2-2函数的解析性和指数函数

7
容易得到
在区域 D内解析的两个函数 f (z) 与 g(z)的和、 差、积、商(除去分母为零的点)在 D内解析.
设函数 h g(z) 在 z 平面上的区域 D内解析, 函数 w f (h) 在 h 平面上的区域G 内解析. 如果 对 D内的每一个点z ,函数 g(z)的对应值h 都属 于 G , 那末复合函数w f [g(z)]在 D内解析.
析, 并且 v u2, 求 f (z).
解 u v 2u u ,
(1)
x y y
u v 2u u , (2)
y x
x
将(2)代入(1)得 u (4u2 1) 0, u 0,
x
x
由(2)得 u 0, 所以 u c (常数), y
2
定理2 函数 f (z) u(x, y) v(x, y)i 在区域D 内解析等价
于二元实函数u(x, y) 和 v(x, y) 在区域D 内处
处可微，并且满足C— R方程。此时，在区域 D
内有
f '(z) u v i v u i x x y y
3
例3 如果 f (z) 在区域 D内处处为零 , 则 f (z) 在
于是 f (z) c ic2 (常数).
5
参照以上例题可以证明:
如果 f (z) 在区域 D内解析, 则 f (z) 在 D内为常数.
(1) f (z) 恒取实值;
(2) f (z) 0;
(3) f (z) 常数;
(4) f (z)解析;
(5) Re[ f (z)] 常数;
解: (4)设 arg f (z) 0 ，0为实常数， 0
则 u sin0 v cos0，两边对x,y求偏导数得
cos0
v x

sin0
u x
,
cos0
v y

sin0
u y
由C-R条件 u v , u v x y y x
所以f(z)是复常数。
13
P39,8 设函数f(z)在区域D内解析，证明：若它满足下列 条件之一，则它在D内是常数。 (2) f (z)在D内解析， (3) |f(z)|在D内为常数, (4) argf(z)在D内为常数。
解: (3)由于|f(z)|在D内为常数，令|f(z)|2=u2+v2=C
对x,y求偏导数得 2u u 2v v 0, 2u u 2v v 0
方程联立得 u u v v 0 x y x y
积分得 u=C1,v=C2,所以f(z)=C1+iC2是任意复常数
15
柯西——黎曼条件方程（C.— R.方程）
定理:设函数 f (z) u(x, y) v(x, y)i 在区域D内确定，则 函数在点 z0 x0 y0i D 可导的充分必要条件是：
⑴ u(x, y) 与 v(x, y) 在 z0 x0 y0i可微．
*
⑵
u v x y
区域 D内为一常数 .
证 f (z) u i v v i u 0, x x y y
故 u v u v 0, x y y x
所以 u 常数, v 常数, 因此 f (z) 在区域 D内为一常数.
4
例4 设 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域 D内解
12
P39,8 设函数f(z)在区域D内解析，证明：若它满足下列 条件之一，则它在D内是常数。 (2) f (z)在D内解析， (3) |f(z)|在D内为常数, (4) argf(z)在D内为常数。
解法：从已知条件出发求u和v的偏导数，利用C-R条件证 明u和v都是实常数，从而得证f(z)是复常数。
解: (2)若f(z)=u+iv，f (z) u iv
若它们同时解析，那么它们都满足C-R条件，即
可得
u v , v u , v u , u v x y x y y x y x u u v v 0 ，即u和v在D内是实常数， x y x y
不可导，根据定义，它在复平面内处处不解析. 11
例11 研究函数 f (z) 1 的解析性. z
解 因为 w 1 在 z 0 处不连续, 故在z 0处 z
不可导，而z 0时，由导数的性质4，6 知
f
(
z
)


1 z2
,
所以 f (z) 1在复平面内除z 0 外处处解析. z
z z
x x

iy iy

1 1

i i
y
x y
1 ik 1 ik
x
由于 k 的任意性, z 1 ki 不趋于一个确定的值. z 1 ki
lim f (z0 z) f (z0 )不存在
z0
z
因此, h(z) z 2 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都
(6) Im[ f (z)] 常数;
(7) v u2;
(8) arg f (z) 常数.
6
解析函数的判定方法:
(1) 如果能用求导公式或求导法则证实复变函 数 f (z) 的导数在区域D内处处存在，则可直 接断定 f (z) 在 D内解析.
(2) 如果复变函数 f (z) u iv 中 u, v 在 D内 的各一阶偏导数连续(因而 u( x, y), v( x, y)在 D 内可微)，且满足 Cauchy Riemann 方程, 则 由解析函数的充要条件断定 f (z) 在 D内解析.
x x
y yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由C-R条件 u v , u v x y y x
方程联立得 u2+v2=0 或 u u v v 0 x y x y
积分得 u=v=0 或 u=C1,v=C2,所以f(z)=C1+iC2
14
P39,8 设函数f(z)在区域D内解析，证明：若它满足下列 条件之一，则它在D内是常数。 (2) f (z)在D内解析， (3) |f(z)|在D内为常数, (4) argf(z)在D内为常数。
z
z
(z0 z)(z0 z) z0 z0 z

z0

z

z0
z z
当 z0 0 时,
lim f (z0 z) f (z0 ) 0
z0
z
10
当 z0 0 时,
令 z0 z 沿直线 y y0 k( x x0 ) 趋于 z0,
8
从而，可知 (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的. (2) 任何一个有理分式函数P(z) 在不含分母为
Q(z) 零的点的区域内是解析的, 使分母为零的点是 它的奇点.
9
例10 研究函数 f (z) z 2的解析性.
解 f (z0 z) f (z0 ) z0 z 2 z0 2
u v y x
f
(z)
在z

x

yi的导数为
f
'(z)

u x

v x
i

v y

u y
i
条件(*)常称为柯西—黎曼条件（C.— R.条件）．
1
• Q 研究 f (z) xy 在 z 0 的可导性。（说明在上面 定理中 u(x, y),v(x, y) 的可微性不可去） Q 判别函数 f (z) x2 y2i 的可导点。