2021年高考数学(复习必备)-立体几何题怎么解

立体几何题怎么解

高考立体几何试题一般共有4道(客观题3道, 主观题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着”多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题.

例1 四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD.

（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；

（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°

讲解:（1）正方形ABCD是四棱锥P—ABCD的底面, 其面积为,2a从而只要算出四棱锥的高就行了.

面ABCD,

PB

∴BA 是PA 在面ABCD 上的射影.又DA ⊥AB ，

∴PA ⊥DA ，

∴∠PAB 是面PAD 与面ABCD 所成的二面角的平面角，

∠PAB=60°.

而PB 是四棱锥P —ABCD 的高，PB=AB ·tg60°=3a ,

3233331a a a V =⋅=∴锥.

（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三

角形.

作AE ⊥DP ，垂足为E ，连结EC ，则△ADE ≌△CDE ，

CEA CED CE AE ∠=∠=∴故,90, 是面PAD 与面PCD 所成的二面角的

平面角.

设AC 与DB 相交于点O ，连结EO ，则EO ⊥AC ，

.22a AD AE OA a =<<=∴

在.0)2)(2(2)2(cos ,2222<-+=⋅⋅-+=∠∆AE

OA AE OA AE EC AE OA EC AE AEC AEC 中 故平面PAD 与平面PCD 所成的二面角恒大于90°.

本小题主要考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和

逻辑推理能力, 具有一定的探索性, 是一道设计新颖, 特征鲜明的好

题.

例2 如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面

形，∠ACB=900，AC=1，C 点到AB 1

的中点.

（1）求证：AB 1⊥平面CED ；

（2）求异面直线AB 1与CD 之间的距离；

（3）求二面角B 1—AC —B 的平面角.

讲解:（1）∵D 是AB 中点，△ABC 为等腰直角三角形，∠

ABC=900，∴CD ⊥AB 又AA 1⊥平面ABC ，∴CD ⊥AA 1.

∴CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥AB 1，又CE ⊥AB 1， ∴AB 1⊥平

面CDE ；

（2）由CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥DE

∵AB 1⊥平面CDE ∴DE ⊥AB 1

∴DE 是异面直线AB 1与CD 的公垂线段

∵CE=23，AC=1 , ∴CD=.2

2 ∴2

1)()(22=-=CD CE DE ；

（3）连结B 1C ，易证B 1C ⊥AC ，又BC ⊥AC ,

∴∠B 1CB 是二面角B 1—AC —B 的平面角.

在Rt △CEA 中，CE=

23，BC=AC=1, ∴∠B 1AC=600

∴260cos 121==AB ， ∴2)()(2211=-=AB AB BB , ∴ 211==

∠BC BB CB B tg , ∴21arctg CB B =∠. 作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当然, 准确

地作出应当有严格的逻辑推理作为基石.

例3 如图a —l —β是120°的二面角，A ，B 两点在棱上，AB =2，

D 在α内，三角形ABD 是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C 在β内，

∆ABC 是等腰直角三角形∠ACB=.900

（I ） 求三棱锥D —ABC 的体积；

（2）求二面角D —AC —B 的大小；

（3）求异面直线AB 、CD 所成的角.

讲解: (1) 过D 向平面β做垂线，垂足为O ，连强OA 并延长至

E .

DAE OA AB DA OA AD AB ∠∴⊥∴⊥,,上的射影在平面为β 为二面角a —l —

β的平面角..60,120 =∠∴=∠DAO DAE 3,2=∴==DO AB AD .

ABC ∆ 是等腰直角三角形，

斜边AB =2.,1=∴∆ABC S 又D 到平面β的

距离DO=.3

.3

3=∴-ABC D V （2）过O 在β内作OM ⊥AC ,交AC 的反向延长线于M ,连结DM .

则AC ⊥DM .∴∠DMO 为二面角D —AC —B 的平面角. 又在△

DOA 中，OA =2cos 60°=1.且

.2

2,45=∴=∠=∠OM CAE OAM .6.6arctg DMO DMO tg =∠∴=∠∴ （3）在β平在内，过C 作AB 的平行线交AE 于F ，∠DCF 为异

面直线AB 、CD 所成的角.

ACF CAF DF CF AF CF AF AB ∆=∠⊥∴⊥∴⊥即又,45,, 为等腰直角三角形，

又AF 等于C 到AB 的距离，即△ABC 斜边上的高,.1==∴CF AF

.7.7.7120cos 2222=∠∴==∠∴=⋅-+=∴DCF tg CF

DF DCF tg AF AD AF AD DF 异面直线AB,CD 所成的角为arctg .7

比较例2与例3解法的异同, 你会得出怎样的启示? 想想看.

例4在边长为a 的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这

个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全