2012年考研数学一真题及参考答案

2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8 小题，每小题4 分，共32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.（1）曲线y=x+x2x2 −1渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】：C【解析】：limx→1 x x2 +=∞x−12，所以x=1为垂直的x x2+=lim 1，所以y=1为水平的，没有斜渐近线故两条选Cx→∞x2−1（2）设函数f(x) =(e x−1)(e2x−2)L (e nx−n)，其中n为正整数，则f' (0) =（A）(−1)n−1(n−1)!（B）(−1)n(n−1)!（C）(−1)n−1n!（D）(−1)n n!【答案】：C【解析】：f' (x) =e x(e2x−2)L (e nx−n) +(e x−1)(2e2x−2)L (e nx−n) +L (e x−1)(e2x−2)L (ne nx−n) 所以f' (0) =(−1)n−1n!（3）如果f(x, y) 在(0, 0)处连续，那么下列命题正确的是（）f(x, y) （A）若极限lim→x+yx→0y0 存在，则f(x, y) 在(0, 0) 处可微f(x, y)（B）若极限lim→2 +2x yx→0存在，则f(x, y) 在(0, 0) 处可微f(x, y) （C）若f(x, y) 在(0, 0) 处可微，则极限lim→+x yx→0y0 存在f(x, y) （D）若f(x, y) 在(0, 0) 处可微，则极限limx→0x y→+2 2y0→+存在【答案】：f(x, y) 【解析】：由于f(x, y) 在(0, 0)处连续，可知如果lim→x+y2 2x→0y0 存在，则必有f(0, 0) =lim f(x, y) =0x→0y→0这样，f(x, y)limx→x y→ 2 +2y0就可以写成l imΔx→0Δy→0f(Δx,Δy) −f(0, 0)Δ 2 +Δ2x y，也即极限l imΔx→0Δy→0f(Δx,Δy) −f(0, 0)Δx+Δy2 2存在，可知f(Δx,Δy) −f(0, 0) = lim 0 Δx→0 2 2Δx+ΔyΔy→0 ，也即()f(Δx,Δy) −f(0, 0) =0Δx+0Δy+oΔx2 +Δy2 。

由可微的定义，也即()可知f(x, y) 在(0, 0) 处可微。

（4）设k xI=∫e2k esinxdx(k=1,2,3),则有D（A）I1< I2 <I3. (B) I2< I2< I3.(C) I1< I3 <I1, (D) I1< I2< I3.【答案】：(D)k x【解析】：看为以为自变量的函数，则可知I=∫e xdx k()2 sin 2I' =e k sin k≥0,k∈0,π，k ekk x即可知关于在I=∫e xdx k(0,π)2 sink e上为单调增函数，又由于1, 2,3∈(0,π)，则I<I 1 2 <I，故选D3⎛0 ⎞⎛0 ⎞⎛1 ⎞⎛−1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟（5）设⎟其中为任意常数，则下列向量组线性相关α=⎜0 ⎟,α=⎜1 ⎟,α=⎜−1⎟,α=⎜1c c c c1, 2 , 3, 4 12 3 4⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟c c c c⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠1 2 3 4的是（）（A）ααα（B）1, 2 , 41, 2 , 3ααα（C）ααα（D） 2 , 3, 41, 3, 4ααα【答案】：（C）0 1 −11 −1【解析】：由于()α,α,α=0 −1 1 =c=01 3 4 1−1 1c c c1 3 4 ，可知ααα线性相关。

故选（C）ααα线性相关。

故选（C）1, 3, 4⎛1 ⎞⎜⎟（6）设A为 3 阶矩阵，P为 3 阶可逆矩阵，且P−1AP=⎜⎟，1⎜⎟2⎝⎠P=(ααα)，1, 2 , 3Q=α+ααα则Q−1AQ=（）( 1 2 ), ,2 3⎛1 ⎞⎛1 ⎞⎜⎟⎜⎟（A）（B）2 1⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟1 2 ⎝⎠⎝⎠⎛2 ⎞⎛2 ⎞⎜⎟⎜⎟（C）（D）1 2⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟2 1 ⎝⎠⎝⎠【答案】：（B）⎛1 0 0⎞⎛1 0 0⎞⎜⎟⎜⎟【解析】：，则，Q P 1 1 0 1 1 0=⎜⎟=⎜−⎟Q−P−1 1⎜⎟⎜⎟0 0 1 0 0 1⎝⎠⎝⎠⎛1 0 0⎞⎛1 0 0⎞⎛1 0 0⎞⎛1 ⎞⎛1 0 0⎞⎛1 ⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟故Q−1AQ=⎜−⎟P−1AP⎜⎟=⎜−⎟⎜⎟⎜⎟=⎜1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 0 0 1 2⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠故选（B）。

（7）设随机变量x 与y 相互独立，且分别服从参数为1 与参数为4 的指数分布，则p{x<y}=（）1 1 2(A) (B) (C) (D)5 3 5 4 5【答案】：（A）【解析】：(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)⎧−x−y>>e 4 , x0, y=⎨⎩0，其它+∞y−x−y+∞−y 则{<}=∫∫=∫∫=∫=P X Y f(x, y)dxdy dx e dx e dy4 50 0 0x<y 1 5（ 8 ）将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）1 1(A) 1 (B) (C) −(D) −12 2【答案】：(D)【解析】：设两段长度分别为x, y，显然x+y=1,即y=−x+1，故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为-1二、填空题：9−14 小题，每小题4 分，共24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.（9）若函数f(x) 满足方程f'' (x) +f' (x) −2 f(x) =0 及f' (x) +f(x) =2e x，则f(x) =________。

【答案】：e x【解析】：特征方程为r2 +r−2 =0 ，特征根为 1 =1,r=−2r，齐次微分方程2 f′′x+f′x−f x =( ) ( ) 2 ( ) 0的通解为.再由f( ) =x C e2x f' (x) +f x=e x得 2x C e( ) 2+−2C e x−C e−x=2e x1 2 1 2C=C=1 1,2 0，可知。

故f(x) =e x∫2 2（10）x2x−x dx________。

【答案】：【解析】：令得t=x−1 π22 2 1 2 1∫∫∫x2x−x dx=(t+1) 1−t dt=1−t2 dt=0 −1 −1π2⎛⎞z（11）⎜⎟grad xy+⎝⎠y(2,1,1)________。

【答案】：{1, 1, 1}⎛⎞⎧⎫z z 1【解析】：{} grad xy+=⎨y, x−, ⎬=1,1,1⎜⎟⎝⎠⎩⎭y y y2(2,1,1) (2,1,1)（12）设∑= {(x , y , z )x + y + z =1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0},则∫∫________。

y 2ds = ∑【答案】：312∫∫ ∫∫∫∫【解析】：由曲面积分的计算公式可知 y 2ds =y 21+ (−1)2 + (−1)2 dxdy = 3 y 2dxdy∑DD，其中11 y2 1 2−D = {(x , y ) | x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤1}。

故原式=3∫ dy ∫y dx =3∫ y (1− y )dy = 0 03 12（13）设 X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵E − xx T 的秩为________。

【答案】：2【解析】：矩阵xx T 的特征值为0, 0,1，故E − xx T 的特征值为1,1, 0 。

又由于为实对称矩阵，是可相似对角( )化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，也即（14）设A, B,C是随机事件，A,C互不相容，P AB=, ( ) 1( ) P C=,则P(AB C) =________。

1−2 3【答案】：3 4【解析】：由条件概率的定义，()P AB C() P ABC =，()P C1 2其中()()P C=1−P C=1−=，3 31P(ABC)=P(AB)−P(ABC)=−P(ABC)，由于A,C互不相容，即AC=φ，P(AC)=0，又21 3ABC⊂AC，得P(ABC)=0 ，代入得P(ABC)=，故()P AB C=.2 4三、解答题：15—23 小题，共94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10 分）证明：1 x x++≥+ 2 −<<x ln cos x 1 , 1 x 11−x 21+x x2f x=x ln +cos x−1−【解析】：令()1−x 2，可得1+x1+x 2f x=ln +xg −sin' ()1−x1−x1−x()21+x2x=ln +−sin x−xx−x1−x1−x1+x1+x22=ln +g x−sin x1−x1−x21 +x−≥+≥x1+>x 12 2当0 <x<1时，有ln 0 1 g x sin x0 ，，，所以1−x1−x1−x2 2故()，而，即得f' x≥0 f(0)=01 x x++−−≥2x ln cos x 1 0 1−x 2所以1++≥+x x2x ln cos x 1。

1−x 21+x≤当−1<x<0 ，有ln 01−x1+x>1+x−≤2 2，，所以1 g x sin x0 ，1 x x− 2 1−2故()，即得f' x≥01+x+−−x≥2 x ln cos x 1 0 1−x 2可知，1 x x++≥+−<<2x ln cos x 1 , 1 x 1 1−x 2（16）（本题满分10 分）x+y2 2f x, y=xe−的极值。

求()2x+y2 2f x, y=xe−，【解析】：()2先求函数的驻点. f′(x, y)=e−x=0, f′(x, y)=−y=0，解得函数为驻点为(e,0).x y又A=f′(e,0)=−1,B=f′(e,0)=0,C=f′(e,0)1，=−xx xy yy1f e,0 =e.2 所以B2 −AC<0, A<0 ，故f(x, y)在点(e,0)处取得极大值()2 （17）（本题满分10 分）∞∑求幂级数n=0 4n4n2++2n 1+3x2n 的收敛域及和函数【解析】：R4n+4n+32a a n2 +1 ===lim lim limn na a n n4(+1)+4(+1)+32n→∞n+n→∞n+n→∞1 12(n+1)+12 (n+)+4n+4n+3 2 1 1=lim ⋅2n+1 4 n+1 +4 n+1 +3()2 ()n→∞=1∞ 24n+4n+3∑S(x) =x2n2n+1 n=0∞ 2 ++4n4n 3x∑x n∫∫S(t)dt=x dx22n+10 0n=0∞++4n4n 32∑x=1时x发散2n2n+1 n=0Q limn→∞4 2 +4 +3n n2n+1 =∞12n+1x∞ 24n+4n+3∑=−1 (−1)时收敛2n2n+1n=0∴x∈(−1, 1)为函数的收敛域。