重庆市北碚区2019-2020学年高一上学期11月联考数学试题(教师版)
高一数学上学期11月月考试题含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校南山二零二零—二零二壹高一数学上学期11月月考试题〔含解析〕1.本套试卷分第一卷(客观题)和第二卷(主观题)两局部,全卷一共100分,考试时间是是100分钟;2.所有试题均答在答题卡上,答在题卷上无效.第一卷(客观题,一共48分)一.选择题(本大题一一共12小题,每一小题4分,一共48分,在每一小题给出的四个选项里面,只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.){|24}A x x =≤<,{|3782}B x x x =-≥-,那么A B 等于〔〕A.{|34}x x ≤< B.{|3}x x ≥ C.{|2}x x > D.{|2}x x ≥【答案】D 【解析】 【分析】先求得集合B,根据并集运算即可求解. 【详解】因为{|3782}B x x x =-≥-,即{|3}B x x =≥集合{|24}A x x =≤<由并集运算可得{|24}{|3}{|2}A B x x x x x x ⋃=≤<⋃≥=≤应选:D【点睛】此题考察了集合并集的简单运算,属于根底题.12x y a -=+(a ＞0且a ≠1)一定经过的定点是〔〕A.(0,1)B.(1,3)C.(1,2)D.(1,1)【答案】B 【解析】 【分析】 根据指数函数过()0,1,结合函数图像平移变换即可求得函数12x y a -=+过的定点.【详解】因为指数函数x y a =(a ＞0且a ≠1)过定点()0,1将x y a =向右平移1个单位,向上平移2个单位可得函数12x y a -=+的图像所以定点平移后变为()1,3应选:B【点睛】此题考察了函数过定点的求法,函数图像平移变换,属于根底题. 3.以下函数中,既是奇函数又是增函数的为〔〕 A.y ＝x ＋1 B.y ＝－x 3C.1y x=D.y ＝x【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性定义及单调性判断即可判断选项.【详解】对于A, 1y x =+不是奇函数,所以A 错误;对于B,3 y x =－是奇函数,在R 上单调递减,所以B 错误;对于C,1y x=是奇函数,在()(),0,0,-∞+∞为单调递减函数,所以C 错误; 对于D,y x =是奇函数,且在R 上单调递增,所以D 正确; 综上可知,D 为正确选项 应选:D【点睛】此题考察了函数奇偶性及单调性的判断,属于根底题.0.76a =，60.7b =，0.7log 6c =，那么三个数,,a b c 的大小顺序是〔〕A.b c a <<B.b a c <<C.c b a <<D.c a b <<【答案】C 【解析】 ∵0.70661a=>=，6000.70.71b <=<=，0.70.7log 6log 10c =<=，那么三个数,,a b c 的大小顺序是c b a <<，应选C.2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是〔〕 A.(1,2) B.(2,3)C.(1,)e 和(3,4)D.(,)e +∞【答案】B试题分析：函数的定义域为(0,)+∞，且函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点，又221(2)ln 210,(3)ln 3ln 0333f f e =-=--=>，应选B ． 考点：函数的零点．【方法点睛】判断函数()f x 的零点是否在区间(,)a b 内，只需检验两条：①函数()f x 在区间(,)a b 上是连续不断的；②()()0f a f b ⋅<．但需注意函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件，判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或者结合函数图象．()()()2log 030x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，那么14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值是〔〕A.9B.9-C.19D.19-【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，求得1()24f =-，进而求解14f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值，得到答案。
重庆北碚区部分学校2019-2020高一上学期第一次月考数学试卷( PDF版简略答案)
()
A. {x| − 5 ⩽ x < 4} B. {x| − 3 < x < 2} C. {x| − 5 ⩽ x < 3} D. {x| − 2 ⩽ x ⩽ 4}
2. 下列各组函数中表示同一函数的是 √
A. f (x) = x, g(x) = x2
B. f (x) = (√x)2, g(x) = x
)
16.
已知函数
f
(x)
=
−
1 4
x2
+
2x
+
3,
g(x)
=
|
3 2
x
−
3|,
若函数
A. [4, +∞)
B. (−∞, 4]
C. [−2, +∞)
D. (−∞, −2]
8. 已知函数 f (x) 的图象关于原点对称, 且 f (x) 在 [0, +∞) 上是增函数, 则不等式
f (x), f (x) < g(x),
x+
x
y
y
y
O
x
O
x
O
x
(
y
O
x
A
B
C
D
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填写在题中的横线上。
13. 设全集 U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, 集合 A = {0, 1, 3, 5}, B = {0, 2, 3, 4}, 则 A ∩ (∁U B) = )
−2,
求
k
的值.
x
5
22. 已知二次函数 f (x) = x2 − (2m + 1)x + m.
2019-2020学年重庆市高一上学期11月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年重庆市高一上学期11月月考数学试题一、单选题1．设全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{2,3,4}A =，{3,4,5}B =，则()U A B ⋂=ð（ ）． A ．{1,2} B ．{3,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,2,5,6}【答案】D【解析】 由{2,3,4}A =，{3,4,5}B =，∴{}3,4A B ⋂=，∴{}()1,2,5,6U A B ⋂=ð，故选D ． 2．函数2()log f x x =的定义域为 A ．(0,2] B ．(0,2)C ．(0,1)(1,2)⋃D ．(0,1)(1,2]⋃【答案】D【解析】试题分析：由于要使得原式有意义，则根据分式分母不为零和偶次根式根号下是非负数，以及对数的真数要大于零可知，那么要满足10{200x x x -≠-≥>，故解得x 解得x 的取值范围是(0,1)(1,2]⋃，选D.【考点】本题主要考查了函数的定义域的求解运用。
点评：解决该试题的关键是理解定义域就是使得原式有意义的自变量的取值集合。
作为分式分母不为零，作为偶次根式，根号下是非负数，作为对数真数要大于零，故可知结论。
3．已知常数且，则函数恒过定点 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：由指数函数y=a x（a ＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点 而要得到函数y=-1+a x-1（a ＞0，a≠1）的图象，可将指数函数y=a x（a ＞0，a≠1）的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位． 则（0，1）点平移后得到（1，0）点． 点P 的坐标是（1，0）．故选B.【考点】本题主要考查了指数函数的图象与性质的简单运用。
点评：根据函数y=4+a x-1（a ＞0，a≠1）的解析式，结合函数图象平移变换法则，求出平移量是解答本题的关键．4．下列函数是幂函数的是（ ） A ．2y x -= B ．22y x = C ．2y x x =+ D ．1y =【答案】A【解析】根据幂函数是形如y x α=的函数，逐一分析四个答案中的函数，可得答案． 【详解】函数22y x =的系数不是1，不是幂函数；函数2y x x =+的解析式不是单项式，不是幂函数；函数1y =与幂函数0(0)y x x =≠，定义域不相同，不正确；只有A 中 2y x -=满足幂函数定义，正确. 故选：A 【点睛】本题考查的知识点是幂函数，正确理解幂函数解析式的形式，是解答的关键，属于容易题．5．不等式2log (1)1x +<的解集为（ ） A ．{}01x x << B ．{}10x x -<≤ C ．{}11x x -<< D ．{}1x x >-【答案】C【解析】由对数函数的性质求解． 【详解】∵2log (1)1x +<，∴012x <+<，即11x -<<． 故选：C ． 【点睛】本题考查对数不等式的求解，可根据对数函数的单调性来解对数不等式，一定要注意对数函数的定义域．6．设3log 7a =， 1.12b =， 3.10.8c =，则 （ ） A ．b a c << B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】D【解析】根据指、对数的单调性直接将,,a b c 的范围求出来，然后再比较大小.【详解】因为333log 7(log 3,log 9)a =∈，所以(1,2)a ∈； 1.122b =>； 3.100.80.81c =<=； 所以c a b <<， 故选：D. 【点睛】指对数比较大小，常用的方法是：中间值1分析法（与1比较大小），单调性分析法（根据单调性直接写出范围）.7．函数()25x g x x =+的零点0x 所在一个区间是（ ）． A ．(2,1)-- B ．(1,0)- C ．(0,1) D ．(1,2)【答案】B【解析】 因为函数()25x g x x =+单调递增，且1(1)250g --=-<，(0)10g =>，∴(1)(0)0g g -⋅<，∴函数()g x 在(1,0)-内存在唯一的零点，故选B ． 8．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】分析：分k 为偶数和k 为奇数讨论，即可得到答案. 详解：由集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈，当k 为偶数时，集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈与{|}42ππαα≤≤表示相同的角，位于第一象限； 当k 为奇数时，集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈与{53|}42ππαα≤≤表示相同的角，位于第三象限；所以集合{},42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中表示的角的范围为选项C ，故选C.点睛：本题考查了角的表示，其中分k 为偶数和k 为奇数两种讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.二、多选题9．设α是第三象限角，则2α所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】BD【解析】用不等式表示第三象限角α，再利用不等式的性质求出2α满足的不等式，从而确定2α的终边所在的象限． 【详解】αQ 是第三象限角，360180360270k k α∴⋅︒+︒<<⋅︒+︒，k Z ∈，则180901801352k k α⋅︒+︒<<⋅︒+︒，k Z ∈，令2k n =，n Z ∈ 有360903601352n n α⋅︒+︒<<⋅︒+︒，n Z ∈；在二象限；21k n =+，n z ∈，有3602703603152n n α⋅︒+︒<<⋅︒+︒，n Z ∈；在四象限；故选：B D ． 【点睛】本题考查象限角的表示方法，不等式性质的应用，通过角满足的不等式，判断角的终边所在的象限,属于容易题. 10．下列四个命题①函数||y x =与函数y =表示同一个函数；②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点；③若函数()f x 的定义域为[0,2]，则函数(2)f x 的定义域为[0,4]；④设函数()f x 是在区间[],a b 上图像连续的函数，且()()0f a f b ⋅<，则方程()0f x =在区间[],a b 上至少有一实根；其中正确命题的序号是（ ）A ．（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）【答案】AD 【解析】①||y x ==与||y x =两函数的定义域相同，对应法则相同，①正确；②举反例如函数1y x=，②错误；③求函数(2)f x 的定义域可判断③错误；④由根的存在性定理可判断正确． 【详解】①函数||y x =的定义域为R，函数||y x ==定义域为R ，两函数的定义域相同，解析式相同，①正确； ②函数1y x=为奇函数，但其图象不过坐标原点，②错误； ③函数()f x 的定义域为[0，2]，要使函数(2)f x 有意义，需022x 剟，即[0x ∈，1]，故函数(2)f x 的定义域为[0，1]，错误；④函数()f x 是在区间[a ．]b 上图象连续的函数，f （a ）f ⋅（b ）0<，则方程()0f x =在区间[a ，]b 上至少有一实根，④正确． 故选：AD 【点睛】本题主要综合考查了函数的概念，函数的奇偶性及其图象，函数图象的平移变换，抽象函数的定义域求法，根的存在性定理，属于中档题．三、填空题11．函数(4),0,()(4),0,x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩若f (x )＝12，则x ＝_____________.【答案】2或-2【解析】分别讨论，当0x …时，(4)12x x +=；当0x <时，(4)12x x -=．由此能求出结果． 【详解】(4),0()(4),0x x x f x x x x +⎧=⎨-<⎩…，()12f x =，∴当0x …时，(4)12x x +=，解得2x =或6x =-（舍)；当0x <时，(4)12x x -=，解得2x =-或6x =（舍)．2x ∴=或2x =-．故答案为：2-或2． 【点睛】本题主要考查了函数值的求法，属于容易题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．12．已知函数2()22f x x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值2，最小值1，则m 的取值范围为___________． 【答案】[1,2]【解析】本题利用数形结合法解决，作出函数()f x 的图象，当1x =时，y 最小，最小值是1，当2x =时，2y =，欲使函数2()22f x x x =-+在闭区间[0，]m 上的上有最大值2，最小值1，则实数m 的取值范围要大于等于1而小于等于2即可． 【详解】作出函数()f x 的图象，如图所示，当1x =时，y 最小，最小值是1，当2x =时，2y =，函数2()22f x x x =-+在闭区间[0，]m 上上有最大值2，最小值1， 则实数m 的取值范围是[1，2]． 故答案为：[1,2] 【点睛】本题主要考查二次函数的值域问题，其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于中档题．13．已知函数1()()22xf x k =-- ,若函数()f x 有两个不同零点，则实数k 取值范围是______ 【答案】(0,2)【解析】函数1()()22xf x k =--有两个不同零点，转化为1()22x k -=有2个不等实根，作出1()22xy =-与y k =的图象，数形结合即可求解. 【详解】由1()()202xf x k =--=可得1()22x k -=，作出1()22xy =-与y k =的图象函数图象如图：由图象可知，当(0,2)k ∈时，图象有2个交点，即函数()f x 有2个零点 故答案为：(0,2) 【点睛】本题主要考查了函数零点，函数与方程，函数的图象，数形结合的思想，属于中档题. 14．已知一扇形的圆心角α＝，扇形所在圆的半径R ＝10，则这个扇形的弧长为________，该扇形所在弓形的面积为________. 【答案】π 50【解析】已知扇形的圆心角，半径，直接根据公式计算扇形弧长和面积，求三角形面积后可得到扇形所在弓形的面积． 【详解】设扇形的弧长为l ，则l ＝α·R ＝×10＝π， 由题意得S 弓＝S 扇－S △＝Rl －R 2sin ＝×10×π－×102×＝50故答案为：π，50【点睛】本题考查扇形的弧长计算公式与扇形的面积计算公式，考查计算能力.四、解答题15．315︒=___________弧度,7π12弧度=________. 【答案】7π4105︒ 【解析】根据弧度制与角度制的转换公式即可求解. 【详解】180π︒=73153151804ππ︒=⨯=, 77180π=1051212⨯︒=︒, 故答案为：7π4；105︒【点睛】本题主要考查了弧度制与角度制的转化，属于容易题. 16．计算 （1）计算：13134210.064()160.258---++；（2）计算：2lg 2lg3111lg 0.36lg823+++ 【答案】(1) 10 (2)1【解析】（1）利用有理指数幂的运算性质化简（2）直接利用对数式的运算性质化简运算． 【详解】（1）原式=1313()423420.4120.5⨯-⨯⨯-++ =130.4120.5--++ =2.5-1+8+0.5=10.（2）原式=23lg 4lg3111lg 0.6lg 223+++=lg121lg 0.6lg 2++=lg12lg10lg 0.6lg 2++=lg121lg12=. 【点睛】本题考查了指数式的运算性质和对数式的运算性质，解答的关键是熟记有关运算性质，属于容易题． 17．化简（1）7sin(2)cos()cos cos 225cos()sin(3)sin()sin 2πππαπαααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫---++ ⎪⎝⎭（2）22sin810tan7652cos360a b ab ︒+︒-︒.（3）若ππ2α<<,【答案】(1)tan α(2)()2a b -(3)0【解析】（1）原式利用诱导公式化简，约分即可得到结果（2）根据诱导公式及特殊角的三角函数值化简即可求解（3）根据同角三角函数基本关系及角所在的象限化简即可. 【详解】 （1）7sin(2)cos()cos cos 225cos()sin(3)sin()sin 2πππαπαααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫---++ ⎪⎝⎭sin (cos )sin (sin )tan cos sin (sin )cos ααααααααα--==--，（2）22sin810tan7652cos360a b ab ︒+︒-︒ 22sin90tan 452cos0a b ab =︒+︒-︒222a b ab =+-2()a b =- （3）因为ππ2α<<， 所以sin 0,cos 0αα><，22sin sin 1cos sin αα=- 2cos sin cos sin sin ααααα-=+ cos cos sin sin αααα=-0=【点睛】本题主要考查了运用诱导公式化简求值，同角三角函数基本关系，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，属于中档题． 18．已知函数2()23f x x x =-++ （1）画出该函数的图像 （2）写出该函数的单调区间 （3）求出该函数的最值【答案】（1）详见解析（2）单调增区间为(,1),(0,1)-∞-，单调减区间为(1,0),(1,)-+∞，（3）最大值为4，无最小值。
重庆市北碚区2019-2020学年高一数学上学期期末学业质量调研抽测试题[含答案]
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重庆市北硝区2021-2021 学年高一数学上学期期末学业质量调研抽测试题〔分数：150分时间：120分钟〕注意：本试卷包含I、n两卷.第I卷为选择题,所有答案必须用2B铅笔涂在做题卡中相应的位置.第n卷为非选择题, 所有答案必须填在做题卷的相应位置. 答案写在试卷上均无效,不予记分.一、选择题1 .以下五个写法：①网E ｛1,2,箝；②s匚｛0｝；③位1,2尸仕,2,3;④0 E 5 =⑤.n鼻=稔, 其中错误写法的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 42 .设函数- k蜡乂；丘1〕,那么使得好⑶〞仅+ 2〕成立的x的取值范围是A. 1 - ... —.■■■■■ .B.I 4 IC. 1一二二.一；D.....+工：.J-al--kJ T3 .等比数列g n〕的各项均为正数,且％* %由尹18 ,那么log储1 + 1■…+匕豆外/〔A. 12B. 10C. 8D. 2〞四谓；n4 .设函数+-〕,那么以下结论错误的选项是〔｝A. fa〕的一个周期为-2n______ _8爪一,一,B. y =的图象关于直线x二对称C.fw + Z的一个零点为xnD. f〔M在〔3司单调递减5. △ AgC的内角A, B, C的对边分别为a,b, c,阜inB + sinAWnC-cosC〕=口,卜=2人=\2,贝Uc = 〔〕7 .向量丁百,上〔1国心〕,设函数叼=吧二,那么以下关于函数¥ =网的性质D. ¥ = f 〔x 〕在卜上是增函数n JI f-8 .函数f 〔x 〕 = sin-xssr-%3sin r 在区间[+La]上至少取得2个最大值,那么正整数 a 的最小 666值是9 . 设rnER,过定点A 的动直线* + mv = 0和过定点B 的直线mx-y-E + 3 = 0交于点,那么|PA| + |PB|的取值范围是〔〕 A. 瓦2眄B. [^2<5〕C. [Jig 晌D. |[2版4狗10 .设O 为的外心,假设+口B + OC = QM ,那么M 是△山式的〔〕A.重心H 三条中线交点〕B.内心< 三条角平分线交点〕C.垂心H 三条高线交点〕D.外心,三边中垂线交点〕11 .给出以下命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不管用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所对半径的大小无关； |④假设学inot = 4np,那么d 与0的终边相同； ⑤假设8犯父0,那么g 是第其中正确命题的个数是的描述正确的选项是A.关于直线* : 对称12_ 、…一 5建 一一 B.关于点〔在o 〕对称C.周期为2n A. 7B. 9C. 11D. 12或第三象限的角.12 .注〕二十*85工+山8上-上,将虫〕的图象向右平移个单位,再向上平移1个单位,得到¥ = g 〔幻的图象.假设对任意实数 X,都有或ar 〕 = g 楫+ x 〕成立,那么目值+-〕 = | 〕 4J2 v? A. . B. 1 C. / D. 022二、填空题13.函数f 3是定义在R 上的奇函数,当|xW 卜g ,0〕时,f ㈤二靖+/,那么fQ 〕=15 .如图,在同一个平面内,向量°?,野产的模分别为1,1,5与磐的夹角为a|,且0g = 7,即与,的夹角为45、假设 OC = mOA + nOB 〔m,n e R 〕?那么m + n = ----- -16 .将函数f 仅〕=Jss 〔行+ "〕-1的图象向左平移个单位长度,再向上平移 1个单位长度,得到函数削X 〕的图象,那么函数目〔就具有性质〔填入所有正确性质的序号 ①最大值为阐,图象关于直线* = ：对称；②图象关于y 轴对称； |③最小正周期为n;A. 1B. 2C. 3D. 414. 向量;二= EA O, H >0,假设"/J1 u那么 +的最小值 m n④图象关于点⑤在［0；)上单调递减•三、解做题17.函数|口)判断函数在区间曲+g)上的单调性,并用定义证实其结论; (2)求函数f(x)在区间［2,9］上的最大值与最小值.18 .命题p:函数犷植+ I.」, -：lM)缶> 0)有意义,命题q:实数x满足’7 < 0 . JT - Z(1)当己=1且pAq为真,求实数X的取值范围；假设「口是F的充分不必要条件,求实数a的取值范围.7L19 .函数f(K) = Asin(wx 4 + B(A > 0T w > O r |(|>| w )的局部图象如下图:(1)求f(M的解析⑵求f㈤的单调区间和对称中央坐标;图象向上平移1个单位,得到函数目的图象,求函数¥ = 1g 仅)在]上的最大值和最小值.20 .椭圆± d > 0)的左右焦点分别为Fj 左顶点为A,假设=2,椭圆 a 2 b 2的离心率为E = J I 求椭圆的标准方程.n 假设P 是椭圆上的任意一点,求p F 「PA 的取21值范围.21 .在直角坐标系xOy 中,曲线C 二的参数方程为为参数,以坐标原点为极点,[1)写出C1的普通方程和G 的直角坐标方程;⑵设点P 在q 上,点Q 在j 上,求IPQI 的最小值及此时P 的直角坐标.22 .函数 H*〕 = 〕中〕,x ER 〔其中 An 0,OJ >o|,口)求f(x)的解析式;以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线匚2的极坐标方程为psin(9 + -) = 2,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最高点为 的图象与x 轴的交点中,(2)先把函数y =(仪)的图象向左平移个单位长度, 然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变,得到函数厂小)的图象,试写出函数y = g⑶的解析式.(3)在(2)的条件下,假设总存在使得不等式期％) + 2 4 I.鸟m成立,求实数m的最小值.答案和解析1 .【答案】C【解析】【分析】此题考查集合局部的一些特定符号、一些特殊的集合、集合中元素的三要素,属于根底题.根据“值〞用于元素与集合；“ |门〞用于集合与集合间；判断出①⑤错,根据必是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出②④的对错；据集合元素的三要素判断出③对.【解答】解：对于I①,〞是用于元素与集合的关系,故①错；对于|②,已是任意集合的子集,故②对;对于③,集合中的元素有确定性、互异性、无序性,两个集合是同一集合,故③对；对于④,由于,是不含任何元素的集合,故④错；对于⑤,由于“卜用于集合与集合,故⑤错.故错误的有①④⑤, 共3个,应选C.2 .【答案】B【解析】【分析】此题考查对数不等式以及对数函数的性质,考查运算求解水平,属于中档题.由题意,开僧)川M + 2)可化为：,.良/1〞匕七田+ 5),根据对数函数的性质,可得i(3x-l)2>3x + 5. ,即可求出结果.I + 5 > 0【解答】解：,函数㈣噩担x-1),那么不等式2版)> f(x + 2)可化为2心即1" log a(3x + 5),可得即使得2小)> f(x + 2)成立的x 的取值范围是 应选B. 3 .【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了等比数列的性质,解题的关键是灵活利用等比中项的性质,以及对数运算, 属于根底题.先根据等比中项的性质可知 自5方二,N ,进而根据占5% + %% = 18,求得+为的值,最后根据 等比数列的性质求得I 口区q+ I 口电％ +…+ ।口&9s 二1口&3电己/,那么答案可得. 【解答】解：由等比数列的性质可得 自产6 = 为%, "loe^a^ loe 3a 2 + ... 4-106^10二 log 3〔a 5a &〕5 = 51 口%9 : 10.应选B.4 .【答案】D【解析】【分析】此题考查与余弦函数有关的命题的真假判断,根据三角函数的图象和性质是解决此题的关 键,题目比拟根底.根据余弦函数的图象和性质分别进行判断即可. 【解答】3x+ s3x-l>0 ,解得 3x + S > 0线x_叫对称,故B 正确;A -■773TIn.对于C,由于@+ g = BS 仅+冗G )= -8加+ 了,且—g G + ：J = - 3 5 = II ,那么小十a)的一个零点为H-：故C 正确；6应选D. 5 .【答案】B【解析】【分析】此题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理,属于中档题. 根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可. 【解答】解：jinB = sin|A +.= sinAcosC + cosAsinc|, 丁 sinB + sinA|sinC-cosC) = 0,,h,sinAcosC + cosAsFnC + nAsInC-sinAcosC = 0, cosAiinC + sinAsinC 0,,■ sinC* 0, cosA = -si nA, "tanA = -1, n[< A< ri , 23n解：对于A,函数的周期为2kn, kW ,当k = -l 时,周期T = -2瞳,故A 正确;S RTt Bn JL对于B,当KU]时,+ -) = coMy + j) = tosn = -1此时¥ =耳刈的图象关于直对于D,当.其5时,5n 6,此时函数f(x)有增有减,不是单调函数,故 D 错误.应选B. 7.【答案】D【解析】【分析】此题考查了三角恒等变换,正弦函数的图象与性质,考查向量的数量积,属于中档题. 利用三角恒等变换化简 【解答】由正弦定理可得6.【答案】B【解析】【分析】此题考查了诱导公式,考查学生的计算水平,属于根底题. 利用诱导公式-1)=「酬5_G +八)]==疝吟十门),即可得结论. 【解答】角牛. lsin(~ + ct) = 3,f 仅)的解析式,根据正弦函数的性质判断. 应选B. $inC si nA斛,f(x) = m T n = 2cos% + \^sin2x=CO$2K+、3$in2x + 1一爪.=25iin(2x + ) + 1,sin(2x > -} = sir- H± 1 ,6 32sin(2K + _) + 1 = 1,㈤关于点常小对称,不关于点己0J对称,选项B错误;f〔K〕得周期r = g = nHZM选项C错误；n n n n当K巨1一或01时,2x + -e・“口〕在在〔_；,0］上是增函数,选项D正确.应选D.8 .【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了三角函数的图象和性质的应用问题,是根底题目.化函数卜僧〕为正弦型函数,求出函数的最小正周期T,根据在区间卜11］上至少取得2个最大值,得出a的取值范围,从而求出a的最小值.【解答】斛：函数f仅〕=sin-KCO占色其,f〔X〕不关于直线K-对称,选项A错误;12又fQ)在区间上至少取得2个最大值,T,,白一(一1 >T + -=75 4解得a N 6.5,,正整数a的最小值是7.应选A9 .【答案】B【解析】【分析】此题考查直线过定点问题,涉及直线的垂直关系和三角函数的应用,属中档题. 可得直线分别过定点16.)和(1,3)且垂直,可得|PA「+ |PB『二10,三角换元后,由三角函数的知识可得.【解答】解：由题意可知,动直线冢十mw= 0经过定点A..、,动直线niK-v-m十3 = 0即rn(x-l卜¥+3 = 0 ,经过定点6(1,3),动直线,+ E# =.和动直线mx-y-m + 3 =.的斜率之积为-1 ,始终垂直,P又是两条直线的交点, ,, PA 1 P0, A |PA|2+ |PB|2= |A8|2= 10设.BP =.,贝U |PA| =\1.刖8,|PB| = ,由|PA|之.且|PB|之0,可得昨［0-|PA| + |PB|【解析】解：在 △ABC 中,O 为外心,可得OA=OB = OC,；0A + OB + 0.= 0M ,I I I -1-OA + OB = OM-OC设AB 的中点为D,那么口口 AB 工2口口1-CM 1 AB,可得CM 在AB 边的高线上.同理可证,AM 在BC 边的高线上,故M 是三角形ABC 两高线的交点,可得 M 是三角形ABCW 垂心,应选：C 设AB 的中点为D,根据题意可得.口 ■LAB ,由题中向量的等式化简得 的高线上.同理可证出 AM 在BC 边的高线上,故可得 M 是三角形ABC 勺垂心.此题给出三角形中的向量等式,判断点 M 是三角形的哪一个心.着重考查了向量加法法那么、 三角形的外接圆性质和三角形“五心〞的判断等知识点,属于中档题.11 .【答案】A【解析】【分析】此题考查了任意角的概念与三角函数的定义和应用问题,是根底题. 根据题意,对题目中的命题进行分析、判断正误即可.CM 1 AB ,即 CMB AB 边 10.【答案】C【解答】解：对于I①,根据任意角的概念知,第二象限角不一定大于第一象限角, ①错误；对于|②,三角形的内角八Q是第一象限角或第二象限角,或y轴正半轴角, ②错误；对于③,根据角的定义知,不管用角度制还是用弧度制度量一个角, 它们与扇形所对半径的大小无关,③正确；对于|④,假设Jnci = sinB,那么与p的终边相同,或关于y轴对称,二④•错误；对于⑤,假设s婢＜口,那么.是第二或第三象限的角,或终边在x负半轴上,二⑤错误；综上,其中正确命题是③,只有1个.应选A.12 .【答案】B【解析】【分析】此题主要考查v = +*)的图象变换规律,正弦函数的图象和性质,属于根底题.利用¥ = Asin|wx +电的图象变换规律求得鸟闾的解析式,再利用正弦函数的图象和性质, 求得虱日斗的值.【解答】解：.’1 1- 1 + cos2x 炉rtrin2K + ' -------------- ——=sin(2x + b2 2 2 3将FJ)的图象向右平移个单位,再向上平移1个单位,n R得至U v = = sin(2x-^ + I + 1 = sin2乂+ 1 的图象.假设对任意实数x,都有g{a-x) = +旬成立, 那么以M)的图象关于直线x =自对称,由办=q+2葭,得q = ：+ [■ , k W z,可得gg+ ■■■)=2山!-叙(:十¥ 一£),'十1 = I,应选B.13 .【答案】12【解析】【分析】此题考查的知识点是函数奇偶性的性质,函数求值,难度不大,属于根底题.由当卜^(-8,0)时,f⑻= ?x' +/,先求出"-?),进而根据奇函数的性质,可得答案. 【解答】解：卜：当K J-B,.)时,f区二2八/,A 1(-2) = -12,又v函数fj)是定义在R上的奇函数,A1(2) = -f(-2) 12,故答案为12.14 .【答案】【解析】【分析】此题考查利用根本不等式求最值及平面向量共线的条件,属于基此题型.由1〃b,可得：n + 2m = 4|,再利用“乘1法〞与根本不等式求解即可・【解答】解：■' 4-n-2m =0,即n + 2m=W,P m > 0, n > 0,10 1 1 8A- + - = -(n + 2m)[一+ -) m n 4m n1 n 16m=(10+ —+--------- )4 tn n7 sinot = ―F,cos(a + 45 )=cosa-smct)=--................. , 4 sln(a + 45 ) = + cosa) = g.0c = mOA + nOBfm.n E R 〕,1 7— + -的最小值是.m n故答案为.15.【答案】3【解析】【分析】此题考查了向量坐标运算性质、 同角三角函数的关系, 两角和差的三角函数公式, 题.属于中档建立适当坐标系,利用同角三角函数的关系和两角和差的三角函数的公式求得各点的坐标, 进而利用平面向量的坐标运算得到关于 m n 的方程组,求得 3n 的值,即得.0A 由“与?的夹角为a ,且t&na=7.解得n = m = —,d 4那么m + n = 3|.故答案为：3.16.【答案】②③④【解析】【分析】此题考查函数V =A B$〔WX +那么的图象变换规律,余弦函数的图象和性质,属于中档题. 利用函数y = A8a那么的图象变换规律,求得鼠X〕的解析式,再利用余弦函数的图象和性质,得出结论.【解析】解：将函数㈣=/匚闻2*+3-1的图象向左平移个单位长度,得到Y = \J3C OS|2〔X + -〕+ 1『I =- ^ccs2x-l 的图象；31再向上平移1个单位长度,得到函数g仅｝二-485ZX的图象.对于函数g〔K〕二-提00式?|：l n 13它的最大值为V九由于当乂=一时,g〔x〕=—,不是最值, m 2故虱耳〕的图象不关于直线对称,故①错误；由于该函数为偶函数,故它的图象关于y轴对称,故②正确；它的最小正周期为—=n,故③正确；当x = ?时,g(x) = 0,故函数的图象关于点(:0)对称,故④正确; 4 4当时,2. 施)单调递增,故⑤错误,故答案为②③④.17.【答案】解：(1用M在区间［0,+ g)上是增函数.证实如下：任取(,x2e［0, + «),且%-31 1 2xjl 5 + 1(2x r3)(^ + l) (2x1-3Xx1 +1)"(x t + 1) + l)(x2+ 1)= ------------ ・1% + 叫 +1)＜.‘ N T慎」】)＞.,- f(K1M(x2)＜o|,即fWJvf%)］函数fM在区间◎ + g)上是增函数；⑵由(1)知函数f㈤在区间29］上是增函数,2x9-3 3故函数在区间忆9］上的最大值为的)=-j—^-=-,2x2-3 1最小值为(⑵=-------- =--2 + 1 3【解析】此题考查函数的单调性的判断与应用,函数的最值的求法,考查计算水平.⑴利用函数的单调性的定义证实即可；⑵利用函数的单调性,求解函数的最值即可.18.【答案】解：口)由-x* + 4axTa'＞.得/Max + 3/ .,1P(x-6)|x-3a| ＜0,其中a〉.,日a 0,贝U P：后日,日>0；假设d = L 贝U p：1 < x < 3,由・■<()解得2 m x < m,K-2即q：|z<x < 3；假设pAq为真,那么p, q同时为真,j 1 < x < 3即12 C解得｛北V x<3),,实数x的取值范围(2^3)⑵假设〞是•口的充分不必要条件,即q是p的充分不必要条件,,即⑵3)是(a3a)的真子集.且％= 3和* = 2不能同时成立,解得14a «2,实数a的取值范围为［1,2］.【解析】此题考查逻辑联结词以及充分条件和必要条件的判断, 考查学生的计算水平,属于中档题.⑴假设a = l,分别求出p, q成立的等价条件,利用pAq为真,求实数x的取值范围；⑵利用十是f的充分不必要条件,即q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.(A + B = 119.【答案】解：(1)由图象可知［_A +B=T,解得「一T 7「北又由于二一--二T = n,2 12 122n w = - = 2T所以由公疳(？X + r ) - L= 1,F+I = 1 "天的£工］, I)2又卜( 7所以力=;3n所以f(x) = 2sin(2x + ~)-l ；(2)由⑴知,f(x} = 2$in(2x + i)T,今小N— f £十之£ 2Aw + 11 △ W Zv2 3 2■F "L得卜R —' - W 比W *7T + —" £z , 12 L2所以上⑶的单调递增区间为用秆一招,任^ 十卷),1€2 ,令2k'7v + W2E+ g W 2far 4- 卜£ 2, 得L R+；?〞&£式+:;, L 生Z ,所以f(x)的单调递减区间为心耳+正,―十五】*生Z ,令？1 + [ = kA-WZ,得工="一二kYZ , 3 , 2 6R TT H所以UM的对称中央的坐标为(—―不,—1)」,E Z；,工, 1(3)由的图象变换过程可得: g(x) = 2sin(x +2n7n由于OK K U,62n 2n lln所以£x + - 42n 3rt 所以当K + 二3 15n,得x二时,1g (x)取得最小值5n或寸=-2当x + —= 一时,即|x = 0时,目⑶取得最大值鼠0)=.【解析】此题主要考查了由厂AsiMwx +巾)+ 8的局部图象确定其解析式,函数y = Asin(^ +的+ H的图象变换规律,正弦函数的图象和性质的综合应用, 考查了数形结合思想,属于中档题.")由图象可求A, B的值,求得周期T,利用周期公式可求3,由二十.二彳十W %]可求也,即可得解卜仪)的解析式；⑵令’2 -4上工+'W H 十:卜三£,得"一：：W E w卜十25E 2 ,可求f(x)的单调递增区间,令？工+ [=―2W区,得.「= --^keZ,可求f冈的对称中央的坐标；J2 G(3)由的图象变换过程可得：g(x) = 2sin(x +由04x4；,利用正弦函数的性质可求在K E上的最大值和最小值. 620.【答案】解：I由题意,I&FJ;2,椭圆的离心率为€ ='c = 1, a = 2,,b = * 九,椭圆的标准方程为L+L_r n设巴％,%),闻-2,3, FJ-1Q}, 4 3 .,, PF^PA = gi-xJ-F * V.= X产% ♦2 ・%,由椭圆方程得二次函数开口向上,对称轴％ = -6一2,时,取最小值0,由 K = pcQ*g, y = psinO, 可得 又 + 丫-4 =., 即匚工的直角坐标方程为直线 区+ 丫7 二 口；Q)由题意可得当直线x +v-4 = 0的平行线与椭圆相切时,两平行线间的距离为|PQ| 设与直线|x + 丫-4;.平行的直线方程为x + y + t = 0,俨+Y + t = C联立+ mJ = m 可得 4/+ 6tx + 3t 2-s - o ,由直线与椭圆相切,可得 △二用'-16(3/7)二Q , 解得 । ,显然t = - 2时,| PQ |取得最小值,即有当％ =2时,取最大值12.:PF 「PA 的取值范围是【ojzj.【解析】此题考查椭圆的标准方程, 考查向量知识的运用,考查学生的计算水平, 题.I 利用=2,椭圆的离心率为£ = ；,求出几何量,即可求椭圆的标准方程.利用数量积公式求出pF 「A ,结合即可求的取值范围•(址■ 1m l ecIEC3乂;为参数,2移项后两边平方可得 二J 』九十而七二1,3 R 『一 所以q 的普通方程为二一；3 V ~曲线C 工的极坐标方程为 网门出+-> = "5 ,属于中档n 设的最小值,此时4/T2* + 9 =.,斛得〞：即为p0,另解：设p洒CHQ闺时,由P到直线的距离为J I|为世+ #4| ?=七当siMct*2〕 = 1时,IPQI的最小值为m", w____ _ n _31此时可取d一,即有P〔--J 6 /2【解析】此题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化,同时考查直线与椭圆的位置关系,主要是相切,考查化简整理的运算水平,属于中档题.“归用两边平方和同角的平方关系,即可得到Q的普通方程,运用x = pcos9 , V = psine ,以及两角和的正弦公式,化简可得q的直角坐标方程；Q〕由题意可得当直线x + y-4 = 0的平行线与椭圆相切时,|PQ|取得最值.设与直线x + = 0平行的直线方程为*+¥ + t = 0,代入椭圆方程,运用判别式为0,求得t,再由平行线的距离公式,可得|PQ|的最小值,解方程可得P的直角坐标.另外：设PR3co双5inc〔〕, 由点到直线的距离公式,结合辅助角公式和正弦函数的值域, 即可得到所求最小值和P的坐标.22.【答案】解：“〕二丁: j2JT,T = — = n ?解得= 2; GJ又函数|f(x) = Asin[2x +切图象上一个最局点为 汹-3,2万 一 4■巾= 2kn + 一伙 W Z)76 2“、寺=+ Jk E Z) , 又.c 力 <2,…n■ ■ dh -) 6,f(x) = 3siin(2x+_)p6{2)把函数Y = f(x)的图象向左平移个单位长度, n n n得至U f(x + -) = 3sin(2(x + -)+) =丸s2x 的图象, 6 6 6然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 得到函数¥ =机“ =38sA 的图象, 即?⑶=3cg ；二m 之同即实数m 的最小值为同【解析】此题考查由y = A5in( WK /制的局部图象确定其解析式, 象变换,属于中档题.,由此可求得3 = 2；又函数f<*} =A5in(2x +eI 图象上一个最高点为 必:川,可知A = 3, 2x- + t b = 2krt + -(kEZh 结合可求得巾,从而可得f(x)的解析式； 6 上 2 ⑵利用函数y = A4Ml JJK +力1的图象变换可求得函数y = g 僮)的解析式；■ A=3, 2倍纵坐标不变,考查函数Y = Aslnfunx 十年的图1 n⑴依题意知= n13)*什三卜——「那么-Yssx £1,--43ugx?3,依题思知,log m 2+ 2 - - ,从而可求0 3 3 20 2 . 3 2 2得实数m的最小值.。
2019-2020学年重庆市北碚区高一(上)11月联考数学试卷
2019-2020学年重庆市北碚区高一（上）11月联考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．sin 300︒的值为( )A ．12-B ．12C ．D 2．下列关于向量a ，b 的命题中，假命题为( ) A ．若220a b +=，则0a b ==B ．若k R ∈，0ka =，则0k =或0a =C ．若0a b =，则0a =或0b =D ．若a ，b 都是单位向量，则1a b …恒成立 3．函数2tan ()1xf x tan x=+的最小正周期为( )A ．4πB ．2πC ．πD ．2π4．已知(1,2),(3,4)a b =-=，则a 在b 方向上的投影是( )A ．1B ．1-CD ．5．将函数()sin(2)6f x x π=+的图象向右平移6π个单位，那么所得的图象对应的函数解析式是( ) A ．sin 2y x = B ．cos 2y x =C ．2sin(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=-6．函数()sin()(0)3f x x πωω=+>相邻两个对称中心的距离为2π，以下哪个区间是函数()f x 的单调减区间( ) A ．[3π-，0]B ．[0，]3πC ．[12π，]2πD ．[2π，5]6π7．已知向量(4,2)a =-，向量(,5)b x =，且//a b ，那么x 的值等于( ) A ．10B ．5C ．52-D ．10-8．如图所示，D 是ABC ∆的边AB 的中点，则向量(CD = )A ．12BC BA -+B ．12BC BA --C ．12BC BA -D ．12BC BA +9．设1cos662a =︒-︒，22tan13113b tan ︒=+︒，c =( ) A ．a b c >> B ．a b c << C ．b c a << D ．a c b <<10．若O 是ABC ∆所在平面内一点，D 为BC 边中点，且40OA OB OC ++=，那么( ) A ．OD AO =-B ．2OD AO =-C ．2OD AO =D ．OD AO =11．已知α∠的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，点P 在α的终边上，点(3,4)Q --且tan 2α=-，则OP 与OQ 的夹角的余弦值为( )A ．BC 或D 12．已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ<的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )A ．()f x 的图象关于直线23x π=-对称B ．()f x 的图象关于点5(,0)12π-对称C ．将函数2cos 2y x x -的图象向左平移2π个单位得到函数()f x 的图象D ．若方程()f x m =在[,0]2π-上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ= ． 14．函数()sin(2)2sin cos()f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为 ．15．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足2133OC OA OB =+，则||||AC AB = ． 16．已知11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y 是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，12(POP θθ∠=为钝角）．若3sin()45πθ+=，则1212x x y y +的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知向量a 与b 的夹角为θ为120︒，且||4a =，||2b =，求： （1）a b ；（2）()(2)a b a b +-； （3）||a b +．18．已知1tan()42πα+=．（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求22sin(22)()21cos(2)sin sin παπαπαα+----+的值．19．设函数()sin sin()3f x x x π=++．（Ⅰ）求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值的x 的集合；（Ⅱ）不画图，说明函数()y f x =的图象可由sin y x =的图象经过怎样的变化得到．20．已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，25||a b -=． （1）求cos()αβ-的值 （2）若02πα<<，02πβ-<<，12cos 13β=，求sin α．21．已知向量(sin cos ,sin )a x x x ωωω=+，向量(sin cos b x x ωω=-， cos )x ω，设函数()1()f x a b x R =+∈的图象关于直线3x π=对称，其中常数(0,2)ω∈．（1）若[0x ∈，]2π，求()f x 的值域；（2）将函数()f x 的图象向左平移12π个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图象，用五点法作出函数()g x 在区间[2π-，]2π上的图象．22．函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||2πϕ<，)x R ∈的部分图象如图，M 是图象的一个最低点，图象与x 轴的一个交点坐标为(2π，0)，与y 轴的交点坐标为(0,．（1）求A ，ω，ϕ的值；（2）关于x 的方程()0f x m -=在[0，2]π上有解，求m 的取值范围．2019-2020学年重庆市北碚区高一（上）11月联考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．sin 300︒的值为( )A ．12-B ．12C ． D【解答】解：sin 300sin(36060)sin 60︒=︒-︒=-︒= 故选：C ．2．下列关于向量a ，b 的命题中，假命题为( ) A ．若220a b +=，则0a b ==B ．若k R ∈，0ka =，则0k =或0a =C ．若0a b =，则0a =或0b =D ．若a ，b 都是单位向量，则1a b …恒成立 【解答】解：A 选项：220a b +=，所以0a b ==，B 选项：若k R ∈，0ka =，所以(0)0k a -=，所以0k =或0a =，C 选项：0a b =，所以0a =或0b =或a b ⊥，D 选项：,a b 都是单位向量，设两向量夹角为θ，所以||||cos 11cos cos 1a b a b θθθ===…， 故选：C ． 3．函数2tan ()1xf x tan x=+的最小正周期为( )A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【解答】解：函数222tan sin cos 1()sin 21cos sin 2x x x f x x tan x x x ===++的最小正周期为22ππ=，故选：C ．4．已知(1,2),(3,4)a b =-=，则a 在b 方向上的投影是( )A ．1B ．1-CD ．【解答】解：由题意，(1,2),(3,4)a b =-=∴a 在b 方向上的投影是3815||a b b -==- 故选：B ．5．将函数()sin(2)6f x x π=+的图象向右平移6π个单位，那么所得的图象对应的函数解析式是( ) A ．sin 2y x = B ．cos 2y x =C ．2sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)6y x π=-【解答】解：()sin(2)6f x x π=+，∴将函数()sin(2)6f x x π=+的图象向右平移6π个单位，得：()sin[2()]sin(2)6666f x x x ππππ-=-+=-，所得的图象对应的函数解析式是sin(2)6y x π=-，故选：D ．6．函数()sin()(0)3f x x πωω=+>相邻两个对称中心的距离为2π，以下哪个区间是函数()f x 的单调减区间( ) A ．[3π-，0]B ．[0，]3πC ．[12π，]2πD ．[2π，5]6π【解答】解：根据()sin()(0)3f x x πωω=+>相邻两个对称中心的距离为2π，可得22T ππω==，2ω∴=，()sin(2)3f x x π=+． 令3222232k x k πππππ+++剟，求得71212k x k ππππ++剟，k Z ∈， 故选：C ．7．已知向量(4,2)a =-，向量(,5)b x =，且//a b ，那么x 的值等于( ) A ．10 B ．5C ．52-D ．10-【解答】解：(4,2)a =-，(,5)b x =，且//a b ，452x ∴⨯=-，解之得10x =-故选：D ．8．如图所示，D 是ABC ∆的边AB 的中点，则向量(CD = )A ．12BC BA -+B ．12BC BA --C ．12BC BA -D ．12BC BA +【解答】解：由三角形法则和D 是ABC ∆的边AB 的中点得， 12BD BA =， ∴12CD CB BD BC BA =+=-+． 故选：A ．9．设1cos662a =︒-︒，22tan13113b tan ︒=+︒，c =( ) A ．a b c >> B ．a b c << C ．b c a << D ．a c b <<【解答】解：1cos66sin 30cos6cos30sin 6sin 242a =︒︒=︒︒-︒︒=︒，22tan13sin 26113b tan ︒==︒+︒，sin 25c ==︒． 024252690︒<︒<︒<︒<︒sin 26sin 25sin 24∴︒>︒>︒，即有：a c b <<， 故选：D ．10．若O 是ABC ∆所在平面内一点，D 为BC 边中点，且40OA OB OC ++=，那么( ) A ．OD AO =-B ．2OD AO =-C ．2OD AO =D ．OD AO =【解答】解：如图，D 为BC 中点；∴2OB OC OD +=； ∴420OA OD +=； ∴2OD AO =．故选：C ．11．已知α∠的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，点P 在α的终边上，点(3,4)Q --且tan 2α=-，则OP 与OQ 的夹角的余弦值为( )A ．BC 或D 【解答】解：由题意可得(3,4)OQ =--， 又tan 2α=-，α∴的终边与单位圆的交点为(或，∴可取(OP =或，当(OP =时，由夹角公式可得OP 与OQ 的夹角的余弦值cos ||||OP OQ OP OQ θ==-； 当OP =时，由夹角公式可得OP 与OQ 的夹角的余弦值5cos 5||||OP OQ OP OQ θ==； 故选：C ．12．已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ<的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )A ．()f x 的图象关于直线23x π=-对称B ．()f x 的图象关于点5(,0)12π-对称C ．将函数2cos 2y x x -的图象向左平移2π个单位得到函数()f x 的图象D ．若方程()f x m =在[,0]2π-上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-【解答】解：由函数的图象可得2A =，124312πππω=-，求得2ω=． 在根据五点法作图可得23πϕπ⨯+=，求得3πϕ=，∴函数()2sin(2)3f x x π=+．当23x π=-时，()0f x =，不是最值，故A 不成立． 当512x π=-时，()02f x ==-，不等于零，故B 不成立．将函数2cos 22sin(2)6y x x x π=-=-的图象向左平移2π个单位得到函数5sin[2()]sin(2)266y x x πππ=+-=+的图象，故C 不成立． 当[2x π∈-，0]时，22[33x ππ+∈-，]3π．2sin()sin()33ππ-=-=，sin()12π-=-，故方程()f x m =在[,0]2π-上有两个不相等的实数根时，则m 的取值范围是(2,-，故D成立； 故选：D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ= 3± ． 【解答】解：向量(3,3)a =，(1,1)b =-， ∴向量||32a =，||2b =，向量330a b =-=，若()()a b a b λλ+⊥-，则222()()||||0a b a b a b λλλ+-=-=， 即21820λ-=， 则29λ=， 解得3λ=±， 故答案为：3±，14．函数()sin(2)2sin cos()f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为 1 ．【解答】解：函数()sin(2)2sin cos()sin[()]2sin cos()f x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕ=+-+=++-+ sin()cos cos()sin 2sin cos()sin()cos cos()sin x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=+++-+=+-+ sin[()]sin x x ϕϕ=+-=，故函数()f x 的最大值为1， 故答案为：1．15．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足2133OC OA OB =+，则||||AC AB =3． 【解答】解：2133OC OA OB =+，∴AC OC OA =-21()33OA OB OA =+- 1()3OB OA =- 13AB =； ∴1||||133||||AB AC AB AB ==． 故答案为：13．16．已知11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y 是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，12(POP θθ∠=为钝角）．若3sin()45πθ+=，则1212x x y y +的值为【解答】解：依题意知1?(OP x =，?)y 2?(OP x =，?)y 121212OP OP x x y y =+，另外?P ，?P 在单位圆上，12||||1OP OP == 1212||||cos 11cos cos OP OP OP OP θθθ===， 1212cos x x y y θ∴+=，3sin()45πθθθ+=+=，① 22sin cos 1θθ+=，②，且θ为钝角联立①②求得cosθ=． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知向量a 与b 的夹角为θ为120︒，且||4a =，||2b =，求： （1）a b ；（2）()(2)a b a b +-； （3）||a b +．【解答】解：（1）||||cos 42cos1204a b a b θ==⨯⨯︒=-． （2）22()(2)2164812a b a b a a b b +-=--=+-=． （3）222||2168412a b a a b b +=++=-+=， ||12a b ∴+==．18．已知1tan()42πα+=．（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求22sin(22)()21cos(2)sin sin παπαπαα+----+的值．【解答】解：（Ⅰ）tantan 1tan 14tan()41tan 21tantan 4παπααπαα+++===--，解得1tan 3α=-．（Ⅱ）22sin(22)()21cos(2)sin sin παπαπαα+----+22sin 21cos 2cos sin αααα-=++ 2222sin cos 2cos cos sin ααααα-=+22tan 115219tan αα-==-+． 19．设函数()sin sin()3f x x x π=++．（Ⅰ）求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值的x 的集合；（Ⅱ）不画图，说明函数()y f x =的图象可由sin y x =的图象经过怎样的变化得到．【解答】解：（Ⅰ）13()sin sin sin )226f x x x x x x x π=++==+，∴当2()62x k k Z πππ+=-∈，即22()3x k x Z ππ=-∈时，()f x 取得最小值此时x 的取值集合为2{|2()}3x x k k Z ππ=-∈；（Ⅱ）先由sin y x =的图象上的所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，即为y x =的图象；再由y x =的图象上的所有点向左平移6π个单位，得到()y f x =的图象．20．已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，25||a b -=． （1）求cos()αβ-的值 （2）若02πα<<，02πβ-<<，12cos 13β=，求sin α． 【解答】解：（1）(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，||(cos a b α-=== 3cos()5αβ∴-=． （2）由（1）得3cos()5αβ-=，0,022ππαβ<<-<<，∴0αβπ<-<，4sin()5αβ∴-==，又12cos 13β=，5sin 13β∴==-． sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ∴=-+=-+- 4123533()51351365=+-=．21．已知向量(sin cos ,sin )a x x x ωωω=+，向量(sin cos b x x ωω=-， cos )x ω，设函数()1()f x a b x R =+∈的图象关于直线3x π=对称，其中常数(0,2)ω∈．（1）若[0x ∈，]2π，求()f x 的值域；（2）将函数()f x 的图象向左平移12π个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图象，用五点法作出函数()g x 在区间[2π-，]2π上的图象．【解答】解：（1）向量(sin cos ,sin )a x x x ωωω=+，向量(sin cos b x x ωω=-， cos )x ω，22()1sin cos cos 2cos 212sin(2)16f x a b x x x x x x x πωωωωωωω∴=+=-+=-+=-+图象关于直线3x π=对称，其中常数(0,2)ω∈．2362k πππωπ∴-=+，k z ∈，得312kω=+，结合(0,2)ω∈，可得1ω=； ()2sin(2)16f x x π∴=-+，[0x ∈，]2π，2[66x ππ-∈-，5]6π，1sin(2)[62x π-∈-，1]，()2sin(2)1[06f x x π∴=-+∈，3]．（2）将函数()f x 的图象向左平移12π个单位，得2sin[2()]12sin 21126y x x ππ=+-+=+．再向下平移1个单位后得到函数()2sin 2g x x =． 列表：函数的图象为：22．函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||2πϕ<，)x R ∈的部分图象如图，M 是图象的一个最低点，图象与x 轴的一个交点坐标为(2π，0)，与y 轴的交点坐标为(0,．（1）求A ，ω，ϕ的值；（2）关于x 的方程()0f x m -=在[0，2]π上有解，求m 的取值范围．【解答】解：（1）由图可知，函数的周期4[()]422T πππ=⨯--=，∴24ππω=，12ω=； 图象与x 轴的一个交点坐标为(2π，0)，1sin()022A πϕ∴⨯+=，sin()04πϕ∴+=，∴4k πϕπ+=，故()4k k Z πϕπ=-∈．由||2πϕ<得，22ππϕ-<<，4πϕ∴=-，1sin()24y A x π∴=-．当0x =时，sin()4y A π=-=2A ∴=．综上可知，2A =，12ω=，4πϕ=-． （2）由（1）可得：1()2sin()24f x x π=-．当[0x ∈，2]π时，1[244x ππ-∈-，3]4π，可得：1()2sin()[24f x x π=-∈，1]．由()0f x m -=得()f x m =，要使方程()0f x m -=在[0x ∈，2]π上有两个不同的解，则()f x m =在[0x ∈，2]π上有两个不同的解，即函数()f x 和y m =在[0x ∈，2]π上有两个不同的交点，1m <．。
重庆市2024-2025学年高三上学期11月月考数学阶段性检测试题(含解析)
注意事项：1．答题前、考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2、答选择题时、必须使用2B 铅笔填涂：答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是重庆市2024-2025学年高三上学期11月月考数学阶段性检测试题符合题目要求的．1. 已知集合{}2128,5016x A x B x x x ⎧⎫=<<=+>⎨⎬⎩⎭则A B = （ ）A. ()4,3-B. ()0,3C. ()3,0-D. ()4,0-【答案】B 【解析】【分析】先分别求出集合A B ，，再进行集合的交集运算【详解】由12816x <<解得43x -<<，∴{}43A x x =-<<，由250x x +>解得0x >或5x <-，所以{0B x =>或5}x <-，所以A B = (0,3)故选：B.2. 已知点()()()1,2,1,4,,1A B C x -，若A ，B ，C 三点共线，则x 的值是（ ）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示即可得解.【详解】因为()()()1,2,1,4,,1A B C x -，所以()()2,2,1,1AB AC x =-=--，因为A ，B ，C 三点共线，则,AB AC共线，则()212(1)x -⨯-=⨯-，解得2x =.故选：B.3. “1x >”是“11x-<”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】将11x -<化简，再根据充分必要条件关系判断.【详解】()1110101x x x x x x+-<⇔>⇔+>⇔<-或0x >，由1x >成立可以推出1x <-或0x >，但1x <-或0x >成立不能推出1x >，所以1x >是11x-<的充分不必要条件.故选：A.4. 若0.10.13125,,log 352a b c --⎫⎫⎛⎛=== ⎪⎪⎝⎝⎭⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a c b << B. c a b<< C. b c a<< D. c b a<<【答案】D 【解析】【分析】首先化解,a b ，再根据中间值1，以及幂函数的单调性比较大小，即可判断.【详解】00.1.11331a -⎛⎫= ⎪=⎭>⎝，01.10.51225b -⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭，()35log 0,12c =∈，0.1y x =在()0,∞+上单调递增，532>，所以a b >，所以a b c >>.故选：D5. 设m ，n 是不同的直线，,αβ为不同的平面，下列命题正确的是（ ）A. 若,,n m n αβαβ⊥⋂=⊥，则m α⊥．B. 若,//,//n m n m αβα= ，则//m β．C. 若,,//,//m n m n ααββÌÌ，则//αβ．D. 若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ．【答案】D 【解析】【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断．【详解】对于A ，直线m 与平面α可能平行、相交或直线m 在平面α内，故错误；对于B ，//m β或m β⊂，故错误；对于C ，平面α与平面β平行或相交，故错误；对于D ，//,,m n m α⊥则n α⊥，又n β⊥，所以//αβ，D 正确；故选：D ．6. 若曲线1()ln f x x x=+在2x =处的切线的倾斜角为α，则()sin cos cos 1sin2αααα-=-（ ）A. 1712-B. 56-C. 175-D. 【答案】A 【解析】【分析】根据导数的几何意义先求出函数()f x 在2x =处的导数值，即可得到在2x =处切线的斜率，进而得到倾斜角α的正切值，再根据tan α求出题中式子的值.【详解】由题意得，211()f x x x'=-，所以411(2)241f '=-=，于是()f x 在2x =处切线的斜率为14，即1tan 4α=.又()22sin cos sin cos cos 1sin2cos (sin 2sin cos cos )ααααααααααα--=--+2sin cos 1cos (sin cos )cos (sin cos )αααααααα-==--222sin cos sin cos cos ααααα+=-，将原式分子分母同时除以2cos α得，2222sin cos tan 1sin cos cos tan 1ααααααα++=--，代入1tan 4α=可得最终答案为1712-.故选：A.7. 已知数列{}n a 的首项12025a =，前n 项和n S ，满足2n n S n a =，则2024a =（ ）A.12025B.12024C.11012D.11013【答案】C 【解析】【分析】根据2n n S n a =得到211(1)n n S n a --=-，两式相减得到221(1)n n n a n a n a -=--，求出n a 即可求解.【详解】因为2n n S n a =，所以211(1)(2)n n S n a n --=-≥，两式相减得221(1)n n n a n a n a -=--，所以11(2)1n n a n n a n --=≥+，所以1321221123121213121(1)n n n n a a a n n a a a n a n a n n -------⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=++++L L ，所以12(2)(1)n a n a n n =≥+，所以4050(2)(1)n a n n n =≥+，所以202411012a =.故选：C.8. 已知1x 是函数()()2ln 1f x x x =---的零点，2x 是函数()2266g x x ax a =+--的零点，且满足1234x x -<，则实数a 的取值范围是（ ）A. )3,-+∞B. 253,8⎫-⎪⎭C. 7125,,568⎫⎫⎛⎛-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭ D. 7125,568⎫⎛-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性可证明函数()f x 存在唯一零点，即12x =，可得()g x 在511,44⎛⎫ ⎪⎝⎭有零点，利用参变分离可求解.【详解】由()()2ln 1f x x x =---，1x >，可得()12111x x f x x --=-'-=，当12x <<时，()0f x '<，此时()f x 在()1,2单调递减；当2x >时，()0f x '>，此时()f x 在()2,+∞单调递增；又因为()20f =，所以函数()f x 存在唯一的零点，即12x =.因为122324x x x -=-<，解得2511,44x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.即()2266g x x ax a =+--在511,44⎛⎫⎪⎝⎭上有零点，故方程2623x a x -=-在511,44⎛⎫⎪⎝⎭上有解，而263336(3)333x x x x x x -⎡⎤=---=-+-+⎢⎥---⎣⎦，因为511,44x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，故713,44x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，故349(3)34x x ≤-+<-，所以25624a ≤<2538a -≤<故选：B.【点睛】方法点睛：对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间(),m n 上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、()(),f m f n 的符号）的方法解答.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9. 在下列函数中，最小正周期为π且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭为减函数的是（ ）A. ()cos f x x= B. ()1πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. ()22cos sin f x x x=- D. ()πtan 4f x x ⎫⎛=-⎪⎝⎭【答案】ACD【解析】【分析】根据三角函数图象与性质，以及复合函数的单调性判断方法逐项判断即可.【详解】对于A ，()cos f x x =的最小正周期为π，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，()cos cos f x x x ==，根据余弦函数的单调性可知，此时函数单调递减，故A 正确；对于B ，()1πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期2πT=4π12=，故B 不正确；对于C ，()22cos sin f x x x =-cos 2x =，所以最小正周期2πT=π2=，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,πx ∈，根据余弦函数的单调性可知，此时函数单调递减，故C 正确；对于D ，最小正周期πT=π1=-，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ,444x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，由复合函数单调性判断方法可知，此时()πtan 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减，故D 正确.故选：ACD.10. ABC V中，BC =BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（ ）A. 4AB AC +=B. AB AC ⋅为定值C. 2220AC AB +=D.BAD ∠的最大值为45︒【答案】ABD 【解析】【分析】由中线的性质结合向量的线性运算判断A 选项；由中线的性质和向量数量积的运算有22AB AC AD DB ⋅=- ，求值判断B 选项；C 选项，由πADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理求22AC AB +的值；D 选项，ABD △中，余弦定理得22cos 4AB BAD AB+∠= ，结合均值不等式求解.【详解】A ．24AB AC AD +==，故A 正确；的B ．22()()()()422AB AC AD DB AD DC AD DB AD DB AD DB ⋅=+⋅+=+⋅-=-=-= ，故B 正确；C ．πADB ADC ∠+∠= ，cos cos 0ADB ADC ∴∠+∠=，由余弦定理知，222222022AD BD AB AD CD AC AD BD AD CD+-+-+=⋅⋅0=，化简得2212AC AB +=，故C 错误；D ．22cos 4AB BAD AB +∠==≥=AB =时等号成立，由于090BAD <∠< ，所以BAD ∠的最大值为45 ，故D 正确；故选：ABD ．11. 在正方体1111ABCD A B C D -中，6AB =，,P Q 分别为11C D 和1DD 的中点，M 为线段1B C 上一动点，N 为空间中任意一点，则下列结论正确的有（ ）A. 直线1BD ⊥平面11AC DB. 异面直线AM 与1A D 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 过点,,B P Q的截面周长为+D. 当AN BN ⊥时，三棱锥A NBC -体积最大时其外接球的体积为【答案】ACD 【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质可判断A 正确；由11A D B C 转化异面直线所成的角，在等边1AB C △中分析可知选项B 错误；找出截面图形，利用几何特征计算周长可得选项C 正确；确定三棱锥体积最大时点N 的位置，利用公式可求外接球的半径和体积，得到选项D 正确.【详解】A.∵11111111111,,AC B D AC B B B D B B B ⊥⊥= ，11B D ⊂平面11BDD B ，1BB ⊂平面11BDD B ，∴11A C ⊥平面11BDD B ，∵1BD ⊂平面11BDD B ，∴111A C BD ⊥，同理可证，11DC BD ⊥，∵1111A C DC C ⋂=，11AC ⊂平面11AC D ，1DC ⊂平面11AC D ，∴直线1BD ⊥平面11AC D ，选项A 正确.B. 如图，连接1,AB AC ，由题意得，11A D B C ，11AB AC B C ===直线AM 与1A D 所成的角等于直线AM 与1B C 所成的角，在等边1AB C △中，当点M 与1,B C 两点重合时，直线AM 与1B C 所成的角为3π，当点M 与1B C 中点重合时，1AM BC ⊥，此时直线AM 与1B C 所成的角为2π，故直线AM 与1A D 所成角的取值范围是[,]32ππ，选项B 错误.C. 如图，作直线PQ 分别与直线1,CC CD 交于点,S T ，连接BS 与11B C 交于点E ，连接BT 与AD 交于点F ，则五边形BEPQF 即是截面.由题意得，1SPC △为等腰直角三角形，113PC SC ==，由1BB CS ∥得，1112BB B EC S CE==，∴114,2B E C E ==，∴BE =PE =，同理可得，BF QF ==，∵,P Q 分别为11C D 和1DD 的中点，∴PQ =，∴截面周长为+C 正确.D.当AN BN ⊥时，点N 的轨迹为以AB 为直径的球，球心为AB 中点，半径为3，三棱锥A NBC -的体积即为三棱锥N ABC -的体积，点N 到平面ABC 距离的最大值为球的半径，此时点N 在正方形11ABB A 的中心处，三棱锥A NBC -体积有最大值.由题意得，平面NAB ^平面ABC ，NAB △，ABC V 均为等腰直角三角形，NAB △的外接圆半径为132AB r ==，ABC V 的外接圆半径为22ACr ==，∴三棱锥A NBC -的外接球半径R ==，∴外接球体积为3344ππ33R =´=，选项D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：本题为立体几何综合问题，求三棱锥外接球半径方法为：（1）在三棱锥A BCD -中若有AB ⊥平面BCD ，设三棱锥外接球半径为R ，则2224h R r =+，其中r为底面BCD △的外接圆半径，h 为三棱锥的高即AB 的长.（2）在三棱锥A BCD -中若有平面ABC ⊥平面BCD ，设三棱锥外接球半径为R ，则2222124l R r r =+-，其中12,r r 分别为,ABC BCD 的外接圆半径，l 为,ABC BCD 公共边BC 的长.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 复数221iz =--（i 是虚数单位），则复数z 的模为________．【解析】【分析】利用复数除法运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】()()()()21i 22221i 1i 1i 1i 1i z +=-=-=-+=---+，z ∴==.13. 在数列{a n }中，111,34n n a a a +==+，若对于任意的()*,235n n k a n ∈+≥-N 恒成立，则实数k 的最小值为______.【答案】427【解析】【分析】利用构造法分析得数列{}2n a +是等比数列，进而求得2n a +，从而将问题转化为353nn k -≥恒成立，令()()*253nn f n n -=∈N ，分析数列(){}f n 的最值，从而得解.【详解】由134n n a a +=+，得()1232n n a a ++=+，又12123a +=+=，故数列{}2n a +为首项为3，公比为3的等比数列，所以12333n n n a -+=⨯=，则不等式()235n k a n +≥-可化为353nn k -≥，令()()*353n n f n n -=∈N ，当1n =时，()0f n <；当2n ≥时，()0f n >；又()()1132351361333n n n n n nf n f n ++---+-=-=，则当2n =时，()()32f f >，当3n ≥时，()()1f n f n +<，所以()()333543327f n f ⨯-≤==，则427k ≥，即实数k的最小值为427.故答案为：427.14. 若定义在()0,+∞的函数()f x 满足()()()6f x y f x f y xy +=++，且有()3f n n ≥对n *∈N 恒成立，则81()i f i =∑的最小值为________．【答案】612【解析】【分析】由条件等式变形为()()()()222333f x y x y f x x f y y +-+=-+-，再构造函数()()23g x f x x =-，得到()()()g x y g x g y +=+，并迭代得到()()13g n n f =-⎡⎤⎣⎦，由此得到()()23133f n n f n n =+-≥⎡⎤⎣⎦，，并求和，利用放缩法，即可求解最小值.【详解】因为()()()6f x y f x f y xy +=++，所以()()()()222333f x y x y f x x f y y +-+=-+-，设()()23g x f x x =-，则()()()g x y g x g y +=+，因此()()()()()()()()11211221g n g n g g n g g g n g =-+=-++=-+()()()()()211321g n g ng n f ==+-==-⎡⎤⎣⎦ ，所以()()23133f n n f n n =+-≥⎡⎤⎣⎦，取1n =，得()13f ≥，所以()8111188822()3133612i i i i f i ii i f =====+-≥=⎡⎤⎣⎦∑∑∑∑，所以81()i f i =∑的最小值为612.故答案：612.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 平面四边形ABCD中，已知4,120,AB BC ABC AC =∠=︒=（1）求ABC V 的面积；（2）若150,BCD AD ∠=︒=ADC ∠的大小．【答案】（1（2）60︒【解析】【分析】（1）由已知，设BC x =，则4AB x =，由余弦定理，可得1x =，利用三角形的面积公式即可求得ABC V 的面积；（2）在ABC V中，由正弦定理，可求得sin ACB ∠=，进而求得cos ACB ∠=，进而求得sin ACD ∠=ACD中，由正弦定理，求得sin ADC ∠=ADC ∠的大小．【小问1详解】由已知，设BC x =，则4AB x =，在ABC V 中，由余弦定理，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠，为因为120,ABC AC ∠=︒=，所以22222116421x x x x =++=，解得1x =，所以1BC =，4AB =，所以11sin 4122ABC S AB BC ABC =⋅∠=⨯⨯= .【小问2详解】在ABC V 中，由正弦定理，sin sin ACB ABCAB AC ∠∠=，因为120,ABC AC ∠=︒=，4AB =，所以sin sin 4ABC ACB AB AC ∠∠=⋅==，又在ABC V 中，120ABC ∠=︒，则060ACB ︒<∠<︒，所以cos ACB ∠==，因为150BCD ∠=︒，所以()sin sin 150ACD ACB ∠=︒-∠sin150cos cos150sin ACB ACB=︒∠-︒∠12⎛== ⎝，在ACD 中，由正弦定理，sin sin ADC ACDAC AD∠∠=，又AD ==解得sin ADC ∠=>，所以60ACD ∠>︒，因为0180ADC ︒<∠<︒，则60ADC ∠=︒.16. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,3,4,,,AB AC AC AB AA M N P ⊥===分别为11,,AB BC A B 的中点．（1）求证：//BP 平面1C MN ；（2）求二面角1P MC N --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）先证明1,,,M N C A 四点共面，再证明1MA BP ，由线面平行的判定定理可证；（2）以A 为原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及二面角公式，带入求解即可.【小问1详解】证明：连接1A M ，因为,M N 分别为,AB BC 的中点，则MN AC ∥，在三棱柱111ABC A B C -中，11ACA C ，则11MN A C ∥，则11,,,M N A C 四点共面，11AB A B = ，且11AB AB ∥，,M P 分别为11,AB A B 的中点，则1BM PA 且1BM PA =，则四边形1BMA P 为平行四边形，则1MA BP ，BP ⊄ 平面1C MN ，1MA ⊂平面1C MN ，则//BP 平面1C MN .【小问2详解】在直棱柱111ABC A B C -中，11,,AA AB AA AC AB AC ⊥⊥⊥，则以A 为原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系：则有13(0,0,0),(4,0,0),(0,3,0),(2,0,0),(2,,0),(2,0,4),(0,3,4)2A B C M N P C ，13(2,3,4),(0,,0),(0,0,4)2MC MN MP =-== ，设平面1MPC 的一个法向量为(,,)m x y z = ，平面1MNC 的一个法向量为(,,)n a b c =，则1234040m MC x y z m MP z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩及12340302n MC a b c n MN b ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩，令3,1x c ==，则有(3,2,0),(2,0,1)m n ==，则cos ,m n m n m n ⋅===，因为二面角1P MC N --为钝角，则所求二面角的余弦值为.17. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，点()4,3P 在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的方程.（2）设过点()10-,的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅为常数？若存在，求出Q 点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）22143x y -=； （2）存在，29(,0)8Q -，58564.【解析】【分析】（1）根据题意由双曲线的渐近线方程得到ba的值，再根据(4,3)P 在双曲线上，将坐标代入双曲线方程即可解得,a b 的值.（2）设出直线l 方程与M ，N 点坐标1122(,),(,)x y x y ，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可表示出12x x +、21x x 、12y y +、12y y ，再设出Q 坐标(,0)t ，则可以表示出,QM QN 坐标，即可用坐标表示出QM QN⋅的值，再结合具体代数式分析当QM QN ⋅为常数时t 的值.【小问1详解】由题意得，因为双曲线渐近线方程为y x =，所以b b a =⇒=，又点(4,3)P 在双曲线上，所以将坐标代入双曲线标准方程得：221691a b-=，联立两式解得21612a a -=⇒=，b =，所以双曲线的标准方程为：22143x y -=.【小问2详解】如图所示，点(1,0)E -,直线l 与双曲线交于,M N 两点，由题意得，设直线l 的方程为1x my =-，Q 点坐标为(,0)t ，联立221431x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩得，22(34)690m y my ---=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122634m y y m +=-，122934y y m -=-，21212122268(1)(1)()223434m x x my my m y y m m +=-+-=+-=-=--，22121212122124(1)(1)()134m x x my my m y y m y y m --=--=-++=-，11)(,t y QM x =- ，22,)(Q x t y N =-，所以21212121212()()()Q t x t y y x x t x x t y M N y Q x +⋅--=-++=+2222212489343434m t t m m m ---=-⋅++---222222121384(34)8293434m t m t t tm m -------=+=+--22829434t t m +=--+-，所以若要使得上式为常数，则8290t +=，即298t =-，此时58564QM QN ⋅= ，所以存在定点29(,0)8Q -，使得QM QN ⋅ 为常数58564.【点睛】关键点点睛：本题（2）问解题关键首先在用适当的形式设出直线l 的方程，当已知直线过x 轴上的定点(,0)n 时，可设直线方程为x my n =+，这样可简化运算，其次在于化简QM QN ⋅时计算要仔细，最后判断何时为常数时要抓住“消掉m ”这个关键，即最后的代数式中没有我们设出的m.18. 已知函数()2sin cos f x x x x x =--.（1）求()f x 在πx =处的切线方程；（2）证明：()f x 在()0,2π上有且仅有一个零点；（3）若()0,x ∞∈+时，()sin g x x =的图象恒在()2h x ax x =+的图象上方，求a 的取值范围.【答案】（1）220x y π+-= （2）证明见解析 （3）1πa <-【解析】分析】（1）根据解析式求出切点，再根据导函数求出斜率，点斜式可得到切线方程；（2）先分析函数的单调性，需要二次求导，再结合函数值的情况进行判断；（3）对于函数图象的位置关系问题，可先特值探路求出参数的取值范围，再证明在该条件不等式恒成立即可.【小问1详解】()2sin cos f x x x x x =--，当πx =时，()π2sin ππcos ππ0f =--=，所以切点为()π,0，因为()2cos cos sin 1cos sin 1f x x x x x x x x =-+-=+-'，【所以斜线方程的斜率()πcos ππsin π12k f ==+-=-'，根据点斜式可得()02πy x -=--可得220x y π+-=，所以()f x 在πx =处的切线方程为220x y π+-=；【小问2详解】由（1）可得()cos sin 1f x x x x =+-'，令()()cos sin 1g x f x x x x ==+-'，所以()sin sin cos cos g x x x x x x x '=-++=，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和3π,2π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，()0g x '>，()g x 单调递增；当π3π,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos 0x <，()0g x '<，()g x 单调递减；()πππππ0cos00sin010,cos sin 11022222g g ⎛⎫=+⨯-==+⨯-=-> ⎪⎝⎭，()πcos ππsin π1=2<0g =+--，3π3π3π3π3πcos cos 11022222g ⎛⎫=+-=--< ⎪⎝⎭，()2πcos 2π2πsin 2π10g =+-=，存在0π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭使得g (x 0)=0，所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,2πx 单调递减，又()()02sin 00cos 00,π2sin ππcos ππ0f f =-⨯==-⨯-=，()2π2sin 2π2πcos 2π2π=4πf =---，所以()f x 在()0,2π上有且仅有一个零点；【小问3详解】因为()0,x ∞∈+时，()sin g x x =的图象恒在()2h x ax x =+的图象上方，即2sin x ax x >+恒成立，等价于2sin x xa x -<恒成立，当πx =时，有2sin 1ππa ππ-<=-，下证：2sin 1πx x x -≥-即证21sin πx x x -≥-，()0,x ∞∈+恒成立，令()21sin πs x x x x =-+，当2πx ≥时，2sin 2π4π>01sin πx x x x --++>，当()0,2πx ∈时，()2cos 1πs x x x -+'=，设()2cos 1πt x x x =-+，则()2sin πt x x -'=+，此时()0t x '=在()0,2π有两个不同解1212π,,0π2x x x x <<<<，且当10x x <<或22πx x <<时，()0t x '>，当12x x x <<时，()0t x '<，故()t x 在()12,x x 上为减函数，在()10,x ，()2,2πx 上为增函数，而()()()π0π0,2π402t t t t ⎛⎫====> ⎪⎝⎭，故当π02x <<时，()0t x >，当ππ2x <<时，()0t x <，当π2πx <<时，()0t x >，故()s x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，在()π,2π为增函数，而()()0π0s s ==，故()0,2πx ∈时，()0s x ≥恒成立，综上1πa <-.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数y =g (x )的图象的交点问题.19. 数列{}n b 满足32121222n n b b b b n -++++= ，{}n b 前n 项和为n T ，等差数列{}n a 满足的的1143,a b a T ==，等差数列前n 项和为n S ．（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）设数列{}n a 中的项落在区间()21,1m m T T ++中的项数为()m c m N*∈，求数列{}mc 的前n 和n H；（3）是否存在正整数m ，使得3m m m mS T S T +++是{}n a 或{}n b 中的项．若有，请求出全部的m 并说明理由；若没有，请给出证明．【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=（2）2121233m m m H +=-+（3）1m =，2m =或5m =【解析】【分析】（1）先利用数列通项与前n 项和的关系求出12n n b -=，然后得到12n n b -=为等差数列，求得n T ，再求得14,a a ，计算数列{a n }的通项公式即可；（2）先求出区间()21,1m m T T ++的端点值，然后明确{a n }的项为奇数，得到()21,1m m T T ++中奇数的个数，得到()m c m N*∈通项公式，然后求和即可；（3）先假设存在，由（1）求得2n S n =，21nn T =-，令3m m m mS T L S T ++=+，然后判断L 的取值，最后验证，不同取值时，m 的值即可.【小问1详解】由题可知，当1n =时，11b =；当2n ≥时，得3121221222n n b b b b n --++++=- 因为32121222n n b b b b n -++++= 两式相减得11122n n n n bb --=⇒=经检验，当*N n ∈时，12n n b -=显然，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，所以122112nn n T -==--所以1143,17a b a T ====等差数列{a n }的公差71241d -==-所以21n a n =-【小问2详解】由（1）可知，2212,12m m m m T T +=+=因为21n a n =-，所以21n a n =-为奇数；故()m c m N *∈为区间()21,1m m TT ++的奇数个数显然2212,12m m m m T T +=+=为偶数所以21224222m m mm m c --==-所以()2121444412222m mm m m H ---++++=-++++ ()214141122122141233m mm m +--=⨯-=-+--【小问3详解】由（1）可知2n S n =，21nn T =-所以23322121m m m m m m S T m S T m ++++-=++-若3m m m mS T S T +++是{a n }或{b n }中的项不妨令3m m m mS T L S T ++=+，则L *∈N 则有()()()232221118221m m m m L L m L m ++-=⇒--=-+-因为210,20m m -≥>所以18L ≤≤因为L 为数列{a n }或{b n }中的项所以L 的所有可能取值为1,2,3,4,5,7,8当1L =时，得20m =无解，所以不存在；当18L <≤时得28112m L m L --=-令()2*1,2m m g m m -=∈N 得()22ln 2ln 22mm m g m +='-令()22ln 2ln 2h m m m =-+显然()22ln 2ln 2h m m m =-+为二次函数，开口向下，对称轴为()11,2ln 2m =∈()()()120,368ln 20,4815ln 20h h h =>=->=-<所以当3m ≤时，()0g m '>，()2*1,2m m g m m N -=∈单调递增；当3m ≥时，()0g m '<，()2*1,2m m g m m N -=∈单调递减得()()1531,416g g ==因为28112m L m L --=-所以89112L L L -≤⇒≥-所以L 的可能取值有5,7,8我们来验证，当5L =时，得21324m m -=，可得存在正整数解2m =或5m =，故5L =满足；当7L =时，得21126m m -=，当m 为整数时，212m m -分子为整数，分母不能被3整除；所以21126m m -=无正整数解，故7L =不满足；当8L =时，得2102m m -=，得存在正整数解1m =，故8L =满足；综上所诉，1m =，2m =或5m =.【点睛】关键点点睛：（1）需要构造数列，然后合理利用数列通项与前n 项和的关系求解即可；（2）需要明确两个数之间奇数的个数即可；（3）先假设存在，然后确定数列{a n }或{b n }中的项是哪些，最后再反过来求m 的值即可.。
2019-2020学年重庆市北碚区高一(上)11月联考数学试卷
2019-2020学年重庆市北碚区高一（上）11月联考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. sin 300∘的值为（ ） A.−12 B.12C.−√32D.√322. 下列关于向量a →，b →的叙述中，错误的是（ ） A.若a →2+b →2＝0，则a →=b →=0 B.若k ∈R ，ka →=0，所以k ＝0或a →=0 C.若a →⋅b →=0，则a →=0或b →=0D.若a →，b →都是单位向量，则a →⋅b →≤1恒成立3. 函数f(x)=tan x 1+tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C.πD.2π4. 已知a →=(1,−2),b →=(3,4)，则a →在b →方向上的投影是（ ） A.1 B.−1 C.√5 D.−√55. 将函数f(x)＝sin (2x +π6)的图象向右平移π6个单位，那么所得的图象对应的函数解析式是（ ） A.y ＝sin 2x B.y ＝cos 2x C.y ＝sin (2x +2π3) D.y ＝sin (2x −π6)6. 函数f(x)＝sin (ωx +π3)(ω>0)相邻两个对称中心的距离为π2，以下哪个区间是函数f(x)的单调减区间（ ） A.[−π3, 0] B.[0, π3]C.[π12, π2]D.[π2, 5π6]7. 已知向量a →=(4, −2)，向量b →=(x, 5)，且a → // b →，那么x 的值等于（ ） A.10 B.5 C.−52D.−108. 如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量DC →=( )A.−BC →+12BA →B.−BC →−12BA →C.BC →−12BA →D.BC →+12BA →9. 设a =12cos 6∘−√32sin 6∘，b =2tan 131+tan 213，c =√1−cos 502，则有（ ）A.a >b >cB.a <b <cC.b <c <aD.a <c <b10. 若O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且4OA →+OB →+OC →=0，那么（ ） A.OD →=−AO →B.OD →=−2AO →C.OD →=2AO →D.OD →=AO →11. 已知∠α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，点P 在α的终边上，点Q(−3, −4)且tan α＝−2，则OP →与OQ →的夹角的余弦值为（ ） A.−√55B.11√525C.√55或−√55D.11√525或11√5512. 已知函数f(x)＝A sin (ωx +φ)(A >0, ω>0, |φ|<π2)的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A.f(x)的图象关于直线x =−2π3对称B.f(x)的图象关于点(−5π12,0)对称C.将函数y =√3sin 2x −cos 2x 的图象向左平移π2个单位得到函数f(x)的图象 D.若方程f(x)＝m 在[−π2,0]上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(−2,−√3]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）设向量a →=(3, 3)，b →=(1, −1)，若(a →+λb →)⊥(a →−λb →)，则实数λ＝________．函数f(x)=sin (x +2φ)−2sin φcos (x +φ)的最大值为________．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足OC →=23OA →+13OB →，则|AC →||AB →|=________．已知P 1(x 1, y 1)，P 2(x 2, y 2)是以原点O 为圆心的单位圆上的两点，∠P 1OP 2=θ（θ为钝角）．若sin (θ+π4)=35，则x 1x 2+y 1y 2的值为________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）已知向量a →与b →的夹角为θ为120∘，且|a →|＝4，|b →|＝2，求： （1）a →⋅b →；（2）(a →+b →)⋅(a →−2b →)；（3）|a →+b →|．已知tan (π4+α)=12． (Ⅰ)求tan α的值； (Ⅱ)求sin (2α+2π)−sin 2(π2−α)1−cos (π−2α)+sin 2α的值．设函数f(x)＝sin x +sin (x +π3)．(Ⅰ)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x 的集合；(Ⅱ)不画图，说明函数y ＝f(x)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到．已知a →=(cos α, sin α)，b →=(cos β, sin β)，|a →−b →|=2√55． （1）求cos (α−β)的值（2）若0<α<π2，−π2<β<0，cos β=1213，求sin α．已知向量a →=(sin ωx +cos ωx, sin ωx)，向量b →=(sin ωx −cos ωx, 2√3 cos ωx)，设函数f(x)=a →⋅b →+1(x ∈R)的图象关于直线x =π3对称，其中常数ω∈(0, 2)．（1）若x ∈[0, π2]，求f(x)的值域；（2）将函数f(x)的图象向左平移π12个单位，再向下平移1个单位，得到函数g(x)的图象，用五点法作出函数g(x)在区间[−π2, π2]上的图象．函数f(x)＝A sin (ωx +φ)(A >0, ω>0, |φ|<π2, x ∈R)的部分图象如图，M 是图象的一个最低点，图象与x 轴的一个交点坐标为(π2, 0)，与y 轴的交点坐标为(0, −√2)．（1）求A，ω，φ的值；（2）关于x的方程f(x)−m＝0在[0, 2π]上有解，求m的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年重庆市北碚区高一（上）11月联考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】C9.【答案】D10.【答案】C11.【答案】C12.【答案】D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】±3【答案】 1【答案】 13【答案】−√210三、解答题（本大题共6小题，共70分） 【答案】a →⋅b →=|a →||b →|cos θ＝4×2×cos 120∘＝−4．(a →+b →)⋅(a →−2b →)=a →2−a →⋅b →−2b →2=16+4−8＝12． |a →+b →|2=a →2+2a →⋅b →+b →2＝16−8+4＝12， ∴ |a →+b →|=√12=2√3． 【答案】（1）∵ tan (π4+α)=tan π4+tan α1−tan π4tan α=1+tan α1−tan α=12，解得tan α=−13．(2)sin (2α+2π)−sin 2(π2−α)1−cos (π−2α)+sin 2α=sin 2α−cos 2α1+cos 2α+sin 2α =2sin αcos α−cos 2α2cos 2α+sin 2α=2tan α−12+tan 2α=−1519．【答案】（1）f(x)＝sin x +12sin x +√32cos x =32sin x +√32cos x =√3sin (x +π6)，∴ 当x +π6=2kπ−π2(k ∈Z)，即x ＝2kπ−2π3(x ∈Z)时，f(x)取得最小值−√3，此时x 的取值集合为{x|x ＝2kπ−2π3(k ∈Z)}；（2）先由y ＝sin x 的图象上的所有点的纵坐标变为原来的√3倍，横坐标不变，即为y =√3sin x 的图象；再由y =√3sin x 的图象上的所有点向左平移π6个单位，得到y ＝f(x)的图象． 【答案】∵ a →=(cos α, sin α)，b →=(cos β, sin β)，|a →−b →|=√(cos α−cos β)2+(sin α−sin β)2=√2−2cos (α−β)=2√55． ∴ cos (α−β)=35．由（1）得cos (α−β)=35，∵ 0<α<π2,−π2<β<0，∴ 0<α−β<π，∴ sin (α−β)=√1−cos 2(α−β)=45，又∵ cos β=1213，∴ sin β=−√1−cos 2β=−513．∴ sin α＝sin [(α−β)+β]＝sin (α−β)cos β+cos (α−β)sin β =45⋅1213+35⋅(−513)=3365． 【答案】∵ 向量a →=(sin ωx +cos ωx, sin ωx)，向量b →=(sin ωx −cos ωx, 2√3 cos ωx)， ∴ f(x)=a →⋅b →+1＝sin 2ωx −cos 2ωx +2√3sin ωx cos ωx =√3sin 2ωx −cos 2ωx +1＝2sin (2ωx −π6)+1，∵ 图象关于直线x =π3对称，其中常数ω∈(0, 2)． ∴ 2ω⋅π3−π6=kπ+π2，k ∈z ，得ω=3k 2+1，结合ω∈(0, 2)，可得ω＝1；∴ f(x)＝2sin (2x −π6)+1，∵ x ∈[0, π2]，2x −π6∈[−π6, 5π6]，sin (2x −π6)∈[−12, 1]，∴ f(x)＝2sin (2x −π6)+1∈[0, 3]．将函数f(x)的图象向左平移π12个单位， 得y ＝2sin [2(x +π12)−π6]+1＝2sin 2x +1．再向下平移1个单位后得到函数g(x)＝2sin 2x ．列表：函数的图象为：【答案】由图可知，函数的周期T ＝4×[π2−(−π2)]＝4π，∴ 2πω=4π，ω=12；∵ 图象与x 轴的一个交点坐标为(π2, 0)，∴ A sin (12×π2+φ)＝0， ∴ sin (π4+φ)＝0，∴ π4+φ＝kπ，故φ＝kπ−π4(k ∈Z)．由|φ|<π2得，−π2<φ<π2， ∴ φ=−π4， ∴ y ＝A sin (12x −π4)．当x ＝0时，y ＝A sin (−π4)=−√2， ∴ A ＝2．综上可知，A ＝2，ω=12，φ=−π4． 由（1）可得：f(x)＝2sin (12x −π4)．当x ∈[0, 2π]时，12x −π4∈[−π4, 3π4]，可得：f(x)＝2sin (12x −π4)∈[−√22, 1]． 由f(x)−m ＝0得f(x)＝m ，要使方程f(x)−m ＝0在x ∈[0, 2π]上有两个不同的解，则f(x)＝m 在x ∈[0, 2π]上有两个不同的解，即函数f(x)和y ＝m 在x ∈[0, 2π]上有两个不同的交点，≤m<1．即√22。
重庆市北碚区西南大学附中2023-2024学年高一上学期11月阶段检测数学试题
A．函数
y
=
x
+
4 x
(x
>
0)
是“严格下凸函数”；
B．指数函数 f (x) = ax (a > 0 且 a ¹ 1 ) 为“严格下凸函数”的充要条件是 a > 1 ；
C．函数
f
(x)
=
x2
+
k x
(x
>
0)
为“严格下凸函数”的充要条件是 k
³
0
；
D．函数
f
(x)
=
x3
-
3 x
+1(x Î
(0,1))
试卷第21 页，共33 页
C．函数 f ( x) = 2x + m 的图象不过第四象限，则 m 的取值范围是 (-1, +¥)
D．函数
f
(x)
=
a 3x-1
（a
>
0
且a
¹ 1），
f
(1)
=
1 9
，则
f
(x)
的单调递减区间是
é êë
1 3
,
+¥
ö ø÷
11．已知函数
f
(x)
=
m
+
2x+1 是奇函数，下列选项正确的是（ 2x +1
）
A． m = -1
( ) B． "x1, x2 Î R ，且 x1 ¹ x2 ，恒有 ( x1 - x2 ) f ( x1) - f ( x2 ) > 0
C．函数
f
(x)
在 [-2,1)
上的值域为
æ çè
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夹角为 ，则 cos
OP OQ OP OQ
3x 4y 5 x2 y 2
5x 5 5x
5
．
5
考点： 1、三角函数的定义； 2、向量夹角 .
12. 已知函数 f x A sin x
（）
A 0, 0,
的部分图象 x
2
对称
3
B. f x 的图象关于点
5 ,0 对称 12
11. 角 顶点在坐标原点 O，始边 x 轴的非负半轴重合，点 P 在 的终边上，点 Q
tan
2，则 OP与OQ 夹角的余弦值为（ ）
3, 4 ，且
A.
5
5
11 5
B.
25
C. 5 或 5
5
5
D. 11 5 或 11 5
25
5
【答案】 C
【解析】
试题分析：设点 P（ x, y) ，则 tan
y 2 ，故 y 2x ， OP （x, y) ， OQ ( 3, 4) ，设 OP 与 OQ x
2 tan13 1 tan2 13
，c
1 cos50 则有 （ ） 2
B. a b c
C. b c a
D. a c b
【详解】 a sin(30 6 ) sin 24 , b sin 26 , c sin 25 , 所以 a c b .
10. 若 O是 △ABC 所在平面内一点， D 为 BC 边的中点，且 4OA OB OC 0，那么（
A.
，0
3
B. 0， 3
C.
，
12 2
【答案】 C 【解析】
D.
，5
26
试题分析：由题意可知函数 f ( x) 的最小正周期为 T 2
，所以 =2 ，所以 f x sin 2x
，
3
令 2k
2x
2k
2
3
3 ， k Z 得， k
2
当 k=0 时， C 选项是其单调递减区间的真子集，故选
xk 12
C.
7 ， k Z ，通过给 k 取值验证可知，
b
0 ，则 a = b = 0
B. 若 k R ， ka 0 ，所以 k 0 或 a 0
C. 若 a b 0 ，则 a 0 或 b 0
D. 若 a ， b 都是单位向量，则 a b 1恒成立
【答案】 C
【解析】
【分析】
根据向量的数量积，及向量的线性运算逐一判断。
【详解】解
:
∵
2
a
2
b
2
0 ，a
2
2
a 0 ，b
2
r
b 0 ，∴ a
r b
0，∴ a = b = 0 ，故 A 正确；∵ ka 0 ，
2
∴ k 2 a 0 ，∴ k 0 或 a 0 ，故 k 0 或 a 0 ，∵ a b a b cos 0 ，∴ a 0 或 b 0 或
cos 0 ，故 a 0 或 b 0 或 a b ，故 C 错误；∵ a ， b 是单位向量，∴ a b cos 1，故 D 正确；故
D. 10
1 【详解】因为 D是△ ABC边 AB上的中点，所以 CD CB BD CB BA
2
1 BC BA . 故选 A.
2
【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，利用基向量表示向量时，注意把目标向量向基向量靠拢
.
9. 设 a
1 cos 6
2
A. a b c
【答案】 D
【解析】
3 sin 6 ， b 2
2019-2020 学年度上期北碚区高中 11 月联合性测试
高一数学 试题
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. sin300 =" " （ ）
A.
3
2
【答案】 A
【解析】
略
1
B.
2
1
C.
2
D. 3 2
2. 下列关于向量 a ， b 的叙述中，错误的是（
）
A.
若
2
a
2
tanx 1 tan2x
sinx
cosx 1 ( sinx )2
cosx
sinxcosx 1 sin2 x 2
f x 的最小正周期 T 2 π 2
故选 C.
点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题
4. 若向量 a (1, 2), b (3, 4) ，则 a 在 b 方向上的投影是
12
考点：正弦型函数的图象与性质 .
7. 已知向量 a (4, 2) ，向量 b ( x,5) ，且 a / / b ，那么 x 等于 ( )
A. 10
B. 5
5
C.
2
【答案】 D 【解析】 【分析】 由两向量平行，其向量坐标交叉相乘相等，得到
4 5 2x .
【详解】因为 a / /b ，所以 4 5 2x ，解得： x 10 .
选 C．
故选： C
【点睛】 本题考查向量的运算性质， 用到向量中的一些结论， 数量积为 0 ，单位向量， 零向量， 属于基础题。
3. 函数 f x
tanx 1 tan2 x 的最小正周期为
A.
B.
C.
4
2
【答案】 C
【解析】
tanx 【详解】分析 : 将函数 f x 1 tan2x 进行化简即可
详解：由已知得 f x
C. 将函数 y
3 sin 2x cos 2x 的图象向左平移 个单位得到函数 f x 的图象 2
）
A. OD AO
B. OD 2 AO
C. OD 2AO
【答案】 C 【解析】 【分析】
D. OD AO
由 D为 BC 边 中点知道 OB OC 2OD , 化简即可得出答案。
【详解】如图， D为 BC 的中点， OB OC 2OD , 4OA 2OD 0, OD 2 AO .
故选 C.
的 【点睛】本题考查斜边中点的向量表示，属于基础题。
6
2
C. y sin(2 x
)
3
D. y sin(2 x
）
) 6
【解析】
试题分析： 由已知得平移后的图像所对应的函数解析式是 考点：三角函数图像变换 .
y sin 2 x
sin 2x
，故选 D.
66
6
6. 函数 f x sin x 3
区间（ ）
0 相邻两个对称中心间的距离为
，以下哪个区间是函数 f x 的递减 2
D. 2
A. 1
B. -1
C. 5
D. 5
【答案】 B 【解析】
由题意，得 a 在 b 方向上的投影是 a cos
ab 1 3 2 4
b
5
1 ；故选 B.
5. 将函数 f ( x) A. y sin 2x
【答案】 D
sin(2 x
) 的图像向右平移 6 B. y cos2x
个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是（
【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，考查基本运算，注意符号的正负
.
8. 已知 D是△ ABC边 AB上 中点，则向量 CD （
1 A. - BC BA
2 1 C. -BC BA 2
【答案】 A
）
1 B. BC BA
2 1 D. BC BA 2
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算，用基底 BC, BA 表示向量 CD .