高二下数学期中测试卷
重庆市巴蜀中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
1 2
B．1
e
C．
D． e
2．
æ çè
x
+
2 x
ö5 ÷ø
的二项展开式中
x
的系数为（
）
A． -40
B．40
C． -80
D．80
3．已知公比为正数的等比数列{an} 前 n 项和为 Sn ，且 S2 = 1 ， S4 = 5 ，则 a1 = （ ）
A． -1 或 1 3
B． -1
C． 1 3
D．
-
1 3
所以当
-
3 2
<
x
<
-1或1 <
x
<Байду номын сангаас
3 2
时
f
¢( x)
<
0
，
当 -1 < x < 1时 f ¢(x) > 0 ，
所以
f
(
x)
在
æ çè
-
3 2
,
-1ö÷ø
， æçè1,
3 2
ö ÷ø
上单调递减，在
( -1,1)
上单调递增，
所以
f
(
x)
在
x=-
1
处取得极小值，又
f
( -1)
=
-1 ，
f
æ çè
3 2
ì
( ) ï
a1
1- q2
( ) 所以
ï í ï
a1
1- q 1- q4
ï î
1- q
=1
ìïía1
=
1 3
，解得 ïî q = 2 ，
=5
所以
山东省青岛第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
青岛第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，则（ ）A. B. C. D.2. 若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（ ）A B. C. D.3. 下列有关一元线性回归分析的命题正确的是（ ）A. 若两个变量的线性相关程度越强，则样本相关系数就越接近于1B. 经验回归直线是经过散点图中样本数据点最多的那条直线C. 在经验回归方程中，若解释变量增加1个单位，则预测值平均减少0.5个单位D. 若甲、乙两个模型的决定系数分别为0.87和0.78，则模型乙的拟合效果更好4. 已知，则下列命题为真命题的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则5. 7名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排3名，乙场馆安排2名，丙场馆安排2名，则不同的安排方法共有（ ）A. 210种B. 420种C. 1260种D. 630种6. 已知一组样本数据的方差为9，且，则样本数据的方差为（ ）A. 9.2B. 8.2C. 9.8D. 97. 若不等式的解集为，则不等式解集为（ ）A B. ..{1,2,3,4,5},{1,3,5},{1,2,5}U T S ===()U S T = ð{2}{1,2}{2,4}{1,2,4}x |1|x a +<04x <<a 1a ≤-5a >1a <-5a ≥r ˆ20.5yx =-x ˆy 2R ,,R a b c ∈a b >ac bc>0a b >>0.40.4a b -->a b >1122a cb c++⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭0,0a b c >>>b b c a a c+>+125,,,x x x 1324x x x x +=+123451,1,1,1,x x x x x -+-+20ax bx c ++≥[]1,30ax ccx b+≥+(]4,3,3∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭(]4,3,3∞∞⎛⎫--⋃+⎪⎝⎭C. D. 8. 某人在次射击中击中目标的次数为，其中，击中偶数次为事件A ，则（ ）A. 若，则取最大值时B. 当时，取得最小值C. 当时，随着的增大而减小 D. 当的，随着的增大而减小二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ）A. 各二项式系数的和为64 B. 常数项是第3项C. 有理项有3项D. 各项系数的绝对值的和为72910. 已知位于第一象限的点在曲线上，则（ ）A. B. C. D.11. 二次函数是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表：…-1012……22…且当时，对应的函数值．下列说法正确的有（ ）A. B. C. 关于的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在和0之间D. 和在该二次函数的图象上，则当实数时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 函数定义域是______．13. 已知集合，，若中恰有一个整数，的43,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦43,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭n ,~(,)X X B n p N*,01n p ∈<<10,0.8n p ==()P X k =9k =12p =()D X 112p <<()P A n 102p <<()P A n 61x ⎛- ⎝(,)a b 111x y+=(1)(1)1a b --=-228a b +≥23a b +≥+221223a b +≥2,(,y ax bx c a b c =++0)a ≠x y x ym n32x =0y <0abc >1009mn >x 20ax bx c ++=12-()112,P t y +()222,P t y -12t <12y y >()ln(21)f x x =+-{}2|60M x x x =+->{}2|230,0N x x ax a =-+≤>M N ⋂则的最小值为_________.14. 已知函数，若对于恒成立，则实数的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射升空，并于北京时间2024年4月26日3时32分，成功对接于空间站天和核心舱径向端口，整个自主交会对接过程历时约6.5小时!奔赴星辰大海，中国人探索浪漫宇宙脚步驰而不息，逐梦太空的科学探索也不断向前。
辽宁省实验中学北校区2023-2024学年高二下学期期中测试数学试题(原卷版)
2023—2024学年下学期期中测试 高二年级 数学学科一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知等差数列的前项和为，，，则的值为（）A. 70B. 80C. 90D. 1002. 下列变量之间的关系不是相关关系的是（ ）A. 光照时间与大棚内蔬菜的产量 B. 举重运动员所能举起的最大重量与他的体重C. 某正方形的边长与此正方形的面积D. 人的身高与体重3. 函数的导函数（ ）A.B.C.D.4. 已知等比数列满足，记，则数列（ ）A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项5. 已知函数的图象如图所示，则的极小值点的集合为（ ）A. B. C. D. 6. 设是等差数列的前n 项和，且，则下列结论正确的是（ ）A B. C. D. 7. 已知，则（ ）A B. C.D...{}n a n n S 11a =59a =10S ()xe f x x=()f x '=()21xx e x-()1xx e x-()21xx e x-()21xx e x +{}n a 1132,2a q ==-()12n n T a a a n +=∈N {}n T ()f x ()f x {}123,,x x x {}13,x x {}124,,x x x {}3x n S {}n a 675S S S >>110S >120S <130S >86S S >2()sin (1)f x x f x π'=+(1)f =0122ππ8. 已知等比数列满足若，则（ ）A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.10. 已知函数，现给出如下结论，其中正确结论个数为（）A. 是奇函数 B. 0是的极值点C. 在区间上有且仅有三个零点D. 的值域为R11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，其中从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，其中15小题第一空2分，第二空3分，共15分）12. 已知函数，则__________．13. 在首项为1数列中，则______14. 数列中，如果存在，使得“且”成立（其中，），则称为的一个峰值.（1）若，则的峰值为___________（2）若，且不存在峰值，则实数的取值范围是___________三、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）的{}n a 343ln .a a a +=11a >3241,a a a ><3241,a a a <<3241,a a a >>3241,a a a <>()2N ,ξμσ ()E ξμ=()D ξσ=()12P ξμ<=()()P P ξμσξμσ<-=>+()sin cos =-f x x x x ()f x ()f x ()f x (,)22ππ-()f x {}n a n S {}n a n 713a =897S =22212202420242025a a a a a ++⋅⋅⋅+=135199200a a a a a +++⋅⋅⋅+=()1f x x =0(2)(2)limx f x f x∆→+∆-=∆{}n a 112nn n a a n +⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭n a ={}n a k a 1k k a a ->1k k a a +>2k ≥*k ∈N k a {}n a 2311n a n n =-+{}n a 23n a n tn =-+{}n a t15. 已知等比数列的首项为2，等差数列的前n 项和为，且，，．（1）求，的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和．16. 年卡塔尔世界杯即将于月日开幕．某球迷协会欲了解会员是否前往现场观看比赛，按性别进行分层随机抽样，已知男女会员人数之比为，统计得到如下列联表：前往现场观看不前往现场观看合计女性男性合计（1）求，的值，依据小概率值的独立性检验，能否认为是否前往现场观看比赛与性别有关？（2）用频率估计概率，假设会员是否前往现场观看互不影响，若从拟前往现场观看会员中随机抽取人进行访谈，求在访谈者中，女性不少于人的概率．附：，其中．17. 已知数列的前n 项和为，满足，且为，的等比中项．（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前n 项和，证明：．18. （1）求函数的极值．（2）已知曲线，求曲线过点的切线方程．的{}n a {}n b n S 126a a +=1342b a b +=323S a ={}n a {}n b n n b c a ={}n c 202211203:28ab840a b =0.01α4222()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++=n a b c d +++α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828{}n a n S ()()11N n n na S n n n *+-=+∈4a 2a 8a {}n a n T 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭1184n T ≤<4232()1432x x f x x =-+-32221y x x x =-++()0,1P（3）讨论函数，单调性19. 集合，集合，若集合中元素个数为，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合为“好集合”.（1）判断集合、是否为“好集合”；（2）若集合是“好集合”，求的值；（3）“好集合”的元素个数是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.的21()ln 2f x ax x x =-+a ∈R {}()*12,,,,1,2,n i S a a a a i n =∈=N {},1ij ij i j T b b a a i j n ==+≤<≤T ()12n n -S {}11,2,3S ={}21,2,3,4S ={}()31,3,5,5S m m =>m S。
2022-2023学年山东省德州市高二(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年山东省德州市高二（下）期中数学试卷一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．已知函数f （x ）＝sin x ，则Δx →0limf(π3+Δx)−f(π3)Δx =（ ） A ．12B ．√32C ．−√32D ．−122．在等差数列{a n }中，a 3+a 5＝15，a 6＝7，则a 2＝（ ） A ．14B ．12C ．10D ．83．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：度）与气温x （单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程：y =−3x +60．则a 的值为（ ） A ．20B ．22C ．25D ．284．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S 2＝1，S 4＝5，则S 8的值为（ ） A ．85B ．64C ．84D ．215．设三次函数f （x ）的导函数为f ′（x ），函数y ＝x •f ′（x ）的图象的一部分如图所示，则正确的是（ ）A ．f （x ）的极大值为f(√3)，极小值为f(−√3)B ．f （x ）的极大值为f(−√3)，极小值为f(√3)C ．f （x ）的极大值为f （﹣3），极小值为f （3）D ．f （x ）的极大值为f （3），极小值为f （﹣3）6．已知函数f （x ）＝lnx +ax 2，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞2，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（14，+∞）B ．（12，+∞）C ．[14，+∞）D ．[12，+∞）7．中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智，如南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的三角垛、方垛等的求和都与高阶等差数列有关．如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第25层小球的个数为（）A．324B．325C．326D．3958．设函数y＝f（x）的定义域为D，且其图象上所有点均在直线y＝t的上方，则称函数y＝f（x）为“D﹣t函数”，若函数f（x）＝（x﹣t）e x的定义域为R，且为“（﹣∞，+∞）﹣t函数”，则实数t的最大整数值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．下列命题正确的是（）A．回归直线y=b x+a恒过样本点的中心(x，y)，且至少过一个样本点B．在回归直线方程y=0.5x+2中，变量y与x正相关C．变量x，y的样本相关系数|r|越大，表示它们的线性相关性越强D．在回归分析中，残差平方和越大，模型的拟合效果越好10．已知x﹣lny＞y﹣lnx，则（）A．1x ＞1yB．x−y＞1x−1y C．ln（x﹣y）＞0D．x3＞y311．斐波那契数列又称黄金分割数列，斐波那契数列{a n}满足：a1＝a2＝1，a n+2＝a n+1+a n，记∑n i=1a i=a1+ a2+⋯+a n，则下列结论正确的是（）A．a6＝8B．3a n＝a n﹣2+a n+2（n⩾3）C．∑2023i=1a i=a2025D．∑2023i=1a i2=a2023⋅a202412．已知函数f（x）＝xlnx﹣mx2，下列说法正确的是（）A．若f（x）为单调递减函数，则m≥12B．当m≤0或m=12时，f（x）有且仅有一个极值点C．当m=1e时，f（x）图象与x轴相切D ．当m ≤0或m =1e时，f （x ）有且仅有一个零点 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数f （x ）＝2x ﹣alnx 在（1，f （1））处的切线方程为y ＝x +1，则实数a ＝ ． 14．写出一个同时具有下列性质①②的数列{a n }的通项公式：a n ＝ ． ①a m ﹣n ＝a m ﹣a n （m ＞n ，m ，n ∈N *）； ②{a n }单调递增．15．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME ﹣7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．已知A 1，A 2，A 3，⋯为直角顶点，设|OA 1|＝|A 1A 2|＝|A 2A 3|＝|A 3A 4|＝⋯＝1，|OA 1|，|OA 2|，…|OA n |，⋯构成数列{a n }，令b n =1a n+1+a n ，S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 80＝ ．16．已知函数f(x)={2elnxx ，1≤x ≤t ，f(x−t+1)2，x ＞t ((t ≥4)，其中e ＝2.71828⋯．若t ＝4，则f （x ）的最大值为 ；若方程f(x)=4e 有且只有1个实根，则实数t 的取值范围为 ．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知函数f （x ）＝﹣x 3+3ax 2﹣5，x ＝2是函数f （x ）的一个极值点． （1）求实数a 的值；（2）求函数f （x ）在区间[﹣2，4]上的最大值和最小值．18．（12分）为了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，全校共有1000名学生参加，其中男生450名，采用分层抽样的方法抽取100人，将他们的比赛成绩，分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．其中成绩不低于80分为“优秀”，低于80分为“非优秀”． （1）求实数a 的值，并估算全校1000名学生中成绩优秀的人数；（2）完成下列2×2列联表，判断是否有95%的把握认为比赛成绩优秀与性别有关．附：χ2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．19．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝2a n +2．（1）证明数列{a n +2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{a n }落入区间（10，2023）的所有项的和．20．（12分）在扶贫政策的大力支持下，某县农副产品加工厂经营得十分红火，不仅解决了就业问题，而且为脱贫工作作出了重大贡献，该工厂收集了1月份至5月份的销售量数据（如下表），并利用这些数据对后期生产规模做出决策．该工厂为了预测未来几个月的销售量，建立了y 关于x 的回归模型：y =b x 2+a ．表中：w i =x i 2，w =15∑ 5i=1w i． （1）根据所给数据与回归模型，求y 关于x 的回归方程（b 的值精确到0.1，a 的值精确到整数位）； （2）已知该工厂的月利润z （单位：万元）与x ，y 的关系为z =5y+35x+2，根据（1）的结果，预测该工厂哪一个月的月利润最小．参考公式：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ），其回归直线y =b x +a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b =∑(x i −x)ni=1(y i −y)∑(x i −x)2n i=1=∑ n i=1x i y i −nxy ∑ ni=1x i 2−nx2，a =y −b x ．21．（12分）已知数列{an 3n }是以13为首项的常数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．（1）求S n ；（2）设正整数m ＝b 0×30+b 1×31+⋯+b k ×3k ，其中b i ∈{0，1，2}，i ，k ∈N ．例如：3＝0×30+1×31，则b 0＝0，b 1＝1；4＝1×30+1×31，则b 0＝1，b 1＝1．若f （m ）＝b 0+b 1+⋯+b k ，求数列{S n •f （S n ）}的前n 项和T n ．22．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+（2﹣a ）x ﹣alnx ． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若函数f （x ）有两个零点x 1和x 2，求证：f （x ）在x 1+x 22处的切线斜率恒为正数．2022-2023学年山东省德州市高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．已知函数f （x ）＝sin x ，则Δx →0limf(π3+Δx)−f(π3)Δx =（ ）A ．12B ．√32C ．−√32D ．−12解：因为f （x ）＝sin x ，所以f ′（x ）＝cos x ，所以Δx →0limf(π3+Δx)−f(π3)Δx =f′(π3)=cos π3=12．故选：A ．2．在等差数列{a n }中，a 3+a 5＝15，a 6＝7，则a 2＝（ ） A ．14B ．12C ．10D ．8解：由a 3+a 5＝15，a 6＝7，又{a n }为等差数列，得a 3+a 5＝2a 1+6d ＝15，a 6＝a 1+5d ＝7， 解得a 1=334，d =−14，则a 2=a 1+d =334−14=8． 故选：D ．3．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：度）与气温x （单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程：y =−3x +60．则a 的值为（ ） A ．20B ．22C ．25D ．28解：由表格数据可知，x =17+14+10+(−1)4=10，样本点中心(x ，y)必在回归直线上，所以y =−3×10+60=30， 所以y =21+a+34+404=30，解得：a ＝25． 故选：C ．4．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S 2＝1，S 4＝5，则S 8的值为（ ） A ．85B ．64C ．84D ．21解：设等比数列的公比为q ，S 4S 2=S 2+a 3+a 4S 2=1+a 3+a 4a 1+a 2=1+q 2=5，得q 2＝4，S 8S 4=S 4+a 5+a 6+a 7+a 8S 4=1+a 5+a 6+a 7+a 8a 1+a 2+a 3+a 4=1+q 4=17，所以S 8＝17S 4＝85． 故选：A ．5．设三次函数f （x ）的导函数为f ′（x ），函数y ＝x •f ′（x ）的图象的一部分如图所示，则正确的是（ ）A ．f （x ）的极大值为f(√3)，极小值为f(−√3)B ．f （x ）的极大值为f(−√3)，极小值为f(√3)C ．f （x ）的极大值为f （﹣3），极小值为f （3）D ．f （x ）的极大值为f （3），极小值为f （﹣3）解：观察图象知，x ＜﹣3时，y ＝x •f ′（x ）＞0，∴f ′（x ）＜0． ﹣3＜x ＜0时，y ＝x •f ′（x ）＜0，∴f ′（x ）＞0． 由此知极小值为f （﹣3）．0＜x ＜3时，y ＝x •f ′（x ）＞0，∴f ′（x ）＞0． x ＞3时，y ＝x •f ′（x ）＜0，∴f ′（x ）＜0． 由此知极大值为f （3）． 故选：D ．6．已知函数f （x ）＝lnx +ax 2，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞2，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（14，+∞）B ．（12，+∞）C ．[14，+∞）D ．[12，+∞）解：由题意，不妨设x 1＞x 2＞0，因为对任意两个不等的正实数x 1，x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞2，所以f （x 1）﹣f （x 2）＞2x 1﹣2x 2，即f （x 1）﹣2x 1＞f （x 2）﹣2x 2， 构造函数g （x ）＝f （x ）﹣2x ＝lnx +ax 2﹣2x （x ＞0），则g （x 1）＞g （x 2）， 所以g （x ）在（0，+∞）上单调递增，所以g ′（x ）=1x +2ax ﹣2≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≥1x−12x2在（0，+∞）上恒成立，设m（x）=1x−12x2（x＞0），则m′（x）=−1x2+1x3=1−xx3，所以当x∈（0，1）时，m′（x）＞0，m（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）单调递减；所以m（x）max＝m（1）＝1−12=12，所以a≥1 2．当故选：D．7．中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智，如南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的三角垛、方垛等的求和都与高阶等差数列有关．如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第25层小球的个数为（）A．324B．325C．326D．395解：记第n层有a n个球，则a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，结合高阶等差数列的概念知a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝3，a4﹣a3＝4，⋯，a n﹣a n﹣1＝n（n≥2），则第25层的小球个数：a25＝（a25﹣a24）+（a24﹣a23）+⋯+（a2﹣a1）+a1＝25+24+23+⋯+2+1＝325．故选：B．8．设函数y＝f（x）的定义域为D，且其图象上所有点均在直线y＝t的上方，则称函数y＝f（x）为“D﹣t函数”，若函数f（x）＝（x﹣t）e x的定义域为R，且为“（﹣∞，+∞）﹣t函数”，则实数t的最大整数值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2解：∵函数f（x）＝（x﹣t）e x的定义域为R，且为“（﹣∞，+∞）﹣t函数”，∴（x﹣t）e x≥t在（﹣∞，+∞）上恒成立，即xe xe x+1≥t在（﹣∞，+∞）上恒成立，设g(x)=xe xe x+1，则g′(x)=(x+1)e x(e x+1)−xe2x(e x+1)2=e x(x+e x+1)(e x+1)2，令h（x）＝x+e x+1，则h′（x）＝1+e x＞0，∴h（x）＝x+e x+1在R上单调递增，又h（﹣2）＝﹣1+e﹣2＜0，h（﹣1）＝e﹣1＞0，∴存在x0∈（﹣2，﹣1）使得h（x0）＝0，∴当x＜x0时，g′（x）＜0，函数g（x）在（﹣∞，x0）上单调递减，当x＞x0时，g′（x）＞0，函数g（x）在（x0，+∞）上单调递增，∴当x＝x0时，函数g（x）取最小值，最小值为g(x0)=x0e x0e x0+1，且x0+e x0+1=0，∴g(x0)=x0(−x0−1)−x0=x0+1，故函数g（x）的最小值为x0+1，又x0∈（﹣2，﹣1），∴x0+1∈（﹣1，0），故t的最大整数值为﹣1．故选：B．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．下列命题正确的是（）A．回归直线y=b x+a恒过样本点的中心(x，y)，且至少过一个样本点B．在回归直线方程y=0.5x+2中，变量y与x正相关C．变量x，y的样本相关系数|r|越大，表示它们的线性相关性越强D．在回归分析中，残差平方和越大，模型的拟合效果越好解：对于A，回归直线y=b x+a恒过样本点的中心(x，y)，但可以不经过任何一个样本点，A错误；对于B，在回归直线方程y=0.5x+2中，0.5＞0，所以变量y与x正相关，B正确；对于C，变量x，y的样本相关系数|r|越大，越靠近1，表示它们的线性相关性越强，C正确；对于D，在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，D错误．故选：BC．10．已知x﹣lny＞y﹣lnx，则（）A．1x ＞1yB．x−y＞1x−1y C．ln（x﹣y）＞0D．x3＞y3解：由题可得，x+lnx＞y+lny，设f（x）＝x+lnx，x＞0，所以f′(x)=1+1x＞0，即函数f（x）在（0，+∞）上递增，所以由f（x）＞f（y）可得：x＞y＞0．对于A，由函数y=1x在（0，+∞）上递减，所以当x＞y＞0时，1x＜1y，A错误；对于B，易知函数y=x−1x在（0，+∞）上递增，所以当x＞y＞0时，x−1x＞y−1y，即x−y＞1x−1y，B正确；对于C，当x＞y＞0时，若x﹣y＜1，则ln（x﹣y）＜0，C错误；对于D，因为函数y＝x3在（0，+∞）上递增，所以当x＞y＞0时，x3＞y3，D正确．故选：BD．11．斐波那契数列又称黄金分割数列，斐波那契数列{a n}满足：a1＝a2＝1，a n+2＝a n+1+a n，记∑n i=1a i=a1+ a2+⋯+a n，则下列结论正确的是（）A．a6＝8B．3a n＝a n﹣2+a n+2（n⩾3）C．∑2023i=1a i=a2025D．∑2023i=1a i2=a2023⋅a2024解：对于A项，因为a1＝1，a2＝1，a n+2＝a n+1+a n，所以a3＝a2+a1＝2，a4＝a3+a2＝3，a5＝a4+a3＝5，a6＝a5+a4＝8，故A项正确；对于B项，因为a n+2＝a n+1+a n，所以当n≥3时，a n﹣2+a n+2＝a n﹣2+（a n+1+a n）＝a n﹣2+（a n+a n﹣1）+a n ＝（a n﹣2+a n﹣1）+a n+a n＝a n+a n+a n＝3a n，故B项正确；对于C项，因为a n+2＝a n+1+a n，所以a n+2﹣a n+1＝a n，所以a3﹣a2＝a1，a4﹣a3＝a2，a5﹣a4＝a3，…，a2025﹣a2024＝a2023，由累加法得：a2025﹣a2＝a1+a2+a3+⋯+a2023，又因为a2＝1，所以a1+a2+a3+⋯+a2023＝a2025﹣1，即：∑2023i=1a i=a2025−1，故C项错误；对于D项，因为a n+12=a n+1×a n+1=a n+1×（a n+2﹣a n）＝a n+1a n+2﹣a n+1a n，a1＝1，a2＝1，所以∑2023i=1a i2=a12+a22+a32+⋯+a20232=a1a2+(a2a3−a2a1)+(a3a4−a3a2)+⋯+(a2023a2024−a2023a2022)=a2023a2024，故D项正确．故选：ABD．12．已知函数f（x）＝xlnx﹣mx2，下列说法正确的是（）A．若f（x）为单调递减函数，则m≥12B．当m≤0或m=12时，f（x）有且仅有一个极值点C．当m=1e时，f（x）图象与x轴相切D．当m≤0或m=1e时，f（x）有且仅有一个零点解：函数f（x）＝xlnx﹣mx2的定义域为（0，+∞），求导得f′（x）＝1+lnx﹣2mx，对于A，由f（x）为单调递减函数，得∀x＞0，f′(x)≤0⇔2m≥1+lnxx，令g(x)=1+lnxx，x＞0，求导得g′(x)=−lnxx2，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）递增，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）递减，则当x＝1时，g（x）max＝g（1）＝1，于是2m≥1，解得m≥12，A正确；对于B，由选项A知，当m=12时，f（x）为单调递减函数，无极值点，B错误；对于C，当m=1e时，f(x)=xlnx−1ex2，显然f（e）＝0，f′(x)=1+lnx−2ex，且f′（e）＝0，因此函数f（x）的图象在点（e，0）处的切线为y＝0，为x轴，C正确；对于D，由f（x）＝0，得lnx﹣mx＝0，令h（x）＝lnx﹣mx，x＞0，求导得ℎ′(x)=1x−m，当m≤0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，而当m＝0时，h（1）＝0，当m＜0时，h（e m）＝m﹣me m＝m（1﹣e m）＜0，h（1）＝﹣m＞0，因此函数仅只一个零点；当m＞0时，x∈(0，1m)，h′（x）＞0，h（x）递增，函数值集合为(−∞，ℎ(1m))，x∈(1m，+∞)，h′（x）＜0，h（x）递减，函数值集合为(−∞，ℎ(1m))，则当x=1m时，ℎ(x)max=ℎ(1m)=−lnm−1，函数f（x）只有一个零点，当且仅当﹣lnm﹣1＝0，解得m=1 e ，所以当m≤0或m=1e时，f（x）有且仅有一个零点，D正确．故选：ACD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数f（x）＝2x﹣alnx在（1，f（1））处的切线方程为y＝x+1，则实数a＝1．解：由f（x）＝2x﹣alnx，得f′(x)=2−a x ，∵函数f（x）＝2x﹣alnx在（1，f（1））处的切线方程为y＝x+1，∴f′（1）＝2﹣a＝1，得a＝1．故答案为：1．14．写出一个同时具有下列性质①②的数列{a n}的通项公式：a n＝kn（k＞0）（符合此种形式即可）．①a m﹣n＝a m﹣a n（m＞n，m，n∈N*）；②{a n}单调递增．解：假设数列为等差数列，设其公差为d，首项为a1，由性质①可得：a1+（m﹣n﹣1）d＝a1+（m﹣1）d﹣a1﹣（n﹣1）d⇒a1＝d，即a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝dn ，再根据②可知，公差d ＞0，显然a n ＝kn （k ＞0）满足题意． 故答案为：kn （k ＞0）（符合此种形式即可）．15．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME ﹣7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．已知A 1，A 2，A 3，⋯为直角顶点，设|OA 1|＝|A 1A 2|＝|A 2A 3|＝|A 3A 4|＝⋯＝1，|OA 1|，|OA 2|，…|OA n |，⋯构成数列{a n }，令b n =1a n+1+a n ，S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 80＝ 8 ．解：由题意得|OA n |=√|OA n−1|2+|A n−1A n |2=√|OA n−1|2+1 ∵|OA 1|＝|A 1A 2|＝|A 2A 3|＝|A 3A 4|＝⋯＝1， ∴|OA n |=√n ， ∴a n =√n ，∴b n =1a n+1+a n =1√n+1+√n =√n +1−√n ，∴S n =b 1+b 2+⋯+b n =√2−1+√3−√2+⋯+√n +1−√n =√n +1−1， ∴S 80=√81−1=8． 故答案为：8．16．已知函数f(x)={2elnxx ，1≤x ≤t ，f(x−t+1)2，x ＞t ((t ≥4)，其中e ＝2.71828⋯．若t ＝4，则f （x ）的最大值为 2 ；若方程f(x)=4e 有且只有1个实根，则实数t 的取值范围为 [4，e 2） ． 解：当t ＝4时，x ∈[1，4]时： f(x)=elnxx ，f′(x)=2e ⋅1−lnxx 2， 当4≥x ＞e 时，f ′（x ）＜0，f （x ） 单调递减， 当1≤x ＜e 时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 并且f （x ）≥0；所以在x ∈[1，4]时，f （x ）max ＝f （e ）＝2； 当x ＞4时，f(x)=f(x−t+1)2，即f （x ）≤f （x ﹣t +1），∴x∈[1，+∞）时，f（x）max＝f（e）＝2；当t≥4时，f(t)=2elnt t，由于当x＞t时，f(x)=f(x−t+1)2，函数的大致图象如下：∴欲使得f(x)=4e只有一个解，则必须f(t)=2elntt＞4e，即lntt＞2e2，设g(t)=lntt，则g′(t)=1−lntt2，t≥4，∴g′（t）＜0，g（t）单调递减，又g(e2)=2e2，∴t＜e2．故答案为：2；[4，e2）．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数f（x）＝﹣x3+3ax2﹣5，x＝2是函数f（x）的一个极值点．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值和最小值．解：（1）由题意知，f′（x）＝﹣3x2+6ax，由x＝2是极值点，得f′（2）＝12a﹣12＝0，故a＝1，经检验：a＝1成立．故a的值为1．（2）由（1）知，f（x）＝﹣x3+3x2﹣5，所以f′（x）＝﹣3x2+6x，令f′（x）＝0⇒x1＝0，x2＝2当x∈（﹣2，0）时，f′（x）＜0，则f（x）单调递减．当x∈（0，2）时，f′（x）＞0，则f（x）单调递增．当x∈（2，4）时，f′（x）＜0，则f（x）单调递减．又f（﹣2）＝15，f（0）＝﹣5，f（2）＝﹣1，f（4）＝﹣21所以f（x）在[﹣2，4]上最大值为15，最小值为﹣21．18．（12分）为了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，全校共有1000名学生参加，其中男生450名，采用分层抽样的方法抽取100人，将他们的比赛成绩，分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．其中成绩不低于80分为“优秀”，低于80分为“非优秀”．（1）求实数a的值，并估算全校1000名学生中成绩优秀的人数；（2）完成下列2×2列联表，判断是否有95%的把握认为比赛成绩优秀与性别有关．附：χ2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．解：（1）由题意可得：（0.005+0.015+0.030+0.025+0.005+a）×10＝1，解得a＝0.020，样本中成绩优秀的频率为：（0.020+0.005）×10＝0.25，以样本估计总体，全校1000名学生中成绩优秀的人数为：0.25×1000＝250（人）．（2）由题意，采用分层抽样，男生抽取人数4501000×100=45人，女生抽取100﹣45＝55人，且样本中优秀的人数为100×0.25＝25人，故2×2列联表如下：可得χ2=100×(15×45−30×10)245×55×25×75=10033≈3.030，因为3.030＜3.841，故没有95%的把握认为比赛成绩优秀与性别有关19．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝2a n+2．（1）证明数列{a n+2}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n }落入区间（10，2023）的所有项的和．解：（1）证明：由a n +1＝2a n +2，得a n +1+2＝2（a n +2），又a 1+2＝3， 所以a n+1+2a n +2=2，所以{a n +2}是首项3，公比为2的等比数列，所以a n +2=3×2n−1，即a n =3×2n−1−2．（2）由题意10＜a n ＜2023，即10＜3×2n ﹣1﹣2＜2023，解得：4＜2n ﹣1＜675，即3＜n ≤10，故{a n }落入区间（10，2023）的项为a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，a 10， 所以其和S ＝a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9+a 10＝3×（23+24+⋯+29）﹣2×7=3×8−10241−2−14 ＝3034．20．（12分）在扶贫政策的大力支持下，某县农副产品加工厂经营得十分红火，不仅解决了就业问题，而且为脱贫工作作出了重大贡献，该工厂收集了1月份至5月份的销售量数据（如下表），并利用这些数据对后期生产规模做出决策．该工厂为了预测未来几个月的销售量，建立了y 关于x 的回归模型：y =b x 2+a ．表中：w i =x i 2，w =15∑ 5i=1w i． （1）根据所给数据与回归模型，求y 关于x 的回归方程（b 的值精确到0.1，a 的值精确到整数位）； （2）已知该工厂的月利润z （单位：万元）与x ，y 的关系为z =5y+35x+2，根据（1）的结果，预测该工厂哪一个月的月利润最小．参考公式：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ），其回归直线y =b x +a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： b =∑(x i −x)ni=1(y i −y)∑(x i −x)2n i=1=∑ n i=1x i y i −nxy ∑ ni=1x i 2−nx2，a =y −b x ．解：（1）由题意，y =b x 2+a ，令ω＝x 2得y =b ω+a ； 所以b =∑5i=1i i −5ωy ∑5i=1i 22=81.1374≈0.2，a =y −b −ω=7.2−81.1374×11≈5， 所以y 关于x 的回归方程为y =0.2x 2+5；（2）由（1）知y ＝0.2x 2+5，故z =5y+35x+2=x 2+60x+2；z =x 2+60x+2=x +2+64x+2−4≥2√64−4=12，当且仅当x +2=64x+2即x ＝6时等号成立，所以该工厂6月份的月利润最小． 21．（12分）已知数列{an 3n }是以13为首项的常数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．（1）求S n ；（2）设正整数m ＝b 0×30+b 1×31+⋯+b k ×3k ，其中b i ∈{0，1，2}，i ，k ∈N ．例如：3＝0×30+1×31，则b 0＝0，b 1＝1；4＝1×30+1×31，则b 0＝1，b 1＝1．若f （m ）＝b 0+b 1+⋯+b k ，求数列{S n •f （S n ）}的前n 项和T n ．解：（1）由题意可得：a n 3n=13，则a n =3n−1，可得a n+1a n=3n 3n−1=3，可知数列{a n }是以首项a 1＝1，公比q ＝3的等比数列，所以S n =1−3×3n−11−3=3n−12．（2）因为S n =30+31+32+⋯+3n−1=1×30+1×31+1×32+⋯+1×3n ﹣1， 则b 0＝b 1＝⋯＝b n ﹣1＝1，由题意f （S n ）＝b 0+b 1+⋯+b n ﹣1＝1+1+⋯+1＝n ，所以S n ⋅f(S n )=n×3n−n2，可得T n =1×3−12+2×32−22+⋯+n×3n−n 2=12[(1×3+2×32+⋯+n ×3n )−(1+2+⋯+n)]， （i ）先求数列{n ×3n }的前n 项和，记之为T ′， 则T ′＝1×31+2×32+⋯+n ×3n ①， 3T ′＝1×32+2×33+⋯+n ×3n +1②， ①﹣②得：﹣2T ′＝3+32+33+⋯+3n﹣n ×3n +1=3−3n+1−2−n ×3n+1=−32+(12−n)×3n+1，所以T ′=34+2n−14×3n+1； （ⅱ）再求{n }的前n 项和，记之为T ″，则T ″=n(n+1)2； 综上所述：T n =12(T′−T″)=12[(34+2n−14×3n+1)−n(n+1)2]=38+2n−18×3n+1−n(n+1)4． 22．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+（2﹣a ）x ﹣alnx ．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若函数f （x ）有两个零点x 1和x 2，求证：f （x ）在x 1+x 22处的切线斜率恒为正数．解：（1）由题意得函数定义域为（0，+∞），f ′(x)=2x +(2−a)−ax =(x+1)(2x−a)x， 当a ≤0时，2x ﹣a ＞0，即f ′（x ）＞0，故f （x ）在（0，+∞）上单调递增； 当a ＞0时，由f ′（x ）＞0得x ＞a 2，由f '（x ）＜0得0＜x ＜a2， ∴f （x ）在(0，a 2)上单调递减，在(a 2，+∞)上单调递增， 综上所述，当a ≤0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增；当a ＞0时，f （x ）在(0，a 2)上单调递减，在(a2，+∞)上单调递增． （2）证明：由（1）得f （x ）有两个零点，则a ＞0，则f(x 1)=f(x 2)=0⇒{x 12+2x 1=a(x 1+lnx 1)x 22+2x 2=a(x 2+lnx 2)，不妨设0＜x 1＜x 2，∴x 12−x 22+2(x 1−x 2)=a[(x 1−x 2)+(lnx 1−lnx 2)]，化简得x 1+x 2+2=a(1+lnx 1−lnx 2x 1−x 2)．令y(t)=lnt −2(t−1)t+1(t ＞1)，y ′(t)=(t−1)2t(t+1)2＞0∴y ＝y （t ）在（1，+∞）上单调递增．∴当t ＞1时，y （t ）＞y （1）＝0，即lnt −2(t−1)t+1＞0， 取t =x 2x 1＞1，则ln x 2x 1−2(x2x 1−1)x 2x1+1＞0， 即lnx 2−lnx 1−2(x 2−x 1)x 2+x 1＞0(x 2＞x 1＞0)， ∴lnx 2−lnx 1x 2−x 1＞2x 2+x 1，即lnx 1−lnx 2x 1−x 2＞2x 1+x 2，∴x 1+x 2+2＞a ⋅(1+2x 1+x 2)⇒x 1+x 2＞a ，又f ′(x 1+x 22)=x 1+x 22+1x 1+x 22×(x 1+x 2−a)＞0，故f （x ）在x =x 1+x 22处切线斜率恒为正．。
山东省实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)
山东省实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.展开式中 的系数为（ ）A. B. C. 30D. 902. 若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. 或 D.3. 2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，即农村贫困人口不愁吃、不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法种数共有A. 15 B. 60 C. 90 D. 5404. 若，则（ ）A. B. C. D. 5. 在5个大小相同的球中有2个红球和3个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率是（ ）A.B.C.D.6. 随机变量ξ的分布列如下：其中，则等于（ ）A.B.()()6231x x --3x 90-30-()32112132f x x x x =-+++()1,4m m -+m 5m ≤-3m ≥5m ≤-3m ≥53m -≤≤2022220220122022(32)x a a x a x a x -=++++ 2022a a =2022220221()220222(320223()2110142512ξ1-01Pabc2b a c =+(1)P ξ=1314C.D.7. 蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成的三面角. 18世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸. 令人惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是，所有的锐角都是. 后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度. 从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”. 如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面. 图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第层（有条竖直线段）第通道（从左向右计）的不同路径数为. 例如：，. 则不等式的解集为（）A. B. C. D. 8. 已知函数，若恰有四个不同的零点，则a 取值范围为（）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知A ，B ，C 为随机事件，则下列表述中不正确的是（ ）A B. C. D. 10. 对于函数，下列说法中正确是（ ）A. 存在有极大值也有最大值.的122310928'︒7032'︒n n m (),A n m ()3,11A =()4,23A =()10,81A m ≤{}1,2,3,7,8,9{}1,2,3,8,9,10{}1,2,3,9,10,11{}4,5,6,7,8()xf x x e =()()()21g x fx af x =-+()2,∞+1,e e⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭12,e e ⎛⎫+⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()()()P AB P A P B =()()()P B C A P B A P C A ⋃=+()1P A A =()()P A B P AB ≥()222272exx x f x +-=()f xB. 有三个零点C. 当时，恒成立D. 当时，有3个不相等的实数根11. 在信道内传输信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为．若输入四个相同的信号的概率分别为，且．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“依次输出”，则（ ）A. 若输入信号，则输出信号只有两个的概率为B.C.D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若，则实数a 取值范围为________13. 编号为A 、B 、C 、D 、E 的5种蔬菜种在如图所示的五块实验田里，每块只能种一种蔬菜，要求A 品种不能种在1，2试验田里，B 品种必须与A 种在相邻的两块田里，则不同的种植方法种数为________14. 设为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱异面时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，则数学期望=________.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．的的()f x x ⎫∈+∞⎪⎪⎭()0f x >450,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x a =,,M N P ()01αα<<12α-,,MMMM NNNN PPPP 123,,p p p 1231p p p ++=111,,M N P MMMM NNNN PPPP D MNPM MMMM M ()221αα-()22112P D M αα-⎛⎫= ⎪⎝⎭()3112P D P αα-⎛⎫= ⎪⎝⎭()()1112311p P M D p ααα=-+-e ln()x ax x ax -≥-+ξ0ξ=1ξ=ξE ξ15. 在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等．（1）求展开式中各项系数之和；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中的有理项．16. 学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试．测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取．已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为．假设学生甲每次投进与否互不影响．（1）求学生甲被录取的概率；（2）在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列．17. 已知函数在点处切线与直线垂直.（1）求的值；（2）求的单调区间和极值.18. 人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）.（1）求首次试验结束的概率；（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.19. 已知函数，．的1n⎫⎪⎭3423X X ()21ex x af x -+=()()1,1f 420240x y ++=a ()f x 12()23ln f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭R a ∈（1）若的定义域为，值域为，求的值；（2）若，且对任意的，当，时，总满足，求的取值范围．（附加题）20. 帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m ，n ，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．（注：，，，，…；为的导数）已知在处的阶帕德近似为．（1）求实数a ，b 的值；（2）比较与的大小；（3）若在上存在极值，求的取值范围．()f x {|0,R}x x x ≠∈R a 0a >1,13c ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x 2x ∈()()12ln2f x f x -≤a ()f x 0x =[,]m n 011()1mm nn a a x a x R x b x b x+++=+++ (0)(0)f R =(0)(0)f R ''=(0)(0)f R ''''=()()(0)(0)m n m n f R ++=[]()()f x f x '='''[]()()f x f x ''''''=[](4)()()f x f x ''''=(5)(4)()()f x f x '⎡⎤=⎣⎦()()n f x (1)()n f x -()ln(1)f x x =+0x =[]1,1()1ax R x bx=+()f x ()R x ()1()()()2f x h x m f x R x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(0,)+∞m山东省实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AB【10题答案】【答案】CD【11题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】30【14题答案】四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）0（2）（3）有理项为，，【16题答案】【答案】（1）（2）分布列略【17题答案】【答案】（1）（2）单调递减区间为和，单调递增区间为，的极大值为，极小值为.【18题答案】【答案】（1） （2）①；②方案二中取到红球的概率更大.【19题答案】【答案】（1） （2）（附加题）【20题答案】【答案】（1），； (]0,e 4370x -228x -156x --1563a =-(),1-∞-()3,+∞()1,3-()f x ()263e f =()212e f -=-1120190a =45,7∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭1a =12b =（2）答案略；（3）．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭。
河北省石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)
石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（时间：120分钟，分值150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.2. 设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（）A. 0B.C. 2D. 33. 已知随机变量的分布列如下，随机变量满足，则随机变量的期望E(Y)等于（）012A. B. C. D.4. 函数的大致图像是（）A. B.C. D.5. 为了培养同学们的团队合作意识，在集体活动中收获成功、收获友情、收获自信、磨砺心志，2023年4月17日，石家庄二中实验学校成功举办了首届“踔厉奋发新征程，勇毅前行赢未来”25公里远足活动. 某班()22x x'-=-()2e2ex x'=()cos cos sinx x x x x'=-()()122xx x-'=⋅()e xf x a b=+()πcos2xg x c=+()02P，+ab cπX Y21Y X=-YXP1613a43835373()(1)ln1f x x x=+-现有5名志愿者分配到3个不同的小组里协助班主任摄影，记录同学们的青春光影，要求每个人只能去一个小组，每个小组至少有一名志愿者，则不同的分配方案的总数为（ ）A 120B. 150C. 240D. 3006. 的展开式中的系数为（ ）A B. 17C. D. 137. 设，，，则（ ）A. B. C. D. 8. 若方程有三个不同的解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 展开式中最大的系数为10. 已知函数，下列说法正确的有（ ）A. 若，，则函数F (x )有最小值B. 若，，则过原点可以作2条直线与曲线相切C. 若，且对任意，恒成立，则D. 若对任意，任意，恒成立，则的最小值是11 已知函数，若且，则有（ ）...()632x x ⎛- ⎝6x 17-13-35ln 23a =253e 5b =1c =c b a >>a b c >>a c b >>c a b>>()()23ln 12ln x a x ax x x--=a 224e 104e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，224e 114e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，()224e 10114e 4e ⎛⎫+⋃ ⎪-⎝⎭，，()224e 1014e 4e ⎧⎫+⋃⎨⎬-⎩⎭，()62601262a a x a x a x =+++⋯+3360a =-()()2202461351a a a a a a a +++-++=(6612622a a a ++⋯+=--2a ()()()2e 114ax F x m x m =++++0m =1a =-1m =-0a ≠()y F x =0a =m ∈R ()0F x >11x -<<R m ∈0x >()0F x ≥a 2e()()y f x x =∈R ()0f x >()()0f x xf x '+>A. 可能是奇函数或偶函数B. C. 当时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 为弘扬我国古代“六艺文化”，某夏令营主办方计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”，“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有______种排法.13. 某校辩论赛小组共有5名成员，其中女生比男生多，现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，若抽到一男一女的概率为，则抽到2名男生的概率为_____________.14. 若，使得成立（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，（1）求的值；（2）求其展开式中所有的有理项．16. 某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛．现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有个选择题和个填空题，乙箱中有个选择题和个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答．每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中．（1）如果第一支部从乙箱中抽取了个题目，求第题抽到的是填空题的概率；（2）若第二支部从甲箱中抽取了个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目．求第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题的概率．17. 已知函数.（1）求函数的极值；（2）若对任意恒成立，求的最大整数值.18. 张强同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，前的()f x ()()11f f -<ππ42x <<()()cos22sin e cos x f x f x >()()01f >35[]0,2x ∃∈()1eln e e 1ln xa a x x a --+≥-+e 2.71828= a nx ⎛- ⎝a b 32a b +=n 5343222()ln f x x x x =+()f x ()()1k x f x -<1x >k 1312两次投篮是否命中相互之间没有影响.第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为，如果前两次投篮均未命中，则第三次投篮命中的概率为.（1）求张强同学三次投篮至少命中一次的概率；（2）记张强同学三次投篮命中的次数为随机变量，求的概率分布.19. 设定义在R 上的函数．（1）若存在，使得成立，求实数a 的取值范围；（2）定义：如果实数s ，t ，r 满足，那么称s 比t 更接近r ．对于（1）中的a 及，问：和哪个更接近？并说明理由．石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C 【2题答案】【答案】C 【3题答案】【答案】C 【4题答案】【答案】B 【5题答案】【答案】B 【6题答案】2315ξξ()()e xf x ax a =-∈R [)01,x ∈+∞()0e f x a <-s r t r -≤-1x ≥ex1e x a -+ln x【答案】C 【7题答案】【答案】A 【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD 【10题答案】【答案】ACD 【11题答案】【答案】BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）4 （2）【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1）极小值，无极大值为1441100.121e,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦42135,54,81T x T x T x-===377122e --（2）3【18题答案】【答案】（1）；（2）答案略.【19题答案】【答案】（1） （2）比更接近，理由略1115e a >ex1e x a -+ln x。
广东省深圳市高级中学(集团)2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(解析版)
深圳市高级中学2023-2024学年第二学期期中考试高二数学注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并填涂相应的考号信息点.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；解答题必须使用黑色墨水的签字笔书写，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答题无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若4名学生报名参加数学､语文､英语兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ） A. 432×× B. 34C. 43D. 32×【答案】C 【解析】【分析】根据题意，分析可得4名学生，每人有3种可选方案，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，4名学生报名参加数学､语文､英语兴趣小组，每人选报1项， 则每人有3种可选方案，则4人共有433333×××=种分式， 故选：C ．2. 设随机变量X 服从正态分布()22,N σ且(4)0.9P X <=，则(02)P X <<=（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5D. 0.9【答案】B 【解析】【分析】利用正态分布对称性计算可得. 【详解】随机变量X 服从正态分布()22,N σ且(4)0.9P X <=，则(4)0.1P X ≥=，()102(24)(4)0.42P X P X P X <<=<<=−≥=.故选：B3.二项式62x展开式的常数项为（ ）A. 160−B. 60C. 120D. 240【答案】B 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式进行求解即可.【详解】62x展开式的通项为：()()32666166C 2C 21kk k k k k k k T x x −−−+ ==⋅⋅−⋅ ， 令3602k −=得4k =， 所以展开式的常数项为()2644C 2160××−=， 故选：B ．4. 一个盒中有10个球，其中红球7个，黄球3个，随机抽取两个，则至少有一个黄球的概率为（ ） A.35B.115C.715D.815【答案】D 【解析】【分析】记抽取黄球的个数为X ，则由题意可得X 服从超几何分布，然后根据超几何分布的概率公式求解即可.【详解】记抽取黄球的个数为X ，则X 服从超几何分布，其分布列为()237210C C C k k P X k −==，0k =，1，2． 所以，()()()11203737221010C C C C 8112C C 15P X P X P X ≥==+==+=． 或()()0237210C C 81101C 15P X P X ≥=−==−=． 故选：D ．5. 教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A 、B 、C 三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有（ ）种 A. 25 B. 60 C. 90 D. 150【答案】D 【解析】【分析】按照分类分步计数原理可先将5人分成3组，再将3组人员分配到3个学校去，即可计算出结果. 【详解】由题意可知，先将5人分成三组有2类分法， 第一类：各组人数分别为1，1，3，共有35C 种分法；第二类：各组人数分别为1，2，2，共有12254222C C C A 种分法， 再将三组人员分配到A 、B 、C 三个乡村学校去，共有33A 种，所以不同的选派方法共有122335425322C C C C A 150A +=种. 故选：D6. 已知ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC⊥平面ABC ，3BC =，PB =PC =，则三棱锥−P ABC 外接球的体积为（ ）A 10πB.C.53πD.【答案】D 【解析】【分析】由ABC 为直角三角形，可知BC 中点M 为ABC 外接圆的圆心，又平面PBC⊥平面ABC ，所以球心在过M 与平面ABC 垂直的直线上，且球心为PBC 的外心.利用正余弦定理求出PBC 外接圆的半径即为球的半径，从而求出球的体积.【详解】解：取BC 中点M ，过点M 做直线l 垂直BC ，因为ABC 为直角三角形，所以点M 为ABC 外接圆的圆心，又平面PBC ⊥平面ABC ，所以l ⊂平面ABC ，根据球的性质，球心一定在垂线l 上，且球心为PBC 的外心.在PBC中，222cos 2PB BC PC PBC PB BC+−∠==⋅所以sin PBC ∠，则PBC 外接圆半径为12.的V =. 故选：D7. 过点(),P a b 可作3条直线与函数()32f x x =−的图象相切，则（ ）A. 312a b <−B. 312a b >−C. 32a b<−D. 32a b>−【答案】A 【解析】【分析】设切点坐标，利用导数求出切线，由切线过点(),P a b ，整理得32460t at b −−=有3组解，转化为三次函数有三个零点问题，利用导数解决.【详解】设过点(),P a b 的直线与函数()32f x x =−的图象切于点()3,2Q t t−，()26f x x ′=−，则函数()f x 在点Q 处的切线斜率()26k f t t ′==−， 切线方程为()3226y t t x t +=−−，由切线过点(),P a b ，所以有()3226b t t a t +=−−，整理得32460t at b −−=，设()3246g t t at b =−−，则问题转化为()g t 有3个零点， 因为()21212g t t at =−′，由()0g t ′=得0=t 或t a =，若0a =，()0g t ′≥恒成立，()g t 在R 上单调递增，不合题意. 当0a >时，()0g t ′>解得0t <或t a >，()0g t ′<解得0t a <<，此时()g t 在(),0∞−和(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减，()0g 为函数极大值，()g a 为函数极小值；当0a <时，()0g t ′>解得t a <或0t >，()0g t ′<解得0a t <<，此时()g t 在(),a −∞和()0,∞+上单调递增，在(),0a 上单调递减，()g a 为函数极大值，()0g 为函数极小值；()g t 有3个零点，则()0g 与()g a 异号，即()()()3020g g a b a b =−−−<，所以()320b a b +<， 得332210a b a b b +=+<，所以312a b <−.故选：A8. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左､右焦点分别为12,F F ，右焦点2F 到渐近线的距离为31F 作圆222:C x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若121cos 2F MF ∠=，则圆C 的面积为（ ） A. 9π B. 8πC. 6πD. 4π【答案】A 【解析】b ，可得b ，结合双曲线定义与121cos 2F MF ∠=可得a ，即可得圆C 的面积.【详解】如图，因为右焦点2F 到渐近线的距离为3，故3b = 作1OA F M ⊥于点21,A F B F M ⊥于点B ，因为1F M 与圆222:C x y a +=相切，所以21,22,2OA a F B OA a F B b ====， 因为121cos 2F MF ∠=，即1260F MF ∠=，在直角2F MB 中，2tan 60F B MB M === ， 又点M 在双曲线上，由双曲线的定义可得：121222F M F M F B MB F M b a −=+−=−=，整理得b =，因为3b =3a =，圆C 的面积22ππ9πS r a ===.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键在于借助作1OA F M ⊥于点21,A F B F M ⊥于点B ，从而结合双曲线定义与直角三角形的性质可得a ，即可得圆C 的面积.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知数列{}n a 的前n 项和24nS n n =−，则（ ） A. {}n a 不是等差数列 B. 25na n =− C. 数列n S n是等差数列 D. 121067a a a +++=【答案】BC 【解析】【分析】根据11,1,2n n n S n a S S n −= =−≥ 即可求出数列{}n a 的通项，再根据等差数列的定义和前n 项和公式逐一判断即可.【详解】由24nS n n =−， 当1n =时，11143a S ==−=−， 当2n ≥时，()()221414125n n n a S S n n n n n − =−=−−−−−=−，当1n =时，上式也成立，所以25na n =−，故B 正确； 因为()()1215252n na a n n +−=+−−−=，所以{}n a 是等差数列，故A 错误； 对于C ，244n S n nn n n−==−，因为()114411n n S S n n n n +−=+−−−=+，所以数列n S n是等差数列，故C 正确； 对于D ，令250n a n −≥，则52n ≥， 所以当3n ≥时，0n a >，当2n ≤时，0n a <，故312101211200260868a a a a a a a S S +++−+++=−=+=−= ，故D 错误. 故选：BC.10. 甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件1A 和2A 表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B 表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ） A. 13()5P A =B. 11()50P B =C. ()1950P B A = D. 22()11P A B =【答案】ABD 【解析】【分析】根据条件概率的概率公式及全概率的概率公式计算可得.【详解】依题意可得13()5P A =，22()5P A =，()23125C 3C 10P B A ==，()22225C 1C 10P B A ==， 所以()()()()()112233211151051050P B P A P B A P A P B A =+=×+×=，故A 正确、B 正确、C 错误； ()()()()()222212|2105()111150P A B P B A P A P A B P B P B ×====，故D 正确.故选：ABD11. 已知函数()2ln 11f x x x =−−−，则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 的单调递增区间是()0,1，()1,+∞ B. ()f x 的值域为RC ()()20232024log 2024log 20231f f +=.D. 若()e 1e 1b b f a b +=−−，()0,1a ∈，()0,b ∈+∞，则e 1b a =【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，求出定义域，求导得到函数单调性，得到答案；B 选项，在A 选项基础上得到函数的值域；C 选项，计算出()10f f x x +=，结合202320241log 2024log 2023=得到C 正确；D 选项，利用同构变换得到()1e bf a f=，结合()0,1a ∈，()0,b ∞∈+得到1e ba =，D 正确. 【详解】A 选项，()2ln 11f x x x =−−−的定义域为()()0,11,∞∪+， ()()21201f x x x =−′+>在定义域上恒成立， 故()f x 的单调递增区间是()0,1，()1,∞+，A 正确；B 选项，当x 趋向于0时，()f x 趋向于−∞，当x 趋向于+∞时，()f x 趋向于+∞， 故()f x 的值域为R ，B 正确；C 选项，0x >，()1221ln 122011x f f x x x x x x+−−++−−=−+=−−， 又202320241log 2024log 2023=，所以()()20232024log 2024log 20230f f +=，C 错误； D 选项，()e 1e 122121ln e ln 12e 1e 1e 1e e 1b b b b b b b b f a b b +−+=−=−=+−=−++ −−−−12e 121211111e e 1e e 11ln ln l e n e b b b b b b b=−+=−+=−−−−−， 又()2ln 11f x x x =−−−，故121ln 11e e 1eb b b f−−=−， 故()1e b f a f =，因为()0,b ∞∈+，所以()10,1e b∈， 又()0,1a ∈，故1eb a =，即e 1b a =，D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：当函数中同时出现e x 与ln x ，通常使用同构来进行求解，本题难点是D 选项变形得到()12ln11e 1e bbf a =−−−，得到()1e b f a f= ，从而进行求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 由样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 4)，(x 5，y 5)得到的回归方程为y ＝56x ＋a ，已知5112ii x==∑，5122i i y ==∑，则实数a 的值为________．【答案】2.4 【解析】【详解】由题表得x ＝2.4，y ＝4.4，代入回归方程，解得a ＝2.4. 13. 已知随机变量的ξ分布列为则x y +=________；若(2)1E ξ=，则()D ξ=_______． 【答案】 ①. 12②.2312【解析】【分析】由概率和等于1，可求出x y +的值，然后根据(2)1E ξ=，可求出()E ξ，进而由数学期望的计算公式可求出,x y 的值，然后计算()D ξ即可. 【详解】由题意得，11136x y +++=，则12x y +=. 因为(2)1E ξ=，所以1()2E ξ=，则112262x y −++=，即16x y −+=，又12x y +=，解得11,63x y ==， 所以22221111111123()20122623262312D ξ =−−×+−×+−×+−×=． 故答案为：12；2312. 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的计算等，考查数学运算核心素养，属于中档题.14. 若函数()ln e ln e xxa xf x x x a x=+−−（R a ∈）有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是______． 【答案】()()0,11,+∞ 【解析】【分析】化简函数()()ln e xa f x x x x=+−，得到()ln g x x x =+和()e x h x x =在()0,∞+上单增，结合存在唯一的()10,1x ∈，使()10g x =，即11ln 0x x +=，且存在唯一的()20,x ∞∈+，使()2h x a =，结合12x x =，进而得到实数a 的取值范围． 【详解】由函数()()()ln e ln 1ln e ,(0)xxx a f x x x a x x x x x=+−+=+−>， 设()ln g x x x =+，可得()110g x x+′=>，()g x 单调递增， 且11ln 2022g=−+<，()1010g =+>， 所以存在唯一的()10,1x ∈，使()10g x =，即11ln 0x x +=， 令e 0xax−=，即e x a x =， 设()e xh x x =，可得()(1)e 0xh x x =+>′，则()h x 在()0,∞+上单增， 又由()00h =且x →+∞时，()h x ∞→+，所以当()0,a ∞∈+时，存在唯一的()20,x ∞∈+，使()2h x a =，即22e xa x =，若12x x =时，可得1111ln 0ex x x a x += = ，则11ln x x =−，可得11e x x −=，所以11e 1xx =， 所以1a =，综上所述，实数a 的取值范围为()()0,11,∞∪+．故答案为：()()0,11,∞∪+．【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 结论拓展：与e x 和ln x 相关的常见同构模型①e ln e ln e ln a a a a b b b b ≤⇔≤，构造函数()ln f x x x =或()e xg x x =； ②e e ln ln e ln a a a b b a b b<⇔<，构造函数()ln x f x x =或()e x g x x =； ③e ln e ln e ln a a a a b b b b ±>±⇔±>±，构造函数()ln f x x x =±或()e xg x x =±. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知各项均为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4是13,a a 的等比中项，且63312S S −=． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列1n S n +的前n 项和为n T ． 【答案】（1）31na n =− （2）()231n n T n =+ 【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质及等差数列求和公式得到关于1a 、d 的方程组，解得即可； （2）由（1）求出n S ，从而得到121131n S n n n =− ++，再利用裂项相消法计算可得. 【小问1详解】设正项等差数列{}n a 的公差为(0)d d >， 因为4是13,a a 的等比中项，所以2134a a =，即()11216a a d +=， 又63312S S −=，即()1161533312a d a d +−+=，即124d a =+，解得123a d = = 或140a d =− =（舍去）， 所以()23131n a n n =+−=−；【小问2详解】由（1）可得()2131213222n S n n n n n =+−×=+， 所以()312n S n n n +=+， 所以()1212113131n S n n n n n =×=− +++， 所以()21111121211322313131n n T n n n n =−+−++−=−= +++ ． 16. “蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为13，乙组能使生物成活的概率为12，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；（2）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．【答案】（1）727（2）分布列见解析，()53E ξ=【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；（2）依题意ξ的可能取值为0，1，2，3，4，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.【小问1详解】记至少两次试验成功为事件A ，则甲小组做了三次实验，至少两次试验成功的概率()2323331117C 1C 33327P A ××−+= = . 【小问2详解】由题意ξ的可能取值为0，1，2，3，4，所以()0222212110C C 3329P ξ ==⋅= ， ()112021110012222121121111C C C C 33233223P ξ ==⋅+⋅=⋅⋅⋅， ()202112022201102222222121121121132C C C C C C 33233233236P ξ ==⋅⋅+⋅= + ， ()2021122112222212112113C C C C 3323326P ξ ==⋅+⋅= ， ()202222212114C C 33236P ξ ==⋅= ， 故ξ的分布列为 所以()11131150123493366363E ξ=×+×+×+×+×=. 17. 如图，在三棱锥−P ABC 中，PAB 与ABC 都为等边三角形，平面PAB ⊥平面,,ABC M O 分别为,PA AB 的中点，且,PO BM G N = 在棱BC 上，且满足2BN NC =，连接GN ．（1）求证：GN ∥平面PAC ；（2）设2AB =，求直线PN 与平面BGN 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）作出辅助线，由重心性质得到线线平行，证明出线面平行；（2）由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，从而求出线面角的正弦值.【小问1详解】证明：连接MC ，如图所示．在PAB 中，因为,M O 分别为,PA AB 的中点，PO BM G ∩=，所以G 为PAB 的重心，所以2BG GM=， 又2NB CN=，所以GN MC ∥， 又GN 平面,PAC MC ⊂平面PAC ，所以GN ∥平面PAC ．【小问2详解】连接OC ，因为PAB 为等边三角形，O 为AB 的中点，所以PO AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面,ABC AB PO =⊂平面PAB ， 所以PO ⊥平面CAB ，又,OC AB ⊂平面CAB ，所以,PO OC PO AB ⊥⊥．因为ABC 为等边三角形，O 为AB 的中点，所以CO AB ⊥．以O 为坐标原点，,,OC OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．的则)()(,0,1,0,,C B P G ，所以(),0,CB BG − ． 设平面BGN 的法向量(),,n x y z =，则0,0,n CB y n BG y z ⋅+= ⋅=−+=令1x =，解得3y z =， 所以平面BGN的一个法向量()n = ，(()111333NP CP CN CP CB =−=−=−=− ． 设直线PN 与平面BGN 所成角的大小为θ，则sin cos ,n NP n NP n NP θ⋅===⋅ ， 即直线PN 与平面BGN． 18. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，3,2M m−为C 上一点，且32MF . （1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 且斜率存在的直线l 与C 交于不同的两点,A B ，且点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴交于点Q .（i ）求点Q 的坐标；（ii ）求OAQ 与OAB 面积之和的最小值.【答案】（1）23y x =（2）（i ）(4,0)Q −；（ii） 【解析】【分析】（1）由条件结合抛物线的定义列方程求,p m ，由此可得抛物线方程；的（2）（i ）设l 的方程为4x my =+，联立方程组并化简，设112222(,),(,),(,)A x y B x y D x y −，应用韦达定理得1212,y y y y +，写出直线AD 方程，求出它与x 轴的交点坐标即得；（ii ）由（i ）的结论计算三角形面积和，结合基本不等式求其最值．【小问1详解】 由题意可得322924p m pm += = ，解得32p =， 所以C 的方程为：23y x =；【小问2详解】（i ）由已知可得直线l 的斜率不为0，且过点()4,0，故可设的直线l 的方程为4x my =+， 代入抛物线23y x =的方程，可得23120y my −−=，方程23120y my −−=的判别式2Δ9480m =+>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，22(,)D x y −不妨设10y >，则12123,12y y m y y +==−, 所以直线AD 的方程为：121112()y y y y x x x x +−=−−，即121112()()y y y y x x m y y +−=−− 即()11123y y x x y y −=−−，令0y =，可得()()212113y y y x y −⋅−=−， 所以()()2121112312x y y y y y y =−⋅−+==−，所以4x =−所以(4,0)Q −；（ii ）如图所示，可得111114222OAQ S OQ y y y =⋅⋅=××= ， 121211442222OAB S y y y y =××+××=+ ， 所以OAQ 与OAB 的面积之和1121222242OAQ OAB S S S y y y y y =+=++=+11111224424y y y y −=+=+≥=当且仅当11244y y =时，即1y =时，等号成立， 所以OAQ 与OAB的面积之和的最小值为 【点睛】方法点睛：本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质、及直线与抛物线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。
2023-2024学年天津市高二(下)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年天津市高二（下）期中数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知函数321()23f x x x =-，则()f x 的单调减区间是()A ．(4,)+∞B ．(0,2)C ．(0,4)D ．(,0)-∞2．（5分）某厂家生产的新能源汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2s 内完成刹车，其位移h （单位：)m 关于时间t （单位：)s 的函数关系式为340()23h t t t =--+，则h '（1）的实际意义是()A ．汽车刹车后1s 内的位移B ．汽车刹车后1s 内的平均速度C ．汽车刹车后1s 时的瞬时速度D ．汽车刹车后1s 时的瞬时加速度3．（5分）已知函数()f x 的图象如图所示，()f x '为()f x 的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是()A ．12()()f x f x '<'B ．12()()f x f x '>'C ．12()()0f x f x <'<D ．12()()0f x f x '>>4．（5分）已知2x =是2()23f x lnx ax x =+-的极值点则()f x 在1[3，3]上的最大值是()A ．9232ln -B ．52-C ．17238ln --D ．224ln -5．（5分）用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的五位数，要求偶数不能相邻，则这样的五位数有()个．A ．120B ．216C ．222D ．2526．（5分）若53(2x x-的展开式中的二项式系数和为A ，各项系数和为B ，则(A B -=)A ．33B ．31C ．33-D ．31-7．（5分）已知()f x 为定义在(-∞，0)(0⋃，)+∞上的偶函数，()f x '是()f x 的导函数，若当0x >时，()()0f x f x lnx x'+<，则不等式(1)()0x f x -<的解集是()A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(-∞，0)(1⋃，)+∞D ．(,0)-∞8．（5分）已知函数122()x f x e -=，()2g x lnx =+，若()()f m g n =，则m n -的最大值是()A ．212ln +-B ．14e-C ．12ln +D ．223ln +二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
期中测试卷作者：黄丽芳说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有直线与直尺所在直线 A.平行 B.垂直 C.相交 D.异面解析：当直尺与地面相交时，A 不成立；当直尺与地面平行时，C 不成立；当直尺在地面内时，D 不成立.答案：B2.设不同直线m 、n 和不同平面α、β,给出下列四个命题:①⇒⎭⎬⎫⊂αβαm //m ∥β;②⇒⎭⎬⎫β////m n m n ∥β;③⇒⎭⎬⎫⊂⊂βαn m m 、n 异面;④⇒⎭⎬⎫⊥αβα//m m ⊥β.其中假命题有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析:①正确;②错误,因为n 可能在β内;③错误,因为m 、n 可能平行;④错误,因为m 可能平行于β.答案：B3.一个简单多面体共有12个面和8个顶点,其中两个顶点处各有6条棱,其他顶点处各有相同数目的棱,则其他顶点各有__________条棱A.4B.5C.6D.7解析:F =12,V =8,E =V +F －2=18.设其他顶点各有x 条棱,则有E =2662x+⨯,解得x =4. 答案:A4.已知a =（1－t ,1－t ,t ),b =(2,t ,t ),则|b －a |的最小值是 A.55 B.555 C.553 D.511 解析：b －a =（2,t ,t )－(1－t ,1－t ,t )=(1+t ,2t －1,0), ∴|b －a |=22)12()1(-++t t =2252+-t t ≥553. 答案：C5.设a 、b 是平面α外的任意两条线段，则“a 、b 的长相等”是“a 、b 在平面α内的射影长相等”的A.非充分也非必要条件B.充要条件C.必要而非充分条件D.充分而非必要条件解析：从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段，条件不足，结论就不正确.在这里，a 、b 长相等，它们的射影不一定相等；a 、b 射影相等，a 、b 长也不一定相等.答案：A6.a 、b 是两条互不垂直的异面直线，过a 、b 分别作平面α、β，对于下列4种情况，可能的情况种数有①b ∥α ②b ⊥α ③α∥β ④α⊥β A.1 B.2 C.3 D.4解析：观察如下两个图，由图（1）可知，b ∥α可能，α∥β亦可能.由图（2）可知 α⊥β可能，但若b ⊥α,则b ⊥a 与已知条件矛盾.故b ⊥α不可能.αβbaαβba(1) (2)答案：C7.设P 是60°的二面角α－l －β内一点,P A ⊥平面α,PB ⊥平面β,垂足分别为A 、B ,P A =4,PB =2,则AB 的长是A.23B.25C.27D.42解析:由已知条件易得∠APB =120°,∴|AB |=72120cos ||||2||||22=︒-+•PB PA PB PA . 答案:C8.已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点，如果AB =AC =BC =23，则球心到平面ABC 的距离为A.1B.2C.3D.2解析：如图所示，设该球的半径为R ，S 表=4πR 2＝20π,∴R =5.在△ABC 中,AB =BC =AC =23,∴由正弦定理，得△ABC 外接圆的半径r =CABsin 2=2.∴所求距离为22r R -=45-=1.答案：A9.两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm 、4 cm 、3 cm,把它们重叠在一起组成一个新长方体,在这个新长方体中,最长的对角线的长度是A.77 cmB.72 cmC.55 cmD.102 cm解析:两个完全相同的长方体重叠在一起有三种情况,分别计算三种情况的体对角线为77、98、125,所以最长的对角线为125=55.答案:C10.正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1,侧棱长为2,则这个棱柱侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是A.90°B.60°C.45°D.30°解析:连结FE 、FD ，则由正六棱柱相关性质得FE 1∥BC 1.在△EFD 中,EF =ED =1,∠FED =120°，∴FD =3. 在Rt △EFE 1和Rt △EE 1D 中,易得E 1F =E 1D =3.∴△E 1FD 是等边三角形.∴∠FE 1D =60°. ∴BC 1与DE 1所成的角为60°. 答案:B11.球的直径为d ,体积为V 球，一正方体的棱长为a ,体积为V 正，若它们有相同的表面积，则有A.d >a ,V 球>V 正B.d >a ,V 球<V 正C.d <a ,V 球>V 正D.d <a ,V 球<V 正 解析：由于球的体积为34πR 3=V 球，表面积为4πR 2,因直径为d ，故表面积为πd 2.而正方体的表面积为6a 2=πd 2,∴d >a .排除C 、D ，从而正方体的体积为a 3=6πd 3·6π.而V 球=34π(2d )3=6πd 3,∵6π<1,故选A.答案：A12.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =AC =13，BB 1=BC =6，E 、F 为侧棱AA 1上的两点，且EF =3,则多面体BB 1C 1CEF 的体积为BBE F 1A.30B.18C.15D.12解析：V 111C B A F -=31S 111C B A ∆·A 1F , V E －ABC =31S △ABC ·AE , ∴V CEF C BB 11=V 111C B A ABC -－(V 111C B A F -+V E －ABC )=S △ABC ·AA 1－31S △ABC ·(AA 1－EF ) =S △ABC ·6－S △ABC =5S △ABC =30. 答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13.正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°二面角,则异面直线AD 和BF 所成角的余弦值是__________.解析:如图,∠DAF =60°,设正方形棱长为1,则FD =1.D E又CD ⊥面ADF ,∴Rt △CDF 中,CF =2.又BC =1,BF =2,cos CBF =122)2(1)2(222⨯⨯-+=42, 即AD 与BF 所成角的余弦值为42. 答案:42 14.如图，在底面边长为2的正三棱锥V －ABC 中，E 是BC 的中点，若△VAE 的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为__________.（结果用反三角函数值表示）BBV －ABC ,AE =2·23=3，21AE ·VO =41，得VO =321，tan VAO =AO VO =41,得VA 与底面所成的角的大小为arctan41. 答案：arctan41 15.在平行四边形ABCD 中，AB =AC =1，∠ACD =90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，则B 、D 间的距离为__________.解：如下图，因为∠ACD =90°，所以·=0. 同理·AC =0.∵AB 与CD 成60°角，所以〈BA , CD 〉=60°或120°.ABC(1) (2)∵BD = BA + AC +CD ，∴2=2+2+2+2·+2·+2· =2+2+2+2·=3+2×1×1×cos 〈, 〉=⎪⎩⎪⎨⎧︒>=<︒>=<).120,(2),60,(4∴||=2或2，即B 、D 间的距离为2或2. 答案：2或216.正四棱锥的侧棱长是底面边长的k 倍，则k 的取值范围是__________. 解析：如图所示，设正四棱锥V －ABCD 底面中心为O ，令BC =a ,则VB =ka ,而OB =22a ,在Rt △VOB 中,BCDOVcos VBO =kka a2222=. ∵∠VBO ∈(0,2π), ∴0<k 22<1,1<2k <+∞,22 <k <+∞. ∴k 的取值范围是（22，+∞). 答案：(22,+∞) 三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分12分）如图，两条线段AB 、CD 所在的直线是异面直线，CD ⊂平面α，AB ∥α，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，且AC 是AB 、CD 的公垂线段.'A BB CDE M Nα （1）求证：MN ∥α ;（2）若AB =CD =a ，AC =b ，BD =c ，求线段MN 的长.（1）证明：过B 作BB ’⊥α,垂足为B ’，连结CB ’、DB ’，设E 为B ’D 的中点，连结NE 、CE ，则NE ∥BB ’且NE =21BB ’.又AC =BB ’， ∴MCNE ,四边形MCEN 为平行四边形（矩形）.3分 ∴MN ∥CE .又CE ⊂α,MN ⊄α,∴MN ∥α.6分（2）解：由（1）知MN =CE ，AB =CB ’=a =CD ,B ’D =22'BB BD -=22b c -,9分∴CE =2222224141)(41c b a b c a -+=--, 即线段MN 的长为2224141c b a -+. 12分18.（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB =a .1（1）求证：平面AD 1B 1∥平面C 1（2）求证：A 1C ⊥平面AD 1B 1；（3）求平面AB 1D 1与平面BC 1D 之间的距离. （1）证明：∵D 1B 1∥DB ,∴D 1B 1∥平面C 1D B. 1分 同理AB 1∥平面C 1D B. 2分 又D 1B 1∩AB 1=B 1，∴平面AD 1B 1∥平面C 1D B. 3分 （2）证明：∵A 1C 1⊥D 1B 1，而A 1C 1为A 1C 在平面A 1B 1C 1D 1上的射影， ∴A 1C 1⊥D 1B 1. 5分 同理A 1C ⊥AB 1，D 1B 1∩AB 1=B 1， ∴A 1C ⊥平面AD 1B 1. 7分 （3）解：设A 1C ∩平面AB 1D 1=M ，A 1C ∩平面BC 1D =N ，O 1、O 分别为上底面A 1B 1C 1D 1、下底面ABCD 的中心， 则M ∈AO 1，N ∈C 1O ,且AO 1∥C 1O ，MN 的长即等于平面AD 1B 1与平面C 1DB 的距离, 10分 即MN =A 1M =NC =31A 1C =33a .12分19.（本小题满分12分）如图,在四棱锥P －ABCD 中,底面ABCD 是一直角梯形,∠BAD =90°,AD ∥BC ,AB =BC =a ,AD =2a ,P A ⊥底面ABCD ,PD 与底面成30°角.x yz (1)若AE ⊥PD ,E 为垂足,求证:BE ⊥PD;(2)求异面直线AE 与CD 所成的角.(1)证明:以A 为原点,AB 、AD 、AP 所在直线为坐标轴,建立直角坐标系,则 A (0,0,0),B (a ,0,0),D (0,2a ,0),P (0,0,a ),2分AB ·PD =(a ,0,0)·(0,2a ,－a )=0.又·=0,∴⊥, ⊥.∴PD ⊥BE . 4分 (2)解:∵P A ⊥面ABCD ,PD 与底面成30°角, ∴∠PDA =30°.6分过E 作EF ⊥AD ,垂足为F ,则AE =a ,∠EAF =60°,AF =21a ,EF =23a ,∴E (0,21a , 23a ).8分于是=(0,21a , ).又C (a ,a ,0),D (0,2a ,0), ∴=(－a ,a ,0).10分设与的夹角为θ,则cos θ•=42. ∴θ=arccos42.12分20.（本小题满分12分）如图，点P 为斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .B C1 （1）求证：CC 1⊥MN ；（2）在任意△DEF 中有余弦定理DE 2=DF 2+EF 2－2DF ·EF cos DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.（1）证明：∵CC 1∥BB 1⇒CC 1⊥PM ,CC 1⊥PN , 2分 ∴CC 1⊥平面PMN ⇒CC 1⊥MN . 5分（2）解：在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有S 11A ABB 2=S 11B BCC 2+S 11A ACC 2－2S 11B BCC ·S 11A ACC cos α，其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所组成的二面角. 7分 ∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角为∠MNP . 8分 在△PMN 中，PM 2=PN 2+MN 2－2PN ·MN cos MNP ⇒PM 2CC 12=PN 2CC 12+MN 2CC 12－2(PN ·CC 1)·（MN ·CC 1）cos MNP . 10分由于S 11B BCC =PN ·CC 1·S 11A ACC =MN ·CC 1·S 11A ABB =PM ·BB 1， ∴有S 11A ABB 2=S 11B BCC 2+S 11A ACC 2－2S 11B BCC ·S 11A ACC cos α.12分21.（本小题满分12分）在斜三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，底面是等腰三角形,AB =AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面AB C.C （1）若D 是BC 的中点，求证：（2）过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM =MA 1，求证：截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；（3）AM =MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要条件吗？请叙述判断理由. （1）证明：∵AB =AC ,D 是BC 的中点，∴AD ⊥B C. 1分 ∵底面ABC ⊥平面BB 1C 1C ， ∴AD ⊥侧面BB 1C 1C. 2分 ∴AD ⊥CC 1. 3分 （2）证明：∵延长B 1A 1与BM 交于N ，连结C 1N . ∴AM =MA 1.∵NA 1=A 1B 1, 4分 ∵A 1B 1=A 1C 1,∴A 1C 1=A 1N =A 1B 1. ∴C 1N ⊥C 1B 1. 5分 ∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ， ∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C. 6分 ∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C. ∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C. 7分 （3）解：结论是肯定的，充分性已由（2）证明， 8分 下面证明必要性.过M 作ME ⊥BC 1于点E ，连结DE .∵截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ， ∴ME ⊥侧面BB 1C 1C. 9分 又∵AD ⊥侧面BB 1C 1C ，∵ME ∥AD ，∴M 、E 、D 、A 四点共面. 10分 ∵AM ∥侧面BB 1C 1C ，∴AM ∥DE . ∴四边形AMED 是平行四边形.11分∵CC 1∥AM ，∴DE ∥CC 1.∵D 是BC 的中点，∴E 是BC 1的中点. ∴AM =DE =21CC 1=21AA 1. ∴AM =MA 1. 12分22.（本小题满分14分）如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2，侧棱B 1B 与底面ABC 所成角为3,且侧面ABB 1A 1垂直于底面ABC ，1（1）求证：A B ⊥CB 1； （2）求三棱锥B 1－ABC 的体积； （3）求二面角C －AB 1－B 的大小.1 （1）证明：在平面ABB 1A 1∵侧面ABB 1A 1⊥平面ABC ， ∴B 1D ⊥平面AB C. 2分 ∴∠B 1BA 是B 1B 与底面ABC 所成的角， 即∠B 1BA =60°.3分又三棱柱的各棱长均为2， ∴△ABB 1是正三角形. ∴D 是AB 的中点.连结CD ，在正△ABC 中，CD ⊥AB ， ∴AB ⊥CB 1.5分（2）解：∵B 1D ⊥平面ABC ，∴B 1D 是三棱锥B 1－ABC 的高.由B 1B =2，∠B 1BA =60°,得B 1D =2sin60°=3, 7分 ∴V ABC B 1=31S △ABC ·B 1D =31（21×23×2×2）3=1.9分 （3）解：∵△ABC 为正三角形，CD ⊥AB ，CD ⊥B 1D ， ∴CD ⊥平面ABB 1. 10分 在平面ABB 1中，作DE ⊥AB 1于点E ，连结CE ，则CE ⊥AB 1， 即∠CED 为二面角C －AB 1－B 的平面角. 12分 在Rt △CED 中，CD =2sin60°=3.连结BA 1交AB 1于O ，则BO =3. ∴DE =21BO =23.∴tan CED =DE CD=2.∴所求二面角C －AB 1－B 的大小为arctan2. 14分。