数值分析--第1章绪论yjs12
数值分析第一张,引言
模型(móxíng)设计
算法设计
上机计算
问题的解
共四十七页
结束(jiéshù)
其中算法设计是数值(shùzí)分析课程的主要内容.
数值分析课程(kèchéng)研究常见的基本数学问题的数值解法.包含了
数值代数(线性方程组的解法、非线性方程的解法、矩阵求逆、 矩阵特征值计算等)、数值逼近、数值微分与数值积分、常微分方程 及偏微分方程的数值解法等.它的基本理论和研究方法建立在数学 理论基础之上，研究对象是数学问题，因此它是数学的分支之 一.
3! 5! 7!
(2n 1)!
( 1.1)
这是一个无穷级数，我们只能(zhī nénɡ)在适当的地方“截断 ”，使计算量不太大，而精度又能满足要求.
如计算 sin 0.5，取n=3 sin 0.5 0.5 0.53 0.55 0.57 0.479625
3! 5! 7!
共四十七页
结束
据泰勒余项公式(gōngshì)，它的误差应 为
• 1998年7月30-31日，美国DOE/FNS 共同联合组织召开了 关于“先进科学计算”的全国会议，会议强调科学模拟的重
要性，希望应用科学模拟来攻克复杂的科学与工程难题。
共四十七页
数值分析是计算数学的一个主要部分，方法解决科学研究或 工程技术问题，一般按如下途径进行：
实际 (shíjì)问
题
程序设计
R (1)9 9
9!
0,
4
R ( / 4)9 3.13 10 7
362880
( 1.2)
可见结果(jiē guǒ)是相当精确的.实际上结果(jiē guǒ)的六位数字都是 正确的.
2 算法常表现(biǎoxiàn)为一个连续过程的离 散化
数值分析
数值分析第一章绪论1.1数值分析研究对象与特点数值分析又叫计算数学。
实际问题→数学模型→数值计算方法→程序设计→上机计算求结果1.2数值计算的误差1.2.1误差来源于分类有限差分方法（Finite Differenc Methods,FDM），是通过有限差分来近似导数或者偏导数，从而求得微分方法的近似解。
在实际中，许多数学问题都很难得到其解析解，所谓解析解就是可以通过给出解的具体函数形式，从解的表达式中就可以算出任何自变量对应值；而数值解是在特定条件下通过近似计算得出来的一个数值。
数值解只能由具体的系数确定：ax2+bx+c=0(a≠0)。
假设f(x)在x0处各阶可导，则根据定理，其在x0+h的泰勒展开式为：f(x0+ℎ)=f(x0)+f′(x0)1!ℎ+f(2)(x0)2!ℎ2+⋯+f(n)(x0)n!ℎn+R n(x)可以推导函数f一階导数的近似值：f(x0+ℎ)=f(x0)+f′(x0)ℎ+R1(x)设定x0=a，可解f′(a)=f(a+ℎ)−f(a)ℎ−R1(x)ℎ，R1(x)是x→a时的高阶无穷小，可以将f的一阶导数近似为f′(a)≈f(a+ℎ)−f(a)ℎ(一阶近似)。
这种由于截断所引起的误差就是截断误差(truncation error)或方法误差或结尾误差。
由“四舍五入”引起的误差称为舍入误差(round-off error）。
步长不可能是无穷小，所以这也会引入一个误差。
1.2.2误差与有效数字定义1：设x为准确值，x*为x的一个近似值，称e*= x*-x为近似值的绝对误差，简称误差。
准确值是不知道的，否则没必要给出近似值，这也就是说，绝对误差是没法算的，所以我们给出绝对误差e*的误差限：|x∗−x|≤ε∗，即x∗−ε∗≤x≤x∗+ε∗；对于10、11和1000、1001，它们的绝对误差都是1，但是它们误差的程度是不同的，所以，我们引入相对误差。
绝对误差:△＝│测量值—真值│相对误差:相对误差＝(绝对误差/真值的绝对值）×100%≈绝对误差/测量值的绝对值）×100%，相对误差用e r∗表示。
数值分析 第一章 学习小结
数值分析第1章绪论--------学习小结一、本章学习体会通过本章的学习，让我初窥数学的又一个新领域。
数值分析这门课，与我之前所学联系紧密，区别却也很大。
在本章中，我学到的是对数据误差计算，对误差的分析，以及关于向量和矩阵的范数的相关内容。
误差的计算方法很多，对于不同的数据需要使用不同的方法，或直接计算，或用泰勒公式。
而对于二元函数的误差计算亦有其独自的方法。
无论是什么方法，其目的都是为了能够通过误差的计算，发现有效数字、计算方法等对误差的影响。
而对误差的分析，则是通过对大量数据进行分析，从而选择出相对适合的算法，尽可能减少误差。
如果能够找到一个好的算法，不仅能够减少计算误差，同时也可以减少计算次数，提高计算效率。
对于向量和矩阵的范数，我是第一次接触，而且其概念略微抽象。
因此学起来较为吃力，仅仅知道它是向量与矩阵“大小”的度量。
故对这部分内容的困惑也相对较多。
本章的困惑主要有两方面。
一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。
虽然知道算法选择的原则，但对于很多未接触的问题，真正寻找一个好的算法还是很困难。
另一方面困惑来源于范数，不明白范数的意义和用途究竟算什么。
希望通过以后的学习能够渐渐解开自己的疑惑。
二、本章知识梳理2.1 数值分析的研究对象方法的构造研究对象求解过程的理论分析数值分析是计算数学的一个重要分支，研究各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求解过程的理论分析。
它致力于研究如何用数值计算的方法求解各种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性，数值稳定性和误差估计等内容。
2.2误差知识与算法知识2.2.1误差来源误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种。
其中模型误差与观测误差属于建模过程中产生的误差，而截断误差、舍入误差与传播误差属于研究数值方法过程中产生的误差。
2.2.2绝对误差、相对误差与有效数字1.（1）绝对误差e指的是精确值与近似值的差值。
绝对误差：绝对误差限：（2）相对误差是指绝对误差在原数中所占的比例。
第1章 绪论
相对误差与相对误差限
e x−a 相对误差； 称 er = = 为近似值 a 的相对误差； 由于 x x e x 未知， 未知， 的相对误差。 实际上也把 作为 a 的相对误差。并 a e x−a 。 且也记为 er = = a a
称 |er | 的一个上界 ε r 为近似值 a 的相对误差 限或相对误差界。 限或相对误差界。
(1.1)
使用Taylor公式中的高阶项。 公式中的高阶项。 使用 公式中的高阶项
四则运算结果的误差估计
的近似值, 设 a 和 b 分别是准确值 x 和 y 的近似值 则a+b,
x a a − b, ab, 分别是 x + y, x − y, xy, 的近似值。 的近似值。 y b
根据式(1.1)，可得 ， 根据式
x 1 = ∑ xi
i =1 n
2-范数或 范数或Euclid(欧几里德 欧几里德) 范数或 欧几里德
x2=
∑x
i =1 1≤i ≤ n
n
2 i
∞-范数或行范数 范数或行范数
x
∞
= max xi n p = ∑ xi i =1
1 p
p-范数 范数
x
p
( p ≥ 1)
向量范数等价定理 定理1.1 设 i 定理
0.005 ε r (a) = ≈ 0.23%, 2.18 0.00005 ε r (b) = ≈ 0.0024% 2.1200 注：凡是由准确值经过四值五入而得到的
近似值， 近似值，其绝对误差限可取为该近似 值末位的半个单位。 值末位的半个单位。
三、有效数字
的近似值， 如果 a 的绝 定义 设 a 是准确值 x 的近似值， 对误差限是它的某一位的半个单位， 对误差限是它的某一位的半个单位，并且从 该位到它的第一位非零数字共有 n 位，则称 用 a 近似 x 时具有 n 位有效数字。 位有效数字。 非零小数 a 总可以写成如下的形式 a = ±0.a1a2 ⋯ ak × 10m
第1章 绪论
x5 = 3.1416, ε 5 ≤ 0.000008.
定义2 定义2 若近似值x的误差限是某一位数字的半个单位, 该位 到x的第一位非零数字共有n位，就说x有n位有效数字. 有效数字
即 x = ±0.a1a2 L an × 10m 1 x − x * ≤ × 10m − n 2
绝对误差与有效数字的关系 (1.1)
乘法次数：n，加法次数：n
（ ） 1.2
5.选用数值稳定性好的算法
一个算法若输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差不增长， 则称此算法是数值稳定的，否则是不稳定的.
例9 计算I n = e
−1
∫
1
0
x n e x dx, n = 0,1,L , 并估计误差.
I n = 1 − nI n−1 , n = 1,2,L,
2.防止‘大数’吃‘小数’
例6 在八位十进制的计算机上计算： A = 63281312 + ∑ δ n , 其中0<δ n < 1
n =1 1000
3.绝对值太小的数不宜作除数 例7 仿计算机，采用3位十进制，用消元法求解方程组
1.00×10−5 x +1.00y = 1.00 −105 = 1.00001 x= 1−105 1.00x +1.00y = 2.00 2−105 = 0.9999899 y= 1−105 1.00×10−5 x +1.00y = 1.00 解： x得， 消 5 (1.00−1.00×105) y = (2.00−1.00×105) (2) − (1) ÷10−
例３ 要使 20的相对误差限小于 0.1%，要取几位有效数字？
§1.4 数值计算中的若干原则
数值分析第一章 绪论
1 (e1 1 ) 0.0684 2 10 10
，递推可得：
I9 0.0684 I7 0.1121 I5 0.1455 I3 0.2073 I1 0.3679
I8 0.1035 I6 0.1268 I4 0.1709 I2 0.2642 I0 0.6321
可见,I0已精确到小数点后四位。
y
er (x)
y x y
er ( y)
可见，当x与y很接近时，z的相对误差有可能很大。
在数值计算中，如果遇到两个相近的数相减运算，可
考虑改变一下算法以避免两数相减。例如：
当x1
x2时，有 log
x1
log
x2
log
x1 x2
当x 0时，有1cosx 2sin 2 x 2
当x 1时，有
ln
2
1
1 2
1 3
1 41 5ln2
1
1 2
1 3
1 4
1 5
这里产生误差（记作R5）
R5
1 6
1 7
1 8
1 9
1 10
...
4.舍入误差 由于计算机只能对有限位数进行运算，
在运算中象 e、
2
、1 等都要按舍入原则保留有限位，这 3
时产生的误差称为舍入误差或计算误差。
e x
x* x
x
r =/|x|称为近似值x的相对误差限。|er|≤r.
例1 设x=1.24是由精确值x*经过四舍五入得到的近似 值,求x的绝对误差限和相对误差限。
数值分析--第1章 绪论
数值分析--第1章绪论第一章绪论上世纪中叶诞生的计算机给科学、工程技术和人类的社会生活带来一场新的革命。
它使科学计算平行于理论分析和实验研究，成为人类探索未知科学领域和进行大型工程设计的第三种方法和手段。
在独创性工作的先行性研究中，科学计算更有突出的作用。
在今天，熟练地运用电子计算机进行科学计算，已成为科学工作者的一项基本技能。
然而，科学计算并不是计算机本身的自然产物，而是数学与计算机结合的结果，它的核心内容是以现代化的计算机及数学软件为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。
近年来，它同时也成为数学科学本身发展的源泉和途径之一。
1 数值分析的研究对象与特点数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。
一般地说，用计算机解决科学计算问题，首先需要针对实际问题提炼出相应的数学模型，然后为解决数学模型设计出数值计算方法，经过程序设计之后上机计算，求出数值结果，再由实验来检验。
概括为实际问题数学模型计算方法程序设计计算结果由实际问题的提出到上机求得问题的解答的整个过程都可看作是应用数学的任务。
如果细分的话，由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立数学模型这一过程，通常作为应用数学的任务，而根据数学模型提出求解的数值计算方法直到编出程序上机计算出结果，这一过程则是计算数学的任务，即数值分析研究的对象。
因此，数值分析是寻求数学问题近似解的方法、过程及其理论的一个数学分支。
它以纯数学作为基础，但却不完全像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是着重研究数学问题求解的数值方法及与此有关的理论，包括方法的收敛性，稳定性及误差分析；还要根据计算机的特点研究计算时间最省（或计算费用最省）的计算方法。
有的方法在理论上虽然还不够完善与严密，但通过对比分析，实际计算和实践检验等手段，被证明是行之有效的方法也可采用。
因此数值分析既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际试验的高度技术性的特点，是一门与使用计算机密切结合的实用性很强的数学课程。
第1章数值分析-绪论
实际运算 Er (a) (x a) / a
r / a
例5 a=3.14是π的近似值。
E(a) 3.14 0.002
Er
(a)
0.002
0.002 3.14
6.36942104
三、有效数字 例如 3.14159265...
取3位,a=3.14,δ≤0.002 取5位,a=3.1416,δ≤0.000008
a 10m 0.a1a2...an
a1是1到9中的一个整数， a2,…,an为0到9中的任
意整数。m为整数，
且
E(a) x a 1 10mn 2
成立,
ห้องสมุดไป่ตู้
则称a近似 x 有n位有效数字。
【注】 近似数的有效数字不但给出了近似值的大小, 而且还指出了它的绝对误差限。
数值分析——绪论
例6 设 x 0.002567, a 0.00256 102 0.256 则 x a 0.00005 1 104
2
因为m=-2,所以n=2， 即a有2位有效数字。
若 a 0.00257 102 0.257
则
x a 0.000003 0.000005 1 105 2
因为m=-2,所以n=3， 即a有3位有效数字。
例7 设x =8.00001，则a=8.0000具有5位有效数字。
例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 x ， 读出和该长度接近的刻度 a, a 是 x
的近似值，它的误差限是0.5mm.如读出的长度 是765mm，则
x 765 0.5 764.5 x 765.5
数值分析——绪论
对于一般情形 x a 即
a x a ，有时记为 x=a
例4 绝对误差的局限性例子。
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计算机中数的运算
• 首先将两个数表示为浮点数，然后对两个浮点数作加减乘 除运算，按以下规则： （1）加减法 首先比较两数的阶码，将阶码较小的尾数向 右移位，每移1位阶码加1，直至两数的阶码相等为止，此 过程称为对阶；再将移位后的尾数多于计算机字长的部分 进行四舍五入，之后对尾数进行加减运算，最后将尾数写 成规格化形式。 （2）乘法 阶码相加，尾数相乘，得两倍字长尾数，最 后将乘积的尾数舍入成规格化形式，并冠以乘积的符合 （同号积为正，异号积为负）。 （3）除法 阶码相减，将被除数尾数扩大为双倍字 长进行除法，得两倍字长的尾数，最后舍入成规格化 形式，并冠以商的符合（同号商为正，异号商为负）。
10
数值分析
1.2 数值算法的基本概念
算法：从给定的已知量出发，经过有限次四则运算及规定的运 算顺序，最后求出未知量的数值解，这样构成的完整计算步骤 称为算法。 评价算法的两个主要标准：速度和精度 分析算法的两个主要方面：空间复杂度和时间复杂度 时间复杂性即计算量：一个算法所需四则运算总次数. 一个算法所需的乘除运算总次数，单位是flop. 空间复杂性即存储量
数值逼近 (Ch. 2 — 4) 内容 数值代数 (Ch. 5 — 7) 微分方程数值解 (Ch. 8 , 9)
5
数值分析
方法:
离散化
计算离散点上的近似值
构造性
方法的构造，解的存在唯一性的证明
递推性
复杂计算过程转化成简单的计算过程的多次重复 （适合计算机计算）
近似替代
在误差允许的范围内，无限次的计算用 有限次计算替代
编写程序 上机计算结果
结果分析
8
数值分析
小结：用计算机求数学问题的数值解不是简单地构造算法，它涉
及多方面的理论，例如，算法的收敛性和稳定性等。除理论分析外，
一个数值方法是否有效，最终要通过大量的数值实验来检验。数值 计算方法具有理论性、实用性和实践性都很强的特点。
作为数值分析的基础知识，本课程不可能面面俱到。除构造算法 外，各章根据内容自身的特点，讨论的问题有所侧重。学习时我们首 先要注意掌握方法的基本原理和思想，要注意方法处理的技巧及其与 计算机的结合，要重视误差分析、收敛性和稳定性的基本理论。其次， 要通过例子，学习使用各种数值方法解决实际计算问题，熟悉数值方 法的计算过程。最后，为了掌握本课程的内容，还应做一定数量的理 论分析与计算练习。
11
数值分析
例1 计算
x 255
254
A:x255=x· x· · · x
B:x255=x· x2· x4· x8· x16· x32· x64· x128
算法B( Matlab ) s x; y x; for i 1 : 7 s s * s; y y * s; end
数值分析
1 0.1667 0.0000334 6
数值分析
就是舍入误差。
20
在数值计算方法中，主要研究截断误差和舍入误差 （包括初始数据的误差）对计算结果的影响！ 例:利用ln(x+1)的Taylor公式：
2 n1 1 n 1 3 1 4 ln( x 1) x 1 x x x ... ( 1 ) 2 3 4 n x ...
9
数值分析
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
教材 数值分析 熊之光等 参考书目
编著 （天津大学出版社）
应用数值方法 使用MATLAB和C语言
Robert J.Schilling & Sandra L.Harris （机械工业出版社）
数值分析 数值计算方法 计算方法等 数值分析
李庆扬、易大义、王能超 编著
（清华大学出版社）
--会用计算机进行科学计算
2
数值分析
超级计算使科学变得更直观
3
Introduction
数值分析 能够做什么？
4
数值分析
数值分析是研究用计算机求解各种数
学问题的数值方法及其理论的一门学科。 数值分析也称为数值计算方法。
研究对象由数学模型提出求解的
数值计算方法并编程计算出结果， 然后进行误差分析。
由线性方程组的克莱姆(Cramer)规则可知,如果方程组(1)的系数 矩阵A的行列式(一般记为D=|A|)不等于零,那末,这个方程组有唯一 解,而且它们可以表示为 xi=Di /D (i=1,…,n) 这里, Di 是指D中第i列元素用右端(b1,… bn)代替构成的行列式。 线性方程组 Ax=b，当n=20时，用Cramer法则求解，运算 次数约为9.7*1020，用每秒1000亿次的计算机也要算300年。 用Gauss消元法求解，运算次数为3060。
数值分析
19
2、四种误差
截断误差 模型的准确解与某种数值方法的准确解
之间的误差称为截断误差或方法误差。在例2中， 1 4 x 就是截断误差。 e S3 ( x ) x 4!
舍入误差 用计算机计算，由于计算机字长有限而在 数值运算的每一步所产生的误差称为舍入误差。在例 2中的用4位浮点机计算1/6所产生的误差
设在一台虚构的4位数字的计算机上计算
1.492 1.066 1.590
舍入误差为 0.000472 例2：考虑Matlab简单程序 format long x=4/3-1 y=3*x z=1-y
数值分析
22
舍入误差对计算结果影响很大
1 1 11 1 2 3 6 x1 1 1 1 x 13 2 3 4 2 12 x3 47 1 1 1 3 4 5 60
求解得 x1 1.09, x2 0.488, x3 1.49
23
数值分析
计算机数系
在实数系中，每一个实数可以有无穷位，不同的 实数代表数轴上不同的点；
3 1.732050808
在计算机数系中，每一个数只有有限位，只有部分 有理数能被计算机数系中的数精确表示。 这种允许小数点位置浮动的表示法称为数的 3 不能被计算机数系精确 表示。 浮点数： 36.83=0.3683 ×102=0.03683× 103 浮点形式。 a1≠0, (1)称为x 的 实数x的十进制浮点形式为 规格化的浮点形式
例3：考察方程组
其解为
x1 x2 x3 1
如 果 把系 数 舍 入 成 三数 位字 1.000 0.500 0.333 x1 1.83 0.500 0.333 0.250 x 1.08 2 0.333 0.250 0.200 0.783 x3
16
数值分析
1.3 误差的基本理论
用计算机进行实际问题的数值计算时，往往求得的是问题 的近似解，都存在误差。 误差是不可避免的，既要允许误差，又要控制误差，要重视 误差分析，分析误差的来源，误差的传播及对误差作出估计。 用计算机解决科学计算问题时，需要经历以下几个环节： 实际 问题 建立数 学模型 确定数值 计算方法 编制程序上 机算出结果
其原理为
计算量 N n flop
注意
(((an x an1 ) x an2 ) x a1 ) x a0
15
数值分析
例3 ：求解n元线性方程组
a11x1+a12x2+ … +a1nxn=b1 ┆ ┆ ┆ (1) an1+an2x2+ … +annxn=bn
Ax=b A可逆
6
数值分析
特点:
1、方法是近似的；
2、与计算机不能分离：上机实习 （掌握一门语言：C语言或Fortran语言，
会用一种数学软件：Matlab 或 Mathematica ，Maple）
在我们今后的讨论中，误差将不可回避，
上机实习是需要大家创造条件完成的
7
数值分析
用计算机解决实际问题的步骤
建立数学模型 选择数值方法
（1）截断式
x= 0. a1a2…akak+1 …10c
fl(x)= 0. a1 a2... ak 10c (2)四舍五入式
0.a1a 2 a k 10 c fl ( x ) k c (0.a1a 2 a k 10 ) 10
数值分析
a k 1 5 a k 1 5
数 值 分 析 （Numerical Analysis）
主讲：彭叶辉
pengyehui@ 湖南科技大学数学与计算科学学院
2013年10月
1
数值分析
21世纪信息社会的两个主要特征： “计算机无处不在”
“数学无处不在”
21世纪信息社会对科技人才的要求： --会“用数学”解决实际问题
模型误差 数学模型与实际问题之间出现的这种误 差称为模型误差。在例1中，Lt-lt就是模型误差。 观测误差 通过仪器观测，确定数学模型中的参数所 引起这种的误差称为观测误差.在例1中的10-6就是观 测误差。 例2 求e x的近似值。 1 2 1 3 1 n x e 1 x x x x , 2! 3! n! 1 2 1 3 S3 ( x ) 1 x x x 2! 3!
(输入x, 输出y）
计算量 N 14 flop
存储量=2
12
例2：计算多项式p( x) 3 x 3 4 x 2 2 x 6的值。
算法1：由x计算出x 2 , x 3后再算。
需乘法5次，加法3次，存储单元7个。
算法2：p( x) x[ x(3 x 4) 2] 6
需乘法3次，加法3次，存储单元6个。 一般地，计算n次多项式的值
26
数值分析
• 例1.1 设有两个实数x=1.623，y=0.189，假设机器浮点数中阶码是3位， 尾数也是3位，试用机器计算z1=4/3(x+y)，z2=4[(x+y)/3].