圆周角和圆心角的关系(2)
圆周角和圆心角的关系
A
●O
2
习题1.如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径 ∠AOB=2∠BOC.
求证：∠ACB=2∠BAC.
分析:A⌒B所对圆周角是∠ACB, 圆心角是∠AOB. 则∠ACB=_1__∠AOB.
⌒BC所对圆周角是∠ BAC , 圆心角是∠BOC, 则∠ BAC=_1_2∠_ BOC
证明：∠ACB= 12∠AOB
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样
• 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角
∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样 A D
老师提示:能否转化为1的情况
C
过点B作直径BD.由1可得:
●O
∠ABD
=
1∠AOD,∠CBD
2
=1
2
∠COD,
∴ ∠ABC = 1∠AOC.
2
B
一条弧所对的圆周角等于它所
你能写出这个命题吗 对的圆心角的一半.
议一议
圆周角和圆心角的关系
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样
• 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样 A
老师提示:能否也转化为1的情况
C
过点B作直径BD.由1可得:
●O B
∠ABD
=
∠1 AOD,∠CBD
∠ A的度数。
医学资料
• 仅供参考,用药方面谨遵医嘱
猜一猜
拓展 化心动为行动
• 1.如图(1),在⊙O中,∠BAC=50°,求∠C的大小.
A
C D
B
●O
B
D
EA ●O
●O
B
C (1)
A
C
九下第三章圆4圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角定理的推论作业新版北师大版
【点拨】连接BD.∵四边形ABCD是矩形， ∴BD是⊙O的直径， ∵AB＝4，AD＝3，∴BD＝ ∴⊙O的半径为 ，∴⊙O的面积为 又∵矩形的面积为3×4＝12， ∴阴影部分的面积为 π－12.
14．【荣德原创题】如图，⊙O的内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于点E，F. (1)若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；
第三章 圆
4 圆周角和圆心角的关系
第2课时 圆周角定理的推论
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1．直径所对的圆周角是________；________3随堂练习T2变式】用直角三角尺检查半圆形的工件，下列工件合格的是( )
D
【点拨】如图，连接CO并延长，交⊙O于点E，连接AE. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA. ∵∠ACD＝∠CAB，∴∠DCA＝∠ACO. ∴AE＝AD＝2. ∵CE是直径，∴∠EAC＝90°. 在Rt△EAC中，AE＝2，AC＝4，
13．【2023·重庆】如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)
请利用上述两个问题的方法和结论，完成下面的综合问题： (3)如图③，⊙O的直径为 ，弦AB⊥弦CD于点E，连接AD，BC，若AD＝4，求BC的长，请写出解题过程．
解：如图③，连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，DF. ∵AF为直径，∴AB⊥BF，∠ADF＝90°.
∴BC＝1.
外接圆
互补
6．【2022·宜昌】如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C＝110°，则∠OBD＝( ) A．15° B．20° C．25° D．30°
3.3圆心角与圆周角的关系(2)
课题名称3.3 圆周角和圆心角的关系（2）教学目标:(一)知识目标1、掌握圆周角定理几个推论的内容．2、会熟练运用推论解决问题．(二)能力目标1、培养学生观察、分析及理解问题的能力．2、在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．(三)情感与价值观培养学生的探索精神和解决问题的能力.教学重点:圆周角定理几个推论的应用.教学难点:理解几个推论的”题设”和”结论”．教学方法:指导探索法.教学过程:一、回顾交流，拓展延伸：1、圆周角定理：_____________________________________。
2、观察下图，∠ABC，∠ADC，和∠AEC有什么共同特征？它们的大小有什么关系？为什么？结论：_____________________________________3、如下图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角，还是钝角?你是如何判断的?结论：_____________________________________4、如下图，圆周角∠BAC=90°，弦BC经过圆心O吗？为什么？结论：_____________________________________二、例题讲解，知识应用：例1、如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?解：（例2题图）例2、船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么?(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么?三、随堂练习：1、为什么有些电影院的座位排列（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理性。
弦所对的圆周角和圆心角的关系
弦所对的圆周角和圆心角的关系大家好，今天咱们来聊聊一个有趣的几何问题：弦所对的圆周角和圆心角的关系。
听到这儿，不要慌，别以为这是数学的“噩梦”，其实这就是咱们在数学里碰到的那些小秘密。
想象一下，你在一个大圆圈里，有一个弦，哦，就是那种连接圆上两点的线段。
那么，这条弦所对的圆周角和圆心角之间，到底有什么秘密关系呢？让我给大家掀开这层神秘的面纱。
首先，咱们得从圆心角说起。
圆心角，顾名思义，就是从圆心出发的角度，它的顶点正好在圆心上。
这角度的意思就是从圆心看向圆上的两个点，形成的那个角度。
是不是有点像你在玩飞镖，瞄准一个靶心，然后投掷飞镖？那个角度就是你弯腰的角度，不同的角度，飞镖飞出去的轨迹就不一样，对吧？好了，咱们知道了圆心角的定义，接下来就是要谈谈圆周角了。
圆周角听起来有点像是圆心角的“小弟弟”，它的顶点不在圆心上，而是在圆周上。
简单来说，圆周角就是那些由弦所形成的角度。
想象一下，你站在圆的边缘，看看圆上的弦，然后对着这个弦产生的那个角度，这就是圆周角。
也许你会觉得，这个角度和圆心角之间好像没啥联系，但其实，它们之间有个绝对的关系，那就是圆心角是圆周角的两倍。
这就像你和你的小伙伴一起吃大餐，你吃的比他多，但他觉得也不差，因为他正好可以尝到你喜欢的那些美味，哇，这真是个绝妙的“吃货”组合。
接下来，让我们来个小实验。
假如你在一个大圆上选取两点A和B，然后画一条弦AB。
如果我们在圆心O画出两个线段OA和OB，就形成了一个圆心角，而弦AB对面的圆周角就是圆心角的一半。
这就像你把一个蛋糕切成两半，一半就是你的，一半就是你朋友的，你们分得均匀，不觉得这是个公平的交易吗？所以，你可以发现，无论圆心角多么大，圆周角永远只有圆心角的一半。
这就像你去参加生日派对，即使蛋糕有多大，你总是只能分到那一小块，别想太多。
更有趣的是，这种关系在不同的圆中都是适用的。
无论你走到哪儿，画个圆，选取一条弦，它对面的圆周角总是圆心角的一半。
圆周角与圆心角、弧的关系
(教案)圆周角与圆心角、弧的关系一、知识讲解：1．圆周角与圆心角的的概念：顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。
5．圆的内接四边形对角之和是180度。
6．弧的度数确实是圆心角的度数。
解题思路：1．已知圆周角，能够利用圆周角求出圆心角2．已知圆心角，能够利用圆心角求出圆周角3．已知直径和弧度，能够求出圆周角与圆心角1.圆周角与圆心角的定义顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。
注意圆周角定义的两个差不多特点：(1)顶点在圆上；(2)两边都和圆相交。
二、教学内容【1】圆心角：顶点在圆心的角。
利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个差不多特点：练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．【2】明白得圆周角定理的证明一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。
已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，求证：∠BAC= 1/2∠BOC.分析：通过图形的演示指导学生进一步去查找圆心O与∠BAC的关系本题有三种情形：（1）圆心O在∠BAC的一边上 O（2）圆心O在∠BAC的内部（3）圆心O在∠BAC的外部 B D C●假如圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明●假如圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将那个角转化为上述情形的两个角的和或差即可证明:圆心O在∠BAC的一条边上 AOA=OC==>∠C=∠BAC∠BOC=∠BAC+∠C O==>∠BAC=1/2∠BOC. B C【3】圆周角与圆心角的关系（1）．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
3.3_圆周角和圆心角的关系(2)
C
老师期望: 你可要理 解并掌握 这个模型.
●
O
B
即
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于 它所对的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系
演示
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
条件：圆周角与圆心角对同一条弧。 结论：圆周角是圆心角的一半。
老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
思考与巩固
1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.
1 解: ∠A= ∠BOC=25°. 2
A B C
●
O
练习、在下列各图中， ∠α １＝ 150° ，∠α ２＝ 60°，
C 返回
D
B
总结：圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半.
推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90度的圆周角所对的弦是直径。
推论3： 圆内接四边形对角互补。 对角互补的四边形内接于圆。
探究：直径或半圆所对的圆周角的度数 1、探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？ 2、90°的圆周角所对的弦是否是直径？ 线段AB是⊙O的直径，点C是 ⊙O上任意一点（除点A、B）， 那么，∠ACB就是直径AB所对的圆 周角.想想看，∠ACB会是怎么样 的角？为什么呢？
3.3 圆周角和圆心角 的关系
圆周角和圆心角的关系PPT课件(北师大版)
4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上， ∠ADC＝54°，则∠BAC的度数等于_______36°
5．如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，CD是直径，∠B＝40°，则 ∠ACD的度数是_5_0_°_．
6．(202X·温州模拟)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至 点D，使DC＝CB.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE. (1)求证：∠B＝∠D； (2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．
解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.∵CD＝CB， ∴AD＝AB，∴∠B＝∠D (2)设 BC＝x，则 AC＝x－2.在 Rt△ABC 中， AC2＋BC2＝AB2，∴(x－2)2＋x2＝42，解得 x1＝1＋ 7，x2＝1－ 7(舍 去)．∵∠B＝∠E，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE.∵CD＝CB，∴CE＝CB ＝1＋ 7
︵︵ 9．如图，已知∠EAD 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，并且BD＝DC. 求证：AD 平分∠EAC.
解：∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，∴∠EAD＝∠DCB.又∵B︵D＝D︵C， ∴∠DAC＝∠DCB.∴∠EAD＝∠DAC，∴AD 平分∠EAC
10．(202X·安徽模拟)如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的 点．在下列判断中，不正确的是( C ) A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形 B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30° D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
第三章 圆
圆心角与圆周角的关系证明
圆心角与圆周角的关系证明要讨论圆心角与圆周角的关系，我们首先得了解这两个角的基本概念。
想象一下，我们站在一个圆的中心，眼前是一个大大的披萨（谁不喜欢披萨呢？），这个披萨的每一片都能代表一个圆心角。
圆心角就是从圆心出发，连接到圆的两边形成的那个角。
听起来是不是很简单？但别小看这个角，它可是有很多有趣的性质，尤其是与圆周角的关系。
接下来，我们聊聊圆周角。
圆周角就像是坐在披萨边缘的朋友，虽然离圆心远了一点，但它的工作同样重要。
简单来说，圆周角是圆周上某一段的端点与圆心之间形成的角。
这里面有个有趣的点：圆心角的度数和它对应的圆周角的度数是有关系的。
让我们用个小例子来说明吧：假设你有一个圆心角为60度的角，那么对应的圆周角就只有30度。
这是不是听起来很神奇？像是魔术一样，让人忍不住想要深入探讨。
在数学上，这种关系其实是有一定规律的。
我们可以用公式来简单地表示：圆周角= 1/2 × 圆心角。
也就是说，圆心角总是圆周角的两倍！如果你把这个关系想象成一对好朋友，那圆心角就像是个大嘴巴，总是说个不停，而圆周角则比较安静，时不时插一句。
这样的搭配，简直就是天生一对！要想彻底理解这个关系，我们可以借助几何图形来更直观地观察。
画个圆，标出圆心，接着在圆的边缘上找两个点。
用直线连接这两个点到圆心，再在这两个点之间的圆周上找一个点，看看你能形成什么样的角。
这时，你会发现无论你如何移动这些点，圆心角的度数永远是圆周角的两倍。
就像那句老话，“不怕慢，就怕站”，只要我们不停地探索，就总能找到答案。
当然，实际生活中，这个关系也会有很多应用，比如在建筑设计、机械工程等等领域。
想象一下，如果没有这个关系，建筑师们的设计图纸可能会变得乱七八糟，大家都搞不清楚哪个角应该怎么测量，最后建出来的房子可能会歪歪扭扭的，那可就闹笑话了。
可见，圆心角和圆周角的和谐关系在生活中是多么的重要！所以，朋友们，记住这段关系吧。
圆心角和圆周角就像是数学世界里的好搭档，无论走到哪里，它们都携手并进。
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定理
推 论
直径所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径．
C2 C1 C3
A
·
O
B
【例1】如图，AB为⊙O直径，BD是⊙O的弦， 延长BD到C，使AC=AB。BD与CD的大小有什么 关系？为什么？
4、如图，∠ BCD=100°，则∠BOD=___, ∠BAD=___,
四边形ABCD叫圆内接四边形。
【例 2】如图，△ABC中，D为AB中点，CD等于 推论：如果三角形一边上的中线等于这边的 AB 的一半，求证：△ABC为Rt△ 一半，那么这个三角形是直角三角形。
D
A
定
理
C O
在同圆或等圆中:同弧或等弧所 对的圆周角相等，都等于这条弧所 对的圆心角的一半．
推 论
A C1
·
B
E
C2 C3
直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径．
定
理
5、如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
圆内接四边形的对角互补。 求证：∠ A+∠C=180°
一条弦所对的圆心角有_______个. 一条弦所对的圆周角有_______个. ⊙O的半径为6，弦AB长为6。求弦AB所对 圆心角的度数为 ，所对圆周角度 数为 。
6、弦AB所对的圆心角∠AOB=100°，求 弦AB所对的圆周角的度数？
一条弧所对的圆心角有 1 个. 一条弧所对的圆周角有 无数 个.
定 理
同弧或等弧所对的圆周角相等，都等 于这条弧所对的圆心角的一半．
D A C
O
·
B
E
1、说出图中相等的圆周角。
2、如图，已知△ABC内接⊙O，∠A=30°， BC=2.8cm，求⊙O直径长。
3、如图，AB为⊙O直径，∠ACB为多少度？
C2 C1 C3
A
·
O
B
【4】如图,OA是⊙O的半径,以OA为直径的⊙C
与⊙O 的弦AB 相交于点D.
求证:D 是AB的中点.
【5】如图，AD是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径，求证：∠BAE=∠DAC.
【6】AB是⊙O的直径,点C在圆上,∠BAC 的平分 线交圆于点E,OE交BC于点H,已知AC=6,AB=10,
D A C O
·
B
E
【1】如图：求∠A +∠ B+∠ C+∠D+ ∠E=
.
【2】如图，P是△ABC的外接圆上的一点 ∠APC=∠CPB=60°。 求证：△ABC是等边三角形
【3】如图,∠A是⊙O的圆周角。 若∠B=250,∠C=200,求∠BOC的度数。
A O
B
C
定理
推 论
半圆（或直径）所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径．
求HE的长.
BC AB AC 10 6 8
∵CD平分∠ACB，
O
·
. AD BD
∴AD=BD. 又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
D
2 2 AD BD AB 10 5 2(cm) 2 2
定
理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角 的一半．
O
·
B
定
理
圆内接四边形 的对角互补。
定
理
C
如果三角形一边上的中线等 于这边的一半，那么这个三角形 是直角三角形．
A O
B
例3 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分 线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 解：∵AB是直径， C ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． 8 6 在Rt△ABC中， 10 A B 2 2 2 2