2012年考研数学一真题及参考答案
2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8 小题，每小题4 分，共32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.（1）曲线y=x+x2x2 −1渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】：C【解析】：limx→1 x x2 +=∞x−12，所以x=1为垂直的x x2+=lim 1，所以y=1为水平的，没有斜渐近线故两条选Cx→∞x2−1（2）设函数f(x) =(e x−1)(e2x−2)L (e nx−n)，其中n为正整数，则f' (0) =（A）(−1)n−1(n−1)!（B）(−1)n(n−1)!（C）(−1)n−1n!（D）(−1)n n!【答案】：C【解析】：f' (x) =e x(e2x−2)L (e nx−n) +(e x−1)(2e2x−2)L (e nx−n) +L (e x−1)(e2x−2)L (ne nx−n) 所以f' (0) =(−1)n−1n!（3）如果f(x, y) 在(0, 0)处连续，那么下列命题正确的是（）f(x, y) （A）若极限lim→x+yx→0y0 存在，则f(x, y) 在(0, 0) 处可微f(x, y)（B）若极限lim→2 +2x yx→0存在，则f(x, y) 在(0, 0) 处可微f(x, y) （C）若f(x, y) 在(0, 0) 处可微，则极限lim→+x yx→0y0 存在f(x, y) （D）若f(x, y) 在(0, 0) 处可微，则极限limx→0x y→+2 2y0→+存在【答案】：f(x, y) 【解析】：由于f(x, y) 在(0, 0)处连续，可知如果lim→x+y2 2x→0y0 存在，则必有f(0, 0) =lim f(x, y) =0x→0y→0这样，f(x, y)limx→x y→ 2 +2y0就可以写成l imΔx→0Δy→0f(Δx,Δy) −f(0, 0)Δ 2 +Δ2x y，也即极限l imΔx→0Δy→0f(Δx,Δy) −f(0, 0)Δx+Δy2 2存在，可知f(Δx,Δy) −f(0, 0) = lim 0 Δx→0 2 2Δx+ΔyΔy→0 ，也即()f(Δx,Δy) −f(0, 0) =0Δx+0Δy+oΔx2 +Δy2 。
由可微的定义，也即()可知f(x, y) 在(0, 0) 处可微。
（4）设k xI=∫e2k esinxdx(k=1,2,3),则有D（A）I1< I2 <I3. (B) I2< I2< I3.(C) I1< I3 <I1, (D) I1< I2< I3.【答案】：(D)k x【解析】：看为以为自变量的函数，则可知I=∫e xdx k()2 sin 2I' =e k sin k≥0,k∈0,π，k ekk x即可知关于在I=∫e xdx k(0,π)2 sink e上为单调增函数，又由于1, 2,3∈(0,π)，则I<I 1 2 <I，故选D3⎛0 ⎞⎛0 ⎞⎛1 ⎞⎛−1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟（5）设⎟其中为任意常数，则下列向量组线性相关α=⎜0 ⎟,α=⎜1 ⎟,α=⎜−1⎟,α=⎜1c c c c1, 2 , 3, 4 12 3 4⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟c c c c⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠1 2 3 4的是（）（A）ααα（B）1, 2 , 41, 2 , 3ααα（C）ααα（D） 2 , 3, 41, 3, 4ααα【答案】：（C）0 1 −11 −1【解析】：由于()α,α,α=0 −1 1 =c=01 3 4 1−1 1c c c1 3 4 ，可知ααα线性相关。
故选（C）ααα线性相关。
故选（C）1, 3, 4⎛1 ⎞⎜⎟（6）设A为 3 阶矩阵，P为 3 阶可逆矩阵，且P−1AP=⎜⎟，1⎜⎟2⎝⎠P=(ααα)，1, 2 , 3Q=α+ααα则Q−1AQ=（）( 1 2 ), ,2 3⎛1 ⎞⎛1 ⎞⎜⎟⎜⎟（A）（B）2 1⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟1 2 ⎝⎠⎝⎠⎛2 ⎞⎛2 ⎞⎜⎟⎜⎟（C）（D）1 2⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟2 1 ⎝⎠⎝⎠【答案】：（B）⎛1 0 0⎞⎛1 0 0⎞⎜⎟⎜⎟【解析】：，则，Q P 1 1 0 1 1 0=⎜⎟=⎜−⎟Q−P−1 1⎜⎟⎜⎟0 0 1 0 0 1⎝⎠⎝⎠⎛1 0 0⎞⎛1 0 0⎞⎛1 0 0⎞⎛1 ⎞⎛1 0 0⎞⎛1 ⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟故Q−1AQ=⎜−⎟P−1AP⎜⎟=⎜−⎟⎜⎟⎜⎟=⎜1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 0 0 1 2⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠故选（B）。
（7）设随机变量x 与y 相互独立，且分别服从参数为1 与参数为4 的指数分布，则p{x<y}=（）1 1 2(A) (B) (C) (D)5 3 5 4 5【答案】：（A）【解析】：(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)⎧−x−y>>e 4 , x0, y=⎨⎩0，其它+∞y−x−y+∞−y 则{<}=∫∫=∫∫=∫=P X Y f(x, y)dxdy dx e dx e dy4 50 0 0x<y 1 5（ 8 ）将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）1 1(A) 1 (B) (C) −(D) −12 2【答案】：(D)【解析】：设两段长度分别为x, y，显然x+y=1,即y=−x+1，故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为-1二、填空题：9−14 小题，每小题4 分，共24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.（9）若函数f(x) 满足方程f'' (x) +f' (x) −2 f(x) =0 及f' (x) +f(x) =2e x，则f(x) =________。
【答案】：e x【解析】：特征方程为r2 +r−2 =0 ，特征根为 1 =1,r=−2r，齐次微分方程2 f′′x+f′x−f x =( ) ( ) 2 ( ) 0的通解为.再由f( ) =x C e2x f' (x) +f x=e x得 2x C e( ) 2+−2C e x−C e−x=2e x1 2 1 2C=C=1 1,2 0，可知。
故f(x) =e x∫2 2（10）x2x−x dx________。
【答案】：【解析】：令得t=x−1 π22 2 1 2 1∫∫∫x2x−x dx=(t+1) 1−t dt=1−t2 dt=0 −1 −1π2⎛⎞z（11）⎜⎟grad xy+⎝⎠y(2,1,1)________。
【答案】：{1, 1, 1}⎛⎞⎧⎫z z 1【解析】：{} grad xy+=⎨y, x−, ⎬=1,1,1⎜⎟⎝⎠⎩⎭y y y2(2,1,1) (2,1,1)（12）设∑= {(x , y , z )x + y + z =1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0},则∫∫________。
y 2ds = ∑【答案】：312∫∫ ∫∫∫∫【解析】：由曲面积分的计算公式可知 y 2ds =y 21+ (−1)2 + (−1)2 dxdy = 3 y 2dxdy∑DD，其中11 y2 1 2−D = {(x , y ) | x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤1}。
故原式=3∫ dy ∫y dx =3∫ y (1− y )dy = 0 03 12（13）设 X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵E − xx T 的秩为________。
【答案】：2【解析】：矩阵xx T 的特征值为0, 0,1，故E − xx T 的特征值为1,1, 0 。
又由于为实对称矩阵，是可相似对角( )化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，也即（14）设A, B,C是随机事件，A,C互不相容，P AB=, ( ) 1( ) P C=,则P(AB C) =________。
1−2 3【答案】：3 4【解析】：由条件概率的定义，()P AB C() P ABC =，()P C1 2其中()()P C=1−P C=1−=，3 31P(ABC)=P(AB)−P(ABC)=−P(ABC)，由于A,C互不相容，即AC=φ，P(AC)=0，又21 3ABC⊂AC，得P(ABC)=0 ，代入得P(ABC)=，故()P AB C=.2 4三、解答题：15—23 小题，共94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10 分）证明：1 x x++≥+ 2 −<<x ln cos x 1 , 1 x 11−x 21+x x2f x=x ln +cos x−1−【解析】：令()1−x 2，可得1+x1+x 2f x=ln +xg −sin' ()1−x1−x1−x()21+x2x=ln +−sin x−xx−x1−x1−x1+x1+x22=ln +g x−sin x1−x1−x21 +x−≥+≥x1+>x 12 2当0 <x<1时，有ln 0 1 g x sin x0 ，，，所以1−x1−x1−x2 2故()，而，即得f' x≥0 f(0)=01 x x++−−≥2x ln cos x 1 0 1−x 2所以1++≥+x x2x ln cos x 1。
1−x 21+x≤当−1<x<0 ，有ln 01−x1+x>1+x−≤2 2，，所以1 g x sin x0 ，1 x x− 2 1−2故()，即得f' x≥01+x+−−x≥2 x ln cos x 1 0 1−x 2可知，1 x x++≥+−<<2x ln cos x 1 , 1 x 1 1−x 2（16）（本题满分10 分）x+y2 2f x, y=xe−的极值。
求()2x+y2 2f x, y=xe−，【解析】：()2先求函数的驻点. f′(x, y)=e−x=0, f′(x, y)=−y=0，解得函数为驻点为(e,0).x y又A=f′(e,0)=−1,B=f′(e,0)=0,C=f′(e,0)1，=−xx xy yy1f e,0 =e.2 所以B2 −AC<0, A<0 ，故f(x, y)在点(e,0)处取得极大值()2 （17）（本题满分10 分）∞∑求幂级数n=0 4n4n2++2n 1+3x2n 的收敛域及和函数【解析】：R4n+4n+32a a n2 +1 ===lim lim limn na a n n4(+1)+4(+1)+32n→∞n+n→∞n+n→∞1 12(n+1)+12 (n+)+4n+4n+3 2 1 1=lim ⋅2n+1 4 n+1 +4 n+1 +3()2 ()n→∞=1∞ 24n+4n+3∑S(x) =x2n2n+1 n=0∞ 2 ++4n4n 3x∑x n∫∫S(t)dt=x dx22n+10 0n=0∞++4n4n 32∑x=1时x发散2n2n+1 n=0Q limn→∞4 2 +4 +3n n2n+1 =∞12n+1x∞ 24n+4n+3∑=−1 (−1)时收敛2n2n+1n=0∴x∈(−1, 1)为函数的收敛域。
2012年考研数学一真题及答案详解
（7） 设随机变量 x 与 y 相互独立， 且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布， 则 px y （）
( A) 1 5 ( B) 1 3 (C ) 2 5 ( D) 4 5
（ 8 ）将长度为 1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（） 1 1 ( A) 1 ( B) (C ) ( D) 1 2 2 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸 指定位置 ．．． 上. （9）若函数 f ( x) 满足方程 f '' ( x) f ' ( x) 2 f ( x) 0 及 f ' ( x) f ( x) 2e x ，则 f ( x) =________。 （10） x 2 x x 2 dx ________。
x2 x y 2 x 1 渐近线的条数为（） （1）曲线
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】 ：C
x2 x lim 2 x 1 x 1 【解析】 ： ，所以 x 1 为垂直的 lim x2 x 1 x x 2 1 ，所以 y 1 为水平的，没有斜渐近线 故两条选 C
2012 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选 项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）曲线 y （A）0 （D）3
x2 x 渐近线的条数为（） x2 1
（B）1
（C）2
列向量组线性相关的是（ （A） 1 , 2 , 3
） （C） 1 , 3 , 4 （D）
（B） 1 , 2 ,4
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2012考研数学一真题及解析
2012考研数学一真题及解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1） 【答案】：C【解析】：221lim1x x xx →+=∞-，所以1x =为垂直的 22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平的，没有斜渐近线 故两条选C（2） 【答案】：C 【解析】：'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+---所以'(0)f =1(1)!n n -- （3） 【答案】：【解析】：由于(,)f x y 在()0,0处连续，可知如果22(,)limx y f x y x y →→+存在，则必有0(0,0)lim (,)0x y f f x y →→== 这样，220(,)limx y f x y x y →→+就可以写成2200(,)(0,0)lim x y f x y f x y ∆→∆→∆∆-∆+∆，也即极限220(,)(0,0)limx y f x y f x y ∆→∆→∆∆-∆+∆存在，可知lim 0x y ∆→∆→=，也即(,)(0,0)00f x y f x y o∆∆-=∆+∆+。
由可微的定义可知(,)f x y 在(0,0)处可微。
（4） 【答案】：(D) 【解析】：2sin kx k eI e xdx =⎰看为以k 为自变量的函数，则可知()2'sin 0,0,k k I e k k π=≥∈，即可知2sin kx k eI e xdx =⎰关于k 在()0,π上为单调增函数，又由于()1,2,30,π∈，则123I I I <<，故选D（5）【答案】：（C ）【解析】：由于()13411341111,,011011c c c c ααα--=-==-，可知134,,ααα线性相关。
2012考研数学真题+答案
x2 y 2 2
1 x x2 cos x 1 1 x 2
……10 分
的极值.
x2 y2 2
f y xye
x2 y2 2
， ……3 分
令
f x 0, 得驻点（1,0）和（-1,0）. f 0 , y
2 x2 y2 2
x( x 3)e 记 A f xx
（C）
2
(D)
3Байду номын сангаас
（A）
n (D) ( 1) n !
(2) 设函数 f ( x) (e x 1)(e2 x 2) (en x n) ，其中 n 为正整数，则 f (0)
n 1 (A) ( 1) ( n 1)! n (B) ( 1) ( n 1)! n 1 (C) ( 1) n !
1 a 0 0
解： （I） A
0 1 a 0 0 0 1 a a 0 0 1
1 a4.
……3 分
（II）若方程组 Ax 有无穷多解，则 A 0. 由（I）可得 a 1 或 a 1 .
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2012 年数学试题答案和评分参考
1 x2 1 1 x ln , 又 S ( 0) 3 ， 所以和函数 S ( x ) (1 x 2 ) 2 x 1 x 3,
(18)（本题满分 10 分） 已知曲线 L:
0 x 1,
(3) 如果函数 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处连续，那么下列命题正确的是 (A) 若极限 lim
x 0 y 0
（B）
f ( x, y ) 存在，则 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处可微 x y
2012考研数学一真题及详解
2012年全国硕士研究生统一考试数学一试题及答案一、选择题：共8小题，每题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上。
1、曲线221x x y x +=-渐近线的条数（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3。
解：（C ）：22211lim lim 1111x x x x x x x→∞→∞++==--，可得有一条水平渐近线1y =；222112lim 1lim 1x x x x x x →→+==∞--，可得有一条铅直渐近线1x =；22111(1)1lim lim lim 1(1)(1)12x x x x x x x x x x x x →-→-→-++===--+-，可得1x =-不是铅直渐近线，故答案为（C ）。
2、设函数2()(1)(2)()x x nx y x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)y =（ ） （A ）1(1)(1)!n n ---；（B ）(1)(1)!n n --；（C ）1(1)!n n --；（D ）(1)!n n -。
解：（A ）：(0)(11)(12)(1)0y n =---= ；则22000()(0)(1)(2)()(2)()'(0)lim lim lim0x x nx x nx x x x y x y e e e n x e e n y x x x→→→------===- 1(12)(1)(1)(1)!n n n -=--=-- 。
故答案为（A ）。
3．如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续，那么下列例题正确的是（ ）（A ）若极限(,)(0,0)(,)lim ||||x y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；（B ）若极限22(,)(0,0)(,)limx y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；（C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限(,)(0,0)(,)lim||||x y f x y x y →+存在；（D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限22(,)(0,0)(,)limx y f x y x y →+存在。
2012年考研数学一真题
1
x
0时， ln 1 1
x x
0，1 1
x2 x2
x
x ,又sin x
x.
’ (x) 0 .
x 0 为(x) 在（-1，1）内最小点，而（0）=0
当-1<x<1 时. (x) 0，即
x ln 1 x cos x 1 x2
1 x
2
(16)（本题满分 分）
x2 y2
求函数 f (x, y) xe 2 的极值
0 1
1
2
1 0
1 0
0 1
1
2
（7）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则 P{x<y}=( )
1
1
2
4
(A)
(B)
(C)
(D)
5
3
5
5
解析：(A)
ex ,
X
~
E(1) ， Y
~
E(4)
fx (x)
0,
x0
4e4 y,
.
x0
fY ( y)
解析： 3 4
P(ABC) P(AB) P(ABC)
解： P( AB | C)
P(C)
1 P(C)
AC ， ABC .
1
P( AB | C)
P( AB) 1 P(C)
2 2
3 4
.
3
三、解答题：15~23 小题，共 94 分，请将解答写在答题纸指定位置上.
（15）（本题满分 分）
证明 x ln 1 x +cosx 1+ x2 (-1<x<1)
f
t
2012考研数一真题解析
【考点】曲面积分的计算 【难易度】★★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点：
8 第 8 页，共 21 页
梦想不会辜负每一个努力的人
曲面积分公式：
x 1
的间断点只有
x
1 .
由于 lim y ，故 x 1是垂直渐近线. x1
（而 lim y lim x(x 1) 1 ，故 x 1不是渐近线）. x1 x1 (x 1)(x 1) 2
1 1
又 lim y lim x 1，故 y 1是水平渐近线.（无斜渐近线）
x
x 1
1 x2
综上可知，渐近线的条数是 2.故选 C.
lim
x0
f (x, y) x2 y2
lim x0
f
(x, y) f (0, 0) x2 y2
A
y0
y0
由极限与无穷小的关系
f (x, y) f (0, 0) x2 y2
A
o(1)
x y
0 0
，
其中 o(1) 为无穷小. f (x, y) f (0, 0) A(x2 y2) (x2 y2)o(1)
【答案】D 【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点：
b
c
b
设 a c b ，则 f (x)dx f (x)dx f (x)dx .
a
a
c
在本题中，
I1
0
ex2
sin
xdx
，
I2
2 0
ex2
sin
xdx ，
I3
3 ex2 sin xdx
0
I2 I1
y0
可微，但 lim x0
2012年考研数一真题及答案解析(完整版)
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x xy x +=-渐近线的条数( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)()x xn x y x e e e n =--- ,其中n 为正整数,则(0)y '=( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D)(1)!n n -(3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限0(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限00(,)limx y f x y x y →→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在 (4)设2sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I <<(5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=( )(A)15 (B) 13 (C) 25 (D) 45(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( )(A) 1 (B)12 (C) 12- (D)1-二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2f x f x e +=，则()f x = (10)2202d x x x x =-⎰(11)(2,1,1)()|zgrad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵TE XX -的秩为 (14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p AB P C p AB C === 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明21ln cos 1(11)12x x x x x x ++≥+-<<- (16)求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值(17)求幂级数22044321nn n n x n ∞=+++∑的收敛域及和函数(18)已知曲线(),:(0),c o s2x ft L t y t π=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2f f t t π=><<若曲线L 的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。
2012年考研数学一真题解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 曲线221x xy x +=-渐进线的条数（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3【考点分析】：曲线的渐近线条数。
【求解过程】：C⏹ 方法一：利用函数图像的平移，将已知的函数的渐近线条数转化为简单的基本函数的渐进线条数。
由于22(1)111(1)(1)11x x x x x y x x x x x ++====+--+--， 可知，221x x y x +=- 的图像是由1y x=的图像向由右平移一个单位，再向上平移一个单位所得。
由于图像平移并不改变其渐进线的条数。
1y x=有两条渐进线，其中一条为水平渐近线0y =，一条为垂直渐近线0x =。
所以221x xy x +=-也有两条渐近线，选择C 。
【相关补充】：函数平移口诀：上加下减，左加右减。
例如，把函数()y f x =依次做以下四次的平移：（1）向上平移1个单位，（2）向下平移2个单位（3）向左平移1个单位（4）向右平移2个单位。
则新函数的解析式为(12)12(1)1y f x f x =+-+-=--。
⏹ 方法二：直接求解函数的渐近线。
因为 22lim 1,1x x xx →∞+=- 所以1y = 为水平渐进线。
又由于有水平渐进线，所以一定不存在同一趋向下的斜渐进线。
又因为221lim ,1x x xx →+=∞-所以1x =为垂直渐进线。
综上所述，221x xy x +=-也有两条渐近线，选择C 。
【相关补充】：斜渐进线的求解步骤：1) 考察是否有lim ()x f x →±∞=∞？若是，则转2）2) 考察是否有()limx f x a x→±∞=（常数）？，若是，则转3） 3) 是否有lim[()]x f x ax b →±∞-=存在？若是，则()y f x =有斜渐进线y ax b =+，上述任何一个步骤中，若否，则无斜渐进线。
2012考研数学一真题答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：（i ）当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时，如果M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
（ii ）渐近线分为水平渐近线（lim ()x f x b →∞=，b 为常数）、垂直渐近线（0lim ()x x f x →=∞）和斜渐近线（lim[()()]0x f x ax b →∞-+=，,a b 为常数）。
（iii ）注意：如果（1）()limx f x x→∞不存在；（2）()lim x f x a x→∞=，但lim[()]x f x ax →∞-不存在，可断定()f x 不存在斜渐近线。
在本题中，函数221x xy x +=-的间断点只有1x =±.由于1lim x y →=∞，故1x =是垂直渐近线.（而11(1)1lim lim(1)(1)2x x x x y x x →-→-+==+-，故1x =-不是渐近线）.又211lim lim111x x x y x→∞→∞+==-，故1y =是水平渐近线.（无斜渐近线） 综上可知，渐近线的条数是2.故选C.(2) 设函数2()(1)(2)()x xnx f x e ee n =---,其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -【答案】A【考点】导数的概念 【难易度】★★【详解一】本题涉及到的主要知识点：00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x→→+-'==. 在本题中，按定义200()(0)(1)(2)()(0)lim lim0x x nx x x f x f e e e n f x x→→----'==-1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--.故选A.【详解二】本题涉及到的主要知识点：()[()()]()()()()f x u x v x u x v x u x v x ''''==+.在本题中，用乘积求导公式.含因子1xe -项在0x =为0，故只留下一项.于是20(0)[(2)()]x x nx x f e e e n ='=--1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--故选（A ）.(3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则极限00(,)limx y f x y x y→→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200(,)limx y f x y x y →→+存在【答案】B【考点】全微分存在的必要条件和充分条件 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：全微分存在的充分条件 如果函数(,)z f x y =的偏导数z x ∂∂、zy∂∂在点(,)x y 连续，则函数在该点可微分. 在本题中，若2200(,)limx y f x y x y →→+记()A ∃，则00lim (,)0x y f x y →→= 又(,)f x y 在(0,0)连续(0,0)0f ⇒=.于是2222000(,)(,)(0,0)limlim x x y y f x y f x y f A x y x y →→→→-==++ 由极限与无穷小的关系220(,)(0,0)(1)0x f x y f A o y x y →⎛⎫-⇒=+ ⎪→+⎝⎭，其中(1)o 为无穷小.2222(,)(0,0)()()(1)f x y f A x y x y o ⇒-=+++00()(0)x y o ρρ=⋅+⋅+→，其中0ρ=→.因此(,)f x y 在(0,0)可微.故选（B ）.（A ）不正确，如(,)f x y x y =+满足条件，但(,)f x y 在(0,0)不存在偏导数，故不可微.（C ）不正确，如(,)f x y x =在(0,0)可微，但0limx y xx y→→+不存在.（D ）也不正确，如(,)f x y x =在(0,0)可微，但2200limx y xx y →→+不存在.(4)设2sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I ，则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I << 【答案】D【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 设a c b <<，则()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.在本题中，210sin x I e xdx π=⎰，2220sin x I e xdx π=⎰，2330sin x I e xdx π=⎰222121sin 0x I I e xdx I I ππ-=<⇒<⎰，2332322sin 0x I I e xdx I I ππ-=>⇒>⎰，222323312sin sin sin x x x I I e xdx e xdx e xdx ππππππ-==+⎰⎰⎰2233()22sin()sin t x et dt e xdx ππππππ-=-+⎰⎰223()312[]sin 0x x e exdx I I πππ-=->⇒>⎰因此213I I I <<.故选D.(5)设1100C α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα 【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：n 个n 维向量相关12,,,0n ααα⇔=在本题中，显然134123011,,0110c c c ααα-=-=， 所以134,,ααα必线性相关.故选C.(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)Q αααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵. 在本题中，由于P 经列变换为Q ，有12100110(1)001Q P PE ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么111112121212[(1)][(1)](1)()(1)Q AQ PE A PE E P AP E ----==100110011101110100120012⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故选B.(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}P X Y <=( )(A)15 (B) 13 (C)32 (D) 45 【答案】A【考点】常见随机变量的分布 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若随机变量X 的概率密度为,0,()0,0,x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩则称X 服从参数为λ(0)λ>的指数分布. 在本题中，依题设知X ，Y 的概率密度分别为,0,()0,0,x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩ 44,0,()0,0,y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩又X 与Y 相互独立，从而X 与Y 的联合概率密度为(4)4,0,0,(,)()()0,x y X Y e x y f x y f x f y -+⎧>>=⋅=⎨⎩其他于是{}(4)(4)01(,)445x y x y x Dx yP X Y f x y dxdy edxdy dx e dy +∞+∞-+-+<<====⎰⎰⎰⎰⎰⎰故选A.(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )(A) 1 (B)12 (C) 12- (D)1- 【答案】D【考点】相关系数的性质 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：若X aY b =+，则当0a >时，1XY ρ=；当0a <时，1XY ρ=-.在本题中，设其中一段木棒长度为X ，另一段木棒长度为Y ，显然1X Y +=，即1X Y =-，Y 与X 之间有明显的线性关系，从而1XY ρ=-.故选D.二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=，则()f x = 【答案】xe【考点】二阶常系数齐次线性微分方程【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：二阶常系数齐次线性微分方程0y py qy '''++=的特征方程20r pr q ++=有两个不同的实根，微分方程的通解形式为1212r xr xy C e C e =+. 在本题中，因()f x 满足()()2()0f x f x f x '''+-= ①()()2x f x f x e ''+= ②由①、②，得()3()2xf x f x e '-=-，两边乘以3xe -得32[()]2xx ef x e --'=-积分得32()xx ef x e C --=+，即3()x x f x e Ce =+代入②式得3392xxxxx e Ce e Cee +++=0C ⇒=，于是()xf x e =代入①式自然成立.因此求得()xf x e =.(10)2x =⎰【答案】2π 【考点】定积分的换元积分法 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 第一类换元法[()]()()baf t t d t f x d xβαϕϕ'=⎰⎰在本题中，22111(x =x t x t -==-+⎰⎰⎰111022ππ--=+=+=⎰⎰，其中1-⎰是半单位圆的面积.(11)(2,1,1)()|zgrad xy +y=【答案】{}1,1,1【考点】梯度 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：(,,)(,,)f f f gradf x y z x y z∂∂∂=∂∂∂ 在本题中，记zu xy y=+，则 u y x ∂=∂，2u z x y y ∂=-∂，1u z y∂=∂ (2,1,1)(2,1,1)|(,,)|(1,1,1)f f fgradu x y z∂∂∂⇒==∂∂∂ 因此(2,1,1)()|(1,1,1)zgrad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰【考点】曲面积分的计算 【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：曲面积分公式：(,,)[,,(,xyD f x y z ds f x y z x y ∑=⎰⎰⎰⎰在本题中，投影到xy 平面上.∑在xy 平面上的投影区域为{}(,)01,01xy D x y x y x =≤≤≤≤-由∑的方程1z x y =--1z x ∂⇒=-∂，1zy∂=-∂ 现将曲面积分化为二重积分，然后求出积分值.1122200xyxyx D D y ds yy dxdy dx y dy -∑===⎰⎰⎰⎰⎰1134001(1)[(1)]33412x dx x =-=⋅--=⎰ (13)设α为3维单位列向量，E 为3阶单位矩阵，则矩阵TE αα-的秩为 【答案】2【考点】矩阵的特征值的性质；实对称矩阵的相似对角矩阵 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： （i ）若()1r A =，则11nnn ii i E A a λλλ-=-=-∑；（ii ）实对称矩阵必可对角化.在本题中，设123a a a α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则有2221231T a a a αα=++=，又211121322123212232331323(,,)T a a a a a a A a a a a a a a a a a a a a a a αα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 易见秩()1r A =.那么3222232123()E A a a a λλλλλ-=-++=-，所以矩阵A 的特征值为1，0，0，从而E A -的特征值为0，1，1.又因E A -为对称矩阵，从而011E A⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故()2T r E αα-=. (14)设A ,B ,C 是随机事件，A 与C 互不相容，()()()11,,23p AB P C p AB C === 【答案】34【考点】条件概率 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 条件概率公式()()(()0)()P AB P B A P A P A => 在本题中，由于A 与C 互不相容，所以AC =∅，ABC =∅，从而()0P ABC =.于是1()()()()32()11()1()4()13P ABC P AB P ABC P AB P AB C P C P C P C -=====---.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明：21ln cos 1(11)12x x x x x x ++≥+-<<-【考点】函数单调性的判别 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导. ①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少.证明：令()21ln cos 1(11)12x x f x x x x x +=+---<<-，则转化为证明()0f x ≥（(1,1)x ∈-）因()()f x f x =-，即()f x 为偶函数，故只需考察0x ≥的情形. 用单调性方法.()111111lnsin ln sin 111111x x f x x x x x x x x x x x x ++⎛⎫'=++--=+--- ⎪-+---+⎝⎭， 221111()cos 111(1)(1)f x x x x x x ''=+++--+--+， 22331122()sin 0((0,1])(1)(1)(1)(1)f x x x x x x x '''=-++-+>∈+--+，其中2211(1)(1)x x ->-+，33112[]0(1)(1)x x ->-+，sin 0((0,1))x x >∈ 因(0,1)x ∈时(3)()0f x >，又()f x ''在[0,1)连续()f x ''⇒在[0,1)，()(0)20f x f ''''>=>（(0,1]x ∈），同理()f x '在[0,1)，()(0)0((0,1])f x f x ''>=∈()f x ⇒在[0,1)，()(0)0((0,1])f x f x >=∈.又因()f x 为偶函数()0((1,1),0)f x x x ⇒>∈-≠，(0)0f =.即原不等式成立.(16)求函数222(,)x y f x y xe+-=的极值.【考点】多元函数的极值 【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：二元函数取得极值的充分条件：设(,)z f x y =在点00(,)x y 的某邻域有连续的二阶偏导数，又00(,)0x f x y '=，00(,)0y f x y '=，令00(,)xx f x y A ''=，00(,)xy f x y B ''=，00(,)yy f x y C ''=，则（1）当20A C B->时，(,)f x y 在00(,)x y 取极值，且当0A >时取极小值，0A <时取极大值；（2）当20AC B -<时，00(,)x y 不是(,)f x y 的极值点；（3）当20AC B -=时，仅此不足以判断00(,)x y 是否是(,)f x y 的极值点，还需另作讨论. 在本题中，先求函数的驻点.()()()()()2222222222222,10,0x yx y x y x y f x y e xex ex xf x y xe y y+++---+-⎧∂=+-=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩解得驻点为(1,0)-，(1,0)又()()()()()()()()22222222222222222222,21,1,1x y x y x y x y f x y A xe e x x x f x y B e x y x yf x y C xe y y++--+-+-⎧∂==-+--⎪∂⎪⎪∂⎪==--⎨∂∂⎪⎪∂⎪==-∂⎪⎩ 根据判断极值的第二充分条件， 代入（1，0），得122A e-=-，0B =，12C e-=-，从而20AC B ->，0A <，所以(,)f x y 在（1，0）取得极大值，极大值为12e -；代入（-1，0），得122A e-=，0B =，12C e-=，从而20AC B ->，0A >，所以(,)f x y 在（-1，0）取得极小值，极小值为12e--.(17)求幂级数22044321nn n n x n ∞=+++∑的收敛域及和函数.【考点】幂级数的收敛域、和函数【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： （i ）求幂级数nn n a x∞=∑收敛域的步骤：（1）求收敛半径：设1limn n na l a +→∞=，则1/,0,0,,,0l l R l l <<+∞⎧⎪==+∞⎨⎪+∞=⎩（2）讨论端点的敛散性：如果0R <<+∞，则需进一步讨论nn n a x∞=∑在x R =±处的敛散性；（3）写出幂级数的收敛域. （ii ）和函数的性质：（1）和函数()S x 在(,)R R -内可导，并且有逐项求导公式：10()()nn n n n n S x a x na x ∞∞-==''==∑∑；（2）在幂级数的收敛域上逐项积分公式成立，即10()1xxnn n n n n a S t dt a t dt x n ∞∞+====+∑∑⎰⎰.本题中，直接用求收敛半径的公式，先求2124(1)4(1)3212(1)1lim lim lim 4432(1)121n n n n nn n a n n l n n a n n +→∞→∞→∞+++++++===+++++ 2222221111324(1)4()4(1)4(1)3lim 134344324n n n n n n n n n n n n n→∞+++++++++⋅=⋅=+++++ 于是收敛半径1R =当1x =时，原级数=2044321n n n n ∞=+++∑，第n 项的极限即2443lim 021n n n n →∞++=∞≠+，所以当1x =时，原级数发散；同理可证，1x =-时，原级数也是发散的. 因此，原级数的收敛域为(1,1)-.和函数22222000044322()[(21)](21)212121n n nn n n n n n n S x x n x n x x n n n ∞∞∞∞====++==++=+++++∑∑∑∑(1)x <令210()(21)nn S x n x ∞==+∑，2202()21nn S x x n ∞==+∑， 因为22112()(21)1xxnn n n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰(1)x <， 所以212221()()1(1)x x S x x x +'==--(1)x <. 因为21202()21n n xS x x n ∞+==+∑，所以2222002[()]221nn n n xS x x x x ∞∞=='===-∑∑(1)x < 所以2220002111()[()]()ln 1111xxx xxS x tS t dt dt dt t t t x +'===+=-+--⎰⎰⎰(1)x <当0x ≠时，211()ln1xS x x x+=-； 当0x =时，1(0)1S =，2(0)2S =.所以212223,0,()()()111ln ,1,0(1)1x S x S x S x x xx x x x x =⎧⎪=+=++⎨+<≠⎪--⎩(18)已知曲线(),:(0),cos 2x f t L t y tπ=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且(0)0f =，()0f t '>(0)2t π<<.若曲线L 的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求以曲线L 及x 轴和y 轴为边界的区域的面积. 【考点】导数的几何意义、定积分的应用 【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：（i ）曲线()y f x =在点00(,)M x y 处的切线方程为000()()y y f x x x '-=-.（ii ）由曲线()y f x =(()0)f x ≥及直线x a =，()x b a b =<与x 轴所围成的曲边梯形的面积A 是定积分()baA f x dx =⎰.（Ⅰ）求()f t . 当02t π≤<时，曲线L 在切点((),cos )A f t t 处的切线斜率为/sin /()dy dy dt tdx dx dt f t -=='， 切线方程为sin cos [()]()ty t x f t f t =--' 令0y =得切线与x 轴的交点B 的x 坐标为cos ()()sin tf t x f t t'=+于是B 点坐标为cos ()((),0)sin tf t f t t'+，切点A 的坐标为((),cos )f t t依题设，A 与B1=， 化简得2sin ()cos tf t t'=，积分得22200sin sin 11()(0)sin cos 1sin tt xx f t f dx d x x x-+=+=-⎰⎰0111sin ()sin 21sin 1sin t t d x x x=-+++-⎰2211sin 1(1sin )sin ln sin ln 21sin 2cos t t t t t t++=-+=-+- sin ln sec tan t t t =-++（Ⅱ）求无界区域的面积S曲线(),:(0)cos 2x f t L t y tπ=⎧≤<⎨=⎩可表为()(0)y g x x =≤<+∞，当02t π→-时x →+∞当()x f t =时()cos g x t =，于是20()()cos ()S g x dxx f t tdf t π+∞==⎰⎰2222200sin cos ()cos sin cos 4t t f t dt t dt tdt t ππππ'=⋅=⋅==⎰⎰⎰(19)已知L 是第一象限中从点(0,0)沿圆周22+2x y x =到点(2,0)，再沿圆周22+4x y =到点(0,2)的曲线段，计算曲线积分233d (2)d LJ x y x x x y y =++-⎰【考点】格林公式【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 格林公式：()LDQ Pdxdy Pdx Qdy x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰在本题中，记LJ Pdx Qdy =+⎰1）22(31)31Q P x x x y∂∂-=+-=∂∂； 2）曲线L 不封闭，添加辅助线1:L 沿y 轴由点(0,2)B 到点(0,0)O .122(0,)224LL Pdx Qdy Q y dy ydy ydy +==-==⎰⎰⎰⎰；3）在1L 与L 围成的区域D 上用格林公式（边界取正向，即逆时针方向）：1()1L L DDQ PPdx Qdy d d x y σσ+∂∂+=-=∂∂⎰⎰⎰⎰⎰221121422πππ=⋅-⋅=，因此42LJ Pdx Qdy π=+=-⎰(20)设10010101,00100010a a A a aβ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥- ⎪⎢⎥== ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭（I ）计算行列式A ；（II ）当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.【考点】行列式按行（列）展开定理；非齐次线性方程组有解的充分必要条件 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：（i ）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122(1,2,,)i i i i in in D a A a A a A i n =+++=，或1122(1,2,,)j j j j nj nj D a A a A a A j n =+++=.（ii ）设A 是m n ⨯矩阵，方程组Ax b =，则方程组有无穷多解()()r A r A n ⇔=< （I ）按第一列展开，即得4141000101(1)10100101a a A a a a a a+=⋅+-=-（II ）因为0A =时，方程组Ax β=有可能有无穷多解.由（I ）知1a =或1a =- 当1a =时，11001110010110101101()00110001101001000002A β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 由于()3r A =，()4r A =，故方程组无解.因此，当1a =时不合题意，应舍去. 当1a =-时，11001100100110101011()00110001101001000000A β⎡-⎤⎡-⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 由于()()3r A r A ==，故方程组Ax β=有无穷多解.选3x 为自由变量，得方程组通解为：(0,1,0,0)(1,1,1,1)T T k -+（k 为任意常数）.(21)已知1010111001A a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，二次型123(,,)()T T f x x x x A A x =的秩为2（I ）求实数a 的值；（II ）求正交变换x Qy =将f 化为标准形.【考点】二次型的秩；实对称矩阵的特征值和特征向量；用正交变换化二次型为标准形 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：（i ）实对称矩阵的特性：不同特征值的特征向量互相正交. （ii ）任给二次型,1()nij ijijji i j f a x x aa ===∑，总有正交变换x Py =，使f 化为标准形2221122n nf y y y λλλ=+++，其中12,,,n λλλ是f 的矩阵()ij A a =的特征值.（I ）二次型()T T x A A x 的秩为2，即()2Tr A A = 因为()()Tr A A r A =，故()2r A =.对A 作初等变换有1011010110111000101000A a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦， 所以1a =-.（II ）当1a =-时，202022224TA A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.由202022(2)(6)224T E A A λλλλλλλ---=--=-----，可知矩阵T A A 的特征值为0，2，6.对0λ=，由(0)0T E A A x -=得基础解系T），（1-,11， 对2λ=，由(2)0TE A A x -=得基础解系T），（0,11-， 对6λ=，由(6)0TE A A x -=得基础解系(1,1,2)T. 实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故只需单位化.T ），（1-,11311=γ，T ），（0,11212-=γ，.T），（2,11613=γ 于是得到正交矩阵62-031-612131612131=Q 在正交变换y xQ =下，二次型的标准形为232262y y f +=.（22）设二维离散型随机变量(,)X Y 的概率分布为（Ⅰ）求{}2P X Y =； （Ⅱ）求Cov(,)X Y Y -.【考点】随机变量的数学期望、方差；协方差及其性质 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： （i ）22()DX EX EX =-；（ii ）(,)()Cov X Y E XY EX EY =-⋅,(,)Cov X X DX =,1212(,)(,)(,)Cov X X Y Cov X Y Cov X Y +=+.（Ⅰ）由随机变量(,)X Y 的概率分布可知，{}{}{}1120,02,1044P X Y P X Y P X Y ====+===+= （Ⅱ）由条件知12111236X⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，012111333Y ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，01471112312XY ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，从而11120122363EX =⋅+⋅+⋅=， 1110121333EY =⋅+⋅+⋅=，222211150123333EY =⋅+⋅+⋅=，7112()014123123E XY =⋅+⋅+⋅=又2252()133DY EY EY =-=-=，于是(,)(,)(,)()Cov X Y Y Cov X Y Cov Y Y E XY EX EY DY -=-=-⋅-222213333=-⋅-=-. (23)设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布2(,)N μσ与2(,2)N μσ，其中σ是未知参数且0σ>.设.Z X Y =-（Ⅰ）求Z 的概率密度2(,);f z σ （Ⅱ）设12,,,n z z z 为来自总体Z 的简单随机样本，求2σ的最大似然估计量2σ（Ⅲ）证明2σ为2σ的无偏估计量【考点】常见随机变量的分布；最大似然估计法；估计量的评选标准 【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： （i ）正态分布202()2()x f x μσ--=，x -∞<<+∞（ii ）似然函数 121()(,,,;)(;)nn i i L L x x x p x θθθ===∏，对数似然方程l n ()0dL d θθ= （iii ）若估计量12ˆˆ(,,,)n X X X θθ=的数学期望ˆ()E θ存在，且对于任意θ∈Θ有ˆ()E θθ=，则称ˆθ是未知参数θ的无偏估计量. （Ⅰ）由条件知Z 服从正态分布，且()0EZ E X Y EX EY =-=-=，2()3DZ D X Y DX DY σ=-=+=，即2(0,3)ZN σ，从而Z 的概率密度为2222(0)2236(;)z z f z σσσ---⋅==，z -∞<<+∞.（Ⅱ）由条件知似然函数为22122226611()(;)ni i i z z nni i i L f z σσσσ=--==∑===∏，i z -∞<<+∞，1,2,,i n =，222211ln ()ln 6ln 226nii n n L zσπσσ==---∑，令222241ln()110()26nii d n z d σσσσ==-⋅+=∑，解得22113n i i z n σ==∑.21 于是2σ的最大似然估计量为2211ˆ3n i i Z n σ==∑. （Ⅲ）由于222211111ˆ()()333n n i i i i E E Z E Z nEZ n n n σ=====⋅∑∑ 22211[()](30)33DZ EZ σσ=+=+=， 从而可知，2ˆσ为2σ的无偏估计量.。
2012年考研数学一真题
c1
c2
c3
c4
意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）
（A）α1, α2, α3 （B）α1, α2, α 4（C）α1, α3, α4 （D）α2, α3, α4
解析：C
0
3
4
0
,
c3 c4
3 4 与1 成比例.
1 与3 +4 线性相关,1，3，4 线性相关，选 C
（D）若
f
(x,
y) 在（0，0）处可微，则极限 lim x0
f (x, y) x2 y2
存在
x0
解析：(B)
lim
x0
f (x, y) x2 y2
k
y0
f (0,0) 0
z f (x, y) f (0,0) 0 x 0 y ()
f (x, y) 在(0,0)处可微.
（4）设 Ik
1，选项 D
二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）若函数 f(x)满足方程 f (x) f (x) 2 f (x) 0 及 f (x) f (x) 2ex ，则
f(x)=_________.
解析： 2 2 0 1 2, 2 1
）
f (x, y)
（A）若极限 lim
存在，则 f (x, y) 在（0，0）处可微
x0 x y
y0
（B）若极限 lim x0
f (x, y) x2 y2
存在，则
f
(x,
y) 在（0，0）处可微
x0
（C）若
f (x, y) 在（0，0）处可微，则极限 lim
f
(x, y)
存在