极坐标与参数方程专题目
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)本文介绍了高考极坐标与参数方程大题题型，并给出了三个例子进行解答。
例1：在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为(x-1)^2+y^2=1，求圆C的极坐标方程。
解析：将x和y用极坐标表示，得到ρ=2cosθ。
例2：已知直线l的参数方程为x=-4t+a，y=3t-1，在直角坐标系xoy中，以O点为极轴建立极坐标系，设圆M的方程为ρ^2-6ρsinθ=-8.求圆M的直角坐标方程和实数a的值。
解析：将ρ和θ用x和y表示，得到x+(y-3)=1，然后将直线l的参数方程化为普通方程，得到3x+4y-3a+4=0.根据圆心到直线的距离和直线截圆所得弦长的关系，解得a=12或a=22/3.例3：已知曲线C的参数方程为x=2+5cosα，y=1+5sinα，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。
求曲线C的极坐标方程和直线l被曲线C截得的弦长。
解析：将x和y用极坐标表示，得到ρ=5.将直线l的极坐标方程化为普通方程，得到ρ(sinθ+cosθ)=1.由于曲线C是一个圆，因此直线l与曲线C的交点分别为A(7π/4.3+2√2)和B(3π/4.3-2√2)，弦AB的长度为4√2.1) 曲线C的参数方程为：x=9\cos^3\theta,\ y=3\sin^3\theta$，直线$l$的直角坐标方程为$x+y-1=0$。
2) 设$P(9\cos^3\alpha,3\sin^3\alpha)$，则$P$到直线$l$的距离为$d=\frac{|9\cos^3\alpha+3\sin^3\alpha-1|}{\sqrt{2}}$。
为求$d$的最大值，我们可以将$d$表示为$10\cos(\alpha+\theta)+\frac{1}{\sqrt{2}}$的形式，其中$\theta$为一个与$\alpha$无关的常数，且$\tan\theta=\frac{1}{3}$。
高三数学《极坐标与参数方程》专题测试题含答案
高三数学极坐标与参数方程专题测试题含答案（120分钟 每小题10分，共15小题，总分150分）1.【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la.2. 【2017课标II ，理22】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值。
3.【2017课标3，理22】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.4.【2015高考陕西，理23】在直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=．（I ）写出C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．5.【2015高考新课标2，理23】在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:C ρθ=．（Ⅰ）.求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）.若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值．6． 【2014全国2，理20】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.7. 【2014课标Ⅰ，理23】已知曲线221:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.（I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（II ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，PA 的最大值与最小值．8.【2015高考新课标1，理23】在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN 的面积.9．【2016高考新课标3理数】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=（I ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.10.【2016高考新课标1卷】在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．11.【2016高考新课标2理数】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=． （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B 两点，||10AB =，求l 的斜率．12.【2018年全国卷Ⅲ理】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围； （2）求中点的轨迹的参数方程．13．【2018年理数全国卷II】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．14．【贵州省凯里市2018届四模】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.(1)写出曲线的极坐标方程；(2)设直线（为任意锐角）、分别与曲线交于两点，试求面积的最小值.15．【辽宁省葫芦岛市2018年二模】直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求的最小值.参考答案1.解析：（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-.…………5分 （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =当4a ≥-时，d=8a =； 当4a <-时，d=16a =-. 综上，8a =或16a =-.…………10分【考点】极坐标与参数方程仍然考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线与曲线的位置关系.【名师点睛】化参数方程为普通方程主要是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决.2.解析：（1）设P 的极坐标为()()，＞0ρθρ，M 的极坐标为()()11，＞0ρθρ，由题设知cos 14=，=ρρθOP OM =。
数学选修4第二轮复习课件：极坐标与参数方程
所成的弦的弦长．
21
例 11． （2008 宁夏银川一中）已知椭圆 C
2
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信 的极坐标方
12 程为 ，点 F1、F2 为其左， 2 2 3 cos 4 sin
2 t x 2 2 (t 为参 右焦点，直线 l 的参数方程为 y 2 t 2
x 2 2t , (t 为参数)． Ox 为极轴建立极坐标系， 以 y 1 4t ,
圆 C 的极坐标方程为 2 2 sin(
4
).
(1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程； (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系.
23
五、考点预测
金太阳教育网
15
3．极坐标方程研究两曲线的位置关系
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
x 1 2t , 例 5． 江苏省南通市 2008-2009） （ 求直线 （t y 1 2t x 3cos , 为参数）被圆 （α 为参数）截得的弦长． y 3sin
11
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
高考数学专题讲解：直线的极坐标方程与参数方程
2 sin( 2
5 ) 3 sin( 5 5 5 1 3 ) 2 (sin cos sin cos ) 2 ( sin cos ) 2 3 3 3 2 2
b b ； ④ 。 a sin( ) a cos( )
7 1 2 ；③ 4 cos( 。 ) 2 ；② ) 3 ；④ 2 5 4 6 2 cos( ) sin( ) 3 3 ) 2 4
【解法设计】 ：① 3 sin(
③ 4 cos(
7 )3 6
第 3 页 共 9 页
4 cos(
7 7 7 3 1 ) 3 4 (cos cos sin sin ) 3 4 ( cos sin ) 3 6 6 6 2 2
2 3 cos 2 sin 3 ， cos x ， sin y 2 3 x 2 y 3 2 3 x 2 y 3 0 。
第二象限
第三象限
， ， 6 4 3
第四象限
第二步：判断三角函数的正负。如下表所示： 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
第 1 页 共 9 页
正弦 sin 余弦 cos 正切 tan
第三步：计算三角函数的绝对值。
正弦绝对值 | sin |
b b ；④ 。 a cos a sin
b ； a b ； a
② a sin b ， sin y ay b y
③
b b a cos b a cos b ， cos x ax b x ； a cos a b b a sin b a sin b ， sin y ay b y 。 a sin a c 。 a cos b sin
高考数学极坐标及参数方程专题
高考数学极坐标及参数方程专题1.设(,)P x y 是曲线（θ为参数，02θπ≤≤）上任意一点， （1）将曲线化为普通方程;（2）求的取值范围.2.知曲线1C 的参数方程为(为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为。
（1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标（0ρ≥, 02θπ≤<）。
3.已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=,将曲线1cos :sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）经过伸缩变换32x x y y'=⎧⎨'=⎩后得到曲线2C ． (1)求曲线2C 的参数方程； (2)若点M 在曲线2C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．4.在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =u u u v u u u u v ,P 点的轨迹为曲线2C . (1)求2C 的方程(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB .⎩⎨⎧=+-=θθsin ,cos 2y x x y5.在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
(1)求1C ，2C 的极坐标方程；(2)若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN V 的面积6.极坐标系中，已知射线1C :(0)6πθρ=≥动圆2C ：220002cos 40()x x x R ρρθ-+-=∈． (1)求1C ，2C 的直角坐标方程；(2)若射线1C 与动圆2C 相交于M 与N 两个不同点，求0x 的取值范围．7.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 方程为5cos (3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数） （1）求过椭圆的右焦点，且与直线42(3x t t y t=-⎧⎨=-⎩为参数）平行的直线l 的普通方程。
极坐标与参数方程经典题型(附含详细解答)
专题：极坐标与参数方程1、已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为14cos 24sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线l 经过定点(3,5)P ，倾斜角为3π. （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||||PA PB 的值.2、在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos C ρθθ=，过点(2,1)P -的直线2cos 45:1sin 45x t l y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 交于,M N 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）求22||||PM PN +的值.3、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线：23cos 3sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：(cos sin )6ρθθ-=.（1）求曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值；（2）与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点，若||2AB =，求1l 的方程．4、在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（为参数），曲线 2C 的极坐标方程为cos 2sin 40ρθρθ--=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求||PQ 的最小值．5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线2C 是圆心为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为1的圆.（1）求曲线1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程；（2）设M 为曲线1C 上的点，N 为曲线2C 上的点，求||MN 的取值范围.6. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），曲线2C ：2220x y y +-=，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，射线():0l θαρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于,A B （均异于原点O ）.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）当02πα<<时，求22||||OA OB +的取值范围.7. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a ，其参数方程为212x a ty t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与2C 交于,A B 两点，且||2||PA PB =，求实数a 的值.8. 在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )43ρθθ+=，若射线6πθ=，3πθ=，分别与l 交于,A B两点.（1）求||AB ；（2）设点P 是曲线2219y x +=上的动点，求ABP ∆面积的最大值.极坐标与参数方程——练习1.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t ，(t 为参数),椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点，求线段AB 的长.2.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数,t≠0),其中0≤α＜π,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ＝2sin θ,C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B ,求|AB |的最大值.3.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.4.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R ).(1)写出C 的极坐标方程,并求l 与C 的交点M,N 的极坐标； (2)设P 是椭圆x 23＋y 2＝1上的动点,求△PMN 面积的最大值.5.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为(1＋sin 2θ)ρ2＝2. (1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程.(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若点P 为(1,0),求1|PA |2＋1|PB |2的值.6. 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为325:45x t C y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=． （1）若2a =，求圆C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程； （2）设直线l 截圆C 的弦长等于圆Ca 的值．7. 在直角坐标系xOy 中，直线1C ：y =，曲线2C 的参数方程是cos 2sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C 的极坐标方程和2C 的普通方程； （2）把1C 绕坐标原点沿顺时针方向旋转3π得到直线3C ，3C 与2C 交于A ，B 两点，求||AB ．8.将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.极坐标与参数方程参考答案1.【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得曲线C的普通方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=16；∵直线l经过定点P（3，5），倾斜角为，∴直线l的参数方程为：，t为参数．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2+（2+3）t﹣3=0，设t1、t2是方程的两个根，则t1t2=﹣3，∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=3．2．【解答】解：（1）曲线C：ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；直线l：（t为参数），消去t，可得直线l的普通方程x﹣y﹣3=0；（2）将直线l：代入曲线C的标准方程：y2=2x得：t2﹣4t﹣6=0，∴|PM|2+|PN|2=|t1|2+|t2|2=（t1﹣t2）2+2t1t2=32．3、【解答】（1）直线l ：(cos sin )6ρθθ-=化成普通方程为60x y --=．曲线化成普通方程为22(2)3x y -+=∴圆心(2,0)C 到直线l 的距离为d ==∴曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值为（2）设直线1l 的方程为0x y λ-+=， (2,0)C 到直线1l 的距离为d === ∴或∴直线1l 的方程为或4.【解答】（1）由曲线C 1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得，曲线C 1的普通方程得+=1．由ρcos θ﹣ρsin θ﹣4=0得，曲线C 2的直角坐标方程为x ﹣y ﹣4=0…（2）设P （2cos θ，2sin θ），则点P 到曲线C 2的距离为d==，当cos （θ+45°）=1时，d 有最小值0，所以|PQ|的最小值为0.5．【解答】解：（1）消去参数φ可得C1的直角坐标方程为+y2=1，∵曲线C2是圆心为（3，），半径为1的圆曲线C2的圆心的直角坐标为（0，3），∴C2的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=1；（2）设M（2cosφ，sinφ），则|MC2|====，∴﹣1≤sinφ≤1，∴由二次函数可知2≤|MC2|≤4，由题意结合图象可得|MN|的最小值为2﹣1=1，最大值为4+1=5，∴|MN|的取值范围为[1，5]6.【解答】解：（1）∵，∴，由得曲线C1的极坐标方程为，∵x2+y2﹣2y=0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ；（2）由（1）得，|OB|2=ρ2=4sin2α，∴∵，∴1＜1+sin2α＜2，∴，∴|OA|2+|OB|2的取值范围为（2，5）．7．【解答】解：（1）曲线C1参数方程为，∴其普通方程x﹣y﹣a+1=0，由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0∴x2+4x﹣x2﹣y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x．（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解得要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|，即t1=2t2或t1=﹣2t2∴当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=，t1t2=2t22=，∴a=＞0，符合题意．当t1=﹣2t2时，有t1+t2=﹣t2=，t1t2=﹣2t22=，∴a=＞0，符合题意．综上所述，实数a的值为或．8．【解答】解：（1）直线，令，解得，∴，令，解得ρ=4，∴又∵，∴，∴|AB|=2．（2）∵直线，曲线，∴=当且仅当，即时，取“=”，∴，∴△ABP面积的最大值为3．极坐标与参数方程——练习参考答案1．【解答】解：由，由②得，代入①并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴|AB|=．2．【解答】解：（1）曲线C2：ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，①C 3：ρ=2cosθ，则ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，②由①②得或，即C2与C3交点的直角坐标为（0，0），（，）；（2）曲线C1的直角坐标方程为y=tanαx，则极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤a＜π．因此A得到极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α）．所以|AB|=|2sinα﹣2cosα|=4|sin（α）|，当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．3．【解答】解：（1）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（2）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．4．【解答】解：（1）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的直角坐标方程为y=x，联立方程组，解得或，所以点M，N的极坐标分别为（0，0），（，）．（2）由（1）易得|MN|=因为P是椭圆+y2=1上的点，设P点坐标为（cosθ，sinθ），则P到直线y=x的距离d=，所以S△PMN==≤1，当θ=kπ﹣，k∈Z时，S△PMN取得最大值1．5．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t得直线l的普通方程为x﹣y﹣=0，曲线C的极坐标方程ρ2+ρ2sin2θ=2，化成直角坐标方程为x2+2y2=2，即+y2=1．（2）将直线l的参数方程代入曲线C：x2+2y2=2，得7t2+4t﹣4=0．设A，B两点在直线l的参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣，t1t2=﹣，∴+=+==．6．【解答】解：（1）当a=2时，ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ整理成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y﹣8=0 （2）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，所以：2|3a﹣16|=5|a|，利用平方法解得：a=32或．7．【解答】解：（1）∵直线，∴直线C1的极坐标方程为，∵曲线C2的参数方程是（θ为参数），∴消去参数θ，得曲线C2的普通方程为．（2）∵把C1绕坐标原点沿逆时针方向旋转得到直线C3，∴C3的极坐标方程为，化为直角坐标方程为．圆C2的圆心（，2）到直线C3：的距离：．∴．8．【解答】解：（1）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（2）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+ =0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，即ρ=．。
高考数学二轮复习-专题30 极坐标与参数方程的应用(解析版)
又因为 O是圆 C 上的点，所以 POQ PCQ π 。
26
【三】最值、几何意义的综合问题
1.距离最值（点到点、曲线点到线、） 距离的最值： ---用“参数法” （1）曲线上的点到直线距离的最值问题 （2）点与点的最值问题 “参数法”：设点---套公式--三角辅助角 ①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ②套公式：利用点到线的距离公式 ③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一 2.面积的最值问题 面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题 3.几何意义及其综合应用：
P(2,
)
在曲线
cos(
)
2
上．
3
3
所以，l的极坐标方程为
cos(
)
2
．
3
（2）设 P(, ) ，在 Rt△OAP 中， | OP || OA | cos 4 cos , 即 4 cos ．
因为P在线段OM上，且
AP
OM
，故
的取值范围是 [
,
]
．
42
所以P点轨迹的极坐标方程为
4 cos ,
（1）分别写出 M1 ， M 2 ， M 3 的极坐标方程；
（2）曲线 M 由 M1 ， M 2 ， M 3 构成，若点 P 在 M 上，且 | OP | 3 ，求 P 的极坐标．
【解析】（1）由题设可得，弧 AB, BC,CD 所在圆的极坐标方程分别为
2 cos ， 2sin ， 2 cos ．
[ ,
] ．[来源:学*科*网]
42
【练习 2】在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P (2 2, ) ，圆心为直线ρsin(θ－π)＝－ 3与极轴的交点，求
坐标系与参数方程 高考数学必刷真题分类大全-专题18
专题18坐标系与参数方程考向一极坐标与参数方程【母题来源】2022年高考浙江卷【母题题文】在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为26t x y +⎧=⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），曲线2C的参数方程为26s x y +⎧=-⎪⎨⎪=⎩（s 为参数）．（1）写出1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为2cos sin 0θθ-=，求3C 与1C 交点的直角坐标，及3C 与2C 交点的直角坐标．【试题解析】【小问1详解】因为26t x +=，y =，所以226y x +=，即1C 的普通方程为()2620y x y =-≥．【小问2详解】因为2,6sx y +=-=，所以262x y =--，即2C 的普通方程为()2620y x y =--≤，由2cos sin 02cos sin 0θθρθρθ-=⇒-=，即3C 的普通方程为20x y -=．联立()262020y x y x y ⎧=-≥⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或12x y =⎧⎨=⎩，即交点坐标为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,2；联立()262020y x y x y ⎧=--≤⎨-=⎩，解得：121x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩，即交点坐标为1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()1,2--．【命题意图】本题考查极坐标、参数方程与直角坐标的互化，属于较为简单题目．【命题方向】这类试题在考查题型上以解答题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）极坐标与直角坐标互化；（2）参数方程与直角坐标互化；（3）直线参数方程中参数的几何意义.【得分要点】(1)运用极坐标，借助极径的几何意义；(2)参数方程与直角方程的互化，借助直线的参数的几何意义；1．（2022·四川成都·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t为参数，α为常数且2πα≠），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为：22sin 40ρρθ--=．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)点(1,1)P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，若2PA PB =，求直线l 的斜率．2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，1C 的圆心为()11,1C点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，2C的极坐标方程为ρθ=．(1)求1C 的极坐标方程，判断1C ，C 的位置关系；(2)求经过曲线1C ，2C 交点的直线的斜率．3．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l的参数方程为：2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩，(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 8ρρθ=+．(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且AB =，求直线l 的倾斜角．4．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为x y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.曲线2C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线1C ，2C 的极坐标方程；(2)若曲线1C ，2C 的交点为A ，B，已知)1P-，求PA PB ⋅.5．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（其中α为直线的倾斜角，t 为参数），在以为O 极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0.ρθθ-=(1)当直线l 的斜率k =2时，求曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 间的最小距离；(2)如果直线l 与曲线C 有两个不同交点，求直线l 的斜率k 的取值范围.6．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=．(1)求C 的参数方程；(2)判断l 与C 的位置关系．7．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2,2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ+-=.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，且点(0,2)M ，求11||||MP MQ +的值.8．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（取相同的单位长度），曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C的参数方程为2222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），曲线1C ，2C 相交于A 、B 两点，曲线3C 经过伸缩变换22x x y y ='+='⎧⎨⎩后得到曲线1C .(1)求曲线1C 的普通方程和线段AB 的长度；(2)设点P 是曲线3C 上的一个动点，求PAB △的面积的最小值．9．（2022·全国·模拟预测（理））在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程是11cos221sin2xyϕϕ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（ϕ为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为1()ρθρ=∈R．(1)求曲线1C和曲线2C除极点外的交点的极坐标(02π)θ≤<；(2)若A，B分别为曲线1C和2C上的异于极点O的两点，且OA OB⊥，求OAB面积的最大值．10．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系Ox中，曲边三角形OPQ为勒洛三角形，且π2,6P⎛⎫-⎪⎝⎭，π2,6Q⎛⎫⎪⎝⎭，以极点O为直角坐标原点，极轴Ox为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy，曲线1C的参数方程为2112x ty t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t为参数）．(1)求 PQ的极坐标方程和OQ所在圆2C的直角坐标方程；(2)已知点M的直角坐标为()0,1-，曲线1C和圆2C相交于A，B两点，求11||||MA MB-．1．（2022·四川成都·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为常数且2πα≠），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为：22sin 40ρρθ--=．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)点(1,1)P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，若2PA PB =，求直线l 的斜率．【答案】(1)tan (1)1y x α=⋅-+；22240x y y +--=(2)±1【解析】【分析】（1）消参可以把参数方程转化为普通方程，根据极坐标和直角坐标的转化，可将极坐标方程化成直角坐标方程.（2）根据直线的标准参数方程的几何意义以及韦达定理即可求解2cos 2α=±，进而可求tan α.(1)1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩()tan 11y x α⇒=⋅-+，2222sin 40240x y y ρρθ--=⇒+--=；(2)将1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入22240x y y +--=得22cos 40t t α+-=，12122cos 4t t t t α+=-⎧⎨=-⎩，因为点P 在圆内，故,A B 在点P 两侧，由题意知，122t t =-，因此122152t t t t +=-，即21212()12t t t t +=-，故2(2cos )142α-=--，解得2cos 2α=，进而tan 1k α==±因此斜率为±1．2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，1C 的圆心为()11,1C ，半径为2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，2C 的极坐标方程为2ρθ=．(1)求1C 的极坐标方程，判断1C ，2C 的位置关系；(2)求经过曲线1C ，2C 交点的直线的斜率．【答案】(1)2cos 2sin r q q =+，1C ，2C 相交21【解析】【分析】（1）先求解1C 的标准方程，再根据直角坐标与极坐标的转换求解1C 的极坐标方程，再根据2C 的直角坐标方程，分析1C ，2C 圆心之间的距离与半径之和差的关系判断即可；（2）根据1C ，2C 均过极点，联立极坐标方程，求解tan θ即可(1)由题意，1C 的标准方程为()()22112x y -+-=，即22220x y x y +--=，故1C 的极坐标方程为22cos 2sin =+ρρθρθ，即2cos 2sin r q q =+，又，2C 的极坐标方程为222cos ρθ=，即2222x y +=，(2222x y +=.因为()()22122110422C C -+-=-1C ，2C 半径相等，半径和为22124224222C C =-=<1C ，2C 相交.故1C 的极坐标方程2cos 2sin r q q =+，1C ，2C 相交.(2)由（1）1C ：2cos 2sin r q q =+，2C ：22ρθ=均经过极点且相交，联立2cos 2sin 22ρθθρθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩有2cos 2sin 22θθθ+=，显然cos 0θ≠，故22tan 22θ+=，即tan 21θ=，即经过曲线1C ，2C 213．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为：2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩，(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为22cos 8ρρθ=+．(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A B ，两点，且42AB =，求直线l 的倾斜角．【答案】(1)当π2α=时，直线l 的普通方程为2x =；当π2α≠时，直线l 的普通方程为()3tan 2y x α=-；22280x y x +--=(2)π6或π2【解析】【分析】（1）因为直线l 的参数方程为2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），讨论π2α=和π2α≠时，消去参数t ，即可求出直线l 的普通方程，因为222x y ρ=+，cos x ρθ=即可求出曲线C 的直角坐标方程.（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程整理，()2232cos 50t t αα++-=．因为0∆>，可设该方程的两个根为2,l t t ，所以()2121224l AB t t t t t t =-=+-线l 的倾斜角.(1)因为直线l 的参数方程为2cos 3sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），当π2α=时，直线l 的普通方程为2x =．当π2α≠时，直线l 的普通方程为()3tan 2y x α=-．因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，因为22cos 8ρρθ=+，所以2228x y x +=+．所以C 的直角坐标方程为22280x y x +--=．(2)曲线C 的直角坐标方程为22280x y x +--=，将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程整理，得()2232cos 50t t αα++-=．因为()2232cos 200αα∆=++>，可设该方程的两个根为2,l t t ，则()2232cos l t t αα+=-+，25l t t =-．所以()2121224l AB t t t t t t =-=+-()2[23sin 2cos ]2042αα=-++=整理得()23cos 3αα+=，故π2sin 36α⎛⎫+=± ⎪⎝⎭因为0πα≤<，所以ππ63α+=或π2π63α+=，解得或π6α=或π2α=，综上所述，直线l 的倾斜角为π6或π2．4．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为3x ty t ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.曲线2C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线1C ，2C 的极坐标方程；(2)若曲线1C ，2C 的交点为A ，B ，已知)3,1P-，求PA PB ⋅.【答案】(1)1:C πsin 06ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（或5π6θ=，R ρ∈），2:C ρ＝4.(2)12【解析】【分析】（1）利用消参法进行化简曲线方程，然后通过公式将曲线的普通方程转化成极坐标方程；（2）利用直线的极坐标方程，结合参数的几何意义，联立曲线普通方程进行计算即可.(1)由曲线13:x tC y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去参数t 得30x =，化成极坐标方程得cos 3sin 0ρθρθ=.化简极坐标方程为πsin 06ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（或5π6θ=，R ρ∈）.曲线24cos :4sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）消去参数θ得2216x y +=.化简极坐标方程为ρ＝4.(2)由已知得P 在曲线1C 上，将曲线1C 化为标准参数方程332112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）代入2C 的直角坐标方程2216x y +=，得2231311622t ⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，即24120t t --=，即A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，所以121212PA PB t t t t ⋅===.5．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（其中α为直线的倾斜角，t 为参数），在以为O 极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0.ρθθ-=(1)当直线l 的斜率k =2时，求曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 间的最小距离；(2)如果直线l 与曲线C 有两个不同交点，求直线l 的斜率k 的取值范围.【答案】52(2)5151(,0))22⋃【解析】【分析】（1）利用极坐标与平面直角坐标互化公式得到曲线C 的平面直角坐标方程为24y x =，设出曲线上点()2,A s s ±，求出直线方程230x y -+=，利用点到直线距离公式，得到曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 间的最小距离；（2）直线l 的普通方程为：()11y k x -=+，与曲线C ：24y x =联立消去x 后用根的判别式得到不等式，求出斜率k 的取值范围.(1)2sin 4cos 0ρθθ-=两边同乘以ρ得：22sin 4cos 0ρθ-ρθ=，所以曲线C 的平面直角坐标方程为24y x =，设曲线上的一点坐标为()2,2A s s ±，当直线l 的斜率k =2时，直线方程为()121y x -=+，即230x y -+=，则A 点到直线距离为2215222223415s s s d ⎛⎫±+⎪±+⎝⎭==+当12s =±时，d 52，故曲线C 上的点A 与直线l 上的点B 52；(2)直线l 的普通方程为：()()110y k x k -=+≠，与曲线C ：24y x =联立得：24440y y k k-++=，由0∆>得：1152k +>1152k -解得：5151()22k ---∈⋃6．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=．(1)求C 的参数方程；(2)判断l 与C 的位置关系．【答案】(1)cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）(2)直线l 与圆C 相切.【解析】【分析】（1）先将圆C 的极坐标方程转化为直角坐标方程，求出圆心及半径，再转化为参数方程即可；（2）将直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程，利用圆心到直线的距离判断直线l 与圆C 的位置关系即可.(1)解：因为圆C 的极坐标方程为2sin ρθ=，则22sin ρρθ=，则其直角坐标方程为222x y y +=，即22(1)1y x +-=，圆心为(0,1)，半径为1,则圆C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）.(2)解：因为直线l 的极坐标方程为2cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos cos sin sin 3066ππρθθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭3cos sin 30ρθρθ+-=，所以直线l 330x y +-=，由（1）得圆C 的直角坐标方程为22(1)1y x +-=，圆心为(0,1)，半径为1,则圆心(0,1)到直线l 22301131(3)1⨯+⨯-=+，故直线l 与圆C 相切.7．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2,2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ+-=.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，且点(0,2)M ，求11||||MP MQ +的值.【答案】(1)曲线2:2C y x =；直线:20+-=l x y (2)344【解析】【分析】（1）消去参数t 即可得C 的普通方程，并用极坐标与直角坐标互化即可得直线的普通方程；（2）写出直线l 参数方程的标准形式，再与C 的普通方程联立，借助参数的几何意义得解.(1)曲线C 的参数方程为2,2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），转化为直角坐标方程为22y x =，可得22y x =；直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ+-=，转化为直角坐标方程为20x y +-=；(2)把直线l 的方程换成参数方程，得2,2222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入22y x =.得22202t t --=，∴12122,22t t t t +==-，显然12,t t 异号.由22111211||,||22MP t t t MQ t =+==，∴()212121212121212121841111342||||24t t t t t t t t MP MQ t t t t t t t t ++-+-+=+=====.8．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（取相同的单位长度），曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为222222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），曲线1C ，2C 相交于A 、B 两点，曲线3C 经过伸缩变换22x x y y ='+='⎧⎨⎩后得到曲线1C .(1)求曲线1C 的普通方程和线段AB 的长度；(2)设点P 是曲线3C 上的一个动点，求PAB △的面积的最小值．【答案】(1)22(2)4x y -+=，22AB =(2)45【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出1C 的普通方程，求出2C 的普通方程，然后求出圆心到直线的距离，再由圆心距，弦和半径的关系可求出AB 的长度，（2）由伸缩变换可求出曲线3C 的方程为2214xy +=，设点()2cos ,sin P ϕϕ，求出点P 到直线AB 的距离，化简后利用三角函数的性质可求出其最小值，从而可求出PAB △的面积的最小值(1)由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，又222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以22(2)4x y -+=．由22222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），消去参数得4x y -=，1C 的圆心为(2,0)，半径为2，则圆心到直线4x y -=的距离为2422d -==，所以()2222222AB =-=(2)曲线3C 经过伸缩变换22x x y y ='+='⎧⎨⎩后得到曲线1C ，则()()222224+-+=x y ，即曲线3C 的方程为2214x y +=，设点()2cos ,sin P ϕϕ，则点P 到直线AB 的距离为2555cos sin 4552cos sin 422d ϕϕϕϕ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭==()5sin 4522αϕ--==25sin 5α=，5cos 5α=），故当()sin 1αϕ-=时，d 取得最小值，且min 52d =，因此，当点P 到直线AB 的距离最小时，PAB △的面积也最小，所以PAB △的面积的最小值为min 1152245222AB d ⋅⋅=⨯=．9．（2022·全国·模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是11cos 221sin 2x y ϕϕ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（ϕ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为13sin ()ρθρ=+∈R ．(1)求曲线1C 和曲线2C 除极点外的交点的极坐标(02π)θ≤<；(2)若A ，B 分别为曲线1C 和2C 上的异于极点O 的两点，且OA OB ⊥，求OAB 面积的最大值．【答案】(1)()1,0，14π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭31【解析】【分析】（1）求出曲线1C 的普通方程，进而求出极坐标方程，与2C 的极坐标方程联立，求出曲线1C 和曲线2C 除极点外的交点的极坐标；（2）设出,A B 两点的极坐标方程，表达出OAB 的面积，利用三角函数的有界性求出最大值.(1)曲线1C 的普通方程为221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，化为极坐标方程为：()2211cos sin 24ρθρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，化简得到：cos ρθ=，与13sin ()ρθρ=+∈R 联立，得：cos 13θθ=，即π1cos 32θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为02πθ≤<，所以ππ7π333θ≤+<，所以π5π33θ+=，或ππ33θ+=，解得：14π3θ=或20θ=，当4π3θ=时，此时4π1cos 32ρ==-，当0θ=时，此时cos01ρ==所以曲线1C 和曲线2C 除极点外的交点的极坐标为()1,0与14π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)因为OA OB ⊥，①设()ππcos ,,13,22A B αααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()2πcos 13cos 133cos 2OAB S αααααα⎛⎫⎛⎫=⋅+=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2333cos 612α=⎭因为[]cos 1,1α∈-，所以当cos 1α=时，OAB 31+；②设()ππcos ,,13,22A B αααα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()2πcos 13cos 133cos 2OAB S αααααα⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2333cos 612α⎫=-+⎪⎪⎭，因为[]cos 1,1α∈-，所以当3cos 6α=时，OAB 面积取得最大值，最大值为312；33112>OAB 31.10．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系Ox 中，曲边三角形OPQ 为勒洛三角形，且π2,6P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，π2,6Q ⎛⎫⎪⎝⎭，以极点O 为直角坐标原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，曲线1C 的参数方程为32112x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．(1)求 PQ的极坐标方程和 OQ 所在圆2C 的直角坐标方程；(2)已知点M 的直角坐标为()0,1-，曲线1C 和圆2C 相交于A ，B 两点，求11||||MA MB -．【答案】(1)ππ2,,66ρθ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭；222:(3)(1)4++=C x y (2)3【解析】【分析】（1）由已知，可根据题意直接写出 PQ 的极坐标方程，并标注范围，然后求解出点P 的直角坐标，写出 OQ所在圆的直角坐标方程即可；（2）由已知，设A ，B 对应的参数分别为12,t t ，将曲线1C 的参数方程带入圆2C ，并根据根与系数关系，求解11||||MA MB -即可.(1)因为π2,6P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，π2,6Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以 PQ 的极坐标方程：ππ2,,66ρθ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，因为点P 的直角坐标是(3,1)-，所以 OQ所在圆的直角坐标方程为222:(3)(1)4++=C x y ．（注： PQ的极坐标方程不标明θ的取值范围或写错扣1分）(2)设A ，B 对应的参数分别为12,t t ，将32112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入22(3)(1)4x y ++=得：2310,0--=∆>t t 所以12123,1+==-t t t t 因为120t t <，由t 的几何意义得：121212121111113||||+-=-=+==t tMA MB t t t t t t。
专题27 极坐标与参数方程A
专题27 极坐标与参数方程A一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)，则直线l 的倾斜角的余弦值为( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45 答案 B解析 由l 的参数方程可得l 的普通方程为4x ＋3y －10＝0，设l 的倾斜角为θ，则tan θ＝－43，由1cos 2θ＝sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝tan 2θ＋1，得cos 2θ＝925，又π2<θ<π，∴cos θ＝－35.2．在极坐标系中，点A 的极坐标是(1，π)，点P 是曲线C ：ρ＝2sin θ上的动点，则|P A |的最小值是( )A ．0 B.2 C.2＋1 D.2－1 答案 D解析 A 的直角坐标为(－1,0)，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y 即x 2＋(y －1)2＝1，|AC |＝2，则|P A |min ＝2－1.3．在同一平面的直角坐标系中，直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4的伸缩变换是( )A.⎩⎨⎧x ′＝xy ′＝14yB.⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝4x y ′＝yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝xy ′＝4yD.⎩⎨⎧x ′＝4xy ′＝14y答案 C解析 将伸缩变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy 代入2x ′－y ′＝4，可得2λx －μy ＝4，将此式与x －2y ＝2进行比较，得λ＝1，μ＝4，故所求的伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y .4．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( )A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1B ．x ＝1C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1D ．y ＝1 答案 C解析 ρ2cos θ－ρ＝0即ρ(ρcos θ－1)＝0，∴ρ＝0或ρcos θ－1＝0，即ρ＝x 2＋y 2＝0，x 2＋y 2＝0或ρcos θ＝x ＝1.5．已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝6，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)，若直线l 与圆C 相切，则r 的值为( )A ．6B ．12C ．12 2D ．36 答案 A解析 直线l 的直角坐标方程为3x －y ＋12＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝r 2，圆心到该直线的距离d ＝6，所以r ＝6.6．在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6作曲线C 的切线，则切线长为( )A ．4 B.7 C ．2 2 D ．23 答案 C解析 ρ＝4sin θ化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6化为直角坐标为(23，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为(23)2＋(2－2)2－22＝2 2.7．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( ) A ．ρcos θ＝2 B ．ρsin θ＝2 C ．ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3 D ．ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3答案 A解析 ρ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，圆x 2＋(y －2)2＝4与直线x ＝2显然相切．8．直线l ：y ＋kx ＋2＝0与曲线C ：ρ＝2cos θ相交，则k 满足的条件是( )A ．k <－34B ．k ≥－34 C ．k ∈R D ．k ∈R 且k ≠0 答案 A解析 由题意可知直线l 过定点(0，－2)，曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.由图可知，直线l 与圆相切时，有一个交点，此时|k ＋2|k 2＋1＝1，得－k ＝34.若满足题意，只需－k >34.即k <－34即可．9．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝23sin θ(θ为参数)上的点到直线y ＝2x －5的距离d 的最大值为( )A. 5B.955C.55 D ．0 答案 B解析 设曲线上任一点(cos θ，23sin θ)， 由点到直线的距离公式， 得d ＝|2cos θ－23sin θ－5|22＋(－1)2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ－55≤955⎝⎛⎭⎪⎫θ＝2π3时等号成立，故选B.10．过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的右焦点F 作直线l 交C 于M ，N两点，|MF |＝m ，|NF |＝n ，则1m ＋1n 的值为( )A.23B.43C.83 D ．不能确定 答案 B解析 曲线C 为椭圆x 24＋y 23＝1，右焦点为F (1,0)，设l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ(t为参数)代入椭圆方程得(3＋sin 2θ)t 2＋6cos θt －9＝0，t 1t 2＝－93＋sin 2θ，t 1＋t 2＝－6cos θ3＋sin 2θ，∴1m ＋1n ＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝43. 11．若P (x ，y )是椭圆2x 2＋3y 2＝12上的一个动点，则x ＋22y 的最大值为( )A ．2 6B ．4 C.2＋ 6 D ．22 答案 D解析 椭圆为x 26＋y 24＝1，设P (6cos θ，2sin θ)， x ＋22y ＝6cos θ＋2sin θ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤2 2.12．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点坐标是( )A ．(3,4) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫322，22 C ．(－3，－4) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125 答案 D解析 设P (x ，y )，因为y －0x －0＝43tan θ＝tan π4＝1，所以tan θ＝34.所以cos θ＝45，sin θ＝35，代入得P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125.第Ⅱ卷 (非选择题，共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中横线上)13．已知曲线C 与曲线ρ＝53cos θ－5sin θ关于极轴对称，则曲线C 的极坐标方程是________．答案 ρ＝10cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6解析 曲线ρ＝53cos θ－5sin θ＝10cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，它关于极轴对称的曲线为ρ＝10cos ⎝⎛⎭⎪⎫－θ＋π6＝10cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.14．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________． 答案3解析 将ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心为(0,2)．将θ＝π6(ρ∈R )化成直角坐标方程为x －3y ＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的距离d ＝|0－23|2＝ 3. 15．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．答案 ρcos θ＋ρsin θ－2＝0或ρ(cos θ＋sin θ)＝2解析 曲线C 的普通方程为：x 2＋y 2＝(2cos t )2＋(2sin t )2＝2(cos 2t ＋sin 2t )＝2，由圆的知识可知，圆心(0,0)与切点(1,1)的连线垂直于切线l ，从而l 的斜率为－1，由点斜式可得直线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，可得l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－2＝0.16．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．答案 63解析 由题意知，椭圆C 的普通方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝m ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝b 2，设椭圆C 的半焦距为c ，则根据题意可知，|m |＝c ，|m |2＝b ，所以有c ＝2b ，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝cb 2＋c 2＝63.三、解答题(本大题共4小题，满分40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7cos α，y ＝2＋7sin α(其中α为参数)，曲线C 2：(x －1)2＋y 2＝1.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；(2)若射线θ＝π6(ρ>0)与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求|AB |.解(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝7cos α，y ＝2＋7sin α，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7cos α，y －2＝7sin α，所以曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝7.把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －1)2＋y 2＝1，得(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ)2＝1，化简得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)依题意可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π6. 因为曲线C 1的极坐标方程为ρ2－4ρsin θ－3＝0，将θ＝π6(ρ>0)代入曲线C 1的极坐标方程，得 ρ2－2ρ－3＝0，解得ρ1＝3.同理，将θ＝π6(ρ>0)代入曲线C 2的极坐标方程，得ρ2＝3，所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝3－ 3.18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝t －3(t 为参数)，在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．解 (1)由曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ，得ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C的直角坐标方程是y 2＝2x .由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝t －3，得t ＝3＋y ，代入x ＝1＋t 中，消去t 得x －y －4＝0，所以直线l 的普通方程为x －y －4＝0.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程y 2＝2x ，得t 2－8t ＋7＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝8，t 1t 2＝7，所以|AB |＝2|t 1－t 2|＝2×(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2×82－4×7＝62，因为原点到直线x －y －4＝0的距离d ＝|－4|1＋1＝22，所以△AOB 的面积是12|AB |·d ＝12×62×22＝12.19．(本小题满分12分)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2－22ρcos ( θ＋⎭⎪⎫π4－2＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy .(1)若直线l 过原点，且被曲线C 截得的弦长最小，求直线l 的直角坐标方程； (2)若M 是曲线C 上的动点，且点M 的直角坐标为(x ，y )，求x ＋y 的最大值．解 (1)ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2＝0，即ρ2－2ρcos θ＋2ρsin θ－2＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4， 圆心C (1，－1)，若直线l 被曲线C 截得的弦长最小，则直线l 与OC 垂直，即k l ·k OC ＝－1，因而k l ＝1，故直线l 的直角坐标方程为y ＝x .(2)因为M 是曲线C 上的动点，因而利用圆的参数方程可设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝－1＋2sin φ(φ为参数)，则x ＋y ＝2sin φ＋2cos φ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4， 当sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π4＝1时，x ＋y 取得最大值2 2.20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1.21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t(t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R )．(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．[解] (1)消去参数t ，得到圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9. 由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m ，得ρsin θ－ρcos θ－m ＝0. 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0. (2)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2， 即|1－(－2)＋m |2＝2，解得m ＝－3±2 2.22．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．[解] (1)由曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α，得⎩⎨⎧x3＝cos α，y ＝sin α，即曲线C 1的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1.由曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝22，即曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2.当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.。
高考文科数学复习专题-极坐标与参数方程
1．曲线的极坐标方程．(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox称为极轴．(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．明显，每一个有序实数对(ρ，θ)，确定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大区分在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，假如平面曲线C上的随意一点的极坐标满意方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．直线的极坐标方程．(1)过极点且与极轴成φ0角的直线方程是θ＝φ0和θ＝π－φ0，如下图所示．(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a，如下图所示．(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a，如下图所示．3．圆的极坐标方程．(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为ρ＝r，如图1所示．(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程为ρ＝2rcos_θ，如图2所示．(3)圆心在过极点且与极轴成π2的射线上，过极点且半径为r的圆的方程为ρ2rsin_θ，如图3所示．4．极坐标与直角坐标的互化．若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内随意一点M 的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x ，y)的公式如下：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或者ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ，其中要结合点所在的象限确定角θ的值．1．曲线的参数方程的定义．在平面直角坐标系中，假如曲线上随意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程．(1)过定点P(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)， 其中参数t 是以定点P(x 0，y 0)为起点，点M(x ，y)为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．依据t 的几何意义，有以下结论：①设A ，B 是直线上随意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则|AB|＝|t B －t A |＝（t B ＋t A ）2－4t A ·t B ；②线段AB 的中点所对应的参数值等于t A ＋t B2.(2)中心在P(x 0，y 0)，半径等于r 的圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数) (3)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos θ，y ＝asin θ. 中心在点P(x 0，y 0)，焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋acos α，y ＝y 0＋bsin α(α为参数)．(4)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的双曲线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asec θ，y ＝btan θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝btan θ，y ＝asec θ. (5)顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上的抛物线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p(t 为参数，p>0)． 注：sec θ＝1cos θ.3．参数方程化为一般方程．由参数方程化为一般方程就是要消去参数，消参数时经常采纳代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要留意参数的取值范围对x ，y 的限制．1．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，则点A 的直角坐标是(2，－23)．2．把点P 的直角坐标(6，－2)化为极坐标，结果为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－π6．3．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4．4．以极坐标系中的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6．5．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为3．解析：由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，得y ＝x －a.由椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ，得x 29＝y24＝1.所以椭圆C 的右顶点为(3，0)．因为直线l 过椭圆的右顶点，所以0＝3－a ，即a ＝3.一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3 2．若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是(B )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定3．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l 被圆C 截得的弦长为(D )A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2解析：由题意可得直线和圆的方程分别为x －y －4＝0，x 2＋y 2＝4x ，所以圆心C(2，0)，半径r ＝2，圆心(2，0)到直线l 的距离d ＝2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为2 2.4．已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，则直线l 与圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的位置关系是(A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．过圆心解析：动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，即圆心(2，1)在直线l 上，又圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ的一般方程为x 2＋y 2＝9且22＋12<9，故点(2，1)在圆O 内，则直线l 与圆O 的位置关系是相交．二、填空题5．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为ρ2＋4ρsin_θ＋3＝0．解析：在平面直角坐标系xOy 中，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝sin θ，x ＝cos θ.依据sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得x 2＋(y ＋2)2＝1，即x 2＋y 2＋4y ＋3＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ2＋4ρsin θ＋3＝0.6．在平面直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2．三、解答题7．求极点到直线2ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4(ρ∈R)的距离．解析：由2ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4⇒ρsin θ＋ρcos θ＝1⇒x ＋y ＝1，故d ＝|0＋0－1|12＋12＝22. 8．极坐标系中，A 为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B 为直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求|AB|的最小值．9．(2015·大连模拟)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，将曲线C 1上全部点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C 2.以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6.(1)求曲线C 2和直线l 的一般方程；(2)P 为曲线C 2上随意一点，求点P 到直线l 的距离的最值．解析：(1)由题意可得C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，即C 2：x 24＋y23＝1，直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6化为直角坐标方程为x －2y －6＝0.(2)设点P(2cos θ，3sin θ)，由点到直线的距离公式得点P 到直线l 的距离为 d ＝|2cos θ－23sin θ－6|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π65＝55⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6. 所以255≤d ≤25，故点P 到直线l 的距离的最大值为25，最小值为255.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程．(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值．解析：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，得一般方程为(x －1)2＋(y －2)2＝16，即x 2＋y 2－2x －4y ＝11＝0.直线l 经过定点P(3，5)，倾斜角为π3，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 是参数)．(2)将直线的参数方程代入x 2＋y 2－2x －4y －11＝0，整理，得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－3，因为直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，所以|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝3.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
极坐标与参数方程专题目
极坐标与参数方程专题
1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：
⑴⎩⎨⎧==ϕ
ϕsin 4cos 5y x （ϕ为参数）； ⑵⎩⎨⎧=-=t y t x 431（t 为参数）
2、求圆心为C 36
，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，半径为3的圆的极坐标方程。
3、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6π
α=，（1）写出直线l 的参数方程。
（2）设l 与
圆422=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。
4、求椭圆14
92
2=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。
5、已知x 、y 满足4)2()1(22=++-y x ，求y x S -=3的最值。
6、已知椭圆⎩⎨⎧==θ
θsin 5cos 4y x 上两个相邻顶点为A 、C ，又B 、D 为椭圆上的两个动点，且B 、
D 分别在直线AC 的两旁，求四边形ABCD 面积的最大值。
7、已知过点P(1，-2)，倾斜角为6
π的直线l 和抛物线x 2=y+m (1)m 取何值时，直线l 和抛物线交于两点?(2)m 取何值时，直线l 被抛物线截下的线段长为3
234-. 8.在极坐标系中，求点(,)3m π0m >到直线cos()23
πρθ-=的距离。
9.极坐标方程cos ρθ=-与cos()14
πρθ+=表示的两图形的位置关系是什么？ 10.直线4π
θ=与圆1=ρ和曲线θρρcos 2⋅+=依次自上而下相交于A 、B 、C 、D 四点，
求｜AB ｜＋｜CD ｜的值
11、 圆θρcos a =(a>0)上有两点A 和B ，它们的极角分别是α,β
⑴由极点向直线作一垂线，垂足为H ，求H 的极坐标 ⑵求直线AB 的极坐标方程
12. 在圆x 2＋2x ＋y 2=0上求一点，使它到直线2x ＋3y －5=0的距离最大．
13. 在椭圆4x 2＋9y 2=36上求一点P ，使它到直线x ＋2y ＋18=0的距离最短（或最长）．
14.已知直线；l ：⎩
⎨⎧+=--=t y t x 4231与双曲线（y-2）2-x 2=1相交于A 、B 两点，P 点坐标P(-1，2)。
求：（1）|PA|.|PB|的值； （2）弦长|AB|; 弦AB 中点M 与点P 的距离。
15.已知A （2,0）,点B,C 在圆x 2+y 2=4上移动，且π3
2=∠BAC 求ABC ∆重心G 的轨迹方程。
16.已知椭圆18322
2=+y x 和圆x 2+(y-6)2=5,在椭圆上求一点P 1,在圆上求一点 P 2,使|P 1P 2|达到最大值，并求出此最大值。
17.已知直线l 过定点P(-2,0),与抛物线C: x 2+ y-8=0相交于A 、B 两点。
（1）若P 为线段AB 的中点，求直线l 的方程；（2）若l 绕P 点转动，求AB 的中点M 的方程.
18.椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上是否存在点P ，使得由P 点向圆x 2+y 2=b 2所引的两条切线互相垂直？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。
19．已知P (3，2)平分抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，求弦AB 的长．
20．已知△ABC 的底边BC 的长为12，且底边固定，顶点A 是动点，若sin B －sin C ＝
2
1sin A ，求点A 的轨迹．
21．已知参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,cos 1,sin 1θθt t y t t x (t ≠0) (1)若t 为常数，θ为参数，方程所表示的曲线是什么?
(2)若θ为常数，t 为参数，方程所表示的曲线是什么?。