高二数学测试卷
2024-2025学年上学期高二数学章末(空间向量与立体几何)测试卷
2024-2025学年上学期高二数学章末测试卷选择性必修第一册空间向量与立体几何姓名：___________班级：___________一、单选题1．已知空间向量()6,2,1a =，()2,,3b x =- ，若()2a b a -⊥ ，则x =（）A ．4B ．6C ．234D ．2142．平面α的一个法向量是1(2n = ,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =- ,6,2)-，则平面α与平面β的关系是（）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．垂直3．如图，四棱锥P OABC -的底面是矩形，设OA a = ，OC b = ，OP c =，E 是棱PC 上一点，且2PE EC =，则BE =（）A ．111333a b c--+ B ．1133a b c--+C ．1133a b c-++ D ．1133a b c--- 4．如图，在空间直角坐标系O xyz -中，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直(C 与原点O 重合)，2,1,AB AF M ==在EF 上，且//AM 平面BDE ，则M 点的坐标为（）A ．(1,1,1)B ．22,,133⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．22,,122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．22,,144⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭5．在一直角坐标系中，已知(1,6),(3,8)A B --，现沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角，则折叠后,A B 两点间的距离为A ．241B ．41C ．17D ．2176．已知平行六面体1111ABCD A B C D -的各棱长均为1，1160A AB A AD ∠=∠=︒，90DAB ∠=︒，则1AC =（）A ．3B ．5C ．2D ．21+7．鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB BC PA ===，D ，E 分别是棱AB ，PC 的中点，点F 是线段DE 的中点，则点F 到直线AC 的距离是（）A ．38B 4C ．118D ．48．在下图所示直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，π1,3AB DAB =∠=，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上，则顶点B 到平面APC 距离的最大值为（）A ．12B C D 二、多选题9．（多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（）A ．点(1,1,0)P -与点(1,1,0)Q 关于z 轴对称B ．点(3,1,4)A --与点(3,1,4)B --关于y 轴对称C ．点(3,1,4)A --与点(3,1,4)B --关于平面xOz 对称D ．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分10．已知空间中三点()2,1,1A -，()1,0,2B ，()0,3,1C -，则（）A ．AB =B ．AB AC⊥C ．cos 19ABC ∠=D ．A ，B ，C 三点共线11．在正方体1111ABCD A B C D -中，1M AD ∈，N BD ∈，且满足113AM AD =，23BN BD =，则下列说法正确的是（）A ．1AD MN⊥B ．1MN A C∥C ．MN ∥平面11DCC D D ．MN 为1AD 与BD 的公垂线三、填空题12．在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，(2,1,1)A ，(1,1,2)B ，(,0,1)C x ，则x =．13．已知向量()()2,4,5,4,,a b x y ==，分别是直线12l l ､的方向向量，若12//l l ，则x y +=．14．如图所示，若P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，H 为棱PC 上的点，且12PH HC =，点G 在AH 上，且AGm AH=，若G ，B ，P ，D 四点共面，则实数m 的值是．四、解答题15．如图，在棱长为2的正方体中，,E F 分别是1,DD DB 的中点，G 在棱CD 上，且13CG CD =，H 是1C G 的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：(1)求证：1EF B C ⊥；(2)求异面直线EF 与1C G 所成角的余弦值.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，1B B 的中点．(1)证明：11//AC 平面1B DE ；(2)若1AB =，AB AC ⊥，11B D A F ⊥，求点E 到平面11A FC 的距离．17．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设AB a =，AD b =，1AA c = ，E ，F 分别是1AD ，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c表示1D B ，EF ；(2)若1D F xa yb zc =++，求1D F 在基{},,a b c 下的坐标．18．如图，在平面四边形ABCD 中，//AB DC ，ABD △是边长为2的正三角形，3,DC O =为AB 的中点，将AOD △沿OD 折到POD 的位置，PC =.(1)求证：PO BD ⊥；(2)若E 为PC 的中点，求直线BE 与平面PDC 所成角的正弦值.19．如图，将等腰直角△ABC 沿斜边AC 旋转，使得B 到达B ′的位置，且BB ′=A B ．(1)证明：平面AB ′C ⊥平面ABC ；(2)求二面角B -AB ′-C 的余弦值；(3)若在棱CB ′上存在点M ，使得14,,55CM CB μμ⎡⎤'=∈⎢⎥⎣⎦，在棱BB ′上存在点N ，使得BN BB λ'= ，且BM ⊥AN ，求λ的取值范围．参考答案题号12345678910答案C CBCDBBABDAB题号11答案ABD1．【详解】因为()()()26,2,122,,32,22,7a b x x -=--=- ，因为()2a b a -⊥ ，所以124470x +-+=，解得234x =.故选：C.2．【详解】 平面α的一个法向量是1(2n = ,1-,1)3，平面β的一个法向量是(3m =- ,6,2)-，∴6m n =-，∴平面α与平面β的关系是平行或重合．故选：C ．3．【详解】由已知2()()3BE OE OB OP PE OA OC OP PC OA OC =-=+-+=+-+2()()3OP OC OP OA OC =+--+ 11113333OP OC OA a b c =--=--+．故选：B ．4．【详解】设AC ，BD 交于点O '，连接O E '，因为正方形ABCD 与矩形ACEF 所在的平面互相垂直，点M 在EF 上，且//AM 平面BDE ，又平面BDE ⋂平面ACEF EO ='，AM ⊂平面ACEF ，所以//AM O E '，又//AO EM '，所以O AME '是平行四边形，故1122FM O A AC EF '===，所以M 是EF 的中点，因为2,1AB AF ==，所以(0,0,1),(2,2,1)E F ，所以22,,122M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故选：C 5．【详解】如图为折叠后的图形，其中作,AC CD BD CD ⊥⊥则6,8,4AC BD CD ===，∴0,0AC CD BD CD ⋅=⋅=沿x 轴将坐标平面折成60︒的二面角∴两异面直线,CA DB 所成的角为60︒．可得：.cos 6024CA DB CA DB ︒⋅=⋅=故由AB AC CD DB =++ 得22||||AB AC CD DB =++ 2222+22AC CD DB AC CD CD DB AC DB +++⋅⋅+⋅= 2222+22AC CD DB AC CD CD DB CA DB+++⋅⋅-⋅= 36166448=++-68=||AB ∴= D.6．【详解】取{}1,,AB AD AA 为空间向量的基底，因为11AB AD AA === ，90DAB ∠=︒，1160A AB A AD ∠=∠=︒，所以0AB AD ⋅=uuu r uuu r，1112AB AA AD AA ⋅=⋅= .因为11AC AB AD AA =++，所以()2211AC AB AD AA =++ 222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅1110115=+++++=，所以1AC =故选：B7．【详解】因为AB BC =，且ABC V 是直角三角形，所以AB BC ⊥.以B 为原点，分别以BC，BA的方向为x ，y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.因为2AB BC PA ===，所以()0,2,0A ，()2,0,0C ，()0,1,0D ，()1,1,1E ，则()2,2,0AC =-，11,1,22AF ⎛⎫=- ⎝⎭ .故点F 到直线AC的距离d =故点F 到直线AC故选：B8．【详解】连接AC 交BD 于点O ，由题意，得AC BD ⊥，1122OB OD AB ===，OA OC ====，如图，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则1110,,,0,0,0,,,0,22222A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()()11,,1,0,22AC AB BD ⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭，设()101BP BD λλ=≤≤ ，所以()1111,0,2222AP AB BP AB BD λλλλ⎛⎫⎛⎫=+=+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设平面APC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则n ACn AP⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，所以001120222y n AC x n AP x z z λλλλ=⎧⎧⋅==⎪⎪⎪⎛⎫⇒-⎨⎨⎛⎫ ⎪⋅=-+++=⎝⎭⎪⎪ ⎪=⎝⎭⎩⎪⎩ ，取4x λ=，则()4,0,21n λλ=-，设顶点B 到平面APC 距离为d ，则AB n d n ⋅== 当0λ=时0d =，当01λ<≤时，d ===所以当12λ=即12λ=时点B 到平面APC 12=.故选：A.9．【详解】点(1,1,0)P -与点(1,1,0)Q 关于x 轴对称，故A 错误；点(3,1,4)A --与(3,1,4)B --关于y 轴对称，故B 正确；点(3,1,4)A --与(3,1,4)B --不关于平面xOz 对称，故C 错误；空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，故D 正确．故选：BD .10．【详解】易得()1,1,3AB =-- ，()2,2,0AC =- ，()1,3,3CB =-，AB ∴= A 正确;因为0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，B 正确，D 错误;而cos AB CB ABC AB CB⋅∠==⋅，C 错误.故选:AB.11．【详解】设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系.则()()11,0,0,0,0,1A D ,()1,1,0B ,()0,1,0C ,()11,0,1A 由113AM AD = ，则21,0,33M ⎛⎫⎪⎝⎭由23BN BD = ，则11,,033N ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以111,,333MN ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,()11,0,1AD =-,则()11111010333MN AD ⎛⎫⋅=-⨯-+⨯+-⨯= ⎪⎝⎭,所以1AD MN ⊥，选项A 正确.又()11,1,1AC =-- ，则13AC MN = ，所以1//AC MN又1,MN A C 不在同一直线上，所以1//MN A C ，故选项B 正确.平面11DCC D 的一个法向量为()1,0,0n =r ，而1103MN n ⋅=-⨯≠ 所以MN 与平面11DCC D 不平行，故选项C 不正确.由()1,1,0DB = ，有1111100333MN BD ⎛⎫⋅=-⨯+⨯+-⨯= ⎪⎝⎭,所以NM DB ⊥，又1AD MN ⊥，且NM 与1,DB A D 均相交,所以MN 为1AD 与BD 的公垂线，故选项D 正确.故选：ABD12．【详解】||AC ==||BC ==，AB ==90BAC ∠=︒ ，222||||||BC AB AC ∴=+，22(1)22(2)1x x ∴-+=+-+，解得2x =．故答案为：2.13．【详解】12//l l ，//a b ∴，所以存在实数λ，使得b a λ= ，则4245x y λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得2λ=，8x =，10y =.18x y ∴+=.故答案为：18.14．【详解】连接BD ，BG 因为AB PB PA =- ，AB DC =，所以DC PB PA =- ．因为PC PD DC =+，所以PC PD PB PA PA PB PD =+-=-++ ．因为12PH HC =，所以13PH PC = ，所以111333PH PA PB PD =-++．又因为AH PH PA =- ，所以411333AH PA PB PD =-++．因为AG m AH=，所以4333m m m AG m AH PA PB PD ==-++ ．又因为41333m m m PG PA AG PA PB PD ⎛⎫=+=-++ ⎪⎝⎭，且G ，B ，P ，D 四点共面，所以4103m -=，解得34m =．故答案为：3415．【详解】（1）证明：如图，以D 为原点，以射线DA 、DC 、1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，0,0,1，()1,1,0F ，()0,2,0C ，()10,2,2C ，()12,2,2B ，40,,03G ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1,1,1EF =-，()12,0,2B C =-- ，所以()()()()()11,1,12,0,21210120EF B C ⋅=-⋅--=⨯-+⨯+-⨯-=，所以1EF B C ⊥，故1EF B C ⊥．（2）因为120,,23C G ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以1C G =因为EF = ()12241,1,10,,22333EF C G ⎛⎫⋅=-⋅--=-+= ⎪⎝⎭ ，所以111443cos ,315EF C GEF C G EF C G⋅==⋅．16．【详解】（1）因为111ABC A B C -为直三棱柱，所以11//A C AC ，又D ，E ，分别为AB ，BC 的中点，所以//DE AC ，所以11//DE A C ，又11A C ⊄平面1B DE ，DE ⊂平面1B DE ，所以11//AC 平面1B DE .（2）因为111ABC A B C -为直三棱柱，且AB AC ⊥，以A 为坐标原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设()10AA a a =>，且1AB =，则()()1111,0,,,0,0,0,0,,1,0,22a B a D A a F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11,0,2B D a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，11,0,2a A F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由11B D A F ⊥可得110B D A F ⋅= ，即21022a -+=，且0a >，解得1a =，设()0AC b b =>，则()10,,1C b ，即()11111,0,,0,,02A F A C b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设平面11A FC 的法向量为(),,n x y z =，则1111020n A F x z n AC by ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，解得20z x y =⎧⎨=⎩，取1x =，则2z =，所以平面11A FC 的一个法向量为()1,0,2n =，又1,,022b E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即11,,122b A E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以点E 到平面11A FC的距离1A E n d n ⋅==17．【详解】（1）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，连接AC ，EF ，1D F ，1BD ，如图，11D B D D DB =+ 1AA AB AD =-+- a b c =-- ，11122EF EA AF D A AC =+=+ 1)11()(22AA AD AB AD =-+++ 111112222AB AA a c =-=- ．（2）111)1(2D F D D D B =+ 11)1(2AA D B =-+ 1()2c a b c =-+-- 1122a b c =-- xa yb zc =++ ，因此12x =，12y =-，1z =-，所以1D F 在基{},,a b c r r r 下的坐标为11(1)22--,,．18．【详解】（1）依题意ABD △是边长为2的正三角形，O 为AB 的中点，所以OD AB ⊥，所以OD PO ⊥，OD BO ⊥，2PD =，3CD =，PC =则222PD CD PC +=，所以PD CD ⊥，又//AB DC ，即//OB DC ，所以OB PD ⊥，又OD PD D ⋂=，,OD PD ⊂平面POD ，所以OB ⊥平面POD ，因为OP ⊂平面POD ，所以OB OP ⊥，又OB OD O = ，,OB OD ⊂平面BODC ，所以OP ⊥平面BODC ，又BD ⊂平面BODC ，所以PO BD ⊥；（2）如图建立空间直角坐标系，则1,0,0，0,0,1，()D，()C，3122E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以11,222BE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，()3,0,0DC =，()0,DP = ，设平面PDC 的法向量为(),,n x y z =，则300n DC x n DP z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令(n = ，设直线BE 与平面PDC 所成角为θ，则sin 5BE n BE nθ⋅===⋅ ，所以直线BE 与平面PDC19．【详解】（1）证明：设AC 的中点为O ，连接OB ，OB '，由题意可得，BB '=AB =AB '=BC =B 'C ，在△AB 'C 中，因为O 为AC 的中点，则OB '⊥AC ，即∠B 'OC =90°，则△OBB '≌△OCB '，所以∠B 'OB =∠B 'OC =90°，即OB '⊥OB ，因为AC ∩OB =O ，AC ，OB ⊂平面ABC ，故OB '⊥平面ABC ，又OB '⊂平面AB 'C ，所以平面AB ′C ⊥平面ABC ；（2）以点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设OA =1，则O （0，0，0），A （-1，0，0），B （0，1，0），B '（0，0，1），C （1，0，0），所以(1,1,0),(1,0,1)AB AB '== ，设平面ABB '的法向量为(),,n x y z = ，则00n AB n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩' ，即00x y x z +=⎧⎨+=⎩，令x =1，则y =z =-1，故(1,1,1)n =-- ，因为OB ⊥平面AB 'C ，所以平面AB 'C 的一个法向量为(0,1,0)OB = ，则|||cos ,|||||n OB n OB n OB ⋅〈〉=== 又二面角B -AB ′-C 为锐二面角，所以二面角B -AB ′-C的余弦值为3；（3）结合（2）可得，(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)BC CB BB ''=-=-=- 则(1,1,0)(0,1,1)(1,1,)AN AB BN AB BB λλλλ'=+=+=+-=- ，(1,1,0)(0,1,1)(1,1,)AN AB BN AB BB λλλλ'=+=+=+-=- ，因为BM ⊥AN，则0BM AN ⋅= ，即(1)(1)0μλμλ---+=，所以111λμ=-+，故λ是关于μ的单调递增函数，当14,55μ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，14,69λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故λ的取值范围为14,69⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。
云南省昆明市第九中学2024-2025学年高二上学期期中模拟数学测试卷(含答案)
选择性必修第一册人教A 版2024-2025学年上学期期中高二数学模拟测试卷（命题范围：空间向量与立体几何、直线与圆方程、椭圆）一、单选题1的倾斜角量（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知空间向量，，若，则（ ）A ．4B ．6C ．D ．3．已知直线与直线，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，在直三棱柱中，分别是棱和的中点，点是线段上的动点（不包括端点）．若，则线段的长度是（ ）A．B ．B ．C ．D ．6．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P (x,y )是阴影部分（包括边界）的动点，则值不可能是（ ）A ．B ．－140y -+=60︒120︒150︒30︒()6,2,1a = ()2,,3b x =-()2a b a -⊥ x =23421421:10l a x y ++=2:370l x ay -+=3a =12l l ⊥12,F F 1290F PF ∠=︒111ABC A B C -190,1,,,BAC AB AC AA G E F ∠=︒===111,A B CC AB D AC GD EF ⊥AD 141234132yx -32-C ．0D ．17．“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C ：的离心率为，则椭圆C 的蒙日圆的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．8．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（ ）A ．1B ．CD二、多选题9．空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ）A ．B ．点关于平面对称的点的坐标为C ．若，则D ．若，，则10．在平面直角坐标系中，已知长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，线段的中点的轨迹为曲线，则下列结论正确的是（ ）A ．关于直线对称B ．关于原点对称C ．点在内D ．所围成的图形的面积为11．如图，在棱长为2的正方体中，点在平面内且以下结论正确的是（ ）A ．异面直线与所成的角是B ．三棱锥的体积为C ．存在点，使得D ．点到平面距离的最小值为三、填空题221(0)1x y a a a+=>+132219x y +=2217x y +=2215x y +=2214x y +=xOy 1:2l y kx =+22:1C x y +=,A B AOB V 12O xyz -()1,2,2A -()0,1,1B ()1,1,3AB =--A xOy ()1,2,2-()2,1,1m = ⊥m AB(),2,6n a =- n BA∥2a =-xOy 2AB A B x y AB ΓΓ2y x =Γ12⎛ ⎝ΓΓπ1111ABCD A B C D -P 11AB D 1A P =1AB 1BC π21C P D B -43P 1AC D P ⊥P ABCD 2312．过点且在轴､轴上截距相等的直线方程为.13．已知三棱柱的侧棱垂直于底面，是棱的中点.则点到直线的距离为 .14．若圆上有四个点到直线a 的取值范围是 ．四、解答题15．已知的顶点边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为.求：(1)顶点的坐标；(2)边的垂直平分线方程.16．如图，四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，过直线的平面与棱分别交于点． (1)证明：；(2)若，，，求平面与平面夹角的余弦值．17．已知圆经过点和，且圆心在直线：上.(1)求圆的标准方程；(2)若过点作圆的切线，求该切线方程.()3,1x y 111ABC A B C -190,2,BAC AB AC AA E ∠=︒===1C C 1A 1B E ()()22320x a y -+-=210x y -+=ABC V ()5,1,A AB CH 250x y --=AC BM 210x y --=B BC P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD AB AC ⊥AB ,PC PD ,E F //CD EF 3AB PA ==6AC =23EF CD =BEF DFE C ()1,1A -()2,2B --l 10x y +-=C ()2,1-C18．在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线.(1)求的方程；(2)已知点，直线与轴交于点，直线与交于点，证明：.19．如图，三棱柱中，，，点为的中点，且.(1)求证：平面；(2)若为正三角形，求与平面所成角的正弦值.xOy ()()2,0,2,0A B -M AMBM34-M C C ()10F ,:4l x =x D AM l N 2MFD NFD ∠=∠111ABC A B C -2AB AC ==1AA =11A B A C =D AB 1AA CD ⊥1AA ⊥ABC ABC V 1B C 1A DC参考答案题号12345678910答案A C A D A A B D ACD ABD 题号11 答案BCD12．【详解】设直线在轴､轴上的截距均为，① 若，即直线过原点，设直线方程为，代入，可得，故直线方程为，即；② 若，则直线方程为，代入可得，解得，故直线方程为.综上所述：所求直线方程为或.故答案为：或.13．【详解】由题知，两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，则，，所以，因为，所以所以点到直线的距离为14．【详解】圆的圆心为，半径为x y a 0a =y kx =()3,113k =13y x =30x y -=0a ≠1x y a a +=()3,1311a a+=4a =40x y +-=40x y +-=30x y -=40x y +-=30x y -=1,,AB AC AA ()()()110,0,2,2,0,2,0,2,1A B E ()()1112,0,0,2,2,1B A B E =-=--11111111142cos ,233B A B E B A B E B A B E ⋅===⨯⋅[]111,0,πB A B E ∈ 111sin ,B A B E == 1A 1B E 11111sin ,2B A B A B E ==()()22320x a y -+-=(,3)a因为圆上有四个点到直线，所以圆心到直线的距离所以．故答案为：．15．【详解】（1）所在的直线方程为，则直线斜率，由，得边所在直线方程为，整理得.，解得，所以点的坐标为.（2）设，为中点，则.，解得，，则中点为，，垂直平分线的斜率为，垂直平分线的方程为，整理得.16．【详解】（1）证明：因为四边形为平行四边形，所以，因为平面，且平面，且，所以平面，因为平面，平面平面，且平面，所以，又，所以．()()22320x a y -+-=210x y -+=210x y -+=d <d 3722a -<<37,22⎛⎫- ⎪⎝⎭CH 250x y --=12CH k =AB CH ⊥2AB k =-AB ∴()125y x -=--2110x y +-=2110210x y x y +-=⎧∴⎨--=⎩35x y =⎧⎨=⎩B ()3,5()00,C x y M AC 0051,22x y M ++⎛⎫⎪⎝⎭00002505121022x y x y --=⎧⎪∴⎨++⨯--=⎪⎩00193173x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩1917,33C ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭BC 51,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭87BC k ∴=BC 78k =-BC 175383y x ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭2124430x y ++=ABCD //AB CD AB ⊄PCD CD ⊂PCD //AB CD //AB PCD //AB PCD ABEF ⋂PCD EF =AB ⊂ABEF //AB EF //AB CD CD EF ∥（2）建立如图所示的空间直角坐标系．由（1）知且，则，则A (0,0,0)，，，，，，所以，，，，设平面的一个法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1)，则，得，设平面的一个法向量为，则，得，则所以平面与平面17．【详解】（1）设圆的标准方程为，因为圆经过和点，且圆心在直线上，所以 ，解得： ，所以圆的标准方程为.（2）当直线的斜率不存在时，，此时圆心到直线的距离为5，等于半径，故满足题意；当直线的斜率存在时，设，即，则点到直线的距离为圆的半径，A xyz -//CD EF 23EF CD =2PE EC = ()3,0,0B ()0,0,3P ()0,6,0C ()0,4,1E ()3,6,0D -()0,4,1AE =()3,0,0AB = ()0,2,1EC =- ()3,0,0DC =ABEF 110n AE n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ()10,1,4n =- DCEF ()2222,,n x y z = 2200n EC n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩()20,1,2n = 1cos ,n BEF DFE 222()()x a y b r -+-=(1,1)A -(2,2)B --:10l x y +-=222222(1)(1)(2)(2)10a b r a b r a b ⎧--+-=⎪--+--=⎨⎪+-=⎩325a b r =⎧⎪=-⎨⎪=⎩22(3)(2)25x y -++=l :2l x =-l :1(2)l y k x -=+210kx y k -++=(3,2)C -l C即，解得，此时.综上，直线l 的方程为或.18．【详解】（1）由题意可设，且，则，所以曲线的方程为.（2）当，不妨取，满足曲线的方程，则的方程为，可得，此时可得，又，故；当不垂直于时，设，则直线的方程为，联立，得，所以，则，故，又，故，即，所以，综上所述：.19．【详解】（1）取中点，连接，5d 815k =831:1515l y x =+2x =-8311515y x =+(),M x y 2x ≠±3224AM BM y y k k x x ⋅=⋅=-+-C ()221243x y x +=≠±MF AB ⊥3(1,2M ()221243x y x +=≠±AM 1(2)2y x =+(4,3)N 45NFD ∠=︒90MFD ∠=°2MFD NFD ∠=∠MF AB ()4,N n AM ()26ny x =+()2226143n y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()222227441080n x n x n +++-=22427A M n x x n +=-+2254227M n x n -=+221081862727M n ny n n =⨯=++26tan ,tan 193M M y n nMFD NFD x n ∠==∠=--222tan 6tan2tan 1tan 9NFD nNFD MFD NFD n ∠∠===∠-∠-tan tan2MFD NFD ∠=∠2MFD NFD ∠=∠2MFD NFD ∠=∠BC O AO 1A O因为，是中点，，因为，是中点，-所以，又，平面，所以平面，又平面又，平面所以平面.（2）因为为正三角形，所以.过点作的延长线为轴，以为轴，过点作的平行线为轴，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则11A B A C =O BC 1BC A O ∴⊥AB AC =O BC BC AO ⊥1A O AO O ⋂=1,AO A O ⊂1A AO ⊥BC 1A AO 1A A ⊂1A AO1BC AA ∴⊥1,AA CD BC CD C ⊥⋂=,BC CD ⊂ABC 1AA ⊥ABC ABC V DC AB ⊥D CD x DB y D 1AA z (0,0,0)D (0,1,0)A-1(0,A -(0,1,0)B 1B (C11(0,(DA DC CB =-==1A DC (,,)n x y z =令设与平面所成角为，.与平面.10000n DA y n DC ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⎨⎨⋅==⎪⎪⎩⎩y =n = 1B C 1A DC θ11sin θn CB n CB ⋅===⋅ ∴1B C 1A DC。
2024-2025学年中学生标准学术能力诊断性测试高二上学期9月测试数学(A)试卷(含答案)
2024-2025学年中学生标准学术能力诊断性测试高二上学期9月测试数学（A）试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a,b∈R，那么log2a>log2b是(12)a<(12)b的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.集合A={x∣y=ln(x2−2x−3)},B={y∣y=x2−2x+3,x∈A}，则A∩∁R B=( )A. (−∞,−1)B. (−∞,−1)∪(3,6]C. (3,+∞)D. (−∞,−1)∪[6,+∞)3.已知复数z满足z⋅z=5，则|z−2+4i|的最大值为( )A. 5B. 6C. 35D. 364.已知非零向量a,b满足3|a|=|b|，向量a在向量b方向上的投影向量是，则a与b夹角的余弦值为( )A. 33B. 13C. −33D. −135.设函数f(x)的定义域为R，且f(−x+4)+f(x)=2，f(x+2)=f(−x)，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+x+b，f(3)+f(0)=−3，则b−a=( )A. −9B. −6C. 6D. 96.班级里有50名学生，在一次考试中统计出平均分为80分，方差为70，后来发现有3名同学的分数登错了，甲实际得60分却记成了75分，乙实际得80分却记成了90分，丙实际得90分却记成了65分，则关于更正后的平均分和方差分别是( )A. 82，73B. 80，73C. 82，67D. 80，677.已知sin(40∘−θ)=4cos50∘⋅cos40∘⋅cosθ，且θ∈(−π2,π2)，则θ=( )A. −π3B. −π6C. π6D. π38.已知函数f(x)=x−22x+1+2，则不等式f(t2)+f(2t−3)>2的解集为( )A. (−∞,−1)∪(3,+∞)B. (−1,3)C. (−∞,−3)∪(1,+∞)D. (−3,1)二、多选题：本题共3小题，共18分。
2024-2025学年广西高二数学上学期期中调研测试卷附答案解析
2024-2025学年广西高二数学上学期期中调研测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．直线40x +=的倾斜角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒2．椭圆22154x y +=的焦距为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知12(1,(,2,n x n x ==-分别是平面,αβ的法向量，若αβ⊥，则x =（）A ．1B ．7C ．2-D ．24．已知直线1:20l x my ++=和直线2:(23)20l mx m y ++-=平行，则m 的值为（）A ．3B ．3或1-C ．1-D ．3-5．如图，在四面体ABCD 中，E 为DC 的中点，F 为BE 的中点，设,,AB a AC b AD c === ，则AF =（）A ．111422a b c-++ B ．111244a b c ++C ．111242a b c+- D ．111442a b c++ 6．已知,A B 是抛物线22y x =上的两点，且线段AB 的中点为(1,1)，则直线AB 的方程为（）A ．210x y --=B ．10x y +-=C ．0x y -=D ．210x y -+=7．图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径AB =1MO =，信号处理中心F 位于焦点处，以顶点O 为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy ，若P 是该抛物线上一点，点Q 是圆22(3)(2)1x y -+-=上一点，则||||PF PQ +的最小值为（）A ．4B ．3C ．5D ．58．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别12,.F F A 是C 上的一点（在第一象限），直线2AF 与y 轴交于点B ，若11AF BF ⊥，且2232AF F B =，则C 的离心率为（）A ．305B ．32C ．6D ．355二、多选题（本大题共3小题）9．已知圆22:(6)16C x y ++=，设点(,)P x y 为圆上的动点，则下列选项正确的是（）A ．点P 到原点O 的距离的最小值为2B ．过点(3,0)A -的直线与圆C 截得的最短弦长为6C ．yx的最大值为1D ．过点(1,0)B -作圆的切线有2条10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，则下列四个结论正确的有（）A ．1BC 与AC 所成角为60oB ．三棱锥1A D PC -的体积不变C ．//DP 平面11ABD D ．1DP BC ^11．已知12,F F 分别为椭圆22:143x yC +=的左、右焦点，若点12,A A 分别为椭圆C 的左、右顶点，P是椭圆C 上一动点，下列结论中正确的有（）A ．12PF PF ⋅的范围为[2,3]B ．若12F F P 为直角三角形，则12F F P 的面积为3C ．若点(1,1)B，则2PB PF +的最大值为4D ．直线12,PA PA 的斜率之积为34-三、填空题（本大题共3小题）12．若直线220mx y +-=经过两直线53170x y --=和50x y --=的交点，则m =.13．已知直线:0l x y --=，点P 为椭圆22:14y C x +=上的一个动点，则点P 到直线l 的距离的最小值为.14．一动圆与圆221:10240C x y y +++=和222:10240C x y y +--=都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点与双曲线222:1(0)4x y E a a -=>的右焦点重合，双曲线E 的渐近线方程为20x =.(1)求抛物线C 的标准方程和双曲线E 的标准方程;(2)若斜率为2且纵截距为1的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，F 为抛物线C 的焦点，求FMN 的面积.16．为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组[20,25)、第2组[25,30)、第3组[30,35)、第4组[35,40)、第5组[40，45].(1)求图中x 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)的人数；(2)估计抽出的100名志愿者年龄的第61百分位数；(3)若在抽出的第1组、第2组和第4组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自不同一组的概率.17．在ABC V 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且ABC V 的外接圆半径R 满足sin cos (cos cos )R A A c B b C =+.(1)求角A ；(2)若a =ABC V 面积的最大值.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，AB AD ⊥，PA PD =，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求证：PD ⊥平面PAB ；(2)求直线PA 与平面PCD 所成角的余弦值；(3)在棱PB 上是否存在点M ，使得//AM 平面PCD ？若存在，求出BMBP的值；若不存在，请说明理由.19．在平面直角坐标系xOy 中，若在曲线1E 的方程0(),F x y =中，以(,)x y λλ（λ为非零的正实数）代替(,)x y 得到曲线2E 的方程(,)0F x y λλ=，则称曲线12E E 、关于原点“伸缩”，变换(,)(,)x y x y λλ→称为“伸缩变换”，λ称为伸缩比.如果曲线221:243E x y +=经“伸缩变换”后得到曲线2E ，射线1(0)2y x x =>与12E E 、分别交于两点A ，B 且||2AB =.(1)求2E 的方程;(2)若M ，N 在2E 上，,,BM BN BD MN D ⊥⊥为垂足，求证：存在定点Q ，使得|DQ |为定值.2024-2025学年广西高二数学上学期期中调研测试卷1．【答案】A【详解】40x +=的斜率为3，故倾斜角为30︒，故选：A 2．【答案】B【详解】由题意得1c ==，则其焦距为2.故选：B.3．【答案】D【详解】由于αβ⊥，所以12n n ⊥ ，故12260n n x x ⋅=+-=，解得2x =，故选：D 4．【答案】A 【详解】由题意可得12232m m m =≠+-，则223m m +=，2230m m --=，即()()310m m -+=，解得3m =或1-，当3m =时，132392=≠-，显然成立，符合题意；当1m =-时，112112-==--，不符合题意.故选：A.5．【答案】B【详解】由F 是BE 的中点，则12BF BE = ，由E 为CD 的中点，则12DE DC = ，在ABD △中，BD AD AB =-，在ACD 中，DC AC AD =- ，()11112222AF AB BF AB BE AB BD DE AB AD AB DC ⎛⎫=+=+=++=+-+ ⎪⎝⎭()111111111224244244AB AD AC AD AB AD AC a b c =++-=++=++.故选：B.6．【答案】C【详解】设1,1,2,2,则2211222,2y x y x ==，故221212121212222y y y x x x x y y y --=-⇒=-+，由于AB 的中点为(1,1)，故122y y +=，因此12121221AB y y k x x y y -===-+,故直线方程为11y x =-+，即0x y -=，经检验，直线0x y -=与抛物线相交，满足条件.故选：C 7．【答案】A【详解】由题意设抛物线的方程为22(0)y px p =>，因为AB =，1MO =，所以点(1,B -在抛物线上，将B 的坐标代入到抛物线的方程中，可得82p =，故4p =，所以抛物线的方程为28y x =，所以抛物线的焦点F 的坐标为(2,0)，准线方程为2x =-，圆22(3)(2)1x y -+-=的圆心位()3,2H ,半径位1R =，可知圆在抛物线内部，如图：如图，过点P 作PP '与准线垂直，P '为垂足，点H 作HN 与准线垂直，N 为垂足，则||||PF PP '=，所以3214PF PQ PP PQ P Q NH R +=+≥≥-='+-='，当且仅当P ，H ，P '三点共线时，所以||||PF PQ +的最小值为4．故选：A8．【答案】D【详解】设1BF m =，如下图所示：由题意可得2BF m =，2122,233AF m AF m a ==+；又22AF F AB B =+，由11AF BF ⊥可得22211AF BF AB +=，即22222233m a m m m ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3m a =；所以2112,4,3AF a AF a BF a ===；因为111190,90AF O BF O BF O F BO ∠+∠=∠+∠=，所以11AF O F BO ∠=∠；即11cos cos AFO F BO ∠=∠，可得222112211212AF F F AF OB AF F F BF +-=，即22216442423a c a a c a+-=⨯⨯，解得c a =故选：D9．【答案】AD【详解】由题意可知：圆22:(6)16C x y ++=的圆心为()6,0-，半径4r =，对于选项A ：点P 到原点O 的距离的最小值为2PO r -=，故A 正确；对于选项B ：因为3CA r =<，可知点(3,0)A -在圆C 内，所以最短弦长为=B 错误；对于选项C ：因为yx表示直线OP 的斜率，当OP 与圆C 相切时，此时OP =，yx取到最大值255r OP ==，故C 错误；对于选项D ：因为5CB r =>，可知点B 在圆C 外，所以过点(1,0)B -作圆的切线有2条，故D 正确；故选：AD.10．【答案】ABC【详解】对于A 选项，连接AC 、11AC 、1A B ，则1111A B A C BC ==，所以，11A BC V 是等边三角形，所以1160A C B ∠=，因为11//AA CC ，11AA CC =，所以，四边形11AAC C 为平形四边形，所以，11//AC AC ，所以，异面直线1BC 与AC 所成的角等于1160A C B ∠=，A 对；对于B 选项，因为11//AB C D ，11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，所以，11//BC AD ，因为1BC ⊄平面1ACD ，1AD ⊂平面1ACD ，所以，1//BC 平面1ACD ，因为1P BC ∈，所以，点P 到平面1ACD 的距离等于点B 到平面1ACD 的距离，为定值，又因为1ACD △的面积为定值，故三棱锥1P ACD -的体积为定值，B 对；对于C 选项，由B 选项可知，11//BC AD ，因为1BC ⊄平面11AB D ，1AD ⊂平面11AB D ，所以，1//BC 平面11AB D ，同理可证//BD 平面11AB D ，因为1BC BD B = ，1BC 、BD ⊂平面1BC D ，所以，平面1//BC D 平面11AB D ，因为DP ⊂平面1BC D ，所以，//DP 平面11AB D ，C 对；对于D 选项，若1DP B C ⊥，且四边形11BB C C 为正方形，则11B C BC ⊥，因为1DP BC P = ，DP 、1BC ⊂平面1BC D ，则1B C ⊥平面1BC D ，又因为AB ⊥平面11BB C C ，1B C ⊂平面11BB C C ，则1B C AB ⊥，因为11B C BC ⊥，1AB BC B =I ，AB 、1BC ⊂平面11ABC D ，所以，1B C ⊥平面11ABC D ，又因为过点P 有且只有一个平面与直线1B C 垂直，矛盾，假设不成立，D 错.故选：ABC.11．【答案】ACD【详解】对于A ，()()121,0,1,0F F -，设()00,P x y ，2200143x y +=，则22003(4)4y x =-，故()()2222212000000000311,1,1(4)1244PF PF x y x y y x x x x ⋅=---⋅--=+-=-+-=+ ，由于2004x ≤≤，故[]2120122,34PF PF x ⋅=+∈ ，A 正确，对于B ，当212PF F F ⊥时，此时31,2P ⎛⎫± ⎪⎝⎭，故12F F P 的面积为12113322222P F F y =⨯⨯=，故B 错误，对于C ，由于1(1,0)F -，又(1,1)B ，所以1||BF =所以21114444PB PF PB PF PB PF BF +=+-=+-≤+=+当且仅当1,,P B F 三点共线时，且1F 在,P B 之间时取等号，故C 正确．对于D ，由椭圆22:143x y C +=，得()12(2,0),2,0A A -，设()00,P x y ，则1220002000224PA PA y y y k k x x x =⨯=+--，又2200143x y +=，则22003(4)4y x =-，所以12220022003(4)34444PA PAx y k k x x -===---，故D 正确；故选：ACD12．【答案】10【详解】联立5317050x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得14x y =⎧⎨=-⎩，将点()1,4-代入到直线220mx y +-=，得820m --=，故10m =.故答案为：10.13．【答案】【详解】由点P 在椭圆22:14y C x +=上，设(cos ,2sin ),R P θθθ∈，则点P 到直线l的距离d =，其中锐角ϕ由1tan 2ϕ=确定，而1sin()1θϕ--≤≤，则当sin()1θϕ-=-时，min d =所以点P 到直线l的距离的最小值为故答案为：14．【答案】221(0)916y x y -=<【详解】圆221:(5)1C x y ++=的圆心1(0,5)C -，半径11r =，圆222:(5)49C x y +-=的圆心2(0,5)C ，半径27r =，设动圆的圆心(,)P x y ，半径为r ，依题意，1217PC rPC r ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，则2112||||610||PC PC C C -=<=，因此动圆的圆心P 的轨迹是以12,C C 为焦点，实轴长为6的双曲线下支，实半轴长3a =，半焦距5c =，虚半轴长4b ==，方程为221(0)916y x y -=<.故答案为：221(0)916y x y -=<15．【答案】(1)212y x =，22154x y -=；.【详解】（1）双曲线222:1(0)4x y E a a -=>的渐近线方程为20x ay ±=，而双曲线E的渐近线方程为20x =，则a =，双曲线E 的方程为22154x y -=，双曲线E 的右焦点坐标为(3,0)，而抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2p，于是32p=，解得6p =，所以抛物线C 的标准方程为212y x =.（2）直线l 的方程为21y x =+，由22112y x y x=+⎧⎨=⎩消去x 得2660y y -+=，2646120∆=-⨯=>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12126,6y y y y +==，12||y y -==令直线l 与x 轴的交点为A ，1(,0)2A -，由（1）知(3,0)F ，所以FMN的面积12117||||2222FMN S AF y y =-=⨯⨯=.16．【答案】(1)0.07x =，175(2)33(3)1115【详解】（1）()0.020.060.040.0151x ++++⨯=，解得0.07x =，5000.075175⨯⨯=，估计这500名志愿者中年龄在[30,35)的人数为175.（2）设第61百分位数为y ，由()0.020.060.0750.750.61++⨯=>，()0.020.0650.40.61+⨯=<，则[)30,35y ∈，可得()()0.020.0650.07300.61y +⨯+⨯-=，解得33y =.（3）第1组、第2组和第4组的人数之比为0.02:0.06:0.041:3:2=，抽取的6人中第1组、第2组和第4组的人数分别为1,3,2，从这6名中抽取的2名志愿者中恰好来自不同一组的概率111111133212222666C C C C C C 11++C C C 15P ==.17．【答案】(1)π3A =；(2)334.【详解】（1）在ABC V 中，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===及sin cos (cos cos )R A A c B b C =+，得()()1sin cos cos cos 2cos sin cos sin cos 2a R A A c Bb C R C C B B C ==+=+()2cos sin 2cos sin cos R A B C R A A a A =+==，解得1cos 2A =，又0πA <<，所以π3A =.（2）由（1）知，π3A =，a =由余弦定理得2222232cos a b c bc A b c bc bc ==+-=+-≥，当且仅当b c ==因此1333sin 244ABC S bc A ==≤ ，所以ABC V 面积的最大值为334.18．【答案】(1)证明见解析(2)13(3)存在，且13BM BP =【详解】（1）证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，且AB AD ⊥，AB ⊂平面ABCD ，所以，AB ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，所以，AB PD ⊥，因为PD PA ⊥，PA AB A = ，PA 、AB ⊂平面PAB ，所以，PD ⊥平面PAB .（2）解：取AD 中点为O ，连接OC 、OP ，又因为PA PD =，则PO AD ⊥，则1AO PO ==，因为AC CD ==，则OC AD ⊥，则2CO =，在平面ABCD 内，因为OC AD ⊥，AB AD ⊥，则//OC AB ，因为AB ⊥平面PAD ，则OC ⊥平面PAD ，以点O 为坐标原点，OC 、OA 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则0,0,1、()1,1,0B 、()0,1,0D -、()0,1,0A 、()2,0,0C ，则()0,1,1PA =- ，()0,1,1DP = ，()2,1,0DC = ，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z = ，则020n DP y z n DC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,2,2n =- ，设PA 与平面PCD 的夹角为θ，则sin cos ,3n PA n PA n PA θ⋅====⋅ ，则1cos 3θ==，所以，直线PA 与平面PCD 所成角的余弦值为13.（3）解：设()()1,1,1,,BM BP λλλλλ==-=- ，其中01λ≤≤，则()()()1,0,0,,1,,AM AB BM λλλλλλ=+=+-=+- ，因为//AM 平面PCD ，则122130AM n λλλλ⋅=+--=-= ，解得13λ=，因此，在棱PB 上存在点M ，使得//AM 平面PCD ，且13BM BP =.19．【答案】(1)22163x y +=(2)详见解析.【详解】（1）解：设伸缩比为λ，则曲线2E 的方程为2222243x y +=λλ.由221,(0)2243y x x x y ⎧=>⎪⎨⎪+=⎩解得112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，即1(1,)2A ,由22221,(0)2243y x x x y λλ⎧=>⎪⎨⎪+=⎩解得112x y λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即11(,)2B λλ,因为||AB =224111(1)()225-+-=λλ，解之得12λ=，所以曲线2E 的方程为22163x y +=（2）证明：当直线MN 的斜率存在且不为0时，设直线MN 方程为y kx m =+（k 为斜率），联立方程得22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得，222(12)4260k x kmx m +++-=，直线MN 与椭圆交于两点1122(,),(,)M x y N x y ，所以0∆>，即228(63)0k m -+>，由韦达定理可得，122412km x x k -+=+，21222612m x x k -=+，因为(2,1)B 且BM BN ⊥，所以0BM BN ⋅= ，则1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=，即121212122()()50x x x x y y y y -++-++=，其中22121212()y y k x x km x x m =+++，1212()2y y k x x m +=++，所以221212(1)(2)()250k x x km k x x m m ++--++-+=，于是可得22222264(1)()(2)()2501212m km k km k m m k k --++--+-+=++化简整理可得22483210k km m m ++--=，即(231)(21)0k m k m +++-=.所以2310k m ++=或210k m +-=，经检验两式均能使0∆>.当2310k m ++=时，直线MN 方程为3312y kx k =--，则直线BD 方程为1(2)1y x k =--+，设点D 的坐标为(,)x y ，则由33121(2)1y kx ky x k =--⎧⎪⎨=--+⎪⎩消去参数k ，可得22338230x y x y +--+=，即22418()()339x y -+-=，此时存在定点41(,)33Q 使得|DQ |为定值3；当210k m +-=时，直线MN 方程为12y kx k =+-，则直线BD 方程为1(2)1y x k =--+，设点D 的坐标为(,)x y ，则由121(2)1y kx ky x k =+-⎧⎪⎨=--+⎪⎩消去参数k ，可得224250x y x y +--+=，即22(2)(1)0x y -+-=，所以点(2,1)D 与点(2,1)B 重合，不符合题意，故舍去.当0k =时，可由2310k m ++=求得，13m =-，所以1(2,)3D -，可验证点1(2,)3D -在圆22418()()339x y -+-=上，此时存在定点41(,)33Q 使|DQ |为定值当直线MN 的斜率不存在时，不妨设直线MN 方程为x n =，由22260x nx y =⎧⎨+-=⎩可解得点(M n，(,N n ，由0BM BN ⋅= 可得：(2)(2)1)(1)0n n --+=，解之得23n =（2n =舍去），所以点2(,1)3D ，可验证点2(,1)3D 在圆22418()()339x y -+-=上，此时存在定点41(,)33Q 使|DQ |为定值3.综上所述，存在定点41(,)33Q 使|DQ |为定值.。
2024-2025学年高二上数学《等差数列》测试卷附答案解析
2025学年高二上数学《等差数列》测试卷（本卷共19道题；总分：150分；考试时间：120分钟）姓名：成绩:一．选择题（共8小题）1．已知数列2，5，22，11，⋯，则38是它的（）A．第9项B．第10项C．第13项D．第12项2．设数列{a n}的通项公式为a n＝n2﹣（k﹣5）n+1，若数列{a n}是单调递增数列，则实数k的取值范围为（）A．（4，+∞）B．（﹣∞，4）C．（8，+∞）D．（﹣∞，8）3．已知数列{a n}是等差数列，a2，a14是方程x2﹣14x+16＝0的两个实数根，则a8的值为（）A．7B．±7C．4D．±44．设等差数列{a n}满足a5+a8+a11＝﹣3a21，且a1＞0，S n为其前n项和，则数列{S n}的最大项为（）A．S21B．S15C．S14D．S95．数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝a n+2，若a k+a k+1+⋯+a k+9＝270，则k＝（）A．7B．8C．9D．106．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则“S2﹣2a2＜0”是“nS n+1＞（n+1）S n”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．记S n为等差数列{a n}的前n项和，若S6＝24，S9＝21S3，则S12＝（）A．144B．120C．108D．968．已知等差数列{a n}中，a1＝9，a4＝3，设T n＝|a1|+|a2|+…+|a n|，则T21＝（）A．245B．263C．281D．290二．多选题（共3小题）（多选）9．已知等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且=2r1r1，n∈N+，则下列结论正确的有（）A．数列{}是递增数列B．75=6120C．使为整数的正整数n的个数为0D．1⋅2⋅⋯⋅1⋅2⋅⋯⋅的最小值为32（多选）10．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a15＞0，且a14+a17＜0，则（）第1页（共14页）。
2024年沪科版高二数学下册阶段测试试卷698
2024年沪科版高二数学下册阶段测试试卷698考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、在等比数列｛an｝中，a1＝1，q∈R且｜q｜≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m等于A. 9B. 10C. 11D. 122、已知椭圆的左、右两焦点分别为F1，F2，点A在椭圆上，∠F1AF2=45°；则椭圆的离心率e等于（）A.B.C.D.3、已知椭圆上一点P到椭圆的一焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离是（）A.B. 2C. 3D. 64、过椭圆的左顶点A的斜率为的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在上的射影恰好为右焦点F，若则椭圆离心率的取值范围是（）A.B.C.D.5、用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A.B.C.D.6、已知为不重合的两个平面，直线那么“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7、在△ABC中，“”是“△ABC为直角三角形”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8、已知在△ABC中，∠A=60°，D为AC上一点，且BD=3，•=•则•等于（）A. 1B. 2C. 3D. 49、已知复数z满足z（1+i）=1-i，则|z|=（）A. iB. 1C. -iD. -1评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)10、【题文】手表的表面在一平面上．整点1，2，，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上．从整点到整点的向量记作则＝____．11、【题文】一个算法的程序框图如右图所示,则该程序输出的结果为_________.12、【题文】已知的最小值为则正数____．13、设x，y满足约束条件若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为____14、在等差数列{a n}中，a1=45，a3=41，则前n项的和S n达到最大值时n的值是____．15、若z=(sinθ−35)+i(cosθ−45)是纯虚数，则tanθ的值为 ______ ．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共1题，共5分)23、如图，一矩形铁皮的长为8m，宽为3m，在四个角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以制成一个无盖的长方体容器，所得容器的容积V（单位：m3）是关于截去的小正方形的边长x（单位：m）的函数．（1）写出关于x（单位：m）的函数解析式；（2）截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？评卷人得分五、综合题(共1题，共2分)24、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(a b0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】试题分析：由题可知，由等比数列通项公式知，若有成立，则有成立，即则有故考点：等比数列的通项公式【解析】【答案】C2、B【分析】由题意，F1（-c；0）；将x=c代入椭圆方程可得∴y=∵∠F1AF2=45°；∴∴∴e2+2e-1=0∵0＜e＜1∴e=故选B．【解析】【答案】将x=c代入椭圆方程可得可得y= 由∠F1AF2=45°，可得由此可求椭圆的离心率．3、C【分析】试题解析：不妨设则考点：本题考查椭圆的定义点评：解决本题的关键是应用椭圆第一定义【解析】【答案】C4、C【分析】【解析】试题分析：结合已知作图则可知：|AF2|=a+c，|BF2|=∴k=tan∠BAF2=故可知化简得到故答案为C考点：本题主要考查了椭圆与直线的位置关系及椭圆的几何性质和直线的斜率与倾斜角，难度不大，但需要灵活运用和转化知识．【解析】【答案】C5、C【分析】【解析】由图形可知：第一个金鱼需用火柴棒的根数为：2+6=8；第二个金鱼需用火柴棒的根数为：2+2×6=14；第三个金鱼需用火柴棒的根数为：2+3×6=20；；第n个金鱼需用火柴棒的根数为：2+n×6=2+6n．故答案为2+6n．【解析】【答案】C6、A【分析】【解答】由得是线面垂直的判定定理，但时，平面的直线不可能都垂直于平面故本题选A．7、A【分析】解：“ ”⇒A=90°⇒“△ABC为直角三角形”；反之不成立；可能为B或C=90°．因此“ ”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．故选：A．“ ”⇒A=90°⇒“△ABC为直角三角形”；反之不成立，可能为B或C=90°．即可判断出．本题考查了充要条件的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．【解析】【答案】 A8、C【分析】解：如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b；c，且设AD=m；∵∠A=60°，∴由得：∴又BD=3；∴在△ABD中由余弦定理得：∴ m=∴．故选：C．可画出图形，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，并设AD=m，这样根据便可得到从而得到m= 这样在△ABD中由余弦定理便可建立关于c的方程，可解出c= 从而有m=然后进行数量积的计算便可求出的值．考查向量数量积的计算公式，余弦定理，以及向量夹角的概念．【解析】【答案】 C9、B【分析】解：z（1+i）=（1-i）；则∴|z|=1．故选：B．利用复数的运算法则；共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】【答案】 B二、填空题(共6题，共12分)10、略【分析】【解析】试题分析：因为整点把圆分成12份，所以每一份所对应的圆心角是30度，连接相邻的两点与圆心组成等腰三角形底边平方为每对向量的夹角为30°，所以每对向量的数量积为所以=考点：平面向量的数量积运算；数列求和。
2024-2025学年上海华二附中高二上学期数学周测试卷及答案(2024.09)
1华二附中2024学年第一学期高二年级数学测试2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.直线l 上存在两点在平面α上，则l α(填一符号). 2.函数324y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的圆频率是 .3.已知{}n a 是等差数列,若75230a a −−=,则9a 的值是 .4.两条异面直线所成角的取值范围是 .5.已知复数z a i =−的实部与虚部相等,则z i −= .6.函数213y tan x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭的对称中心是 .7.三个互不重合的平面能把空间分成 . 8.数列{}n a 满足1111,12n n a a a +==−,则2024a = . 9.在ABC ∆中,::5:7:8sinA sinB sinC =,则该三角形外接圆与内切圆的面积之比是 . 10.如图,摩天轮的半径为50m,圆心O 距地面的高度为60m.已知摩天轮按逆时针方向匀速转动,每15min 转动一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱.则游客进舱5min 时他距离地面的高度为 m.11.已知ABC ∆中,过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边,AB AC 于,M N 两点,设,(0,0)AM x AB AN yAC x y ==>>,则4x y +的最小值为 .12.对任意0,4π⎡⎤ϕ∈⎢⎥⎣⎦,函数()()f x sin x =ω+ϕ在区间2,π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上单调递增,则实数ω的取值范围是 .2二、选择题（本大题共有4题,满分18分,第13,14题每题4分,第15,16题每题5分） 13.设扇形的圆心角为α,半径为r ,弧长为l ,而积为S,周长为L ,则下列说法不正确的 是（ ）.A.若,r α确定,则,L S 唯一确定B.若,l α确定,则L S 唯一确定C.若,S L 确定，则,r α唯一确定D.若,1S 确定,则,r α唯一确定14.过正方体1111ABCD A B C D −的顶点A 作直线l ,使l 与棱1,,AB AD AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作（ ）.A.1条B.2条C.3条D.4条15.数列{}{},n n a b 满足21,32n n n a b a n n ⋅==++,则{}n b 的前10项之和等于（ ）. A.13 B.512 C.12 D.712 16.如图所示,角02x ,π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的终边与单位圆O 交于点(),10,P A ,PM x ⊥轴,AQ x ⊥轴,M 在x 轴上，Q 在角x 的终边上.由正弦函数、正切函数定义可知，sin ,tan x x 的值别等于线段,MP AQ 的长，且ΔOAP ΔOAQ OAP S S S <<扇形，则下列结论不正确的是（ ）. A.函数y tanx sinx x =++在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1个零点B.函数y tanx x =−在32222,,ππππ⎛⎫⎛⎫−⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内有2个零点C.函数y sinx x =−有3个零点D.函数y tanx sinx tanx sinx =+−−在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有13三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题, 17.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 已知3,052sin ,π⎛⎫α=α∈ ⎪⎝⎭. （1）求23sin π⎛⎫α+ ⎪⎝⎭的值;（2）在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边，已知角β的终边与角α的终边关于y 轴对称,求()cos α+β的值.18.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)如图所示,在长方体1111ABCD A B C D −中,2AB BC ==,14,AA P =为线段11B D 上一点. (1)求证:AC BP ⊥;(2)当P 为线段11B D 的中点时,求点A 到平面PBC 的距离.419.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)在直角梯形ABCD 中,//,90,224AB CD DAB AB AD DC ∠====,点F 是BC 边上的中点. (1)若点E 满足2DE EC =,且EF AB AD =λ+μ,求λ+μ的值; (2)若点P 是线段AF 上的动点(含端点),求AP DP ⋅的取值范围.20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 如图，正方体的棱长为1,''B C BC O ⋂=，求： (1)AO 与''A C 所成角的度数; (2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值; (3)B OA C −−的度数.521.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 若有穷数列{}n a 满足:10ni i a ==∑且11ni i a ==∑，则称其为"n 阶01−数列".（1）若"6穷01−数列"为等比数列,写出该数列的各项;（2）若某"21k +阶01−数列"为等差数列,求该数列的通项(121n a n k ≤≤+,用,n k 表示)； （3）记"n 阶01−数列"{}n a 的前k 项和为()123k S k ,,,,n =,若存在{}123m ,,,,n ∈,使12m S =,试问:数列{}()123i S i ,,,,n =能否为"n 阶01−数列"?若能,求出所有这样的数列{}n a ；若不能,请说明理由.6参考答案一、填空题1.⊂;2.2;3.3;4.0,2π⎛⎤⎥⎝⎦;5. 6.,1,46k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭; 7.4678或或或; 8.2; 9.499; 10.85； 11.94 12.13042,⎛⎤⎧⎫⋃−⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭11.已知ABC ∆中,过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边,AB AC 于,M N 两点,设,(0,0)AM x AB AN yAC x y ==>>,则4x y +的最小值为 . 【答案】94 【解析】()12AD AB AC =+,且E 为AD 的中点,()1124AE AD AB AC ∴==+,11,,(0,0),AM x AB AN y AC x y AB AM AC AN x y==>>∴==,,,M E N 三点共线,11144x y∴+=, ()1111944111444444y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=+++++= ⎪⎝⎭…故答案为:94 12.对任意0,4π⎡⎤ϕ∈⎢⎥⎣⎦,函数()()f x sin x =ω+ϕ在区间2,π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上单调递增,则实数ω的取值范围是 . 【答案】13042,⎛⎤⎧⎫⋃−⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭【解析】对任意0,4π⎡⎤ϕ∈⎢⎥⎣⎦,函数()()f x sin x =ω+ϕ在区间2,π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上单调递增,12,222ππ∴⨯π−∴ωω厔 ①0ω>时,此时,()02,y sin x <ω=ω+ϕ…单调递增,可得222,22k k Z k ππω+ϕ≥−+π∈ππω+ϕ≤π⎧⎪⎪⎨⎪⎩+⎪,则22222k k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪ππϕ≥π−−ωπϕ≤+−ω⎩ππ71120,,24441kk ⎧ω≤−+π⎪⎡⎤ϕ∈∴⎨⎢⎥⎣⎦⎪ω≥−⎩当0k =时，可得104<ω≤； ②0ω<时,此时,20−ω<…,()y sin x =ω+ϕ单调递增, 即()y sin x =−−ω−ϕ在区间2,π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上单调递减；可得222322,k k Z k ππ−ω−ϕ≥+ππ−πω−ϕ≤π⎧⎪⎪∈⎨⎪+⎪⎩,则222322k k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪ππϕ≤−π−ω−πϕ≥π−πω⎩−− 14120,,3422k k ⎧ω≤−−−⎪π⎪⎡⎤ϕ∈∴⎨⎢⎥⎣⎦⎪ω≥−−⎪⎩当0k =时，可得32ω=−； 综上,则实数ω的取值范围是13042,⎛⎤⎧⎫⋃−⎨⎬ ⎥⎝⎦⎩⎭.二、选择题13.C 14.D 15.B 16.C15.数列{}{},n n a b 满足21,32n n n a b a n n ⋅==++,则{}n b 的前10项之和等于（ ）. A.13 B.512 C.12D.712 【答案】B【解析】由题意得()()12,n a n n =++()()11112112n n b a n n n n ===−++++1210b b b ∴++⋯⋯+11111123341112=−+−+⋯⋯+−11521212=−= 综上所述,答案选择:B16.如图所示,角02x ,π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的终边与单位圆O 交于点(),10,P A ,PM x ⊥轴,AQ x ⊥轴,M 在x 轴上，Q 在角x 的终边上.由正弦函数、正切函数定义可知，sin ,tan x x 的值别等于线段,MP AQ 的长，且ΔOAP ΔOAQ OAP S S S <<扇形，则下列结论不正确的是（ ）.8A.函数y tanx sinx x =++在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1个零点B.函数y tanx x =−在32222,,ππππ⎛⎫⎛⎫−⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内有2个零点C.函数y sinx x =−有3个零点D.函数y tanx sinx tanx sinx =+−−在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1【答案】C【解析】对于选项A ,函数()g x y tanx sinx x ==++在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭为增函数,又()00g =,即函数y tanx sinx x =++在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1个零点,即选项A 正确;对于选项B ,函数()f x y tanx x ==−,则()21'1f x cos x =−,则函数在3,2222,,ππππ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为减函数,又()3300,0,042f f f ππ⎛⎫⎛⎫=<> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即函数在3,2222,,ππππ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭各有一个零点, 即函数y tanx x =−在32222,,ππππ⎛⎫⎛⎫−⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内有2个零点,即选项B 正确;对于选项C ,因为y sinx x =−,则'10y cosx =−…,即函数为减函数, 又当0x =时,0y =,即函数y sinx x =−有1个零点,即选项C 错误；对于选项D,当02x ,π⎛⎫∈− ⎪⎝⎭时,sin tanx x <,即2y tanx =,显然无零点,当02x ,π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,sin tanx x >,即2y sinx =,显然无零点,又当0x =时,0y =,即函数y tanx sinx tanx sinx =+−−在22,ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭内有1个零点,即选项D 正确,故选C三．解答题 17.（1）（2）1− 18.（1）证明略（219.（1）112− （2）1,810⎡⎤−⎢⎥⎣⎦20.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)9如图，正方体的棱长为1,''B C BC O ⋂=，求： (1)AO 与''A C 所成角的度数; (2)AO 与平面ABCD 所成角的正切值; (3)B OA C −−的度数.【答案】（1）30（2（3）90 【解析】(1)连接'AB ,则由正方体性质,可得''AB AC B C ====且O 为'B C 的中点,所以1'2OC B C ==AO OC ⊥,所以12OC sin OAC AC ∠===,故30OAC ∠=,又由正方体性质可知'//'AA CC 且''AA CC =,所以四边形''AA C C 是平行四边形， 所以//''AC A C 所以OAC ∠是AO 与''A C 所成角,故AO 与''A C 所成角的度数为30; (2)如图,在平面''BCC B 内作OE BC ⊥交BC 于点E ,连接AE , 由正方体性质可知平面''BCC B ⊥平面ABCD ,又平面''BCC B ⋂平面,ABCD BC OE =⊂平面''BCC B ,所以OE ⊥平面ABCD , 所以E 为BC 中点,AE 为AO 在平面ABCD 上的射影, 所以OAE ∠为OA 与平面ABCD 所成的角, 由题意,在Rt OAE ∆中,12OE BE ==,AE ==所以1OEtan OAEAE∠===所以AO与平面ABCD;(3)由(1)知AO OC⊥,又由正方体性质可知AB⊥平面''BB C C,而OC⊂平面''BB C C,所以AB OC⊥,又,,AO AB A AO AB⋂=⊂平面ABO,所以OC⊥平面ABO,又OC⊂平面AOC,所以平面ABO⊥平面AOC,所以B OA C−−的度数为90.21.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)若有穷数列{}n a满足:10niia==∑且11niia==∑，则称其为"n阶01−数列".（1）若"6穷01−数列"为等比数列,写出该数列的各项;（2）若某"21k+阶01−数列"为等差数列,求该数列的通项(121na n k≤≤+,用,n k表示)；（3）记"n阶01−数列"{}n a的前k项和为()123kS k,,,,n=,若存在{}123m,,,,n∈,使12mS=,试问:数列{}()123iS i,,,,n=能否为"n阶01−数列"?若能,求出所有这样的数列{}na；若不能,请说明理由.【答案】（1）111111,,,,,666666−−−或1111111,,,,,666666−−−;（2）当0d>时,()()*1211nna n N,n kk k k∴=−∈≤++当0d<时,()()*1211nna n N,n kk k k=−+∈≤++（3）数列{}()123iS i,,,,n=不为"n阶01−数列".【解析】(1)设123456,,,,,a a a a a a成公比为q的等比数列,显然1q≠,则有123456a a a a a a+++++=,得()6111a qq−=−,解得1q=−,由1234561a a a a a a+++++=，得161a=,解得116a=±,1011所以数列为111111,,,,,666666−−−或1111111,,,,,666666−−−;(2)设等差数列()12321,,,,1k a a a a k +…的公差为d ,123210,k a a a a +++++=()()11221210,0,2k k dk a a kd +∴++=+=即120,,k k a a d ++=∴=当0d =时,矛盾, 当0d >时,(23211212k k k a a a a a ++++++==−++)k a +()1122k k kd d −∴+=,即()11d k k =+, 由()11100,1k a a k k k +=+⋅=+得即11,1a k =−+ ()()()111111n na n k k k k k ∴=−+−⋅=+++()*121n N ,n k k−∈≤+ 当0d <时,同理可得()1122k k kd d −+=−,即()11d k k =−+由10k a +=得()1101a k k k −⋅=+，即111a k =+ ()()()111111n na n k k k k k ∴=−−⋅=−+++()*121n N ,n k k+∈≤+ 综上所述,当0d >时,()()*1211n n a n N ,n k k k k∴=−∈≤++当0d <时,()()*1211n n a n N ,n k k k k=−+∈≤++(3)记12,,,n a a a 中非负项和为A ,负项和为B ,则0,1A B A B +=−=,得1111,,2222k A B B S A ==−−=≤≤=，即()11232k S k ,,,,n ≤=，若存在{}123m ,,,,n ∈,使12m S =,可知:1210,0,,0,0m m a a a a +厖厔21210,,0,,2m n m m n a a a a a ++++++=−且剟1,0,0;k k k m a S ∴时剟厖 1,0,0k k n m k n a S S +<=时剟?123123n n S S S S S S S S ∴++++=++++12又1230n S S S S ++++=与1231n S S S S ++++=不能同时成立数列{}()123i S i ,,,,n =不为"n 阶01−数列".。
高二数学-空间向量与立体几何测试题及答案
高二数学空间向量与立体几何测试题第1卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在下列命题中：CD若a、b共线则a、b所在的直线平行；＠若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；＠若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；＠已知三向量a、b、c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=a+yb+zc,, y, z R.其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若三点共线为空间任意一点且则的值为（）A. lB.C.D.3. 设，且，则等千（）A. B. 9 C. D4. 已知a=(2, —1, 3) , b= C—1, 4, —2) , c= (7, 5, 入），若a、b、c三向量共面，则实数入等千（）A. B. C.5.如图1,空间四边形的四条边及对角线长都是，点分别是的中点则等千（）D.A.C.．．BD6. 若a、b均为非零向量，则是a与b共线的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7. 已知点0是LABC所在平面内一点满足• = • = • '则点0是LABC的（）A. 三个内角的角平分线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条中线的交点8. 已知a+b+c=O,al =2, bl =3,A. 30°B. 45°D.三条高的交点l e = , 则向量a与b之间的夹角为（）C. 60°D. 以上都不对9. 已知， ＇ ，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A.B.10. 给出下列命题：CD已知，则C. D.＠为空间四点若不构成空间的一个基底，那么共面；＠已知则与任何向量都不构成空间的一个基底；＠若共线则所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）C. 3A.1B.2D.4 第II卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.已知LABC的三个顶点为A(3, 3, 2) , B (4, —3, 7) , C (0, 5, 1) , 则BC边上的中线长为12. 已知三点不共线为平面外一点若由向量确定的点与共面，那么13. 已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m,n的夹角为14. 在空间四边形ABC D中，AC和B D为对角线G为L:.ABC的重心，E是B D上一点BE=3E D, 以｛， ， ｝为基底，则＝15. 在平行四边形ABCD中，AB=AC=l,乙ACD=90, 将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则B,D两点间的距离为16. 如图二面角a-t -B的棱上有A,B两点直线AC,B D分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直千AB,已知AB=4,AC=6, B D=8, C D= ,二面角Q—t—B的大小三、解答题（本大题共5小题，满分70分），17. C lo分）设试问是否存在实数，使成立？如果存在，求出；如果不存在，请写出证明．18. (12分）如图在四棱锥中，底面ABC D是正方形，侧棱底面ABC D,, 是PC的中点，作交PB千点F.(1)证明PAIi平面EDB:(2)证明PB上平面E F D:(3)求二面角的大小．、、、、、、、、.、19. (12分）如图在直三棱柱ABC—AlBlCl中，底面是等腰直角三角形，乙ACB=90°.侧棱AA1=2, D. E 分别是CCl与AlB的中点点E在平面ABO上的射影是DAB D的重心G.(1)求AlB与平面ABO所成角的大小．(2)求Al到平面ABO的距离1) 20. 12分）如图在三棱柱ABC-AlBlCl中，AB上AC,顶点Al在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.2)求棱AA1与BC所成角的大小；在棱BlCl上确定一点P,使AP=, 并求出二面角P—AB—Al的平面角的余弦值A1C1B21. (12分）如图直三棱柱ABC-AlBlCl中AB上AC,D.E分别为AAl.B lC的中点DEl_平面BCCl.C I)证明：A B=ACC II)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小c,22. (12分）P是平面ABC D外的点四边形ABC D是平行四边形，AP= (-1, 2, -1)(1)求证：PA 平面ABC D.(2)对千向量，定义一种运算：，试计算的绝对值；说明其与几何体P—ABC D的体积关系，并由此猜想向量这种运算的绝对值的几何意义（几何体P-ABC D叫四棱锥，锥体体积公式：V= ) .一、选 1 2 择题（本大题土2上、10小题，每3 4空间向量与立体几何(2)参考答案5 6 7 8 9 10小题5/刀\.让,/、50分）题号答案D D D A B C A 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11. (0, ,) 12. 0 13. 1, —3 14. 90° l厮—15。
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高二数学检测卷
一、选择题
1. 在等差数列{a n }中，a 4=5，a 9=17，则a 14=（ ）.
A. 11
B. 22
C. 29
D. 12
2. 在数列{a n }中，a 1=1，a 2=23，且1a n−1 + 1a n+1= 2a 2（n ∈N ∗，n ≥2），则a 6等于（ ）. A. 17 B. 27 C. 72 D. 7
3.已知等差数列a 1，a 2，a 3，···，a n 的公差为d ，则ca 1，ca 2，ca 3，···，ca n （c 为常数，且c ≠0）是（ ）.
A. 公差为d 的等差数列
B. 公差为cd 的等差数列
C.非等差数列
D.以上都不对
4. 在等差数列{a n }中，已知a 1=13，a 2+a 5=4，a n =33，则n=（ ）.
A. 48
B. 49
C. 50
D. 51
5.已知某等差数列的相邻四项分别为a+1，a+3，b ，a+b ，那么a ，b 的值依次为（ ）.
A. 2,7
B. 1,6
C. 0,5
D. 无法确定
6.已知{a n }是等差数列，且a 1+a 4+a 7=45，a 2+a 5+a 8=39，则a 3+a 6+a 9=（ ）.
A.24
B. 27
C.30
D. 33
7.《九章算术》是中国古代的数学著作，有题为：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问需（ ）日相逢.
A.9
B. 8
C.16
D. 12
8. 在等差数列{a n }中，若a 7=4，a 19=2a 9，则数列{a n }的通项公式为（ ）.
A. a n = n+12
B. a n =n +1
C. a n = n 2+1
D. 无法确定
9.若等差数列{a n }满足递推关系a n+1=−a n +n ，则a 5=（ ）.
A. 92
B. 94
C. 114
D. 134
10. 等差数列{a n }中，已知a 1=−6，a n =0，公差d ∈N ∗，则n （n ≥3）的最大值为（ ）.
A.5
B. 6
C.7
D. 8
11. 已知数列{a n }是等差数列，若a 1−a 9+a 17=7，则a 3+a 15=（ ）.
A.7
B. 14
C.21
D. 7（n-1）
12.已知等差数列{a n }的首项a 1= 125，第10项是第一个比1大的项，则公差d 的取值范围是（ ）.
A.d ＞875
B. d ＜325
C. 875＜d ＜325
D. 875＜d ≤325
二、填空题
13. 在等差数列{a n }中，已知a m+n =A ，a m−n =B ，m ，n ∈N ∗，且m ＞n ，则a m = .
14. 在等差数列{a n }中，a 3+a 7=37，则a 2+a 4+a 6+a 8= .
15. 在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=2a n
a n +2（n ∈N ∗），则27是这个数列的第 项. 16.已知对于任意的正整数n ，a n =n 2+λn .若数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是 .
三、解答题
17. 在等差数列{a n }中，a 1=23，公差d 为整数，若a 6＞0，a 7＜0.
（1）求公差d 的值；
（2）求通项a n .
18.若一个等差数列前三项和为34，后三项和为146，且所有项的和为390，求这个数列的项数.
19.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2n 2+n +1，求数列{a n }的通项公式.
20. 已知数列{a n}中，a1=3
5，a n=2−1
a n−1
（n≥2，n∈N∗），数列{b n}满足b n=1
a n−1
（n∈
N∗）.
（1）求证：数列{b n}是等差数列；
（2）求数列{a n}中的最大项和最小项.
22.设f(x)=log2x−log x4（0＜x＜1），又知数列{a n}的通项满足f(2a n)=2n. （1）求数列{a n}的通项公式；
（2）试判断数列{a n}的增减性.。