黑龙江省哈尔滨市2017_2018学年高二数学上学期期中试题文
2017-2018学年高二(上)期中数学试卷(文科)带答案精讲
2017-2018学年高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集为R，集合A={x||x|≤2}，B={x|＞0}，则A∩B（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，1）C．（1，2]D．[﹣2，+∞）2．（5分）在空间中，下列命题正确的是（）A．三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若平面α⊥β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βC．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αD．若直线a与直线b平行，且直线l⊥a，则l∥b3．（5分）直线x+y=0被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．1 B．2 C．D．24．（5分）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件5．（5分）已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．6．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）A．B．C．D．27．（5分）如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=8．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22 B．23 C．24 D．259．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|﹣|，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣10．（5分）若f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，设P={x|﹣1＜f（x+t）＜3}，Q={x|f（x）＜﹣1}，若“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的范围是（）A．t≤0 B．t≥0 C．t≤﹣3 D．t≥﹣3二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）若数据组k1，k2...k8的平均数为3，方差为3，则2（k2+3），2（k2+3） (2)（k8+3）的方差为．12．（5分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是．13．（5分）=．14．（5分）若正数a，b满足a+b=1，则+的最小值为．15．（5分）等比数列{a n}中，公比q=2，log2a1+log2a2+…+log2a10=35，则a1+a2+…+a10=．16．（5分）给出下列命题：以下命题正确的是（注：把你认为正确的命题的序号都填上）①非零向量、满足||=||=||，则与的夹角为30°；②•＞0，是、的夹角为锐角的充要条件；③命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”；④若（）=0，则△ABC为等腰三角形．17．（5分）过点（2，3）且与直线l1：y=0和l2：都相切的所有圆的半径之和为．三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（12分）在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．21．（14分）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x﹣4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．22．（14分）设α，β为函数h（x）=2x2﹣mx﹣2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f（x）=（1）求的f（α）•f（β）值；（2）判断f（x）在区间[α，β]上的单调性并用函数单调性定义证明；（3）是否存在实数m，使得函数f（x）在[α，β]的最大值与最小值之差最小？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集为R，集合A={x||x|≤2}，B={x|＞0}，则A∩B（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，1）C．（1，2]D．[﹣2，+∞）【分析】分别求出集合A和集合B中不等式的解集，求出两个解集的公共部分即为两个集合的交集．【解答】解：由集合B可知x﹣1＞0即x＞1；由集合A可知|x|≤2即﹣2≤x≤2．所以B∩A={x|1＜x≤2}故选C．【点评】本题是一道以求不等式的解集为平台，求集合交集的基础题，也是高考中的基本题型．2．（5分）在空间中，下列命题正确的是（）A．三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若平面α⊥β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βC．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αD．若直线a与直线b平行，且直线l⊥a，则l∥b【分析】根据平面的基本性质，可判断A；根据面面垂直的性质定理可判断B；根据线面平行的判定定理可判断C；根据异面直线夹角的定义，可判断D【解答】解：三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面或三个平面，故A 错误；若平面α⊥β，且α∩β=l，由面面垂直的性质定理可得：过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β，故B正确；若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥α或m⊂α，故C错误；若直线a与直线b平行，且直线a⊥l，则l⊥b，故D错误；故选：B【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，平面的基本性质，面面垂直的性质定理，线面平行的判定定理，异面直线夹角的定义，难度不大，属于基础题．3．（5分）直线x+y=0被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．1 B．2 C．D．2【分析】首先根据已知题意分析圆心与半径．通过直线与圆相交构造一个直角三角形．直角边分别为半弦长，弦心距．斜边为半径．按照勾股定理求出半弦长，然后就能求出弦长．【解答】解：根据题意，圆为x2+y2﹣4y=0故其圆心为（0，2），半径为：2圆心到直线的距离为：d==由题意，圆的半径，圆心到直线的距离，以及圆的弦长的一半构成直角三角形故由勾股定理可得：l=2=2故选：B．【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，首先根据圆分析出圆的要素，然后根据直线与圆相交时构造的直角三角形按照勾股定理求出结果．属于基础题4．（5分）在△ABC中，“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【分析】对两个条件，“cosA+sinA=cosB+sinB”与“C=90°”的关系，结合三角函数的定义，对选项进行判断【解答】解：“C=90°”成立时，有A+B=90°，故一定有“cosA+sinA=cosB+sinB”成立又当A=B时cosA+sinA=cosB+sinB”成立，即“cosA+sinA=cosB+sinB”得不出“C=90°”成立所以“cosA+sinA=cosB+sinB”是“C=90°”的必要非充分条件故选B．【点评】本题考查充要条件，解答本题要熟练理解掌握三角函数的定义，充分条件，必要条件的定义，且能灵活运用列举法的技巧对两个命题的关系进行验证，本题考查了推理论证的能力，解题时灵活选择证明问题的方法是解题成功的保证．5．（5分）已知a＞0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A．2 B．1 C．D．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，由，解得，即C（1，﹣1），∵点C也在直线y=a（x﹣3）上，∴﹣1=﹣2a，解得a=．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．6．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（）A．B．C．D．2【分析】由三视图想象出空间几何体，代入数据求值．【解答】解：如图所示，四面体为正四面体．是由边长为1的正方体的面对角线围成．其边长为，则其表面积为4×（××）=2．故选D．【点评】本题考查了学生的空间想象力，属于中档题．7．（5分）如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P=B．P=C．P=D．P=【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．故选：D．【点评】本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力，属于基础题．8．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=（）A．22 B．23 C．24 D．25【分析】根据等差数列的性质，我们可将a k=a1+a2+a3+…+a7，转化为a k=7a4，又由首项a1=0，公差d≠0，我们易得a k=7a4=21d，进而求出k值．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列且首项a1=0，公差d≠0，又∵a k=（k﹣1）d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d故k=22故选A【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据a4是数列前7项的平均项（中间项）将a k=a1+a2+a3+…+a7，化为a k=7a4，是解答本题的关键．9．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|﹣|，其中O为原点，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．或﹣【分析】条件“||=||”是向量模的等式，通过向量的平方可得向量的数量积|2=||2，•=0，可得出垂直关系，接下来，如由直线与圆的方程组成方程组求出A、B两点的坐标，势必计算很繁，故采用设而不求的方法．【解答】解：由||=||得||2=||2，•=0，⊥，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为，即=，a=±2，故选C．【点评】若非零向量，，满足||=||，则．模的处理方法一般进行平方，转化成向量的数量积．向量是既有大小，又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁．10．（5分）若f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，设P={x|﹣1＜f（x+t）＜3}，Q={x|f（x）＜﹣1}，若“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的范围是（）A．t≤0 B．t≥0 C．t≤﹣3 D．t≥﹣3【分析】利用函数f（x）的单调性以及f（0）=3，f（3）=﹣1，求出集合P，Q 的解集，利用充分条件和必要条件的定义进行求解．【解答】解：∵f（x）是R上的减函数，且f（0）=3，f（3）=﹣1，∴不等式﹣1＜f（x+t）＜3，等价为f（3）＜f（x+t）＜f（0），即3＞x+t＞0，解得﹣t＜x＜3﹣t，即P={x|﹣t＜x＜3﹣t}．由f（x）＜﹣1得f（x）＜f（3），即x＞3，∴Q={x|x＞3}，∵“x∈P”是”x∈Q”的充分不必要条件，∴﹣t≥3，即t≤﹣3．故选：C．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，考查充分条件和必要条件的应用，利用函数的单调性先求解集合P，Q的等价条件是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）若数据组k1，k2...k8的平均数为3，方差为3，则2（k2+3），2（k2+3） (2)（k8+3）的方差为12．【分析】由方差的性质得2（k2+3），2（k2+3）…2（k8+3）的方差为22×3=12．【解答】解：∵数据组k1，k2…k8的平均数为3，方差为3，∴2（k2+3），2（k2+3）…2（k8+3）的方差为：22×3=12．故答案为：12．【点评】本题考查方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．12．（5分）甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是．【分析】甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题，先做出甲和乙都抽到判断题的概率，根据对立事件的概率公式得到结果．【解答】（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的对立事件是甲、乙二人依次都抽到判断题， ∵甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为， ∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为1﹣= 故答案为：． 【点评】本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力，考查对立事件的概率．13．（5分）= ．【分析】考查已知条件和要求的表达式，不难得到结果．【解答】解：因为1﹣sin 2x=cos 2x ，所以又=，所以= 故答案为：【点评】本题是基础题，考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．14．（5分）若正数a ，b 满足a +b=1，则+的最小值为 ． 【分析】变形利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵正数a ，b 满足a +b=1，∴（3a +2）+（3b +2）=7．∴+===，当且仅当a=b=时取等号． ∴+的最小值为． 故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于中档题．15．（5分）等比数列{a n}中，公比q=2，log2a1+log2a2+…+log2a10=35，则a1+a2+…+a10=．【分析】等比数列{a n}中，公比q=2，可得a1a10=a2a9=...=a5a6=．由log2a1+log2a2+...+log2a10=35，利用对数的运算性质可得log2（a1a2 (10)==35，化为=27，可得a1．再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵等比数列{a n}中，公比q=2，∴a1a10=a2a9=…=a5a6=．∵log2a1+log2a2+…+log2a10=35，∴log2（a1a2…a10）==35，∴=27，∴a1=．∴a1+a2+…+a10==．故答案为：．【点评】本题考查了对数的运算性质、等比数列的性质通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（5分）给出下列命题：以下命题正确的是①③④（注：把你认为正确的命题的序号都填上）①非零向量、满足||=||=||，则与的夹角为30°；②•＞0，是、的夹角为锐角的充要条件；③命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”；④若（）=0，则△ABC为等腰三角形．【分析】根据向量加减法的平行四边形法则及菱形的性质可判断①，根据向量数量积的定义，及充要条件的定义，可判断②；根据否命题的定义，可判断③；根据向量数量积运算法则及向量模的定义，可判断④【解答】解：①非零向量、满足||=||=||，则以，为邻边的平行四边形为菱形，且，的夹角为60°，根据菱形的对角线平分对角，可得与的夹角为30°，故①正确； ②•＞0，、的夹角为锐角或0，故•＞0，是、的夹角为锐角的必要不充分条件，故②错误；③命题“若m 2+n 2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m 2+n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”，故③正确；④若（）===0，即，即AB=AC ，则△ABC 为等腰三角形，故④正确．故答案为：①③④【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了向量加减法的平行四边形法则及菱形的性质，向量数量积的定义，充要条件的定义，否命题的定义，向量数量积运算法则及向量模的定义，是向量与逻辑的综合应用，难度中档．17．（5分）过点（2，3）且与直线l 1：y=0和l 2：都相切的所有圆的半径之和为 42 ．【分析】设出圆的圆心坐标与半径，利用条件列出方程组，求出圆的半径即可．【解答】解：因为所求圆与y=0相切，所以设圆的圆心坐标（a ，r ），半径为r ，l 2：化为3x ﹣4y=0． 所以，解②得a=﹣r ，或a=3r ，由a=﹣r 以及①可得：a 2+14a +13=0，解得a=﹣1或a=﹣13，此时r=3或r=39， 所有半径之和为3+39=42．由a=3r以及①可得：9r2﹣18r+13=0，因为△=﹣144，方程无解；综上得，过点（2，3）且与直线l1：y=0和l2：都相切的所有圆的半径之和为：42．故答案为：42．【点评】本题考查圆的方程的求法，计算准确是解题的关键，考查计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（12分）在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．【分析】（I）利用sin（C﹣A）=1，求出A，C关系，通过三角形内角和结合sinB=，求出sinA的值；（II）通过正弦定理，利用（I）及AC=，求出BC，求出sinC，然后求△ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为sin（C﹣A）=1，所以，且C+A=π﹣B，∴，∴，∴，又sinA＞0，∴（Ⅱ）如图，由正弦定理得∴，又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=∴【点评】本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．=4a n+2，①由S n+1则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），①﹣②得a n+1又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1，所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．20．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°．（1）求证：OM∥平面PAB；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求PB的长．【分析】（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；（2）先证明BD⊥平面PAC，即可证明平面PBD⊥平面PAC；（3）利用四棱锥P﹣ABCD的体积等于时，求出四棱锥P﹣ABCD的高为PA，利用PA⊥AB，即可求PB的长．【解答】（1）证明：∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，…（1分）∵OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，…（3分）∴OM∥平面PAB．…（4分）（2）证明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（5分）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．…（6分）∵AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，…（8分）∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．…（10分）（3）解：∵底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴菱形ABCD的面积为，…（11分）∵四棱锥P﹣ABCD的高为PA，∴，得…（12分）∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．…（13分）在Rt△PAB中，．…（14分）【点评】本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．21．（14分）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x﹣4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式，结合勾股定理，建立方程，根据圆C 的面积小于13，即可求圆C的标准方程；（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理，再假设∥，则﹣3（x1+x2）=y1+y2，即可得出结论．【解答】解：（I）设圆C：（x﹣a）2+y2=R2（a＞0），由题意知，解得a=1或a=，…（3分）又∵S=πR2＜13，∴a=1，∴圆C的标准方程为：（x﹣1）2+y2=4．…（6分）（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），又∵l与圆C相交于不同的两点，联立，消去y得：（1+k2）x2+（6k﹣2）x+6=0，…（9分）∴△=（6k﹣2）2﹣24（1+k2）=3k2﹣6k﹣5＞0，解得或．x 1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）+6=，=（x1+x2，y1+y2），，假设∥，则﹣3（x1+x2）=y1+y2，∴，解得，假设不成立．∴不存在这样的直线l．…（13分）【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．22．（14分）设α，β为函数h（x）=2x2﹣mx﹣2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f（x）=（1）求的f（α）•f（β）值；（2）判断f（x）在区间[α，β]上的单调性并用函数单调性定义证明；（3）是否存在实数m，使得函数f（x）在[α，β]的最大值与最小值之差最小？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）结合韦达定理用m把α，β的和、乘积表示出来，代入所求化简即可；（2）利用定义进行证明，在判断结果的符号时，要适当结合第一问m与α，β间的关系，将m用α，β替换，根据α，β与x1，x2的大小关系进行化简判断符号．（3）先假设存在，根据已知构造出取最值时的等式，只要取等号的条件存在，即存在．【解答】解：（1）由题意得，故．（2）∀x1，x2∈[α，β]，x1＜x2，可得，因为（x1﹣α）（x2﹣β）≤0，（x1﹣β）（x2﹣α）＜0，两式相加得2x1x2﹣（α+β）（x1+x2）+2αβ＜0；又因为，∴（x2﹣x1）[4x1x2﹣4﹣m（x1+x2）]＜0．所以f（x1）﹣f（x2）＜0，所以函数f（x）在[α，β]上为增函数．（3）函数在[α，β]上为增函数，所以．当且仅当时，等号成立，此时f（β）=2，即．结合可得m=0．综上可得，存在实数m=0满足题意．【点评】本题综合考查了函数的零点与方程的根之间的关系，即利用函数的观点解决方程的问题，或利用方程思想来解决函数问题．属于综合题，有一定难度．。
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨六中高二(上)数学期中试卷带解析答案(文科)
2017-2018学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分）1．（5分）抛物线y2=﹣8x的焦点坐标是（）A．（2，0） B．（﹣2，0）C．（4，0） D．（﹣4，0）2．（5分）双曲线﹣=1的焦距为（）A．3 B．4 C．3 D．43．（5分）已知x∈R，则“x2﹣3x＞0”是“x﹣4＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）与两点（﹣3，0），（3，0）距离的平方和等于38的点的轨迹方程是（）A．x2﹣y2=10 B．x2+y2=10 C．x2+y2=38 D．x2﹣y2=385．（5分）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.46．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．4 B．2 C．D．87．（5分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C 上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A．18 B．24 C．36 D．489．（5分）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF ⊥x轴，则k=（）A．B．1 C．D．210．（5分）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．11．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则l的方程为（）A．y=x﹣1或y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）C．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）D．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）12．（5分）给出如下三个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”．其中不正确的命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（本题共4小题，每小题5分）13．（5分）圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为．14．（5分）正方体的直观图如图所示，则其展开图是（要求把可能的序号都填上）．15．（5分）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若P（2，2）为AB的中点，则抛物线C的方程为．16．（5分）在平面直角坐标系xoy中，抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，A，B是该抛物线上两动点，∠AFB=120°，M是AB中点，点M是点M在l上的射影．则的最大值为．三、解答题（本题共6大题，共70分）17．（10分）如下的三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．右面是它的正视图和侧视图（单位：cm）（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的表面积．[选修4-4极坐标参数方程]18．（12分）已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C1：（t为参数）距离的最小值．[选修4-4极坐标参数方程]19．（12分）在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．选修4-4极坐标参数方程20．（12分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C分别交于M、N两点．（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．21．（12分）从椭圆上一点M向x轴作垂线，垂足为左焦点F1，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB∥OM．（1）求离心率．（2）P为椭圆上一点，PF 2⊥AB（F2为右焦点）交椭圆于Q，若，求椭圆方程．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点M（，1），离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知点P（，0），若A，B为已知椭圆上两动点，且满足•=﹣2，试问直线AB是否恒过定点，若恒过定点，请给出证明，并求出该定点的坐标；若不过，请说明理由．2017-2018学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分）1．（5分）抛物线y2=﹣8x的焦点坐标是（）A．（2，0） B．（﹣2，0）C．（4，0） D．（﹣4，0）【解答】解：抛物线y2=﹣8x开口向右，焦点在x轴的负半轴上，P=4，∴=2，故焦点坐标（﹣2，0），答案选B．2．（5分）双曲线﹣=1的焦距为（）A．3 B．4 C．3 D．4【解答】解析：由双曲线方程得a2=10，b2=2，∴c2=12，于是，故选：D．3．（5分）已知x∈R，则“x2﹣3x＞0”是“x﹣4＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：解x2﹣3x＞0得，x＜0，或x＞3；∵x＜0，或x＞3得不出x﹣4＞0，∴“x2﹣3x＞0”不是“x﹣4＞0”充分条件；但x﹣4＞0能得出x＞3，∴“x2﹣3x＞0”是“x﹣4＞0”必要条件．故“x2﹣3x＞0”是“x﹣4＞0”的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）与两点（﹣3，0），（3，0）距离的平方和等于38的点的轨迹方程是A．x2﹣y2=10 B．x2+y2=10 C．x2+y2=38 D．x2﹣y2=38【解答】解：设动点M（x，y），由题意得（x+3）2+y2+（x﹣3）2+y2=38，化简可得x2+y2=10，故点的轨迹方程是x2+y2=10，故选：B．5．（5分）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：（5.4﹣x）×3×1+π•（）2x=12.6，解得：x=1.6．故选：B．6．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．4 B．2 C．D．8【解答】解：设等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=λ．（1）∵抛物线y2=16x，2p=16，p=8，∴=4．∴抛物线的准线方程为x=﹣4．设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣4的两个交点A（﹣4，y），B（﹣4，﹣y）（y则|AB|=|y﹣（﹣y）|=2y=4，∴y=2．将x=﹣4，y=2代入（1），得（﹣4）2﹣（2）2=λ，∴λ=4∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=4，即，∴C的实轴长为4．故选：A．7．（5分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C 上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选：D．8．（5分）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A．18 B．24 C．36 D．48【解答】解：设抛物线的解析式为y2=2px（p＞0），则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x=﹣∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，又∵AB⊥x轴∴|AB|=2p=12又∵点P在准线上∴DP=（+||）=p=6=（DP•AB）=×6×12=36∴S△ABP故选：C．9．（5分）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF ⊥x轴，则k=（）A．B．1 C．D．2【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F为（1，0），曲线y=（k＞0）与C交于点P在第一象限，由PF⊥x轴得：P点横坐标为1，代入C得：P点纵坐标为2，故k=2，故选：D．10．（5分）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=1上，可设圆心P（1，p），由PA=PB得|p|=，得p=圆心坐标为P（1，），所以圆心到原点的距离|OP|===，故选：B．11．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|=3|BF|，则l的方程为（）A．y=x﹣1或y=﹣x+1 B．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）C．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）D．y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）【解答】解：∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），∴设直线l方程为y=k（x﹣1）由消去x，得y2﹣y﹣k=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=，y1y2=﹣4…（*）∵|AF|=3|BF|，∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入（*）得﹣2y2=且﹣3y22=﹣4，消去y2得k2=3，解之得k=±∴直线l方程为y=（x﹣1）或y=﹣（x﹣1）故选：C．12．（5分）给出如下三个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”．其中不正确的命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①若“p且q”为假命题，则p、q至有一个为假命题，∴①错误．②根据命题的否命题可知，命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”，∴②正确．③全称命题的否定是特称命题，得③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1”．∴③错误．故①③错误．故选：C．二、填空题（本题共4小题，每小题5分）13．（5分）圆心在原点上与直线x+y﹣2=0相切的圆的方程为x2+y2=2．【解答】解：圆心到直线的距离：r=，所求圆的方程为x2+y2=2．故答案为：x2+y2=214．（5分）正方体的直观图如图所示，则其展开图是（4）（要求把可能的序号都填上）．【解答】解：根据题意，可得：对于（1），展开图中的上下两边的正方形的对边中点连线应该呈左右方向显现，故（1）的图形不符合题意；对于（2），展开图中最右边的“日”字形正方形的对边中点连线应该是上下方向呈现，且应该在含有圆形的正方形的左边放置，故（2）的图形不符合题意；对于（3），展开图中最右边的正方形应该与含有圆形的正方形相邻，故（3）的图形不符合题意；对于（4），沿如图的红线将正方体的侧面剪裁，展开可得如（4）项图的形状，故（4）的图形符合题意．故选：（4）．15．（5分）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若P（2，2）为AB的中点，则抛物线C的方程为y2=4x．【解答】解：设抛物线方程为y2=2px，直线与抛物线方程联立求得x2﹣2px=0∴x A+x B=2p∵x A+x B=2×2=4∴p=2∴抛物线C的方程为y2=4x故答案为：y2=4x16．（5分）在平面直角坐标系xoy中，抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，A，B是该抛物线上两动点，∠AFB=120°，M是AB中点，点M是点M在l上的射影．则的最大值为．【解答】解：设AF=a，BF=b，由抛物线定义，2MM'=a+b．而余弦定理，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=（a+b）2﹣ab，再由a+b≥2，得到|AB|≥（a+b）．所以的最大值为故答案为：．三、解答题（本题共6大题，共70分）17．（10分）如下的三个图中，左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．右面是它的正视图和侧视图（单位：cm）（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的表面积．【解答】解：（1）由题意按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图如下图：（2）所求多面体的表面积：S=S矩形+++++ABCD=+=122（cm2）．[选修4-4极坐标参数方程]18．（12分）已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C1：（t为参数）距离的最小值．【解答】解：（1）把曲线C1：（t为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y﹣3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；把C2：（θ为参数）化为普通方程得：+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；（2）把t=代入到曲线C1的参数方程得：P（﹣4，4），把直线C3：（t为参数）化为普通方程得：x﹣2y﹣7=0，设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+sinθ）所以M到直线的距离d==，（其中sinα=，cosα=）从而当cosθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．[选修4-4极坐标参数方程]19．（12分）在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacosθ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．选修4-4极坐标参数方程20．（12分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C分别交于M、N两点．（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．【解答】解：（1）曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），转化成直角坐标方程为：y2=2ax线l的参数方程为（t为参数），转化成直角坐标方程为：x﹣y﹣2=0．（2）将直线的参数方程（t为参数），代入y2=2ax得到：，所以：，t 1t2=32+8a，①则：|PM|=t1，|PN|=t2，|MN|=|t1﹣t2||PM|，|MN|，|PN|成等比数列，所以：，②由①②得：a=1．21．（12分）从椭圆上一点M向x轴作垂线，垂足为左焦点F1，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB∥OM．（1）求离心率．（2）P为椭圆上一点，PF 2⊥AB（F2为右焦点）交椭圆于Q，若，求椭圆方程．【解答】解：（1）设M（﹣c，y），A（a，0），B（0，b），则有．解得y=．∵AB∥OM，∴k AB=k OM，即，得b=c，则a=，∴离心率e=．（2）∵k AB•k PQ=﹣1，k AB=﹣，∴．设l PQ：y=（x﹣c）=（x﹣b），与椭圆方程联立得5y2+2by﹣2b2=0，△=2b2+10b2=12b2，，，∴|y Q﹣y P|=，S=|y Q﹣y P|•|F1F2|==20，∴b2=25，则a2=50．∴椭圆方程为：．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点M（，1），离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知点P（，0），若A，B为已知椭圆上两动点，且满足•=﹣2，试问直线AB是否恒过定点，若恒过定点，请给出证明，并求出该定点的坐标；若不过，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆+=1（a＞b＞0）离心率为，∴，①∵椭圆经过点M（，1），∴，②又a2=b2+c2，③∴由①②③联立方程组解得a2=8，b2=c2=4，∴椭圆方程为．（Ⅱ）①当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB方程为y=kx+m，代入，消去y整理，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8=0，由△＞0，得8k2+4﹣m2＞0，（*）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∵点P（，0），A，B为已知椭圆上两动点，且满足•=﹣2，∴====﹣2，∴++8+m2=0，整理，得（）2=0，解得m=﹣，满足（*）∴直线AB的方程为y=k（x﹣），∴直线AB经过定点（，0）．②当直线AB与x轴垂直时，直线方程为x=，此时A（，），B（，﹣），也有=﹣2，综上，直线AB一定过定点（，0）．。
2017-2018学年高二(上)期中数学试卷带答案精讲
2017-2018学年高二（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．512．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．154．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=105．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．78．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.511．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，7012．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为；再将结果化为8进制数，结果为．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填，输出的s=．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．请将答案填涂在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效）1．（5分）用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）A．3 B．9 C．17 D．51【分析】用459除以357，得到商是1，余数是102，用357除以102，得到商是3，余数是51，用102除以51得到商是2，没有余数，得到两个数字的最大公约数是51．【解答】解：∵459÷357=1…102，357÷102=3…51，102÷51=2，∴459和357的最大公约数是51，故选D．【点评】本题考查辗转相除计算最大公约数，本题是一个基础题，是在算法案例中出现的一个案例，近几年在新课标中出现，学生掌握的比较好，若出现一定会得分．2．（5分）以下赋值语句书写正确的是（）A．2=a B．a=a+1 C．a*b=2 D．a+1=a【分析】根据赋值语句的格式，逐一进行分析，即可得到答案．【解答】解：由赋值语句的格式我们可知，赋值语句的赋值号左边必须是一个变量，而右边的运算符号与平常书写的运算符号有所不同．A中左侧是常数，不是变量，格式不对；B中满足赋值语句的格式与要求，正确；C与D中左侧是运算式，不对；故选：B．【点评】本题考查赋值语句，通过对赋值语句定义和格式的把握直接进行判断即可，属于基础题．3．（5分）某学校高中部组织赴美游学活动，其中高一240人，高二260人，高三300人，现需按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根据分层抽样的定义，即可得到结论．【解答】解：∵高一240人，高二260人，高三300人，∴按年级抽样分配参加名额40人，高二参加人数为×40=13，故选：B．【点评】本题考查了分层抽样的定义和应用问题，是基础题．4．（5分）有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是（）A．i＞12 B．i＞10 C．i=14 D．i=10【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据s=2+4+6+…+10=30得到程序中UNTIL后面的“条件”．【解答】解：因为输出的结果是30，即s=2+4+6+…+10，需执行5次，则程序中UNTIL后面的“条件”应为i＞10．故选B．【点评】本题主要考查了直到型循环语句，语句的识别问题是一个逆向性思维，一般认为学习是从算法步骤（自然语言）至程序框图，再到算法语言（程序）．如果将程序摆在我们的面前时，从识别逐个语句，整体把握，概括程序的功能．5．（5分）在样本方差的计算公式s2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]中，数字10和20分别表示样本的（）A．样本容量，方差 B．平均数，样本容量C．标准差，平均数 D．样本容量，平均数【分析】方差计算公式：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，n表示样本容量，为平均数，根据此公式即可得到答案．【解答】解：由于S2=[（x1﹣20）2+（x2﹣20）2+…+（x10﹣20）2]，所以样本容量是10，平均数是20．故选：D．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．（5分）如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有43种，对于A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A 方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得填入A方格的数字大于B方格的数字的填法种数，利用古典概型的概率计算公式求概率．【解答】解：根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有44=256种，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C42=6种情况，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则填入A方格的数字大于B方格的数字的不同的填法共有16×6=96种，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为p=．故选D．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式，考查排列、组合的运用，注意题意中数字可以重复的条件，这是易错点，此题是基础题，也是易错题．7．（5分）将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个得分的平均分为91，现场做的7个得分的茎叶图（如图）后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中用x表示，则x的值为（）A．0 B．4 C．5 D．7【分析】根据茎叶图提供的数据，去掉1个最高分和1个最低分后，利用公式求平均数可得x的值．【解答】解：选手的7个得分中去掉1个最高分96，去掉1个最低分86，剩余5个得分为88，93，90，94，（90+x）；它们的平均分为=91，∴x=0；故选：A．【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数的问题，是基础题．8．（5分）在区间[1，6]上随机取一个实数x，使得2x∈[2，4]的概率为（）A．B．C．D．【分析】使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，由此能求出使得2x∈[2，4]的概率．【解答】解：∵2=2¹，4=22∴使2x∈[2，4]的区间为[1，2]，∵x∈[1，6]，且[1，6]长为5，[1，2]长为1∴使得2x∈[2，4]的概率p=．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意几何概型的合理运用．9．（5分）从有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球B．至少有一个红球与都是红球C．至少有一个黒球与至少有1个红球D．恰有1个黒球与恰有2个黒球【分析】利用互斥事件和对立事件的概念求解．【解答】解：在A中，至少有一个黒球与都是黒球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在B中，至少有一个红球与都是红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在C中，至少有一个黒球与至少有1个红球能同时发生，两个事件不是互斥事件；在D中，恰有1个黒球与恰有2个黒球不能同时发生，可以同时不发生，两个事件是互斥而不对立事件．故选：D．【点评】本题考查互斥而不对立的两个事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件和对立事件的概念的合理运用．10．（5分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，则表中m的值为（）A．4 B．4.5 C．3 D．3.5【分析】先求样本中心点，再代入回归直线方程，即可求得m的值．【解答】解：由题意，，∵y对x的回归直线方程是=0.7x+0.35，∴2.5+0.25m=3.15+0.35，∴m=4．故选A．【点评】本题考查回归直线方程，解题的关键是利用回归直线方程恒过样本中心点，属于基础题．11．（5分）学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数和平均成绩分别是（）A．45，67 B．50，68 C．55，69 D．60，70【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，求出该班的学生数，再计算平均成绩．【解答】解：根据频率分布直方图，得；低于60分的频率是（0.005+0.01）×20=0.3，所以该班的学生人数为=50，；所以，该班的平均成绩为：30×0.005×20+50×0.01×20+70×0.02×20+90×0.015×20=68．故选：B．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，考查了求平均数的计算问题，是基础题目．12．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（）A．﹣845 B．220 C．﹣57 D．34【分析】由于多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，可得当x=﹣4时，v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2，v3即可得出．【解答】解：∵多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，当x=﹣4时，∴v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2=﹣7×（﹣4）+6=34，v3=34×（﹣4）+79=﹣57．故选：C．【点评】本题考查了秦九韶算法计算多项式的值，考查了计算能力，属于基础题．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清，模棱两可均不得分）13．（5分）假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号785，667，199，507，175（下面摘取了随机数表第7行至第9行）．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．【分析】找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．【解答】解：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是785，第二个数916它大于800要舍去，第三个数955也要舍去，第四个数667合题意，这样依次读出结果．故答案为：785、667、199、507、175【点评】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．14．（5分）将二进制数101101（2）化为十进制数，结果为45；再将结果化为8进制数，结果为55（8）．【分析】根据二进制转化为十进制的方法，分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到结果；根据“除8取余法”的方法转化为对应的八进制数即可得到结果．【解答】解：101101（2）=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25=1+4+8+32=45．．又45=8×5+5，∴45=55（8）故答案为：45，55．（8）【点评】本题以进位制的转换为背景考查算法的多样性，解题的关键是熟练掌握进位制的转化规则，属于基础题．15．（5分）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于60．【分析】根据比例关系设出各组的频率，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，求出前三组的频率，再频数和建立等量关系即可．【解答】解：设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x+3x+4x+6x+4x+x=1，解得，所以前三组数据的频率分别是，故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60．故答案为60．【点评】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键，属于基础题．16．（5分）某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表所示：如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填i＜7（或i≤6），输出的s=51．【分析】由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故循环次数为6，由于第一次进行循环时，循环变量的初值为1，步长为1，故最后一次进入循环的终值应为6，故不难得到判断框中的条件及输出结果．【解答】解：由题意该程序框图实际上是求该6名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故判断框应填i≤6或i＜7，输出s的值为：9+13+11+7+5+6=51．故答案为：i＜7（或i≤6），51．【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填在答题卡上对应题号的指定区域内）17．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，点P在边BC上沿B→C运动，求△ABP的面积小于4的概率．【分析】利用线段的长度与面积的关系，直接利用几何概型求解即可．【解答】解：点P在BC边上沿B→C运动，落在BC上的任何一点都是等可能的．全部基本事件可用BC表示．…（2分）设事件M 为“△ABC面积小于4”，则事件M包含的基本事件可用长度为2的线段BP 表示，…（4分）由几何概型可知：即所求事件的概率为．…（10分）【点评】本题主要考查了几何概型．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解．18．（12分）某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，∴P（A）=；（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，∴．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．19．（12分）甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}做出集合对应的面积是边长为60的正方形的面积，写出满足条件的事件A═{（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}对应的集合和面积，根据面积之比得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件对应的集合是Ω={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60}集合对应的面积是边长为60的正方形的面积SΩ=60×60，而满足条件的事件对应的集合是A={（x，y）|0＜x＜60，0＜y＜60，|x﹣y|≤15}得到S A=60×60﹣（60﹣15）×（60﹣15）∴两人能够会面的概率P==，∴两人能够会面的概率是．【点评】本题的难点是把时间分别用x，y坐标来表示，从而把时间长度这样的一维问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型的几何概型问题．20．（12分）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．【分析】（I）根据所有小矩形的面积之和为1，求得第四组的频率，再根据小矩形的高=求a的值；（II）利用分段函数写出S关于x的函数；根据S≥3400得x的范围，利用频率分布直方图求数据在范围内的频率及可得概率．【解答】解：（Ⅰ）由直方图可知：（0.013+0.015+0.017+a+0.030）×10=1，∴a=0.025，∵，∴估计日需求量的众数为125件；（Ⅱ）（ⅰ）当100≤x＜130时，S=30x﹣20（130﹣x）=50x﹣2600，当130≤x≤150时，S=30×130=3900，∴；（ⅱ）若S≥3400由50x﹣2600≥3400得x≥120，∵100≤x≤150，∴120≤x≤150，∴由直方图可知当120≤x≤150时的频率是（0.030+0.025+0.015）×10=0.7，∴可估计当天纯利润S不少于3400元的概率是0.7．【点评】本题考查了由频率分布直方图求频率与众数，考查了分段函数的值域与定义域，在频率分布直方图中小矩形的高=，所有小矩形的面积之和为1．21．（12分）运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．【分析】（I）算法的功能是求f（x）=的值，根据输入实数x 的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7求得a 、b ；（II ）分别在不同的段上求得函数的值域，再求并集．【解答】解：（Ⅰ）由程序框图知：算法的功能是求f （x ）=的值，∵输入x=﹣1＜0，输出f （﹣1）=﹣b=2，∴b=﹣2．∵输入x=3＞0，输出f （3）=a 3﹣1=7，∴a=2． ∴． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当x ＜0时，f （x ）=﹣2x ＞1，∴； ②当x ≥0时，f （x ）=2x ﹣1＞1，∴x ＞1．综上满足不等式f （x ）＞1的x 的取值范围为或x ＞1}．【点评】本题借助考查选择结构程序框图，考查了分段函数求值域，解题的关键是利用程序框图求得分段函数的解析式．22．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出y 关于x 的线性回归方程=x +a ，并在坐标系中画出回归直线；（3）试预测加工10个零件需要多少时间？参考公式：b=，a=﹣b ．【分析】（1）利用题目条件直接画出散点图即可．（2）利用条件求解回归直线方程的参数，即可．（3）利用回归直线方程求解推出结果即可．【解答】解：（1）散点图如图所示，…（3分）（2）由表中数据得：=52.5，=3.5，=3.5；=54，∴===0.7，，==3.5﹣0.7×3.5=1.05，∴=0.7x+1.05 …（8分）（3）将x=10代入回归直线方程，得=0.7×10+1.05=8.05（小时）预测加工10个零件需要8.05小时．…（12分）【点评】本题考查回归直线方程的求法，散点图的画法，考查计算能力．。
哈尔滨市2017-2018学年高二10月阶段考试数学试题(文)含答案
2019届上学期10月阶段性测试高二文科数学 时间120分钟 满分150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．抛物线)0(22≠=a ax y 的焦点坐标是（ ）A.)0,2(a B. )81,0(a C. )0,81(a D. )2,0(a 2．椭圆122=+y mx 的离心率是23，则它的长轴长是（ ）A.1B.1或2C.2D.2或43．已知方程：22(1)(3)(1)(3)m x m y m m -+-=--表示焦距为8的双曲线，则m 的值等于（ ）A ．-30B ．10C ．-6或10D ．-30或344.设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1260PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A 1 C 25．椭圆的焦点为21,F F ，过点1F 作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦MN 长为532， N MF 2∆的周长为20，则椭圆的离心率为（ ） A ．522 B ．53 C ．54D ．5176．以双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的左焦点F 为圆心，作半径为b 的圆F ，则圆F 与双曲线的渐近线( )A ．相交B ．相离C ．相切D ．不确定 7．抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于（ ） A.15 B.152 C.215D.15 8．过抛物线x y 42=的焦点F 作直线，交抛物线于),(11y x A ，),(22y x B 两点，若621=+x x ，则 ||AB 为（ ） A.4B.6C.8D.109.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.22182x y += B.221126x y += C.221164x y += D.221205x y += 10．抛物线24y x =上一点P 到直线1x =-的距离与到点()2,2Q 的距离之差的最大值为（ ）A.3511．若双曲线22x a－22y b ＝1(0,0a b >>)的左、右焦点分别为21,F F ，线段21F F 被抛物线bx y 22=的焦点分成5:7的两段，则此双曲线的离心率为( )A ．98B ．37C ．4D ．1012．设双曲线22221x y a b -=的两条渐近线与直线2a x c=分别交于B A ,两点，F 为该双曲线的右焦点．若6090AFB ︒<∠<︒, 则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．B ．2)C ．(1,2)D ．)+∞二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13．在极坐标系)20)(,(πθθρ<≤中，曲线θρsin 2=与1cos -=θρ的交点的极坐标为 .14．在极坐标系中，已知点P 为方程()cos sin 1ρθθ+=所表示的曲线上一动点，点Q 的坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，则PQ 的最小值为____________. 15.椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ， 当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________.16．已知椭圆方程为)0(116222>=+m m y x ，直线x y 22=与该椭圆的一个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则=m _________________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，已知点4,4A π⎛⎫⎪⎝⎭，直线为sin 14πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求点4,4A π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标与直线的直角坐标方程； （2）求点4,4A π⎛⎫⎪⎝⎭到直线sin 14πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的距离.18．（本小题满分12分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 已知某圆的极坐标方程为：24cos 20ρρθ-+=． （1）将极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若点P ),(y x 在该圆上，求x y +的最大值和最小值．19. （本小题满分12分）[选修4-4：坐标系与参数方程]已知曲线1C 的参数方程为{x cos y sin θθ==（θ为参数），将曲线1C 上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标伸长到原来的倍，得到曲线2C .（1）求曲线2C 的普通方程；（2）已知点()1,1B ，曲线2C 与x 轴负半轴交于点A ， P 为曲线2C 上任意一点， 求22PA PB -的最大值.20.（本小题满分12分）已知椭圆:C )0(12222>>=+b a b x a y 经过点)1,23(，一个焦点是)1,0(F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若倾斜角为4π的直线l 与椭圆C 交于A B 、两点，且AB =7，求直线l 的方程.21. （本小题满分12分）已知椭圆1C 的方程是1422=+y x ，双曲线2C 的左右焦点分别为 1C 的左右顶点，而2C 的左右顶点分别是1C 的左右焦点.（1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线2:+=kx y l 与双曲线2C 恒有两个不同的交点，且l 与2C 的两个交点A 和B满足<6OA OB ⋅，求2k 的取值范围.22．（本小题满分12分）已知过点)0,4(-A 的动直线l 与抛物线)0(2:2>=p py x G 相交于B C 、 两点，当直线l 的斜率是21时，4=.（1）求抛物线G 的方程；（2）设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围.哈六中2019届高二（上）10月月考（文数）答案BDCDB CACDB CB 13.34π⎫⎪⎭，17解：（1）点4,4π⎛⎫⎪⎝⎭化成直角坐标为(. 直线sin 14πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭1x y =，即0x y +=. （2）由题意可知，点4,4π⎛⎫⎪⎝⎭到直线sin 14πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的距离，就是点(到直线0x y +=的距离，由距离公式可得3d ==.18.试题解析：（Ⅰ）ρ2＝x 2＋y 2ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y,2224cos 242x y x ρρθ-+=+-+ ∴圆的普通方程为22420x y x +-+= 5分（Ⅱ）由22420x y x +-+= ⇒(x －2)2＋y 2＝2 7分,设2x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩ (α为参数)π2sin )22sin()4x y ααα+=+=++,所以x ＋y 的最大值4，最小值0 10分 19.解析：（1）曲线2C的参数方程为2{x cos y θθ==（θ为参数），则2C 的普通方程为22143x y += （2）()2,0A -，设()2cos P θθ， 则())())2222222cos 22cos 11PA PB θθθθ-=++----()12cos 22θθθϕ=++=-+，所以当()cos 1θϕ-=时22PA PB -取得最大值220.(1)22143y x += (2)2±=x y 21.13)1(22=-y x （2）0)14(160428)41(442212222>-=∆⇒⎩⎨⎧=+++⇒=++=k kx x k y x kx y ①……2分 ⎩⎨⎧>-=∆≠-⇒=---⇒⎩⎨⎧=-+=0)1(360310926)31(3322222222k k kx x k y x kx y ②………2分 由①②得1412<<k ,151331622><⇒<⋅k k 或③……………2分 由①②③得221131315k k <<<或……………1分22．（1）设),(),,(2211y x C y x B ，当直线l 的斜率是21时，l 的方程为)4(21+=x y ， 即42-=y x ，由⎩⎨⎧-==4222y x py x 得08)8(22=++-y p y ， ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=∴2842121p y y y y ，又124,4y y AB AC =∴= ，由这三个表达式及0>p 得2,4,121===p y y ，则抛物线的方程为y x 42=…………………5分 （2）设BC x k y l ),4(:+=的中点坐标为),(00y x由⎩⎨⎧+==)4(42x k y y x 得01642=--k kx x k k x k y k x 42)4(,22000+=+==∴，∴线段BC 的中垂线方程为 )2(1422k x kk k y --=--，∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：22)1(2242+=++=k k k b ，由064162>+=∆k k 得0>k 或4-<k),2(+∞∈∴b ………………………………7分。
黑龙江省哈师大附中20172018高二上学期期中考试数学理试题Word版含答案
黑龙江省哈师大附中20172018高二上学期期中考试数学理试题Word版含答案2017年哈师大附中学业水平考试（理科）数学试卷分满分：150分钟考试时间：120 第Ⅰ卷分）共60（选择题分，在每小题给出的四个选项中，只有60小题，每小题5分，共一．选择题：（本题共12 一项是正确的）22yx31PP到另一焦点距离为上的一点，则到椭圆一个焦点的距离为1. 已知椭圆1625 （）5372 B.D.C.A.2y?20x ）2．抛物线的焦点坐标为（，55,005?5,00,?C.D.B.A.224xy?4? ）的渐近线方程是（3.双曲线11x?xy?yxy?2x?4y A. C. B. D. 4222yx a211a?0?已知双曲线4. 的值为（的离心率为，则）22a1?a 1132 B.C.D.A.*****yx?1FPF?F,F60PFFP则若已知是其左、上一点，5.，是椭圆右焦点，）的面积为（ C.A. D.B. 3322ll1?x?y),0(?2 ．设直线过点，且与圆相切，则）的斜率是（*****? B.C.D.A. 232M(0,2)A,BOCCy?2x为坐标原点，则,，过点于7.已知抛物线若：的直线交抛物线OA,OB的斜率之积为（）直线?1?210 ．D．C ．B．A．01y?x0?y?2x?y2xzyx, 8.如果）的最大值是（满足约束条件，则02yx?5105?5 ．BD．A．C．23?FF?PFQPQ，则，9．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦是另一焦点，若∠ 2112 双曲线的离心率等于（）22?221?22 C.B.D.A.112CD、AB10.x?y4 过抛物线，则的焦点作两条互相垂直的弦）（CDAB11 12D.C.B.A.422CCllx?y8PFFPQ的，准线为11.已知抛物线上一点，：，与是是直线的焦点为|QF|?FQ?3FP（），则一个交点，若85A.B.C.3D. 2 232CCxy10?PP向圆过点任意一点，点物为抛知12．已抛物线线：，上22PADBB,A0x?xD:35?y12面积的最小值为作切线，切点分别为，则四边形（）34 ***-***** B．．．C DA．2第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）22yx1的实轴长为．13．双曲线*****yx1P,QPQl的中点为点14．已知双曲线：，若直线两点，且线段交该双曲线于54A(1,1)l 的斜率为．,则直线?FF?FPF?P，是椭圆和双曲线的公共焦点，15.已知，是它们的一个公共点，且***-*****ee．，则，双曲线的离心率椭圆的离心率为2122ee21．22yxCCC1MM：的两焦点的对称点16. 与的焦点不重合，若已知椭圆，点关于1216 分别为CMNP?QN||PN|?|Q 的中点在，．，线段上，则分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）三．解答题：（本题共6小题，共70 分）17.（本小题满分10 x?yCC3)(1，?A(2,0),B 且圆心已知圆上．经过点在直线C （Ⅰ）求圆的方程；3 ）1（，Cll32 截圆所得弦长为，求直线（Ⅱ）过点的直线的方程． 3（本小题满分12分）18．C B CABC?AB 中，侧棱垂直于底面，如图，三棱柱111 A1?AABC?AC?D90?ACB?AA. 是棱，的中点，112DBDCBDC （Ⅰ）证明：平面；⊥平面1BCDCBC. （Ⅱ）求异面直线所成角的余弦值与1A19．（本小题满分12分）22yx10)?b?1(a?:C?线曲点端与双已知椭为圆，椭圆的短轴离的心率22ab22y2xlC1?x?AP(4,0),B两点相交于且不垂直于轴的直线的焦点重合，过点. 与椭圆2C的方程；（Ⅰ）求椭圆OA?OB的取值范围（Ⅱ）求.．（本小题满分12分）20 PABCD?P1 的底面是边长为如图，四棱锥的正方形，ABCD?PAPC,FABE,.底面分别为，的中点//PADEF 平面；（Ⅰ）求证：EF?2PAQDAP?Q? ，上是否存在点若，试问在线段使得二面角（Ⅱ）F 5Q.？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由的余弦值为5E BA（本小题满分21.12分）C D22yx0)1(a?b的左、右焦点已知椭圆22ba,FF，分别为12BAFF2,,BA是边长为短轴两个端点为且四边形21 的正方形．（Ⅰ）求椭圆的方程；MDC, 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点（Ⅱ）若满足*****CDMD．证明：，连接，交椭圆于点为定值．（本小题满分12分）22.22yx2CC1pxy?2：：在第一象限如图，抛物线与椭圆AB?OBA. 为坐标原点，，为椭圆的右顶点，的面积为的交点为3C （Ⅰ）求抛物线的方程；1ODCl*****A两点，于（Ⅱ）过、点作直线交于分别交、两点，射线、21lOCD?OEF?77?SSS3::S？若的面积分别为，使得记和和，问是否存在直线2112l 存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．2017年哈师大附中学业水平考试数学答案（理科）一．选择题1-6 DCBBCD 7-12 ACBDAB二．填空题4 15.4 16.16 13.4 14. 5三．解答题．17.（Ⅰ）设圆心4的方程为分所以，圆．……………，的斜率不存在，方程为，此时直线（Ⅱ）若直线截圆所得弦长为符合题意；．的斜率存在，设方程为，即若直线由条件知，圆心到直线的距离直线．的方程为．……………10 或分综上，所求方程为1AC?2AA? ，，则18.不妨设1222*****A?DC?2?***** ，所以中点，从而,（Ⅰ）因为故是，*****?DC?BC?平面DCC,?***** ，所以，又因为侧棱垂直于底面，11BDCC,?DC?平面BCDC ，1BDC 平面平面BDC?BDCDC?平面, 分……………6;111CCCB,CA,z,x,yC （Ⅱ为原点，轴正向建立空间直角坐标系，为）以如图，以 1 0,0,2,C,0,11,B,00,1C0,0,0,D则1 ?1,2BC1,0,1CD?,?0,?1．BCCD?10 1?cosCD,BC? 15BCCD1 10BC DC5与……………12分所成角的余弦值是所以直线*****bcc1?a2,?e?e （Ⅰ）由题意知解：，19.224a2aa4 *****?4,b?a?ba?33),b(0, .，，又双曲线的焦点坐标为322yx1?椭圆的方程为分.……………434l04?OBBA(?2,0),(2,0),OA ，则（Ⅱ）若直线，的倾斜角为?ll04?x?my 的倾斜角不为可设为，当直线时，直线4?x?my?220?my?(3m4)y36?24 ，由?*****y3x?2224m4?(3m4)?36?0(240?m)3624m)my?4,y),ymy?4,B(A(?,y?yyy 6分设，……………，***-*****2243m?3m?42y16?y?y4myy?my?OAOB?(my?4)(?4)?yym?y 8分……………***-********** 分……………*****m*****))[?4,(m?4,?OA?OB4,? 分……………12，综上所述：范围为44 的中点，PC，20.证明：（Ⅰ）取PD中点M，连接MFMA在ΔCPD中，F为11DC///DC?AE/?MF ，且,MF=且，正方形ABCD中E为AB中点，AE=DCDC 22MF=AEEF/?AM/?AE//MF……2 且，故：EFMA为平行四边形，分y?2xz PADAD，AM又平面EF平面P 分……4 //EF平面PAD为坐标原点建立空间直角坐标系：（Ⅱ）如图：以点A111 ，，，，(1,1,0)PC(0,0,2)(0,1,0)B,1),0)(F,(0,E 222? 分，由题易知平面PAD 的法向量为……6,0)?(0,1n5?y,x1? 假设存在Q满足条件：设，，EFEQ?,0,1)?(EF 2?11 ，，，[0,1]?(0,0,2)AP?)(,,Q(,,AQ) 2222 设平面PAQ的法向量为，)y,zm?(x,?1?0zx?y ? 分……10 ,0)m?(1,220z 5?mn? ?cos?mn,，由已知：52?2nm1?11? ……12 分解得：，所以：满足条件的Q存在，是EF中点。
黑龙江省哈尔滨市高二数学上学期期中试题 文
黑龙江省哈尔滨市2017-2018学年高二数学上学期期中试题 文考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1.已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（ ） A. 2 B.3 C.5 D.7 2．抛物线220x y =的焦点坐标为（ ）A. ()5,0-B. ()5,0C.()05，D.()0,5- 3.双曲线4422=-y x 的渐近线方程是（ ）A. x y 2±=B. x y 21±= C. x y 4±= D. x y 41±= 4.已知双曲线222211x y a a-=-()01a <<a 的值为（ ） A.12B.2C.135.已知P 是椭圆22184x y +=上一点，1F 2,F 是其左，右焦点，若1260F PF o ∠=，则12PF F ∆的面积为（ ）A. 35B. 34C.334 D. 335 6．设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（ ）A. 3±B. 1±C. 21±D.33±7.已知抛物线C ：22x y =，过点(0,2)M 的直线交抛物线C 于,A B 两点,若O 为坐标原点，则直线,OA OB 的斜率之积为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2-8.如果y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-+≥+-020201y x y x y x ，则目标函数y x z +=2的最大值是（ ）A ．5-B ．52 C ．103D ．5 9．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率等于（ ）A. 2B. 12+C.22+ 10.过抛物线24y x =的焦点作两条互相垂直的弦AB CD 、，则11AB CD+=（ ） A. 2 B. 1 C.12 D.1411.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =u u u r u u u r，则||QF =（ ） A.83 B.52C.3D.2 12．已知抛物线C ：210y x =，点P 为抛物线C 上任意一点，过点P 向圆22:12350D x y x +-+=作切线，切点分别为,A B ，则四边形PADB 面积的最小值为（ ）AB． D第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．双曲线221416x y -=的实轴长为 ． 14. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为92π，则正方体的棱长为 ． 15．已知双曲线：22154x y -=，若直线l 交该双曲线于,P Q 两点，且线段PQ 的中点为点(1,1)A ,则直线l 的斜率为 ．16. 已知椭圆C ：2211612x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的两焦点的对称点分别为 P ，Q ，线段MN 的中点在C 上，则||||PN QN += ．三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）抛物线2:4C y x =，直线l 过C 的焦点F ，且与抛物线C 交于,A B 两点，弦AB 的中点为M . （Ⅰ）若直线l 的倾斜角为60︒，求点M 的坐标； （Ⅱ）若22AOB S ∆=，求直线l 的方程.18.（本小题满分12分）已知圆C 经过点(2,0),(13)A B -，且圆心C 在直线y x =上． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）过点31（，）的直线l 截圆C 所得弦长为23 ，求直线l 的方程．19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，90ACB ∠=o ，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点. （Ⅰ）证明：平面1BDC ⊥平面BDC ；（Ⅱ）求异面直线DC 与1BC 所成角的余弦值. 20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，,E F 分别为,AB PC 的中点.（Ⅰ）求证：EF //平面PAD ；（Ⅱ）若1PA =，求证：EF ⊥平面PCD . 21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线2212y x -=的焦点重合，过点(1,0)P 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若PA PB λ=u u u r u u u r，求实数λ的取值范围.22.（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为21,F F ，短轴两个端点为,,A B 且四边形12F AF B 是边长为2的正方形． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若,C D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ．证明：OM OP u u u u r u u u rg 为定值．B 1 CBADC 1A 1BPF数学答案 （文科）一．选择题1-6 DCBBCD 7-12 ACBDAB 二．填空题13.4 14. 3 15. 4516.16 三．解答题17. 解：（1）()31y x =-联立24y x = ,得231030x x -+=，12103x x ∴+=,52333M ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭， ……………5分 （2）1x my =+联立24y x=，得2440y my --=，124y y m∴+=，124y y =-22121111616212222AOB S y y m m ∴=⨯⨯-=⋅+=+=V 21m ∴= 1m ∴=±，所以直线的方程为：10x y ±-= ……………10分18. （Ⅰ） 设圆心 ．所以，圆 的方程为． ……………4分（Ⅱ） 若直线 的斜率不存在，方程为，此时直线 截圆所得弦长为，符合题意；若直线 的斜率存在，设方程为 ，即 ．由条件知，圆心到直线的距离直线 的方程为 ．综上，所求方程为或． ……………10分19. 不妨设1AC =，则12AA =，（Ⅰ ）因为D 是1AA 中点，所以12DC DC ==,从而22211DC DC CC +=，故1DC DC ⊥，又因为侧棱垂直于底面， 90ACB ∠=o，所以11,BC DCC BC DC ⊥∴⊥平面，1,DC BC C DC BDC =∴⊥I 平面，11,DC BDC ⊂平面1BDC BDC ⊥平面平面; ……………6分（Ⅱ）直线DC 与1BC 所成角的余弦值是10……………12分20. 证明：（Ⅰ）取PD 中点M ，连接MF ，MA 在ΔCPD 中，F 为PC 的中点，//MF DC ∴,且MF=12DC ，正方形ABCD 中E 为AB 中点，//AE DC ∴ 且AE =12DC ， //AE MF ∴且=AE MF ，故：EFMA 为平行四边形，//AM EF ∴ ……4分又∴EF ⊄平面PAD ，AM ⊂平面PAD∴EF //平面PAD ……6分（Ⅱ）PA ABCD ⊥Q 面,CD ABCD ⊂面,CD PA ∴⊥,CD AD ⊥,PA AD A ⋂=CD PAD ∴⊥面,AM PAD ⊂面,AM CD ∴⊥,PA DA =Q ,PM DM =,AM PD ∴⊥,CD PD D =I 又,AM PCD ∴⊥面,EF Q //AM EF PCD ∴⊥面 ……12分 21.解：（Ⅰ）由条件，双曲线焦点为03±（，），3,b ∴= 1分离心率12c e a ==， 2分 又222a b c =+，2,3,1a b c ∴=== 3分22143x y C ∴+=： 4分（Ⅱ）设点1122(,),(,)A x y B x y①若l 不垂直y 轴，设:1l x my =+，与22143x y +=联立得：22(34)690m y my ++-= 212122269,,144(1)03434m y y y y m m m --∴+=⋅=∆=+>++ 6分12,PA PB y y λλ=∴=u u u r u u u rQ ， 7分2222269(1),3434m y y m m λλ--∴+==++ 2222222222236[(1)](1)4(34)=93434m y m m y m m λλλλ++-+∴==-++ 9分 若2224440,(,0)43433m m m m --≠=∈-++，若224=0,034m m m -=+ 14++2(,0]3λλ∴∈-，解得133λ-<<- 11分 ②若:0l y =，则A,B 为长轴端点(2,0)±，(10)P Q ，，3,λ∴=-或13λ=-由①②，λ的取值范围是1[3,]3-- 12分22.（Ⅰ）由题意得，所以，，所以所求的椭圆方程为 ． ……………4分（Ⅱ） 由（1）知，，．由题意可设，因为，所以． ……………6分由 整理得 ，因为 ，所以 ， ……………8分所以 ，， ……………10分所以．即 为定值 ． ……………12分。
黑龙江省和吉林省九校2017-2018学年高二上学期期中考试数学(文)试题含解析
2017-2018学年度第一学期期中考试高二数学试卷（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题“，”的否定为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D..................故答案选D。
2. 计算机执行右边的程序后，输出的结果是（）A. -2018,2017B. -1,4035C. 1,2019D. -1,2017【答案】D【解析】初始值a=2017,b=2018,进入程序后，故结果为-1,2017.故答案为D.3. 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则实数等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知椭圆的焦点在x轴上，故，根据椭圆的几何性质得到：离心率为，解出方程得到：故答案选B．4. 命题“若，则”的逆否命题为（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】命题的逆否命题是既否结论，有否条件，还要将条件和结论互换位置，即若，则。
故答案选A.5. 某学校有小学生125人，初中生95人，为了调查学生身体状况的某项指标，需从他们中抽取一个容量为100的样本，则采取下面哪种方式较为恰当（）A. 简单随机抽样B. 系统抽样C. 简单随机抽样或系统抽样D. 分层抽样【答案】D【解析】∵小学生，初中生身体状况差异比较大，∴根据分层差异的定义可知，适合使用分层抽样进行抽取样本。
系统抽样适用于元素个数较多，且分布均衡的总体，故综合考虑，选择分层抽样较好。
故选：D．6. 已知抛物线的方程为，且过点，则焦点坐标为（）A. （1,0）B.C.D. （0,1）【答案】C【解析】根据抛物线标准方程得到，，焦点坐标为，代入可得焦点坐标为，将点代入抛物线方程得到a=2,故最终得到焦点坐标为. 故答案选C.7. 设，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据二次不等式的解法得到：，由条件知道小范围推大范围，大范围推不出小范围，反之推不出。
黑龙江省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷(三)
黑龙江省2017—2018学年高二数学上学期期中考试卷（三）（文科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（每题5分，共60分）1．命题：“若p则q”的逆命题是（）A．若¬p则¬q B．若¬q则¬p C．若q则p D．若p则q2．设x∈R，则“x＜1”是“x2+x﹣2＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1 D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥14．给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知命题：∀x∈R，则2x2+2x+＜0的否定是（）A．∀x∈R，则2x2+2x+≥0 B．∃x0∈R，则2x02+2x0+≥0C．∃x0∈R，则2x02+2x0+＜0 D．∀x∈R，则2x2+2x+＞06．关于命题p：A∩∅=∅，命题q：A∪∅=A，则下列说法正确的是（）A．（￢p）∨q为假B．（￢p）∧（￢q）为真C．（￢p）∨（￢q）为假D．（￢p）∧q为真7．已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（）A．2 B．C．D．18．设F1，F2为椭圆的两个焦点，P在椭圆上，当△F1PF2面积为1时，则的值是（）A．0 B．1 C．2 D．I9．已知F1，F2是双曲线=1的两个焦点，p为双曲线上一点且∠F1PF2=60°，则=（）A．B．C． D．10．已知椭圆内一点P（1，1），则以P为中点的弦方程为（）A．x+2y﹣3=0 B．x+4y﹣5=0 C．4x+y﹣5=0 D．x﹣2y=011．已知y2=16x，A（1，2），P为抛物线上的点，F为抛物线焦点，则|PF|+|PA|的最小值为（）A．1 B．4 C．5 D．312．已知y2=8x的焦点为F，则过F点且倾斜角为60°的直线被抛物线截得的弦长为（）A ．8 B． C．D．二、填空题（每题5分，共20分）13．双曲线的渐近线方程为．14．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆的一个交点为P，若∠F1PF2=45°，则椭圆的离心率e=．15．已知p：﹣4＜x﹣a＜4，q：（x﹣2）（3﹣x）＞0，若q是p的充分条件，则a的取值范围为．16．若f（x）=x2+2x﹣5且A（1，﹣2），则以点A为切点的切线方程为．三、解答题（共70分）17．已知命题p：lg（x2﹣2x﹣2）≥0；命题q：0＜x＜4，若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数x的取值范围．18．求证：若a2+2ab+b2+a+b﹣2≠0，则a+b≠1．19．已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆：x2+y2﹣4x+2=0的圆心，求椭圆E的方程．20．已知双曲线x2﹣y2=4，直线l：y=k（x﹣1），试在下列条件下，求实数k的取值范围：（1）直线l与双曲线有两个公共点，（2）直线l与双曲线有且只有一个公共点．21．已知抛物线y2=2px（p＞0），点M（2，y0）在抛物线上，（1）求抛物线方程（2）设A点坐标为，求抛物线上距点A最近的点B的坐标及相应的距离|BA|．22．已知直线y=﹣x+2和椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，M为线段AB的中点，若|AB|=2，直线OM的斜率为，求椭圆的方程．参考答案一、单项选择题1．C．2．B．3．D．4．A．5．B6．C．7．D．8．A9．A．10．B11．C．12．D．二、填空题13．答案为：y=±x．14．答案为：﹣115．答案为：[﹣1，6]．16．答案为：4x﹣y﹣6=0．三、解答题17．解：因为命题p是真命题，则x2﹣2x﹣2≥1，∴x≥3或x≤﹣1，命题q是假命题，则x≤0或x≥4．∴x≥4或x≤﹣1．18．证明：若a+b=1，则a2+2ab+b2+a+b﹣2=（a+b）2+（a+b）﹣2=1+1﹣2=0成立，∴根据逆否命题的等价性可知：若a2+2ab+b2+a+b﹣2≠0，则a+b≠1．19．解：由x2+y2﹣4x+2=0得（x﹣2）2+y2=2，∴圆心C（2，0），设椭圆E的方程为：，其焦距为2c，则c=2，e=，∴a=4，∴b2=a2﹣c2=12，∴椭圆E的方程为：．20．解：联立直线y=k（x﹣1）和双曲线：x2﹣y2=4，消去y得，（1﹣k2）x2+2k2x ﹣k2﹣4=0，判别式△=4k4+4（1﹣k2）（k2+4）=4（4﹣3k2）．（1）1﹣k2≠0，且△＞0，解得﹣＜k＜且k≠±1，则k的取值范围是：（﹣，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，）；（2）1﹣k2=0或1﹣k2≠0，且△=0，解得k=±1，或k=±，则k的取值范围是k=±1，或k=±．21．解：（1）所以p=1故抛物线方程为y2=2x（2）设y2=2x上任一点M（x，y）所以当x=0时，所以，此时B（0，0）22．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．则A（x1，y1），B（x2，y2）代入方程并相减得：=﹣•．∴k AB=﹣•=﹣．③又k OM==，④由③④得a2=4b2．由直线y=﹣x+2和椭圆+=1（a＞b＞0）得：x2﹣4x+8﹣2b2=0，∴x1+x2=4，x1•x2=8﹣2b2．∴|AB|=|x1﹣x2|==2．解得：b2=4．故所求椭圆方程为：．。
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黑龙江省哈尔滨市2017-2018学年高二数学上学期期中试题 文
考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分， 满分150分．
考试时间为120分钟；
（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第I 卷 （选择题， 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1． 已知异面直线a 、b 所成的角为60︒，直线//b 直线c ，则异面直线a 、c 所成的角为
A ．30︒
B ．0︒
C ．120︒
D ．60︒ 2． 如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．
的是 A ． BD ∥平面CB 1D 1 B ． AC 1⊥B 1D 1 C ． AC 1⊥平面CB 1D 1
D ． 异面直线AD 与CB 1成角为60°
3． 一个三角形水平放置的直观图，是一个以O B ''为斜边的等腰直角三角形A O B '''，且
2O B ''=（如图），则原三角形AOB 的面积是
A
．1 C
4． 双曲线 22
1416
x y -+=的两条渐近线为
A ．14y x =±
B ．4y x =±
C ．1
2
y x =± D ．2y x =±
5． 如图，一个空间几何体的主视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那
么这个几何体的侧面积为
A
B
D C 1A
1B
1D
1C
A ．
4π B ．54π C ．π D ．32
π 6． 若,x y 满足约束条件20
30x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为
A ．0
B ．4
C ．5
D ．6
7． 抛物线24y x =上两点A 、B ，弦AB 的中点为(2,1)P ，则直线AB 的斜率为
A ．2
B ．2或2-
C ．2或
1
2
D ．2- 8． 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线
A 1
B 与A
C 所成角的余弦值是
A ．
．
．
．
9． 已知点P 在抛物线x y 42=上，点()3,5A ，F 为该抛物线的焦点，则PAF ∆周长的最
小值为 A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
10．已知双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>
）的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直
线2y x =垂直，则双曲线的方程为
A ．22182x y -=
B ．22128x y -=
C ．221328x y -=
D ．221832
x y -=
11．如图（1）所示，已知正方体一个面的对角线长为a ，沿阴影将它切割成两块，拼成如
图（2）所示的几何体，那么此几何体的全面积为
正视图 侧视图
俯视图
A
C 12．若双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的左支上存在一点P ，满足以1||PF 为边长的正
方
形的面积等于2ac （其中1F 为双曲线的左焦点），则双曲线的离心率的取值范围是
A ．(]1,2
B ．[2,+∞）
C ．(1,2+
D ．)
⎡+∞⎣
第Ⅱ卷 （非选择题， 共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13．已知抛物线方程是24y x =-，则它准线方程为 ．
14．将一个半径为R 半圆形纸片没有重叠的卷成一个圆锥（如图），则圆锥的体积
为 ．
15．设,αβ为互不重合的平面，,m n 是互不重合的直线，给出下列四个命题：
①
//,,//m n n m αα
⊂若则 ②
,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则
③
//,,//m n m n
αβαβ⊂⊂若，则 ④若
,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则；
其中正确命题的序号为 ．
16．一个三棱锥的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本题10分）
斜率为1的直线过抛物线x y 42=的焦点，与抛物线交于两点A 、B ，M 为抛物线上的点． (I)求AB ；
(II)若24=∆ABM S ，求点M 的坐标．
18．（本题12分）
如图，正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别为AB 、BC 中点． (I)当点P 在棱1DD 上运动时，是否都有//MN 平面11AC P ，证明你的结论；
(II)若P 是1DD 的中点，若Q 是1BB 的四等分点，且1
3BQ QB =， 求证：平面//MNQ 平面11AC P ．
侧视图
俯视图
Q
A
B
D
C
1A
1B
1D
1C
P M
N
19．（本题12分）
如图，四面体ABCD
中，AB AD CB CD ====
AC =
BD = (I)求证：AC BD ⊥；
(II)求证：平面ABC ⊥平面ADC ．
20．（本题12分）
矩形纸板ABCD 中，将ABD ∆沿BD 折起到A BD '∆，使CD A B '⊥． (I)求证：A C A B ''⊥；
(II)已知1AB =，2AD =，求异面直线A C '与BD 所成角的余弦．
21．（本题12分）
已知双曲线221x y -=与直线:1l y kx =-有两个不同的交点,A B ． (I)求实数k 的取值范围；
(II)若0OA OB ⋅>
，求实数k 的取值范围．
A
B
D
C
A B C
D
A '
B
C
D
22．（本题12分）
已知抛物线L ：()022>=p px y 的焦点为F ，直线24=y 与y 轴的交点为P ，与L 的交点为Q ，若QF PQ 3
2
=． （1）求L 的方程；
（2）过Q 作抛物线L 的切线与x 轴相交于N 点， N 点关于原点的对称点为M 点，过点M 的直线交抛物线L 于B A ,两点，求2216
1
41BM AM +的最小值．
高二学年第一模块数学（文）试卷答案
一、选择题 DDDDC DADCA BC 二、填空题
13. 1=x 14. 3
24
3R π 15. ④ 16. 2 三、解答题
17. （Ⅰ）8； （Ⅱ）(9,6)(1,-2),
(1,2),. 18. （Ⅰ）是； （Ⅱ）证明略. 19. （Ⅰ）证明略； （Ⅱ）证明略. 20. （Ⅰ）证明略； （Ⅱ）
5
15. 21. （Ⅰ）)2(1,(-1,1),-1)2( -； （Ⅱ）)2(1,,-1)2( -. 22. （Ⅰ）x y 82=； （Ⅱ）9.。