a =+-r，(,)n a c b =-r ，且m n ⊥r r ．（1（2，判断△ABC 的形状．19．（12分）已知数列{}a n 的通项公式为()1091nnnn a +=，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最大，最大项是多少？若没有，说明理由。
2024-2025学年上海华二附中高二上学期数学周测试卷及答案(2024.09)
1华二附中2024学年第一学期高二年级数学测试2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.直线l 上存在两点在平面α上，则l α(填一符号). 2.函数324y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的圆频率是 .3.已知{}n a 是等差数列,若75230a a −−=,则9a 的值是 .4.两条异面直线所成角的取值范围是 .5.已知复数z a i =−的实部与虚部相等,则z i −= .6.函数213y tan x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭的对称中心是 .7.三个互不重合的平面能把空间分成 . 8.数列{}n a 满足1111,12n n a a a +==−,则2024a = . 9.在ABC ∆中,::5:7:8sinA sinB sinC =,则该三角形外接圆与内切圆的面积之比是 . 10.如图,摩天轮的半径为50m,圆心O 距地面的高度为60m.已知摩天轮按逆时针方向匀速转动,每15min 转动一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱.则游客进舱5min 时他距离地面的高度为 m.11.已知ABC ∆中,过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边,AB AC 于,M N 两点,设,(0,0)AM x AB AN yAC x y ==>>,则4x y +的最小值为 .12.对任意0,4π⎡⎤ϕ∈⎢⎥⎣⎦,函数()()f x sin x =ω+ϕ在区间2,π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上单调递增,则实数ω的取值范围是 .2二、选择题（本大题共有4题,满分18分,第13,14题每题4分,第15,16题每题5分） 13.设扇形的圆心角为α,半径为r ,弧长为l ,而积为S,周长为L ,则下列说法不正确的 是（ ）.A.若,r α确定,则,L S 唯一确定B.若,l α确定,则L S 唯一确定C.若,S L 确定，则,r α唯一确定D.若,1S 确定,则,r α唯一确定14.过正方体1111ABCD A B C D −的顶点A 作直线l ,使l 与棱1,,AB AD AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作（ ）.A.1条B.2条C.3条D.4条15.数列{}{},n n a b 满足21,32n n n a b a n n ⋅==++,则{}n b 的前10项之和等于（ ）. A.13 B.512 C.12 D.712 16.如图所示,角02x ,π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的终边与单位圆O 交于点(),10,P A ,PM x ⊥轴,AQ x ⊥轴,M 在x 轴上，Q 在角x 的终边上.由正弦函数、正切函数定义可知，sin ,tan x x 的值别等于线段,MP AQ 的长，且ΔOAP ΔOAQ OAP S S S <<扇形，则下列结论不正确的是（ ）. A.函数y tanx sinx x =++在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1个零点B.函数y tanx x =−在32222,,ππππ⎛⎫⎛⎫−⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内有2个零点C.函数y sinx x =−有3个零点D.函数y tanx sinx tanx sinx =+−−在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有13三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题, 17.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 已知3,052sin ,π⎛⎫α=α∈ ⎪⎝⎭. （1）求23sin π⎛⎫α+ ⎪⎝⎭的值;（2）在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边，已知角β的终边与角α的终边关于y 轴对称,求()cos α+β的值.18.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)如图所示,在长方体1111ABCD A B C D −中,2AB BC ==,14,AA P =为线段11B D 上一点. (1)求证:AC BP ⊥;(2)当P 为线段11B D 的中点时,求点A 到平面PBC 的距离.419.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)在直角梯形ABCD 中,//,90,224AB CD DAB AB AD DC ∠====,点F 是BC 边上的中点. (1)若点E 满足2DE EC =,且EF AB AD =λ+μ,求λ+μ的值; (2)若点P 是线段AF 上的动点(含端点),求AP DP ⋅的取值范围.20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 如图，正方体的棱长为1,''B C BC O ⋂=，求： (1)AO 与''A C 所成角的度数; (2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值; (3)B OA C −−的度数.521.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 若有穷数列{}n a 满足:10ni i a ==∑且11ni i a ==∑，则称其为"n 阶01−数列".（1）若"6穷01−数列"为等比数列,写出该数列的各项;（2）若某"21k +阶01−数列"为等差数列,求该数列的通项(121n a n k ≤≤+,用,n k 表示)； （3）记"n 阶01−数列"{}n a 的前k 项和为()123k S k ,,,,n =,若存在{}123m ,,,,n ∈,使12m S =,试问:数列{}()123i S i ,,,,n =能否为"n 阶01−数列"?若能,求出所有这样的数列{}n a ；若不能,请说明理由.6参考答案一、填空题1.⊂;2.2;3.3;4.0,2π⎛⎤⎥⎝⎦;5. 6.,1,46k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭; 7.4678或或或; 8.2; 9.499; 10.85； 11.94 12.13042,⎛⎤⎧⎫⋃−⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭11.已知ABC ∆中,过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边,AB AC 于,M N 两点,设,(0,0)AM x AB AN yAC x y ==>>,则4x y +的最小值为 . 【答案】94 【解析】()12AD AB AC =+,且E 为AD 的中点,()1124AE AD AB AC ∴==+,11,,(0,0),AM x AB AN y AC x y AB AM AC AN x y==>>∴==,,,M E N 三点共线,11144x y∴+=, ()1111944111444444y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=+++++= ⎪⎝⎭…故答案为:94 12.对任意0,4π⎡⎤ϕ∈⎢⎥⎣⎦,函数()()f x sin x =ω+ϕ在区间2,π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上单调递增,则实数ω的取值范围是 . 【答案】13042,⎛⎤⎧⎫⋃−⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭【解析】对任意0,4π⎡⎤ϕ∈⎢⎥⎣⎦,函数()()f x sin x =ω+ϕ在区间2,π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上单调递增,12,222ππ∴⨯π−∴ωω厔 ①0ω>时,此时,()02,y sin x <ω=ω+ϕ…单调递增,可得222,22k k Z k ππω+ϕ≥−+π∈ππω+ϕ≤π⎧⎪⎪⎨⎪⎩+⎪,则22222k k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪ππϕ≥π−−ωπϕ≤+−ω⎩ππ71120,,24441kk ⎧ω≤−+π⎪⎡⎤ϕ∈∴⎨⎢⎥⎣⎦⎪ω≥−⎩当0k =时，可得104<ω≤； ②0ω<时,此时,20−ω<…,()y sin x =ω+ϕ单调递增, 即()y sin x =−−ω−ϕ在区间2,π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上单调递减；可得222322,k k Z k ππ−ω−ϕ≥+ππ−πω−ϕ≤π⎧⎪⎪∈⎨⎪+⎪⎩,则222322k k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪ππϕ≤−π−ω−πϕ≥π−πω⎩−− 14120,,3422k k ⎧ω≤−−−⎪π⎪⎡⎤ϕ∈∴⎨⎢⎥⎣⎦⎪ω≥−−⎪⎩当0k =时，可得32ω=−； 综上,则实数ω的取值范围是13042,⎛⎤⎧⎫⋃−⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.二、选择题13.C 14.D 15.B 16.C15.数列{}{},n n a b 满足21,32n n n a b a n n ⋅==++,则{}n b 的前10项之和等于（ ）. A.13 B.512 C.12D.712 【答案】B【解析】由题意得()()12,n a n n =++()()11112112n n b a n n n n ===−++++1210b b b ∴++⋯⋯+11111123341112=−+−+⋯⋯+−11521212=−= 综上所述,答案选择:B16.如图所示,角02x ,π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的终边与单位圆O 交于点(),10,P A ,PM x ⊥轴,AQ x ⊥轴,M 在x 轴上，Q 在角x 的终边上.由正弦函数、正切函数定义可知，sin ,tan x x 的值别等于线段,MP AQ 的长，且ΔOAP ΔOAQ OAP S S S <<扇形，则下列结论不正确的是（ ）.8A.函数y tanx sinx x =++在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1个零点B.函数y tanx x =−在32222,,ππππ⎛⎫⎛⎫−⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内有2个零点C.函数y sinx x =−有3个零点D.函数y tanx sinx tanx sinx =+−−在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1【答案】C【解析】对于选项A ,函数()g x y tanx sinx x ==++在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭为增函数,又()00g =,即函数y tanx sinx x =++在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1个零点,即选项A 正确;对于选项B ,函数()f x y tanx x ==−,则()21'1f x cos x =−,则函数在3,2222,,ππππ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为减函数,又()3300,0,042f f f ππ⎛⎫⎛⎫=<> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即函数在3,2222,,ππππ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭各有一个零点, 即函数y tanx x =−在32222,,ππππ⎛⎫⎛⎫−⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内有2个零点,即选项B 正确;对于选项C ,因为y sinx x =−,则'10y cosx =−…,即函数为减函数, 又当0x =时,0y =,即函数y sinx x =−有1个零点,即选项C 错误；对于选项D,当02x ,π⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时,sin tanx x <,即2y tanx =,显然无零点,当02x ,π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,sin tanx x >,即2y sinx =,显然无零点,又当0x =时,0y =,即函数y tanx sinx tanx sinx =+−−在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1个零点,即选项D 正确,故选C三．解答题 17.（1）（2）1− 18.（1）证明略（219.（1）112− （2）1,810⎡⎤−⎢⎥⎣⎦20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)9如图，正方体的棱长为1,''B C BC O ⋂=，求： (1)AO 与''A C 所成角的度数; (2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值; (3)B OA C −−的度数.【答案】（1）30（2（3）90 【解析】(1)连接'AB ,则由正方体性质,可得''AB AC B C ====且O 为'B C 的中点,所以1'2OC B C ==AO OC ⊥,所以12OC sin OAC AC ∠===,故30OAC ∠=,又由正方体性质可知'//'AA CC 且''AA CC =,所以四边形''AA C C 是平行四边形， 所以//''AC A C 所以OAC ∠是AO 与''A C 所成角,故AO 与''A C 所成角的度数为30; (2)如图,在平面''BCC B 内作OE BC ⊥交BC 于点E ,连接AE , 由正方体性质可知平面''BCC B ⊥平面ABCD ,又平面''BCC B ⋂平面,ABCD BC OE =⊂平面''BCC B ,所以OE ⊥平面ABCD , 所以E 为BC 中点,AE 为AO 在平面ABCD 上的射影, 所以OAE ∠为OA 与平面ABCD 所成的角, 由题意,在Rt OAE ∆中,12OE BE ==,AE ==所以1OEtan OAEAE∠===所以AO与平面ABCD;(3)由(1)知AO OC⊥,又由正方体性质可知AB⊥平面''BB C C,而OC⊂平面''BB C C,所以AB OC⊥,又,,AO AB A AO AB⋂=⊂平面ABO,所以OC⊥平面ABO,又OC⊂平面AOC,所以平面ABO⊥平面AOC,所以B OA C−−的度数为90.21.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)若有穷数列{}n a满足:10niia==∑且11niia==∑，则称其为"n阶01−数列".（1）若"6穷01−数列"为等比数列,写出该数列的各项;（2）若某"21k+阶01−数列"为等差数列,求该数列的通项(121na n k≤≤+,用,n k表示)；（3）记"n阶01−数列"{}n a的前k项和为()123kS k,,,,n=,若存在{}123m,,,,n∈,使12mS=,试问:数列{}()123iS i,,,,n=能否为"n阶01−数列"?若能,求出所有这样的数列{}na；若不能,请说明理由.【答案】（1）111111,,,,,666666−−−或1111111,,,,,666666−−−;（2）当0d>时,()()*1211nna n N,n kk k k∴=−∈≤++当0d<时,()()*1211nna n N,n kk k k=−+∈≤++（3）数列{}()123iS i,,,,n=不为"n阶01−数列".【解析】(1)设123456,,,,,a a a a a a成公比为q的等比数列,显然1q≠,则有123456a a a a a a+++++=,得()6111a qq−=−,解得1q=−,由1234561a a a a a a+++++=，得161a=,解得116a=±,1011所以数列为111111,,,,,666666−−−或1111111,,,,,666666−−−;(2)设等差数列()12321,,,,1k a a a a k +…的公差为d ,123210,k a a a a +++++=()()11221210,0,2k k dk a a kd +∴++=+=即120,,k k a a d ++=∴=当0d =时,矛盾, 当0d >时,(23211212k k k a a a a a ++++++==−++)k a +()1122k k kd d −∴+=,即()11d k k =+, 由()11100,1k a a k k k +=+⋅=+得即11,1a k =−+ ()()()111111n na n k k k k k ∴=−+−⋅=+++()*121n N ,n k k−∈≤+ 当0d <时,同理可得()1122k k kd d −+=−,即()11d k k =−+由10k a +=得()1101a k k k −⋅=+，即111a k =+ ()()()111111n na n k k k k k ∴=−−⋅=−+++()*121n N ,n k k+∈≤+ 综上所述,当0d >时,()()*1211n n a n N ,n k k k k∴=−∈≤++当0d <时,()()*1211n n a n N ,n k k k k=−+∈≤++(3)记12,,,n a a a 中非负项和为A ,负项和为B ,则0,1A B A B +=−=,得1111,,2222k A B B S A ==−−=≤≤=，即()11232k S k ,,,,n ≤=，若存在{}123m ,,,,n ∈,使12m S =,可知:1210,0,,0,0m m a a a a +厖厔21210,,0,,2m n m m n a a a a a ++++++=−且剟1,0,0;k k k m a S ∴时剟厖 1,0,0k k n m k n a S S +<=时剟?123123n n S S S S S S S S ∴++++=++++12又1230n S S S S ++++=与1231n S S S S ++++=不能同时成立数列{}()123i S i ,,,,n =不为"n 阶01−数列".。
无锡市天一中学2021-2022学年高二上学期第一次教学质量监测数学试题
无锡市天一中学2021-2022学年度高二上学期第一次教学质量监测数学试题注意事项：1.本试卷共5页，包括单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分，本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置.3.作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知集合{}25A x x =-<<，{}123B x x =->，则A B = （）A.()2,1-- B.()2,1- C.()1,5 D.()1,5-2.不等式101xx+≥-的解集为（）A.{|1x x ≥或1}x ≤- B.{}11xx -≤≤∣ C.{|1x x ≥或1}x <- D.{|11}x x -≤<3.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在（0，＋∞）上为单调函数，则满足2()()3x f x f x +=+的所有实数x 的和为（）A.－6B.6C.8D.－84.已知函数()2cos f x x x =，则函数()f x 的部分图象可以为（）A. B. C. D.5.黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，12BC AC -=，根据这些信息，可得sin126︒=（）A.14- B.38+ C.14D.486.设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan 2A a b c =+，tan 2B ba c=+，则△ABC 是（）．A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形7.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA =，AB BC ==1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为（）A.B.C.1+D.38.第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于916-，则椭圆的离心率为（）A.34B.74C.916D.32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.空间四个点O ，A ，B ，C ，OA ，OB ，OC为空间的一个基底，则下列说法正确的是（）A.O ，A ，B ，C 四点不共线B.O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线C.O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线D.O ，A ，B ，C 四点不共面10.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个顶点分别为()1,0A a -，()2,0A a ，P ，Q 的坐标分别为()0,b ，()0,b -，且四边形12A PA Q 的面积为22，四边形12A PA Q 内切圆的周长为26π3，则双曲线C 的方程可以为（）A.2212x y -= B.2212y x -=C.22142x y -= D.22122x y -=11.如图，在三棱锥-P ABC 中，,,PA PB PB PC PA PC ⊥⊥⊥，点M 是ABC ∆内的一点，若PM 与平面,,PAB PAC PBC 所成的角分别是α，βγ，，PAB,PAC ,PBC ,ABC ∆∆∆∆的面积分别为PAB PAC PBC ABC S S S S ∆∆∆∆，，，，则以下说法正确的是：（）A.222sin sin sin 1αβγ++=B.2221co s co s co s αβγ++=C.PAB PAC PBC ABC S S S S ∆∆∆∆++>D.ABC ∆是锐角三角形12.设1e ，2e为单位向量，满足1222e e -≤12a e e =+ ，123b e e =+，则a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的可能取值为（）A.1920 B.2029C.2829D.1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则至少取得一个红球的概率为___________.14.若复数z 满足32i 1z -+=，则62i z --的最小值为__________．15.已知一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2S .若131x +，231x +，331x +，…，31n x +的平均数比方差大4，则22S x -的最大值为__________．16.在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，O 为ABC 的外心，且有233AB BC AC +=，sin (cos 3)cos sin 0C A A A +=，若AO x AB y AC =+，,x y R ∈，则2x y -=________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知圆C 的方程：22-x +y 2x-4y+m=0，（Ⅰ）求m 的取值范围；（Ⅱ）当圆C 与圆D ：()()22x+3+y+1=16相外切时，求直线l :x+2y-4=0被圆C ，所截得的弦MN 的长.18.已知向量(1,2)=-a ，||b = .（1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标；（2）若a 与b的夹角为23π，求()(2)a b a b -⋅+ 的值.19.已知等差数列{}n a ，14a =，前n 项和为n S ，各项为正数的等比数列{}n b 满足：112b =，5342b b b =-，949S b =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，存在一系列的点()2,,1nn n n P a c +-，(),1,1n n Q b -，若n n OP OQ ⊥，求数列{}n c 的前n 项和n T .20.“绿水青山，就是金山银山.”从社会效益和经济效益出发，某市准备投入资金进行生态环境建设，促进旅游业的发展.计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率相同.设本年度为第一年，已知前三年旅游业总收入为1525万元.（Ⅰ）设第n 年的投入为a n 万元，旅游业收入为b n 万元，写出a n ，b n 的表达式；（Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）21.如图，已知三棱锥M ABC -中，MA MB MC AC ====，2AB BC ==，O 为AC 的中点，点N 在边BC 上，且23BN BC =．（1）证明：BO ⊥平面AMC ；（2）求二面角N AM C --的正弦值．22.已知圆22:4O x y +=和定点()1,0A ，平面上一动点P 满足以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，动点P 的轨迹记为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）直线:(4)(0)l y k x k =-≠与曲线C 交于不同两点M 、N ，直线AM ，AN 分别交y 轴于P ，Q 两点．求证：AP AQ =．无锡市天一中学2021-2022学年度上学期第一次教学质量监测高二数学试题注意事项：1.本试卷共5页，包括单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第12题）、填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分，本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置.3.作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知集合{}25A x x =-<<，{}123B x x =->，则A B = （）A.()2,1-- B.()2,1- C.()1,5 D.()1,5-【答案】A 【解析】【分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】由题意可得{}1B x x =<-，则{}()212,1A B x x ⋂=-<<-=--.故选：A 2.不等式101xx+≥-的解集为（）A.{|1x x ≥或1}x ≤- B.{}11xx -≤≤∣ C.{|1x x ≥或1}x <- D.{|11}x x -≤<【答案】D 【解析】【分析】不等式等价于101x x +≤-，即(1)(1)0x x +-≤，且10x -≠，由此求得不等式的解集．【详解】不等式等价于101x x +≤-，即(1)(1)0x x +-≤，且10x -≠，解得11x -≤<，故不等式的解集为{|11}x x -≤<，故选：D ．3.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在（0，＋∞）上为单调函数，则满足2()()3x f x f x +=+的所有实数x 的和为（）A.－6B.6C.8D.－8【答案】A 【解析】【分析】根据函数()f x 是定义在R 上的偶函数，由2()(3x f x f x +=+，得到2()()3x f x f x +=+，再由函数在（0，＋∞）上为单调函数，得到23x x x +=-+或23x x x +=+求解.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()=()f x f x f x -=，又函数的图象是连续不断的，且在（0，＋∞）上为单调函数，2()()3x f x f x +=+，所以2()()3x f x f x +=+，所以23x x x +=-+或23x x x +=+，即()24203x x x ++=≠-或()22203x x x +-=≠-，设()24203x x x ++=≠-的两个根为m ，n ，则4m n +=-，()22203x x x +-=≠-的两个根为a ，b ，则2a b +=-，所以所有实数x 的和为-6.故选：A4.已知函数()2cos f x x x =，则函数()f x 的部分图象可以为（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】由奇偶性可排除BD ，再取特殊值4f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断AC ，从而得解【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=--=-=-，所以()f x 为奇函数，故BD 错误；当0x >时，令()2cos 0f x x x ==，易得cos 0x =，解得()2x k k Z ππ=+∈，故易知()f x 的图象在y 轴右侧的第一个交点为,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，又2cos 04444f πππ⎛⎫=⨯⨯=>⎪⎝⎭，故C 错误，A 正确；故选：A5.黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC中，12BC AC -=，根据这些信息，可得sin126︒=（）A.14-B.38+C.14D.48【答案】C 【解析】【分析】结合已知条件以及诱导公式、二倍角公式求得正确结果.【详解】依题意可知112sin184BCAC︒==，所以()2sin126sin 9036cos3612sin 18︒=︒+︒=︒=-︒2131121444⎛⎫--+=-⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C6.设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan 2A a b c =+，tan 2B ba c=+，则△ABC 是（）．A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形【答案】D 【解析】【分析】若三角形各边长为a 、b 、c 且内切圆半径为r ，法一：由内切圆的性质有tan2A a b c =+、tan 2B ba c=+，根据边角关系可得a b =或222+=a b c ，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系；法二：利用万能公式、余弦定理可得222a c b +=或222+=a b c ，结合已知进一步讨论所得结论，判断三角形的形状；法三：由半角正切公式、正弦定理可得A B =或π2A B +=，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形的形状.【详解】设()12P a b c =++，△ABC 的内切圆半径为r ，如图所示，法一：∴tan2A r a p a b c ==-+①；tan 2B r b p b a c==-+②.①÷②，得：p b a a cp a b c b-+=⋅-+，即()()()()22p b a a c p a b b c -+=-+．于是()()()()b b c c a b a a c b c a ++-=++-，232232ab b bc a b a ac -+=-+，()()2220a b a b c -+-=，从而得a b =或222+=a b c ，∴A B ∠=∠或90C ∠=︒．故△ABC 为等腰三角形或直角三角形，（1）当a b =时，内心I 在等腰三角形CAB 的底边上的高CD上，12ABCS AB CD c =⋅=△，从而得2S r a b c ==++．又()1122p a b c a c -=+-=，代入①式，得()122a abc a ca c c ==+++⋅，即42a a c a c=++，上式两边同时平方，得：()2222a c a a c a c -=++，化简2220c a -=，即c =．即△ABC 直角三角形，∴△ABC 为等腰直角三角形．（2）当222+=a b c 时，易得()12r a b c =+-．代入②式，得()()1212a b c bb c a c b +-=++-，整理得()()0a b a b c -+-=，又a b c +>，∴0a b -=，即a b =，因此，△ABC 为等腰直角三角形．法二：由万能公式，得：221tan 2cos 1tan 2AA A-=+，221tan 2cos 1tan 2BB B -=+．又tan 2A a b c =+，tan 2B b b c=+，由余弦定理得：222cos 2b c a A bc+-=，222cos 2a c b B ac +-=，从而可得22222121a b c a b c bc a b c ⎛⎫- ⎪+-+⎝⎭=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭①，22222121b a c b b c ac b b c ⎛⎫- ⎪+-+⎝⎭=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭②，由①式，得()()22222222b c ab c a bc b c a+-+-=++，利用等比定理，得()()()222222222222b c a b c a b c abcb c a bc+--+-+-=++-．即22222222b c a bcbc b c a +-=++，进而得()2224224b c a b c +-=，即()2224b c a -=．∴222b c a -=或222b c a -=-，即222a c b +=或222+=a b c ，（l）若222a c b +=，可知②式不成立；（2）若222+=a b c ，②式可化为()()22222222b c b a c bacb c b+-+-=++，即()()()()222222b c c a a c b c c a +--=++-，从而得()()()()222222a b c a c a c b c c c a ++-=+--，进而得()()()()2220b c a c c a a c +-+-+=，于是()()()20a c b a b a c --++=，∵20b a c ++>，c a >（由222+=a b c 即可推得），∴a b =．因此，△ABC 为等腰直角三角形．法三：利用sin tan21cos A A A =+，sin tan 21cos B B B =+及正弦定理和题设条件，得sin sin 1cos 1cos A BA B =++①，sin sin 1cos sin sin B BB A C=++②.∴1cos sin sin A B C +=+③；1cos sin sin B A C +=+④.由③和④得：1cos sin 1cos sin A B B A +-=+-，即sin cos sin cos A A B B +=+，ππsin sin 44A B ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ππ44A B +=+或πππ44A B +=--，即A B =或π2A B +=．（1）若A B =，代入③得：1cos sin sin A A C +=+⑤又ππ2C A B A =--=-，将其代入⑤，得：1cos sin sin 2A A A +=+．变形得()()2sin cos sin cos 0A A A A ---=，即()()sin cos sin cos 10A A A A ----=⑥，由A B =知A 为锐角，从而知sin cos 10A A --≠．∴由⑥，得：sin cos 0A A -=，即π4A =，从而π4B =，π2C =．因此，△ABC 为等腰直角三角形．（2）若π2A B +=，代入③得π1cos sin sin 2A A C ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，即sin 1C =，∴π2C =，把π2C =代入④，得cos sin B A =，∴π4A B ==，△ABC 为等腰直角三角形．故选：D7.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA =，AB BC ==1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为（）A.B.C.1+D.3【答案】B 【解析】【分析】连接1BC ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC V 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，判断出当A P C '、、三点共线时，则AC '即为1AP PC +的最小值.分别求出1120AA C '∠=︒,111,2AA A C '==,利用余弦定理即可求解.【详解】连接1BC ，得11A BC V ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC V 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则有1AC AP PC +'≥.当A P C '、、三点共线时，则AC '即为1AP PC +的最小值.在三角形ABC 中，3AB BC ==1cos 3ABC ∠=，由余弦定理得：2212cos 332323AC AB BC AB BC B =+-+-⨯⨯,所以112A C =，即12A C '=在三角形1A AB 中，11AA =，3AB =，由勾股定理可得：2211132A B AA AB =+=+,且160AA B ∠=︒.同理可求：12C B =因为11112A B BC A C ===，所以11A BC V 为等边三角形，所以1160BA C ∠=︒，所以在三角形1AAC '中，111120AA C AA B BA C ''∠=∠+∠=︒,111,2AA A C '==,由余弦定理得：11421272AC ⎛⎫'=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭故选B.【点睛】（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量；（2）立体几何中距离的最值一般处理方式：①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值；②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值.8.第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于916-，则椭圆的离心率为（）A.34B.4C.916D.2【答案】B 【解析】【分析】分别设内外层椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>、22221(1)()()x y m ma mb +=>，进而设切线AC 、BD 分别为1()y k x ma =+、2y k x mb =+，联立方程组整理并结合0∆=求1k 、2k 关于a 、b 、m 的关系式，再结合已知得到a 、b 的齐次方程求离心率即可.【详解】若内层椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由离心率相同，可设外层椭圆方程为22221(1)()()x y m ma mb +=>，∴(,0),(0,)A ma B mb -，设切线AC 为1()y k x ma =+，切线BD 为2y k x mb =+，∴12222()1y k x ma x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22223224222111()20a k b x ma k x m a k a b +++-=，由0∆=知：32222224222111(2)4()()0ma k a k b m a k a b -+-=，整理得2212211b k a m =⋅-，同理，222221y k x mb x yab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22222(1)b k m a =⋅-，∴4221249()()16b k k a ==-，即22916b a =，故4c e a ===.故选：B.【点睛】关键点点睛：根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合0∆=及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求离心率.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.空间四个点O ，A ，B ，C ，OA ，OB ，OC为空间的一个基底，则下列说法正确的是（）A.O ，A ，B ，C 四点不共线B.O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线C.O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线D .O ，A ，B ，C 四点不共面【答案】ACD 【解析】【分析】根据OA ，OB ，OC 为空间的一个基底，由基底的定义逐项判断.【详解】因为OA，OB，OC为空间的一个基底，所以OA ，OB ，OC不共面，即O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线，且四点不共面，故选：ACD10.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个顶点分别为()1,0A a -，()2,0A a ，P ，Q 的坐标分别为()0,b ，()0,b -，且四边形12A PA Q 的面积为，四边形12A PA Q 内切圆的周长为π3，则双曲线C 的方程可以为（）A.2212x y -= B.2212y x -=C.22142x y -= D.22122x y -=【答案】AB 【解析】【分析】由四边形12A PA Q 的面积为ab =，又由内切圆的周长可以求出内切圆的半径，从而利用内切圆半径×周长÷2=四边形12A PA Q 的面积可求出c ，进而得到关于a ，b 的两个方程，联立求解即可得答案．【详解】解：因为四边形12A PA Q的面积为所以1222a b ⨯⨯=ab =，记四边形12A PA Q 内切圆半径为r ，则262ππ3r =，得63r =．又142cr ⨯=，所以c =又2223c a b =+=，联立可得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线C 的方程为2212x y -=或2212y x -=．故选：AB.11.如图，在三棱锥-P ABC 中，,,PA PB PB PC PA PC ⊥⊥⊥，点M 是ABC ∆内的一点，若PM 与平面,,PAB PAC PBC 所成的角分别是α，βγ，，PAB,PAC ,PBC ,ABC ∆∆∆∆的面积分别为PAB PAC PBC ABC S S S S ∆∆∆∆，，，，则以下说法正确的是：（）A.222sin sin sin 1αβγ++=B.2221co s co s co s αβγ++=C.PAB PAC PBC ABC S S S S ∆∆∆∆++>D.ABC ∆是锐角三角形【答案】ACD 【解析】【分析】选项A ，B ，以PM 为体对角线构造如图所示的长方体DEMI PHGF -，可判断；选项C ，作PO ⊥平面ABC 于O ，PN AB ⊥于N ，连结MN ，可得PAB OAB S S ∆∆>，同理,PAC OAC PBC OBC S S S S ∆∆∆∆>>，可判断；选项D ，设,,PA x PB y PC z ===，在ABC ∆中，利用余弦定理表示三个角的余弦，可判断.【详解】如图所示，以PM 为体对角线构造如图所示的长方体DEMI PHGF -，则PM 与平面,,PAB PAC PBC 所成的角分别是α，βγ，，即分别为IPM ∠，EPM ∠，GPM ∠，不妨设,,DE a DI b DP c ===则222222sin sin sin 1αβγ++=++=，故选项A 正确；222222cos cos 2cos αβγ++=++=，故选项B 不正确；如图所示，作PO ⊥平面ABC 于O ，PN AB ⊥于N ，连结MN 由三垂线定理可得，MN AB⊥由于PON ∆为以O ∠为直角的直角三角形，因此PN ON>故PAB OAB S S ∆∆>，同理,PAC OAC PBC OBCS S S S ∆∆∆∆>>PAB PAC PBC ABC OBC OAC OABS S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∴++>=++故选项C 正确；不妨设,,PA x PB y PC z ===，则AB AC BC ===在ABC ∆中，222cos 0,cos 0,cos 0A B C ===因此ABC ∆为锐角三角形，故选项D 正确.故选：ACD【点睛】本题考查了空间图形的综合问题，考查了学生空间想象，构造，综合分析，数学运算等能力，属于较难题12.设1e ，2e 为单位向量，满足122e e -≤ 12a e e =+ ，123b e e =+，则a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的可能取值为（）A.1920 B.2029C.2829D.1【答案】CD 【解析】【分析】设单位向量1e ，2e的夹角为α，根据已知条件122e e -≤，求出3cos 14α≤≤，然后利用夹角公式可将2cos θ表示成关于cos α的函数，利用不等式的性质求出其值域即可.【详解】设单位向量1e ，2e的夹角为α，由122e e -≤，两边平方得54cos 2α-≤，解得3cos 14α≤≤，又12a e e =+ ，123b e e =+ ，||a ∴==r，同理||b =r 且44cos a b α=+⋅r rcosb b a a θ∴==⋅⋅rr r r =244cos cos 53cos αθα+∴=+，令2cos t θ=，则844cos 4353cos 353cos t ααα+==-++3cos 14α≤≤Q ，2953cos 84α∴≤+≤，81323,53cos 387α⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦所以84283,1353cos 29α⎡⎤-∈⎢⎥+⎣⎦，即2cos θ的取值范围为28,129⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：CD【点睛】关键点点睛：本题考查向量的数量积的性质，运算及夹角公式，及利用不等式的性质求函数的最值，解题的关键是将2cos θ表示成关于cos α的函数，再利用不等式的性质求值域，对运算要求很高，属于难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则至少取得一个红球的概率为___________.【答案】1415【解析】【分析】“至少取得一个红球”与“取得两个绿球”为对立事件，利用对立事件的概率公式求出概率.【详解】由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为114()1()11515P A P B =-=-=.故答案为：1415.14.若复数z 满足32i 1z -+=，则62i z --的最小值为__________．【答案】4【解析】【分析】根据复数模的几何意义得出复数z 对应的点Z 的轨迹是以()3,2C -为圆心，半径为1的圆，然后再根据62i z --的几何意义求最小值即可.【详解】因为复数z 满足32i 1z -+=，则复数z 对应的点Z 的轨迹是以()3,2C -为圆心，半径为1的圆，又62i z --表示复数z 对应的点Z 与点()6,2P 之间的距离，所以62i z --的最小值为11514PC -=-=-=．故答案为：4．15.已知一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2S .若131x +，231x +，331x +，…，31n x +的平均数比方差大4，则22S x -的最大值为__________．【答案】-1【解析】【分析】设新数据的平均数为1x ，方差为21S ，可得131x x =+，2219S S =，由新数据的平均数比方差大4可得23194x S +=+，可得21133S x =-，代入22S x -可得其最大值.【详解】解：设新数据131x +，231x +，331x +，…，31n x +的平均数为1x ，方差为21S ，可得：131x x =+，2219S S =，由新数据平均数比方差大4，可得23194x S +=+，可得21133S x =-，可得：222211111(63336S x x x x -=-=----，由211033S x =-≥，可得1x ≥，可得当1x =时，可得22S x -的最大值为：2111(11636---=-，故答案为：1-.【点睛】本题主要考查数据的平均数、方差及其计算，属于中档题.16.在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，O 为ABC 的外心，且有3AB BC AC +=，sin (cos cos sin 0C A A A +=，若AO x AB y AC =+，,x y R ∈，则2x y -=________．【答案】3-或4333-【解析】【分析】由边角互化可得,(cos cos 03c a b c A a A +=-+=,所以2cos 3b A c =，即2222b a c =+，联立解得,a c b ==，或5,a c b ==.分两种情况将AO x AB y AC =+两边分别同乘以向量得方程组，解得结果.【详解】由正弦定理得(cos cos 0c A a A +=，所以2cos 3b A c =，即2222b a c =+，由条件得233c a b +=，联立解得,a c b ==，或5,a c b ==.当,a c b ==时，23cos 2AB AC bc A c⋅== 由AO x AB y AC =+ ，得2AO AB xAB y AC AB ⋅=+⋅ ，即2221322c x c y c =⋅+⋅，所以231x y +=.——————————————①同理，由AO x AB y AC =+ ，得2AO AC xAB AC y AC ⋅=⋅+ ，即2221322b x c y b =⋅+⋅，即2221122b x b y b =⋅+⋅，所以21x y +=.——————————————②联立①②解得1,1x y =-=.故23x y -=-.当5,a c b ==时，同理可得231x y +=——③，189x y +=——④解得43233x y -=-.故答案为：3-或4333-.【点睛】（1）三角形中的边角关系为条件时，常用正余弦定理统一化边或化角；（2）若O 为ABC 的外心，则有221122AO AB AB c ×==，221122AO AC AC b ×==；（3）此题的关键是找出三边关系和将向量转化为边长，得,x y 的关系式.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知圆C 的方程：22-x +y 2x-4y+m=0，（Ⅰ）求m 的取值范围；（Ⅱ）当圆C 与圆D ：()()22x+3+y+1=16相外切时，求直线l :x+2y-4=0被圆C ，所截得的弦MN 的长.【答案】（Ⅰ）5m <;（Ⅱ）455MN =.【解析】【详解】试题分析；(Ⅰ)根据圆的一般方程表示圆的条件即可求m 的取值范围;(Ⅱ)根据圆与圆相切的等价条件求出m 的值,结合直线的弦长公式进行求解即可.试题解析：（Ⅰ）圆C 的方程可化为()()22x 1y 25m-+-=-令5m 0->,所以m 5<（Ⅱ）圆()()22C :x 1y 25m -+-=-,圆心()C 1,2,半径r =圆()()22D :x 3y 116+++=圆心()C 1,2,半径r 4=因为圆C 与圆D 相外切4=+解得m 4=圆心()C 1,2到直线l :x 2y 40+-=的距离为d 5==所以MN 5==18.已知向量(1,2)=-a ，||b = .（1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标；（2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b -⋅+ 的值.【答案】（1）(2,4)-；（2）5-.【解析】【分析】（1）设(),b x y =r ，结合已知条件，解得,x y 即可；（2）先求a =r 5a b ⋅=- ，化简22()(2)2a b a b a a b b -⋅--⋅+= 计算即可.【详解】（1）设(),b x y =r ， ||b = ，2220x y ∴+=①，且(1,2)=- a ，若b a λ= ，得()(),1,2x y λ=-，,2x y λλ∴==-②，联立①②，解得2520,0,2λλλ=<∴=- ，2,4x y ∴=-=，即()2,4b =-.（2） (1,2)=- a ，∴a ==，且||b = ，若a 与b的夹角为23π，∴21cos 532a b a b π⎛⎫⋅==-=- ⎪⎝⎭，∴()22()(2255205)2a b a b a a b b -⋅+-⋅-=⨯--=--= .【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，向量的数量积的性质的简单应用，属于基础题．19.已知等差数列{}n a ，14a =，前n 项和为n S ，各项为正数的等比数列{}n b 满足：112b =，5342b b b =-，949S b =.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，存在一系列的点()2,,1nn n n P a c +-，(),1,1n n Q b -，若n n OP OQ ⊥，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）31n a n =+.12n n b =（2）3772nnn T +=-【解析】【分析】(1)由5342b b b =-列出方程求出q ，即可求得{}n b 的通项公式，由949S b =，利用等差数列的性质可求出516a =，从而求得d ，最后得到等差数列{}n a 的通项公式；(2)由n n OP OQ ⊥可得210n n n n n a b b c +--=，将{}n a 和{}n b 的通项公式代入上式求出{}n c 的通项公式，用错位相减法即可求出n T .【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，∵5342b b b =-，∴221q q =-，得12q =，1q =-（舍），因为112b =，所以1112n n n b b q -==.∵949S b =，∴541992a ⨯=，解得516a =，又14a =，∴51123514a a d -===-，∴()41331n a n n =+-⨯=+.（2）由（1）得31n a n =+，12n nb =.∵n n OP OQ ⊥ ，∴210nn n n n a b b c +--=，∴312n nn c +=.234710312222n n n T +=++++ ，①①式等号两边同乘以12，得234147103122222n n T n ++=+++⋅⋅⋅+，②①-②得231433*********n n n T n ++=+++⋅⋅⋅+-23111111313222222n n n ++⎛⎫=++++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭111113122312212n n n +⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+⨯--173722n n ++=-.∴3772n nn T +=-.【点睛】本题考查等差数列、等比数列的基本量的求解与通项公式，垂直向量的数量积关系，错位相减法求和，属于中档题.20.“绿水青山，就是金山银山.”从社会效益和经济效益出发，某市准备投入资金进行生态环境建设，促进旅游业的发展.计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率相同.设本年度为第一年，已知前三年旅游业总收入为1525万元.（Ⅰ）设第n 年的投入为a n 万元，旅游业收入为b n 万元，写出a n ，b n 的表达式；（Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477）【答案】（Ⅰ）1412005n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，154004n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）6年.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意知{a n }，{b n }均为等比数列，根据条件中的数列{a n }的首项和公比直接写出通项公式，设数列{b n }的公比为q ，根据三年内旅游业总收入求得q ，从而求得{b n }的通项公式；（Ⅱ）设至少经过n 年，旅游业的总收入才能超过总投入.分别计算出经过n 年，总投入和旅游业总收入，根据不等关系列出表达式，解得n 的最小值即可.【详解】解：（Ⅰ）由题意知{a n }，{b n }均为等比数列，数列{a n }的首项为1200，公比为4120%5-=，所以1412005n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，设数列{b n }的公比为q ，显然q >0，q ≠1.所以三年内旅游业总收入为()3400115251q q-=-，即261116q q ++=，所以21616450q q +-=，解得54q =或49q =-（舍去），所以154004n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）设至少经过n 年，旅游业的总收入才能超过总投入.则经过n 年，总投入为41200154600014515n n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，经过n 年，旅游业总收入为5400145160015414n n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，所以54160016000145n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫->-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，化简得4515419054n n ⎛⎫⎛⎫+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设4(01)5nt t ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，代入上式得2151940t t -+>，解此不等式，得t >1（舍去）或t <415，即44515n⎛⎫< ⎪⎝⎭，解得454lg 42lg 2(lg 3lg 5)3lg 2lg 3115log 5.94152lg 2lg 53lg 21lg 5n -+-->===≈--由此得n ≥6.所以至少经过6年，旅游业的总收入才能超过总投入.21.如图，已知三棱锥M ABC -中，MA MB MC AC ====，2AB BC ==，O 为AC 的中点，点N 在边BC 上，且23BN BC = ．（1）证明：BO ⊥平面AMC ；（2）求二面角N AM C --的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）27979.【解析】【分析】（1）先在等腰三角形ABC 中证OB AC ⊥，然后在MOB △中根据勾股定理证OB OM ⊥，从而结论得证；（2）用向量法求两个面的法向量，根据向量的夹角公式来求二面角的余弦值.【详解】（1）连接OM ，在ABC 中，因为2AB BC ==，2AC =，O 为AC 的中点，所以OB AC ⊥，且2OB =；在MAC △中，因为2M A M C A C ===，O 为AC 的中点，所以OM AC ⊥，且6OM =；在MOB △中，因为2OB =，6OM =，2MB =，所以222BO OMMB +=，所以OB OM ⊥，又AC OM O = ，,AC OM ⊂平面AMC ，所以OB ⊥平面AMC ．（2）因为OB ，OC ，OM 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为MA MB MC AC ====，2AB BC ==，所以(0,A，B，C，M，AM =，(BC = ，由23BN BC = ，得222(,,0)33N ，则252,,0)33AN = ，设平面MAN 的法向量为(,,)m x y z =，则2520330AN m x y AM m ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令y =(1)m =-- ，因为BO ⊥平面AMC，所以OB =为平面AMC 的一个法向量，设二面角N AM C --为θ，则cos cos ,m OB θ=〈〉=因为[]0,θπ∈，所以二面角的正弦值sin 79θ==．22.已知圆22:4O x y +=和定点()1,0A ，平面上一动点P 满足以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，动点P 的轨迹记为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）直线:(4)(0)l y k x k =-≠与曲线C 交于不同两点M 、N ，直线AM ，AN 分别交y 轴于P ，Q 两点．求证：AP AQ =．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由两圆内切的条件和椭圆的定义，可得所求轨迹方程；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立直线l 的方程和椭圆方程，运用韦达定理，计算MA NA k k +，可判断三角形APQ 的形状，即可得到证明．【详解】解：（1）设以线段AP 为直径的圆的圆心为C ，取()1,0A '-．依题意，圆C 内切于圆O ，设切点为D ，则O ，C ，D 三点共线，因为O 为AA '的中点，C 为AP 中点，所以2A P OC'=所以2222242PA PA OC AC OC CD OD AA ''+=+=+===＞，所以动点P 的轨迹是以A ，A '为焦点，长轴长为4的椭圆，设其方程为()222210x y a b a b+=>>，则24a =，22c =，所以2a =，1c =，所以2223b a c =-=，所以动点P 的轨迹方程为22143x y +=;（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，（11x ≠且21x ≠）．由()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2222433264120k x k x k +-+-=，依题意()()()2222Δ3244364120k k k =--⋅+⋅->，即2104k <<，则212221223243641243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为()()()()()1212121212121225844111111MF NF k x x x x k x k x y y k k x x x x x x ⎡⎤-++--⎣⎦+=+=+=------()()2222126412322584343011k k k k k x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦==--，所以直线MF 的倾斜角与直线NF 的倾斜角互补，即OAP OAQ ∠∠=．因为OA PQ ⊥，所以AP AQ =．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
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2019—2020学年度高二级数学周三测试试题（一）本试卷共2页，3大题，满分150分。
考试用时90分钟一、选择题（本大题共15小题，每小题6分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，共90分）1. 已知集合{}220A x x =-≥,{}2430B x x x =-+≤则A B ⋃=（ ）A ． RB.{}1x x x ≤≥C.{}12x x x ≤≥或}D.{}23x x x ≤≥或2.下列各组几何体中是多面体的一组是（ ）A 三棱柱 四棱台 球 圆锥B 三棱柱 四棱台 正方体 圆台C 三棱柱 四棱台 正方体 六棱锥D 圆锥 圆台 球 半球3．已知ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、，若90,30,6C B c ===，则b 等于( )A ．3 B． C． D ．4．已知ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、，若120,3,8,A b c =︒== 则ABC ∆的面积等于( )A ．6 B． C ．12 D． 5．从总数为N 的一批零件中随机抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽中的可能性为25%，则N 为( )A ．200B ．150C ．120D ．100 6．在等比数列{}n a 中，若3764a a =，则5a 的值为（ ）A ．8B ．8±C ．4D ．167．已知ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、，若2sin b a B =，则A 等于( ) A ．30 B ．60 C ．60120或 D ．30150或8．将图1所示的三角形线直线l 旋转一周，可以得到如图2所示的几何体的是哪一个三角形（ ）9．已知,,a b c R ∈，若a b >，则下列不等式成立的是 ( )A ．11a b < B ．22a b > C ．2211a bc c >++ D ．a c b c > 10．关于直线m ，n 与平面 α，β，有下列四个命题： ①m ∥α，n ∥β 且 α∥β，则m ∥n ； ②m ⊥α，n ⊥β 且 α⊥β，则m ⊥n ； ③m ⊥α，n ∥β 且 α∥β，则m ⊥n ； ④m ∥α，n ⊥β 且 α⊥β，则m ∥n ．其中真命题的序号是( )． A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③11．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式)3()4(2a f a f >-的解集为( )A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4) 12．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =AD =1AA =直线1AC 与CD 所成角的大小为( ) A ．6π B ．4π C ．3π D ．3π或23π 13．不等式2)1(52≥-+x x 的解集是( )A ．]21,3[-B ．]3,21[- C ．(]1,11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．(]1,11,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭14．在明朝程大位《算法统宗》中，有这样一首歌谣，叫浮屠增级歌：远看巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，请问层三几盏灯。
这首古诗描述的浮屠，现称宝塔。
本浮屠增级歌意思是：有一座7层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，宝塔中共有灯381盏，问这个宝塔第3层灯的盏数有( ) A ．12 B ．24 C ．48 D ．96 15．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）16. 函数1()3x f x a -=+（01a a >≠且）的图像总是经过定点______ 17．已知54x >，函数14245y x x =-+-的最小值为 ． 18．把等腰三角形绕底边上的高旋转1800，所得的几何体是________19．水平放置的正方体分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示。
图中是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面， “程”表示下面。
则“祝”“你”“前”分别表示正方体的________ 答题卡：姓名___________ 班级___________ 座号___________ 一、选择题二、填空题16.________ 17._________ 18._________ 19.__________ 三、解答题20．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，42=a ，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n b n a n +=-22，求数列{}n b 前10项的和．21．（本小题满分12分）已知锐角ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、，且2s i n 3a B =．（1）求A 的大小；（2）若5,21=+=c b a ，错误！未找到引用源。
求ABC ∆的面积．22．（本小题满分12分）某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（2）在（1）的前提下，若该产品的成本是5元/件，问：产品该如何确定单价，可使工厂获得最大利润。
附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，……(),n n x y ，其回归直线y bx a =+的斜率为1221ni ii nii x y n x yb xn x==-⋅⋅=-⋅∑∑；参考数值：6622115116,60.7i i ii i x y xx ===-=∑∑．祝你前程 似锦数学周测参考答案（一）一、选择题1—5：BCABC 6—10：BDBCD 11—15：BCDCD 二、填空题16.（1,4） 17. 5 18. 圆锥 19. 似，程，锦 三、解答题20．解：（1）解法1：设等差数列}{n a 的公差为d ．由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，……2分 解得131a d =⎧⎨=⎩．…………………4分则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2．所以数列{}n a 的通项公式a n ＝n ＋2（*n N ∈）…………………5分解法2：依题意：472915a a a a +=+=， …………1分且24a =，得911a = ………………………2分 ∴9217a a d -==， ………………………3分 则13a = ……………………………………4分 则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2．所以数列{}n a 的通项公式a n ＝n ＋2（*n N ∈）…………………5分（2）由（1）可得b n ＝2n ＋n ，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ………1分 ＝2（1－210）1－2＋（1＋10）×102…………………………3分＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101． ……………………5分所以数列{}n b 前10项的和是2 101． (7)分21.解：（1）由正弦定理得2sin sin A B B =……………………2分∵sin 0B ≠……………………………3分∴sin 2A =，………………………4分 (0,)2A π∈…………………………… 5分∴3A π=……………………………… 6分（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-……………………………… 1分得2221b c bc =+-所以221()3b c bc =+-…………………… 2分 即43bc =………………………………………………………………3分∴114sin 2232ABC S bc A ∆==⨯⨯…………………………… 4分=3…………………………………………………… 5分 ∴ABC ∆的面积为3………………………………………… 6分 22.解: （1）99.29.49.69.8106x +++++==9.5……………………………1分 100949390857890,6y +++++==…………………………2分 又6622115116,60.7i i ii i x y xx ===-=∑∑所以1221ni ii nii x ynx y b xnx==-==-∑∑511669.590200.7-⨯⨯=-，……………3分90209.5280,a y bx =-=+⨯= ………………………4分故回归方程为20280.y x =-+ ………………………5分（2）解法1：设该产品的售价为x 元，工厂利润为L 元，当5x ≤时，利润0L ≤，定价不合理。
由202800y x =-+>得14x <，故514x <<…………………………1分(5)(20280)L x x =--+ ………………………………………2分 20(5)(14)x x =--， ………………………………………3分2514()4052x x -+-≤=， ………………………………………5分 当且仅当514x x -=-，即9.5x =时，L 取得最大值. …………6分 因此，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为9.5元. ……7分（缺少本步骤，本得分点不给分）解法2：设该产品的售价为x 元，工厂利润为L 元，当5x ≤时，利润0L ≤，定价不合理。
由202800y x =-+>得14x <，故514x <<…………………………1分(5)(20280)L x x =--+………………………………2分=2203801400x x -+-…………………………………………………3分=21920()4052x --+………………………………………………………………4分 由514x <<可得，9.5x =时，L 取得最大值max 405L =…………………6分因此，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为9.5元. ………7分。