线性规划及其对偶问题153页PPT
2线性规划及其对偶问题 共154页
s.t
x11 + x21+ x31 = 40
x12 + x22+ x32 = 15
x1
am 2 x2 amn xn x1, x2 , , xn 0
bm
b1,b2 , ,bm 0
右端常数
(3) 线性规划模型矩阵形式
Max Z CX
s.t
AX b
X
0
C c 1 c 2 c n
价值向量
x 1
X
目标函数为极小化 约束条件
分两种情况：大于、小于 决策变量
可能存在小于零的情况
3.2 线性规划问题的基本解
Max Z CX 1
(1) 解的基本概念
s.t
AX
b
2
X 0 3
定义 在线性规划问题中，约束方程组(2)的系
数矩阵A(假定m)的n任意一个 m 阶的m非奇异(可 逆)的子方阵B(即 )，B称为0线性规划问题的一 个基阵或基。
线性规划问题的解有四种情况
唯一最优解 无穷多最优解 无有限最优解 无可行解
若线性规划问题有解，则可行域是一个凸多边形 （或凸多面体）；
若线性规划问题有最优解，则
对偶问题线性规划ppt
3、互补松弛性
在线性规划问题的最优解中， 如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，
那么该约束条件取严格等式；
反之如果约束条件取严格不等式，
那么其对应的对偶变量一定为零。 即
n
如果yˆi 0，则 aij xˆ j bi j 1 n
如果 aij xˆ j bi，则 yˆi 0 j 1
原 : m ax Z x1 2 x2
x1 x2 x3 2
2
x1
x2
x3
1
x1 ,
x2
,
x3
0
对 : m in W 2 y1 y2
y1 2 y2 1
y1 y1
y2 2 y2 0
y 1 , y 2 0
试用对偶理论证明原问题无界。
__
解：X =（0.0.0）是 P 的一个可行解，而 D 的第一
练习 线性规划问题
min 2x1 3x2 5x3 2x4 3x5 s.t. x1 x2 2x3 x4 3x5 4 2x1 x2 3x3 x4 x5 3 xj 0, j 1, 2, ,5
已 知 原 问 题 的 最 优 解 为 x(1 ,0,0,0,1 )T 试 用 互 补 松 弛 性 质 找 出 对 偶 问 题 的 最 优 解 .
对偶单纯形法
对偶单纯形法并不是求解对偶问题解的方法，而是利
用对偶理论求解原问题的解的方法。
对于标准线性规划问题：
minf CX
AX b
s.t.
X
0
maxzbY
s.t. ATY C
可行基B 假设B对应的根本解是可行解
最优基B 假设B对应的根本解是最优解
对偶可行基B 假设CBB-1是对偶问题可行解
例2 给定线性规划问题 min 2x1 3x2 x3 s.t. 3x1 3x2 x3 1 x1 2x2 x3 2 x1, x2 , x3 0
线性规划对偶理论PPT课件
max z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12x2
a21x1 a22x2
a1nxn ≤ b1 ≤ a2nxn b2
≤
am1x1 am2 x2
amn xn bm
x
j
≥
0
j 1, 2,
,n
min w b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21y 2
a12
y1
a
22
y
2
a1n y1 a2n y2 yi ≥ 0 i 1, 2,
am1y m ≥ c1 am2xm≥ c2
amn ym ≥ cn ,m
6
第6页/共45页
规范形式下对偶关系的一般形式
max z CX
AX ≤b
X
≥
0
min w Yb YA≥ C Y ≥ 0
7
第7页/共45页
【证】因为X°、Y°是可行解，故有AX°≤b, X°≥0及Y°A≥C， Y°≥0,将不等式 AX°≤b
两边左乘Y°，得Y0AX°≤Y0b
再将不等式Y°A≥C两边右乘X°，得C X°≤Y°AX°
故
C X°≤Y°AX≤Y°b
这一性质说明了两个线性规划互为对偶时，求最大值的线性 规划的任意目标值都不会大于求最小值的线性规划的任一目 标值，不能理解为原问题的目标值不超过对偶问题的目标值。
6
y2
8 y3 y3
≥ ≤
5 4
y1
5 y2
≤9
y1≤0， y2≥0， y3无约束
15
第15页/共45页
线性规划对偶问题的基本性质
下面介绍对偶基本性质时，一般假定是如下规范对偶关系。
设原问题是（记为LP）： 对偶问题是（记为DP）：
运筹学课件第二章对偶问题
第二章线性规划的对偶理论与灵敏度分析一、学习目的与要求 1、掌握对偶理论及其性质 2、掌握对偶单纯形法3、熟悉灵敏度分析的概念和内容4、掌握限制常数与价值系数、约束条件系数的变化对原最优解的影响5、掌握增加新变量和增加新的约束条件对原最优解的影响，并求出相应因素的灵敏度范围6、了解参数线性规划的解法 二、课时 6学时第一节 线性规划的对偶问题一、对偶问题的提出定义：一个线性规划问题常伴随着与之配对的、两者有密切联系的另一个线性规划问题，我们将其中一个称为原问题，另一个就称为对偶问题，在求出一个问题的解时，也同时给出了另一问题的解。
应用：在某些情况下，解对偶问题比解原问题更加容易；对偶变量有重要的经济解释(影子价格)；作为灵敏度分析的工具；对偶单纯形法(从一个非可行基出发，得到线性规划问题的最优解)；防止使用人工变量(人工变量带来很多麻烦，两阶段法那么增加一倍的计算量)。
例：某家具厂木器车间生产木门与木窗；两种产品。
加工木门收入为56元/扇，加工木窗收入为30元/扇。
生产一扇木门需要木工4小时，油漆工2小时；生产一扇木窗需要木工3小时，油漆工1小时；该车间每日可用木工总共时为120小时，油漆工总工时为50小时。
问：(1)该车间应如何安排生产才能使每日收入最大？(2)假假设有一个个体经营者，手中有一批木器家具生产订单。
他想利用该木器车间的木工与油漆工来加工完成他的订单。
他就要考虑付给该车间每个工时的价格。
他可以构造一个数学模型来研究如何定价才能既使木器车间觉得有利可图而愿意为他加工这批订单、又使自己所付的工时费用最少。
解(1)：设该车间每日安排生产木门x1扇，木窗x2扇，那么数学模型为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=-0502120343056max 21212121x x x x x x x zX*=(15,20)’ Z*=1440元解(2)：设y 1为付给木工每个工时的价格，y 2为付给油工每个工时的价格⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=-0303562450120min 21212121y y y y y y y wY*=(2,24)’ W*=1440元将上述问题1与问题2称为一对对偶问题，两者之间存在着紧密的联系与区别：它们都使用了木器生产车间相同的数据，只是数据在模型中所处的位置不同，反映所要表达的含义也不同。
运筹学02对偶理论1线性规划的对偶模型,对偶性质幻灯片PPT
min w=36y1+40y2+76y3
表示。企业生产一件产品甲用了四种资源的数量分别是3，5和9 个单位，利润是32, 企业出售这些数量的资源所得的利润不能少 于32，即
3 y 1 5 y 2 9 y 3 3 2
同理，对产品 乙有
4 y 1 4 y 2 8 y 3 3 0
3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
m
y
* i
x
S
i
0
i1
பைடு நூலகம்
n
y
S
j
x
* j
0
j1
由于变量都非负，要使求和式等于零，那么必定每一
分量为零，因而有以下关系：
3.2 对偶性质 Dual property
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
(1)当yi*>0时，xSi 0 , 反之当 xSi 0 , 时yi*=0；
( 2 ) y S j 0 时 x * j 0 , 反 之 当 x * j 0 时 y S j 0
3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
m ax Z 32 x1 30 x2
3 x1 4 x2 36
5
x1
4 x2
40
9
x1
8 x2
76
x1 , x 2 , x3 0
注：以上两问题是同一组数据参 数，只是位置有所不同，所描述 的问题实际上是从两个不同的角 度去描述。原始线性规划问题考 虑的是充分利用现有资源，以产 品数量和单位产品的利润来决定
7 x
x
1
1
运筹学线性规划与对偶问题PPT.
侮辱国歌案例
国歌是一个国家的象征，是国家的一种尊严和荣誉。
然而，近年来，一些人对
国歌的尊重和保护意识不足，甚至出现了侮辱国歌的行为。
这种行为不仅是对国家的不敬，更是对国家法律的挑衅。
下面我们就来看一些侮辱国歌的案例。
首先，我们可以看到一些人在公共场合对国歌进行恶搞、歪曲、改编，甚至以
恶搞的方式演唱国歌。
这种行为严重伤害了国歌的庄严形象，是对国家尊严的一种伤害。
国歌是国家的象征，任何对国歌的不敬都是对国家的不敬。
其次，一些人在社交媒体上散布侮辱国歌的言论和图片，甚至制作恶搞国歌的
视频。
这种行为不仅是对国歌的不尊重，更是对国家法律的挑衅。
国家有关法律法规对侮辱国歌的行为有明确的规定，任何人都不能违反国家法律。
最后，一些人在体育比赛等场合，对国歌进行了不尊重的行为，比如在国歌奏
响时不肃立、不肃静，甚至出现了一些人倒立、扭曲身体等不文明行为。
这种行为不仅是对国歌的不敬，更是对国家的不尊重和不礼貌。
总之，侮辱国歌的行为不仅是对国歌的不尊重，更是对国家的不敬和挑衅。
我
们每个人都应该尊重国歌，保护国歌，树立正确的国家荣誉感和民族自豪感。
同时，国家也应该加强对侮辱国歌行为的监管和处罚，让侮辱国歌的行为受到应有的惩罚，维护国家的尊严和形象。
希望全社会都能共同努力，共同维护国歌的尊严和荣誉，共同建设和谐美好的社会。
运筹学课件 第三章-线性规划对偶问题
9, 4 A 4, 5
3, 10
• 这两个线性规划问题无论从经济意义上或者是从数学意义 上都是紧密相连的：
— 从经济上看，A工厂的目标是寻找最优生产方案，以获得最大生产 收入；而B企业是寻求最优价格，使总成本最低。
— 从数学模型的形式上看，它们也是关联的，比较模型如下：
双方谈判的焦点——每种能源的价格
y1 = 煤价（万元/吨）y2 = 电价（万元/千瓦时）y3 = 油价（万元/吨）
B企业的目标: Min w=360y1 + 200y2 + 300y3
煤 电 油 单价
甲 乙 资源
按B企业提供的能源 A工厂 产品
9 4 360 A工厂的底线: 价格折算的产品价格 的要求 价格
Max z=7x1 + 12x2 (总销售收入) s.t. 9x1 + 4x2 360 (煤资源限制)
4x1 + 5x2 200 (电资源限制) 3x1 + 10x2 300 (油资源限制) x1 0，x2 0 (非负条件)
• 假有一家B企业，计划收购A工厂。
• 收购A工厂的本质行为是，以适当的价格将A工厂的所有资 源全部买下，使A工厂自愿放弃原来的生产活动。
原问题Max（对偶问题）
对偶问题Min（原问题）