圆周角和圆心角的关系

●
议一议
圆周角和圆心角的关系
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? • 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A D

老师提示:能否转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得:
●
C
O
∠ABD = 2∠AOD,∠CBD = 1 ∠COD,
3.3 圆周角和圆心角的 关系(1)
大兴学校 卿丽萍
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
D B C O A
B
B' O'
O
A
A'
在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
D B C O A
B
B' O'
O
A
A'
在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、 两条弧、 两条弦 中有一组量相等， 中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量都分别相等
A A A
C
●
C
●
C
B
●
O
O
O
B

B
为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆 周角和圆心角之间有的关系.
议一议
圆周角和圆心角的关系
A
• 如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC, 它们的大小有什么关系? • 说说你的想法,并与同伴交流.
A
C
●
C
●
A C B
●
O B
O
O
B

教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
O C
.
练习： 1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
不是
图１
是
图３
不是
图２
不是
图４
不是
图５
2、指出图中的圆周角。
A
⌒
有没有圆周角？ 有没有圆心角？ 它们有什么共同的特点？
O B C
它们都对着同一条弧所对的
⌒
下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC 和圆周角∠A是同对一条弧。
A
A D

习题1.如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径 ∠AOB=2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明： ∠ACB= 1∠AOB 2 1 ∠BAC= ∠BOC 2 ∠AOB=2∠BOC ∠ACB=2∠BAC A
2
O
C
B 规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出 同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理
思考题：如图，在⊙O中,
︵
︵
CE=BD, DE=2BC， ∠ EOD=64°，求∠ A的度 数。
E
C
A
B
O
D
一 、这节课主要学习了两个知识点： 1、圆周角定义。
2、圆周角定理及其定理应用。
二、方法上主要学习了圆周角定理的证 明渗透了“特殊到一般”的思想方法和 分类讨论的思想方法。 三、圆周角及圆周角定理的应用极其广 泛，也是中考的一个重要考点，望同学 们灵活运用
A C
●
A
2
A
C
●
C B
●
O
O
O
B

B
老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
练习：
1.求圆中角X的度数
C
D
120°
O A C
O
.
B
C A
70° x
O X
.
B
B
A
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。 130° 3、 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半 圆上的两点，∠COD=500，则∠CAD=_________
C
A
●
O
1 ⌒ ___ 分析:AB所对圆周角是∠ACB, 圆心角是∠AOB. 则∠ACB= ∠AOB. 2 1 ___ ⌒ BC所对圆周角是∠ BAC , 圆心角是∠BOC, 则∠ BAC= ∠BOC
习题1.如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径 ∠AOB=2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
B
●
C
O

∠ABD = ∠AOD,∠CBD = 1∠COD, 2
2
1
∴
∠ABC = ∠AOC.
2
1
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
议一议
圆周角定理
• 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是 :
• 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.即 ∠ABC = 1∠AOC.
证明： ∠ACB= 1∠AOB 2 1 ∠BAC= ∠BOC 2 ∠AOB=2∠BOC ∠ACB=2∠BAC A
2
O
C
B 规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出 同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理
1 ⌒ ___ 分析:AB所对圆周角是∠ACB, 圆心角是∠AOB. 则∠ACB= ∠AOB. 2 1 ___ ⌒ BC所对圆周角是∠ BAC , 圆心角是∠BOC, 则∠ BAC= ∠BOC
议一议
圆周角和圆心角的关系
• 1.首先考虑一种特殊情况： • 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 A ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系. C ∵∠AOC是△ABO的外角， 老师期望: ∴∠AOC=∠B+∠A. 你可要理 O ∵OA=OB， 解并掌握 ∴∠A=∠B. 这个模型. B ∴∠AOC=2∠B. 1 即 ∠ABC = ∠AOC. 一条弧所对的圆周角等于它所 2 对的圆心角的一半. 你能写出这个命题吗?
猜一猜
拓展 化心动为行动
A B
●
• 1.如图(1),在⊙O中,∠BAC=50°,求∠C的大小.
D O O C E A C O
●
B
B
D A
●
(3) (2) 2.如图(2),在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系? 为什么? 3.如图(3),AB是直径,你能确定∠C的度数吗?
C (1)
练习： 4、AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使 AD=AB，如果∠ADB=350，求∠BOC的度数。 ⌒ ⌒ 5、如图，在⊙O中，BC=2DE， ∠ BOC=84°，求 ∠ A的度数。
在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的 弧的度数相等。
点与圆的位置关系有哪些? 当角的顶点发生变化时，这个角的位置有哪几种情况?
圆周角
A
A
.
.
A
. O .
C B
O C B
.
O
.
B
C
圆周角定义: 顶点在圆上,
并且两边都和圆相交的角
叫圆周角.
特征：
A
① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交. B
2
1
∴ ∠ABC = ∠AOC.
2
1
B
一条弧所对的圆周角等于它所 你能写出这个命题吗?对的圆心角的一半.
议一议
圆周角和圆心角的关系
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? • 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A

老师提示:能否也转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得:
1.圆心角的定义? 答:顶点在圆心的角叫圆心角.
B
O
.
C
在同圆或等圆中，
圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系
我们把顶点在圆心的周角等 分成360份时，每一份的圆心角是 1°的角。 因为同圆中相等的圆心角所 对的弧相等，所以整个圆也被 等分成360份。我们把每一份这 样的弧叫做1°的弧。
B O
.
C
做做看，收获知多少？
一、判断 1、顶点在圆上的角叫圆周角。 ×
√ 2、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。
二、计算 1、半径为R的圆中，有一弦分圆周成1：2两
B
O
.
部分，则弦所对的圆周角的度数是 60°或120° 。 2、如图,在⊙O中,∠BOC=50°, 求∠A的大小. 1 解: ∠A= ∠BOC = 25°. 2
O B
A O
O
C
A O
B
C
A O
D
B
C
B
C
B
C
自己动手量一量同一条弧所对的圆心角和 圆周角分别是多少度？
A
A O
O B C
B C
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
想一想
类比圆心角探知圆周角
• 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等. • 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？