圆周角和圆心角的关系教学设计
圆周角和圆心角的关系教案
圆周角和圆心角的关系教案教案：圆周角和圆心角的关系教学目标：1.理解圆周角和圆心角的定义；2.掌握圆周角和圆心角的关系；3.运用所学知识解决实际问题。
教学准备：1.教材：《数学必修二》；2.教具：投影仪、计算器。
教学过程：Step 1：导入新知1.讲解圆周角和圆心角的概念。
圆周角：圆上的两条弧所对的角叫做圆周角。
圆心角：由圆心射出的两条弧所对的角叫做圆心角。
2.提问学生：“在圆上，两条弧所对的角是否相等？”3.引导学生发现，根据圆周角的定义，圆周角的度数等于弧所对的圆心角的一半。
Step 2：讲解圆周角和圆心角的关系1.通过投影仪展示有关圆周角和圆心角的图形，并示范解题方法。
2.教师讲解定理：“在同一个圆或等圆中，所对圆心角相等的圆周角也相等；所对圆周角相等的圆心角也相等。
”Step 3：练习1.完成教材《数学必修二》的相关习题。
2.制定小组练习题，提高学生之间的合作学习能力。
Step 4：运用1.学生进行一些实际问题的解答，如“一个园丁想在花园中心种一圈花，他决定每两株花之间的夹角是圆心角45°，他一共要种多少株花？”引导学生运用圆周角和圆心角的关系解题。
2.学生自主完成其他实际问题的解答。
Step 5：总结1.归纳总结圆周角和圆心角的关系，明确圆周角等于所对圆心角的一半。
2.提问巩固所学内容。
教学扩展：1.学生之间进行小组竞赛，比赛谁能最快解出题目中的圆周角和圆心角的关系。
2.学生利用计算器综合运用所学知识解决实际问题。
圆周角和圆心角的关系优秀教案
圆周角和圆心角的关系【课时安排】2课时【第一课时】【教课目的】一、教课知识点。
（一）认识圆周角的观点。
（二）理解圆周角定理的证明。
二、能力训练要求。
经历研究圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特别状况为基础，经过转变来解决一般性问题的方法，浸透分类的数学思想。
三、感情与价值观要求。
经过察看、猜想、考证推理，培育学生研究数学识题的能力和方法。
【教课要点】圆周角观点及圆周角定理。
【教课难点】认识圆周角定理需分三种状况证明的必需性。
【教课方法】指导研究法。
【教课过程】一、创建问题情境，引入新课。
[师 ]前面我们学习了与圆相关的哪一种角？它有什么特色？请同学们画一个圆心角。
[生 ]学习了圆心角，它的极点在圆心。
[师 ]圆心是圆中一个特别的点，当角的极点在圆心时，就有圆心角。
这样角与圆两种不一样的图形产生了联系，在圆中还有比较特别的点吗？假如有，把这样的点作为角的极点，会是怎样的图形？二、讲解新课。
（一）圆周角的观点。
[师 ]同学们请察看下边的图（1）。
这是一个射门游戏，球员射中球门的难易与他所处的地点 B 对球门 AC 的张角（∠ ABC）相关。
[师 ]图中的∠ ABC，极点在什么地点？角的两边有什么特色？[生 ]∠ ABC 的极点 B 在圆上，它的两边分别和圆有另一个交点。
（经过学生察看，类比得到定义。
）圆周角（ angle in a circular segment）定义：极点在圆上，而且角的两边和圆订交的角。
[师 ]请同学们考虑两个问题：1．极点在圆上的角是圆周角吗？2．圆和角的两边都订交的角是圆周角吗？请同学们绘图回答上述问题。
[师 ]经过绘图，相互沟通，议论认清圆周角观点的实质特色，进而总结出圆周角的两个特征：（1）角的极点在圆上；（2）两边在圆内的部分是圆的两条弦。
（二）增补练习 1判断以下图示中，各图形中的角能否是圆周角，并说明原因。
答：由圆周角的两个特色知，只有 C 是圆周角，而 A、B、 D、E 都不是。
圆心角与圆周角的关系教案
圆周角与圆心角的关系一、知识讲解：1．圆周角与圆心角的的概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。
5．圆的内接四边形对角之和是180度。
6．弧的度数就是圆心角的度数。
解题思路：1．已知圆周角，可以利用圆周角求出圆心角2．已知圆心角，可以利用圆心角求出圆周角3．已知直径和弧度，可以求出圆周角与圆心角1.圆周角与圆心角的定义顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
注意圆周角定义的两个基本特征：(1)顶点在圆上；(2)两边都和圆相交。
二、教学内容【1】圆心角：顶点在圆心的角。
利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个基本特征：练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．【2】理解圆周角定理的证明一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。
已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，求证：∠BAC= 1/2∠BOC.分析：通过图形的演示指导学生进一步去寻找圆心O与∠BAC的关系本题有三种情况：（1）圆心O在∠BAC的一边上 O（2）圆心O在∠BAC的内部（3）圆心O在∠BAC的外部 B D C●如果圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明●如果圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将这个角转化为上述情况的两个角的和或差即可证明:圆心O在∠BAC的一条边上 AOA=OC==>∠C=∠BAC∠BOC=∠BAC+∠C O==>∠BAC=1/2∠BOC. B C【3】圆周角与圆心角的关系（1）．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
圆周角和圆心角的关系教学设计
合作探 究
定理证 明
问题4：对上面的图形你会证明吗？可以先证明哪一个？
(1) .当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AoC的大小关系.你是如何证明的？
3.分别从以下几个方面演示，：①拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动；②改变圆心角的度数；③改变圆的半的圆心角的一半
学生进行争论，各有千秋
学生动手操作：借助量角器度量的方法进行验证；或采用折叠重合的方法验证等
学生观察圆周角的度数是否发生改变，同弧所对的圆周角与圆心角的关系有无变化
2、起点能力分析
学生通过前三节的学习，掌握了圆的相关概念及对称性，并具备了一定的探究及推理能力。
（二）学生可能达到的程度和存在的普遍问题：
在本节课的学习中，由于学生已经具备了一定的逻辑推理能力，可以规范的写出定理的推理过程，但是要把把射门游戏问题抽象为数学问题，主动发现通过研究圆周角和圆心角的关系解决问题，学生可能并不能很好地抽象出数学问题并快速获得感知，找到化归的方法。针对这一情况，采取的策略是在学生独立思考的基础上，让学生观察、思考、动手操作获得解决问题的方法
经历圆周角定理的探索、证明、应用的过程，养成自主探究、合作交流的学习习惯，体会类比、分类的数学思想方法
（3）情感态度与价值观
让学生在主动探索、合作交流的过程，获得成功的愉悦，体验实现价值后的快乐，锻炼锲而不舍的意志
四、教学环境
√□简易多媒体教学环境□交互式多媒体教学环境□网络多媒体环境教学环境□移动学习□其他
(2) .当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?你是如何证明的？
圆周角和圆心角的关系 教学设计
圆周角和圆心角的关系第一课时一、学情分析学生的知识技能基础：学生在上一节的内容中已掌握了圆心角的定义及圆心角的性质。
掌握了在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
初步了解研究图形的方法，如折叠、轴对称、旋转、证明等。
学生的活动经验基础：在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教材分析《圆周角与圆心角之间的关系》是北师大版九年级下册第三章第3小节的内容，是学生学习了圆心、半径、直径、弦、弧，圆心角等概念以及圆的对称性的基础上，用推理论证的方法研究圆周角与圆心角之间的关系。
它在与圆有关推理、论证和计算中应用广泛，是本章重点内容之一。
三、教学任务分析本节共分2个课时，这是第1课时，主要研究圆周角和圆心角的关系（圆周角定理），具体地说，本节课的教学目标为：知识与技能1.了解圆周角的概念。
2．理解圆周角定理的证明。
过程与方法1.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想。
2．体会由特殊到一般、分类、化归思想，并能熟练的应用“圆周角与圆心角之间的关系”进行论证和计算。
情感态度与价值观通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索问题的能力和方法。
教学重点：圆周角概念及圆周角定理。
教学难点：认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性，感悟圆周角定理证明中的分类、转化的数学思想。
三、教学过程分析本节课分为五个教学环节：创设问题情境引入新课、新知学习（关于圆周角的定义、圆周角定理）、练习、课堂小结、布置作业．第一环节（1）复习引入1.圆心角的定义?答:顶点在圆心的角叫圆心角.2.圆心角和它所对的弧的关系?答：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等。
（2）创设问题情境，引入新课通过一个视频，国足在2017年俄罗斯世预赛12强赛第6轮的比赛中战胜韩国，引出足球射门这一情景：情境：在射门游戏中，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关。
北师大版数学九年级下册3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1
北师大版数学九年级下册3.4《圆周角和圆心角的关系》教案1一. 教材分析北师大版数学九年级下册 3.4《圆周角和圆心角的关系》是本节课的主要内容。
通过本节课的学习，让学生理解圆周角和圆心角的关系，掌握圆周角定理，并能运用圆周角定理解决实际问题。
教材通过引入圆周角和圆心角的概念，引导学生探究它们之间的关系，从而发现圆周角定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了圆的基本概念，如圆的半径、直径等，对圆有一定的认识。
但学生对圆周角和圆心角的概念可能比较陌生，需要通过实例和探究活动来理解和掌握。
此外，学生需要具备一定的观察和推理能力，通过观察图形和逻辑推理来发现圆周角定理。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握圆周角定理，能运用圆周角定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的观察能力和推理能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学学习的乐趣，培养学生的探究精神和合作意识。
四. 教学重难点1.教学重点：圆周角定理的掌握和运用。
2.教学难点：圆周角定理的证明和理解。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.问题驱动法：通过提出问题，引导学生观察、思考和推理，培养学生的问题解决能力。
3.合作学习法：引导学生分组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和交流能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示圆周角和圆心角的图形和实例。
2.教学素材：准备一些相关的实例和习题，用于引导学生进行探究和练习。
3.教学工具：准备圆规、直尺等绘图工具，方便学生进行绘图和操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，如自行车轮子的转动、钟表的指针运动等，引导学生观察和思考这些现象与圆周角和圆心角的关系。
2.呈现（10分钟）呈现圆周角和圆心角的定义，引导学生理解它们的概念。
通过PPT展示一些实例，让学生观察和思考圆周角和圆心角之间的关系。
九年级数学上册《圆心角和圆周角的关系》教案、教学设计
4.应用举例：通过具体例题，展示圆心角和圆周角关系在实际问题中的应用，使学生认识到数学知识在实际生活中的价值。
（三）学生小组讨论
1.分组：将学生分成若干小组，确保每个小组内成员的数学水平相对均衡。
2.讨论主题：以圆心角和圆周角的关系为主题，让学生在小组内分享自己的发现，互相交流，共同完善圆心角和圆周角的关系。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力，他们在之前的课程中学习了角度、三角形等基本概念，为本章节的学习奠定了基础。但在圆的相关知识方面，学生们的认识可能还不够深入，对圆心角和圆周角的关系理解可能存在困难。因此，在教学过程中，要注意以下几点：
1.充分发挥学生已有的知识经验，引导他们主动发现圆心角和圆周角的关系。
五、作业布置
为了巩固学生对圆心角和圆周角知识的掌握，提高他们的实际应用能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：根据课堂所学，完成课本相关练习题，加深对圆心角和圆周角概念的理解。
（1）画出一个圆，并在圆内画出两个圆心角相等、圆周角相等的两组角，比较它们之间的关系。
（2）画出一个圆，并在圆内画出两个圆心角相等、圆周角不相等的两组角，分析原因。
2.提高拓展题：结合圆心角和圆周角的关系，解决以下实际问题。
（1）一块圆形的披萨，被切成八等份，每份的圆心角是多少度？如果切成十二等份呢？
（2）一个圆形的花坛，要将其分割成若干个扇形区域，每个区域圆心角相等，且总面积为花坛面积的一半。请问需要分割成几个区域？
3.创新研究题：以小组为单位，选择以下课题进行研究，并将研究结果以报告形式提交。
c.组织小组讨论，让学生分享自己的发现，互相交流，共同完善圆心角和圆周角的关系。
《圆周角和圆心角的关系》教学设计
圆周角和圆心角的关系（第1课时）教学目标：（一）知识与技能 1．理解圆周角定义，掌握圆周角定理.2．会熟练运用定理解决问题.（二）过程与方法经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想。
（三）情感态度价值观通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索问题的能力和方法教学重点：理解圆周角定义，掌握圆周角定理并会熟练运用定理解决问题. 教学难点：认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性教学设计第一环节知识回顾活动内容：Array1.圆心角的定义?——顶点在圆心的角叫圆心角2.圆心角的度数和它所对的弧的度数有何关系?如图：∠AOB弧AB的度数3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条、两条中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.活动目的：通过三个简单的练习，复习本章第二节课学习的同圆或等圆中弧和圆心角的关系.第二环节探究新知1活动内容：（1）问题：我们已经知道，顶点在圆心的角叫圆心角，那当角顶点发生变化时,我们得到几种情况?类比圆心角定义，得出圆周角定义：顶点在圆上,并且两边分别与圆还有一个交点的角叫做圆周角.活动目的：本环节的设置，需要学生类比圆心角的定义，采用分类讨论和类比的思想方法得出圆周角的定义.第三环节 定义的应用 活动内容：（1）练习、如图，指出图中的圆心角和圆周角 解：圆心角有∠AOB 、∠AOC 、∠BOC 圆周角有∠BAC 、∠ABC 、∠ACB活动目的：在学习了圆周角的定义后，为了下面学习圆周角的定理做铺垫，有必要先让学生熟练判断圆中哪些是同一条弧所对的圆周角，并掌握如何在比较复杂的图形中按照一定的规律寻找所有的圆周角和圆心角，这一能力对于学习后续的圆的相关证明题是很必要的.点A 在圆内点A 在圆外点A 在圆上.BOC A.B OC AO BC顶点在圆心.C .A OB圆心角圆周角第四环节 探究新知2 活动内容：（一）问题提出：当球员在B,D,E 处射门时,他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC ,∠ADC ,∠AEC .这三个角的大小有什么关系?教师提示：类比圆心角探知圆周角在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有什么关系.（二）做一做：如图,∠AOB =80°，（1）请你画出几个 所对的圆周角，这教师提示:思考圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？三种：圆心在圆周角一边上，圆心在圆周角内，圆心在圆周角外.（2）这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系? ∠AOB =2∠ACB（三）议一议:改变圆心角∠A0B 的度数，上述结论还成立吗？成立AB ⌒CC（四）猜想出圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 符号语言： （五）证明定理：已知：如图，∠ACB 是 所对的圆周角，∠AOB 是 所对的圆心角，求证：分析：1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O )在圆周角(∠ACB )的一边(BC )上时,圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 的大小关系.∵∠AOB 是△ACO 的外角∴∠AOB =∠C +∠A∵OA=OC ∴∠A =∠C∴∠AOB =2∠C2.当圆心(O)在圆周角(∠ACB )的内部时,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB 的大小关系会怎样? 老师提示:能否转化为1的情况? 过点C 作直径CD .由1可得:3.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的外部时,圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 的大小关系会怎样?12ACB AOB∠=∠AB ⌒AB ⌒12ACB AOB∠=∠12ACB AOB∠=∠即11,22ACD AOD BCD BOD∠=∠∠=∠()12ACD BCD AOD BOD ∴∠+∠=∠+∠12ACB AOB∠=∠即C●OACB老师提示:能否也转化为1的情况?过点C 作直径CD.由1可得:活动目的：本活动环节，让学生经历猜想，实验，证明这三个探究问题的基本环节，得到一般的规律.规律探索后，得出圆周角定理，并对探究过程中的三种情况逐一加以演绎推理，证明定理.第五环节 方法小结 活动内容：化归化归DD思想方法：分类讨论，“特殊到一般”的转化活动目的：通过回顾圆周角定理的证明过程，体会探究过程中的数学思想方法的运用.第六环节定理的应用 活动内容：问题回顾：当球员在B,D,E 处射门时,他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC ,∠ADC ,∠AEC .这三个角的大小有什么关系?11,22ACD AOD BCD BOD∠=∠∠=∠()12ACD BCD AOD BOD ∴∠-∠=∠-∠12ACB AOB∠=∠即连接AO 、CO ,由此得出定理：同弧或等弧所对的圆周角相等.活动目的：通过回顾之前提出的问题，直接应用圆周角定理解决问题，然后推导出另一条圆周角与弧的定理. 第七环节 课堂小结活动内容：(一) 这节课主要学习了两个知识点： 1.圆周角定义.2.圆周角定理及其定理应用.(二)方法上主要学习了圆周角定理的证明，渗透了类比，“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法.(三)圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也是中考的一个重要考点，望同学们灵活运用.活动目的：通过小结，让学生回顾本节课的学习内容，尤其是知识内容和方法内容都应该进行总结，让学生懂得，我们学习不但是学习了知识，更重要的是要学会进行方法的总结. 五、教学设计反思111,,222ABC AOC ADC AOC AEC AOC ∠=∠∠=∠∠=∠ABC ADC AEC∴∠=∠=∠。
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3.4.1圆周角和圆心角的关系
课型：新授课
授课人: XXX
教学目标：
知识与技能
1．理解圆周角定义，掌握圆周角定理.
2．会熟练运用定理解决问题.
过程与方法
在学生自主探索定理的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确学习方式.
情感态度与价值观：
培养学生的探索精神和解决问题的能力.
教学重点：经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，理解和掌握圆周角定理教学难点：渗透分类讨论、归纳等数学思想方法，培养学生的探究意识和探索新知识的能力
教法与学法指导：
本节课采用“七环节”的教学模式，学生通过直观情景观察和自己动手实验，从自己的实践中获取知识，并通过讨论、练习来深化对知识的理解．同时采用了多媒体辅助教学，一方面能够直观、生动地反映图形，增加课堂的容量；另一方面有利于突出重点、突破难点，更好地提高课堂效率。
课堂上，学生主要采用动手实践，自主探索、合作交流的学习方法，在教师的引导下从直观感知上升到理性思考。
经历观察、实验、猜想、验证、论证、归纳、
推理的学习过程，让不同层次的学生有不同的收获与发展。
课前准备：制作课件 教学过程：
一、
新课导入
在射门游戏中，球员射中球门的难易与他所处的位置B 对球门AC 的张角（∠ABC ）有关． 仅从射门角度大小考虑，谁相对于球门的角度更好呢？
生：七嘴八舌的议论起来，有的小组有争论。
师：看来大家的观点不尽相同，通过今天这节课的学习，相信大家能够准确的回答这个问题。
这节课
我们学习第三章第四节圆周角和圆心角的关系。
二、自主探究
1．圆周角的定义
师：为解决这个问题我们先来研究一种角．观察图中的∠ABC ，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？
生：它的顶点在圆上，角的两边分别与圆还有另一个交点。
师：回答的很准确，像这样的角，叫做圆周角。
师：判断下图中的角是不是圆周角？并说明理由。
生：（观察、分析，由中下游学生口答）
图（2）（4）（7）是圆周角。
师：其余为什么不是圆周角？
生：图（1）（3）的顶点不在圆上，图（5）角的两边和圆没有另一个交点，图（8）角的两边只有一
条边和圆有另一个交点。
师：对比我们学过的圆心角，哪位同学能总结出圆周角的特征？ 生：圆周角有两个特征：
①角的顶点在圆上
（1） ⑵ ⑶ ⑷ ⑸
⑹ ⑺ ⑻
A C
O
②两边在圆内的部分是圆的两条弦
师：总结的很准确，希望大家判断圆周角时牢牢把握这两点特征。
师：指出图中的圆周角
∠ACO ∠ACB ∠BCO ∠BAC ∠OAC ∠CBO ∠ABC
生：∠ACB ∠BAC ∠ABC 三个角是圆周角
三、合作竞学
2.圆周角定理
师：在⊙O 上画出几个AC 弧所对的圆周角，这几个圆周角有多少关系？这些圆周角与圆心角∠AOC 的大小有什么关系？改变∠ABC 的度数，你得到的结论还成立吗？圆周角与圆心有几种不同的位置关系呢？
生：画图与观察，讨论与交流
师：在学生讨论的基础上，出示讨论结果：
师：（1）同学们在自己所画的图中，连结OA ，OC ，则∠A OC 是什么角？ （2）在所画图中探索∠A BC 和∠A OC 之间有什么大小关系？ （组织学生思考，研讨，自我归纳结论）
师：对于从有限次实验中得出的命题，能当作定理吗？ 生：不能，必须应用学过的知识进行推理论证） 师：那么，哪一种比较特殊呢？ 生：第一种。
师：证明的结论是什么呢? 生：∠B =
1
2
∠AOC 师：你是如何证明的呢？想一想，试一试。
生：独立思考分析. 找出正确思路．一名学生上黑板演证明过程
已知：⊙O 中， 所对的圆周角是∠ABC ，圆心
角是∠AOC ．
1
（点
B 在优弧A
C 上运动）
B
求证：∠ABC＝1
2
∠AOC
证明：
∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO ∵OA＝OB
∴∠ABO＝∠BAO
∴∠AOC＝2∠ABO
即∠ABC＝1
2
∠AOC
师：我们用推理论证的方法得到了第一种情况结论是成立的，对于第二、三种情况，该如何证明呢？能利用第一种情况的结论吗？试一试，并交流自己的做法。
学生独立分析后，然后在小组内交流，最后在全班交流。
生甲：如图(1)，点O在∠ABC内部时，只要作出直径BD，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出。
由刚才的结论可知：
∠ABD＝1
2
∠AOD，∠CBD＝
1
2
∠COD
∴∠ABD＋∠CBD＝1
2
(∠AOD＋∠COD)
即∠ABC＝1
2
∠AOC
生乙：在图(2)中，当点O在∠ABC外部时，仍然是作出直径BD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可。
由前面的结果，有
∠ABD＝1
2
∠AOD，∠CBD＝
1
2
∠COD
∴∠ABD－∠CBD＝1
2
(∠AOD－∠COD)
即∠ABC＝1
2
∠AOC
师：还会有其他情况吗？请思考 生：不会有
师：经过刚才我们一起探讨，从三种位置关系证明了一个命题的正确性，因此，命题：“一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”可以作为定理来使用。
（师把前面板书中的“命题”改为“定理”并强调定理使用的前提条件是“同一条弧”） 师：在上述经历探索圆周角和圆心角的关系的过程中，我们学到了什么方法？ 生：由“特殊到一般”的思想方法，转化的方法，分类讨论的方法……
师：同学们总结得很好！由此我们可以知道，当解决一问题有困难时，可以首先考虑其特殊情形，然后再设法解决一般问题，这是解决问题时常用的策略。
今后我们在处理问题时，注意运用。
四、巩固训练
1．如图，在⊙O 中，∠BOC =50°，则∠BAC =
变式题1：如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三点，∠BAC =40°，则∠BOC = 变式题2：如图，∠BAC =40°，则∠OBC =
生1：根据一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，∠BAC ＝1
2
∠BOC ＝50°（由学困生口答）
生2：∠BOC ＝2∠BAC ＝80°
生3：先求得∠BOC ＝2∠BAC ＝80°，由OB =OC 可得∠OBC=∠OCB=50° 2.
求圆中角x 的度数
2题 3题 4题
3. 如图，在直径为AB 的半圆中，O 为圆心，C ，D 为半圆上的两点，∠COD=50°， 则∠CAD=_______
4．如图，OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，∠ AOB =2∠ BOC ，∠ ACB 与∠ BAC 的大小有什么关系？为什么？
生分析: 弧BC 所对圆周角是∠ACB , 圆心角是∠AOB .则
B
A
O 70°
x
∠ACB =
12∠AOB .，弧BC 所对圆周角是∠BAC , 圆心角是∠BOC , 则∠BAC = 1
2
∠BOC 即∵∠ACB = 1
2∠AOB
∠BAC = 1
2
∠BOC
又∵∠AOB =2∠BOC
∴∠ACB =2∠BAC
5. 如图，在⊙O 中，弦BC //半径OA ，AC 与OB 相交于M ，∠C =20°，求∠AMB 的度数。
生: (板演步骤) 解:
∵∠AOB=2∠C=40° 又∵弦BC//半径OA ∴∠CBO=∠AOB=40° ∵∠AMB 是△BMC 的外角, ∴∠AMB=∠CBO+∠C=60°
五、课堂检测
1．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠ABC =70°则∠AOC 的度数等于（ ） A.140° B.130° C.120° D.110°
,
）
B. 30 D.60°
2题 3题 4题
3. 如图，点B ，C 在⊙O 上，且BO=BC ，则圆周角∠BAC 等于（ ） A.60° B.50° C.40° D.30°
4. 如图，已知BD 是⊙O 的直径，⊙O 的弦AC ⊥BD 于点E ，若∠AOD=60°，则∠DBC 的度数为（ ） A.30° B.40° C.50° D.60°
C
B
A O
M
1题
O
C
B
A
六、畅谈收获
这节课你有哪些收获？让我们一起分享吧！.
化归
化归
D
D
思想方法：分类讨论，“特殊到一般”的转化
七、布置作业
随堂练习：1题 ； 习题3.4: 1题、2题
板书设计：
教学反思：
1、本节课力求形成“问题情景——自主探究——实践与应用”的课堂教学模式，“足球训练场上关于足球射门”的实际问题情景直指数学问题，使数学问题的形成和提出自然且亲近，让学生直观看到真实的世界中的“圆周角和圆心角”，加强学生的感性认识，让不同层次的学生充分参与到数学活动思维中来。
2、注重过程意识，通过一系列的问题链引导学生进行实践操作，观察比较，分类确认，使圆周角与圆心的位置关系形成分类这一主要难点自然形成且直观；通过电脑动感演示，为教学提供了一个宽松、愉悦的氛围，从而较好地突出了重点和突破难点，定理学完后，马上进行适当的练习加以巩固，让学生在思考与回答的过过程中轻松获取知识，形成能力。