用充要条件的等价转化来解题
等价转化思想在充要条件中的应用
等价转化思想在充要条件中的应用在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想。
例如互为逆否命题的两个命题（原命题与逆否命题或逆命题与否命题）一定同真或同假，它们都是等价的。
但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真。
【规律总结】命题的充要关系的判断方法①定义法：即判断原命题与其逆命题的真假性。
②等价法：p是q的什么条件等价于⌝q是⌝p的什么条件。
③利用集合间的包含关系判断：建立命题p、q的相应集合：p：A＝{x|p（x）成立}，q：B＝{x|q（x）成立}，转化为判定A与B间的关系。
练习：已知p：x＋y≠2，q：x，y不都是1，则p是q的________条件。
思路分析：p和q中都含有否定词语，直接判断较为困难，可采用间接判断。
答案：∵p：x＋y≠2，q：x≠1或y≠1，∴⌝p：x＋y＝2，⌝q：x＝1且y＝1。
∵⌝p⌝q，但⌝q⇒⌝p，∴⌝q是⌝p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件。
技巧点拨：由于互为逆否命题的两个命题同真同假，所以当由p⇒q较困难时，可利用等价转化，先判断由⌝q⇒⌝p，从而得到p⇒q。
例题已知p：2x2－9x＋a<0，q：22430680x xx x⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩，且⌝p是⌝q的充分条件，求实数a的取值范围。
思路分析：先解p和q中的不等式，把条件间的关系转化为集合间的关系。
答案：由22430680x xx x⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩，得1324xx<<⎧⎨<<⎩，即2<x<3。
∴q：2<x<3。
设A＝{x|2x2－9x＋a<0}，B＝{x|2<x<3}，∵⌝p⇒⌝q，∴q⇒p，∴B⊆A。
∴2<x<3满足不等式2x2－9x＋a<0。
设f（x）＝2x2－9x＋a，要使2<x<3满足不等式2x2－9x＋a<0，须使(2)0(3)0ff≤⎧⎨≤⎩，即818018270aa-+≤⎧⎨-+≤⎩，∴a≤9。
判断充分、必要条件的常用方法
判断充分、必要条件问题是每年高考中的必考问题.此类问题常与函数、不等式、圆锥曲线等知识相结合，通常难度不大.解答此类问题，同学们需熟练掌握常用逻辑用语以及判断充分、必要条件的方法.下面主要谈一谈判断充分、必要条件的三种常用方法.一、定义法定义法是判断充分、必要条件的基本方法.对于命题“若p ，则q ”，如果p ⇒q ，那么p 就是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.对于一些比较简单的问题，可直接运用定义法，根据充分、必要条件的定义来进行判断.例1.已知p ：-2<m <0,0<n <1，q ：关于x 的方程x 2+mx +n =0有两个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.解：设x 1，x 2是方程x 2+mx +n =0的两个小于1的正根，即0<x 1<1，0<x 2<1，则0<x 1+x 2<2，0<x 1∙x 2<1，由韦达定理可得-2<m <0，0<n <1，从而可得q ⇒p .而当m =-1，n =12时，方程x 2-x +12=0无实根，所以p q .综上可知p 是q 的必要不充分条件.要解答本题，我们需根据条件q 中给出的信息，利用韦达定理求得m ，n 的取值范围，然后讨论条件p 、q 之间的关系，再采用定义法，根据充分、必要条件的定义来进行判断.二、集合法若使p 成立的对象构成的集合为A ，使q 成立的对象构成的集合为B ，则集合A 、B 与充分、必要条件的关系为：（1）若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；（2）若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；（3）若A =B ，则p 是q 的充要条件.运用集合法，可以将有关充分、必要条件的问题转化为集合间的关系问题，通过判断集合之间的包含、真包含、相等关系来判断命题的充要性、必要性.例2.已知p :||||||1-x -13≤2，q :x 2-2x +1-m 2≤0(m >0)，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.解：由||||||1-x -13≤2得-2≤x ≤10，所以¬p 对应的集合为{}x |x >10或x <-2，设A ={}x |x >10或x <-2.由x 2-2x +1-m 2≤0(m >0)，可得1-m ≤x ≤1+m (m >0)，所以¬q 对应的集合为{}x |x >m +1或x <1-m ,m >0，设B ={}x |x >m +1或x <1-m ，m >0.因为¬p 是¬q 的必要不充分条件，所以B ⊆A ，所以ìíîm >0，1-m ≤-2，1+m ≥10，解得m ≥9，所以实数m 的取值范围为[9,+∞）.当命题中的条件与结论都能够用集合来表示的时候，我们就可以运用集合法来判断充分、必要条件.集合法多适用于解答命题中涉及解集的包含或者相等问题.三、等价转化法等价转化法是指运用一个命题与其逆否命题的等价性，把原命题转化为逆否命题，然后再进行判断.当难以按判断原命题的真假时，就可以采用等价转化法，转化思路，判断其逆否命题的真假.例3.设p ：||||x -1-2<1，q ：x -2x 2+x -2>0，试证明¬p 是¬q 的必要不充分条件.证明：设命题p ，q 对应的集合分别为P ，Q ，则P ={}x |-2<x <0,或2<x <4，Q ={}x |-2<x <1,或x >2，因为P ⊄Q ，所以q 是p 的必要不充分条件，所以¬p 是¬q 的必要不充分条件.由于原命题与其逆否命题等价，逆命题与其否命题等价，因此对于一些否定性的命题，可先将其转化为等价命题，再进行判断.该方法体现了等价转化的思想，运用该方法解题，有利于培养思维的灵活性.相比较而言，定义法较为简单，定义法和集合法比较常用，而等价转化法较为复杂，对同学们的逻辑思维能力的要求较高.因此在，判断充分、必要条件时，可先尝试运用定义法、集合法，若解题受阻，再考虑运用等价转化法.（作者单位：江苏省大丰高级中学）考点透视36。
高考数学复习点拨 判断充分、必要、充要条件的常用策略 试题
判断充分、必要、充要条件的常用策略充分条件、必要条件与充要条件是高中的根底知识，在高考中往往以本节知识为工具考察其它方面的知识.本文主要谈一下判断充分条件、必要条件与充要条件的常用策略，供大家参考.策略1：定义法判断充分条件、必要条件与充要条件的最根本方法是根据定义，运用“⇒〞号：假如q p ⇒，那么p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.例1 ⎪⎩⎪⎨⎧>>+44xy y x 是⎪⎩⎪⎨⎧>>22y x 的什么条件，请说明理由. 解：当2>x ，2>y 时，有4>+y x ，4>xy ，所以⎪⎩⎪⎨⎧>>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>+2244y x xy y x ；反之不一定成立，例如当21<=x ，5=y 时，有46>=+y x ，45>=xy ，即 ⎪⎩⎪⎨⎧>>22y x ⎪⎩⎪⎨⎧>>+44xy y x .所以⎪⎩⎪⎨⎧>>+44xy y x 是⎪⎩⎪⎨⎧>>22y x 的充分不必要条件.策略2：递推法命题在推导的过程当中具有传递性，即：假设q p ⇒，r q ⇒，那么r p ⇒.例2 假如A 是B 的必要不充分条件，B 是C 的充要条件，D 是C 的充分不必要条件，那么A 是D 的_________条件.解：依题意，有D C B A ⇐⇔⇐，由命题的传递性可知D A ⇐，但A D .于是A 是D 的充分不必要条件.例3 设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分但不必要条件，丙是乙的充要条件，丙是丁的必要但不充分条件，那么丁是甲的__________条件.解，依题意，有丁丙乙甲⇐⇔⇒.由命题的传递性可知甲 乙且乙 甲，于是丁⇒⇒⇒⇒⇐ ⇒⇒⇒是甲的既不充分也不必要条件.策略3：等价转化法在判断命题p 与q 的关系的时候，假设命题q 的形式比拟复杂，那么可把命题q 等价转化为比拟简单的命题r ，进而通过判断命题p 与r 的关系得到命题p 与q 的关系.例4 设50:<<x p ，5|2:|<-x q ，那么p 是q 的________条件.解：73:5|2:|<<-⇔<-x r x q ，显然r p ⇒，但r p ，所以q p ⇒，但 qp ，所以p 是q 的充分但不必要条件. 例5 0)2(22=-+y x 是0)2(=-y x 的________条件.解：2且0:0)2(22==⇔=-+y x p y x ，2或0:0)2(==⇔=-y x q y x ，显然q p ⇒但q p ，所以0)2(22=-+y x 是0)2(=-y x 的充分但不必要条件.策略4：逆否命题法由于原命题⇔逆否命题，逆命题⇔p 能否推出q ，等价于判断q ┐能否推出p ┐. 例6 条件2:≠+y x p ，条件1不都是,:-y x q ，那么p 是q 的_____条件.解：因为2:≠+y x p ，1或1:-≠-≠y x q ，所以2:┐=+y x p ，1且1:┐-=-=y x q .因为q p ┐┐⇒但q ┐p ┐，所以p 是q 的充分不必要条件. ⇒⇒⇒⇒四季寄语情感寄语在纷繁的人群中/牵手走过岁月/就像走过夏季/拥挤的海滩在我居住的江南/已是春暖花开季节/采几片云彩/轻捧一掬清泉/飘送几片绿叶/用我的心/盛着寄给/北国的你不要想摆脱冬季/看/冰雪覆盖的世界/美好的这样完整/如我对你的祝福/完整地这样美好挡也挡不住的春意/像挡也挡不住的/想你的心情/它总在杨柳枝头/泄露我的秘密往事的怀念/爬上琴弦/化作绵绵秋雨/零零落落我诚挚的情怀/如夏日老树下的绿荫/斑斑驳驳虽只是一个小小的祝福/却化做了/夏季夜空/万点星辰中的一颗对你的思念/温暖了/我这些个漫长的/冬日从春到夏,从秋到冬......只要你的帘轻动,就是我的思念在你窗上走过.在那个无花果成熟的季节,我才真正领悟了你不能表达的缄默.我又错过了一个花期/只要你知道无花也是春天/我是你三月芳草地燕子声声里,相思又一年朋友,愿你心中,没有秋寒.一到冬天,就想起/那年我们一起去吃的糖葫芦/那味道又酸又甜/就像......爱情.谢谢你/在我孤独时刻/拜访我这冬日陋室只要有个窗子/就拥有了四季/拥有了世界愿你:俏丽如三春之桃,清素若九秋之菊没有你在身边,我的生活永远是冬天!让我们穿越秋天/一起去领略那收获的喜悦!在冬天里,心中要装着春天;而在春天,却不能忘记冬天的寒冷.落红不是无情物,化作春泥更护花.愿是只燕,衔着春光,翩翩向你窗.请紧紧把握现在/让我们把一种期翼/或者是一种愿望/种进大地/明春/它就会萌生绿色的叶片.此刻又是久违的秋季/又是你钟爱的季节/于是/秋风秋雨秋云秋月/都化作你的笑颜身影/在我的心底落落起起.此刻已是秋季/你可体验到/收获怀念的感觉/和秋雨一样真实动人.一条柳枝/愿是你生活的主题/常绿常新/在每一个春季雨声蝉鸣叶落风啸/又一个匆匆四季/在这冬末春初/向遥远的你/问安!又是夏季/时常有暴雨雷鸣/此刻/你可以把我当作大雨伞/直至雨过天晴/留给你一个/彩虹的夏季!。
《充分条件、必要条件》课标解读
《充分条件、必要条件》课标解读教材分析充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，是学生解决数学问题时进行等价转化的逻辑基础，是今后的数学学习特别是数学推理的基础.本节内容在高考中也有直接的考查.本节的重点是理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.难点是会求（判断）某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.突破重点与难点的关键是理解其含义，让学生从感性上去领悟，在解题实践中加深理解.本节内容所涉及的主要数学核心素养有：数学抽象、数学运算、逻辑推理等. 学情分析学生前面已经学习了命题，对命题真假判断有了一定的基础，这对本节课的学习有一定的帮助，但学生的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，在学习过程中会有一些困难.所以在教学时，应多举一些实例引导学生分析，并归纳出抽象的数学概念，在今后的教学中逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善.教学建议本节介绍了充分条件、必要条件、充要条件三个概念.这些概念都比较抽象，学生不易理解，用它们去解决一些具体问题则更为困难，这也是本节的难点.突破难点的关键是在判断条件与结论的逻辑关系之前，必须先分清何者是条件，何者是结论，根据命题真假的判断方法，尝试如何由条件推出结论.在内容处理上，教师要充分利用生活中的实例，例如“水滴石穿”“有志者事竟成”等，让学生从命题的条件与结论的互推关系入手，分析出它们之间的条件关系，体现数学抽象的核心素养.学科核心素养目标与素养1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次.2.会求（判断）某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件，达到逻辑推理核心素养学业质量水平一的层次.3.能够利用命题的真假判定充要关系或进行充要条件的证明，达到数学运算核心素养学业质量水平二的层次.情境与问题1.案例一通过“请判断下列命题的真假”复习引入，为后面本节课的学习做好准备.2.案例二是通过阅读教材来引入对充分条件、必要条件的学习.内容与节点充要条件是逻辑推理的重要部分，条件的判断是学习的重点内容，锻炼学生分析、判断、归纳问题的能力.过程与方法1.理解充分条件、必要条件的判断方法，发展学生的逻辑推理素养.2.在条件的应用中，发展学生的数学运算素养.教学重点难点重点1.充分条件、必要条件、充要条件概念的理解.2.判断给定命题的条件与结论之间的关系.难点1.在p q中，q是p的必要条件的理解.2.如何判断p是q的什么条件.。
1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式
1．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p ，则q ”形式的命题为真时，记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． (2)如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件．p 是q 的充要条件又常说成q 当且仅当p ，或p 与q 等价．2．命题的四种形式及真假关系互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( √ )(2)当p 是q 的充要条件时，也可说成q 成立当且仅当p 成立．( √ )(3)命题“α＝π4，则tan α＝1”的否命题是“若α＝π4，则tan α≠1”．( × ) (4)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．( √ )(5)若p 是q 的充分不必要条件，则綈p 是綈q 的必要不充分条件．( √ )1．(2015·重庆)“x ＞1”是“12log (x ＋2)＜0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 x ＞1⇒x ＋2＞3⇒12log (x ＋2)＜0，12log (x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x ＞1”是“12log (x ＋2)＜0”成立的充分不必要条件．因此选B.2．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a ＝3时A ＝{1,3}，显然A ⊆B .但A ⊆B 时，a ＝2或3.所以A 正确．3．(教材改编)命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是( )A ．“若x <y ，则x 2<y 2”B ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2”C ．“若x >y ，则x 2>y 2”D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2”答案 B解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．4．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )，与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．4答案 B解析 向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2)＝0⇔x ＝0或x ＝－1，∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.5．(教材改编)下列命题：①x ＝2是x 2－4x ＋4＝0的必要不充分条件；②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；③sin α＝sin β是α＝β的充要条件；④ab ≠0是a ≠0的充分不必要条件．其中为真命题的是________(填序号)．答案 ②④题型一 充分条件、必要条件的判定例1 (1)(2015·四川)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件(2)一次函数y ＝－m n x ＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( ) A ．m >1，且n <1B ．mn <0C ．m >0，且n <0D ．m <0，且n <0答案 (1)B (2)B解析 (1)根据指数函数的单调性得出a ，b 的大小关系，然后进行判断．∵3a >3b >3，∴a >b >1，此时log a 3<log b 3正确；反之，若log a 3<log b 3，则不一定得到3a >3b >3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3<log b 3成立，但推不出a >b >1.故“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件． (2)∵y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，故－m n >0，1n<0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0.思维升华 充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的某种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的某种条件．(1)(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 (2)若命题p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 (1)A (2)A解析 (1)∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0；cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α⇒/ sin α＝cos α，故选A.(2)当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时，f (x )＝±cos ωx 是偶函数，所以p 是q 的充分条件；若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以p 是q 的必要条件，故p 是q 的充要条件，故选A. 题型二 充分必要条件的应用例2 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m的取值范围．解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．引申探究1．本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．2．本例条件不变，若x ∈(綈P )是x ∈(綈S )的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S ⇒/ P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．(1)ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是( )A ．0<a ≤1B ．a <1C ．a ≤1D ．0<a ≤1或a <0(2)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)C (2)⎣⎡⎦⎤0，12 解析 (1)方法一 当a ＝0时，原方程为一元一次方程2x ＋1＝0，有一个负实根．当a ≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1.设此时方程的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a， 当只有一个负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a <0⇒a <0； 当有两个负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，－2a<0，⇒0<a ≤1.1a >0综上所述，a ≤1. 方法二 (排除法)当a ＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A ，D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B.(2)命题p 为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤1， 命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．綈p 对应的集合A ＝{x |x >1或x <12}， 綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1或x <a }．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a <12， ∴0≤a ≤12. 题型三 命题的四种形式例3 (1)命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数“的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数(2)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 答案 (1)C (2)B解析 (1)由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”．(2)先证原命题为真：当z 1，z 2互为共轭复数时，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a －b i ，则|z 1|＝|z 2|＝a 2＋b 2， ∴原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：取z 1＝1，z 2＝i ，满足|z 1|＝|z 2|，但是z 1，z 2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假，故选B.思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p ，则q “形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．(1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是( ) A ．若α＝π3，则cos α≠12B ．若α≠π3，则cos α≠12C ．若cos α＝12，则α＝π3D ．若cos α≠12，则α≠π3(2)(2016·承德月考)已知命题α：如果x <3，那么x <5；命题β：如果x ≥3，那么x ≥5；命题γ：如果x ≥5，那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A ．①③B ．②C ．②③D ．①②③答案 (1)C (2)A解析 (1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是“若cos α＝12，则α＝π3”． (2)命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定，然后交换条件与结论所得，因此①正确，②错误，③正确，故选A.1．等价转化思想在充要条件中的应用典例 (1)已知p ：(a －1)2≤1，q ：∀x ∈R ，ax 2－ax ＋1≥0，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知条件p ：x 2＋2x －3>0；条件q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]解析 (1)由(a －1)2≤1解得0≤a ≤2，∴p ：0≤a ≤2.当a ＝0时，ax 2－ax ＋1≥0对∀x ∈R 恒成立；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝a 2－4a ≤0得0<a ≤4， ∴q ：0≤a ≤4.∴p 是q 成立的充分不必要条件．(2)由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．∴{x |x >a }{x |x <－3或x >1}，∴a ≥1.答案 (1)A (2)A温馨提醒 (1)本题用到的等价转化①将綈p ，綈q 之间的关系转化成p ，q 之间的关系．②将条件之间的关系转化成集合之间的关系．(2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题，在解题中经常用到．[方法与技巧]1．充要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：即利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ；B ⇒A 与綈A ⇒綈B ；A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}：若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．2．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．[失误与防范]1．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言．2．当一个命题有大前提而要写出命题的其他两种形式时，必须保留大前提．3．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p ，则q ”的形式．A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B解析 依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．2．(2015·天津)设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由|x －2|＜1得1＜x ＜3，所以1＜x ＜2⇒1＜x ＜3；但1＜x ＜3⇒/ 1＜x ＜2，故选A.3．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0答案 C解析 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．4．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C.5．设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 因为菱形的对角线互相垂直，所以“四边形ABCD 为菱形”⇒“AC ⊥BD ”，所以“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分条件；又因为对角线垂直的四边形不一定是菱形，所以“AC ⊥BD ”⇒“四边形ABCD 为菱形”，所以“四边形ABCD 为菱形”不是“AC ⊥BD ”的必要条件．综上，“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件．6．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分不必要的条件B ．必要不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件答案 C解析 由维恩图易知充分性成立．反之，A ∩B ＝∅时，由维恩图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．7．(2015·北京)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.则“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 m ⊂α，m ∥β⇒/ α∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件．8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a <0B ．0<a <12 C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1答案 A解析 因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合，可得a ≤0或a >1.观察选项，根据集合间关系得{a |a <0}{a |a ≤0或a >1}，故答案选A.9．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________． 答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．10．若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1，m ＋1<3，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2. 11．给定两个命题p 、q ，若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的________条件．答案 充分不必要解析 若綈p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒綈p 但綈p ⇒/ q ，其逆否命题为p ⇒綈q 但綈q ⇒p ，所以p 是綈q 的充分不必要条件． 12．下列命题：①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件；④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．其中正确命题的序号是________．答案 ①③④解析 对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，所以a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°⇒/ 30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，所以③正确；④显然正确．B 组 专项能力提升(时间：15分钟)13．设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 C解析先证“a>b”⇒“a|a|>b|b|”．若a>b≥0，则a2>b2，即a|a|>b|b|；若a≥0>b，则a|a|≥0>b|b|；若0>a>b，则a2<b2，即－a|a|<－b|b|，从而a|a|>b|b|.再证“a|a|>b|b|”⇒“a>b”．若a，b≥0，则由a|a|>b|b|，得a2>b2，故a>b；若a，b≤0，则由a|a|>b|b|，得－a2>－b2，即a2<b2，故a>b；若a≥0，b<0，则a>b.综上，“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件．14．(2015·湖北)设a1，a2，…，a n∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：(a21＋a22＋…＋a2n－1)(a22＋a23＋…＋a2n)＝(a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n)2，则()A．p是q的必要条件，但不是q的充分条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件答案 B解析若p成立，设a1，a2，…，a n的公比为q，则(a21＋a22＋…＋a2n－1)(a22＋a23＋…＋a2n)＝a21(1＋q2＋…＋q2n －4)·a22(1＋q2＋…＋q2n－4)＝a21a22(1＋q2＋…＋q2n－4)2，(a1a2＋a2a3＋…＋a na n)2＝(a1a2)2(1＋q2＋…＋q2n－4)2，－1故q成立，故p是q的充分条件．取a1＝a2＝…＝a n＝0，则q成立，而p不成立，故p不是q的必要条件，故选B.15．(2015·浙江)设A，B是有限集，定义：d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A 中元素的个数，命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)，()A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立答案 A解析命题①成立，若A≠B，则card(A∪B)>card(A∩B)，所以d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)>0.反之可以把上述过程逆推，故“A≠B”是“d(A，B)>0”的充分必要条件；命题②成立，由维恩图，知card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，d(A，C)＝card(A)＋card(C)－2card(A∩C)，d(B，C)＝card(B)＋card(C)－2card(B∩C)，∴d(A，B)＋d(B，C)－d(A，C)＝card(A)＋card(B)－2card(A∩B)＋card(B)＋card(C)－2card(B∩C)－[card(A)＋card(C)－2card(A∩C)]＝2card(B)－2card(A∩B)－2card(B∩C)＋2card(A∩C)＝2card(B)＋2card(A∩C)－2[card(A∩B)＋card(B∩C)]≥2card(B )＋2card(A ∩C )－2[card((A ∪C )∩B )＋card(A ∩B ∩C )]＝[2card(B )－2(card(A ∪C )∩B )]＋[2card(A ∩C )－2card(A ∩B ∩C )]≥0，∴d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )得证．16．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.17．设a ，b 为正数，则“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的________条件．答案 充分不必要解析 ∵a －b >1，即a >b ＋1.又∵a ，b 为正数，∴a 2>(b ＋1)2＝b 2＋1＋2b >b 2＋1，即a 2－b 2>1成立，反之，当a ＝3，b ＝1时，满足a 2－b 2>1，但a －b >1不成立．所以“a －b >1”是“a 2－b 2>1”充分不必要条件．18．下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa ＝0”的充分不必要条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件；③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为零”的充要条件；④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件．正确的是________．答案 ①④解析 由λ＝0可以推出λa ＝0，但是由λa ＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．由AB 2＋AC 2＝BC 2可以推出△ABC 是直角三角形，但是由△ABC 是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．由a 2＋b 2≠0可以推出a ，b 不全为零，反之，由a ，b 不全为零可以推出a 2＋b 2≠0，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件，而不是“a ，b 全不为零”的充要条件，③不正确，④正确．。
专题02 充要条件问题(解析版)
专题02 充要条件问题【热点聚焦与扩展】高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要有三个：一是以函数、方程、三角函数、数列、不等式、立体几何线面关系、平面解析几何等为背景的充分条件和必要条件的判定与探求；二是考查等价转化与化归思想；三是由充分条件和必要条件探求参数的取值范围． 1、定义：（1）对于两个条件,p q ，如果命题“若p 则q ”是真命题，则称条件p 能够推出条件q ，记为p q ⇒，（2）充分条件与必要条件：如果条件,p q 满足p q ⇒，则称条件p 是条件q 的充分条件；称条件q 是条件p 的必要条件2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面.所以在判断时既要判断“若p 则q ”的真假，也要判断“若q 则p ”真假3、两个条件之间可能的充分必要关系：（1）p 能推出q ，但q 推不出p ，则称p 是q 的充分不必要条件 （2）p 推不出q ，但q 能推出p ，则称p 是q 的必要不充分条件（3）p 能推出q ，且q 能推出p ，记为p q ⇔，则称p 是q 的充要条件，也称,p q 等价 （4）p 推不出q ，且q 推不出p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件 4、如何判断两个条件的充分必要关系(1)定义法：若 错误!未找到引用源。
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的充分而不必要条件；若错误!未找到引用源。
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的必要而不充分条件；若错误!未找到引用源。
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的既不充分也不必要条件.(2)等价法：即利用p q ⇒与q p ⌝⌝⇒；q p ⇒与p q ⌝⌝⇒；p q ⇔与q p ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3) 充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p 的集合为M ，满足命题q 的集合为N ，则M 是N 的真子集等价于p 是q 的充分不必要条件，N 是M 的真子集等价于p 是q 的必要不充分条件，M ＝N 等价于p 和q 互为充要条件，M ，N 不存在相互包含关系等价于p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件.4、充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．5、对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性.此时应注意分清楚哪是条件，哪是结论，充分性即由条件证明结论；而必要性则是由结论成立来证明条件也成立，千万不要张冠李戴；也可用等价法，即进行等价转化，此时应注意的是所得出的必须是前后能互相推出，而不仅仅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者）.【经典例题】例1【2020年高考浙江卷】已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由已知,,m n l 不过同一点，当,,m n l 两两相交时，,,m n l 在同一平面内；但当m //n ，l 与它们相交时，,,m n l 也在同一平面内，故选B ．例2【2020年高考上海卷】【答案】A【解析】1:q 当0a >，()0f a >，因为函数()f x 单调递减，所以()()()()f x a f x f x f a +<<+，即()()()f x a f x f a +<+，存在0a >，当满足命题1q 时，使命题p 成立，2:q 当00a x =<时，()0f a = ，因为函数()f x 单调递增，所以()()()()f x a f x f x f a +<=+，即()()()f x a f x f a +<+，存在0a <，当满足命题2q 时，命题p 成立，综上可知命题1q 、2q 都是命题p 的充分条件，故选A ．例3．（2020·黑龙江萨尔图大庆实验中学高三三模）已知命题:11p x ->，命题:1ln q x ≥，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由–11x >可得，0x <或2x >﹔由ln 1x ≥可得，x e ≥.所以p 是q 成立的必要不充分条件.故选：B.例4．（2020·北京市第五中学高三三模）已知定义域为R 的偶函数f （x ）在[0，+∞）上是增函数，且f （12）＝0，则“不等式f （log 4x ）＞0的解集”是“{x |0＜x ＜12}”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充分且必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为定义域为R 的偶函数()f x 在[0，)+∞上是增函数，且1()02f =，4(log )0f x ∴>，即41(log )()2f x f >，即41(|log |)()2f x f >，即41|log |2x >，即41log 2x >，或41log 2x <-， 解之得2x >或102x <<，{|2x x ∴>或10}2x <<是1{|0}2x x <<的必要不充分条件，故选：C ．例5．（2020·山东潍坊高三三模）设i 为虚数单位，a R ∈，“复数22020i 21ia z =--是纯虚数“是“1a =”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】复数()()22020222i 11i 11i 21i 21i 21i 1i 222a a a a z +=-=-=-=-----+是纯虚数， 则21a =，1a =±，1a =±是1a =的必要不充分条件，故选：B.例6．（2020·广州大学附属中学高三三模）已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】22x y +≥ 且224x y+≤ ，422x y ∴≤≤⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又x y +≥，0,0x y >>21xy ∴≤⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.故选:C例7．（2020·宝鸡中学高三三模）已知条件:p k =q ：直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则q 是p 的（ ）A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若直线2y kx =+与圆221x y +=相切，则圆心(0,0)到直线20kx y -+=的距离1d ==，即214k +=，23k ∴=，即k =∴q 推不出p ，而p 而以推出q ，q ∴是p 的必要不充分条件．故选：B ．例8．（2020·河北新华石家庄二中高三三模）使不等式2x ≤成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．13x +≤ B ．12x +≤C ．2log (1)1x +≤D ．11||2x ≥ 【答案】A【解析】因为||2x ≤22x ⇔-≤≤，|1|342x x +≤⇔-≤≤， |1|231x x +≤⇔-≤≤，2log (1)111x x +≤⇔-<≤，11||2||2x x ≥⇔≤且0x ≠20x ⇔-≤<或02x <≤， 因为{|22}x x -≤≤ 2{|}4x x -≤≤，所以使不等式||2x ≤成立的一个必要不充分条件是42x -≤≤，故选：A ．例9．（2020·四川绵阳高三三模）已知数列{}n a 的前n 项和21nn S p =⨯+，则{}n a 为等比数列的充要条件是（ ） A ．01p << B ．1p =-C ．2p =-D ．1p >【答案】B 【解析】21n n S p =⨯+,当1n =时，112+1a S p ==，当2n 时，()11121212nn n n n n a S S p p p ---=-=⨯+-⨯+=⨯，{}n a 为等比数列，21p p ∴+=1p ∴=-当1p =-时，21nn S =-+， 可得12n n a -=-，由12(2)nn a n a -=≥知{}n a 为等比数列， 故{}n a 为等比数列的充要条件是1p =-，故选：B例10．（2020·天津南开高三三模）已知命题2:230p x x +->，命题:q x a >，且q 的一个必要不充分条件是p ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．(],1-∞C ．[)1,-+∞D ．(],3-∞-【答案】A【解析】命题2:230p x x +->，解之得：3x <-或1x >， 命题:q x a >，且q 的一个必要不充分条件是p ， 则：1a ≥，即a 的取值范围是[)1,+∞.故选：A ．【精选精练】1．（2020·浙江省兰溪市第三中学高三三模）设0a >，0b >，则“lg()0ab >”是“lg()0a b +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为lg()0ab >，所以1ab >，0a >，0b >，显然,a b 中至少有一个大于1，如果都小于等于1，根据不等式的性质可知：乘积也小于等于1，与乘积大于1不符. 由lg()0a b +>，可得1a b +>，,a b 与1的关系不确定，显然由“lg()0ab >”可以推出lg()0a b +>，但是由lg()0a b +>推不出lg()0ab >，当然可以举特例：如23a b ==，符合1a b +>，但是不符合1ab >，因此“lg()0ab >”是“lg()0a b +>”的充分不必要条件，故本题选A.2．（2020·山东高三三模）“直线l 与平面α内的无数条直线垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既非充分条件又非必要条件【答案】B【解析】因为直线l 在平面α内，也可以与平面α内的无数条直线垂直，所以，“直线l 与平面α内的无数条直线垂直”不是“直线l 与平面α垂直”的充分条件；若直线l 与平面α垂直，则直线l 与平面α内的所有直线都垂直。
充要条件的判断方法
充分条件、必要条件与集合的关系
题 指出下列各题中，p是q的什么条件？ 设集合 A＝{x|x 满足条件 p}，集合 B＝{x|x 满足
（1）p:ax2+ax+1>0的解集是R；q:0<a<4. }， A⊆B， p 是 q 的什么条件？q 是 p 的什么条 若 则 （2）p : x 2 1;q : 6 1. x 5
Байду номын сангаас
变式：设p:A={x|2x2-3x+1≤0}，
q:B={x|x2-（2a+1）x+a（a+1）≤0}，
若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数a的 取值范围.
【规范解答】解2x2-3x+1≤0得 1 x 1.
1 p : A {x | x 1} 2 2
解x2-（2a+1）x+a(a+1)≤0得a≤x≤a+1.
6.充分必要条件的判断
2011陕西
a -b是 a b 的
A
A充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 2010山东,设{an}是首项大于零的等比数列， C 则“ a1<a2 ”是“数列{an}是递增数列” 的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件
【解析】（1）由
a 2 4a 0， a 0，
得0<a<4，
此时不等式ax2+ax+1>0的解集为R，可见qp；
当a=0时，易见p成立，可见pq，
所以p是q的必要不充分条件.
（2）p：A={x|1<x<3}，q：B={x|-1<x<5}，AB，
高中数学充分条件、必要条件与命题的四种形式例题解析
§1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识点一充分条件与必要条件1．当命题“如果p，则q”经过推理证明判定为真命题时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．2．若p⇒q，但q⇏p，称p是q的充分不必要条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的必要不充分条件．知识点二充要条件1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．(×)2．“若p，则q”是真命题，而“若q，则p”是假命题，则p是q的充分不必要条件．(√) 3．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．(√)4．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(√)5．若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√)题型一充分、必要、充要条件的判断例1下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(2)p：m>0，q：x2＋x－m＝0有实根；(3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．考点充要条件的概念及判断题点充要条件的判断解(1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1，x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．(2)因为m>0⇒方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝1＋4m>0，即方程有实根，方程x2＋x－m＝0有实根，即Δ＝1＋4m≥0⇏m>0，所以p是q的充分不必要条件．(3)p是q的既不充分也不必要条件．反思感悟充分条件、必要条件的两种常用的判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．(1)p ：两个三角形相似，q ：两个三角形全等； (2)p ：f (x )＝x ，q ：f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数； (3)p ：A ⊆B ，q ：A ∩B ＝A ； (4)p ：a >b ，q ：ac >bc . 考点 充要条件的概念及判断 题点 充要条件的判断解 (1)∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似， ∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵f (x )＝x ⇒f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，但f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数⇏f (x )＝x ，∴p 是q 的充分不必要条件．(3)∵p ⇒q ，且q ⇒p ，∴p 是q 的充要条件．(4)∵p ⇏q ，且q ⇏p ，∴p 是q 的既不充分也不必要条件．题型二 充分条件、必要条件、充要条件的应用命题角度1 由充分条件、必要条件求参数范围例2 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}． 引申探究1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ，所以A B .所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.解不等式组得m >9或m ≥9， 所以m ≥9，即实数m 的取值范围是[9，＋∞)．2．若本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解 因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，m 不存在．反思感悟 由条件关系求参数的取值(范围)的步骤 (1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系． (2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．跟踪训练2 (1)“不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立”的一个充分不必要条件是“－2<x <－1”，则实数a 的取值范围是________． 考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围 答案 (2，＋∞)解析 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0， 因为当－2<x <－1时不等式成立， 所以不等式的解集是－a <x <－1. 由题意有(－2，－1)(－a ，－1)， 所以－2>－a ，即a >2.(2)已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________．考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围 答案 [－1,5]解析 因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5.命题角度2 探求充要条件例3 求关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立的充要条件． 考点 充要条件的概念及判断 题点 寻求充要条件解 由题意可知，关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立，等价于对于方程ax 2－ax ＋1＝0中，⎩⎨⎧a >0，Δ<0⇔0<a <4.反思感悟 求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合，这就要求我们转化的时候思维要缜密．跟踪训练3 直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是m ＝________. 考点 充要条件的概念及判断 题点 寻求充要条件 答案 －4或0解析 由题意知，直线与圆相切等价于圆心(1,1)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离等于半径2， 即|2＋m |2＝2，得m ＝－4或0.充要条件的证明典例 求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明 充分性(由ac <0推证方程有一正根和一负根)，∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0， ∴原方程一定有两不等实根，不妨设为x 1，x 2，则x 1x 2＝ca <0，∴原方程的两根异号，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根． 必要性(由方程有一正根和一负根推证ac <0)， ∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根， 不妨设为x 1，x 2，∴由根与系数的关系得x 1x 2＝ca <0，即ac <0，此时Δ＝b 2－4ac >0，满足原方程有两个不等实根．综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.[素养评析] (1)一般地，证明“p 成立的充要条件为q ”时，在证充分性时应以q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结论”，即q ⇒p ；证明必要性时则是以p 为“已知条件”，q 为该步中要证明的“结论”，即p ⇒q .(2)通过论证数学命题，学会有逻辑地思考问题，探索和表述论证过程，能很好的提升学生的逻辑思维品质．1．“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件 答案 C解析 ∵－2<x <1⇏x >1或x <－1，且x >1或x <－1⇏－2<x <1，∴“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的既不充分也不必要条件．2．设命题p ：x 2－3x ＋2<0，q ：x －1x －2≤0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 命题p ：1<x <2；命题q ：1≤x <2，故p 是q 的充分不必要条件． 3．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由于当“θ＝0”时，一定有“sin θ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件．4．记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，－3]解析 由于A ＝{x |x 2＋x －6<0}＝{x |－3<x <2}，B ＝{x |y ＝lg(x －a )}＝{x |x >a }，而“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则有A ⊆B ，则有a ≤－3.5．“a ＝0”是“直线l 1：x －2ay －1＝0与l 2：2x －2ay －1＝0平行”的________条件． 答案 充要解析 (1)∵a ＝0，∴l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0， ∴l 1∥l 2，即a ＝0⇒l 1∥l 2. (2)若l 1∥l 2，当a ≠0时， l 1：y ＝12a x －12a ，l 2：y ＝1a x －12a .令12a ＝1a，方程无解． 当a ＝0时，l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0，显然l 1∥l 2. ∴a ＝0是直线l 1与l 2平行的充要条件．充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p 和结论q 之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：(1)定义法：分清条件p 和结论q ，然后判断“p ⇒q ”及“q ⇒p ”的真假，根据定义下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．一、选择题1．“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0.2．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的命题个数为( ) ①若f (x )是周期函数，则f (x )＝sin x ； ②若x >5，则x >2； ③若x 2－9＝0，则x ＝3. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ①中，周期函数还有很多，如y ＝cos x ，所以①中p 不是q 的充分条件；很明显②中p 是q 的充分条件；③中，当x 2－9＝0时，x ＝3或x ＝－3，所以③中p 不是q 的充分条件．所以p 是q 的充分条件的命题的个数为1，故选B.3．已知向量a ，b 为非零向量，则“a ⊥b ”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 |a ＋b |2＝|a －b |2⇔a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ⇔a ·b ＝0.4．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，则a 2＋b 2＝c 2是圆O 与直线l 相切的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由直线与圆相切得|c |a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝c 2；a 2＋b 2＝c 2时也有|c |a 2＋b 2＝1成立，即直线与圆相切．5．若a ，b ，c 是常数，则“a >0且b 2－4ac <0”是“对任意x ∈R ，都有ax 2＋bx ＋c >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当a >0且b 2－4ac <0时，对任意x ∈R ，ax 2＋bx ＋c >0成立，即充分性成立．反之，则不一定成立．如当a ＝0，b ＝0，且c >0时，对任意x ∈R ，ax 2＋bx ＋c >0成立．综上，“a >0且b 2－4ac <0”是“对任意x ∈R ，都有ax 2＋bx ＋c >0”的充分不必要条件．6．设函数f (x )＝|log 2x |，则f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)内不是单调函数的充要条件是( ) A ．0<m <12B ．0<m <1 C.12<m <1 D ．m >1答案 B解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，－log 2x ，0<x <1.f (x )的图象在(0,1)内单调递减， 在(1，＋∞)内单调递增．f (x )在(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数等价于⎩⎪⎨⎪⎧m <1，2m ＋1>1⇔0<m <1. 7．已知a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是( ) A ．λ1＝λ2＝－1 B ．λ1＝λ2＝1 C ．λ1λ2＝1 D ．λ1λ2＝－1答案 C解析 依题意，知A ，B ，C 三点共线⇔AB →＝λAC →⇔λ1a ＋b ＝λa ＋λλ2b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝λ，λλ2＝1，即λ1λ2＝1.故选C.8．设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别是集合M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 若a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2<0，则M ≠N ， 即a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2⇏M ＝N ； 反之，若M ＝N ＝∅，即两个一元二次不等式的解集为空集时，只要求判别式Δ1<0，Δ2<0(a 1<0，a 2<0)，而与系数之比无关．二、填空题9．设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析 由于方程有整数根，由判别式Δ＝16－4n ≥0.得1≤n ≤4，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数解；而当n ＝3时，方程有正整数解1,3；当n ＝4时，方程有正整数解2.故n ＝3或4.10．设p ：1≤x <4，q ：x <m ，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为________． 答案 [4，＋∞)解析 据题意知，p ⇒q ，则m ≥4.11．给出下列三个命题：①“a >b ”是“3a >3b ”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件．其中真命题的序号为________．答案 ③解析 ①∵函数y ＝3x 是R 上的增函数，∴“a >b ”是“3a >3b ”的充要条件，故①错误；②∵2π>π2，cos 2π>cos π2，∴α>β⇏cos α<cos β；∵cos π<cos 2π，π<2π，∴cos α<cos β⇏α>β.∴“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分也不必要条件，故②错误；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件，正确．三、解答题12．已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 化简B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}，①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}； ②当a <13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}． 因为p 是q 的充分条件且A 为非空集合，所以A ⊆B ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥13，a 2＋1≤3a ＋1，2a ≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a <13，a 2＋1≤2，2a ≥3a ＋1，解得1≤a ≤3或a ＝－1.综上，a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．13．设a ，b ，c 是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．求证：a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .证明 充分性：∵A ＝2B ，∴A －B ＝B ，则sin(A －B )＝sin B ，则sin A cos B －cos A sin B ＝sinB ，结合正弦、余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc＝b ，化简整理得a 2＝b (b ＋c )； 必要性：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a 2＝b (b ＋c )，得b 2＋bc ＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴1＋2cos A ＝c b ＝sin C sin B， 即sin B ＋2sin B cos A ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin B ＝sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )，由于A ，B 均为三角形的内角，故必有B ＝A －B ，即A ＝2B . 综上，知a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .14．已知p ：x 2＋2x －3>0，q ：x >a (a 为实数)．若綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则实数a 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 将x 2＋2x －3>0化为(x －1)(x ＋3)>0，所以p ：x >1或x <－3，所以綈p ：－3≤x ≤1.又綈q ：x ≤a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，所以a ≥1.15．设x ，y ∈R ，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.证明 充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况，当xy ＝0时，不妨设x ＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时，又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立．总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，∴|xy|＝xy，∴xy≥0.综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件。
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推出a>b,c>d.故A中p是q的必要不充分条件.B中,当 a>1,b>1时，函数f(x)=ax-b不过第二象限,当f(x)=ax-
b不过第二象限时，有a>1,b≥1.故B中p是q的充分不
必要条件.C中，因为x=1时有x2=x，但x2=x时不一定有 x=1，故C中p是q的充分不必要条件.D中p是q的充要条
4.已知A={x||x-1|≥1,x∈R},B={x|log2x>1,x∈R}, 则“x∈A”是“x∈B”的 （ B ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 x∈A A={x|x≥2或x≤0}，B={x|x>2}， x∈B，但x∈B x∈A.
5.集合A={x||x|≤4,x∈R,},B={x|x<a},则“A B” 是“a>5”的 （ B ）
用充要条件的等价转化来解题
【例1】指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充
分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条 件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答). (1)在△ABC中，p：∠A=∠B，q：sin A=sin B; (2)对于实数x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6;
(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B;
件.
答案 A
定时检测
一、选择题 1.（2009·重庆文，2）命题“若一个数是负数，则 它的平方是正数”的逆命题是 B.“若一个数的平方是正数，则它是负数” C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 解析 原命题的逆命题:若一个数的平方是正数， 则它是负数. （ B）
义域内不是减函数 C.若loga2≥0，则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定 义域内是减函数 D.若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义 域内是减函数
解析
由互为逆否命题的关系可知,原命题的逆否命
题为：若loga2≥0，则函数f（x）=logax(a>0,a≠1) 在其定义域内不是减函数. 答案 A
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 a>4 A={x|-4≤x≤4},若A B，则a>4, a>5,但a>5 a>4.
故“A B”是“a>5”的必要不充分条件.
π 1 6.（2009·北京文，6） " " 是" cos 2 " 的 6 2
（ A ） A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 π π 1 π 解析 当 时, cos 2 cos ; 而当 时, 6 3 2 6 π 1 1 π 外 这说明 cos 2 cos( ) , cos 2 时, 除 3 2 2 6 π 1 还可以取其他的值.所以 " " 是" cos 2 " 的
q的必要不充分条件的是
A.p:a+c>b+d,q:a>b且c>dห้องสมุดไป่ตู้
B.p:a>1,b>1,q:f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的图象不过 第二象限 C.p:x=1，q:x2=x D.p:a>1,q:f(x)=logax(a>0,且a≠1)在（0,+∞）上
为增函数
解析
由于a>b,c>d a+c>b+d，而a+c>b+d却不一定
A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
2.（2009·浙江理，2）已知a,b是实数，则“a>0且 b>0”是“a+b>0且ab>0”的 A.充分而不必要条件 （ C）
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析
当a>0且b>0时，一定有a+b>0且ab>0.反之，
当a+b>0且ab>0时，一定有a>0,b>0.故“a>0且b>0” 是“a+b>0且ab>0”的充要条件.
6 2
充分而不必要条件.
二、填空题 7.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x 的取值范围是______. [1,2)
解析
x
［2，5］且x {x|x<1或x>4}是真命题.
x 2或x 5, 由 得1≤x<2 . 1 x 4.
8.设p:|4x-3|≤1;q:(x-a)(x-a-1)≤0，若p是q的充 1 [0, ] 分不必要条件,则实数a的取值范围是________. 2 1 解析 p: ≤x≤1,q：a≤x≤a+1, 2 易知p是q的真子集，
(4)已知x、y∈R，p：(x-1)2+(y-2)2=0， q：(x-1)(y-2)=0. 首先分清条件和结论，然后根据充要条 思维启迪 件的定义进行判断.
解
（1）在△ABC中，∠A=∠B sin A=sin B，反
之，若sin A=sin B，因为A与B不可能互补（因为三 角形三个内角和为180°),所以只有A=B. 故p是q的充要条件. (2)易知,p:x+y=8, q:x=2且y=6,显然 q p, q,即 q是p的充分不必要条件,根据原命题 但p 和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件. (3)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有 x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件. (4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2, 所以p q但q p,故p是q的充分不必要条件.
3.（2008·广东文，8）命题“若函数f(x)=logax
(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的 逆否命题是 义域内不是减函数 ( ) A.若loga2≥0，则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定
B.若loga2<0，则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定
1 1 a , 2 0 a . 2 a 1 1.
探究提高
判断p是q的什么条件，需要从两方面分
析:一是由条件p能否推得条件q,二是由条件q能否推 得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命
题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观
化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题 的等价性，转化为判断它的等价命题.
知能迁移2
（2009·安徽理，4）下列选项中,p是 （ ）