2019-2020学年北京四中高二(上)期中数学试卷-含详细解析
2019-2020学年北京四中高二年级第一学期期中考试
数学试卷 2019.11
一、选择题（本大题共13小题，共62.0分）
1.不等式x?3
x+2
<0的解集为()
A. {x|?2 B. {x|x C. {x|x3} D. {x|x>3} 2.已知数列{a n}满足a n+1=a n+n，且a1=2，那么a3=() A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3.下列命题中的假命题是() A. ?x∈R，x3>0 B. ?x∈R，使tanx=2 C. ?x∈R，2x>0 D. ?x∈R，使lgx=0 4.已知等差数列{a n}中，a1=?1，公差d=2，则{a n}的前5项和等于() A. ?15 B. ?17 C. 15 D. 17 5.若a A. a2 B. a b <1 C. 1 a <1 b D. 1 a >1 b 6.“x2=4”是“x=2”成立的() A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是() A. a2+b2>2ab B. a+b≥2√ab C. 1 a +1 b > √ab D. b a +a b ≥2 8.等差数列{a n}前n项和为S n，a4+a6=?6，a1=?11.则当S n取最小值时，n=() A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 9.函数y=tanx+9 tanx (π 2 A. 6 B. 9 C. ?6 D. ?9 10.已知常数k∈(0,1)，数列{a n}满足a n=n?k n(n∈N?).下面说法正确的是() ①当k=1 2 时，数列{a n}为递减数列； ②当0 2 时，数列{a n}为递减数列； ③当1 2 ④当k 1?k 为正整数时，数列{a n}必有两项相等的最大项． A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 11.若m<0，n>0且m+n<0，则() A. m B. ?n C. m D. ?n 12.设{a n}是等差数列，{b n}为等比数列，其公比q≠1，且b n>0(n=1,2，3，…).若 a1=b1，a11=b11，则a6与b6的大小关系为() A. a6>b6 B. a6=b6 C. a6 D. a6≥b6 13.已知数列{a n}满足a n+1+a n=4n+3，且a1=2，则a1+a2020=() A. 4043 B. 4046 C. 4047 D. 4049 二、填空题（本大题共9小题，共36.0分） 14.命题“?x∈R，x2?1>0”的否定是______． 15.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2?a5=0，则公比q=______，S4 S2 =______． 16.若正数a，b满足1 a +4 b =1，则a+b的最小值等于______． 17.已知函数f(x)的对应关系如表所示： 数列{a n}满足a1=3，a n+1=f(a n)，则a4=______，a2019=______． 18.能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a+b>c”是假命题的一组 整数a，b，c的值依次为______． 19.已知数列{a n}满足a n=4S n?3，n∈N?，则a1+a3+a5+?+a2n+1=______． 20.已知a>0，b>0，不等式?b<1 x 21.已知a>b>0，则a2?4 b2?ab 的最小值是______． 22.有穷数列{a n}(n∈N?,n≤12)满足|a n+1?a n|=1，且a1，a4，a12成等比数列．若 a1=1，a12=4，则满足条件的不同数列{a n}的个数为______． 三、解答题（本大题共5小题，共52.0分） 23.已知{a n}为等差数列，且a3=6，a6=0． (Ⅰ)求{a n}的通项公式； (Ⅱ)若等比数列{b n}满足b1=3，b2=a4+a5，求{b n}的前n项和公式． 24.已知函数f(x)=x2+ax?4． (Ⅰ)当a=3时，解不等式f(x)<0； (Ⅱ)若不等式f(x)+5>0的解集为R，求实数a的取值范围． 25.已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b5=81，a1=b1，a14=b4． (Ⅰ)求{a n}的通项公式； (Ⅱ)设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n． 26.已知二次函数f(x)=ax2+bx，f(?1)=?4，恒有f(x)≤6x+2.数列{a n}满足 (n∈N?)． a n+1=f(a n)，且0 2 (Ⅰ)求f(x)的解析式； (Ⅱ)证明：数列{a n}单调递增； (Ⅲ)记πn i=1a i =a1a2…a n，若a1=1 3 ，求πn i=1(1?2a i). 27.给定数列a1，a2，…，a n.对i=1，2，3，…，n?1，该数列前i项的最大值记为A i， 后n?i项a i+1，a i+2，…，a n的最小值记为B i，d i=A i?B i． (Ⅰ)设数列{a n}为3，4，7，1.写出d1，d2，d3的值； (Ⅱ)设a1，a2，…，a n(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1>0.证明d1，d2，…， d n?1是等比数列； (Ⅲ)若d1=d2=?=d n?1=0，证明{a n}是常数列． 2019-2020学年北京四中高二年级第一学期期中考试 数学试题参考答案 1.【答案】A <0，得到(x?3)(x+2)<0 【解析】解：∵x?3 x+2 即x?3>0且x+2<0解得：x>3且x 或x?3<0且x+2>0，解得?2 所以不等式的解集为?2 故选A 本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论x的值即可得到解集． 本题主要考查学生求不等式解集的能力，是一道基础题． 2.【答案】B 【解析】解：数列{a n}满足a n+1=a n+n，且a1=2， 当n=1时，a2=a1+1=3， 当n=2时，a3=a2+2=5， 故选：B． 直接利用数列的递推关系式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 3.【答案】A 【解析】解：对于A，当x=0时，x3=0，与x3>0矛盾；故A为假命题； 对于B，由于正切函数值域为R，故?x∈R，使tanx=2正确，故B为真命题； 对于C，由于指数函数值域为(0,+∞)，故?x∈R，2x>0正确，故C为真命题； 对于D，当x=1时，使lg1=0，故?x∈R，使lgx=0正确，故D为真命题． 故选：A． 对于全称命题，若为假命题，举反例即可，若为真命题，需证明；对于特称命题，若为真命题，举例即可，若为假命题，需要证明． 根据含量词的命题判断方法逐一判断即可． 本题考查了含量词的命题的真假的判断，属于基础题． 4.【答案】C 【解析】解：∵等差数列{a n}中，a1=?1，公差d=2， ∴{a n}的前5项和为： S5=5×(?1)+5×4 2 ×2=15． 故选：C． 等差数列{a n}中，由a1=?1，公差d=2，能求出{a n}的前5项和． 本题考查等差数列的前5项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5.【答案】D 【解析】解：a 若a=?2，b=?1，则a b =2>1，故B不成立， 1 a ?1 b =b?a ab >0，故C错，D对， 故选：D． 利用不等式的性质，作差法，举特例法，a 即a2>b2，故A错，若a=?2，b=?1，则a b =2>1，故B不成立，1 a ?1 b =b?a ab >0， 故C错，D对，故选：D． 考查了不等式的性质，用了作差法，举特例法等数学方法，基础题．6.【答案】B 【解析】解：由x2=4得x=2或x=?2， 则“x2=4”是“x=2”成立的必要不充分条件， 故选：B． 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础． 7.【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查基本不等式，属于基础题． 利用基本不等式需注意：各数必须是正数，而不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R． 【解答】 解：对于A，a2+b2≥2ab，所以A错； 对于B，C，ab>0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，a+b<2√ab，1 a +1 b < ab ， 所以B，C错; 对于D，因为ab>0，所以b a >0,a b >0，b a +a b ≥2，当且仅当b a =a b 时等号成立，所以D 正确， 故选D． 8.【答案】A 【解析】 a1=?11,【分析】 此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道基础题．根据等差数列的性质化简a4+a6=?6，得到a5的值，然后根据a1的值，利用等差数列的通项公式即可求出公差d的值，根据a1和d的值写出等差数列的通项公式，进而写出等差数列的前n项和公式S n，配方后即可得到Sn取最小值时n 的值． 【解答】 由a4+a6=2a5=?6，解得a5=?3，又a1=?11， ∴a5=a1+4d=?11+4d=?3，解得d=2， 则a n=?11+2(n?1)=2n?13， ∴S n=n(a1+a n) 2 =n2?12n=(n?6)2?36， ∴当n=6时，S n取最小值． 故选：A． 9.【答案】C 【解析】解：函数y =tanx +9tanx (π 2 tanx ≥2√9=6， 当且仅当tanx =?3成立， 所以tanx +9 tanx ≤?6， 故选：C ． 函数y =tanx +9 tanx (π 2 tanx ≥2√9=6，得出结论． 考查基本不等式的应用，基础题． 10.【答案】C 【解析】解：①当k =12时，a 1=12,a 2=2×(12)2=1 2，所以数列{a n }不是递减数列，①不正确； ②当0 2时，a n+1a n = (n+1)k n+1 nk n = k(n+1)n n+1≤1，即a n+1 数列，②正确； ③当12 n+1 a n = (n+1)k n+1 nk n = k(n+1)n ，则k < k(n+1)n <2k ，例如取k =7 8，则a 7=a 8 且为最大项，③错误； ④ a n+1a n = (n+1)k n+1 nk n = k(n+1)n ， 当k 1?k 为正整数时，1>k ≥1 2， 当k =1 2时，a 1=a 2>a 3>a 4>?…… 当1 2 1?k =m ，解得k =m m+1； 则 a n+1a n = (n+1)k n+1 nk n = k(n+1)n =(n+1)m n(m+1)， 当n >1，数列{a n }单调递增； 当n >m 时， a n+1a n <1，数列{a n }单调递减； 当n =m 时，a n+1=a n ； 所以数列{a n }必有两项相等的最大项；④正确； 故选：C ． 直接用作商比较法计算 a n+1a n = (n+1)k n+1 nk n = k(n+1)n ，对k 的范围进行讨论，得到数列{a n }的 单调性． 本题考查数列的增减性，作商法比较大小，属于难题． 11.【答案】A 【解析】解：由m<0，得?m>0，? n>0，得?n<0， 由m+n<0，?m>n>0，0>?n>m， 所以m 故选：A． 由m<0，得?m>0，?n>0，得?n<0，由m+n<0，?m>n>0，0>?n>m，所以由不等式的传递性得，m 考查不等式的性质，不等式的传递性等，基础题． 12.【答案】A 【解析】解：由题意可得a1+a11=b1+b11=2a6． ∵公比q≠1，b i>0，∴b1+b11>2√b1b11=2b6， ∴2a6>2b6，即a6>b6， 故选：A． 由题意可得a1+a11=b1+b11=2a6，再由b1+b11>2√b1b11=2b6，从而得出结论．本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的定义和性质，基本不等式的应用，属于基础题． 13.【答案】A 【解析】解：数列{a n}满足a n+1+a n=4n+3①，则a n+2+a n+1=4n+7②， ②?①得a n+2?a n=4(常数)， 所以数列{a n}的奇数项和偶数项公差都为4的等差数列． 由于a1=2， 所以a1+a2=7，解得a2=5， 所以a n={2n(n为奇数) 2n+1(n为偶数) ． 所以a1+a2020=2+2×2020+1=4043．故选：A． 直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用通项公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 14.【答案】?x∈R，x2?1≤0 【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“?x∈R，x2?1>0”的否定是：?x∈R，x2?1≤0． 故答案为：?x∈R，x2?1≤0． 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题． 15.【答案】2 5 【解析】解：∵等比数列{a n}中8a2?a5=0，设首项为a1， ∴a5 a2=a1q4 a1q =q3=8， ∴q=2， ∴由等比数列前n项和公式得：S4 S2= a1(1?q4) 1?q a1(1?q2) 1?q =1?24 1?22 =22+1=5， 故答案为：2；5． 利用递推式8a2?a5=0根据等比数列的定义得到公比q，设该数列首项为a1，利用前n 项和公式求解． 本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式，是基础的计算题． 16.【答案】9 【解析】解：若正数a，b满足1 a +4 b =1， 则(a+b)(1 a +4 b )≥(1+2)2=9， 当且仅当a=2b=9时，取等号，故答案为：9． 若正数a，b满足1 a +4 b =1，则(a+b)(1 a +4 b )≥(1+2)2=9，得出结论． 考查基本不等式的应用，本题用了柯西不等式，基础题．17.【答案】3 1 【解析】解：由函数对应关系得a1=3，a2=f(a1)=f(3)=2， a3=f(a2)=f(2)=1， a4=f(a3)=f(1)=3， 则a4=a1， 则数列{a n}的周期是3， 则a2019=a672×3+3=a3=1， 故答案为：3，1 根据函数与数列的对应关系，进行递推，得到数列{a n}是周期为3的周期数列，结合数列的周期性进行转化求解即可． 本题主要考查函数与数列的综合，结合数列的递推关系，得到数列{a n}是周期为3的周期数列是解决本题的关键．考查学生的运算推理能力． 18.【答案】?1，?2，?3 【解析】 【分析】 本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题． 直接举例即可，本题答案不唯一． 【解答】 解：设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a+b>c”是假命题， 可设a，b，c的值依次?1，?2，?3，(答案不唯一)， 故答案为?1，?2，?3． 19.【答案】9 8?1 8?9n 【解析】解：数列{a n}满足a n=4S n?3，n∈N?，可得n=1时，a1=4S1?3=4a1?3，即a1=1，当n≥2时，a n?1=4S n?1?3，又a n=4S n?3，两式相减可得a n?a n?1=4(S n?S n?1)=4a n， 可得a n=?1 3a n?1，可得{a n}为首项为1，公比q为?1 3 的等比数列， 则a n=a1q n?1=(?1 3 )n?1， 可得a1，a3，a5，…，a2n+1为首项为1，公比为1 9 的等比数列， 则a 1+a 3+a 5+?+a 2n+1=1? 19n+11?19 =98?1 8?9n ． 故答案为：9 8?1 8?9n ． 运用数列的递推式：n =1时，a 1=S 1，n ≥2时，a n =S n ?S n?1，结合等比数列的定义和通项公式，可得a n =(?1 3)n?1，可得a 1，a 3，a 5，…，a 2n+1为首项为1，公比为1 9的等比数列，由等比数列的求和公式，可得所求和． 本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题． 20.【答案】(?∞,?1b )∪(1 a ,+∞) 【解析】解：∵?b <1 x x +b >0且1 x ?a <0， ∵b >0，由 1+bx x >0，解得x >0或x b ；① 1x ?a <0，得 1?ax x <0? ax?1x >0，∵a >0， ∴x >1 a 或x <0；② 由①②得：x >1 a 或x b ； ∴不等式?b <1 x b )∪(1 a ,+∞)． 故答案为：(?∞,?1 b )∪(1 a ,+∞)． 在a >0，b >0的条件下将?b <1 x < a 转化为{1+bx x >0 1?ax x <0 即可求得答案． 本题考查分式不等式组的解法，将?b <1