专题四 等价转化(化归)思想
函数导数中双变量问题的四种转化化归思想-厦门一中
处理函数双变量问题的六种解题思想吴享平（福建省厦门第一中学）361000在解决函数综合题时，我们经常会遇到在某个范围内都可以任意变动的双变量问题，由于两个变量都在变动，因此不知把那个变量当成自变量进行函数研究，从而无法展开思路，造成无从下手的之感，正因为如此，这样的问题往往穿插在试卷压轴题的某些步骤之中，是学生感到困惑的难点问题之一，本文笔者给出处理这类问题的六种解题思想，希望能给同学们以帮助和启发。
一、改变“主变量”思想例１.已知时在｜2|,1)(2≤≥-+=m m mx x x f 恒成立，求实数x 的取值范围.分析：从题面上看，本题的函数式)(x f 是以x 为主变量，但由于该题中的“恒”字是相对于变量m 而言的，所以该题应把m 当成主变量，而把变量x 看成系数，我们称这种思想方法为改变“主变量”思想。
解： 01)1(122≥-+-⇔≥-+x x m m mx x 时在｜2|≤m 恒成立，即关于m 为自变量的一次函数=)(m h 1)1(2-+-x m x 在]2,2[-∈m 时的函数值恒为非负值{0)2(0)2(≥-≥⇔h h 得{1301203222≥-≤⇔≥+-≥-+x x x x x x 或。
对于题目所涉及的两个变元，已知其中一个变元在题设给定范围内任意变动，求另一个变元的取值范围问题，这类问题我们称之为“假”双变元问题，这种“假”双变元问题，往往会利用我们习以常的x 字母为变量的惯性“误区”来设计，其实无论怎样设计，只要我们抓住“任意变动的量”为主变量，“所要求范围的量”为常数，便可找到问题所隐含的自变量，而使问题快速获解。
二、指定“主变量”思想例２.已知,0n m <≤试比较)1ln(++-m e m n 与)1ln(1++n 的大小，并给出证明.分析：本题涉及到两个变量m,n ，这里不妨把m 当成常数，指定n 为主变量x ，解答如下解：构造函数),[),1ln(1)1ln()(+∞∈+--++=-m x x m e x f m x ，0≥m ， 由0)1()1(1111)(>+-+=+-=+-='-m mx m x m x ex e e x x e e x e x f 在),[+∞∈m x 上恒成立，∴)(x f 在),[+∞m 上递增，∴0)()(min ==m f x f ，于是，当n m <≤0时，0)1ln(1)1ln()(>+--++=-n m e n f m n 即)1ln(++-m e m n >)1ln(1++n 。
六大数学思想之四：转化与化归_最新修正版
六大数学思想之四：转化与化归1.什么是转化与化归？转化与化归思想方法是解决数学问题的一种重要思想方法，转化与化归思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，学会用化归与转化的思想方法分析问题、处理问题有着十分重要意义。
化归与转化是通过某种转化过程，把待解决的问题或未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题或者容易解决的问题的一种重要的思想方法。
通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。
2. 转化与化归的主要方式：1、等价转化，2、空间图形问题转化为平面图形问题，3、局部与整体的相互转化，4、特殊与一般的转化，5、非等价转化，6、换元、代换等转化方法的运用，7、正与反的转化,8、数与形的转化，9、相等与不等的转化,10、常量与变量的转化、11、实际问题与数学语言的转化等.3.转化与化归思想的原则：(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决．题型一正难则反的转化：Esp1：已知集合A＝{x∈R|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x∈R|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．解 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}， 即U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}．若方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均为非负，则⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2＝4m ≥0，⇒m ≥32，x 1x 2＝2m ＋6≥0所以使A ∩B ≠∅的实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}．Esp2: 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是__________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立． 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立，所以m ＋4≥2t－3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.所以使函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.题型二 函数、方程、不等式之间的转化：解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．Esp3: 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……)(1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)(n ∈N *)．(1)解 ∵g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)，∴g ′(x )＝1x－1(x >0)．令g ′(x )>0，解得0<x <1； 令g ′(x )<0，解得x >1.∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )极大值＝g (1)＝－2.(2)证明 由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)． 取t ＝1n(n ∈N *)时，则1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴1>ln 2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， 叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln(2·32·43·…·n ＋1n )＝ln(n ＋1)．即1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)．Esp4: 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.(1)解由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝e x－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a.(2)证明设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.即e x－x2＋2ax－1>0，故e x>x2－2ax＋1.题型三主与次的转化：合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，通过变换主元，起到了化繁为简的作用．在不等式中出现两个字母：x及a，关键在于该把哪个字母看成变量，哪个看成常数．显然可将a 视作自变量。
四、等价转化思想方法
四、等价转化思想方法等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。
通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。
历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。
转化有等价转化与非等价转化。
等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。
非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。
我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。
著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。
数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。
在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。
它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。
消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。
可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。
由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。
在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。
转化与化归思想
转化与化归思想等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性．在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行．它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形．消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化．可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变．由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型．►探究点一高维与低维的转化事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维向高维的发展规律，如从点研究线，由线到面，由面再到空间．通过降维可以把问题从一个领域带到另一个领域研究，从而使问题简单化．如立体几何中三维问题转化为平面几何的二维问题，多元问题转化为一元问题进行研究等．例(1)如图30－1，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝5，AA1＝3，M为线段BB1上的一动点，则当AM＋MC最小时，△AMC的面积为________．30－1(2)若不等式x2108＋y24≥xy3k对于任意正实数x，y总成立的必要不充分条件是k∈[m，＋∞)，则正整数m只能取________．►探究点二特殊与一般的转化所谓特殊化的策略，就是当我们面临的是一道难以入手的一般性题目时，要注意从一般退到特殊，先考查包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题，以便从特殊问题的研究，拓宽解题的思路，从而发现解答原题的方向或途径，即“由一般退回特殊，再由特殊推广至一般”．例2已知椭圆x24＋y22＝1，A、B是其左、右顶点，动点M满足MB⊥AB，连结AM交椭圆于点P，在x轴上有异于点A、B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP，MQ的交点，则点Q的坐标为________．► 探究点三 陌生与熟悉的转化化陌生为熟悉，即当我们面临一个没有接触过的问题时，要设法把它转化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有知识、经验或解题模式解出原题．一般来说对题目的熟悉程度取决于对题目自身结构的认识和理解．常用转化途径有：(1)充分联想、回忆基本知识和题型；(2)全方位、多角度地分析题意；(3)恰当构造辅助元素．例3 若关于x 的方程x 4＋ax 3＋ax 2＋ax ＋1＝0有实数根，求实数a 的取值范围．变式 设x ，y 为正实数，a ＝x 2＋xy ＋y 2，b ＝p xy ，c ＝x ＋y .(1)如果p ＝1，则是否存在以a ，b ，c 为三边长的三角形？请说明理由；(2)对任意的正实数x ，y ，试探索当存在以a ，b ，c 为三边长的三角形时p 的取值范围．例 [2011·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．例设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则u ＝y x －x y 的取值范围是________．例设A 1、A 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于A 1、A 2的点P ，使得PO →·PA 2→＝0，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．► 探究点四 函数中的分类讨论问题函数的基本概念和基本性质中本身涉及分类讨论的问题并不多，但是有一类带有参数的函数即动态函数问题中，其单调性的求解、值域的研究、零点问题等往往都需要对参数的取值进行划分后，分成不同情况进行研究．例1已知函数f (x )＝x 2－a ln x (a ∈R)．(1)若a ＝2，求证：f (x )在(1，＋∞)上是增函数；(2)求f (x )在[1，e]上的最小值．。
数学思想之转化与化归总结
数学思想之转化与化归总结在数学中，转化与化归是一种常用的思想方法。
通过转化问题的表达形式或者化简问题的复杂度，我们可以更容易地理解和解决数学问题。
转化与化归涉及到问题的等价转化、代数化简、几何转化、枚举化归等多个方面。
下面将从这几个方面对转化与化归进行总结。
首先，等价转化是一种常见的数学思想之一。
它意味着将一个问题转化为与之等价的另一个问题，以求得更容易解决的问题。
等价转化包括将问题的形式转化为更简单或者更具有可操作性的形式，或者将问题与已知的问题进行对应。
一个经典的例子是将一个复杂的代数方程转化为一个简单的一次方程或者二次方程，从而解决原方程。
在某些情况下，等价转化也可以是不可逆的，这意味着我们只能从简单的问题得到复杂的问题，但是这种转化仍然能够帮助我们更好地理解问题的本质和特点。
其次，代数化简是转化与化归的另一个重要方面。
代数化简是指通过运用代数运算的性质和规则，将一个复杂的代数表达式或者方程化简为更简单的形式。
代数化简的方法包括合并同类项、因式分解、配方法、三角函数的恒等变换等。
代数化简不仅可以减少问题的复杂度，还可以揭示问题的规律和特点，从而更好地解决数学问题。
几何转化是将几何问题转化为代数问题或者相反，通过几何图形的变换和变形，我们可以使得问题的解决更加直观和简单。
几何转化常常涉及到使用待定系数法、相似三角形的性质、勾股定理等几何知识，从而求得问题的解。
几何转化不仅能够帮助我们更好地理解和解决几何问题，还能够提高我们的思维能力和几何直观。
最后，枚举化归是一种将一个复杂的问题化归为若干个简单的情况，通过对每个简单情况的分析和解决，来解决原问题的方法。
枚举化归可以通过列举具体的例子，或者考虑特殊情况来进行。
枚举化归的优点是能够将一个复杂的问题简化为多个简单的情况，从而更好地理解和解决问题。
然而，枚举化归的缺点是可能需要计算大量的情况，耗费时间和精力。
综上所述，转化与化归是数学中一种重要的思想方法。
专题四转化与化归思想
则a≥ x ，x∈(0， ］恒成立.
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模拟训练
【点评】 本题主要考查转化思想和分类整合思想，分类讨论实 质上也是一种转化思想. 解法1 采用的是分类讨论的方法, 将比较复杂问题通过分类转化 为一些较简单的问题进行求解, 而每一分类中又将恒成立的问题又转 化为最值问题.
1 (0，］, 变为不等式一边为参数 , 另一边为含有x的代数式，a只要大 2 1 1 于或等于y= x ，x∈(0， ］的最大值就满足上式要求. x 2
消去x2得2 x12
2 1 x1 2 6m 1 0 ， m m
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模拟训练
2 1 ∴x1∈R，∴Δ= 8 2 6m 1>0, m m 1 ∴(2m+1)(6m2-2m+1)<0，∴m< . 2 1 即当m< 时，抛物线上存在两点关于直线y=m(x-3)对称. 2
x12 满足 2 x1 x 1
2 x2 x1 x 2 m 3 , 2 2 2 x2 1 . x2 m
2 x12 x 2 m( x1 x 2 6), ∴ 1 x x . 1 2 m
行转化, 使问题逐次达到规范化、模式化，直至问题的解决.
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模拟训练
1. 函数f (x)=cos2x-2 3 sinxcosx的最小正周期是__________.
π 【解析】 ∵f(x) =cos2x-2 3 sinxcosx=cos2x- 3 sin2x=-2sin 2x ,
祝您高考成功！
作文成绩
语文作文课上, 老师布置了一篇500字的作文。
下课铃响了, 一学生发现自己只写了250字, 灵机一动,在
数学思想方法专题四：转化与化归思想
数学思想方法专题专题四：转化与化归思想化归思想方法：在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段或方法将问题通过变换使之转化，进而达到使问题解决的一种方法。
在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，需将原问题转化为一个新问题，通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的。
转化思想方法：是实现问题的规范化、模式化以便应用已知的理论、方法和技巧，达到问题的解决。
转化与化归的原则：（1）熟悉化原则；（2）简单化原则；（3）直观化原则；（4）正难则反原则。
常见的转化方法：（1）直接转化法；（2）换元法；（3）数形结合法；（4）等价转化法；（5）特殊化方法；（6）构造法； （7）坐标法；（8）类比法； （9）参数法； （10）补集法。
一、例题讲解1、（2007年江苏）在平面直角坐标系xO y 中，已知A B C ∆的顶点(4,0)A -和(4,0)C ，顶点B 在椭圆221259xy+=上，则sin sin sin A CB+=2、设12lo g 3a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则（ ） A 、a b c <<B 、c b a <<C 、c a b <<D 、b a c <<3、（2010年天津）如图，在A B C ∆中，A D A B ⊥，B C D =，1A D =，则AC AD ⋅= （ ）A 、B 2C 3D4、已知椭圆()2222:10x y C a b ab+=>>的离心率为2，过右焦点F 且斜率为k ()0k >的直线与C 相交于A 、B 两点，若3A F F B =，则k =（ ）A 、1BCD 、25、如图，已知球O 的表面上四点A 、B 、C 、D ，D A ⊥平面A B C ，A B ⊥B C ，D A A B B C ===，则球O 的体积等于数学思想方法专题四：转化与化归思想练习1、（2006年辽宁）若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α，则cos α=2、已知224x y +=，则2x y +的取值范围是3、若存在过点()1,0的直线与曲线3y x =和21594y a x x =+-都相切，则a 等于A 、1-或25-64B 、1-或214C 、74-或25-64D 、74-或7。
化归转化思想
化归转化思想提要化归转化是数学解题的⼀种极其重要的数学思想，贯穿了数学解题与数学研究的始终。
初中数学⾥，运⽤化归转化的数学思想处理问题的例⼦⽐⽐皆是。
例如，通过去分母把分式⽅程转化为整式⽅程求解，通过将把⼀元⼆次⽅程转化为⼀元⼀次⽅程求解，通过消元把三元⼀次⽅程组或⼆元⼀次⽅程组转化为⼀元⽅程求解，通过换元把复杂的问题转化为简单的问题求解……显然，“转化”揭⽰了解题的本质。
知识全解⼀、化归转化思想的概念在解答某⼀个难以⼊⼿或希望寻求简捷解法的数学题时，我们的思维就不应停留在原题上，⽽将原题转化为另⼀个⽐较熟悉、⽐较简易的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的⽬的，这就是解答数学题的化归转化思想。
化归转化的实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂问题转化为简单问题。
当我们遇到⼀个较难解决的问题时，不是直接解原题⽬，⽽是将题进⾏转化，转化为⼀个已经解决的或⽐较容易解决的数学题，从⽽使原题得到解决。
⼆、解题策略应⽤转化思想要注意以下⼏点：①转化后的问题要⽐原问题更容易、更简单；②转化后的问题应该是⼰知数学的问题，这样才有利于应⽤已有的知识与经验解决问题；③转化是有条件的，如解⽅程时要防⽌转化后出现增根或失根等。
在平时的学习中，要善于观察，挖掘数学问题的内在联系，要注意知识间的联系与演变，不断开拓思路，不断收集，积累联想，转换的实例，把新知识与认识结构中已有的知识建⽴起实质性的联系。
只有这样才能合理，快速，准确地进⾏转化“巧妙”才能显得⾃然。
经典例题类型1 ⾼次向低次的转化类型2 多元转化为⼀元例2 若x:y:z=1:2:3,且3x+4y-5z=16,则x-3y+2z的值是多少？【解析】设x=k，则y=2k,z=3k，代⼊3x+4y-5z=16得3k+8k-15k=16,解得k=4。
从⽽x= -4，y=-8，z=-12∴x-3y+2z= -4-3×(-8)+2×(-12)= -4【点评】解决有关连⽐的问题时，常见的思路是设其中的⼀份为k,然后⽤k替换题⽬中的未知数，从⽽把多元问题转化为⼀元问题获得解答，类型3特殊与⼀般的转化例3 如图（1）所⽰，正⽅形OCDE的边长为1，阴影部分的⾯积记作S1；如图（2）最⼤圆半径r=1，阴影部分的⾯积记作S2，则S1___S2(⽤“>”,“<”或“=”填空)【解析】把图(1)中的阴影部分沿对⾓线OD对折，则两个阴影拼在⼀起组成矩形ACDF,因为正⽅形OCDE的边长为1，所以正⽅形的对⾓线长√2、所以OA=√2，S1=S矩形=√2-1；把图(2)中的阴影部分通过旋转即可拼在⼀起组成1/4圆，故S2=π/4。
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试求点 P 到 ∆ABC 的三个顶点的距离的平方和的最大值与最小值。
2
拆成直二面角。 （1）求证： AB ⊥ 平面 BCD（2）求平面 ABD 与平面 ACD 所成的角。 （3）求点 C 到平面 ABD 的距离。
3．不等式 2 +
x
1 > a 在 x ∈ R 时恒成立，求 a 的取值范围。 2x
x x 4．若 x ∈ ( −∞,1], f ( x ) = 1 + 2 + 4 a 为正数，求 a 的取值范围。
例 7．已知函数 f ( x ) = x + lg( x 2 + 1 + x ) ，若不等式 f ( m ⋅ 3 x ) + f (3 x − 9 x − 2) < 0 ， 对于任意 x ∈ R 时恒成立，求 m 的取值范围。
D1 A1
C1
G H
B1
F
E
D
C B
A
三．反馈练习： 1．在 Rt∆ABC 中， ∠C = 90 , AC = 8, BC = 6 ，P 是 ∆ABC 内切圆上一动点，
例 5．已知函数 f ( x ) = x + 2 xtgθ − 1, x ∈ [ −1, 3 ],θ ∈ ( −
2
π π
（1）当 θ = −
π
时，求函数的最大值和最小值。
, ) 2 2
6
例2． 已知函数 f ( x ) = cos x − 2 sin x cos x − sin x ，
4 4
（2）求 θ 的取值范围，使 y = f (x ) 在区间 [−1, 3 ] 是单调函数。
x = t 2 −1 (t 为参数）的焦点坐标是 y = 2t + 1
1 sin A ，则动点 A 2
3．在 ∆ABC 中，已知 BC = a ，当动点 A 满足条件： sin C − sin B = 的轨 − 2 > 0 和 2 x 2 + (5 + 2a ) x + 5a < 0 的 x 的整数值只有 − 2 ，
专题四
一．基础训练：
x
等价转化（化归）的思想
例 3．若对一切 p ≤ 2, p ∈ R 不等式 (log 2 x ) + p log 2 x + 1 > 2 log 2 x + p 恒成立
2
求实数 x 的取值范围。
1．方程 log 3 (1 − 2 ⋅ 3 ) = 2 x + 1 的解为 2．曲线 {
（1） 求 f ( x ) 的最小正周期。 （2） 若 x ∈ [0,
π
2
] ，求 f ( x) 的最值。
例 6．在平面四边形 ABCD 中，AB＝BC＝CD＝ a, ∠B = 90 , ∠C = 135 ，沿对角线 AC
0 0
2．求函数 y = (arcsin x ) + arcsin x + 1 的最大值。
5．设 P 是抛物线上 y 2 = x 上的点，Q 是圆 ( x − 3) 2 + y 2 = 1 上的点，求 PQ 的最小值。 6． 设抛物线 C： y = − x 2 + mx − 1, m ∈ R ，点 P (3,0), Q (0,3) 为使 C 与线段 PQ 有且仅有一 个公共点，求 m 的取值范围。 7．已知 E、F 分别为正方体 ABCD－A1B1C1D1 棱 AA1、CC1 的中点， AB = a （1） 求证四边形 BED1F 是菱形。 （2） 求 B1 点到平面 BED1F 的距离。 （3） 求直线 CB 和平面 BED1F 所成角的正切值。
2
则 a 的取值范围为 5． 函数 y =
例 4．求定点 A( a, 0) 到椭圆
x −1 的单调增区间为 x +1
x2 + y 2 = 1 上的点之间的最短距离。 2
二．典型例题： 例1． 已知等差数列的前三项为 a, 4,3a ，前 n 项和为 Sn ，求 lim(
1 1 1 + + ... + ) S1 S 2 Sn