高三基础知识天天练 数学11-4人教版
高三基础知识天天练 数学选修4-1-1人教版
选修4-1 第1节一、选择题1．若三角形三边上的高分别为a 、b 、c ，这三边长分别为6、4、3，则a ∶b ∶c ＝( )A ．1∶2∶3B ．6∶4∶3C ．2∶3∶4D ．3∶4∶6解析：由三角形面积公式： 12×6a ＝12×4b ＝12×3c ， ∴6a ＝4b ＝3c ，设3c ＝k ，则a ＝k 6，b ＝k 4，c ＝k 3，∴a ∶b ∶c ＝k 6∶k 4∶k32∶3∶4.答案：C2．如下图，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4 cm ，BD ＝8 cm ，DE ＝5 cm ，则线段BF 的长为( )A ．5 cmB ．8 cmC ．9 cmD ．10 cm解析：∵DE ∥BC ，DF ∥AC ， ∴四边形DECF 是平行四边形， ∴FC ＝DE ＝5 cm ， ∵DF ∥AC ，∴BF FC ＝BD DA， 即BF 5＝84，∴BF ＝10 cm. 答案：D3．Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ∶AC ＝3∶2，则CD ∶BD ＝( )A ．3∶2B ．2∶3C ．9∶4D ．4∶9解析：由△ABD ∽△CBA 得AB 2＝BD ·BC ， 由△ADC ∽△BAC 得AC 2＝DC ·BC ， ∴CD ·BC BD ·BC ＝AC 2AB 2＝49，即CD ∶BD ＝4∶9. 答案：D4．已知：如右图，正方形ABCD 的边长为4，P 为AB 上的点，且AP ∶PB ＝1∶3，PQ ⊥PC ，则PQ 的长为( )A ．1 B.54 C.32D. 2解析：∵PQ ⊥PC ，∴∠APQ ＋∠BPC ＝90°， ∴∠APQ ＝∠BCP ，∴Rt △APQ ∽Rt △PBC ， ∴AP BC ＝AQBP. ∵AB ＝4，AP ∶PB ＝1∶3，∴PB ＝3，AP ＝1， ∴AQ ＝AP ·BP BC ＝1×34＝34， ∴PQ ＝AQ 2＋AP 2＝916＋1＝54. 答案：B5．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( )A ．y 是x 的增函数B ．y 是x 的减函数C ．y 随x 的增大先增大再减小D ．无论x 怎样变化，y 为常数解析：∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝12AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数．答案：D6．如右图所示，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，将此矩形折叠使点B 落在AD 边的中点E 处，则折痕FG 的长为( )A ．13 B.635 C.656D.636解析：过A 作AH ∥FG 交DG 于H ，则四边形AFGH 为平行四边形．∴AH ＝FG . ∵折叠后B 点与E 点重合，折痕为FG ， ∴B 与E 关于FG 对称．∴BE ⊥FG ，∴BE ⊥AH . ∴∠ABE ＝∠DAH ，∴Rt △ABE ∽Rt △DAH . ∴BE AB ＝AH AD. ∵AB ＝12，AD ＝10，AE ＝12AD ＝5，∴BE ＝122＋52＝13， ∴FG ＝AH ＝BE ·AD AB ＝656.答案：C 二、填空题7．在Rt △ABC 中，CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线，设该图中共有x 个三角形与△ABC 相似，则x ＝________.解析：2个，△ACD 和△CBD . 答案：28．在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，△ADE 的面积是2 cm 2，梯形DBCE 的面积为6 cm 2，则DE ∶BC 的值为________．解析：△ADE ∽△ABC ，利用面积比等于相似比的平方可得答案． 答案：1∶29．如右图，在直角梯形ABCD 中，上底AD ＝3，下底BC ＝33，与两底垂直的腰AB ＝6，在AB 上选取一点P ，使△PAD 和△PBC 相似，这样的点P 有________个．解析：设AP ＝x ，(1)若△ADP ∽△BPC ，则AD BP ＝APBC，即36－x ＝x 33，所以x 2－6x ＋9＝0，解得x ＝3. (2)若△ADP ∽△BCP ，则AD BC ＝APBP ，即333＝x 6－x ，解得x ＝32， 所以符合条件的点P 有两个． 答案：两 三、解答题10．如右图，BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，过D 作DG ⊥BC 于G ，分别交CE 及BA 的延长线于F 、H .求证：(1)DG 2＝BG ·CG ； (2)BG ·CG ＝GF ·GH .证明：(1)DG 为Rt △BCD 斜边上的高， ∴由射影定理得DG 2＝BG ·CG . (2)∵DG ⊥BC ，∴∠ABC ＋∠H ＝90°， ∵CE ⊥AB ，∴∠ABC ＋∠ECB ＝90°， ∴∠ABC ＋∠H ＝∠ABC ＋∠ECB ， ∴∠H ＝∠ECB .又∵∠HGB ＝∠FGC ＝90°， ∴Rt △HBG ∽Rt △CFG ， ∴BG GF ＝GHGC，∴BG ·CG ＝GF ·GH . 11．如右图，正方形ABCD 中，AB ＝2，P 是BC 边上与B 、C 不重合的任意一点，DQ ⊥AP 于Q .(1)试证明△DQA ∽△ABP ；(2)当点P 在BC 上变动时，线段DQ 也随之变化，设PA ＝x ，DQ ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式．解：(1)∵DQ ⊥AP ，∴∠DQA ＝90°， ∠DAQ ＋∠ADQ ＝90°， 又∵∠DAQ ＋∠BAP ＝90°， ∴∠BAP ＝∠QDA . ∴△DQA ∽△ABP .(2)∵△DQA ∽△ABP ，∴DA AP ＝DQ AB，∴DQ ＝DA ·AB PA ，即y ＝4x. 12．有一块直角三角形木板，如右图所示，∠C ＝90°，AB ＝5 cm ，BC ＝3 cm ，AC ＝4 cm.根据需要，要把它加工成一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁才能使正方形木板面积最大，并求出这个正方形木板的边长．解：如图(1)所示，设正方形DEFG 的边长为x cm ，过点C 作CM ⊥AB 于M ，交DE 于N ，因为S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CM ，所以AC ·BC ＝AB ·CM ，即3×4＝5·CM .所以CM ＝125. 因为DE ∥AB ，所以△CDE ∽△CAB . 所以CN CM ＝DE AB ，即125－x125＝x 5.所以x ＝6037.如图(2)所示，设正方形CDEF 的边长为y cm ， 因为EF ∥AC ，所以△BEF ∽△BCA . 所以BF BC ＝EF AC ，即3－y 3＝y 4.所以y ＝127. 因为x ＝6037，y ＝127＝6035，所以x <y . 所以当按图(2)的方法裁剪时，正方形面积最大，其边长为127cm.。
高三基础知识天天练 数学7-4人教版
第7模块第4节[知能演练]一、选择题1．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是() A．异面B．相交C．平行D．不确定解析：由线面平行的性质定理容易推出，该直线应该与交线平行．答案：C2．已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题是真命题的是()①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②m⊥n，m⊥β，则n∥β；③α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.A．①③B．②③C．③④D．④解析：①中m、n可能异面，②中n可能在平面β内，③中m可能在平面α或β内．答案：D3．下列命题正确的是() A．直线a与平面α不平行，则直线a与平面α内的所有直线都不平行B．如果两条直线与平面α所成的角相等，则这两条直线平行C．垂直于同一直线的两个平面平行D．直线a与平面α不垂直，则直线a与平面α内的所有直线都不垂直解析：当直线a在平面α内时，它与平面α不平行，但a可以与平面α内的一些直线平行，故选项A错误；两条直线与平面α所成的角相等时，这两条直线可以平行，但也可能相交或异面，故选项B错误；直线a与平面α不垂直，但直线a可以与平面α内的一些直线垂直，故选项D错误，只有选项C正确．答案：C4．给出下列关于互不相同的直线m，l，n和平面α，β的四个命题：①若m⊂α，l∩α＝A，点A∉m，则l与m不共面；②若m ，l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m ；④若l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝A ，l ∥β，m ∥β，则α∥β. 其中为假命题的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：①为真，依据的是异面直线的判定法则；②为真，l ，m 在α内的射影为两相交直线l ′，m ′，可知l ′∥l ，m ′∥m ，又n ⊥l ，n ⊥m ，所以n ⊥l ′，n ⊥m ′，所以n ⊥α；③中l 、m 可能平行，也可能相交或异面，为假命题；④由两平面平行的判定定理可知为真命题，故假命题为③.答案：C 二、填空题5．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，∠A ＝60°，G 为重心，过G 的平面α与BC 平行，AB ∩α＝M ，AC ∩α＝N ，则MN ＝________.解析：如下图，在△ABC 中，由余弦定理知BC ＝39，∵BC ∥α，∴MN ∥BC ，又G 是△ABC 的重心，∴MN ＝23BC ＝2393.答案：23936．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.解析：如图所示，连接AC ，易知MN ∥平面ABCD ， ∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC ， 又∵AP ＝a3，∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23，∴PQ ＝23AC ＝223a . 答案：223a三、解答题7．如下图，E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点．(1)求证：EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)求证：平面BDF ∥平面B 1D 1H .解：(1)取B 1D 1的中点O ，连结GO ，OB ，易证四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥GE ，由线面平行的判定定理即可证EG ∥平面BB 1D 1D .(2)由正方体得BD ∥B 1D 1.如图，连结HB 、D 1F ，易证四边形HBFD 1是平行四边形，故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D ，BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .8．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，侧面PBC 内有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝63a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD .解：∵BE ⊥PC ，∴EC ＝BC 2－BE 2＝a 2－2a 23＝33a .在Rt △PBC 中，BE 2＝EP ·EC ，∴EP ＝BE 2EC ＝23a 233a ＝233a ，∴PE EC ＝2.当AFFB ＝2时，可以使EF ∥平面P AD .证明：如下图．在PD 上取一点G ，使PG GD ＝2，连结EG ，AG ，则有EG 綊23AB綊23CD ，∴EG 綊AF ，∴四边形AFEG 为平行四边形．∴EF ∥AG ，又∵AG ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，∴EF ∥平面P AD .[高考·模拟·预测]1．下列命题中正确的个数是( )①若直线a 不在α内，则a ∥α；②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；③若直线l 与平面α平行，则l 与α内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ⑤若l 与平面α平行，则l 与α内任何一条直线都没有公共点； ⑥平行于同一平面的两直线可以相交． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：①②中a 可与α相交，③中l ∥α，只能说明有一系列的平行线与l 平行，④中另一条线可能在面内，⑤正确，⑥正确．答案：B2．设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1、l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是() A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2解析：因m⊂α，l1⊂β，若α∥β，则有m∥β且l1∥α，故α∥β的一个必要条件是m∥β且l1∥α，排除A.因m，n⊂α，l1，l2⊂β且l1与l2相交，若m∥l1且n∥l2，因l1与l2相交，故m与n也相交，故α∥β；若α∥β，则直线m与直线l1可能为异面直线，故α∥β的一个充分而不必要条件是m∥l1且n∥l2，故选B.答案：B3．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是() A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β解析：对于选项A、B、D均可能出现l∥β，而对于选项C是正确的．答案：C4．如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误．．的为()A．O－ABC是正三棱锥B．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角为45°D．二面角D－OB－A为45°解析：将原图补为正方体不难得出B为错误，故选B.答案：B5．如下图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q 分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ ∥平面ACD ；(2)求AD 与平面ABE 所成角的正弦值． 解：(1)因为P ，Q 分别为AE ，AB 的中点， 所以PQ ∥EB .又DC ∥EB ，因此PQ ∥DC ， 由于PQ ⊄平面ACD ，DC ⊂平面ACD 从而PQ ∥平面ACD . (2)如下图，连接CQ ，DP .因为Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ， 所以CQ ⊥AB .因为DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ， 所以EB ⊥平面ABC . 因此CQ ⊥EB ， 故CQ ⊥平面ABE .由(Ⅰ)知PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ，所以四边形CQPD 为平行四边形， 故DP ∥CQ ，因此DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角． 在Rt △DP A 中，AD ＝5，DP ＝1， sin ∠DAP ＝55. 因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为55. [备选精题]6．如图平面内两正方形ABCD 与ABEF ，点M 、N 分别在对角线AC 、FB 上，且AM ∶MC＝FN ∶NB ，沿AB 折成直二面角．(1)证明：折叠后MN ∥平面CBE ；(2)若AM ∶MC ＝2∶3，在线段AB 上是否存在一点G ，使平面MGN ∥平面CBE ？若存在，试确定点G 的位置．解：(1)如图，设直线AN 与BE 交于点H ，连接CH ，∵△ANF ∽△HNB ， ∴FN NB ＝AN NH ，又AM MC ＝FN NB ， ∴AN NH ＝AMMC，∴MN ∥CH . 又MN ⊄平面CBE ，CH ⊂平面CBE ， ∴MN ∥平面CBE .(2)存在，过M 作MG ⊥AB ，垂足为G ，连接NG ， 则MG ∥BC ， ∴MG ∥平面CBE .又MN ∥平面CBE ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MGN ∥平面CBE ，即G 在AB 线上，且AG ∶GB ＝AM ∶MC ＝2∶3.。
高三基础知识天天练 数学11-6人教版
第11模块 第6节[知能演练]一、选择题1．如右图，向圆内投镖，如果每次都投入圆内，那么投中正方形区域的概率为( )A.2π B.1π C.23D.13解析：投中正方形区域的概率为正方形的面积与圆的面积之比，设正方形的边长为1，则其面积为1，圆的半径为22，面积为π(22)2＝π2，故投中正方形区域的概率为1π2＝2π，故选A.答案：A2．在500 mL 的水中有一个细菌，现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现这个细菌的概率是( )A ．0.004B ．0.002C ．0.04D ．0.02解析：由于取水样的随机性，所求事件A “在取出的2 mL 水样中有细菌”的概率等于水样的体积与总体积之比，即P ＝2500＝0.004.故选A.答案：A3．已知Ω＝{(x ，y )|x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤6}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落在区域A 内的概率为( )A.13B.23C.19D.29解析：由于点P 落在区域Ω内的位置的随机性，所求事件A 的概率等于区域A 的面积与区域Ω的面积之比，即P ＝12×4×212×6×6＝29.故选D.答案：D4．如下图所示，ABCD 是正方形，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 、CD 的中点，三只麻雀分别落在这三个正方形木板上休息，它们落在所在木板的任何地方是等可能的，麻雀落在甲、乙、丙三块木板中阴影部分的概率分别是P 1、P 2、P 3，则()A ．P 1<P 2＝P 3B ．P 1<P 2<P 3C ．P 1＝P 2＝P 3D ．P 1>P 2＝P 3解析：因为每一个图形中阴影部分的面积均是正方形面积的一半，所以麻雀落在甲、乙、丙三块木板中阴影部分的概率都是12.故选C.答案：C 二、填空题5．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是________、________、________.(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．解析：在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝亮红灯的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25；(2)P ＝亮黄灯的时间全部时间＝575＝115；(3)P ＝不是亮红灯的时间全部时间＝亮黄灯或绿灯的时间全部时间＝4575＝35.故填25、115、35.答案：25 115 356．已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b .若a 、b 都是从区间[0,4]内任取的一个数，则f (1)>0成立的概率是________．解析：f (1)＝－1＋a －b >0，即a －b >1，如右图，A (1,0)，B (4,0)，C (4,3)，S ΔABC ＝92，P ＝S ΔABC S 矩＝924×4＝932.故填932.答案：932三、解答题7．在1万平方千米的大陆架海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？解：石油在1万平方千米的大陆架海域中的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作构成事件的区域面积，由几何概型的概率公式可以求得概率．记“钻到油层面”为事件A ，则P (A )＝储藏石油的大陆架面积大陆架海域的面积＝4010000＝0.004.答：钻到油层面的概率是0.004.8．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤0}，集合B ＝{x |ax ＋b ·2x －1<0,0≤a ≤2,1≤b ≤3}． (1)若a ，b ∈N ，求A ∩B ≠Ø的概率； (2)若a ，b ∈R ，求A ∩B ＝Ø的概率．解：(1)因为a ，b ∈N ，(a ，b )可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共9组．令函数f (x )＝ax ＋b ·2x －1，x ∈[－1,0]，则f ′(x )＝a ＋b ln2·2x . 因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，所以f ′(x )>0， 即f (x )在[－1,0]上是单调递增函数．f (x )在[－1,0]上的最小值为－a ＋b 2－1.要使A ∩B ≠Ø，只需－a ＋b2－1<0，即2a －b ＋2>0.所以(a ，b )只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共7组． 所以A ∩B ≠Ø的概率为79.(2)因为a ∈[0,2]，b ∈[1,3]，所以(a ，b )对应的区域为边长为2的正方形(如右图)，面积为4.由(1)可知，要使A ∩B ＝Ø，只需f (x )min ＝－a ＋b2－1≥0⇒2a －b ＋2≤0，所以满足A ∩B ＝Ø的(a ，b )对应的区域是图中的阴影部分，所以S 阴影＝12×1×12＝14，所以A ∩B ＝Ø的概率为P ＝144＝116.[高考·模拟·预测]1．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A的距离小于等于a 的概率为( )A.22B.22π C.16D.16π 解析：P ＝18×43πa 3a 3＝π6. 答案：D2．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm ，把一枚半径为1 cm 的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )A.14 B.13 C.12D.23解析：如下图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为13.答案：133．已知如右图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为600粒，则可以估计出阴影部分的面积约为________．解析：设所求的面积为S ，由题意得6001000＝S5×12，∴S ＝36.答案：364．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧的长度小于1的概率为________．解析：如右图所示，可设＝1，＝1，根据题意只要点B在优弧上，劣弧的长度就小于1，由于点B 在圆周上的任意性，故这个概率是优弧的长度与圆的周长之比，即这个概率是23.故填23. 答案：235．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(Ⅰ)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．(Ⅱ) 若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(Ⅰ)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.(Ⅱ)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，所以所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.[备选精题]6．一条直线型街道的A ，B 两盏路灯之间的距离为120 m ，由于光线较暗，想在中间再随意安装两盏路灯C ，D ，路灯次序依次为A ，C ，D ，B ，求A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于40 m 的概率．解：设AC 长为x ，DB 长为y ，则CD 长为120－(x ＋y )且满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1200≤y ≤120120－(x ＋y )≥0设AC ，BD 之间都不小于40的事件为M ， 则⎩⎪⎨⎪⎧40≤x ≤12040≤y ≤120x ＋y ≤120满足条件的点P (x ，y )构成如右图所示的阴影区域，∴P (M )＝S △阴影S △OEF ＝19.。
高三基础知识天天练 数学检测11人教版
单元质量检测(11)一、选择题1．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有( )A ．12种B ．20种C ．24种D ．48种解析：甲、乙捆绑后与第5种商品排列有A 22种，产生的三个空排丙、丁，有A 23种，再排甲、乙有A 22种，共有A 22A 23A 22＝24种．答案：C2．直角坐标xOy 平面上，平行直线x ＝n (n ＝0,1,2，…，5)与平行直线y ＝n (n ＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有( )A ．25个B ．36个C ．100个D ．225个解析：从构成矩形的四条边入手，可以从6条竖着的直线中任取两条，共有C 26种选法；再从6条横着的直线中任取两条直线，共有C 26种选法，所以可构成矩形C 26·C 26＝225(个)． 答案：D3．(1＋3x )6⎝⎛⎭⎪⎫1＋14x 10的展开式中的常数项为( )A ．1B ．46C ．4245D ．4246 解析：(1＋3x )6的通项公式为C r 6x r3，⎝⎛⎭⎪⎫1＋14x 10的通项公式为C k10x －k 4，由r 3＋(－k 4)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝0k ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3k ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧r ＝6k ＝8共三项，所以常数项为C 06C 010＋C 36C 410＋C 66C 810＝4246. 答案：D4．在一底面半径和高都是2 cm 的圆柱形容器中盛满小麦种子，但有一粒带麦锈病的种子混入了其中．现从中随机取出2 cm 3的种子，则取出带麦锈病的种子的概率是( )A.14B.18πC.14πD ．1－14π解析：可用体积作为几何度量，易知取出带有麦锈病的种子的概率为P ＝2π ·22·2＝14π.答案：C5．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是( )A.14B.12 C.34D.23解析：如右图，在AB 边取点P ′，使AP ′AB ＝34，则P 只能在AP ′内运动，则概率为AP ′AB ＝34.答案：C6．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 第n 次摸取红球1 第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A ．C 57(13)2(23)5B ．C 27(23)2(13)5C ．C 57(13)2(13)5D ．C 37(13)2(23)5 解析：由题意得，在7次摸球中，摸得红球的次数恰为2次，则有S 7＝3. 又因为每次摸球，摸得红球的概率为23，设X 为摸得红球的次数，则X ～B (7，23)，在7次摸球中，恰有2次摸得红球的概率 P (X ＝2)＝C 27(23)2(13)5. 答案：B7．集合A ＝{(x ，y )|y ≥|x －1|，x ∈N *}，集合B ＝{(x ，y )|y ≤－x ＋5，x ∈N *}． 先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得点数记作a ，掷第二颗骰子得点数记作b ，则(a ，b )∈A ∩B 的概率等于( )A.14B.29C.736 D.536解析：由于y ≥|x －1|⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0x ＋y －1≥0，根据二元一次不等式表示平面的区域，可知A ∩B对应如下图所示的阴影部分的区域中的整数点．其中整数点有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，共14个．现先后抛掷2颗骰子，所得点数分别有6种，共会出现36种结果，其中落入阴影区域内的有8种，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)．所以满足(a ，b )∈A ∩B 的概率为836＝29，故选B.答案：B8．设随机变量的概率分布为：则X ( )A.12B ．0C ．2D ．随p 的变化而变化 解析：EX ＝0×p 3＋1×p 3＋2×(1－2p3)＝2－p ，又∵p 3≥0,1－23p ≥0，∴0≤p ≤32，∴当p ＝32时，EX 的值最小，最小值为2－32＝12.答案：A9．利用计算机在区间(0,1)上产生两个随机数a 和b ，则方程x ＝－2a －bx 有实根的概率为( )A.12B.13C.16D.23解析：方程x ＝－2a －bx ，即x 2＋2ax ＋b ＝0，若方程有实根，则有Δ＝4a 2－4b ≥0即b ≤a 2，其所求概率可转化为几何概型，如右图，其概率等于阴影面积与正方形面积之比，S 阴影＝⎠⎛01a 2d a ＝13a 3| 10＝13，所以所求概率P ＝13.答案：B10．在区间[0,1]上任意两个实数a ，b ，则函数f (x )＝12x 3＋ax －b 在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为( )A.18B.14C.34D.78解析：f ′(x )＝32x 2＋a ，故f (x )在x ∈[－1,1]上单调递增，又因为函数f (x )＝12x 3＋ax －b在[－1,1]上有且仅有一个零点，即有f (－1)·f (1)<0成立，即(12＋a －b )(－12－a －b )<0，则(12＋a －b )(12＋a ＋b )>0，可化为：⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤10≤b ≤112＋a －b >012＋a ＋b >0或⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤10≤b ≤112＋a －b <012＋a ＋b <0，由线性规划知识在直角坐标系aOb 中画出这两个不等式组所表示的可行域，再由几何概型可以知道，函数f (x )＝12x 3＋ax －b 在[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为：可行域的面积除以直线a ＝0，a ＝1，b ＝0，b ＝1围成的正方形的面积，计算可得面积之比为78.答案：D11．若k 为实数，且k ∈[－2,2]，则k 的值使得过点A (1,1)的两条直线与圆x 2＋y 2＋kx －2y －54k ＝0相切的概率为( )A.14B.12C.34D ．不确定解析：由题意知点A (1,1)在圆x 2＋y 2＋kx －2y －54k ＝0，即(x ＋k 2)2＋(y －1)2＝k 24＋1＋54k的外部，所以⎩⎨⎧k 24＋1＋54k >012＋12＋k －2－54k >0，即⎩⎪⎨⎪⎧k >－1或k <－4k <0.又k ∈[－2,2]，所以－1<k <0.故由几何概型概率公式得所求概率为P ＝14.答案：A12．已知0≤a <2,0≤b ＜4，为估计在a >1的条件下，函数f (x )＝x 2＋2ax ＋b 有两相异零点的概率为P ，用计算机产生了[0,1)内的两组随机数a 1，b 1各2400个，并组成了2400个有序数对(a 1，b 1)，统计这2400个有序数对后得到2×2列联表的部分数据如下表：( )A.1348B.1124C.1324D.712解析：本题先对产生的随机数对(a 1，b 1)进行a ＝2a 1，b ＝4b 1的变换后可转化为满足题中条件的数对(a ，b )，而当4a 2－4b >0时，原函数f (x )有两个相异零点．所以先将表格补全，知当a >1即a 1>12时，满足a 21－b 1>0时，有两个相异零点，于是P ＝6501200＝1324. 答案：C 二、填空题13．已知(1＋kx 2)6(k 是正整数)的展开式中x 8的系数小于120，则k ＝________.解析：(1＋kx 2)6按二项式定理展开的通项为T r ＋1＝C r 6(kx 2)r ＝C r 6k r ·x 2r. 令2r ＝8，得r ＝4，∴x 8的系数为C 46·k 4，即15k 4<120，∴k 4<8.而k 是正整数，故k 只能取1. 答案：114．某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有________种．(有数字作答)解析：由题意可知有一个工厂安排2个班，另外三个工厂每厂安排1个班，共有C 14·C 25·A 33＝240种安排方法．答案：24015．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(2，＋∞)上取值的概率为________．解析：由正态分布的特征易得 P (ξ>2)＝12[1－2P (0<ξ<1)]＝12(1－0.8)＝0.1. 答案：0.116．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望Eξ＝________.解析：因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，ξ为取得红球(成功)的次数，则ξ～B (4，35)，从而有Eξ＝np ＝4×35＝125.答案：125三、解答题17．在一个盒中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，求 (1)从中任取1支，得到一等品或二等品的概率； (2)从中任取2支，没有三等品的概率．解：(1)从6支笔中任取1支得一等品或二等品共有3＋2＝5种， 不同的取法，任取一支笔共有6种取法， ∴任取1支，得到一等品或二等品的概率为56.(2)从中任取2支，有三等品的取法，有5种，而任取2支共有C 26＝15种取法． ∴任取2支，有三等品的概率为515＝13，∴任取2支，没有三等品的概率为1－13＝23.18．为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查员某天逮住这种动物600只做好标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物500只，其中做过标记的有50只，根据上述数据，估算保护区内有多少只动物？解：设保护区内这种野生动物有x 只，每只动物被逮到的可能性是相同的，那么第一次逮到的600只占所有这种动物的概率为600x ，第二次逮到的500只中，有50只是第一次逮到的，即事件发生的频数为50，说明第一次逮到的在总的动物中的频率为110，由概率的定义知600x ＝110，解得x ＝6000，即按此方法计算，估计保护区内有6000只这种野生动物．19．一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球． (1)从中摸出两个球，求两球颜色不同的概率；(2)从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球恰好颜色不同的概率．解：(1)记“摸出两个球，两球恰好颜色不同”为A ，摸出两个球共有方法C 25＝10种，其中，两球一白一黑有C 12·C 13＝6种．∴P (A )＝C 12C 13C 25＝35.(2)解法一：记“摸出一球，放回后再摸出一个球两球恰好颜色不同”为B ，摸出一球得白球的概率为25＝0.4，摸出一球得黑球的概率为35＝0.6，“有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑后白”，∴P (B )＝2×3＋3×25×5＝0.4×0.6＋0.6×0.4＝0.48.解法二：有放回地摸两次，互相独立，摸一次得白球的概率为25，∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为 P (B )＝C 12·25·(1－25)＝0.48. 20．已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{－1,1,2,3,4,5}和Q ＝{－2，－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0x >0y >0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解：(1)∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2ba ，要使函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2ba≤1，即2b ≤a .若a ＝1，则b ＝－2，－1； 若a ＝2，则b ＝－2，－1,1； 若a ＝3，则b ＝－2，－1,1；若a ＝4，则b ＝－2，－1,1,2； 若a ＝5，则b ＝－2，－1,1,2； ∴所求事件包含基本事件的个数是 2＋3＋3＋4＋4＝16. ∴所求事件的概率为1636＝49.(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎪⎨⎪⎧(a ，b )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ＋b －8≤0a >0b >0，构成所求事件的区域为如右图阴影部分． 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0b ＝a 2得交点坐标为(163，83)，∴所求事件的概率为 P ＝12×8×8312×8×8＝13.21．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08，选修甲和乙而不选修丙的概率是0.12，至少选修一门课的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．(1)记“函数f (x )＝x 2＋ξ·x 在R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望．解：设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z . 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x (1－y )(1－z )＝0.08xy (1－z )＝0.12.1－(1－x )(1－y )(1－z )＝0.88，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0.4y ＝0.6z ＝0.5.(1)若函数f (x )＝x 2＋ξ·x 为R 上的偶函数，则ξ＝0. 当ξ＝0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选． ∴P (A )＝P (ξ＝0)＝xyz ＋(1－x )(1－y )(1－z ) ＝0.4×0.5×0.6＋(1－0.4)(1－0.5)(1－0.6)＝0.24. ∴事件A 的概率为0.24.(2)依题意知ξ的取值为0和2，由(1)所求可知P(ξ＝0)＝0.24，P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)＝0.76.则ξ的分布列为∴ξ的数学期望为Eξ＝022．在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次：在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A处的命中率q1为0．25，在B处的命中率q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为(1)求q2的值；(2)求随机变量ξ的数学期望Eξ；(3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．解：(1)由题设可知，“ξ＝0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质可知p(ξ＝0)＝(1－q1)(1－q2)2＝0.03，解得q2＝0.8(2)根据题意p1＝P(ξ＝2)＝(1－q1)C12(1－q2)q2＝0.75×2×0.2×0.8＝0.24，p2＝P(ξ＝3)＝q1(1－q2)2＝0.25×(1－0.8)2＝0.01，p3＝P(ξ＝4)＝(1－q1)q22＝0.75×0.82＝0.48，p4＝P(ξ＝5)＝q1q2＋q1(1－q2)＝0．25×0.8＋0.25×0.2×0.8＝0.24，因此Eξ＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.(3)用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，则P(C)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝p3＋p4＝0.48＋0.24＝0.72，P(D)＝q22＋C12q2(1－q2)q2＝0.82＋2×0.8×0.2×0.8＝0.896.故P(D)>P(C)．即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处以后都在B处投得分超过3分的概率．。
基础知识天天练2-11. 数学 数学doc
第2模块 第11节[知能演练]一、选择题1．设f ′(x )是函数f (x )的导数，y ＝f ′(x )的图象如右图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能是( )解析：由y ＝f ′(x )的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增；当0<x <2时，f ′(x )<0，∴f ′(x )在(0,2)上单调递减．故选C.答案：C2．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D ．在(0，π)上减，在(π，2π)上增 解析：f ′(x )＝1－cos x >0， ∴f (x )在(0,2π)上递增．故选A. 答案：A3．若a >3，则方程x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰有( )A ．0个根B ．1个根C ．2个根D ．3个根解析：令f (x )＝x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x (x －23a )．由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝23a (∵a >3，∴23a >2)．∴当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )在(0,2)上单调递减． 又f (0)·f (2)＝8－4a ＋1＝9－4a <0， ∴f (x )在(0,2)上有一个零点， 即方程在(0,2)上有一实根．故选B. 答案：B4．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )A ．a >－3B ．a <－3C ．a >－13D ．a <－13解析：y ′＝a ·e ax ＋3＝0，当a ＝0时，显然不合题意，∴a ≠0. ∴e ax ＝－3a .∴x ＝1a ln(－3a )．由题意，得1a ln(－3a )>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，0<－3a <1.∴a <－3. 故应选B. 答案：B 二、填空题5．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝±2.∵f (－3)＝17，f (3)＝－1，f (－2)＝24，f (2)＝－8，∴M －m ＝f (－2)－f (2)＝32. 答案：32 6．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝4(x 2＋1)－8x 2(x 2＋1)2＝4(1－x 2)(x 2＋1)2，令f ′(x )>0，∴－1<x <1. 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，2m ＋1≤1，2m ＋1>m ，∴－1<m ≤0.答案：(－1,0] 三、解答题7．设函数f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)求f (x )在区间[－34，14]上的最大值和最小值．解：(1)函数f (x )的定义域为(－32，＋∞)，f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3，令f ′(x )>0，∴x >－12或－32<x <－1.令f ′(x )<0，∴－1<x <－12.∴f (x )在区间(－32，－1)和(－12，＋∞)上为增函数，在区间(－1，－12)上为减函数．(2)当x 在区间[－34，14]上变化时，f ′(x )与f (x )变化情况如下表：f (－34)＝916＋ln 32，f (－12)＝14＋ln2，f (14)＝116＋ln 72，由表知函数f (x )在x ＝－12处取最小值14＋ln2.f (－34)－f (14)＝12＋ln 37＝12(1－ln 499)<0.故函数f (x )在x ＝14处取最大值116＋ln 72.8．已知f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )，(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.(1)解：f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax(x >0)，若a ≤0时，f ′(x )≥0恒成立， ∴函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． 若a >0时，令f ′(x )>0，得x >a ，∴函数f (x )的单调增区间为(a ，＋∞)，减区间为(0，a )． (2)证明：设F (x )＝23x 3－(12x 2＋ln x )，故F ′(x )＝2x 2－x －1x .∴F ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x .∵x >1，∴F ′(x )>0.∴F (x )在(1，＋∞)上为增函数． 又F (x )在[1，＋∞)上连续，F (1)＝16>0，∴F (x )>16在(1，＋∞)上恒成立．∴F (x )>0.∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.[高考·模拟·预测]1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x ]′＝1·e x ＋(x －3)·e x ＝(x －2)·e x ，由函数导数与函数单调性关系得：当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)·e x >0解得：x >2.答案：D2．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D ．(0，12)解析：∵f ′(x )＝3x 2－6b ，由题意，函数f ′(x )图象如右图．∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)<0，f ′(1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧－6b <0，3－6b >0，得0<b <12.故选D.答案：D3．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得，f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )<0，即3(x －11)(x ＋1)<0，求得－1<x <11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)． 答案：(－1,11)4．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.解析：由于f ′(x )＝(x 2＋a )′·(x ＋1)－(x 2＋a )·(x ＋1)′(x ＋1)2＝2x ·(x ＋1)－(x 2＋a )·1(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，而函数f (x )在x ＝1处取极值，则f ′(1)＝12＋2×1－a (1＋1)2＝0，解得a ＝3，故填3.答案：35．已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，其中a ∈R . (Ⅰ)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率；(Ⅱ)当a ≠23时，求函数f (x )的单调区间与极值．解：(Ⅰ)当a ＝0时，f (x )＝x 2e x ，f ′(x )＝(x 2＋2x )e x ，故f ′(1)＝3e.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为3e.(Ⅱ)f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x －2a 2＋4a ]e x . 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2a 或x ＝a －2. 由a ≠23知，－2a ≠a －2.以下分两种情况讨论．(1)若a >23，则－2a <a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：内是增函数，在函数f (x )在x ＝－2a 处取得极大值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e －2a.函数f (x )在x ＝a －2处取得极小值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2.(2)若a <23，则－2a >a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：函数f (x )在x ＝a －2处取得极大值f (a －2)，且f (a －2)＝(4－3a )e a －2.函数f (x )在x ＝－2a 处取得极小值f (－2a )，且f (－2a )＝3a e－2a.[备选精题]6．若存在实常数k 和b ，使得函数f (x )和g (x )对其定义域上的任意实数x 分别满足：f (x )≥kx ＋b 和g (x )≤kx ＋b ，则称直线l ：y ＝kx ＋b 为函数f (x )和g (x )的“隔离直线”．已知h (x )＝x 2，φ(x )＝2eln x (其中e 为自然对数的底数)．(1)求F (x )＝h (x )－φ(x )的极值；(2)函数h (x )和φ(x )是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)∵F (x )＝h (x )－φ(x )＝x 2－2eln x (x >0)， ∴F ′(x )＝2x －2e x ＝2(x －e)(x ＋e)x .当x ＝e 时，F ′(x )＝0.∵当0<x <e 时，F ′(x )<0，此时函数F (x )递减； 当x >e 时，F ′(x )>0，此时函数F (x )递增， ∴当x ＝e 时，F (x )取极小值，其极小值为0.(2)由(1)可知函数h (x )和φ(x )的图象在x ＝e 处有公共点，因此若存在h (x )和φ(x )的隔离直线， 则该直线过这个公共点， 设隔离直线的斜率为k ， 则直线方程为y －e ＝k (x －e)， 即y ＝kx ＋e －k e.由h (x )≥kx ＋e －k e(x ∈R )，可得x 2－kx －e ＋k e ≥0，当x ∈R 时恒成立． ∴Δ＝(k －2e)2， ∴由Δ≤0，得k ＝2 e.下面证明φ(x )≤2e x －e ，当x >0时恒成立． 令G (x )＝φ(x )－2e x ＋e ＝2eln x －2e x ＋e ， 则G ′(x )＝2ex －2e ＝2e(e －x )x ，当x ＝e 时，G ′(x )＝0. ∵当0<x <e 时，G ′(x )>0， 此时函数G (x )递增；当x >e 时，G ′(x )<0，此时函数G (x )递减， ∴当x ＝e 时，G (x )取极大值，其极大值为0. 从而G (x )＝2eln x －2e x ＋e ≤0， 即φ(x )≤2e x －e(x >0)恒成立，∴函数h (x )和φ(x )存在唯一的隔离直线y ＝2e x －e.。
宿豫中学09届高三数学二轮复习天天练11
09届高三数学天天练11一、填空题1．命题“2,0x R x x ∃∈+≤”的否定是 ． 2．(1)(12)i i -+= ．3．函数()sin 23cos 2f x x x =+的最小正周期是 ．4．长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB BC AA ===，则1BD 与平面1111A B C D 所成的角的大小为 ．5．已知实数x y ，满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，则2z x y =+的最小值是 ．6．已知抛物线22y px =的准线与双曲线222x y -=的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为 .7. 执行右边的程序框图，若4p =，则S = ．8．将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是 . 9．若直线1ax by +=过点(),A b a ，则以坐标原点O 为圆心，半径的圆的面积的最小值是 ． 10．已知集合{}21503x A x |x ,B x |x -⎧⎫=-<<=>⎨⎬-⎩⎭，在集合A 任取一个元素x ，则事件“x A B ∈⋂”的概率是 ．11．已知1F 、2F 是椭圆22x k ++21y k +=1的左右焦点，弦AB 过F 1，若2ABF ∆的周长为8，则椭圆的离心率为 ．12．等边三角形ABC 中，P 在线段AB 上，且AP AB λ=，若CP AB PA PB ⋅=⋅，则实数λ的值是 ．13．数列{}n a 的前n 项和是n S ，若数列{}n a 的各项按如下规则排列：11212312341, , , , , , , , , , , 23344455556，若存在整数k ，使10k S <，110k S +≥，则k a = ． 14．若函数()3213f x x a x =-满足：对于任意的[]12,0,1x x ∈都有()()12||1f x f x -≤恒成立，则a 的取值范围是 ．AB CD A 1B 1C 1D 1二、解答题：（文科班只做15题，30分，理科班两题都做，每题15分）15、 已知圆22:8O x y +=交x 轴于,A B 两点，曲线C 是以AB 为长轴，直线:l 4x =-为准线的椭圆．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M 是直线l 上的任意一点，以OM 为直径的圆K 与圆O 相交于,P Q 两点，求证：直线PQ 必过定点E ，并求出点E 的坐标；（Ⅲ）如图所示，若直线PQ 与椭圆C 交于,G H 两点，且3EG HE =，试求此时弦PQ 的长．16、如图矩形OABC 在变换T 的作用下变成了平行四边形OA B C '''，求变换T 所对应的矩阵M ．09届高三数学天天练11答案1．2,0x R x x ∀∈+>2．3i + 3．π4．6π5．16．()1,07.1516 8．33π 9．π 10．16 11．1212．222-13．5714．223,333⎡⎢⎣ 15．解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，则：2224a ac⎧=⎪⎨=⎪⎩，从而：222a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故2b =,所以椭圆的标准方程为22184x y +=。
高三基础知识天天练 数学11-3人教版
第11模块 第3节[知能演练]一、选择题1．若二项式(x －2x)n 的展开式中第5项是常数项，则自然数n 的值可能为( )A ．6B ．10C ．12D ．15解析：T r ＋1＝C r n (x )n －r(－2x )r ＝(－2)r C rn x n －3r2，当r ＝4时，n －3r 2＝0，又n ∈N *，∴n ＝12. 答案：C2．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( )A ．74B ．121C ．－74D ．－121解析：展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121.答案：D3．在(x 2＋3x ＋2)5展开式中x 的系数为( )A ．160B ．240C ．360D ．800解析：∵(x 2＋3x ＋2)5＝(x ＋1)5·(x ＋2)5＝(x 5＋C 15x 4＋…＋1)(x 5＋2C 15x 4＋…＋25)， ∴其展开式中x 项的系数为C 4525＋C 4524＝240.答案：B4．在(1－x )5(1＋x )4的展开式中x 3项的系数为( )A ．－6B ．－4C ．4D ．6解析：(1－x )5(1＋x )4＝(1－C 15x ＋C 25x 2－C 35x 3＋…)(1＋C 14x ＋C 24x 2＋C 34x 3＋C 44x 4)， ∴x 3项的系数为1×C 34－C 15C 24＋C 25C 14－C 35×1＝4.答案：C 二、填空题5．已知二项式(1－3x )n 的展开式中所有项系数之和等于64，那么这个展开式中含x 2项的系数是________．解析：令x ＝1，则(1－3x )n ＝(－2)n ， 即(－2)n ＝64，∴n ＝6.又T r ＋1＝C r 6(－3x )r ，则T 3＝C 26(－3x )2＝135x 2，∴(1－3x )n 展开式中含x 2项的系数为135. 答案：1356．若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________. 解析：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36， 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.令x ＝0，则a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.答案：364 三、解答题7．已知(4 41x ＋3x 2)n展开式中的倒数第三项的二项式系数为45.(1)求含有x 3的项； (2)求二项式系数最大的项．解：(1)由已知得C n －2n ＝45，即C 2n ＝45，∴n 2－n －90＝0，解得n ＝－9(舍)或n ＝10， 由通项公式得T r ＋1＝C r10(4·x －14)10－r (x 23)r . ＝C r 10·410－r·x －10－r 4＋23r .令－10－r 4＋23r ＝3，得r ＝6，∴含有x 3的项是T 7＝C 610·44·x 3＝53760x 3. (2)∵此展开式共有11项， ∴二项式系数最大项是第6项，∴T 6＝C 510(4x －14)5(x 23)5＝258048x 2512.8．设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0，求： (1)a 8＋a 7＋…＋a 1； (2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0.解：令x ＝0得a 0＝1. (1)令x ＝1得(3－1)8＝a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0， ① ∴a 8＋a 7＋…＋a 2＋a 1＝28－a 0＝256－1＝255. (2)令x ＝－1得(－3－1)8＝a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0. ② 由①＋②得28＋48＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)， ∴a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12(28＋48)＝32896.[高考·模拟·预测]1．在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－1x 5的展开式中，含x 4的项的系数是 ( )A ．－10B ．10C ．－5D ．5解析：T r ＋1＝C r 5x 2(5－r )(－x －1)r ＝(－1)r C r 5x10－3r(r ＝0,1，…，5)，由10－3r ＝4得r ＝2.含x 4的项为T 3，其系数为C 25＝10，故选B.答案：B2．若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝( )A ．45B ．55C ．70D ．80解析：由二项式定理得：(1＋2)5＝1＋C 15·2＋C 25·(2)2＋C 35·(2)3＋C 45·(2)4＋C 55·(2)5 ＝1＋52＋20＋202＋20＋42＝41＋292， ∴a ＝41，b ＝29，a ＋b ＝70.故选C. 答案：C3． (1＋ax ＋by )n 展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( )A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5解析：不含x 的项的系数的绝对值为(1＋|b |)n ＝243＝35，不含y 的项的系数的绝对值为(1＋|a |)n＝32＝25，∴n ＝5，⎩⎪⎨⎪⎧1＋|b |＝3，1＋|a |＝2，故选D.答案：D4． (x －y )10的展开式中，x 7y 3的系数与x 3y 7的系数之和等于________解析：T 4＝－C 310x 7y 3，T 8＝－C 710x 3y 7，则x 7y 3与x 3y 7的系数之和为－2C 310＝－240. 答案：－2405．在(1＋x )3＋(1＋x )3＋(1＋3x )3的展开式中，x 的系数为________(用数字作答)．解析：C 13＋C 23＋C 33＝23－1＝7.答案：7 6．已知(x x ＋23x)n 展开式的前3项系数的和为129，这个展开式中是否含有常数项、一次项？如没有，请说明理由；如有，请求出来．解：∵T r ＋1＝C r n (x x )n －r ·(23x)r ＝C r n 2r x 9n －11r 6(r ＝0,1,2，…，n )， ∴由题意得C 0n 20＋C 1n ·2＋C 2n ·22＝129， ∴1＋2n ＋2(n －1)n ＝129，∴n 2＝64，∴n ＝8.故T r ＋1＝C r 82r x 72－11r 6(r ＝0,1,2，…，8)． 若展开式存在常数项，则72－11r 6＝0，∴72－11r ＝0，∴r ＝7211∉N ，∴展开式中没有常数项．若展开式存在一次项，则72－11r6＝1，∴72－11r ＝6. ∴r ＝6，∴展开式中存在一次项，它是第7项，T 7＝C 6826x ＝1792x .。
高三基础知识天天练 数学11-9人教版
高三基础知识天天练数学11-9人教版第11模块第9节[知能演练]一、选择题1．某一离散型随机变量ξ的概率分布列如下表，且Eξ＝1.5，则a－b的值ξ 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.－0.1 B．0 C．0.1D．0.2解析：???0.1＋a＋b＋0.1＝1??a＝0.4??0×0.1＋a＋2b＋3×0.1＝1.5 ???，?b＝0.4故a－b＝0. 答案：B2．随机变量X的分布列为X 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3 则E(5X＋4)等于A．15 B．11 C．2.2D．2.3 解析：∵EX＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，∴E(5X＋4)＝5EX＋4＝11＋4＝15. 答案：A3．在正态分布N(0，19)中，数值落在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为A．0.097 B．0.046 C．0.03D．0.0026解析：∵μ＝0，σ＝13，∴P(x1)＝1－P(－1≤x≤1)＝1－P(μ－3σ≤x≤μ＋3σ)＝1－0.9974＝0.0026. 答案：D( )( )( )4．某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如下图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如下图曲线可得下列说法中正确的一个是( )A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同解析：由正态曲线性质可得．答案：A 二、填空题5．设离散型随机变量X可能取的值为1,2,3,4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)．又X的均值EX＝3，则a＋b＝________.解析：设离散型随机变量X可能取的值为1,2,3,4. P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，所以 (a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1，又X的均值EX＝3，则(a＋b)＋2(2a＋b)＋3(3a＋b)＋4(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3，a1＝，b＝0， 101∴a＋b＝.101答案： 106．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．解析：∵ξ服从正态分布(1，σ2)，∴ξ在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4. ∴ξ在(0,2)内取值概率为0.4＋0.4＝0.8. 答案：0.8 三、解答题7．某地区的一个季节下雨天的概率是0.3，气象台预报天气的准确率为0.8.某厂生产的产品当天怕雨，若下雨而不做处理，每天会损失3000元，若对当天产品作防雨处理，可使产品不受损失，费用是每天500元．(1)若该厂任其自然不作防雨处理，写出每天损失ξ的分布列，并求其平均值； (2)若该厂完全按气象预报作防雨处理，以η表示每天的损失，写出η的分布列．计算η的平均值，并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择？解：(1)设ξ为损失数，分布列为：ξP ∴Eξ＝3000×0.3＝900(元) (2)设η为损失数，则 P(η＝0)＝0.7×0.8＝0.56.P(η＝500)＝0.3×0.8＋0.7×0.2＝0.38. P(η＝3000)＝0.3×0.2＝0.06. 分布列为：ηP 0 0.56 500 0.38 3000 0.06 0 0.7 3000 0.3 ∴Eη＝0＋500×0.38＋3000×0.06＝370 平均每天损失为370元．∵370<900，∴按天气预报作防雨处理是正确的选择．8．设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数．(1)求ξ的分布列、期望值及方差； (2)求η的分布列、期望值及方差．解：(1)ξ的可能值为0,1,2.若ξ＝0，表示没有取出次品，其概率为：3C062C10P(ξ＝0)＝3＝；C12112C192C10同理，有P(ξ＝1)＝3＝；C12221C212C10P(ξ＝2)＝3＝.C1222∴ξ的分布列为ξ P 0 6 111 9 222 1 226911∴Eξ＝0×＋1×＋2×＝.112222216191139915Dξ＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＝＋＋＝.21122222222888844(2)η的可能值为1,2,3，显然ξ＋η＝3. 1P(η＝1)＝P(ξ＝2)＝，229P(η＝2)＝P(ξ＝1)＝，226P(η＝3)＝P(ξ＝0)＝.11∴η的分布列为：η P 15Eη＝E(3－ξ)＝3－Eξ＝3－＝. 2215∵η＝－ξ＋3，∴Dη＝(－1)2Dξ＝.441 1 222 9 223 6 11[高考・模拟・预测]1．已知离散型随机变量X的分布列如下表．若EX＝0，DX＝1，则a＝________，b＝________.解析：由题意得，a＋b＋c＋1＝1，① 1211∵EX＝0，∴－1×a＋0×b＋1×c＋2×＝0，即－a＋c＋＝0，②12612∵DX＝1，∴(－1－0)2×a＋(0－0)2×b＋(1－0)2×c＋(2－0)2×＝1，即a＋c＝，③12351联立①②③解得a＝，b＝. 12451答案： 1242．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________. 解析：由正态分布曲线的性质知，P(X≤μ)＝0.5. 答案：0.53．已知随机变量x～N(2，σ2)，若P(x解析：由正态分布图象的对称性可得：P(a≤x<4－a)＝1－2P(x4．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望Eξ＝________.解析：由题得ξ所取得的值为0或2，其中ξ＝0表示取得的球为两个黑球，ξ＝2表示C21C111133取得的球为一黑一红，所以P(ξ＝0)＝2＝，P(ξ＝2)＝2＝，故Eξ＝0×＋2×＝1.C42C4222答案：15．一个盒子中装有分别标有数字1,2,3,4的4个大小、形状完全相同的球，现从中有放回地先后抽取2个球，抽取的球的标号分别为x1，x2，记ξ＝|x1－1|＋|x2－2|.(1)求ξ取得最大值时的概率； (2)求ξ的分布列及数学期望．解：(1)抽取的球的标号x可能为1,2,3,4，则x1－1分别为0,1,2,3；x2－2分别为－1,0,1,2. 因此ξ的所有取值为0,1,2,3,4,5.1当x1＝x2＝4时，ξ取得最大值5，此时P(ξ＝5)＝.161(2)当ξ＝0时，(x1，x2)的所有取值为(1,2)，此时P(ξ＝0)＝；163当ξ＝1时，(x1，x2)的所有取值为(1,1)，(1,3)，(2,2)，此时P(ξ＝1)＝；161当ξ＝2时，(x1，x2)的所有取值为(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，此时P(ξ＝2)＝； 41当ξ＝3时，(x1，x2)的所有取值为(2,4)，(3,1)，(3,3)，(4,2)，此时P(ξ＝3)＝； 43当ξ＝4时，(x1，x2)的所有取值为(3,4)，(4,1)，(4,3)，此时P(ξ＝4)＝.16故ξ的分布列为：ξ P 0 1 161 3 162 1 43 1 44 3 165 1 161311315Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.16164416162[备选精题]6．甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分(无平局)，比赛进行到感谢您的阅读，祝您生活愉快。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第11模块 第4节[知能演练]一、选择题1．给出下列三个命题，其中正确命题的个数是( )①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品； ②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面向上．因此，出现正面向上的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：要明确在试验中，虽然随机事件发生的频率mn 不是常数，但它具有稳定性，且总是接近于某个常数，在其附近波动，这个常数叫做概率，所以随机事件发生的频率和它的概率是不一样的．由此可知①②③都是不正确的．答案：A2．对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测，数据如下：( )A ．0.92B ．0.94C ．0.95D ．0.96解析：由概率的定义可知，检测次数越多越接近概率值． 答案：C3．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则log 2X Y ＝1的概率为( )A.16B.536C.112D.12解析：由log 2X Y ＝1得Y ＝2X ，满足条件的X 、Y 有3对，而骰子朝上的点数X 、Y 共有6×6＝36对．∴概率为336＝112.答案：C4．在10支铅笔中，有8支正品和2支次品，从中不放回地任取2支，至少取到1支次品的概率是( )A.29B.1645C.1745D.25解析一：(直接法)．“至少取到1支次品”包括：A ＝“第一次取到次品，第二次取到正品”；B ＝“第一次取到正品，第二次取到次品”；C ＝“第一、二次均取到次品”三种互斥事件，所以所求事件的概率为P (A )＋P (B )＋P (C )＝2×8＋8×2＋2×110×9＝1745. 解析二：(间接法)“至少取到1支次品”的对立事件为“取到的2支铅笔均为正品”，所以所求事件的概率为1－8×710×9＝1745. 答案：C 二、填空题5．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则上述方程有实根的概率为________．解析：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件a ≥b .基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34.答案：346．定义集合A 与B 的差集A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，记“从集合A 中任取一个元素x ，x ∈A －B ”为事件E ，“从集合A 中任取一个元素x ，x ∈A ∩B ”为事件F .P (E )为事件E 发生的概率，P (F )为事件F 发生的概率，当a ，b ∈Z ，且a <－1，b ≥1时，设集合A ＝{x ∈Z |a <x <0}，集合B ＝{x ∈Z |－b <x <b }，给出以下判断：①当a ＝－4，b ＝2时，P (E )＝23，P (F )＝13；②总有P (E )＋P (F )＝1成立； ③若P (E )＝1，则a ＝－2，b ＝1；④P (F )不可能等于1.其中所有判断正确的序号为________．解析：对于①，当a ＝－4，b ＝2时，A ＝{x ∈Z |－4<x <0}＝{－3，－2，－1}，B ＝{x ∈Z |－2<x <2}＝{－1,0,1}，A －B ＝{－3，－2}，A ∩B ＝{－1}，P (E )＝23，P (F )＝13，因此①正确；对于②，依题意知，对于集合A 中的任一元素x ，要么x 属于A －B ，要么x 属于A ∩B ，二者必居其一，因此P (E )＋P (F )＝1，②正确；对于③，由P (E )＝1得A ∩B ＝Ø，结合题意分析可知此时b ＝1，a 可以取－2、－3、－4等，因此③不正确；对于④，当a ＝－3，且b ＝4时，A ＝{－2，－1}，B ＝{－3，－2，－1,0,2,3}，此时A ∩B ＝A ，P (F )＝1，因此④不正确．综上所述，其中所有正确命题的序号是①②.答案：①② 三、解答题7．同时掷两颗骰子一次，(1)“点数之和是13”是什么事件？其概率是多少？(2)“点数之和在2～13范围之内”是什么事件？其概率是多少？ (3)“点数之和是7”是什么事件？其概率是多少？解：(1)由于点数最大是6，和最大是12，不可能得13，因此此事件是不可能事件，其概率为0.(2)由于点数之和最小是2，最大是12，在2～13范围之内，它是必然事件，其概率为1.(3)由(2)知，和是7是有可能的，此事件是随机事件，事件“点数和为7”包含的基本事件有{1,6}，{2,5}，{3,4}，{4,3}，{5,2}，{6,1}共6个，因此P ＝66×6＝16.8．口袋里装有不同的红色球和白色球共36个，且红色球多于白色球．从袋子中取出2个球，若是同色的概率为12，求：(1)袋中红色、白色球各是多少？(2)从袋中任取3个小球，至少有一个红色球的概率为多少？ 解：(1)令红色球为x 个，则依题意得C 2xC 236＋C 236－x C 236＝12，所以2x 2－72x ＋18×35＝0，得x ＝15或x ＝21， 又红色球多于白色球，所以x ＝21， 所以红色球为21个，白色球为15个．(2)设从袋中任取3个小球，至少有一个红色球的事件为A ，均为白色球的事件为B ， 则P (A )＝1－P (B )＝1－C 315C 336＝191204.[高考·模拟·预测]1．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个，其两面涂有油漆的概率是( )A.112 B.110 C.325D.12125解析：每条棱上有8块，共8×12＝96块． ∴概率为8×121000＝12125.答案：D2．福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物，每组福娃都由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成．甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的福娃中，“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为( )A.110 B.15 C.35D.45解析：本题分甲选中吉祥物和乙选中吉祥物两种情况，先甲选后乙选的方法有5×4＝20，甲选中乙没有选中的方法有2×3＝6，概率为620＝310，乙选中甲没有选中的方法有2×3＝6，概率为620＝310，∴恰有一个被选中的概率为310＋310＝35. 答案：C3．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为________．解析：依题意知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5. 答案：0.54．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为________． 解析：基本事件有6×6×6＝216个，点数依次成等差数列的有： (1)当公差d ＝0时，1,1,1及2,2,2，…，共6个．(2)当公差d ＝±1时，1,2,3及2,3,4；3,4,5；4,5,6，共4×2个． (3)当公差d ＝±2时，1,3,5；2,4,6，共2×2个．∴P ＝6＋4×2＋2×26×6×6＝112.答案：1125．某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参加了一支球队，具体情况如右图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率．解：(1)设“该队员只属于一支球队”为事件A ，则事件A 的概率P (A )＝1220＝35.(2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B ，则事件B 的概率为P (B )＝1－220＝910.[备选精题]6．班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率； (2)为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率．解：(1)利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果(如下图所示)．由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20，因此每次都随机抽取，因此这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．用A 1表示事件“连续抽取2人一男一女”，A 2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A 1与A 2互斥，并且A 1∪A 2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A 1的结果有12种，A 2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1220＋220＝710＝0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.(2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2,4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出.概型．用A表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率P(A)＝525＝15＝0.2.。