场论。数学方法简介
数学在物理学中的应用
数学在物理学中的应用引言数学作为一门精确的科学，广泛应用于各个领域。
而在物理学中，数学更是起着举足轻重的作用。
本文将探讨数学在物理学中的应用，并从几个具体的领域进行深入的分析。
一、微积分在力学中的应用微积分是数学中的一门重要分支，广泛应用于力学领域。
以牛顿力学为例，运用微积分的概念，可以推导出牛顿第一、第二、第三定律，并解决力学中的运动问题。
通过对位移、速度和加速度的关系进行微积分运算，我们可以准确地描述和预测物体的运动轨迹和行为。
二、线性代数在量子力学中的应用线性代数是数学中的另一个重要分支，其应用也十分广泛。
在量子力学中，线性代数起着至关重要的作用。
通过线性代数的工具，我们可以描述和分析微观粒子的量子态、哈密顿算符以及相应的本征值和本征函数等。
线性代数的概念也帮助我们理解量子纠缠以及薛定谔方程等复杂的物理现象。
三、概率论在统计物理中的应用概率论是数学中的一门应用广泛的分支，也在统计物理中发挥着重要作用。
统计物理是研究大量微观粒子的行为和性质的学科，而概率论则提供了一种描述这些微观粒子集体行为的数学工具。
通过概率论的概念和方法，我们可以理解气体分子的运动和分布规律，以及固体和液体的热力学性质等。
四、偏微分方程在场论中的应用偏微分方程是数学中一个重要的分支，其应用范围广泛。
在场论中，偏微分方程的方法被广泛用于描述和研究各种物理场的行为。
例如，通过用偏微分方程描述电场、磁场和引力场等场的分布和演化，我们可以研究和解决电磁学和引力学中的复杂问题。
五、数学方法在宇宙学中的应用宇宙学是研究宇宙的起源、结构和演化等问题的学科。
数学在宇宙学中扮演着重要的角色。
通过数学方法，我们可以理解宇宙的膨胀和演化模型，并预测宇宙的终极命运。
数学的工具还可以帮助我们研究黑洞的形成和性质，以及宇宙微波背景辐射等一系列的宇宙现象。
结束语综上所述，数学在物理学中的应用不可忽视。
微积分、线性代数、概率论和偏微分方程等数学分支为物理学家解决和理解各种物理问题提供了强大的工具。
化工数学-第6章-场论初步
9
6.2 向量的导数.
6.2.1 向量对于一个纯量的导数
(1)向量函数 v 是纯量t的函数，v = v(t) 。
dv (t )
v(t + Dt)- v(t)
= lim
dt
Dt? 0
Dt
在直角坐标系中 v = vxi + vy j + vzk
(6-1)
dv = dvx i + dvy j + dvz k
若 r = r (x, y, z)， S = S(x, y, z) ，则
抖 抖x (r ? S)
r? S x
?r ?x
?
S
抖 抖x (r ? S)
r? S x
?r ?x
?
S
抖2
抖x
(r ? S) y
抖x 轾 犏 犏 臌抖y (r ? S)
抖x
轾 犏 犏 臌r ?
抖S y
?
r y
?
S
抖2 S
r 抖S
dt
dt dt dt
d（a ? b) da ? b a ? db
dt
dtБайду номын сангаас
dt
(6 - 5) (6 - 6)
(6 - 7) (6 8)
2019/9/9
化工数学-第六章－场论初步
d（j a) = dj a + j da 其中j = j (t)是数量函数
dt
dt
dt
13
（6－9）
d（a? b) da ? b a? db
a = a1? a2
ijk 2 3 4 = - 14i + 8 j + k 1 2 -2
量子场论中的费曼图与格林函数
量子场论中的费曼图与格林函数量子场论是研究基本粒子相互作用与行为的一门科学，它是现代物理学领域的一个重要分支。
在量子场论中，费曼图和格林函数起着十分重要的作用。
本文就量子场论中的费曼图与格林函数进行探讨和阐述。
一、量子场论基础量子场论是量子力学和相对论的合一产物，其基础概念是量子化的场（荷、自旋、能量、动量等）与基于散射理论的费曼图。
它通过描述场的动力学变化、反应和相互作用，揭示了物质的量子结构。
量子场论的本质是通过描述物质粒子那些复杂的运动和转变，以及描述它们之间相互作用的本质，得到对物质的最终理解。
二、费曼图的含义费曼图是为了研究散射理论而提出的，它是在碰撞或反应过程中，对各种粒子之间相互作用的形象表示。
它用复杂的图形来描述粒子的属性和行为。
费曼图中有三类线段，表示粒子和反粒子2种载体，和介子2种介质。
费曼图中每一条线表示一个粒子，并伴随着一个波浪线表示粒子之间的相互作用。
费曼图又可称为“幺正时间排序图”，图中任何一个相互作用的位置是真实时间轴时序的排列。
量子场论中所涉及的费曼图要求每个粒子的能量和动量均为可用、精确的物理量，其图形对于物理观测结果拥有极高的预测性和准确性。
三、格林函数格林函数是描述一个物理模型中的某个观测结果随时间和空间的变化的数学工具，它是量子场论的一种重要表达方式。
在量子场论中，格林函数提供了不同量子场变量之间的关联和信息传递。
因此，格林函数是研究量子场理论中时间和空间耦合性质的一种工具。
格林函数常常用来描述各种物理信号在时间上和空间上的传递及其产生的各种效应。
在量子场论中，每个场都有其相应的格林函数。
例如电子场的费米格林函数被用来刻画一个电子在某个时间和位置被激发后再次回到一定动力学环境中时的行为方式。
一个场的格林函数中包含的信息有：空间的相关性、时间的相关性以及能量的信息等。
四、费曼图与格林函数的关系费曼图和格林函数在量子场论的求解中密不可分。
自然界中的所有的基本粒子都可以被描述为带有很多费曼图的量子场的激发态，费曼图在描述基本粒子之间相互作用和散射过程中起着至关重要的作用。
高等数学场论基本概念
数学物理基础梯度、散度和旋度梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。
之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。
这里假设读者已经了解了三者的定义。
它们的符号分别记作如下：从符号中可以获得这样的信息：①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。
这里φ称为势函数；②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下的；③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。
这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式(1)其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。
下面先给出梯度、散度和旋度的计算式：(2)(3)(4)旋度公式略显复杂。
这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。
I.梯度的散度：根据麦克斯韦方程有：而(5)则电势的梯度的散度为这是一个三维空间上的标量函数，常记作(6)称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。
事实上因为定义所以有当然，这只是一种记忆方式。
当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。
II.散度的梯度：散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。
这就好比说清水中滴入一滴红墨水，起初水面红色浓度最高，杯底浓度最低，这样水面与杯底形成一个浓度梯度，红墨水由水面向杯底扩散，最后均匀。
论场论三度与两大定理在物理的应用
论场论三度与两大定理在物理的应用张 晗30901068信计0901时间与空间是物理最基本的物理量：我们也为了了解物理量随时间变化而做多次实验，定义了很多关系，比如速度等于位移随时间变化率, 加速度等于速度随时间变化率,v 等于能量随时间变化率等, 因为时间是纯量 所以处理起来还算比较简易。
我们也经常想了解物理量随空间的变化, 但是空间有方向性因此其变化比较多些,于是就有了梯度，散度与旋度等数学运算。
首先，我们可以先了解一下梯度。
梯度在教材上的定义是，如果f 在点a 所有的偏导数都存在，称向量()()()n f n D f D ℜ∈αα,,1为f 在点a 的梯度（gradient ），记为()αf ∇或grad ()αf 。
如果f 在点a 可导，根据全导数的定义，()().)(1ναανα⋅∇=∑==f i v n i f i D T 当u 是单位向量时，方向导数()u f ;α'有着明显的几何意义，如果().0≠∇αf 记θ是向量u 和梯度()αf ∇的夹角，则()()()().cos cos ;θαθαααf u f u f u f ∇=∇=⋅∇='当u 与()αf ∇同方向时，θ=0，所以在f 在点a 的全部方向导数中，沿着()αf ∇的单位向量()()a f f ∇∇α的方向导数最大。
在2ℜ中，梯度经常写为()()();j ,i ,,y x yf y x x f y x f ∂∂+∂∂=∇ 在3ℜ中，梯度写为()()()().k ,,j ,,i ,,,,z y x zf z y x y f z y x x f z y x f ∂∂+∂∂+∂∂=∇在物理中，力做功将能量储存成位能Fzdz -dy Fy -dx -Fx dU **=(或者以向量内积 F ．d r 表示)因此反过来可知dx dU -Fx =,dy dU -Fy =, dz dU -Fz =因此定义Ｆ＝Fx i + Fy j +Fz k = -▽U 其中▽U= du/dx i +dU/dy j + du/dz k 称为位能Ｕ的梯度。
工程数学场论
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3.矢量场的矢量线 矢量线: 设 C 为矢量场
中的曲线，如果C
上每一点对应的矢量 都与 C 相切,则称之为矢量线.
设
为曲线上一点，
r OM xi yj zk
d r dxi dyj dzk
A
因为 d r A , 所以矢量线满足
dx dy dz Ax Ay Az
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第二节 数量场的方向导数与梯度
1.方向导数
定义1：设
M
是数量场u
0
u(M
)
中的一点，若沿方向 l
l
lim u lim u(M ) u(M 0 )
M M0
M M0
M0M
存在，则称此极限为 在点
M M0
处沿 l 方向的方向导数，记作
A d S 0
S
推论3：若在矢量场 A 内某些点上有div A 0，或
div A不存在，而在其他点上div A 0，则穿出包围
这些点的任一封闭曲面的通量都相等.
工程数学---------矢量分析与场论
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例2. 求矢量场
A (3x2 2yz)i ( y3 yz2 ) j (xyz 3xz2 ) k
div A P Q R A x y z
证明：由奥-高公式
A d S P d y d z Q d z d x Rdx d y
S
S
(
P x
Q y
R z
)
d
v
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又由中值定理得
场论中的拉格朗日量及其守恒定理
场论中的拉格朗日量及其守恒定理场论是物理学中研究场的动力学规律的一门学科，其中拉格朗日力学是一种重要的描述方法。
在场论中，拉格朗日量是描述场的一种数学量，它包含了场的动力学信息，并且通过最小作用量原理来确定场的运动方程。
除此之外，拉格朗日量还可以用来导出一些守恒定理，这些定理对于理解和预测物理现象非常重要。
拉格朗日量是描述场的物理量，它通常由场的各个分量及其导数构成。
在物理学中，拉格朗日量是一个标量，它不随坐标变换而改变。
通过选择适当的拉格朗日量，可以描述不同的物理场，如电磁场、引力场等。
场的运动方程可以通过最小作用量原理得到，而最小作用量原理可以用拉格朗日量来表示。
最小作用量原理认为，物理系统的运动是使作用量取极小值的路径。
作用量由拉格朗日量和时间积分构成，它描述了物理系统在一定时间内的运动情况。
通过变换场或场的分量，可以得到不同的场方程，从而描述不同的物理现象。
在场论中，拉格朗日量可以导出一些守恒定理，这些定理对于解释和预测物理现象非常重要。
守恒定理表明，在一些特定的条件下，某些物理量在时间和空间中保持不变。
例如，能量-动量守恒定理和角动量守恒定理是场论中最基本的守恒定理之一。
能量-动量守恒定理指出，在一个封闭系统中，能量和动量的总量保持不变。
封闭系统是指不受外界力或力矩作用的系统。
对于一般的场论，能量-动量守恒定理可以通过拉格朗日量的对称性来推导。
例如，如果拉格朗日量在某个坐标变换下保持不变，那么相应的能量和动量一定守恒。
这个定理在研究物体的运动和相互作用时非常有用，可以帮助我们理解物质和能量的转移和转化。
角动量守恒定理指出，在一个封闭系统中，角动量的总量保持不变。
角动量是描述物体绕某一轴旋转的物理量，它由物体的质量、速度和距离决定。
通过拉格朗日量和对称性的分析，可以得到角动量守恒的条件。
这个定理在研究旋转体系和粒子自旋时非常重要，可以帮助我们理解物体的稳定性和旋转行为。
除了能量-动量守恒定理和角动量守恒定理，还有一些其他的守恒定理在场论中起着重要的作用。
第03讲预备知识-场论1
e3
顺时针为负
置换符号说明： i、j 、k取值不同值时， εijk取1 或-1（6个），其余分量（21个）为零。即：
e2 e1 逆时针为正
ε 123 = ε 231 = ε 312 = 1
ε 132 = ε 213 = ε 321 = −1
置换法则：任意2个自由指标对换后差一个负号 正负取值规律：按右图中，逆时针取值为正，顺时针取值为负。
a = ax i + a y j + az k
任意一点M的矢径 矢径微分
r = xi + yj + z k
M z y o x
a
dr = dxi + dyj + dzk
dr × a = 0
r
叉积为零：
这就是向量线的微分方程(Differential Equation) 在直角坐标系(System Of Rectangular Coordinates)当中表示为
可以列表表示：
e1
′ e1
e2
e3
α 11 α12 α13 α 21 α22 α23
α 31 α 32 α 33
ei′ = α ij e j ei = α ji e ′j
e′ 2
′ e3
上述关系可简写为：
同理，老坐标的单位向量可用新坐标的单位向量表示：
根据上述单位向量的性质和关系可导出：
ei ⋅ e j = e′ ⋅ e′j i
a ⋅ bc = (a ⋅ b)c = (b ⋅ a )c = c (a ⋅ b)
ab ⋅ cd = a (b ⋅ c )d = (b ⋅ c )ad = ad (c ⋅ b) c ⋅ ab ⋅ d = (c ⋅ a )(b ⋅ d ) = (b ⋅ d )(c ⋅ a )
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s1 s1
grad
s2 s 2
00:10:29
习题
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ----
2)证明下列结论 : 1.grad (c r ) c , c为常矢量;
0 2.grad{(r )} (r) gradr (r )r 3.grad{[u (r ), v(r )]} gradu gradv u v
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ----
第一章.数学方法简介
—矢量分析与场论
矢量分析与场论内容
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
1.1 矢量运算 1.2 场的概念 1.3 梯度 1.4 散度 1.5 旋度 1.6 哈密尔顿算子 1.7 拉普拉斯算子与调和场
00:10:29
00:10:29
1.3梯度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---定义梯度 : 数量场M 点处, 存在这样一个矢量,其方 向为场函数在M 点处变化率最大的方向, 其模是这个最大的变化率.
grad i j k x y z
从而方向导数可写为:
0 grad s s 满足a grad的矢量场称为位势场, 称为位势函数.
00:10:29
1.2场的概念
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
场的定义
设在空间的某个区域内定义标量函数或矢量函 数，则称定义在空间内的函数为场 如果定义的是矢量函数，则称之为矢量场
如力场，速度场，电磁场 如温度场，密度场，压力场
如果定义的是标量函数，则称之为标量场
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cos( s , i ) cos( s , j ) cos( s , k ) s x y z x i y j z k cos(s , i )i cos(s , j ) j cos(s , k )k
性质二:
梯度的方向，是等势面的法线方向，是位势函数
变化最快的方向，且指向函数值增加的方向；大小 是场函数沿等势面法线方向的方向导数的模。
习题
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---M
1)给定平面标量场 , 设在M 点上已知两个方向的方向导数 , , 试用几何方法求M 点上的grad s1 s2
M'
s
cos( s , i ) Mx
x
00:10:29
1.3梯度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
方向导数只是标量函数φ在一个特定方向上的变化 率，而从场的每个给定点出发有无穷个方向，也就 有无穷多个方向导数。请问：沿着哪个方向φ的变 化率最大？最大变化率是多少呢？ 从方向导数的表达式可以看到，方向s的方向余弦 表示了所取的方向，而三个偏导数则由数量场唯一 在直角坐标系中方向导数的表达式为: 确定。
1.2场的概念
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ----
计算机模拟的温度场，红色表示高温， 冷色表示低温
1.2场的概念
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ----
协和飞机着陆时的流场
1.2场的概念
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ----
用速度矢量表示的速度场
1.2场的概念
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
ax a y az dV x y z V
ax a y az V x y z M r
00:10:29
1.4散度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---当V 趋近于M点时
ax a y az V an ds x y z M r lim S lim V 0 V 0 V V
00:10:29
1.5旋度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---环量面密度 设M为矢量场a中一点,在M处取定一个方向n,
再过M点以n为法向做微小曲面S,
若极限 存在, S
l
S
a dr
l
n
则称为矢量场在点M处沿n方向的环量面密度
一个矢量场存在位势函数也叫“有势”
00:10:29
1.3梯度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
梯度的主要性质是: 性质一:
y
M
M
'
梯度在任一方向 上的投影等于该 方向的方向导数。
0 grad s s
s n
M1
o
x
1.3梯度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---00:10:29
00:10:29
1.5旋度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
在这里仅给出旋度的定义，其意义在后面介绍。
首先介绍环量 :
给定一矢量场a(r, t ), 在场内取任意一曲线L, 作积分 :
a dr ＝ ax dx ay dy az dz
L
L
称为矢量a沿曲线L的环量。
1.1矢量运算
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
矢量相加
c a b c a b
a a
c
矢量相减
b b
c
00:10:29
1.1矢量运算
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
矢量点积
c a axbx a yby az bz b
00:10:29
1.4散度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 --- diva=0的矢量场称为无源场或管形场.
管形场意味着,像管子一样只能有物质的流入流出, 而不可能凭空流出物质来,也不可能吸收物质.
无源场具有一些特殊性质，如:
无源矢量a经过矢量管任一横截面上的通量保持同 一数值
00:10:29
Dx Dy Dz ? 得 : divD 0 x y z
00:10:29
习题
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ----
2)证明下列结论 : 1.div(c a ) cdiva, c为常数; 2.div{a b} diva divb 3.div(ua) udiva gradu a
对于数量场 , 若下面极限存在
(M ' ) (M ) lim MM ' 0 s MM '
称 是场 在M 处沿s方向的方向导数 s 在这里s 方向是任意方向
y
M'
s
M
o
x
00: 进 系 流 体 力 学 ---在直角坐标系中方向导数的表达式为: cos( s , i ) cos( s , j ) cos( s , k ) s x y z y 下面简证之: (M ' ) (M ) lim MM ' 0 s MM ' ( x x, y y, z z ) ( x, y, z ) lim 0 x2 y 2 z 2 x y z lim 0 x y z o cos( s , i ) cos( s , j ) cos( s , k ) x y z
场的定义要素：
空间变量 r 或x , y , z 时间变量 t 矢量场a(r,t ) 或是 a(x,y,z,t ) 标量场φ(r,t )或是 φ(x,y,z,t )
定义举例：
00:10:29
1.2场的概念
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
场的空间分布特性
同一时刻场函数随空间坐标而变化 不随空间坐标而变的场称为均匀场 反之称为非均匀场 同一点上场函数随时间而变化 如场内函数值不随时间变化而变化称为定常场 反之称为非定常场
00:10:29
1.4散度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---由此，高斯定理可简化成:
对速度来讲:Vn ds divVdV
S V
an ds divadV
S V
通量为正，意味着通过S面有正的源； 通量为负，意味着通过S面有负的源（汇）； 散度为零的场，没有源和汇。
习题
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 --- 1）在点电荷q所产生的静电场中, 求电位移矢量D 在任何一点M 处的散度divD.
解 : 取电荷所在之处为坐标原点.此时电位移矢量表为
D q r 3 4 r
其中: r xi yj zk , r r
矢量微分
da dax i da y j daz k
00:10:29
1.1矢量运算
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---
微分运算法则
d du da (ua) a u dt dt dt da db d (ab ) b a dt dt dt d da db (a b ) b a dt dt dt
00:10:29
1.4散度
宇 航 推 进 系 流 体 力 学 ---下面介绍矢量场散度的概念:
首先定义矢量a通过面S的通量,有以下几种表示方法
a dS a nds an ds
S S
S
y
ax cos(n, i ) a y cos(n, j ) a z cos( n, k ) ds dz
S
n
ds
dy o z
ax dydz a y dzdx a z dxdy