第1章 集合与充要条件教案(1)
数学高考复习名师精品教案：第06课时：第一章 集合与简易逻辑-充要条件
数学高考复习名师精品教案第06课时：第一章集合与简易逻辑——充要条件一．课题：充要条件二．教学目标：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系．三．教学重点：充要条件关系的判定．四．教学过程：（一）主要知识：1．充要条件的概念及关系的判定；2．充要条件关系的证明．（二）主要方法：1．判断充要关系的关键是分清条件和结论；2．判断p q是否正确的本质是判断命题“若p，则q”的真假；3．判断充要条件关系的三种方法：①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）．4．说明不充分或不必要时，常构造反例．（三）例题分析：例1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）（1）在ABC ∆中，:p A B >，:sin sin q A B >（2）对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠（3）在ABC ∆中，:sin sin p A B >，:tan tan q A B >（4）已知,x y R ∈，22:(1)(2)0p x y -+-=，:(1)(2)0q x y --=解：（1）在ABC ∆中，有正弦定理知道：sin sin a b A B= ∴sin sin A B a b >⇔> 又由a b A B >⇔>所以，sin sin A B A B >⇔> 即p 是q 的的充要条件．（2）因为命题“若2x =且6y =，则8x y +=”是真命题，故p q ⇒，命题“若8x y +=，则2x =且6y =”是假命题，故q 不能推出p ，所以p 是q 的充分不必要条件．（3）取120,30A B == ，p 不能推导出q ；取30,120A B == ，q 不能推导出p 所以，p 是q 的既不充分也不必要条件．（4）因为{(1,2)}P =，{(,)|1Q x y x ==或2}y =，P Q ≠⊂， 所以，p 是q 的充分非必要条件．例2．设,x y R ∈，则222x y +<是||||x y +≤ ）、是||||2x y +<的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：由图形可以知道选择B ，D ．（图略）例3．若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：因为甲是乙的充分非必要条件，故甲能推出乙，乙不能推出甲， 因为丙是乙的必要非充分条件，故乙能推出丙，丙不能推出乙，因为丁是丙的充要条件，故丁能推出丙，丙也能推出丁，由此可知，甲能推出丁，丁不能推出甲即丁是甲的必要不充分条件，选B ． 例4．设,x y R ∈，求证：||||||x y x y +=+成立的充要条件是0xy ≥．证明：充分性：如果0xy =，那么，①0,0x y =≠②0,0x y ≠= ③0,0x y ==于是||||||x y x y +=+如果0xy >即0,0x y >>或0,0x y <<，当0,0x y >>时，||||||x y x y x y +=+=+，当0,0x y <<时，||()()||||x y x y x y x y +=--=-+-=+，总之，当0xy ≥时，||||||x y x y +=+．必要性：由||||||x y x y +=+及,x y R ∈得22()(||||)x y x y +=+即222222||x xy y x xy y ++=++得||xy xy =所以0xy ≥故必要性成立，综上，原命题成立．例5．已知数列{}n a 的通项1113423n a n n n =++++++ ，为了使不等式22(1)11log (1)log 20n t t a t t ->--对任意*n N ∈恒成立的充要条件． 解： ∵11111111((02425324262526n n a a n n n n n n n +-=+-=-+->+++++++， 则1221n n n a a a a a -->>>>> ，欲使得题设中的不等式对任意*n N ∈恒成立， 只须{}n a 的最小项221(1)11log (1)log 20t t a t t ->--即可， 又因为11194520a =+=， 即只须11t -≠且22911log (1)log (1)02020t t t t ----<， 解得1log (1)(1)t t t t -<-<>， 即101(2)t t t t <<-<≠，解得实数t 应满足的关系为t >且2t ≠．例6．（1）是否存在实数m ，使得20x m +<是2230x x -->的充分条件？（2）是否存在实数m ，使得20x m +<是2230x x -->的必要条件？ 解：欲使得20x m +<是2230x x -->的充分条件，则只要{|}{|12m x x x x <-⊆<-或3}x >，则只要12m -≤-即2m ≥， 故存在实数2m ≥时，使20x m +<是2230x x -->的充分条件．（2）欲使20x m +<是2230x x -->的必要条件，则只要{|}{|12m x x x x <-⊇<-或3}x >，则这是不可能的， 故不存在实数m 时，使20x m +<是2230x x -->的必要条件．（四）巩固练习：1．若非空集合M N ≠⊂，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈ ”的 条件． 2．05x <<是|2|3x -<的 条件．3．直线,a b 和平面,αβ，//a b 的一个充分条件是（ ）A.//,//a b ααB.//,//,//a b αβαβC. ,,//a b αβαβ⊥⊥D. ,,a b αβαβ⊥⊥⊥。
中职数学集合与充要条件教案
中职数学集合与充要条件教案
1. 同学们，集合就像是一个大口袋，里面装着各种元素呢！比如说，咱班的同学就是一个集合呀！那充要条件又是什么呢？就好比打开这个口袋的钥匙，两者关系可紧密啦！
2. 嘿，想象一下，集合是个奇妙的世界，里面的元素就像是这个世界的居民。
比如水果集合里有苹果、香蕉等。
那充要条件呢，不就是连接这些世界的通道嘛！
3. 你们看哦，集合就好像是一群小伙伴聚在一起，像篮球爱好者的集合。
而充要条件呢，就是让这些小伙伴能一直聚在一起的理由呀！
4. 哇塞，集合不就是把相关的东西放一块儿嘛，像各种颜色组成的集合。
那充要条件不就是决定它们能放在一起的关键因素嘛，这多有意思啊！
5. 同学们想想，集合像不像一个宝藏盒子呀，里面装着各种宝贝。
充要条件呢，就是找到这个盒子的线索，是不是很好玩呀？
6. 哎呀呀，集合就好像是一个拼图，每一块都是一个元素。
那充要条件不就是让这些拼图完美契合的关键嘛，真的好神奇呀！
7. 大家说，集合是不是像一个大团队呀，里面有不同的成员。
而充要条件就是这个团队能团结协作的必要条件呀，这可太重要啦！
8. 嘿呀，集合像不像一个魔法口袋，啥都能装进去。
那充要条件不就是控制这个口袋的魔力嘛，这不是很有趣吗？
9. 同学们，集合好比是一场聚会，各种人都来了。
那充要条件就是让这场聚会成功举办的条件呀，是不是很形象呢？
10. 哇哦，集合就像一个大花园，有各种各样的花朵。
充要条件就是让这些花朵盛开的阳光和水分呀，这不是一目了然嘛！
我的观点结论：中职数学的集合与充要条件其实并不难理解，只要我们用生活中的例子去类比，就能很好地掌握它们啦！。
2021年高考数学总复习核心突破第1章集合与充要条件1.1集合的概念课件
条件;
(3)韦恩图法:用一条封闭曲线直观地表示集合及其关系
的图形的方法;(韦恩图也叫文氏图)
(4)区间法:用区间表示集合的方法.如不等式的解集及函
数的定义域、值域等常用区间表示,但应注意的是包括区间
端点时用中括号,不包括区间端点时用小括号.(详见第二章)
③传递性:假设A⊂B,B⊂C,那么A⊂C.
(3)集合相等:假设A⊆B且B⊆A,那么称集合A与集合B
相等,记作A=B(事实上,当A与B所含元素完全一样时,A与B
相等).
注意:∈与⊆的区别,∅与{0}、{∅}的区别.
(4)子集个数:假设集合A中有n个元素,那么它有2n个
子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集.
A.{1,2}⊆{1,2,3}
C.Z⊂R
E.{x|x>0}⊆{x|x>1}
【答案】E
)
B.{1,2}⊂{1,2,3}
D.{1}={x|x=1}
F.{x|x<0}⊂{x|x<1}
二、探究提高
【例1】 集合{(x,y)|y=x2+1}与集合{y|y=x2+1}是同一个
集合吗?请用图形把它们表示出来.
分析:用描述法表示集合,要先看元素的一般形式,了解
2.集合的元素
构成集合的对象叫做集合的元素,一般用小写拉丁字母
a,b,c,d,…表示.
说明:(1)集合中的元素满足确定性、互异性和无序性.其中确
定性指对任意一个元素a和集合A,元素a要么属于集合A,记作
a∈A;要么不属于集合A,记作a∉A.互异性指集合中的元素互不一
样.无序性是指集合中的各元素没有先后排列顺序,如集合{1,2}和
新教材高考数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.4 充分条件与必要条件 第1课时 充分条件与必要条件
充分条件与必要条件课标解读课标要求核心素养1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.(重点)2.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.(难点)1.通过对必要条件、充分条件的学习和理解,培养数学抽象的核心素养.2.体会必要条件、充分条件在数学表达、论证等方面的作用,提升逻辑推理的核心素养.某居民的卧室里有一盏灯,在卧室门口和床头各有一个开关,任意一个开关都能够独立控制这盏灯,这就是电器上常用的“双刀〞开关,如下图.问题1:A 开关闭合时B 灯一定亮吗? 答案 一定亮.问题2:B 灯亮时A 开关一定闭合吗? 答案 不一定,还可能是C 开关闭合.1.命题可以判断真假的陈述句是命题,而且,判断为真的语句称为①真命题,判断为假的语句称为假命题. 2.充分条件与必要条件“假设p,那么q 〞为真命题“假设p,那么q 〞为假命题推出关系 p②⇒qp③⇒/q条件 关系p 是q 的④充分条件; q 是p 的⑤必要条件p 不是q 的⑥充分条件; q 不是p 的⑦必要条件定理 关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件; 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件思考:“x<2〞是“x<3〞的 条件,“x<3〞是“x<2〞的 条件.提示 充分;必要 特别提醒对充分条件和必要条件的理解(1)假设p ⇒q,那么p 是q 的充分条件.所谓充分,就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立〞.(2)假设p ⇒q,那么q 是p 的必要条件.所谓必要,就是条件是必须有的,必不可少的,缺其不可.“有之未必成立,无之必不成立〞.(3)假设p ⇒/ q,那么p 不是q 的充分条件,q 不是p 的必要条件,也可以称为p 是q 的不充分条件,q 是p 的不必要条件.探究一 充分条件、必要条件的判断例1 (1)以下各题中,p 是q 的充分条件的是 (填序号).①p:(x -2)(x-3)=0,q:x-2=0;②p:两个三角形面积相等,q:两个三角形全等; ③p:m<-2,q:方程x 2-x-m=0无实根.(2)以下“假设p,那么q 〞形式的命题中,q 是p 的必要条件的有 (填序号). ①假设x=1,那么x 2-4x+3=0;②假设x为有理数,那么1x为有理数;③假设x=y,那么x2=y2.答案(1)③(2)①③解析(1)①∵(x-2)(x-3)=0,∴x=2或x=3,不能推出x-2=0.∴p不是q的充分条件.②∵两个三角形面积相等不能推出两个三角形全等,∴p不是q的充分条件.③∵m<-2,∴12+4m<0,∴方程x2-x-m=0无实根,∴p是q的充分条件.(2)①∵命题“假设x=1,那么x2-4x+3=0〞是真命题,∴q是p的必要条件.②当x=0时,x是有理数,1x 无意义,∴1x不是有理数,∴q是p的不必要条件.③∵x=y,等号左右平方后,等式依然成立,p⇒q,∴q是p的必要条件.思维突破充分条件、必要条件的判断方法(1)判断p是q的什么条件,主要判断p成立时,能否推出q成立,反过来,q成立时,能否推出p成立:假设p⇒q为真,那么p是q的充分条件,假设q⇒p为真,那么p是q的必要条件.(2)除了用定义判断充分条件、必要条件之外,还可以利用集合间的关系判断,假设p构成的集合为A,q构成的集合为B,A⊆B,那么p是q的充分条件,q是p的必要条件.1.(1)以下选项中,p是q的必要条件的是( )A.p:a=1,q:|a|=1B.p:-1<a<1,q:a<1C.p:a<b,q:a<b+1D.p:a>b,q:a>b+1(2)“a>2且b>2〞是“a+b>4,ab>4〞的条件(填“充分〞或“必要〞).答案(1)D (2)充分解析(1)要满足p是q的必要条件,即q⇒p,只有q:a>b+1⇒p:a>b,应选D.(2)∵a>2且b>2⇒a+b>4,ab>4,∴是充分条件.探究二根据充分条件或必要条件求参数的范围例2 p:实数x满足3a<x<a,其中a<0;q:实数x满足-2≤x≤3.假设p是q的充分条件,求实数a的取值范围.解析p:3a<x<a,记集合A={x|3a<x<a},由题意知,A≠⌀.q:-2≤x≤3,记集合B={x|-2≤x≤3}.因为p⇒q,所以A⊆B,所以{3x≥-2,x≤3,x<0⇒-23≤a<0,即实数a的取值范围是{x|-23≤a<0}.思维突破充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,特别是求参数的值或取值范围问题.(2)求解步骤:先把p,q等价转化,利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系,建立关于参数的不等式(组)进行求解.2.(1)(变条件)将本例中的条件“p:实数x满足3a<x<a,其中a<0〞改为“p:实数x满足a<x<3a,其中a>0〞,假设p是q的必要条件,求实数a的取值范围;(2)(变条件)将本例中的条件“q:实数x满足-2≤x≤3〞改为“q:实数x满足-3≤x≤0〞,其他条件不变,求实数a的取值范围.解析(1)p:a<x<3a,记集合A={x|a<x<3a}.q:-2≤x≤3,记集合B={x|-2≤x≤3}.因为q⇒p,所以B⊆A,所以{3x>3,x<-2,x>0⇒a无实数解.(2)p:3a<x<a,其中a<0,记集合A={x|3a<x<a}.q:-3≤x≤0,记集合B={x|-3≤x≤0}.因为p是q的充分条件,所以p⇒q,所以A⊆B,所以{3x≥-3,x≤0,x<0⇒-1≤a<0,即a的取值范围是{a|-1≤a<0}.1.以下语句是命题的是( )A.今天天气真好啊!B.你怎么又没交作业?C.x>2D.方程x2+2x+3=0无实根答案 D A是一个感叹句,不能判断真假,所以不是命题;B是问句,不能判断真假,不是命题;C中x的值不确定,所以不能判断真假,不是命题;D是真命题.2.使x>3成立的一个充分条件是( )A.x>4B.x>0C.x>2D.x<2答案 A 只有x>4⇒x>3,其他选项均不可推出x>3.3.“x2>4〞是“x>2〞的条件(填“充分〞或“必要〞).答案必要解析x>2⇒x2>4,故“x2>4〞是“x>2〞的必要条件.4.假设“x>1〞是“x>a〞的充分条件,那么a的取值范围是.答案a≤1解析因为x>1⇒x>a,所以a≤1.5.分析以下各题中p与q的关系.(1)p:α为锐角,q:α=45°;(2)p:x+1=0,q:(x+1)(x-2)=0.解析(1)由于q⇒p,故p是q的必要条件,q是p的充分条件.(2)由于p⇒q,故p是q的充分条件,q是p的必要条件.数学建模——探究性试题的问题转化或x>1,是否存在实数a,使p是q的充分条件但不是必要条件?条件p:x<1-a或x>1+a和条件q:x<12假设存在,求出最小的正整数a;假设不存在,说明理由.素养探究:解答此类问题的关键是条件“p 是q 的充分条件但不是必要条件〞的转化,利用两个解集间的包含关系建立不等关系求解,过程中表达数学建模核心素养.解析 存在.由题意知a>0.由条件p:x<1-a 或x>1+a,可设集合M={x|x<1-a 或x>1+a}, 由条件q:x<12或x>1,可设集合N=x x<12或x>1. 要使p 是q 的充分条件但不是必要条件, 那么M ⫋N,应有{1-x ≤12,1+x >1 或{1-x <12,1+x ≥1,解得a≥12.令a=1,那么M={x|x<0或x>2}⫋N={x |x <12或x >1}.即p ⇒q,且q ⇒/p.∴存在最小的正整数a=1符合题意.是否存在实数p,使“4x+p<0〞是“x>2或x<-1〞的充分条件?假设存在,求出p 的取值范围;假设不存在,说明理由.解析 存在.令集合A={x|x>2或x<-1},集合B={x|4x+p<0}={x |x <-x4}.由题意知,B ⊆A,即-x4≤-1,即p≥4.∴当p≥4时,“4x+p<0〞是“x>2或x<-1〞的充分条件.1.假设p 是q 的充分条件,那么q 一定是p 的( ) A.充分条件 B.必要条件C.既不充分又不必要条件D.既是充分条件,又是必要条件答案 B 因为p 是q 的充分条件,所以p ⇒q,所以q 一定是p 的必要条件. 2.使x>1成立的一个必要条件是( )A.x>0B.x>3C.x>2D.x<2答案 A 只有x>1⇒x>0,其他选项均不可由x>1推出,应选A. 3.以下“假设p,那么q 〞形式的命题中,p 是q 的充分条件的是( ) A.假设1x =1x ,那么x=y B.假设x 2=1,那么x=1 C.假设x=y,那么√x =√x D.假设x<y,那么x 2<y 2答案 A B 项中,x 2=1⇒x=1或x=-1;C 项中,当x=y<0时,√x ,√x 无意义;D 项中,当x<y<0时,x 2>y 2,所以B,C,D 中p 不是q 的充分条件.4.假设“x 2=4〞是“x=m〞的必要条件,那么m 的一个值可以是( ) A.0 B.2C.4D.16答案 B 由“x=2〞能得出“x 2=4〞,选项B 正确. 5.设p:x<3,q:-1<x<3,那么p 是q 成立的( ) A.既是充分条件,又是必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件答案 C 因为{x|-1<x<3}⫋{x|x<3},所以p 是q 成立的必要不充分条件.6.设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M〞是“a∈N〞的 条件.(填“充分〞或“必要〞) 答案 必要解析 因为N ⊆M,所以“a∈M〞是“a∈N〞的必要条件.7.假设集合A={1,m 2},B={2,4},那么“m=2〞是“A∩B={4}〞的 条件.(填“充分〞或“必要〞)答案充分解析当m=2时,m2=4,所以A∩B={4},所以“m=2〞是“A∩B={4}〞的充分条件.8.以下说法不正确的是.(只填序号)①“x>5〞是“x>4〞的充分条件;②“xy=0〞是“x=0且y=0〞的充分条件;③“-2<x<2〞是“x<2〞的充分条件.答案②解析由xy=0不能推出x=0且y=0,那么②不正确;①③正确.9.指出以下命题中,p是q的充分条件,还是必要条件.(1)p:x2=2x+1,q:x=√2x+1;(2)p:a2+b2=0,q:a+b=0;(3)p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0.解析(1)∵x2=2x+1⇒/ x=√2x+1,x=√2x+1⇒x2=2x+1,∴p是q的必要条件.(2)∵a2+b2=0⇒a=b=0⇒a+b=0,a+b=0⇒/ a2+b2=0,∴p是q的充分条件.(3)∵(x-1)2+(y-2)2=0⇒x=1且y=2⇒(x-1)(y-2)=0,(x-1)(y-2)=0⇒/ (x-1)2+(y-2)2=0,∴p是q的充分条件.10.(多选)对任意实数a,b,c,以下命题中是真命题的是( )A.“ac2>bc2〞是“a>b〞的必要条件B.“ac=bc〞是“a=b〞的必要条件C.“ac2>bc2〞是“a>b〞的充分条件D.“ac=bc〞是“a=b〞的充分条件答案BC 当c=0时,“a>b〞⇒/ “ac2>bc2〞,所以A是假命题;“a=b〞⇒“a-b=0〞⇒“(a-b)c=0〞⇒“ac=bc〞,所以“ac=bc〞是“a=b〞的必要条件,所以B是真命题;“ac2>bc2〞⇒“(a-b)c2>0〞,因为c2>0,所以a-b>0,即a>b,所以“ac2>bc2〞是“a>b〞的充分条件,所以C是真命题;当c=0时,“ac=bc〞⇒/ “a=b〞,所以D是假命题.11.集合A={x∈R|-1<x<3},B={x∈R|-1<x<m+1},假设“x∈B〞成立的一个充分条件是“x∈A〞,那么实数m的取值范围是( )A.m≥2B.m≤2C.m>2D.-2<m<2答案 A 因为“x∈B〞成立的一个充分条件是“x∈A〞,所以A⊆B,所以3≤m+1,即m≥2.12.假设A={x|a<x<a+2},B={x|x<-1或x>3},且A是B的充分条件,那么实数a的取值范围为.答案{a|a≤-3或a≥3}解析因为A是B的充分条件,所以A⊆B,又A={x|a<x<a+2},B={x|x<-1或x>3},所以a+2≤-1或a≥3,所以实数a的取值范围是{a|a≤-3或a≥3}.13.(1)是否存在实数m,使“2x+m<0〞是“x<-1或x>3〞的充分条件?(2)是否存在实数m,使“2x+m<0〞是“x<-1或x>3〞的必要条件?解析(1)欲使“2x+m<0〞是“x<-1或x>3〞的充分条件,那么只要{x|x<-x2}⊆{x|x<-1或x>3},即只需-x2≤-1,所以m≥2.故存在实数m≥2,使“2x+m<0〞是“x<-1或x>3〞的充分条件.(2)欲使“2x+m<0〞是“x<-1或x>3〞的必要条件,那么只要{x|x<-1或x>3}⊆{x|x<-x2},这是不可能的.故不存在实数m,使“2x+m<0〞是“x<-1或x>3〞的必要条件.14.假设p:-2<a<0,0<b<1,q:关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,那么p是q的什么条件?解析①假设a=-1,b=12,那么Δ=a2-4b<0,关于x的方程x2+ax+b=0无实根,故p⇒/ q.②关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,不妨设这两个根分别为x1,x2,且0<x1<x2<1,那么Δ>0,x1+x2=-a,x1x2=b,所以0<-a<2,0<b<1,即-2<a<0,0<b<1,故q⇒p.所以p是q的必要不充分条件.。
高中数学第一章集合教案1
高中数学第一章集合教案1
教学目标：使学生掌握集合的基本概念和表示方法，了解集合的运算及其性质。
一、集合的定义和表示方法
1. 集合的基本概念
- 了解集合的概念和元素的概念
- 掌握集合的表示方法：列举法、描述法
2. 集合的符号表示
- 学习如何用符号表示集合：A={1,2,3,4,5}
二、集合的运算及其性质
1. 集合的运算
- 了解集合的交集、并集、差集等运算
- 学习集合的运算规则和性质：交换律、结合律、分配律
2. 集合的运算应用
- 能够解决实际问题中的集合运算
三、集合的性质和定理
1. 集合的性质
- 了解集合的基本性质：互斥、重复、子集等
- 学习如何判断两个集合是否相等
2. 集合的定理
- 掌握集合的代数定理和逻辑定理
教学步骤：
1. 引入新知识，通过生动有趣的例子引出集合的概念和表示方法
2. 介绍集合的运算及其性质，让学生掌握集合的基本运算规则
3. 练习集合的运算和性质，加深学生的理解和掌握程度
4. 引导学生应用集合运算解决实际问题，培养学生的应用能力
5. 总结本节课的内容，强调重点，帮助学生做好知识的复习和巩固
教学反馈：通过课堂练习、作业布置等方式对学生的学习情况进行及时反馈，发现问题及时纠正，提高学生的学习效果。
教学资源：教科书、课件、练习题等
教学评价方法：通过课堂练习、小测验、作业等不同方式对学生的学习情况进行评价，及时发现问题，实施个性化教学。
高中数学《第一章集合与常用逻辑用语复习课》教学设计
《第一章集合与常用逻辑用语复习课》教学设计一、内容和内容解析1.内容2.内容解析本章学习内容包括集合的有关概念，关系和运算，还有充分条件、必要条件、充要条件、全称量词、存在量词、全称量词命题与存在量词命题及其否定。
这些知识在后续学习中会得到大量应用，是进一步学习的重要基础。
复习本章所学知识，在知识的复习和再现的基础上，用联系的观点和递进的方式可以加深对本章内容的理解。
复习本章知识能有效总结和提升学习内涵，整理学习方法提高学习效率，对于全章知识的联系和整合也能有更好的效果。
在本章内容的复习中，首先应掌握集合语言的表述方式，学习了集合的含义，明确了集合中元素的确定性、无序性、互异性等特征；再学习了列举法、描述法等集合的表示法，其中描述法利用了研究对象的某种特征，需要先理解研究对象的性质；类比数与数的关系，我们研究了集合之间的包含关系与相等关系，这些关系是由元素与集合的关系决定的，其中集合的相等关系很重要；类比数的运算，我们学习了集合的交、并、补运算，通过这些运算可以得到与原有集合紧密关联的集合，由此可以表示研究对象的某些关系。
常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是逻辑思维的基本语言，也是数学表达和交流的工具。
充分条件、必要条件和充要条件，全称量词命题，存在量词命题及它们的否定都能与许多已学过的内容进行融合，如初中学习过的数学定义、定理、命题及许多代数结论等都可以用常用逻辑用语表示。
利用常用逻辑用语表述数学内容，进行推理论证，可以大大提升表述的逻辑性和准确性，提升逻辑推理素养。
结合以上分析，确定本节课的教学重点是：引领复习全章重点内容。
二、目标和目标解析1.目标（1）理解集合的含义，表示法，明确元素与集合，集合与集合的关系；（2）理解并掌握集合的运算法，能解决集合的交、并、补运算问题；（3）能通过“若p，则q”形式命题的真假性，判断充分条件、必要条件、充要条件；（4）能辨别全称量词命题和存在量词命题的真假，并能写出否定形式。
中职数学(基础模块)上册教案
中职数学(基础模块)上册教案1．1集合的概念知识目标：（1）理解集合、元素及其关系；（2）掌握集合的列举法与描述法会用适当的方法表示集合．能力目标：通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.教学重点：集合的表示法．教学难点：集合表示法的选择与规范书写．课时安排：2课时．1.2集合之间的关系知识目标：（1）掌握子集、真子集的概念；（2）掌握两个集合相等的概念；（3）会判断集合之间的关系.能力目标：通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.教学重点：集合与集合间的关系及其相关符号表示．教学难点：真子集的概念．课时安排：2课时．1.3集合的运算（1）知识目标：（1）理解并集与交集的概念；（2）会求出两个集合的并集与交集．能力目标：（1）通过数形结合的方法处理问题，培养学生的观察能力；（2）通过交集与并集问题的研究，培养学生的数学思维能力．教学重点：交集与并集．教学难点：用描述法表示集合的交集与并集．课时安排：2课时．1.3集合的运算（2）知识目标：（1）理解全集与补集的概念；（2）会求集合的补集．能力目标：（1）通过数形结合的方法处理问题，培养学生的观察能力；（2）通过全集与补集问题的研究，培养学生的数学思维能力．教学重点：集合的补运算．教学难点：集合并、交、补的综合运算．课时安排：2课时．1.4充要条件知识目标：了解“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”．能力目标：通过对条件与结论的研究与判断，培养思维能力．教学重点：（1）对“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”的理解．（2）符号“”，“”，“”的正确使用．教学难点：“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”的判定．课时安排：2课时．2.1不等式的基本性质知识目标：⑴理解不等式的基本性质；⑵了解不等式基本性质的应用．能力目标：⑴了解比较两个实数大小的方法；⑵培养学生的数学思维能力和计算技能．教学重点：⑴比较两个实数大小的方法；⑵不等式的基本性质．教学难点：比较两个实数大小的方法．课时安排：1课时．2．2区间知识目标：⑴掌握区间的概念；⑵用区间表示相关的集合．能力目标：通过数形结合的学习过程，培养学生的观察能力和数学思维能力．教学重点：区间的概念．教学难点：区间端点的取舍．课时安排：1课时．2.3一元二次不等式式的图像解法．观察能力与数学思维能力；⑵通过求解一元二次不等式，培养学生的计算技能．2.4含绝对值的不等式知识目标：（1）理解含绝对值不等式或的解法；（2）了解或的解法．能力目标：（1）通过含绝对值不等式的学习；培养学生的计算技能与数学思维能力；（2）通过数形结合的研究问题，培养学生的观察能力．教学重点：（1）不等式或的解法．（2）利用变量替换解不等式或．教学难点：利用变量替换解不等式或．课时安排：2课时．3.1函数的概念及其表示法知识目标：(1)理解函数的定义；(2)理解函数值的概念及表示；(3)理解函数的三种表示方法；(4)掌握利用“描点法”作函数图像的方法．能力目标：(1)通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力；(2)通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能；(3)会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的观察能力和数学思维能力．教学重点：(1)函数的概念；(2)利用“描点法”描绘函数图像．教学难点：(1)对函数的概念及记号的理解；(2)利用“描点法”描绘函数图像．课时安排：2课时．3.2函数的性质知识目标：⑴理解函数的单调性与奇偶性的概念；⑵会借助于函数图像讨论函数的单调性；⑶理解具有奇偶性的函数的图像特征，会判断简单函数的奇偶性．能力目标：⑴通过利用函数图像研究函数性质，培养学生的观察能力；⑵通过函数奇偶性的判断，培养学生的数学思维能力．教学重点：⑴函数单调性与奇偶性的概念及其图像特征；⑵简单函数奇偶性的判定．教学难点：函数奇偶性的判断．（某函数单调性的判断）课时安排：2课时．3.3函数的实际应用举例知识目标：（1）理解分段函数的概念；（2）理解分段函数的图像；（3）了解实际问题中的分段函数问题．能力目标：（1）会求分段函数的定义域和分段函数在点处的函数值；（2）掌握分段函数的作图方法；（3）能建立简单实际问题的分段函数的关系式．教学重点：（1）分段函数的概念；（2）分段函数的图像．教学难点：（1）建立实际问题的分段函数关系；（2）分段函数的图像．课时安排：2课时．4.1实数指数幂(1)知识目标：⑴复习整数指数幂的知识；⑵了解n次根式的概念；⑶理解分数指数幂的定义.能力目标：⑴掌握根式与分数指数幂之间的转化；⑵会利用计算器求根式和分数指数幂的值；⑶培养计算工具使用技能.教学重点：分数指数幂的定义．教学难点：根式和分数指数幂的互化．课时安排：2课时．4.1实数指数幂（2）知识目标：⑴掌握实数指数幂的运算法则；⑵通过几个常见的幂函数，了解幂函数的图像特点.能力目标：⑴正确进行实数指数幂的运算；⑵培养学生的计算技能；⑶通过对幂函数图形的作图与观察，培养学生的计算工具使用能力与观察能力.教学重点：有理数指数幂的运算．教学难点：有理数指数幂的运算．课时安排：2课时．4．2指数函数知识目标：⑴理解指数函数的图像及性质；⑵了解指数模型，了解指数函数的应用．能力目标：⑴会画出指数函数的简图；⑵会判断指数函数的单调性；⑶了解指数函数在生活生产中的部分应用，从而培养学生分析与解决问题能力．教学重点：⑴指数函数的概念、图像和性质；⑵指数函数的应用实例．教学难点：指数函数的应用实例．课时安排：2课时．4．3对数知识目标：⑴理解对数的概念，理解常用对数和自然对数的概念；⑵掌握利用计算器求对数值的方法；⑶了解积、商、幂的对数．能力目标：⑴会进行指数式与对数式之间的互化；⑵会运用函数型计算器计算对数值；⑶培养计算工具的使用技能．教学重点：指数式与对数式的关系．教学难点：对数的概念．课时安排：2课时．4．4对数函数知识目标：⑴了解对数函数的图像及性质特征；⑵了解对数函数的实际应用.能力目标：⑴观察对数函数的图像，总结对数函数的性质，培养观察能力；⑵通过应用实例的介绍，培养学生数学思维能力和分析与解决问题能力.教学重点：对数函数的图像及性质.教学难点：对数函数的应用中实际问题的题意分析．课时安排：2课时．5．1角的概念推广知识目标：⑴了解角的概念推广的实际背景意义；⑵理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念．能力目标：（1）会判断角所在的象限；（2）会求指定范围内与已知角终边相同的角；（3）培养观察能力和计算技能．教学重点：终边相同角的概念．教学难点：终边相同角的表示和确定．课时安排：2课时．5．2弧度制知识目标：⑴理解弧度制的概念；⑵理解角度制与弧度制的换算关系.能力目标：（1）会进行角度制与弧度制的换算；（2）会利用计算器进行角度制与弧度制的换算；（3）培养学生的计算技能与计算工具使用技能．教学重点：弧度制的概念，弧度与角度的换算．教学难点：弧度制的概念．课时安排：2课时．5．3任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数知识目标：⑴理解任意角的三角函数的定义及定义域；⑵理解三角函数在各象限的正负号；⑶掌握界限角的三角函数值．能力目标：⑴会利用定义求任意角的三角函数值；⑵会判断任意角三角函数的正负号；⑶培养学生的观察能力．教学重点：⑴任意角的三角函数的概念；⑵三角函数在各象限的符号；⑶特殊角的三角函数值．教学难点：任意角的三角函数值符号的确定．课时安排：2课时．5．4同角三角函数的基本关系知识目标：理解同角的三角函数基本关系式．能力目标：⑴已知一个三角函数值，会利用同角三角函数的基本关系式求其他的三角函数值；⑵会利用同角三角函数的基本关系式求三角式的值．教学重点：同角的三角函数基本关系式的应用．教学难点：应用平方关系求正弦或余弦值时，正负号的确定.课时安排：2课时．5．5诱导公式知识目标：了解“”、“”、“180°”的诱导公式．能力目标：（1）会利用简化公式将任意角的三角函数的转化为锐角的三角函数；（2）会利用计算器求任意角的三角函数值；（3）培养学生的数学思维能力及应用计算工具的能力．教学重点：三个诱导公式．教学难点：诱导公式的应用．课时安排：2课时．5.6三角函数的图像和性质知识目标：(1)理解正弦函数的图像和性质；(2)理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法；(3)了解余弦函数的图像和性质．能力目标：(1)认识周期现象，以正弦函数、余弦函数为载体，理解周期函数；(2)会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图；(3)通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力．教学重点：（1）正弦函数的图像及性质；（2）用“五点法”作出函数y=sin某在上的简图．教学难点：周期性的理解．课时安排：2课时．5.7已知三角函数值求角知识目标：（1）掌握利用计算器求角度的方法；（2）了解已知三角函数值，求指定范围内的角的方法．能力目标：（1）会利用计算器求角；（2）已知三角函数值会求指定范围内的角；（3）培养使用计算工具的技能．教学重点：已知三角函数值，利用计算器求角；利用诱导公式求出指定范围内的角．教学难点：已知三角函数值，利用计算器求指定范围内的角．。
高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 充要条件、全称量词与存在量词教案(含解析)-
§1.2充要条件、全称量词与存在量词最新考纲 1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)概念方法微思考若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q 的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．提示若A B，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B ，则p 是q 的必要不充分条件； 若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若A ⊈B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( √ )(2)若p 是q 的充要条件，则命题p 和q 是两个等价命题．( √ ) (3)全称命题一定含有全称量词．( × )(4)∃x 0∈M ，p (x 0)与∀x ∈M ，綈p (x )的真假性相反．( √ ) 题组二 教材改编2．命题“正方形都是矩形”的否定是___________________________． 答案 存在一个正方形，这个正方形不是矩形3．“x －3＝0”是“(x －3)(x －4)＝0”的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要 题组三 易错自纠4．(2018·某某质检)命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1>0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－x －1≤0B．∀x ∈R ，x 2－x －1>0 C ．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≤0D．∃x 0∈R ，x 20－x 0－1≥0 答案 A5．已知p ：x >a 是q ：2<x <3的必要不充分条件，则实数a 的取值X 围是________． 答案 (－∞，2]解析 由已知，可得{x |2<x <3}{x |x >a }， ∴a ≤2.6．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意知，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1.题型一 充分、必要条件的判定例1 (1)已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 D解析 取α＝7π3，β＝π3，α>β成立，而sin α＝sin β，sin α>sin β不成立．∴充分性不成立；取α＝π3，β＝13π6，sin α>sin β，但α<β，必要性不成立．故“α>β”是“sin α>sin β”的既不充分也不必要条件．(2)已知条件p ：x >1或x <－3，条件q ：5x －6>x 2，则q 是p 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由5x －6>x 2，得2<x <3，即q ：2<x <3. 所以q ⇒p ，p ⇏q ，所以q 是p 的充分不必要条件，故选A. 思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母X 围的推断问题．跟踪训练1 (1)(2018·某某省某某一中月考)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( ) A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件 C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件 答案 D解析 非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件． (2)(2018·某某模拟)若集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >b ，b ∈R }，则A ⊆B 的一个充分不必要条件是( ) A ．b ≥2B．1<b ≤2C ．b ≤1D．b <1 答案 D解析 ∵A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x >b ，b ∈R }，∴A ⊆B 的充要条件是b ≤1，∴b <1是A ⊆B 的充分不必要条件，故选D.题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、特称命题的真假例2 (1)(2018·某某模拟)下列四个命题中真命题是( ) A ．∀n ∈R ，n 2≥nB ．∃n 0∈R ，∀m ∈R ，m ·n 0＝mC ．∀n ∈R ，∃m 0∈R ，m 20<n D ．∀n ∈R ，n 2<n 答案 B解析 对于选项A ，令n ＝12，即可验证其不正确；对于选项C ，D ，可令n ＝－1加以验证，均不正确，故选B.(2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1>0B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2 答案 B解析 当x ∈N *时，x －1∈N ，可得(x －1)2≥0，当且仅当x ＝1时取等号，故B 不正确；易知A ，C ，D 正确，故选B.命题点2 含一个量词的命题的否定例3 (1)已知命题p ：“∃x 0∈R ，0e x－x 0－1≤0”，则綈p 为( ) A ．∃x 0∈R ，0e x－x 0－1≥0 B ．∃x 0∈R ，0e x－x 0－1>0 C ．∀x ∈R ，e x －x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0 答案 C解析 根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p 为“∀x ∈R ，e x－x －1>0”，故选C. (2)(2018·某某质检)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0 答案 C解析 已知全称命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)≥0，则綈p ：∃x 1，x 2∈R ， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0，故选C.思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．(2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练2 (1)(2018·东北三校联考)下列命题中是假命题的是( ) A ．∃x 0∈R ，log 2x 0＝0B ．∃x 0∈R ，cos x 0＝1 C ．∀x ∈R ，x 2>0D ．∀x ∈R,2x>0 答案 C解析 因为log 21＝0，cos0＝1，所以选项A ，B 均为真命题，02＝0，选项C 为假命题，2x>0，选项D 为真命题，故选C.(2)已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(03x＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 B ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0 C ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)≤0 D ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0 答案 B解析 因为3x >0，所以3x ＋1>1，则log 2(3x ＋1)>0，所以p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x＋1)>0.故选B.题型三 充分、必要条件的应用例4已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值X 围．解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}．由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件， 即所求m 的取值X 围是[0,3]． 引申探究若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练3 (1)若“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，则实数m 的取值X 围是__________． 答案 [－1,1]解析 依题意，可得(－1,4)(2m 2－3，＋∞)， 所以2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1.(2)设n ∈N *，则一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析 由Δ＝16－4n ≥0，得n ≤4， 又n ∈N *，则n ＝1,2,3,4. 当n ＝1,2时，方程没有整数根； 当n ＝3时，方程有整数根1,3，当n ＝4时，方程有整数根2.综上可知，n ＝3或4. 题型四 命题中参数的取值X 围例5已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值X 围是________________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值X 围是________________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 对于含量词的命题中求参数的取值X 围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练4(1)已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值X 围是______________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞ 解析 由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方．故Δ＝25－4×152a <0，解得a >56，即实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞.(2)已知c >0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立．如果p 和q 有且只有一个是真命题，则c 的取值X 围为________________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞)解析 由命题p 为真知，0<c <1， 由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使x ＋1x >1c 恒成立，需1c <2，即c >12，当p 真q 假时，c 的取值X 围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值X 围是c >1.综上可知，c 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞)．利用充要条件求参数X 围逻辑推理是从事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．逻辑推理的主要形式是演绎推理，它是得到数学结论、证明数学命题的主要方式，也是数学交流、表达的基本思维品质． 例已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值X 围为__________． 答案 [9，＋∞)解析 ∵q 是p 的必要不充分条件． 即p 是q 的充分不必要条件， 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)， 得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}． 设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}． 又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}． 设N ＝{x |－2≤x ≤10}． 由p 是q 的充分不必要条件知，NM ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，解得m ≥9.∴实数m 的取值X 围为[9，＋∞)．素养提升 例题中得到实数m 的X 围的过程就是利用已知条件进行推理论证的过程，数学表达严谨清晰．1．以下四个命题中既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，1x>2答案 B解析 A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以A 是假命题；B 中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．2．命题“∀x ∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0≤x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0>x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 2C ．∃x 0∈R ，∃n 0∈N *，使得n 0>x 20 D ．∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 20 答案 D解析 ∀改写为∃，∃改写为∀，n ≤x 2的否定是n >x 2，则该命题的否定形式为“∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n >x 20”．故选D.3．(2018·某某模拟)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由(a －b )a 2<0可知a 2≠0，则一定有a －b <0，即a <b ；但a <b 即a －b <0时，有可能a ＝0，所以(a －b )a 2<0不一定成立，故“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件，故选A. 4．(2018·某某模拟)“log 2(2x －3)<1”是“4x>8”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由log 2(2x －3)<1⇒0<2x －3<2⇒32<x <52，4x >8⇒2x >3⇒x >32，所以“log 2(2x －3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件，故选A.5．(2018·某某河西区模拟)设a ∈R ，则“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，则⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－6＝0，a (7－a )－9a ≠0，即a ＝3，即“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋3a ＝0和直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行”的充要条件．6．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，0e x≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1 D ．“a >1，b >1”是“ab >1”的充分条件 答案 D解析 因为y ＝e x>0，x ∈R 恒成立，所以A 不正确； 因为当x ＝－5时，2－5<(－5)2，所以B 不正确；“a b＝－1”是“a ＋b ＝0”的充分不必要条件，C 不正确； 当a >1，b >1时，显然ab >1，D 正确．7．已知p ：x ≥k ，q ：(x ＋1)(2－x )<0，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值X 围是( )A ．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C ．[1，＋∞) D．(－∞，－1] 答案 B解析 由q ：(x ＋1)(2－x )<0，得x <－1或x >2，又p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，即实数k 的取值X 围是(2，＋∞)，故选B.8．若∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值X 围是( )A ．(－∞，22]B ．(22，3] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，92D ．{3} 答案 A解析 因为∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1<0成立是假命题，所以∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，2x 2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，λ≤2x ＋1x 恒成立是真命题，令f (x )＝2x ＋1x ，则f ′(x )＝2－1x 2，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，22时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，2时，f ′(x )>0，所以f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝22，则λ≤2 2.9．已知f (x )是R 上的奇函数，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案 充分不必要解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴若x 1＋x 2＝0，则x 1＝－x 2，则f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)＝0成立，即充分性成立；若f (x )＝0，满足f (x )是奇函数，当x 1＝x 2＝2时，满足f (x 1)＝f (x 2)＝0，此时满足f (x 1)＋f (x 2)＝0，但x 1＋x 2＝4≠0，即必要性不成立．故“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件．10．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值X 围是________________． 答案 (－4,0]解析 “对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0，综上所述，实数k 的取值X 围是(－4,0]．11．已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值X 围是________．答案 (－1,3)解析 原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，则－2<a －1<2，即－1<a <3. 12．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，m ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值X 围是____________．答案 (2，＋∞)解析 因为A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.13．已知α，β∈(0，π)，则“sin α＋sin β<13”是“sin(α＋β)<13”的______________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案 充分不必要解析 因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β<sin α＋sin β，所以若sin α＋sin β<13，则有sin(α＋β)<13，故充分性成立；当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝sinπ＝0<13，而sin α＋sin β＝1＋1＝2，不满足sin α＋sin β<13，故必要性不成立．所以“sin α＋sin β<13”是“sin(α＋β)<13”的充分不必要条件． 14．(2018·某某某某一中月考)已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值X 围是____________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43 解析 解不等式|x －m |<1，得m －1<x <m ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12(m －1，m ＋1)，故⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤13，m ＋1≥12且等号不同时成立，解得－12≤m ≤43.15．已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∀x 2∈[2,3]，f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数a 的取值X 围是______________．答案 (－∞，－3] 解析 由题意知f (x )min ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1≥g (x )max (x ∈[2,3])，因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上为减函数，g (x )在[2,3]上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝5，g (x )max ＝g (3)＝8＋a ，所以5≥8＋a ，即a ≤－3.16．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝x 2－32x ＋1，0≤x ≤2，B ＝{x |x ＋m 2≥2}，p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，p 是q 的充分条件，则实数m 的取值X 围是________________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－54∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞ 解析 由y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，0≤x ≤2， 得716≤y ≤2，∴A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2. 又由题意知A ⊆B ，∴2－m 2≤716，∴m 2≥2516. ∴m ≥54或m ≤－54.。
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第一章集合与充要条件1.1 集合的概念第一节集合与元素教学目标：1．理解集合的概念；理解集合中元素的性质．2．理解“属于”关系的意义；知道常用数集的概念及其记法．3．引导学生发现问题和提出问题，培养独立思考和创造性地解决问题的意识．教学重点：集合的基本概念，元素与集合的关系．教学难点：正确理解基本概念教学过程：[新授]：1．集合的概念（1）一般地，把一些能够确定的对象看成一个整体，我们就说，这个整体是由这些对象的全体构成的集合（简称为集）．（2）构成集合的每个对象都叫做集合的元素．（3）集合与元素的表示方法：一个集合，通常用大写英文字母A,B,C,…表示，它的元素通常用小写英文字母a,b,c,…表示．2．元素与集合的关系（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A”．（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A．读作“a不属于A”．3．集合中元素的特性（1）确定性（2）互异性（3）无序性：4．集合的分类（1）有限集（2）无限集5．常用数集自然数集N；正整数集N＋或N*；整数集Z；有理数集Q；实数集R．6．空集∅（不能写成{∅}）[巩固]：例1：判断下列语句能否构成一个集合，并说明理由．（1）小于10的自然数的全体；（2）某校高一（2）班所有性格开朗的男生；（3）英文的26个大写字母；（4）非常接近1的实数．[点评]：组成集合的对象是确定的，对于一个对象是否是集合中元素，只有两种结果：是或不是，出现形容词修饰的对象不能组成集合．练习1：判断下列语句是否正确：（1）由2，2，3，3构成一个集合，此集合共有4个元素；（2）所有三角形构成的集合是无限集；（3）周长为20cm的三角形构成的集合是有限集；（4）如果a∈Q，b∈Q，则a+b∈Q．例2：用符号“∈”或“∉”填空：（1）1_____N0_____N－4_____N0.3_____N；（2）1_____Z0_____Z－4_____Z0.3_____Z；（3）1_____Q0_____Q－4_____Q0.3_____Q；（4）1_____R0_____R－4_____R0.3_____R．练习2：用符号“∈”或“∉”填空：（1）－3_____N；（2）3.14_____Q；（3）13_____Z；（4）－12_____R；（5）2_____R；（6）0_____Z[小结]：1．集合的有关概念：集合、元素．2．元素与集合的关系：属于、不属于．3．集合中元素的特性．4．集合的分类：有限集、无限集．5．常用数集的定义及记法．[教后札记]：第二节集合的表示法教学目标：1．掌握集合的表示方法；能够按照指定的方法表示一些集合．2．发展学生运用数学语言的能力；培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力．3．让学生感受集合语言的意义和作用，学习从数学的角度认识世界；通过合作学习培养学生的合作精神．教学重难点：重点：集合的表示方法，即运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合.难点：集合特征性质的概念，以及运用描述法表示集合.[引课]（1）集合、元素、有限集和无限集的概念是什么？（2）用符号“∈”与“∉”填空：①0______N；②-2______Q；③-2______R．[新授]1．列举法．用列举法表示集合的方法：将集合的元素一一列出，用逗号分隔，再用花括号括为一个整体．例如，由1,2,3,4,5,6这6个数组成的集合，可表示为：{1,2,3,4,5,6}．又如，中国古代四大发明构成的集合，可以表示为：{指南针，造纸术，活字印刷术，火药}．注：用列举法表示集合时，不必考虑元素的排列顺序，同时，元素不能重复；当集合中元素较多时，可以用省略号表示，但需让人明白省略号表示了哪些元素，据此，列举法可以表示无限集．如：小于100的自然数的全体构成的集合，可表示为：{0,1,2,3,…,99}．[例1]：用列举法表示下列集合：（1）所有大于3且小于10的奇数构成的集合；（2）方程x2-5x+6=0的解集；（3）所有偶数组成的集合．[练习1]：用列举法表示下列集合：（1）大于3小于9的自然数全体；（2）绝对值等于1的实数全体；（3）一年中不满31天的月份全体；（4）大于3.5且小于12.8的整数的全体．2．描述法．用描述法表示集合的方法：在花括号中画一条竖线，竖线的左侧写出集合的代表元素，并标出元素的取值范围，竖线右侧写出元素所具有的特征性质．如：使用特征性质描述法时要注意：（1）特征性质明确；（2）若元素范围为R，“x∈R”可以省略不写．[例2]：用描述法表示下列集合：（1）大于3的实数的全体构成的集合；（2）不等式2x+1≤0 的解集；（3）所有奇数组成的集合；（4）平面直角坐标系中，由x轴上的所有点组成的集合．[练习2]：用描述法表示下列集合：（1）不等式4x-5<3的解构成的集合；（2）绝对值等于3的实数的全体构成的集合；（3）平面直角坐标系中，由第一象限内的所有点组成的集合；（4）所有的正方形构成的集合．[练习3]：把下列集合用另一种方法表示出来：（1）{1,3} （2）{1,3,5,7,9}（2）{x|x2+2x-3=0} （4）{x∈N|-2<x<5}[小结]：本节课学习了以下内容：1．列举法．2．性质描述法．3．比较两种表示集合的方法，分析它们所适用的不同情况．[教后札记]：1.2 集合之间的关系教学目标：1．理解子集、真子集与集合相等等概念；掌握子集、真子集的符号及表示方法及元素与集合、集合与集合之间关系的区别，会用它们表示集合间的关系；能判断两集合间的包含、相等关系．2．了解空集的意义；会求已知集合的子集、真子集并会用符号及Ve nn图表示．3．培养学生使用符号的能力；建立数形结合的数学思想；渗透分类思想，提高学生思维能力．教学重难点：重点：掌握集、真子集的概念；理解集合间的包含、真包含、相等关系及传递关系．难点：弄清元素与集合、集合与集合之间关系的区别[引课]已知：M={-1,1}，N={-1,1,3}，P={x|x2-1=0}．问（1）哪些集合表示方法是列举法？（2）哪些集合表示方法是描述法？（3）集合M中元素与集合N有何关系？集合M中元素与集合P有何关系？[新授]1．子集如果集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合B叫做集合A的子集．记作：B⊆A或A⊇B；读作：“B包含于A”，或“A包含B”．性质：（1）任何一个集合都是它自身的子集；（2）空集是任何集合的子集．（3）对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C．[例1]：用符号“⊆”、“⊇”、“∈”、“∉”填空：（1）{a,b,c,d}______{c,d} (2) ∅______{1,2,3}（3）N______Q(4)0______R（5）d______{a,b,c} (6){x|3<x<5}______{x|0≤x<6}[练习1]：（1）用符号“⊆”、“⊇”、“∈”、“∉”填空：①{c,d}______{c,d} ②{0}______∅③N+______Q④0______∅⑤a______{a,b,c} ⑥{x|1<x<2}______{x|-1≤x<3}（2）判断下列各题中集合A是否为集合B的子集．①A={1,3,5}，B={1,2,3,4,5,6} ②A={1,3,5}，B={1,3,6,9}③A={0}，B={x|x2＋2=0} ④A={a,b,c,d}，B={d,b,c,a}2．真子集如果集B合是集合A的子集，并且集合A中至少有一个元素不属于B，那么集合B是集合A的真子集．Array记作：B⊂≠A（或A⊃≠B）；读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）．性质：空集是任何非空集合的真子集．[例2]：设集合M={0,1,2}，试写出M的所有子集，并指出其中的真子集．[练习2]：写出集合A={1,2}的所有子集及真子集．[例3]：设集合A={x|x>0}，B={x|1≤x≤5}，指出集合A与集合B之间的关系．[练习3]：设集合A={x|x<6}，B={x|x≤0}，指出集合A与集合B之间的关系．3．集合的相等若两个集合的元素完全相同，则称这两个集合相等．集合A等于集合B，记作A=B．如果A⊆B，且B⊆A，那么A=B；反之，如果A=B，那么A⊆B，且B⊆A．[例4]：判断集合A={x||x|=2}与集合B={x|x2-4=0}的关系．[练习4]：判断下列两个集合之间的关系：（1）A={2,4,5,7}，B={2,5}；（2）P={x|x2=1}，Q={-1,1}；（3）C={x|x是正奇数}，D={x|x是正整数}；（4）M={x|x是等腰直角三角形}，N={x|x是有一个角是45︒的直角三角形}．[小结]：1．子集，真子集，集合相等．2．元素与集合、集合与集合的关系．[教后札记]：UST F《集合之间的关系》练习课教学目标：1．巩固学生对子集、真子集与集合相等等概念的理解；对子集、真子集的掌握及两集合间的包含、相等关系的判断．2．让学生掌握本节的常见基本题型及其解法．教学重难点：重点：巩固学生对子集、真子集与集合相等等概念的理解；对子集、真子集的掌握及两集合间的包含、相等关系的判断．难点：让学生掌握本节的常见基本题型及其解法．[例题]：（1）已知A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B⊆A，求所有可能a值构成的集合；（2）已知A={x|x2+p x+2=0}，B={x|x2+3x+2=0}，且A⊆B，求P的取值范围；（3）已知A={x|x=a2+1}，B={y|y=b2-6b+10}，试判断A与B的关系；（4）已知A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，试求能使A⊆B成立的a的取值范围．（5）指出下列各集合之间的关系，并用Venn图表示：A={x|x是平行四边形}，B={x|x是菱形}，C={x|x是矩形}，D={x|x是正方形}．[练习]：（1）已知A={x|1≤x≤2}，B={x|x-a>0}，且A⊆B，求a的取值范围；（2）已知A={x|1≤x≤3}，B={x|a-1≤x≤a}，且B⊆A，求a的取值范围；（3）已知A={x|ax2+2x+1=0}只有一个元素，求a的取值；（4）已知A={x,xy,x+y}，B={0,|x|,y}，且A=B，求x、y的值．（5）已知A={-3,4}，B={x|x2-2px+q=0}，且B≠∅，B⊆A，求实数p、q的值．（点评：注意失解）（6）集合U，S，T，F如图所示，下列关系中哪些是对的？哪些是错的？①S⊂≠U；②F⊂≠T；③S⊂≠T；④S⊃≠F；⑤S⊂≠F；⑥F⊃≠U．[教后札记]：。