2012考研数学一真题及解析

2012考研数学一真题及解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1） 【答案】：C【解析】：221lim1x x xx →+=∞-，所以1x =为垂直的 22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平的，没有斜渐近线 故两条选C（2） 【答案】：C 【解析】：'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+---所以'(0)f =1(1)!n n -- （3） 【答案】：【解析】：由于(,)f x y 在()0,0处连续，可知如果22(,)limx y f x y x y →→+存在，则必有0(0,0)lim (,)0x y f f x y →→== 这样，220(,)limx y f x y x y →→+就可以写成2200(,)(0,0)lim x y f x y f x y ∆→∆→∆∆-∆+∆，也即极限220(,)(0,0)limx y f x y f x y ∆→∆→∆∆-∆+∆存在，可知lim 0x y ∆→∆→=，也即(,)(0,0)00f x y f x y o∆∆-=∆+∆+。

由可微的定义可知(,)f x y 在(0,0)处可微。

（4） 【答案】：(D) 【解析】：2sin kx k eI e xdx =⎰看为以k 为自变量的函数，则可知()2'sin 0,0,k k I e k k π=≥∈，即可知2sin kx k eI e xdx =⎰关于k 在()0,π上为单调增函数，又由于()1,2,30,π∈，则123I I I <<，故选D（5）【答案】：（C ）【解析】：由于()13411341111,,011011c c c c ααα--=-==-，可知134,,ααα线性相关。

故选（C ）（6）【答案】：（B ）【解析】：100110001Q P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则11100110001Q P --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭， 故11100100100110011101101101110100100100120012Q AQ P AP --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选（B ）。

（7）【答案】：（A ）【解析】：(),X Y 的联合概率密度为4,0,0(,)x y e x y f x y --⎧>>=⎨⎩0，其它则{}450001(,)5yx yyx yP X Y f x y dxdy dx edx edy +∞+∞---<<====⎰⎰⎰⎰⎰（8）【答案】：()D【解析】：设两段长度分别为,x y ，显然1,x y +=即1y x =-+，故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为-1二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9） 【答案】：x e【解析】：特征方程为022=-+r r ，特征根为2,121-==r r ，齐次微分方程()()2()0f x f x f x '''+-=的通解为x x e C e C x f 221)(-+=.再由'()()2x f x f x e +=得21222x x x C e C e e --=，可知121,0C C ==。

故()x f x e = （10） 【答案】：2π【解析】：令1t x =-得21101(2t π--=+==⎰⎰⎰（11）【答案】：{}1,1,1 【解析】：{}2(2,1,1)(2,1,1)1grad ,,1,1,1z z xy y x yy y ⎛⎫⎧⎫+=-=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭（12【解析】：由曲面积分的计算公式可知22DDy ds y y dxdy ∑==⎰⎰⎰⎰，其中{}(,)|0,0,1D x y x y x y =≥≥+≤。

故原式1112200(1)12ydy y dx y y dy -=-=⎰（13） 【答案】：2【解析】：矩阵T xx 的特征值为0,0,1，故T E xx -的特征值为1,1,0。

又由于为实对称矩阵，是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，也即()2T r E xx -=。

（14） 【答案】：34【解析】：由条件概率的定义，()()()P ABC P AB C P C =，其中()()121133P C P C =-=-=，()()()()12P ABC P AB P ABC P ABC =-=-，由于,A C 互不相容，即AC φ=，()0P AC =，又ABC AC ⊂，得()0P ABC =，代入得()12P ABC =，故()34P AB C =. 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）【解析】：令()21ln cos 112x x f x x x x +=+---，可得()()'2222112lnsin 11112lnsin 1111ln sin 11x x f x x x x x x x x xx x x x x x x xx x ++=+-----+=+----++=+---当01x <<时，有1ln 01xx +≥-，22111x x +>-，所以221sin 01x x x x +-≥-， 故()'0f x ≥，而()00f =，即得21ln cos 1012x x x x x ++--≥- 所以21ln cos 112x x x x x ++≥+-。

当10x -<<，有1ln 01xx +≤-，22111x x +>-，所以221sin 01x x x x +-≤-， 故()'0f x ≥，即得21ln cos 1012x x x x x ++--≥- 可知，21ln cos 1,1112x x x x x x ++≥+-<<- （16）【解析】：()22,2x y f x y xe +=-，先求函数的驻点. ()(),0,,0x y f x y e x f x y y ''=-==-=，解得函数为驻点为(),0e .又()()(),01,,00,,01xx xy yy A f e B f e C f e '''==-====-， 所以20,0B AC A -<<，故(),f x y 在点(),0e 处取得极大值()21,02f e e =.（17）【解析】：()()()22114432141413211limlim lim n n n n n n n n n a an R a a n n n →∞→∞→∞+++++===++++++ ()()()2221144312141413limn n n n n n n →∞++++=⋅=+++++ 220443()21nn n n S x x n ∞=++=+∑22002202443()2144312144321121lim xxnn nn n n n S t dt x dxn n n x x n n n n n ∞=∞=→∞++=+++=++++=∞+∑⎰⎰∑时发散()2204431121nn n n x n ∞=++=--+∑时收敛()2201,14431()21n n x n n S x x n x ∞=∴∈-++=⋅+∑为函数的收敛域。

和函数为（18）【解析】：（1）曲线L 在任一处),(y x 的切线斜率为)(sin t f tdx dy '-=，过该点),(y x 处的切线为())()(sin cos t f X t f tt Y -'-=-，令0=Y 得)(cos )(t f t t f X +'=.由于曲线L 与x 轴和y 轴的交点到切点的距离恒为1.故有[]1cos )()(cot )(22=+-+'t t f t f t t f ，又因为)20(0)(π<<>'t t f所以ttt f cot sin )(='，两边同时取不定积分可得C t t t t f +-+=sin tan sec ln )(，又由于0)0(=f ，所以0=C .故函数t t t t f sin tan sec ln )(-+=.（2）此曲线L 与x 轴和y 轴的所围成的无边界的区域的面积为：20cos ()4S t f t dt ππ'=⋅=⎰.（19）【解析】：设圆222x y x +=为圆1C ,圆224x y +=为圆2C ，下补线利用格林公式即可，设所补直线1L 为0(02)x y =≤≤,下用格林格林公式得：原式 1123233(2)3(2)L L L x ydx x x y dy x ydx x x y dy +=++--++-⎰⎰222(313)2Dx x dxdy ydy =+---⎰⎰⎰211144422C C S S π=-+=- （20）【解析】：（Ⅰ）4141001000010101(1)10100100101001a a a a a a a a a aa +=⨯+⨯-=-（Ⅱ）232421001100110010101010101010010001000100100010011001010100100001a aa a a a a aaaa a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪-⎪→ ⎪ ⎪---⎝⎭可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有410a -=及20a a --=，可知1a =-。

此时，原线性方程组增广矩阵为11001011010011000000-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，进一步化为行最简形得10010010110011000000-⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪- ⎪⎝⎭可知导出组的基础解系为1111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，非齐次方程的特解为0100⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，故其通解为10111010k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线性方程组Ax b =存在2个不同的解，有||0A =.即：211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=，得1λ=或-1.当1λ=时, 12311100001111x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然不符，故1λ=-. （21）【解析】：1）由()()2T r A A r A ==可得，1011110110a a a=+=⇒=--2）()1123232221231223202,,022********T T x f x A Ax x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=++++则矩阵202022224B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()()202022260224E B λλλλλλλ---=--=--=---解得B 矩阵的特征值为：1230;2;6λλλ===对于()110,0E B X λλ=-=解得对应的特征向量为：1111η⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 对于()222,0E B X λλ=-=解得对应的特征向量为：2110η⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭对于()336,0E B X λλ=-=解得对应的特征向量为：3112η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭将123,,ηηη单位化可得：1111α⎛⎫⎪=⎪⎪-⎭，2110α⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，3112α⎛⎫⎪=⎪⎪⎭()123,,Q ααα=（22） 【解析】：（1）()()()20,02,1044P X Y P X Y P X Y ====+===+= （2）()()()cov ,cov ,cov ,X Y Y X Y Y Y -=-()cov ,X Y EXY EXEY =-，其中()22222545,1,1,,13399EX EX EY EY DX EX EX =====-=-=()2252133DY EY EY =-=-=,23EXY =所以，()cov ,0X Y =，()2cov ,3Y Y DY ==，()2cov ,3X Y Y -=-,0XY ρ=. （23）【解析】：（1）因为22~(,),~(,2)X N Y N μσμσ，且X 与Y 相互独立，故2~(0,5)Z X Y N σ=-，所以，Z 的概率密度为22210(,),()z f z z σσ-=-∞<<+∞（2）似然函数()()()()2222111110102222221221()(,)1010nni i i i n nz z n i n n i L f z eeσσσσπσπσ==----=∑∑===∏()()222211ln ()ln 10ln 2210ni i n n L zσπσσ==---∑()2222221ln ()10210ni i d L n zd σσσσ==-+=∑解得最大似然估计值为2211ˆ5n i i z n σ==∑，最大似然估计量为2211ˆ5n i i Z n σ==∑ （3）()()22222211111111ˆ55555n n n n i i i i i i i i E E Z EZ EZ DZ n n n n σσσ====⎛⎫⎡⎤===+== ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑∑∑ 故2ˆσ为2σ的无偏估计量。