命题及其关系、充要条件

命题及其关系、充要条件
编稿：周尚达审稿：张扬责编：张希勇
目标认知
学习目标：
1. 理解命题的概念，了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的
相互关系.
2. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
重点：
四个命题与充分必要条件的理解与判定
难点：
充要条件的判定
知识要点梳理
知识点一：命题
1. 命题的定义：
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。

其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题。

要点诠释：
1. 不是任何语句都是命题，不能确定真假的语句不是命题，如“”，“2不一定大于3”。

2. 只有能够判断真假的陈述句才是命题。

祈使句，疑问句，感叹句都不是命题，例如：“起立”、
“p是有理数吗？”、“共产党万岁！”等。

3. 语句能否确定真假是判断其是否是命题的关键。

一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模
棱两可。

命题陈述了我们所思考的对象具有某种属性，或者不具有某种属性，这类似于集合中元素
的确定性。

2. 命题的表达形式：
命题可以改写成“若，则”的形式，或“如果，那么”的形式。

其中是命
题的条件，是命题的结论。

知识点二：四种命题
（一）四种命题的形式
原命题：“若，则”；
逆命题：“若，则”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置；
否命题：“若非，则非”，或“若，则”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定；
逆否命题：“若非，则非”，或“若，则”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定。

要点诠释：
对于一般的数学命题，要先将其改写为“若，则”的形式，然后才方便写出其他形式的命题。

（二）四种命题之间的关系
（1）互为逆否命题的两个命题同真同假；
（2）互为逆命题或互为否命题的两个命题的真假无必然联系。

1．符号与的含义
“若，则”为真命题，记作：；
“若，则”为假命题，记作：。

2．充分条件、必要条件与充要条件
①若，称是的充分条件，是的必要条件。

②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条
件。

3．充分条件、必要条件与充要条件的判断
从逻辑推理关系看
命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系
①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；
②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；
③若，且，即，则、互为充要条件；
④若，且，则是的既不充分也不必要条件。

从集合与集合间的关系看
若p：x∈A，q：x∈B，
①若A B，则是的充分条件，是的必要条件；
②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件；
③若A=B，则、互为充要条件；
④若且，则是的既不充分也不必要条件。

4. 充要条件的证明
要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）
1. 反证法是假设结论的否定成立，利用已知条件，经过推理论证得出矛盾，判定结论的否定错误，从
而得出要证的结论正确。

2. 反证法的步骤：
（1）假设结论不成立。

（2）从假设出发推理论证得到矛盾
（3）判定假设错误，肯定结论正确。

3. 互为逆否命题的两个命题同真同假是命题转化的依据和途径之一，因此在直接证明原命题有困难
时，可以考虑证明与它等价的逆否命题，这种方法是间接证明命题的方法，是反证法的一种。

规律方法指导
1．命题的真假判断：
一个命题要么是真，要么是假，不能既真又假，模棱两可。

判断一个命题是真命题，首先要弄清楚命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，改
写成“若，则”的形式，然后看它是否与客观事实相符合，或者能否由推导出，
若能，就是真命题；
判断一个命题是假命题只需列举一个反例即可。

2．否命题与命题的否定的区别：
命题的否命题是将原命题的条件和结论分别否定，而命题的否定是只否定命题的结论。

原命题：若，则；
否命题：若，则；
原命题的否定：若，则。

3．对的理解：
指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到。

①“若，则”为真命题；
②是的充分条件；
③是的必要条件
以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达。

4．充要条件的判断
通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件。

判断方法通常按一下步骤进行：
①确定哪是条件，哪是结论；
②尝试用条件推结论，
③再尝试用结论推条件，
④最后判断条件是结论的什么条件。

5．充分、必要条件与四种命题的关系
对于命题“若，则”
①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题；
②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题；
③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题。