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第7讲 共线问题(解析版)-2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义

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高考数学最新真题专题解析—圆锥曲线综合(新高考卷)

高考数学最新真题专题解析—圆锥曲线综合(新高考卷)

高考数学最新真题专题解析—圆锥曲线综合（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2−y2a2−1=1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．(1)求l的斜率;(2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积．【答案】解：(1)将点A代入双曲线方程得4a2−1a2−1=1，化简得a4−4a2+4=0得：a2=2，故双曲线方程为x22−y2=1;由题显然直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则联立直线与双曲线得：(2k2−1)x2+4kmx+2m2+2=0，△>0，故x1+x2=−4km2k2−1，x1x2=2m2+22k2−1，k AP+k AQ=y1−1x1−2+y2−1x2−2=kx1+m−1x1−2+kx2+m−1x2−2=0，化简得：2kx1x2+(m−1−2k)(x1+x2)−4(m−1)=0，故2k(2m2+2)2k2−1+(m−1−2k)(−4km2k2−1)−4(m−1)=0，即(k+1)(m+2k−1)=0，而直线l不过A点，故k=−1．(2)设直线AP的倾斜角为α，由tan∠PAQ=2√2，得tan∠PAQ2=√22，由2α+∠PAQ=π，得k AP=tanα=√2，即y1−1x1−2=√2，联立y 1−1x1−2=√2，及x 122−y 12=1得x 1=10−4√23，y 1=4√2−53， 同理，x 2=10+4√23，y 2=−4√2−53， 故x 1+x 2=203，x 1x 2=689而|AP|=√3|x 1−2|，|AQ|=√3|x 2−2|， 由tan∠PAQ =2√2，得sin∠PAQ =2√23， 故S △PAQ =12|AP||AQ|sin∠PAQ =√2|x 1x 2−2(x 1+x 2)+4|=16√29． 【母题来源】2022年新高考II 卷【母题题文】.设双曲线C:x 2a 2−y2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y =±√3x. (1)求C 的方程;(2)经过F 的直线与C 的渐近线分别交于A ，B 两点，点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)在C 上，且x 1>x 2>0，y 1>0.过P 且斜率为−√3的直线与过Q 且斜率为√3的直线交于点M ，从下面三个条件 ① ② ③中选择两个条件，证明另一个条件成立： ①M 在AB 上; ②PQ//AB; ③|AM|=|BM|．【答案】解：(1)由题意可得ba =√3，√a 2+b 2=2，故a =1，b =√3． 因此C 的方程为x 2−y 23=1．(2)设直线PQ 的方程为y =kx +m(k ≠0)，将直线PQ 的方程代入C 的方程得(3−k 2)x 2−2kmx −m 2−3=0， 则x 1+x 2=2km3−k 2，x 1x 2=−m 2+33−k 2，x 1−x 2=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√3(m 2+3−k 2)3−k 2．不段点M 的坐标为(x M ,y M )，则{y M −y 1=−√3(x M −x 1)y M −y 2=√3(x M −x 2)．两式相减，得y 1−y 2=2√3x M −√3(x 1+x 2)，而y 1−y 2=(kx 1+m)−(kx 2+m)=k(x 1−x 2)，故2√3x M =k(x 1−x 2)+√3(x 1+x 2)，解得x M =k√m 2+3−k 2+km3−k 2．两式相加，得2y M −(y 1+y 2)=√3(x 1−x 2)，而y 1+y 2=(kx 1+m)+(kx 2+m)=k(x 1+x 2)+2m ，故2y M =k(x 1+x 2)+√3(x 1−x 2)+2m ，解得y M =3√m 2+3−k 2+3m3−k 2=3k x M ⋅因此，点M 的轨迹为直线y =3k x ，其中k 为直线PQ 的斜率． 若选择 ① ②:设直线AB 的方程为y =k(x −2)，并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =k(x A −2)y A =√3x A，解得x A =k−√3，y A =√3kk−√3．同理可得x B =k+√3，y B =√3kk+√3．此时x A +x B =4k 2k 2−3，y A +y B =12kk 2−3．而点M 的坐标满足{y M =k(x M −2)y M =3k x M ， 解得x M =2k 2k 2−3=x A +x B2，y M =6kk 2−3=y A +y B2，故M 为AB 的中点，即|MA|=|MB|． 若选择 ① ③:当直线AB 的斜率不存在时，点M 即为点F(2,0)，此时M 不在直线y =3k x 上，矛盾．故直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y =p(x −2)(p ≠0)， 并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =p(x A −2)y A =√3x A，解得x A =p−√3，y A =√3pp−√3．同理可得x B =p+√3，y B =−√3pp+√3．此时x M =x A +x B2=2p 2p 2−3，y M =y A +y B2=6pp 2−3．由于点M 同时在直线y =3k x 上，故6p =3k ·2p 2，解得k =p.因此PQ//AB ． 若选择 ② ③:设直线AB 的方程为y =k(x −2)，并设A 的坐标为(x A ,y A )，B 的坐标为(x B ,y B ). 则{y A =k(x A −2)y A =√3x A解得x A =k−√3，y A =√3kk−√3．同理可得x B =k+√3，y B =√3kk+√3，设AB 的中点为C(x C ,y C )，则x C =x A +x B2=2k 2k 2−3，y C =y A +y B2=6kk 2−3．由于|MA|=|MB|，故M 在AB 的垂直平分线上，即点M 在直线y −y C =−1k (x −x C )上．将该直线与y =3k x 联立，解得x M =2k 2k 2−3=x C ，y M =6kk 2−3=y C ，即点M 恰为AB 中点，故点而在直线AB 上． 【命题意图】本题考查双曲线的标准方程和几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查开放探究能力，属于压轴题．主要考查直线与双曲线的位置关系及双曲线中面积问题，属于难题【命题方向】圆锥曲线综合大题是属于高考历年的压轴题之一，难度较大，对学生的综合要求较高。

第7讲 共线问题(解析版)

第7讲 共线问题(解析版)

第7讲 共线问题1．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率22e =，椭圆上的点到焦点的最短距离为212-, 直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且. （1）求椭圆方程；（2）求m 的取值范围．【答案】（1）y 2212x +=1．（2）（﹣1，12-）∪（12，1）．【详解】 （1）由条件知a ﹣c ＝1，c a =， ∴a ＝1，b ＝c 2=，故C 的方程为：y 2212x +=1． （2）设l ：y ＝kx +m 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）联立得（k 2+2）x 2+2kmx +（m 2﹣1）＝0△＝（2km ）2﹣4（k 2+2）（m 2﹣1）＝4（k 2﹣2m 2+2）＞0 （*）x 1+x 2222km k =-+，x 1x 22212m k -=+ ∵AP =3PB ， ∴﹣x 1＝3x 2∴x 1+x 2＝﹣2x 2，x 1x 2＝﹣3x 22，消去x 2，得3（x 1+x 2）2+4x 1x 2＝0，∴3（222km k -+）2+42212m k -⨯=+0整理得4k 2m 2+2m 2﹣k 2﹣2＝0 m 214=时，上式不成立； m 214≠时，k 2222241m m -=-， 因λ＝3，∴k ≠0，∴k 2222241m m -=-＞0， ∴﹣1＜m 12-＜或12＜m ＜1 容易验证k 2＞2m 2﹣2成立，所以（*）成立即所求m 的取值范围为（﹣1，12-）∪（12，1）．2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A C 相交于A ，B ，且AB OB ⊥，O 坐标原点.（1）求椭圆的离心率e ；（2）若1b =，过点F 作与直线AB 平行的直线l ，l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点.（ⅰ）求OP OQ k k ⋅的值；（ⅰ）点M 满足2OM OP =，直线MQ 与椭圆的另一个交点为N ，求NM NQ 的值.【答案】（1；（2）（ⅰ）15-；（ⅰ）38. 【分析】（1）由几何关系可得B 点坐标，代入椭圆方程即得a =，又222,c a b c e a=+=即得； （2）（ⅰ）将直线PQ 与椭圆联立即得1212OP OQ y y k k x x ⋅=结果； （ⅰ）,(01)NM NM NQ NQλλλ==<<将其坐标化，利用P ，Q ，N 在椭圆上求得结果即可． 【详解】（1）已知||,||,26a OA a OB BAF π==∠=，则4a B ⎛- ⎝⎭，代入椭圆C 的方程：2222311616a a a b +=，∴225,a a b==，∴2c b ==，∴c e a ==．（2）（ⅰ）由（1）可得1,b a ==22:15x C y +=设直线l ：()()()1122332,,,,,,x P x y Q x y N x y =+∵2OM OP =，∴11,22x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭联立直线l 与椭圆C的方程：22255x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩2810,0y +-=∆>恒成立121218y y y y +==-∴))12121212522348x x y y y y =++=+++= ∴121215OP OQ y y k k x x ⋅==-． （ⅰ）设,(01)NM NM NQ NQλλλ==<< ()11332323,,,22x y NM x y NQ x x y y ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭()()1323132322x x x x y y y y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ ∴12312322(1)22(1)x x x y y y λλλλ-=-⎧⎨-=-⎩()()312312122(1)122(1)x x x y y y λλλλ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩∵P ，Q ，N 在椭圆上，∴22222211223355,55,55x y x y x y +=+=+=()()2212122222554(1)4(1)x x y y λλλλ--+=-- ∴()()222222112212125454520(1)x y x y x x y y λλλ+++-+=-由（ⅰ）可知121250x x y y +=，∴22144(1)λλ+=-， ∴38λ=∴38NM NQ =．3．已知曲线()()()22:528C m x m y m R -+-=∈.（1）若曲线C 表示双曲线，求m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的范围；（3）设4m =，曲线C 与y 轴交点为A ，B （A 在B 上方），4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ，N ，1y =与BM 交于G ，求证：A ，G ，N 三点共线.【答案】（1）()(),25,-∞+∞；（2）()3.5,5；（3）见解析 【分析】（1）若曲线C 表示双曲线，则：()()520m m --<，解得m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则250m m ->->，解得m 的取值范围；（3）联立直线与椭圆方程结合()23223k =-，解得k ，设(),4N N N x kx +，(),4M M M x kx +，()1G G x ，，求出MB 的方程，可得316M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，从而可得3 16M M x AG kx ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，，() ,2N N AN x kx =+，欲证A ，G ，N 三点共线，只需证 AG ，AN 共线，利用韦达定理，可以证明．【详解】（1）若曲线C 表示双曲线，则：()()520m m --<，解得：()()25m ∈-∞⋃+∞，，. （2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则：250m m ->->， 解得：7,52m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）当4m =，曲线C 可化为：2228x y +=，当0x =时，2y =±，故A 点坐标为：()02，，()02B -，， 将直线4y kx =+代入椭圆方程2228x y +=得：()222116240k x kx +++=， 若4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ，N ，则()232230k =->，解得232k >，由韦达定理得：21621m n k x x k +=-+ ①， 22421m n x x k ⋅=+ ② 设(),4N N N x kx +，(),4M M M x kx +，()1G G x ，， MB 方程为：62M M kx y x x +=-，则316M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，， ∴3 16M M x AG kx ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，，() ,2N N AN x kx =+， 欲证A ，G ，N 三点共线，只需证 AG ，AN 共线， 即()326M N N M x kx x kx +=-+， 将①②代入可得等式成立，则A ，G ，N 三点共线得证．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解，属于中档题.4．已知圆O 的方程为224x y +=，圆O 与y 轴的交点为A ，B (点A 在点B 的上方)，直线:1l y kx =+与圆O 相交于M ，N 两点（1）当k =1时，求弦长MN ；（2）若直线y =4与直线BM 交于点D ，求证：D 、A 、N 三点共线.【答案】（1（2）证明见解析；【分析】（1）先求出圆心到直线的距离d，再由MN =代入计算即可；（2）联立2241x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，借用韦达定理表示出,DA AN →→，证明//DA AN →→，即可证明D 、A 、N 三点共线.【详解】（1）∵1k =，∴直线l 的方程为10x y -+=.圆心到直线的距离2d ==，∴MN === （2）由题可得()0,2A ，()0,2B -，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立2241x y y kx ⎧+=⎨=+⎩ 得：()221230k x kx ++-=，12221k x x k +=-+，12231x x k-=+， 112:2BM y l y x x ++=，令4y =， 得1162x x y =+，∴116,42x D y ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， 116,22x DA y →⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，()22,2AN x y →=-，∵()12121212211162612242222x y x y x x y x x y y y ---+++=++++ 1221121621242x y x y x x y -+++=+ ()()122112*********x kx x kx x x y -+++++=+ 12112212166221242kx x x kx x x x x y --++++=+ ()221212113246461122k k kx x x x k k y y --⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭==++ 22112121102k k k k y -++==+，//DA AN →→∴，∴D 、A 、N 三点共线.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，圆的弦长的求解，韦达定理的应用，考查了学生的运算求解能力.5．已知椭圆C ： 2212x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ， O 为原点， M ， N 是y 轴上的两个动点，且MF NF ⊥，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ， D 两点．（ⅰ）求MFN ∆的面积的最小值；（ⅰ）证明： E ， O ， D 三点共线.【答案】（1）1；（2）详见解析。

2021年高考理数：圆锥曲线

2021年高考理数：圆锥曲线

核心考点解读——圆锥曲线椭圆（II ） 双曲线（I ） 抛物线（II ） 直线与圆锥曲线（II ）1.从考查题型来看，涉及本知识点的选择题、填空题常结合圆锥曲线的定义及其简单几何性质，利用直线与圆锥曲线的位置关系，通过建立代数方程求解.解答题中则常综合考查椭圆的定义、标准方程、直线与椭圆的位置关系等.2.从考查内容来看，主要考查圆锥曲线的方程，以及根据方程及其相应图形考查简单几何性质，重点是椭圆及抛物线的简单几何性质的综合应用，注重运算求解能力的考查.3.从考查热点来看，直线与圆锥曲线的位置关系是高考命题的热点，利用直线与圆锥曲线的位置关系，通过直线方程与圆锥曲线方程的联立，结合椭圆、双曲线、抛物线的定义考查与之有关的问题，重点突出考查运算的能力，体现了数形结合的思想.1.椭圆(1)椭圆的定义：平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记做122F F c =.定义式：12122(2)PF PF a a F F +=>.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆. (2)椭圆的标准方程：焦点在x 轴上，22221(0)x y a b a b +=>>；焦点在y 轴上，22221(0)y x a b a b+=>>.说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：222,0,0a c b a b a c -=>>>>. (3)椭圆的图形及其简单几何性质 i)图形焦点在x 轴上 焦点在y 轴上ii)标准方程几何性质范围顶点焦点对称性离心率椭圆22221x y a b += (0)a b >>x a ≤ y b ≤ (,0)a ±，(0,)b ± (,0)c ± 对称轴：x轴，y 轴，对称中心：原点01e <<，ce a=22221y x a b+= (0)a b >>y a ≤ x b ≤ (0,)a ±，(,0)b ±(0,)c ±注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出a 与c ，然后利用ce a=计算求得离心率；或者根据已知条件建立关于,,a b c 的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围. 2.双曲线(1)定义：平面内，到两个定点12,F F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个定点之间的距离叫做双曲线的焦距，记做122F F c =.定义式：12122(02)PF PF a a F F -=<<. 要注意，常数小于两定点之间的距离. (2)双曲线的标准方程：焦点在x 轴上，22221(0,0)x y a b a b -=>>；焦点在y 轴上，22221(0,0)y x a b a b-=>>.说明：要注意根据焦点的位置选择双曲线的标准方程，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：222,0,0c a b c a c b -=>>>>. (3)双曲线的图形及其简单几何性质 i)图形焦点在x 轴上 焦点在y 轴上ii)标准方程22221x y a b -=(0,0)a b >> 22221y x a b-=(0,0)a b >> 范围 x a ≥，y ∈R y a ≥，x ∈R顶点 (,0)a ± (0,)a ±焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线by x a=±a y x b=±对称性 对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点离心率ce a=，1e > 注意：求双曲线的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择双曲线的标准方程；也可以利用双曲线的定义及焦点位置或点的坐标确定双曲线的标准方程.求双曲线的离心率主要的方法有：根据条件分别求出a 与c ，然后利用ce a=计算求得离心率；或者根据已知条件建立关于,,a b c 的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围.渐近线是双曲线特有的特征，双曲线的渐近线方程可以根据双曲线的标准方程求解，令双曲线标准方程中的10=，得到渐近线方程为22220x y a b -=或22220y x a b-=.3.抛物线(1)定义：平面内与一个定点F 和一条定直线(l l 不经过点)F 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 定义式：PF d =，d 为动点P 到准线的距离. (2)抛物线的标准方程焦点在x 轴的正半轴上：22(0)y px p =>； 焦点在x 轴的负半轴上：22(0)y px p =->； 焦点在y 轴的正半轴上：22(0)x py p =>； 焦点在y 轴的负半轴上：22(0)x py p =->. (3)抛物线的图形及其简单几何性质 标准 方程22y px = (0)p >22y px =- (0)p >22x py = (0)p >22x py =-(0)p >图形焦点 )0,2(p F )0,2(p F -)2,0(p F )2,0(p F -准线方程 2p x -= 2p x = 2p y -= 2p y =范围 0,x y ≥∈R0,x y ≤∈R ,0x y ∈≥R,0x y ∈≤R对称轴 x 轴y 轴顶点 (0,0)离心率 1e =焦半径12x pPF +=12x pPF +=12y pPF +=12y pPF +=(4)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，抛物线的通径长为2p ；抛物线焦点弦的常用结论：设AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的弦，若1122(,),(,)A x y B x y ，则2124p x x =，212y y p =-，弦长12AB x x p =++，112AF BF p+=等. 4.直线与圆锥曲线的位置关系(1)椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线，直线与圆锥曲线的位置关系可分为相交、相切、相离.位置关系的判定方式：将直线方程与圆锥曲线的方程联立，消元，得到关于()x y 或的方程，通过判别式∆进行判别.要注意，若直线与双曲线的渐近线平行，则直线与双曲线相交，且只有一个交点；若直线与抛物线的对称轴平行或重合，则直线与抛物线相交，且只有一个交点. (2)直线与圆锥曲线相交的弦长问题：弦长公式：221212()()AB x x y y =-+-2121221(1)(1)k x x y y k =+-=+-. (3)已知直线与圆锥曲线相交所得弦的中点，则该弦所在直线方程的表示方式： i)利用点斜式设出直线方程，联立方程，消元后根据根与系数的关系及中点坐标公式建立关于直线斜率的方程，求解方程即可.ii)利用点差法，设弦的端点的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，代入曲线方程，然后作差，利用两点坐标求斜率公式，得到斜率，再利用点斜式写出直线方程. (4)圆锥曲线中有关定点、定值的问题：一般可以根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件建立方程组（或不等式），消去参数，求出定值或定点的坐标；也可以先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行验证.(5)圆锥曲线中的最值、范围问题：一是根据题中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中∆的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；二是将要讨论的几何量，如长度、面积等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值.1．（2021高考新课标I ，理10）已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．102．（2021高考新课标I ，理15）已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为.3．（2021高考新课标I ，理20）已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–13，P 4（13）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.4.(2021高考新课标I ，理5)已知方程222213x y m n m n+=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是A ．(–1,3)B ．(–3C ．(0,3)D ．35.(2021高考新课标III ，理11)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．23D ．346.(2021高考新课标II ，理11)已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为 A 2B ．32C 3D ．27.(2021高考新课标I ，理10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=42|DE|=25C 的焦点到准线的距离为A ．2B ．4C ．6D ．88. (2021高考新课标I ，理5)已知M (00,x y )是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是A.(33B.(33) C.(2222)D.(2323) 9.(2021高考新课标III ，理20) 已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（II ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.10.（2021高考新课标I ，理20）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.1．椭圆的离心率为，为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与关于直线对称，则椭圆的方程为A ．B ．C ．或D ．或2．过双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点，且斜率为2的直线与E 的右支有两个不同的公共点，则双曲线离心率的取值范围是___________． 3．已知抛物线的焦点为.(1)若斜率为的直线过点与抛物线交于两点,求的值;(2)过点作直线与抛物线交于两点,且,求的取值范围.1．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 且斜率为(0)k k >的直线l 交抛物线于点,A B ，若AF FB λ=，且11,32λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则k 的取值范围是A ．(3B ．)3,2C ．(2,22D ．3,222．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点2F 关于直线b y x a =的对称点为M ，若点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的渐近线方程为_______________．3．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为12F F、，过点2F且垂直于x轴的直线截椭圆形成的弦长为2，且椭圆C的离心率为22，过点1F的直线l与椭圆C交于,M N两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点(2,0)R，且RM RNλ⋅≤，则当λ取得最小值时，求直线l的方程.真题回顾：1.A【解析】设11223344(,),(,),(,),(,)A x yB x y D x y E x y，直线1l的方程为1(1)y k x=-，联立方程214(1)y xy k x⎧=⎨=-⎩，得2222111240k x k x x k--+=，∴21122124kx xk--+=-212124kk+=，同理直线2l与抛物线的交点满足22342224kx xk++=，由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p+=++++=221222222212121224244416482816k kk k k k k k++++=++≥=，当且仅当121k k=-=（或1-）时，取等号.【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||sinpABα=，则2222||πcossin(+)2p pDEαα==，所以222221||||4(cos sin cosp pAB DEααα+=+=+222222222111sin cos)4()(cos sin)4(2)4(22)16 sin cos sin cos sinααααααααα=++=++≥⨯+=.2.233AP MN⊥，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则MN为双曲线的渐近线by xa=上的点，且(,0)A a，||||AM AN b==，而AP MN⊥，所以30PAN∠=，点(,0)A a 到直线by x a=的距离22||1AP b a =+，在Rt PAN △中，||cos ||PA PAN NA ∠=，代入计算得223a b =，即3a b =，由222c a b =+得2c b =， 所以233c e a b ===【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b ；③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc. 3.（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点.又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此22211,131,4b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y +=.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t 24t -，（t ，24t -.则221242421t t k k ---++==-，得2t =，不符合题设.从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=.由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km k -+，x 1x 2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m km k m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-. 当且仅当1m >-时，0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-）.4.A 【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2234m n m n ++-=，解得21m =，因为方程22113x y n n -=+-表示双曲线，所以1030n n +>⎧⎨->⎩，解得13n n >-⎧⎨<⎩，所以n 的取值范围是()1,3-．5.A 【解析】由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得||()FM k a c =-，||OE k a =.设OE 的中点为N ，则OBN FBM △∽△，则1||||2||||OE OB FM BF =，即2(c)k a a k a a c=-+，整理，得13c a =，所以椭圆C 的离心率13e =． 【名师点睛】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c的齐次等式，求得ca或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ． 6.A 【解析】因为1MF 垂直于x 轴，所以2212,2b b MF MF a a a==+，因为211sin 3MF F ∠=，所以2122132b MF ab MF a a==+，化简得b a =，故双曲线的离心率2212b e a =+=. 7.B 【解析】如图，设抛物线方程为22y px =，圆的半径为r ,,AB DE 交x 轴于,C F 点，则22AC =，即A 点纵坐标为22，则A 点横坐标为4p ，即4OC p=，由勾股定理知2222DF OF DO r +==，2222AC OC AO r +==，即22224(5)()(22)()2p p+=+，解得4p =，即C 的焦点到准线的距离为4.8.A 【解析】由题知12(3,0),(3,0)F F -，220012x y -=，所以12MF MF ⋅= 0000(3,)(3,)x y x y --⋅- =2220003310x y y +-=-<，解得033y <<【名师点睛】本题考查利用向量数量积的坐标形式将12MF MF ⋅表示为关于点M 坐标的函数，利用点M 在双曲线上，消去x 0，根据题意化为关于0y 的不等式，即可解出0y 的范围，是基础题，将12MF MF ⋅表示为0y 的函数是解本题的关键.9.由题设)0,21(F .设by l a y l ==:,:21，则≠ab ，且)2,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---.记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x .（I ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab .记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=.所以FQ AR ∥. （II ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则11112222ABF PQF a b S b a FD b a x S ∆-=-=--=||||||||||,△.由题设可得111222a b b a x ---=||||||，所以01=x （舍去），11=x .设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x y b a .而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合.所以，所求轨迹方程为12-=x y .10.（I ）因为||||AC AD =，AC EB //，故ADC ACD EBD ∠=∠=∠，所以||||ED EB =，故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ，从而4||=AD ，所以4||||=+EB EA .由题设得)0,1(-A ，)0,1(B ，2||=AB ，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：13422=+y x （0≠y ）. （II ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得1248)34(2222=-+-+k x k x k .则3482221+=+k k x x ，341242221+-=k k x x .所以34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN .过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m：)1(1--=x k y ，A 到m 的距离为122+k ，所以1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积341112||||212++==k PQ MN S .可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[. 当l 与x 轴垂直时，其方程为1=x ，3||=MN ，8||=PQ ，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.名校预测1．【答案】C 【解析】由题意知，得，不妨设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，椭圆上任取点，取焦点，则中点，根据条件可得，，联立两式解得，代入椭圆方程解得，，由此可得椭圆的方程为或.故选C ．2．【答案】()1,5【解析】由题意知02ba <<,故22222204,115bc b a a a<<<=+<,故15e <<.3．【解析】(1)依题意,.设,则直线.联立,消去y 得,则,则.由抛物线的定义可知,.(2)设直线的方程为与曲线的交点为,∴.将的方程代入抛物线的方程,化简得,.∵,∴.又∵,∴恒成立,∴恒成立.∵,∴只需即可,解得.∴所求的取值范围为.专家押题1．【答案】D 【解析】如图，延长BA 交准线l 于点C ，分别过点A B ，作1AA l ⊥于1A ，1BB l ⊥于1B ， 设直线AB 的倾斜角为θ，1FB BB m ==，1FA AA m λ==，则11,cosAAm ACACBC BBλθ==，即coscosmmm mm mλλθλλθ=++，12cos111λθλλ-==-++，则上式是关于λ的减函数，由1132λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得11cos32θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故tankθ=的取值范围是()322，，故选D.2．2y x=±【解析】如图，令1||MF m=，2||MF n=，由题可知2n m a-=①，12MF MF⊥，故n bm a=，即bmna=，将其代入①式，解得22amb a=-，所以2abnb a=-，在12Rt F MF△中，2224m n c+=，即422222444()()a a bcb a b a+=--，结合222a b c+=化简可得2ba=，所以双曲线C的渐近线方程为2y x=±．3. 【解析】（1）联立2222,1,x cx ya b=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2bya=±，故222ba=又2ca=，222a b c=+，解得2a=1b=，故椭圆C的标准方程为2212xy+=.（2）设11(,)M x y，22(,)N x y，故1122(2,)(2,)RM RN x y x y⋅=-⋅-.当直线l垂直于x轴时，121x x==-，12y y=-，且2112y=，此时211117(3,)(3,)92RM RN y y y⋅=-⋅--=-=.当直线l不垂直于x轴时，设直线:(1)l y k x=+，联立22(1),22,y k xx y=+⎧⎨+=⎩整理得2222(12)4220k x k x k+++-=，所以2122412kx xk-+=+，21222212kx xk-=+，故21212122()4(1)(1)RM RN x x x x k x x ⋅=-+++++22222222121222224(1)(2)()4(1)(2)41212k k k x x k x x k k k k k k-=++-+++=+--++++2221721713171222(12)2k k k +==-<++.综上所述，λ的最小值为172，此时直线l 的方程为1x =-.。

2021版新高考数学：圆锥曲线含答案

2021版新高考数学：圆锥曲线含答案
理由如下：
设M(x、y)、由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|、|AO|＝2.
由于 ⊥ 、【关键点5：圆的几何性质向量化】
故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2、化简得M的轨迹方程为y2＝4x.
因为曲线C：y2＝4x是以点P(1、0)为焦点、以直线x＝－1为准线的抛物线、所以|MP|＝x＋1.
因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1、所以存在满足条件的定点P.
由题设知 ＝1、 ＝m、于是k＝－ .①
由于点M(1、m)(m>0)在椭圆 ＋ ＝1内、
∴ ＋ <1、解得0<m< 、故k<－ .
(2)由题意得F(1、0).设P(x3、y3)、
则(x3－1、y3)＋(x1－1、y1)＋(x2－1、y2)＝(0、0).
由(1)及题设得
x3＝3－(x1＋x2)＝1、y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0.【关键点2、设出点P、借助向量的建立变量间的关系、达到设而不求的目的】
【点评】从本题可以看出、圆的几何性质与数量关系的转化涵盖在整个解题过程中、向量在整个其解过程中起了“穿针引线”的作用、用活圆的几何性质可以达到事半功倍的效果．
途径四 设而不求、化繁为简
高考示例
方法与思维
(20xx·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C： ＋ ＝1交于A、B两点、线段AB的中点为M(1、m)(m>0).
所以l的方程为y＝－x＋ 、代入C的方程、并整理得7x2－14x＋ ＝0.
故x1＋x2＝2、x1x2＝ 、
代入②解得|d|＝ .【关键点3：借用根与系数的关系、达到设而不求的目的】
所以该数列的公差为 或－ .
【点评】本题(1)涉及弦的中点坐标、可以采用“点差法”求解、设出点A、B的坐标、代入椭圆方程并作差、再将弦AB的中点坐标代入所得的差、可得直线AB的斜率；对于(2)圆锥曲线中的证明问题、常采用直接法证明、证明时常借助等价转化思想、化几何关系为数量关系、然后借助方程思想给予解答．

高中数学圆锥曲线知识点梳理+例题解析

高中数学圆锥曲线知识点梳理+例题解析

x0 x a2

y0 y b2
1.
7.
x2
椭圆
a2

y2 b2
1
(a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 F1PF2

，则椭圆的焦点角形的面积
S 为 F1PF2
b2
tan 2
.
-4-
8.
椭圆 x2 y2 a2 b2
1（a＞b＞0）的焦半径公式 | MF1 | a ex0 , | MF2 | a ex0 ( F1(c, 0)
x0
中心 顶点 对称轴
原点 O（0，0）
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
x 轴，y 轴； 长轴长 2a,短轴长 2b
原点 O（0，0）
(a,0), (─a,0) x 轴，y 轴;
实轴长 2a, 虚轴长 2b.
(0,0) x轴
焦点
F1(c,0), F2(─c,0)
F1(c,0), F2(─c,0)
e=1
a
a
-2-
【备注 1】双曲线：
⑶等轴双曲线：双曲线 x 2 y 2 a 2 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y x ，离心率 e 2 .
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线. x 2 y 2 与 a2 b2
x 2 y 2 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线： x 2 y 2 0 .
e 的点的轨迹.（e>1）
与定点和直线的距离相等的点的 轨迹.
-1-
轨迹条件
点集： ({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F

2021届高考数学圆锥曲线压轴题专题01 圆锥曲线与重心问题(通用版解析版)

2021届高考数学圆锥曲线压轴题专题01 圆锥曲线与重心问题(通用版解析版)

专题1、圆锥曲线与重心问题从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。

而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。

“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。

因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考．三角形的重心：三角形三条中线的交点。

知识储备:（1）G 是ABC ∆的重心0GA GB GC ⇔++=；重心坐标(,)33A B C A B Cx x x y y y G ++++；（2）G 为ABC ∆的重心，P 为平面上任意点，则1(+)3PG PA PB PC =+；（3）重心是中线的三等分点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1；（4）重心与三角形的3个顶点组成的3个三角形的面积相等，即重心到3条边的距离与3条边的长成反比； 经典例题例1、（2019成都市树德中学高三二诊12题）抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 、Q 、R 在C 上，且PQR ∆的重心为F ，则PF QF +的取值范围为（ ） A ．993,,522⎛⎫⎛⎤ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ B ．994,,522⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ C ．()93,44,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．[]3,5【答案】A【解析】由题意知，抛物线C 的焦点为()1,0F ，设点(),P P P x y 、(),Q Q Q x y 、(),R R R x y ，由重心的坐标公式得1303P Q RP Q R x x x y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，()3R P Q x x x ∴=-+，()R P Q y y y =-+，设直线PQ 的方程为x ky m =+，由24x ky m y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ky m --=，()221616160k m k m ∆=+=+>，由韦达定理得4P Q y y k +=，4P Q y y m =-，所以，()()()2242P Q P Q P Q x x ky m ky m k y y m k m +=+++=++=+，故()23342R P Q x x x k m =-+=--，()4R P Q y y y k =-+=-，将点R 的坐标代入抛物线C 的方程得()22164342k k m =⨯--，得2238m k =-， 则()()228228360k m k∆=+=->，得2102k≤<， 则(]222422543,5P Q PF QF x x k m k +=++=++=-∈.()1,0F 不在直线PQ 上，则1m ≠，此时，218k ≠，则92PF QF +≠. 因此，PF QF +的取值范围是993,,522⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.故选：A. 【点睛】考查抛物线与直线的综合，求距离的取值范围，重心坐标的计算，属于难题．例2．（2020·浙江高三月考）已知()11,0F -，21,0F ，M 是第一象限内的点，且满足124MF MF +=，若I 是12MF F △的内心，G 是12MF F △的重心，记12IF F △与1GF M △的面积分别为1S ，2S ，则（ ） A ．12S S > B ．12S SC ．12S S <D ．1S 与2S 大小不确定【答案】B【分析】作出图示，根据,I G 的特点分别表示出1S ，2S ，即可判断出12,S S 的大小关系.【详解】因为121242MF MF F F +=>=，所以M 的轨迹是椭圆22143x y +=在第一象限内的部分，如图所示：因为I 是12MF F △的内心，设内切圆的半径为r ，所以()12121222MMFMF F F rF F y ++⋅⋅=，所以3M y r =，所以12121223I M F F y F F r y S ⋅⋅===， 又因为G 是12MF F △的重心，所以:1:2OG GM =，所以12112221133323M M MOF F OF F F yy S S S ⋅===⋅=，所以12S S ，故选：B . 【点睛】本题考查椭圆的定义，其中涉及到三角形的内心和重心问题，对学生分析图形中关系的能力要求较高，难度一般.例3．（2020·湖南长郡中学高三期中）已知1F 、2F 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 的椭圆上一点（左右顶点除外），G 为12PF F △为重心.若1223F GF π∠≤恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】根据P 的椭圆上一点，且1223F GF π∠≤恒成立，不妨设点P 为上顶点，再根据G 为12PF F △为重心，由111tan 336GO PO b F O π==≥=求解. 【详解】因为P 的椭圆上一点，且1223F GF π∠≤恒成立，不妨设点P 为上顶点，如图所示：因为G 为12PF F △为重心，所以1133GO PO b ==，而1tan6GO FO π≥，即1GO O ≥，所以13b ≥，所以223b c ≥，所以2223a c c -≥，即214e ≤，解得102e <≤.故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质以及焦点三角形的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.例4．（2020·全国高二单元测试）已知A 、B 分别是双曲线22:12y C x -=的左、右顶点，P 为C 上一点，且P 在第一象限．记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，当122k k +取得最小值时，PAB △的重心坐标为（ ） A ．(1,1) B ．41,3⎛⎫⎪⎝⎭C ．4,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．44,33⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【分析】由双曲线的性质可得点()1,0A -，()10B ,，设点()(,),1,0P x y x y >>，则122k k =，再由基本不等式可得1222k k ==，进而可得点(3,4)P ，即可求得重心坐标.【详解】由题意点()1,0A -，()10B ,，设点()(,),1,0P x y x y >>， 则10k >，20k >，2212222(1)21111y y y x k k x x x x -=⋅===+---，所以1224k k +≥=，当且仅当1222k k ==时取等号，所以221112yx y x ⎧=⎪⎪+⎨⎪-=⎪⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩，所以点(3,4)P ， 则PAB △重心坐标为113004,33-++++⎛⎫⎪⎝⎭即41,3⎛⎫⎪⎝⎭．故选：B. 【点睛】本题考查了直线斜率的求解及双曲线的应用，考查了基本不等式的应用及运算求解能力，属于中档题.例5．已知椭圆22:14x y C m+=的右焦点为()1,0F ，上顶点为B ，则B 的坐标为_____________，直线MN与椭圆C 交于M ，N 两点，且BMN △的重心恰为点F ，则直线MN 斜率为_____________.【答案】【分析】空1：由椭圆的标准方程结合右焦点的坐标，直接求出a ， c ，再根据椭圆中a ，b ，c 之间的关系求出m 的值，最后求出上顶点B 的坐标；空2：设出直线MN 的方程，与椭圆联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，结合中点坐标公式求出弦MN 的中点的坐标，再利用三角形重心的性质，结合平面向量共线定理进行求解即可.【详解】空1：因为22:14x y C m+=右焦点为()1,0F ，所以有40m >>且2,1a b c ===，而222a b c =+，所以413m m =+⇒=，因此椭圆上顶点的坐标为：； 空2：设直线MN 的方程为：y kx m =+，由（1）可知：椭圆的标准方程为：22143x y+=，直线方程与椭圆方程联立：22143x y y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简得： 222(34)84120k x kmx m +++-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为D ，于是有：122834km x x k -+=+，121226()234m y y k x x m k +=++=+，所以D 点坐标为：2243()3434km mk k -++， 因为BMN △的重心恰为点F ，所以有2BF FD =，即2243(1,2(1,)3434km mk k -=-++，因此有：22224432(1)1(1)343423623434km km k k m m k k --⎧⎧-==⎪⎪⎪⎪++⇒⎨⎨⎪⎪⋅==⎪⎪++⎩⎩，(1)(2)÷得：k =MN斜率为4.故答案为：；4【点睛】本题考查了求椭圆上顶点的坐标，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，考查了三角形重心的性质，考查了数学运算能力.例6．（2020·上海高三专题练习）已知直线L 交椭圆 2212016x y +=于M N 、两点，椭圆与y 轴的正半轴交于点B ，若BMN ∆的重心恰好落在椭圆的右焦点F 上，则直线L 的方程是__________． 【答案】65280x y --=【分析】结合重心坐标公式推导出弦中点坐标，可设()()1122,,,M x y N x y ，采用点差法，求出直线斜率，采用点斜式即可求出直线方程【详解】由题可知，()0,4B ，()2,0F ，设()()1122,,,M x y N x y ，由重心坐标得1212042,033x x y y ++++==， 所以弦MN 的中点坐标为12123,222x x y y ++==-，即()3,2-， 又()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，故221122221201612016x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 作差得()()()()12121212450x x x x y y y y +-++-= 将中点坐标代入得212165y y k x x -==-，所以直线L 的方程为：()6325y x =--，即65280x y --= 故答案为：65280x y --=【点睛】本题考查重心坐标公式，点差法的应用，点斜式的用法，属于中档题例7、（2020年石家庄高三模拟12题）已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，()111,P x y ，()222,P x y ，()333,P x y 为抛物线C 上的三个动点，其中123x x x <<且20y <，若F 为123PP P △的重心，记123PP P △三边12P P ，13P P ，23P P 的中点到抛物线C 的准线的距离分别为1d ，2d ，3d ，且满足1322d d d +=，则13P P 所在直线的斜率为（ ） A ．1 B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】由题意知12313321222;;2222x x x x x x d d d +++=+++=；带入1322d d d +=中，得到：()123132;2x x x x x +++=即2132x x x =+； 又F 为123PP P △的重心，则有1231232;033x x x y y y ++++==，即2226x x =-，得到222,4x y ==-，因此有134y y +=，故13P P 的中点坐标为（2，2）. 所以直线的斜率为：13131382y y k x x y y -===-+；故答案为2.例8、（2019年衡水中学高三半期11题）在双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支上存在点A ，使得点A与双曲线的左、右焦点1F ，2F 形成的三角形的内切圆P 的半径为a ，若12AF F ∆的重心G 满足12//PG F F ，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC ．2 D【答案】C【解析】如图，由PG 平行于x 轴得G P y y a ==，则33A G y y a ==， 所以12AF F △的面积1232S c a =⋅⋅121(||||2)2AF AF c a =⋅++⋅，又12||||2AF AF a -=， 1||2AF c a =+则，2||2AF c a =-，由焦半径公式1||A AF a ex =+，2A x a =得，因此(23)A a a ，，代入椭圆方程得2222491a a a b-=，b =可得，2c a ==， 2.ce a==即故选C ．例9、（2020年绵阳南山中学高三月考16题）已知P 为双曲线C ：221412x y -=上一点，1F 、2F 为双曲线C 的左、右焦点，M 、I 分别为12PF F △的重心、内心，若M I x ⊥轴，则12PF F △内切圆的半径为 。

新高考数学复习知识点与题型专题讲解07 圆锥曲线中的向量共线问题

新高考数学复习知识点与题型专题讲解07 圆锥曲线中的向量共线问题

新高考数学复习知识点与题型专题讲解 专题07 圆锥曲线中的向量共线问题一、单选题1．已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，点M ，N 分别在抛物线C 上.若2MF FN =，则点M 到y 轴的距离为（）A ．12B ．35C ．23D ．1 【答案】D 【分析】由22y x =可得1(,0)2F ，设211(,)2y M y ，222(,)2y N y ，由2MF FN =，可得11x =.【详解】由22y x =可得1(,0)2F ，设211(,)2y M y ，222(,)2y N y ，由2MF FN =，可得22121211(,)2(,)2222y y y y --=-，所以22121122y y -=-且122y y -=，所以22113224y y -=，解得212y =，所以21112y x ==，所以点M 到y 轴的距离为1. 故选：D. 【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，考查了平面向量共线的坐标表示，属于基础题.2．抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点P 在l 上，线段PF 与抛物线C 交于点A ，若4PF AF =，点A 到x 轴的距离为2，则p 的值是（）A．．4C ．．2 【答案】C 【分析】画出图形，通过向量关系，转化为：1||||||3AB AF AP ==，通过求解三角形，结合抛物线的性质转化求解即可． 【详解】解：抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ， 点P 在l 上，线段PF 与抛物线C 交于点A ，若4PF AF =， 过A 作AB l ⊥于B ，则1||||||3AB AF AP ==，所以tan APB ∠=，设准线与x 轴交于D ，则|||DP FD ==，因为点A 到x 轴的距离为2，14=，解得P = 故选：C ．【点睛】本题考查抛物线几何性质、平面向量的线性运算，熟练掌握抛物线的几何性质是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．3．已知双曲线的标准方程为221412x y -=，过其右焦点F 的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若13AF FB =，则AB 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标是（）A ．20B ．10C ．12D ．18 【答案】A 【分析】解法一：先根据双曲线的方程得到焦点F 的坐标,设出直线AB 的方程,并将其与双曲线方程联立,再结合13AF FB =及根与系数的关系,求出AB 的中点坐标,进而可得AB 的垂直平分线的方程,最后求其与x 轴交点的横坐标即可；解法二：设出A ,B 两点的坐标,结合13AF FB =,利用向量的坐标表示求出两点坐标之间的关系进行求解. 【详解】解法―：由221412x y -=,得双曲线的右焦点()4,0F ,故由题意可设直线AB 的方程为()40x ty t =+≠.联立方程,得2241412x ty x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去x 得()223124360t y ty -++=.设()11,A x y ,()22,B x y .由13AF FB =及根与系数的关系,得121221221324313631y y t y y t y y t ⎧-=⎪⎪⎪+=-⎨-⎪⎪=⎪-⎩,得12y y t ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,或12y y t ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩由对称性不妨设t =,则AB 的中点坐标为(5,,所以AB的垂直平分线的方程为()515y x =-,令0y =,得20x .故选：A.解法二：由221412x y -=,得双曲线的右焦点()4,0F .不妨设点A 在第一象限内,设()()111,0A x y x >,()22,B x y ,因为13AF FB =,所以()1212144313x x y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,得21211633x x y y =-⎧⎨=-⎩.又点A ,B 在双曲线上,所以()()22112211141216331412x y x y ⎧-=⎪⎪⎨--⎪-=⎪⎩,得113x y =⎧⎪⎨=⎪⎩,则227x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以AB的中点坐标为(5,,直线AB 的斜率k =,所以AB的垂直平分线的方程为)5y x +=-,令0y =,得20x .故选：A. 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、向的坐标表示. 试题综合考查直线与双曲线的位置关系,引导考生抓住解析几何问题的本质,透过本质建立数与形之间的联系,体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.4．已知抛物线2:4C x y =，焦点为F ，圆()222:2400M x x y y a a -+++=>，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点（点A 在第一象限），且4FB AF =，直线l 与圆M 相切，则a =（） A ．0B．5C．5D ．3 【答案】B 【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，可得1>0x ，且2114x y =，由4FB AF =结合向量的坐标运算以及21122244x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可求得点A 的坐标，进而可求得直线l 的方程，由直线l 与圆M 相切，得出圆心到直线的距离等于圆的半径，由此可求得实数a 的值. 【详解】抛物线C 的焦点为()0,1F ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则1>0x ，且2114x y =，由4FB AF =得()()2211,14,1x y x y -=--，()21214141x x y y =-⎧∴⎨-=-⎩，由()21141y y -=-，即222114144x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即4211450x x +-=，可得211x =，11x ∴=， 所以，点A 的坐标为11,4⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线AF 的斜率为1134104AFk -==--，则直线l的方程为314y x =-+，即3440x y +-=， 将圆M 的方程写为标准式得()()222125x y a -++=-，则250a a ⎧->⎨>⎩，可得0a <<由于直线l 与圆M 31424955⨯-⨯-==，解得a =，合乎题意. 故选：B. 【点睛】本题考查利用直线与圆相切求参数，同时也考查了利用抛物线中向量共比例关系求直线方程，考查计算能力，属于中等题.5．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F C 于A 、B 两点，若4AF FB =，则C 的离心率为（） A ．58B ．65C ．75D ．95【答案】B 【分析】设双曲线2222:1x y C a b-=的右准线为l ，过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，BD AM ⊥于D ，根据直线AB ，得到12AD AB =，再利用双曲线的第二定义得到()1AD AF FB e=-，又AB AF FB =+，结合4AF FB =求解.【详解】设双曲线2222:1x y C a b-=的右准线为l ，过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，BD AM ⊥于D ， 如图所示：因为直线AB ， 所以直线AB 的倾斜角为60︒， ∴60BAD ∠=︒，12AD AB =， 由双曲线的第二定义得：()()11122AM BN AD AF FB AB AF FB e -==-==+， 又∴4AF FB =， ∴352FB FB e =， ∴65e =故选：B 【点睛】本题主要考查双曲线的第二定义的应用以及离心率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6．已知点()2,0Q -与抛物线()220y px p =>，过抛物线焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，若3AB BP =，且直线QA 的斜率为1，则p =（）A ．2B ．4C．2D．【答案】C 【分析】判断A 、B 的位置，结合向量关系，推出A 、B 横坐标与纵坐标的关系，通过直线的斜率关系，转化求解即可. 【详解】解：由题意可知A 在第一象限，B 在第四象限，设()(),,,A A B B A x y B x y ，()0,p P y由3AB BP =，所以()(),3,B A B A B P B x x y y x y y --=--，得4A B x x =，又224,4A A B B y x y x ==，所以2A B y y =-，又A 、F 、B 三点共线，可得2A B BA BB y y y p x x x -=--，即2222B B A B y p y p y y p =+-， 可得2B A y y p =-，∴2212A y p -=-，A y =，A x p =， 由QA 斜率为1可得：12AA y x =+，即12p =+，则2p =.故选：C . 【点睛】在直线和抛物线的位置关系中，结合向量共线考查求抛物线中的参数p ；基础题. 二、解答题7．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，左顶点为A ，上顶点为B ，离心率为e ．椭圆上一点C 满足：C 在x 轴上方，且2CF ∴x 轴．（1）如图1，若OC ∴AB ，求e 的值；（2）如图2，连结1CF 并延长交椭圆于另一点D．若12e ≤11CF F D 的取值范围． 【答案】（1）2；（2）7,133⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据2CF x ⊥轴，设C 0(,)c y ，00y >，再根据点C 在椭圆上求得其坐标，然后再根据OC ∴AB ，由AB OC k k =求解.（2）设11(,)D x y ，11CF F D λ=，由（1）2(,)b C c a，1(,0)F c -，然后用λ表示D 的坐标，代入椭圆方程求解. 【详解】（1）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2c ．∴2CF x ⊥轴可设C 0(,)c y ，00y >，因为220221y c a b+=，所以4202b y a=，解得20b y a=，∴C 2(,)b c a∴OC ∴AB ，所以22AB OC b bb a k k ac ac==== ∴b =c∴2c e a ===. （2）设11(,)D x y ，11CF F D λ=，由（1）知：2(,)b C c a ，1(,0)F c -，212,b CF c a=--（），111(,)F D x c y =+，∴11CF F D λ=∴12()c x c λ-=+，21b y aλ-=所以12x c λλ+=-，21b y aλ=-， ∴22(,)b D c aλλλ+--又∴D 在椭圆上 ∴222222()()1b c a a bλλλ+--+=， 化简得：222(43)1e λλλ++=-又∴0λ>，2221-1414333e λλλλλλ-===-++++∴102e λ≤≤>），21344e ≤≤， 则1431434λ≤-≤+， 解得：7133λ≤≤ 所以11CF F D 取值范围是7,133⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率的常用方法：∴直接求出a ，c 来求解e .通过已知条件列出方程组，解出a ，c 的值；∴构造a ，c 的齐次式，解出e .由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；∴通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0＜e ＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．8．已知椭圆()2222:10y x C a b a b +=>>经过点(. （1）求曲线C 的方程；（2）设直线:l y x =C 交于,A B 两点，点M 为OA 中点，BM 与曲线C 的另一个交点为N ，设BM mMN =，试求出m 的值.【答案】（1）2213y x +=；（2）53m =. 【分析】（1）由椭圆的离心率及经过的点列方程即可得解；（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y N x y ，由韦达定理得12x x 、12y y ，再由平面向量的数乘运算可得()()012012112112m x x x m m m y y y m m ⎧+=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，代入椭圆方程运算即可得解. 【详解】（1）由题意得222231a c a abc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 的方程为2213y x +=； （2）设()()()112200,,,,,A x y B x y N x y ，将:=+l y x 2213y x +=得2410x +-=，所以12121,24x x x x +=-=-，所以()12121212324y y x x x x x x ==++=，由点M 为OA 中点得1111,22M x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由BM mMN =得121201011111,,2222x x y y m x x y y ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()()012012112112m x x x m m m y y y m m ⎧+=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩， 因为N 在椭圆上，所以220013y x +=， 所以()()22121211111+=1232m m x x y y mm m m ++⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 即()()2222212121212222111+14333m m y y y y x x x x m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又因为2222121212121,1,0333y y y y x x x x +=+=+=， 所以()22211+14m m m+=，化简得23250m m --=，解得53m =（负值舍去）. 【点睛】 解决本题的关键是设出点的坐标，利用韦达定理及向量的数乘对条件合理转化，细心计算即可得解.9．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F，焦距为l ：1y x =-与椭圆C 相交于A ，B 两点，31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点. （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，()0,Q m ，若3OM ON OQ λ+=（O 为坐标原点），求m 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=；（2）113m <<或113m -<<-. 【分析】（1）31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点, 设()11,A x y ，()22,B x y ,代入椭圆方程利用点差法可求解.（2）由M ，Q ，N 三点共线，133OQ OM ON λ=+，根据三点共线性质可得：1133λ+=，则2λ=，将直线l 的方程和椭圆C 方程联立，利用韦达定理即可求得答案.【详解】（1）∴焦距为c =()11,A x y ，()22,B x y ， ∴31,44P ⎛⎫- ⎪⎝⎭为弦AB 的中点，根据中点坐标公式可得：1232x x +=，1212y y +=-， 又∴将()11,A x y ，()22,B x y 代入椭圆C ：22221x y a b+= ∴2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩ ∴将两式作差可得：()()()()22121212120b x x x x a y y y y +-++-=， 所以()()22121222121231AB b x x y y b k x x a y y a +-==-==-+， 所以223a b ………∴. ∴222a c b -=………∴由∴∴得：2231a b ⎧=⎨=⎩ 所以椭圆的标准方程为2213x y +=. （2）∴M ，Q ，N 三点共线，133OQ OM ON λ=+ ∴根据三点共线性质可得：1133λ+=，则2λ= 设()11,M x y ，()22,N x y ，则1212033x x +=， ∴122x x =-.将直线l 和椭圆C 联立方程22,33y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消掉y . 可得：()222136330k x kmx m +++-=.220310k m ∆>⇒-+>………∴， 根据韦达定理：122613km x x k +=-+，21223313m x x k-=+， 代入122x x =-，可得：22613km x k =+，222233213m x k--=+， ∴()222222363321313k m m k k --⨯=++，即()2229131m k m -⋅=-. ∴2910m -≠，219m ≠， ∴22213091m k m -=≥-………∴，代入∴式得22211091m m m --+>-，即()22211091m m m -+->-， ∴()()2221910m m m --<，∴2119m <<满足∴式， ∴113m <<或113m -<<-. 【点睛】本题考查椭圆的中点弦问题，考查直线与椭圆的综合问题，联立方程，韦达定理的应用，属于中档题.10．如图，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线2AF 交椭圆于另一点B .（1）若190∠=F AB ，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦距为2，且222AF F B =，求椭圆的方程.【答案】（1）2；（2）22132x y +=. 【分析】（1）根据190∠=F AB 得到b c =，a =，可得c e a ==；（2）设(),B x y ，根据222AF F B =得到32x =，2b y =-，代入22221x y a b+=，解得23a =，可得222312b a c =-=-=，从而可得椭圆方程.【详解】（1）若190F AB ∠=︒，则12F AF 和2AOF △为等腰直角三角形．所以有2OA OF =，即b c =．所以a =，2c e a ==． （2）由题知()0,A b ，()21,0F ，设(),B x y ，由222AF F B =，得()()1,21,b x y -=-，所以32x =，2b y =-． 代入22221x y a b +=，得2229441b a b +=． 即291144a +=，解得23a =．所以222312b ac =-=-=， 所以椭圆方程为22132x y +=． 【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆方程，考查了平面向量共线的坐标表示，属于中档题.11．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>），O 为坐标原点，长轴长为4，离心率12e =． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 的方程为：()1y k x =-，点A 为椭圆C 在x 轴正半轴上的顶点，过点A 作AB l ⊥，垂足为M ，点B 在椭圆上（不同于点A ）且满足：25MB AM =，求直线l 的斜率k ．【答案】（1）22143x y +=；（2）k =． 【分析】（1）由长轴长为4求a ，再由离心率12e =求c ，根据椭圆的性质求b ，从而得到椭圆方程． （2）椭圆C 的右顶点A 为(2,0)．直线1:1l x y k=+，直线AB 的方程为2x ky =-+，分别与椭圆方程联立，求出,B M 的纵坐标，利用向量关系，转化求解直线的斜率即可．【详解】（1）由椭圆的离心率12e =，长轴长为4可知2a =，1c =，∴23b =， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）椭圆C 的右顶点A 为()2,0．由题可知0k ≠，直线l ：11x y k =+，直线AB 的方程为2x ky =-+， 由112x y k x ky ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，可知21M k y k =+， 由2234120x ky x y =-+⎧⎨+-=⎩，得()2234120k y ky +-=，则21234B k y k =+， ∴25MB AM =，∴()()250B M M y y y -=-，则22212523411k k k k k k ⎛⎫-=⎪+++⎝⎭ ∴0k ≠，∴243k =，解之，3k =±． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，同时考查了平面向量的坐标运算，考查计算能力，属于综合题.12．已知椭圆1C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线被椭圆1C 和圆222x y a +=截得的弦长分别为2和（1）求1C 的标准方程；（2）已知动直线l 与抛物线2C ：24y x =相切（切点异于原点），且l 与椭圆1C 相交于M ，N 两点，问：椭圆1C 上是否存在点Q ，使得6OM ON OQ +=，若存在求出满足条件的所有Q 点的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在，Q 点坐标为⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭【分析】（1）（1）设直线方程为x c =-，分别与椭圆方程，圆联立解得交点坐标，再根据弦长分别为2和.求解.（2）设l ：()0x my n m =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，()00,Q x y ，与抛物线方程联立，根据l 与2C 相切，则2100m n ∆=⇒+=，与椭圆方程联立，由63OM ON OQ +=结合韦达定理得到Q 坐标代入椭圆方程求解.【详解】（1）设直线方程为x c =-，与椭圆方程()222210x y a b a b +=>>联立解得2b y a=±，所以222b a=， 直线方程为x c =-，与圆222x y a +=联立解得y b =±，所以2b =解得2,a b ==故1C ：22142x y +=. （2）由题知l 存在且斜率不为0，设l ：()0x my n m =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，()00,Q x y ， 联立24x my n y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my n --=， 因为l 与2C 相切，故2100m n ∆=⇒+=，联立2224x my n x y =+⎧⎨+=⎩，得()2222240m y mny n +++-=， 所以12222mn y y m +=-+，212242n y y m -=+， 22202424n m n ∆>⇒<+=-+，又20m n =->，所以()1n ∈-. 因为63OM ON OQ +=，所以120120x x x y y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，由韦达定理，代入计算得020222x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，因为点()00,Q x y 在椭圆上，即220024x y +=，代入得()()22222222412422n m n m m +=++，即2221322n n m n==+-，()1n ∈-， 解得1n =-或23n =（舍）， 所以1m =±，此时Q点坐标为⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题主要考查直线与椭圆，直线与抛物线，直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率是12，且椭圆C经过点P ⎭，过椭圆C 的左焦点F 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若2MF FN =，求直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（220y ±+=. 【分析】（1）依题意得到方程组222221,2331,4,c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得即可；（2）设直线l 的方程为1x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由2MF FN =，可得122y y -=，从而求出参数的值， 【详解】解：（1）设椭圆C 的半焦距为c .由题意可得222221,2331,4,c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩解得24a =，23b =.故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）可得()1,0F -当直线l 的斜率为0时，()2,0M -，()20N ，或()20M ，，()2,0N -， 此时2MF FN ≠，不符合题意.当直线l 的斜率不为0时，可设直线l 的方程为1x my =-，()11,M x y ，()22,N x y .联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2234690m y my +--=，则1212229,63434y y y y m m m ==-+++， 因为2MF FN =，所以122y y -=.从而1222634my y y m +=-=+，21221222269,23434m y y y y y y m m +=-==-=-++， 则2226923434m m m ⎛⎫-⨯=- ⎪++⎝⎭，解得m =. 故直线l20y ±+=.【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题. 14．已知过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =相交于A ，B 两点. （1）若2AP PB =，且点A 在第一象限，求直线AB 的方程；（2）若点A ，B 在直线2y =-上的射影分别为1A ，1B ，线段1A B 的中点为Q ，求证1//BQ PA .【答案】（1）122y x =+；（2）证明见解析； 【分析】（1）由题意，设过点(0,2)P 的直线l 的斜率为k ，则:2l y kx =+．然后由2AP PB =，根据定比分点的知识，可得12223x x +=，12203y y +=．将112y kx =+，222y kx =+代入最终可得到k 的值，则即可求出直线AB 的方程；（2）先联立直线l 与抛物线方程，整理得到一元二次方程，根据韦达定理有124x x k +=，128x x =-．再根据题意写出∴122(2x x BQ x +=-，22)y --，11(PA x =，4)-．再根据平行向量的坐标公式12210x y x y -=进行代入计算即可证明1//BQ PA ． 【详解】（1）解：由题意，设过点(0,2)P 的直线l 的斜率为k ，则:2l y kx =+． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．2AP PB =，∴根据定比分点的知识，有12203x x +=，12223y y +=， 1220x x ∴+=．联立224y kx x y =+⎧⎨=⎩，消去y ，整理得2480x kx --=．解得12(x k =+，22(x k =，1222(4(0x x k k ∴+=+-=，整理，得30k =>，解得12k =． ∴直线AB 的方程为122y x =+． （2）证明：根据（1），联立直线l 与抛物线方程，得224y kx x y=+⎧⎨=⎩， 整理，得2480x kx --=． 则124x x k +=，128x x =-．11(A x ，2)-，12(B x ，2)-．12(2x x Q +∴，2)-． ∴122(2x x BQ x +=-，22)y --，11(PA x =，4)-． 12212()(4)(2)2x x x x y +----- 2112211212124(2)22222x x x y x x x y x x x y -=++=-++=+ 222212122244x xx x x x x =+=+222(8)04x x =+-=． 1//BQ PA ∴．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合问题，考查了定比分点的应用，平行向量坐标公式的应用，考查了逻辑思维能力和数学运算能力．属于中档题．15．已知222:4)(0E x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）若2m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF 的范围；（2）若l 过点(,)2mm ，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．【答案】（1）[]2,1-；（2）k =. 【分析】（1）求得焦点坐标，设(,)K x y ，运用向量数量积的坐标表示，结合椭圆的范围，可得所求范围；（2）设A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，运用中点坐标公式和点差法，直线的斜率公式，结合平行四边形的性质，即可得到所求斜率． 【详解】解：（1）2m =时，椭圆22:14x E y +=，两个焦点1(F )，2F 0)，设(,)K x y ，可得2214x y +=，即2244x y =-，1(F K x =，)y，2(F K x =-)y ，2221212331KF KF F K F K x y y ==-+=-+，因为11y -，所以12KF KF 的范围是[]2,1-；（2）设A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，可得12(2x x M +，12)2y y +， 则222112222244x y m x y m⎧+=⎨+=⎩，两式相减可得12121212()()4()()0x x x x y y y y +-++-=， 12121212()()140()()y y y y x x x x +-+=+-，即140OM l k k +=，故14OM l k k =-，又设(P P x ，)P y ，直线:()(0,0)2ml y k x m m k =-+≠≠，即直线l 的方程为2m y kx km =-+， 从而1:4OM y x k =-，代入椭圆方程可得，2222414P m k x k =+，由()2m y k x m =-+与14y x k=-，联立得224214M k m kmx k -=+，若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点， 所以2MP x x =，即2222224244()1414k m km m k k k-=++，整理可得2121630k k -+=，解得k =，经检验满足题意，所以当46k ±=时，四边形OAPB 为平行四边形． 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意运用点差法，考查向量数量积的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16．设抛物线E ：()220y px p =>焦点为F ，准线为l ，A 为E 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 点．（∴）若60BFD ∠=︒，BFD △的面积为3，求p 的值及圆F 的方程； （∴）若点A 在第一象限，且A 、B 、F 三点在同一直线1l 上，直线1l 与抛物线E 的另一个交点记为C ，且CF FA λ=，求实数λ的值．【答案】（∴）2p =，圆F 为：()221613x y -+=；（∴）13λ=．【分析】（∴）依题意可得BFD △为正三角形，且BF =根据BFD △的面积，即可求出p ，从而得到圆F 的方程；（∴）依题意可得直线AB 的倾斜角为3π或23π，由对称性可知，设直线l ：2p x =+，()11,A x y ，()22,C x y ，联立直线与抛物线方程消元列出韦达定理，由CF FA λ=，即可得到()2143λλ-=，解得即可；【详解】解：（∴）焦点到准线l 的距离为p ，又∴BF FD =，60BFD ∠=︒，∴BFD △为正三角形．∴BF =2p B ⎛- ⎝，∴21sin 602BFD S BF =︒=△2p ∴=， ∴圆F 为：()221613x y -+=． （∴）若A 、F 、B 共线，则AF BF DF ==，2BDA π∴∠=∴12AD AF AB ==，6DBA π∴∠= ∴直线AB 的倾斜角为3π或23π， 由对称性可知，设直线l ：2px =+，()11,A x y ，()22,C x y ，CF FA λ=，联立()121222221211202py y yxy y py y p yy pxλλ⎧⎧+==-⋅=+⎪⎪⇒-=⇒⎨⎨⎪⎪⋅=-=-⋅=⎩⎩，∴()2143λλ-=，231030λλ∴-+=，3λ∴=或13λ=，又AF BF p=>，12px>，01λ∴<<，所以13λ=．【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，向量共线求出参数的值，属于中档题.17．已知抛物线()2:20C y px p=>，过抛物线C的焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线C于,P Q两点，4PQ=.（1）求抛物线C的方程，并求其焦点F的坐标和准线l的方程；（2）过抛物线C的焦点F的直线与抛物线C交于不同的两点,A B，直线OA与准线l交于点M.连接MF，过点F作MF的垂线与准线l交于点N.求证：,,O B N三点共线.【答案】（1）抛物线C的方程为24y x=，焦点F坐标为()1,0，准线l方程为1x=-（2）证明见解析【分析】（1）根据抛物线通径的性质，得出2p=，即可求出抛物线的标准方程，即可得出焦点坐标和准线方程；（2）根据题意，设直线:1AB x ty =+，与抛物线方程联立，求出则124y y t +=，124y y =-，通过直线相交分别求出141,M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和()11,N y -，从而求出1ON k y =-和24OB k y =，通过化简求出0OB ON k k -=，即可证出,,O B N 三点共线.【详解】解：（1）24PQ p ==，则2p =，故抛物线C 的方程为：24y x =，其焦点F 坐标为()1,0，准线l 方程为：1x =-（2）设直线:1AB x ty =+，联立214x ty y x=+⎧⎨=⎩， 得2440y ty --=，则216160t =+>△，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y =-.法1：直线11:y OA y x x =， 由2114y x =得14y x y =，故点141,M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 直线MF 的斜率1140211MFy k y --==--， 则直线FN 的斜率12FN y k =-，直线()1:12y FN y x =--，则点()11,N y - 直线ON 的斜率1ON k y =-.直线OB 的斜率22OB y k x =，由2224y x =得24OB k y =， 则()12122244440OB ON y y k k y y y y +--=--===， 所以,,O B N 三点共线.法2：直线11:y OA y x x =， 由2114y x =得14y x y =，故点141,M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 由124y y =-，得()21,M y -.直线MF 的斜率220112MF y y k -==---， 直线()22:1FN y x y =-，得点241,N y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 由124y y =-，得()11,N y -.直线ON 的斜率1ON k y =-.直线OB 的斜率22OB y k x =，由2224y x =得24OB k y =， 由124y y =-，得1OB k y =-，则有OB ON k k =.所以,,O B N 三点共线.法3：（1）∴4PQ =，∴2PF =，∴22OF =，∴1OF =，2p =，∴抛物线C 的标准方程为：24y x =，则焦点坐标为：()1,0F ，准线方程为：:1l x =-.（2）设直线:1AB x ty =+，联立得：2440y ty --=， 212121616044t y y ty y ⎧∆=+>⎪+=⎨⎪=-⎩， 设()11,A x y ，()22,B x y ，∴直线11:y AO y x x =， 当1x =-时，11y y x =-，∴111,y M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴112MF y k x =，∴1121FN MF x k k y =-=-， ∴直线()112:1x FN y x y =--， 当1x =-时，114x y y =，∴1141,x N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴114NO x k y =-，22BO y k x =，∴21214BO NO y x k k x y -=+ ()()1212121221214114y y y y y y x x x y x y ++++++== ()()12122142144y y y y x y ++++++=()22442116240x y -+++++==， ∴BO NO k k =，∴,,B O N 共线.【点睛】本题考查抛物线的标准方程和简单几何性质，以及直线与抛物线的位置关系，通过联立方程组，韦达定理，利用直线斜率的关系证明三点共线，考查转化思想和计算能力.18．已知抛物线E 上的焦点为(0,1)F .（1）求抛物线E 的标准方程；（2）过F 作斜率为k 的直线l 交曲线E 于A 、B 两点，若3BF FA =，求直线l 的方程.【答案】（1）24x y =；（2）13y x =±+. 【分析】（1）根据焦点坐标求得p ，结合抛物线的开口方向求得抛物线E 的标准方程.（2）联立直线l 的方程和抛物线方程，写出根与系数关系，结合3BF FA =求得k 的值，进而求得直线l 的方程.【详解】（1）依题意，抛物线的焦点为()0,1F ，开口向上，2,24p p ==，所以曲线E 的方程为：24x y =； （2）设过F 的斜率为k 的直线方程为：1y kx =+，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 并化简得2440x kx --=. 令11(,)A x y 、22(,)B x y ， 所以124x x k +=，124x x -=，由题可知：3BF FA =，即：2211(,1)3(,1)x y x y --=-，即得213x x -=，由124x x k +=，124x x -=，213x x -=得：213k =，3k =±，所求直线l 的方程为：1y x =+. 【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.19．已知椭圆22:24C x y +=（1）求椭圆C 的标准方程和离心率；（2）是否存在过点()0,3P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22142x y +=，2e =；（2）存在，7x ＝0或7x ﹣＝0 【分析】（1）将椭圆方程化为标准方程，可得a ，b ，c ，由离心率公式可得所求值；（2）假设存在过点P （0，3）的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =，可设直线l 的方程为x ＝m （y ﹣3），联立椭圆方程，消去x 可得y 的二次方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量共线的坐标表示，化简整理解方程，即可判断是否存在这样的直线．【详解】（1）由22142x y +=，得2,a b ==c ==c e a ==； ∴2∴假设存在过点P （0，3）的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =，可设直线l 的方程为x ＝m （y ﹣3），联立椭圆方程x 2+2y 2＝4，可得（2+m 2）y 2﹣6m 2y +9m 2﹣4＝0，∴＝36m 4﹣4（2+m 2）（9m 2﹣4）＞0，即m 2＜47， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2＝2262m m +，y 1y 2＝22942m m-+，∴ 由2PB PA =，可得（x 2，y 2﹣3）＝2（x 1，y 1﹣3），即y 2﹣3＝2（y 1﹣3），即y 2＝2y 1﹣3，∴将∴代入∴可得3y 1﹣3＝2262m m +，y 1（2y 1﹣3）＝22942m m -+，消去y 1，可得22232m m ++•22322m m -+＝22942m m -+，解得m 2＝2747<，所以m =，故存在这样的直线l ，且方程为7x ＝0或7x y ﹣＝0．【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．20．设12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，直线l 的倾斜角为60,1F 到直线l 的距离为（1）求椭圆C 的焦距；（2）如果222AF F B =，求椭圆C 的方程.【答案】（1）4；（2）22195x y +=. 【分析】（1）由题意可设直线l的方程为)y x c =-，再利用点到直线的距离公式即可求解.（2）由（1）可得)2y x =-，联立方程)222221y x x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消x ，求出两交点的纵坐标，再由222AF F B =得出两交点纵坐标的关系即可求解.【详解】（1）由题意可得：直线l的方程为)y x c =-，()1,0F c -到直线l的距离为=2c =，∴椭圆C 的焦距24c =.（2）由（1）可得)2y x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，10y <，20y>， 联立)222221y x x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理可得()22224330a b y y b ++-=，解得()2122223a y a b +=+，()2222223a y a b-=+， 因为222AF F B =，所以122y y -=，即()()2222222222233a a a b a b+-=⋅++，解得3a =， 又2c =，故b ==故椭圆C 的方程为22195x y +=. 【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系，此题要求有较高的计算求解能力，属于中档题.21．设椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>左焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，直线l 的倾斜角为45︒，且3AF FB =（1）求椭圆C 的离心率；（2）若||AB =，求椭圆C 的方程. 【答案】（1（2）2212x y +=. 【分析】（1）设直线方程为y x c =+，联立22221y x c x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得12,y y ，根据3AF FB =，由123y y -=求解.（2）根据2121||3AB y y y y =-=-=，结合（1）的数据代入求解. 【详解】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得120,0y y ><，直线方程为：y x c =+，联立22221y x c x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222420a b y b cy b +--=，解得)()22122222,c b c b y y a b a b+==++， 因为3AF FB =，所以123y y -=，即)()2222223c b c b a b a b +--=++，所以2c e a ==. （2）因为22121224||ab AB y y y a b =-=-==+， 所以222322ab a b =+，又2c e a ==，则2b a =，解得1a b ==， 所以椭圆C 的方程是2212x y +=.【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的求法以及平面向量的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．如图，已知椭圆：2214x y +=，点A ，B 是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于E 、F 两点．（∴）若6ED DF =，求k 的值；（∴）求四边形AEBF 面积的最大值.【答案】（∴）23k =或38k =；（∴）. 【分析】（∴）由椭圆的方程可得A ，B 的坐标，设直线AB ，EF 的方程分别为22x y +=，y kx =，0(D x ，0)kx ，1(E x ，1)kx ，2(F x ，2)kx ，且1x ，2x 满足方程22(14)4k x +=，进而求得2x 的表达式，进而根据6ED DF =，求得0x 的表达式，由D 在AB 上知0022x kx +=，进而求得0x 的另一个表达式，两个表达式相等求得k ．（∴）由题设可知BO 和||AO 的值，设11y kx =，22y kx =，进而可表示出四边形AEBF 的面积，进而根据基本不等式的性质求得最大值．【详解】（∴）椭圆：2214x y +=，(2,0)A ，(0,1)B ， 直线AB ，EF 的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． 如图，设0(D x ，0)kx ，1(E x ，1)kx ，2(F x ，2)kx ，其中12x x <， 且1x ，2x 满足方程22(14)4k x +=， 故21x x =-=．∴由6ED DF =，知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==， 由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+，212k=+， 化简得2242560k k -+=， 解得23k =或38k =． （∴）由题设，1BO =，||2AO =．由（∴）知，1(E x ，1)kx ，2(F x ，2)kx ，不妨设11y kx =，22y kx =，由∴得20x >，根据E 与F 关于原点对称可知210y y =->， 故四边形AEBF 的面积为OBE OBF OAE OAF S S S S S ∆∆∆∆=+++12211111·()?··()2222OB x OB x OA y OA y =-+++- 21212211()()222OB x x OA y y x y =-+-=+2222(x ==+=当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为． 【点评】本题主要考查了直线与椭圆的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大． 23．已知点F 是抛物线()220x py p =>的焦点，过F 的弦被焦点分成两段的长分别是2和6.（1）求此抛物线的方程；（2）P 是抛物线外一点，过P 点作抛物线的两条切线PA ，PB （A ，B 是切点），两切线分别交x 轴于C ，D ，直线AB 交抛物线对称轴于点Q ，求证四边形PCQD 是平行四边形.【答案】（1）26x y =；（2）证明见解析. 【分析】（1）设过F 的弦所在直线方程为：2py kx =+，其与抛物线交于()()1122,,,M x y N x y ，证明112MF NF p+=，则可求解. （2）设211,6x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,6x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据切线分别表示出直线PA 、PB 的方程，则C 、D 的坐标能表示出，联立直线PA 、PB 的方程，则P 的坐标可表示出，表示出直线AB 的方程，则Q 的坐标可表示出，最后说明CP QD =即可.【详解】解：（1）0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设过F 的弦所在直线方程为：2py kx =+，其与抛物线交于()()1122,,,M x y N x y ， 联立222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，即2220x kpx p --=，212122,x x pk x x p +=⋅=-，所以()212122y y k x x p pk p +=++=+，2221212244x x p y y p == 不妨设122,622p pMF y NF y =+==+=， ()12122121212121111222222224p py y y y p p p p p p p MF NF p y y y y y y y y ++++++=+===⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 11112,326p MF NF p+=+==， ∴此抛物线的方程为：26x y =；（2）设211,6x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,6x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3xy '=， ∴直线PA 的方程为：()1113x y y x x -=-， 即：21136x x y x =-；令10,2x y x ==，所以1,02x C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理，直线PB 的方程为：22236x x y x =-；令20,2x y x ==，所以2,02x D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AB 的方程为：()()222112121666x x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即：121266x x x xy x +=-； 令120,6x x x y ==-，所以120,6x x Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2112223636x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1212,26x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭， 212,26x x x CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，212,26x x x QD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以CP QD =，∴四边形PCQD 是平行四边形. 【点睛】以直线和抛物线的位置关系为载体，考查求抛物线的标准方程，同时考查用向量法证明四边形是平行四边形，难题.24．设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于点()11,A x y 和()22,B x y ，且恒124y y =-.（1）求p 的值；（2）直线1l 过B 与x 轴平行，直线2l 过F 与AB 垂直，若1l 与2l 交于点N ，且直线AN 与x 轴交于点()4,0M ，求直线AB 的斜率.【答案】（1）2p =；（2）±. 【分析】（1）直线与抛物线方程联立，利用韦达定理得12y y ， 建立关于p 的方程，从而得到答案；（2）分别求出,,A M N 三点坐标用m 表示，由三点共线得到关于m 的方程，求得答案. 【详解】（1）由条件得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭. 易知AB 不垂直于y 轴，可设AB ：2p x ty =+. 由22,,2y px p x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2220y pty p --=， 所以2124y y p =-=-，所以2p =.（2）由（1）知抛物线方程为24y x =，()1,0F .设()2,2A m m ，由题易知0m ≠且1m ≠±.因为124y y =-，所以212,B mm ⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以AB 的斜率为22222211m m m m m m--=--，直线2l 的斜率为212m m -. 直线1l ：2y m =-，直线2l ：()2112my x m -=-，所以2232,1m N m m ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭.由A ，M ，N 三点共线得2222222341m m m m m m m +=+---，解得m =.所以直线AB的斜率为±.【点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系.属于中档题.25．已知圆()22:620C x y -+=，直线:l y kx =与圆C 交于不同的两点 A B ，． （1）求实数k 的取值范围；（2）若2OB OA =，求直线l 的方程．【答案】（∴）k <<（∴）y x =± 【详解】试题分析：（∴）由直线与圆有两个不同交点得，圆心到直线距离小于半径，或利用直线方程与圆方程联立方程组有两个不同的解列判别式恒大于零，列出关于k 的限制条件，解出k 的取值范围；（∴）由2=OB OA得A 为OB 的中点，设()11 A x y ，，则()112? 2?B x y ，，代入圆方程得()2211620x y -+=，()221126420x y -+=，解方程组可得112? 2x y ==，或112? 2x y ==-，，因此可出求直线l 的方程 试题解析：（∴）将直线l 的方程y kx =代入圆C 的方程()22620x y -+=后，整理得()22112160k xx +-+=，依题意，直线l 与圆C 交于不同的两点．又∴210k +≠，∴只需()()221241160k ∆=--+⋅>，解得k 的取值范围为22k -<<． （∴）由已知A 为OB 的中点，设()11 A x y ，，()22 B x y ，，则 ()2211620x y -+=，∴()221126420x y -+=，∴解∴∴可得112?2x y ==，或112? 2x y ==-，，∴直线l 的方程为y x =± 考点：直线与圆位置关系三、填空题26．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l：10x -=与C 交于P 、Q (P 在x 轴上方)两点，若PF FQ λ=，则实数λ的值为_______【答案】5+【分析】先求出(5P +、(5Q --、(1,0)F，再求出(4PF =----和(4FQ =-，最后建立方程求λ即可.【详解】解：由题意联立方程组2410y x x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得5x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩5x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 因为P 在x轴上方，所以(5P ++、(5Q -,因为抛物线C 的方程为24y x =，所以(1,0)F ，所以(4PF =---，(4FQ =-因为PF FQ λ=，所以(4(4λ---=-，解得：5λ==+故答案为：5+【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线的几何性质、利用共线向量求参数，是中档题27．已知点()1,2P 在抛物线E ：()220y px p =>上，过点()1,0M 的直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，若3AM MB =，则直线l 的倾斜角的正弦值为______.【分析】求出2p =，设过点()1,0M 的直线方程为1x my =+，将直线与抛物线联立，利用韦达定理可得124y y m +=，124y y =-，根据向量可得123y y -=，从而求出直线的倾斜角，即求.【详解】因为点在抛物线E ：()220y px p =>上，所以421p =⨯，得2p =，所以24y x =，设过点()1,0M 的直线方程为：1x my =+，所以214x my y x=+⎧⎨=⎩，所以2440y my --=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 所以124y y m +=，124y y =-，又因为3AM MB =，所以123y y -=，所以m =，因为直线的斜率tan k θ==由()0,θπ∈，所以3πθ=或23π，所以sin 2θ=.故答案为：2【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了基本运算求解能力，属于中档题.28．设1F ，2F 分别是椭圆()222:101y E x b b+=<<的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若113AF F B =，2AF x ⊥轴，则椭圆E 的方程为________．【答案】22312y x +=【分析】根据2AF x ⊥轴，可求得A 点坐标，又113AF F B =，得113AF F B =，则可求得B 点坐标，代入椭圆方程，即可求得223b =，即可得答案. 【详解】设()()12,0,,0F c F c -， 因为2AF x ⊥轴，所以A x c =，代入椭圆方程得()2,A c b ，设(),B x y ，因为113AF F B =，得113AF F B=，。

2021届高考数学(理)客观题重难点专题07 圆锥曲线(考点精讲)(解析版)

2021届高考数学(理)客观题重难点专题07 圆锥曲线(考点精讲)(解析版)

专题07 圆锥曲线-考点精讲重点突破——圆锥曲线性质的2个常考点考法(一) 椭圆、双曲线的离心率的求值及范围问题 1．椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2； (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .[典例] (1)已知A (1,2)，B (－1,2)，动点P 满足AP ―→⊥BP ―→，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(1，2)D ．(1， 2 ][解析] 设P (x ，y )，由题设条件得动点P 的轨迹方程为(x －1)(x ＋1)＋(y －2)(y －2)＝0，即x 2＋(y －2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay＝0，因此由题意可得2a a 2＋b 2>1，即2a c >1，则e ＝ca <2，又e >1，故1<e <2.[答案] A(2)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．[解析] 如图，由题意知|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)． [答案] 2[解题方略]椭圆、双曲线离心率的求值及范围问题的解题策略解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．[针对训练]1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )A.22B ．2－3 C.5－2D.6－3【解析】选D 设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝m ，若△ABF 1是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB |＝|AF 1|＝m ，|BF 1|＝2m .由椭圆的定义可得△ABF 1的周长为4a ，即有4a ＝2m ＋2m ，即m ＝(4－22)a ，则|AF 2|＝2a －m ＝(22－2)a ，在Rt △AF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2，即4c 2＝4(2－2)2a 2＋4(2－1)2a 2，即有c 2＝(9－62)a 2，即c ＝(6－3)a ，即e ＝ca＝6－ 3.2．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，若MF ―→1·NF ―→1＞0，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2＋1)B ．(1，2＋1)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)【解析】选B 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 依题意可得c 2a 2－y 2b 2＝1，得到y ＝b 2a ，不妨设M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ， 则MF ―→1·NF ―→1＝⎝⎛⎭⎫－2c ，－b 2a ·⎝⎛⎭⎫－2c ，b 2a ＝4c 2－b 4a 2＞0，得到4a 2c 2－(c 2－a 2)2＞0， 即a 4＋c 4－6a 2c 2＜0， 故e 4－6e 2＋1＜0，解得3－22＜e 2＜3＋22， 又e ＞1，所以1＜e 2＜3＋22， 解得1＜e ＜1＋ 2.考法(二) 圆锥曲线中的最值问题[典例] (1)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33 B.23 C.22D ．1[解析] 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0＞0)， 则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p.设M (x ′，y ′)，由PM ―→＝2MF ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝⎛⎭⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2(0－y ′)，化简可得⎩⎨⎧x ′＝p ＋x 03，y ′＝y 03.∴直线OM 的斜率为k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2y 0＋y 0≤2p 22p 2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)， 故直线OM 的斜率的最大值为22. [答案] C(2)已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，若点A (3,2)，则|P A |＋|PF |取最小值时，点P 的坐标为________．[解析] 将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6. ∵6>2，∴A 在抛物线内部．如图，设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d ，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 有最小值，最小值为72，即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时点P 纵坐标为2，代入y 2＝2x，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2)．[答案] (2,2) [解题方略]圆锥曲线中最值问题的求解策略(1)利用圆锥曲线的定义进行转化，一般在三点共线时取得最值．(2)求圆锥曲线上的点到已知直线的距离的最值，则当已知直线的平行线与圆锥曲线相切时，两平行线间的距离即为所求．(3)利用基本不等式求最值．[针对训练]1．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线上在第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( )A ．8B ．10C ．4＋37D ．3＋317【解析】选B 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝233，c ＝7，c 2＝a 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，c 2＝7，则双曲线C 的方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|P A |＋3，又点P 在第一象限，则|PF ′|＋|P A |的最小值为|AF ′|＝3，故△P AF 的周长的最小值为10.2．抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线上的两个动点，若x 1＋x 2＋4＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( )A.π3B.3π4C.5π6D.2π3【解析】选D 由抛物线的定义可得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2，又x 1＋x 2＋4＝233|AB |，得|AF |＋|BF |＝233|AB |，所以|AB |＝32(|AF |＋|BF |)．所以cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22|AF |·|BF |＝|AF |2＋|BF |2－⎣⎡⎦⎤32(|AF |＋|BF |)22|AF |·|BF |＝14|AF |2＋14|BF |2－32|AF |·|BF |2|AF |·|BF |＝18⎝⎛⎭⎫|AF ||BF |＋|BF ||AF |－34≥18×2|AF ||BF |·|BF ||AF |－34＝－12，而0＜∠AFB ＜π，所以∠AFB 的最大值为2π3.失误防范——警惕圆锥曲线中的3个易错点1．忽略直线斜率不存在情况致误直线与圆锥曲线位置关系问题中，易忽视直线的斜率不存在这一情形.[练1] 过点P (2,1)作直线l ，使l 与双曲线x 24－y 2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l 共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【解析】选B 依题意，双曲线的渐近线方程是y ＝±12x ，点P 在直线y ＝12x 上．①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，此时直线l 与双曲线有且仅有一个公共点(2,0)，满足题意．②当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)， 即y ＝kx ＋1－2k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－2k ，x 2－4y 2＝4，消去y 得x 2－4(kx ＋1－2k )2＝4， 即(1－4k 2)x 2－8(1－2k )kx －4(1－2k )2－4＝0(*)． 若1－4k 2＝0，则k ＝±12，当k ＝12时，方程(*)无实数解，因此k ＝12不满足题意；当k ＝－12时，方程(*)有唯一实数解，因此k ＝－12满足题意．若1－4k 2≠0，即k ≠±12，此时Δ＝64k 2(1－2k )2＋16(1－4k 2)[(1－2k )2＋1]＝0不成立，因此满足题意的实数k 不存在．综上所述，满足题意的直线l 共有2条．2．忽略条件致误应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中的条件而导致错误.[练2] 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．【解析】如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B 两点．连接MC 1，MC 2. 根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |. 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2. 所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数．又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离比与C 1的距离大)，可设轨迹方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0，x <0)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x <0)． 答案：x 2－y 28＝1(x <0) 3．忽略焦点的位置致误当焦点位置没有明确给出时，应对焦点位置进行分类讨论，椭圆、双曲线有两种情况，抛物线有四种情况.[练3] 已知椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率等于32，则m ＝________.【解析】①当椭圆的焦点在x 轴上时，则a 2＝4，即a ＝2. 又e ＝c a ＝32，所以c ＝3，m ＝b 2＝a 2－c 2＝4－(3)2＝1.②当椭圆的焦点在y 轴上时，椭圆的方程为y 2m ＋x 24＝1.则b 2＝4，即b ＝2.又e ＝c a ＝32，故1－b 2a 2＝32，解得b a ＝12，即a ＝2b ，所以a ＝4.故m ＝a 2＝16. 综上，m ＝1或16. 答案：1或16。

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第7讲 共线问题一、解答题1．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率2e =，椭圆上的点到焦点的最短距离为21-, 直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且. （1）求椭圆方程；（2）求m 的取值范围．【答案】（1）y 2212x +=1．（2）（﹣1，12-）∪（12，1）．【详解】（1）由条件知a ﹣c ＝12-2c a =， ∴a ＝1，b ＝c =，故C 的方程为：y 2212x +=1． （2）设l ：y ＝kx +m 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）联立得（k 2+2）x 2+2kmx +（m 2﹣1）＝0△＝（2km ）2﹣4（k 2+2）（m 2﹣1）＝4（k 2﹣2m 2+2）＞0 （*）x 1+x 2222km k =-+，x 1x 22212m k -=+ ∵AP =3PB ，∴﹣x 1＝3x 2∴x 1+x 2＝﹣2x 2，x 1x 2＝﹣3x 22，消去x 2，得3（x 1+x 2）2+4x 1x 2＝0，∴3（222km k -+）2+42212m k -⨯=+0整理得4k 2m 2+2m 2﹣k 2﹣2＝0m 214=时，上式不成立； m 214≠时，k 2222241m m -=-， 因λ＝3，∴k ≠0，∴k 2222241m m -=-＞0， ∴﹣1＜m 12-＜或12＜m ＜1 容易验证k 2＞2m 2﹣2成立，所以（*）成立 即所求m 的取值范围为（﹣1，12-）∪（12，1）．2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线与C 相交于A ，B ，且AB OB ⊥，O 坐标原点.（1）求椭圆的离心率e ；（2）若1b =，过点F 作与直线AB 平行的直线l ，l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点.（ⅰ）求OP OQ k k ⋅的值；（ⅰ）点M 满足2OMOP =，直线MQ 与椭圆的另一个交点为N ，求NM NQ 的值.【答案】（1；（2）（ⅰ）15-；（ⅰ）38. 【分析】（1）由几何关系可得B 点坐标，代入椭圆方程即得a =，又222,c a b c e a=+=即得； （2）（ⅰ）将直线PQ 与椭圆联立即得1212OP OQ y y k k x x ⋅=结果； （ⅰ）,(01)NM NM NQ NQλλλ==<<将其坐标化，利用P ，Q ，N 在椭圆上求得结果即可． 【详解】（1）已知||,||,26a OA a OB BAF π==∠=，则4a B ⎛- ⎝⎭，代入椭圆C 的方程：2222311616a a a b +=，∴225,a a b==，∴2c b =，∴5c e a ==． （2）（ⅰ）由（1）可得1,b a ==22:15x C y += 设直线l：()()()1122332,,,,,,x P x y Q x y N x y =+∵2OM OP =，∴11,22x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 联立直线l 与椭圆C的方程：22255x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩2810,0y +-=∆>恒成立121218y y y y +==-∴))12121212522348x x y y y y =++=+++= ∴121215OP OQ y y k k x x ⋅==-． （ⅰ）设,(01)NM NM NQ NQλλλ==<< ()11332323,,,22x y NM x y NQ x x y y ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ()()1323132322x x x x y y y y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩∴12312322(1)22(1)x x x y y y λλλλ-=-⎧⎨-=-⎩ ()()312312122(1)122(1)x x x y y y λλλλ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩∵P ，Q ，N 在椭圆上，∴22222211223355,55,55x y x y x y +=+=+= ()()2212122222554(1)4(1)x x y y λλλλ--+=-- ∴()()222222112212125454520(1)x y x y x x y y λλλ+++-+=-由（ⅰ）可知121250x x y y +=，∴22144(1)λλ+=-， ∴38λ= ∴38NM NQ =． 3．已知曲线()()()22:528C m x m y m R -+-=∈.（1）若曲线C 表示双曲线，求m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的范围；（3）设4m =，曲线C 与y 轴交点为A ，B （A 在B 上方），4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ，N ，1y =与BM 交于G ，求证：A ，G ，N 三点共线.【答案】（1）()(),25,-∞+∞；（2）()3.5,5；（3）见解析 【分析】（1）若曲线C 表示双曲线，则：()()520m m --<，解得m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则250m m ->->，解得m 的取值范围；（3）联立直线与椭圆方程结合()23223k =-，解得k ，设(),4N N N x kx +，(),4M M M x kx +，()1G G x ，，求出MB 的方程，可得316M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，从而可得3 16M M x AG kx ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，，() ,2N N AN x kx =+，欲证A ，G ，N 三点共线，只需证 AG ，AN 共线，利用韦达定理，可以证明．【详解】（1）若曲线C 表示双曲线，则：()()520m m --<，解得：()()25m ∈-∞⋃+∞，，. （2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则：250m m ->->， 解得：7,52m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）当4m =，曲线C 可化为：2228x y +=，当0x =时，2y =±， 故A 点坐标为：()02，，()02B -，， 将直线4y kx =+代入椭圆方程2228x y +=得：()222116240k x kx +++=， 若4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ，N ，则()232230k =->，解得232k >， 由韦达定理得：21621m n k x x k +=-+ ①， 22421m n x x k ⋅=+ ② 设(),4N N N x kx +，(),4M M M x kx +，()1G G x ，， MB 方程为：62M M kx y x x +=-，则316M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，， ∴3 16M M x AG kx ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，，() ,2N N AN x kx =+， 欲证A ，G ，N 三点共线，只需证 AG ，AN 共线，即()326M N N M x kx x kx +=-+， 将①②代入可得等式成立，则A ，G ，N 三点共线得证．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解，属于中档题.4．已知圆O 的方程为224x y +=，圆O 与y 轴的交点为A ，B (点A 在点B 的上方)，直线:1l y kx =+与圆O 相交于M ，N 两点（1）当k =1时，求弦长MN ；（2）若直线y =4与直线BM 交于点D ，求证：D 、A 、N 三点共线.【答案】（1；（2）证明见解析；【分析】（1）先求出圆心到直线的距离d，再由MN =（2）联立2241x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，借用韦达定理表示出,DA AN →→，证明//DA AN →→，即可证明D 、A 、N 三点共线.【详解】（1）∵1k =，∴直线l 的方程为10x y -+=.圆心到直线的距离2d ==，∴MN === （2）由题可得()0,2A ，()0,2B -，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立2241x y y kx ⎧+=⎨=+⎩得：()221230k x kx ++-=，12221k x x k +=-+，12231x x k -=+，112:2BM y l y x x ++=，令4y =， 得1162x x y =+，∴116,42x D y ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， 116,22x DA y →⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，()22,2AN x y →=-，∵()12121212211162612242222x y x y x x y x x y y y ---+++=++++ 1221121621242x y x y x x y -+++=+ ()()122112*********x kx x kx x x y -+++++=+ 12112212166221242kx x x kx x x x x y --++++=+ ()221212113246461122k k kx x x x k k y y --⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭==++ 22112121102k k k k y -++==+，//DA AN →→∴，∴D 、A 、N 三点共线.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，圆的弦长的求解，韦达定理的应用，考查了学生的运算求解能力. 5．已知椭圆C ： 2212x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ， O 为原点， M ， N 是y 轴上的两个动点，且MF NF ⊥，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ， D 两点．（ⅰ）求MFN ∆的面积的最小值；（ⅰ）证明： E ， O ， D 三点共线.【答案】（1）1；（2）详见解析。

【解析】试题分析：（ⅰ）设()0,M m ， ()0,N n ，然后根据MF NF ⊥求得mn 的值，从而得到AMFN S 的表达式，从而利用基本不等式求出最小值，；（ⅰ）首先设出直线AM 的方程，然后联立椭圆方程，利用韦达定理得到点,E D 坐标间的关系，从而使问题得证．试题解析：（ⅰ）设()0,M m ， ()0,N n ，∵MF NF ⊥，可得1mn =-，1122AMFN S AF MN MN ==， ∵222||||2MN MF NF MF NF =+≥⋅，当且仅当MF NF =时等号成立．∴min ||2MN =，∴()min 112MFN S MN ==， ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1．（ⅰ）∵()A ， ()0,M m ，∴直线AM的方程为y x m =+，由22,{22,y x m x y =++=得()()22221210m x x m +++-=，由()22211E m x m -=+，得)2211E m x m -=+，①同理可得)2211D n x n -=+，∵1m n ⋅=-，∵221111D m x m ⎤⎛⎫-⎥ ⎪⎝⎭⎥⎣⎦=⎛⎫+ ⎪⎝⎭)221,1m m -=+② 故由①②可知： E D x x =-，代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF NF ⊥，故M ， N 分别在x 轴两侧， E D y y =-， ∴E D E Dy y x x =，∴E ， O ， D 三点共线．点睛:解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法．6．已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于,M N 两点.（1）若直线l 的方程为3y x ，求||||MF NF +的值；（2）若直线l 的斜率为2，l 与y 轴的交点为P ，且2MP NP =，求||MN .【答案】（1）18；（2）3. 【分析】（1）设出点的坐标联立直线与抛物线的方程，消去x ，由韦达定理可得1214y y +=，由抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等即可得结果.（2）可设直线l 的方程为2y x t =+，联立直线与抛物线的方程，消去y ，结合韦达定理以及2MP NP =可解出1323x =，2163x =，根据弦长公式12|||MN x x =-即可得结果. 【详解】（1）设()11,M x y ，()22,N x y .联立28,3,x y y x ⎧=⎨=+⎩整理得21490y y -+=，则1214y y +=.因为,M N 均在抛物线C 上，所以12||||418MF NF y y +=++=.（2）设(0,)P t ，则直线l 的方程为2y x t =+.联立28,2,x y y x t ⎧=⎨=+⎩整理得21680x x t --=，则1216x x +=，128x x t =-，且216320t ∆=+>，即8t >-.因为2MP NP =，所以点N 为线段MP 的中点，所以122x x =.因为1216x x +=，所以1323x =，2163x =， 此时51289t -=，6489t =->-，故123216|||33MN x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭. 【点睛】 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，直线与抛物线相交时所得的弦长问题，注意抛物线性质的应用，属于中档题.7．已知抛物线2:3C x y =的焦点为F ，斜率为1的直线l 与C 的交点为A B 、，与y 轴的交点为P . （1）若5AF BF +=，求直线l 的方程；（2）若2AP PB =，求线段AB 的长度.【答案】（1）1:4l y x =+（2）【分析】（1）设直线l 方程为()()1122,,,y x b A x y B x y =+,，1232AF BF y y +=++，直线方程与抛物线方程联立，由根与系数关系求出12x x +，进而得出12y y +建立b 的方程，求解即可； （2）由2AP PB =，得122x x -=，结合（1）中的12,x x 关系，即可求出结论. 【详解】()1 设直线l 方程为()()1122,,,y x b A x y B x y =+,，联立223330x yx x b y x b⎧=⇒--=⎨=+⎩ 由0∆>得34b >-，1212123, 223x x y y x x b b +=+=++=+. 由抛物线的定义知123323522AF BF y y b +=++=++=所以14b =，满足0∆>，符合题意，所以直线l 方程为14y x =+.()2由（1）得12123,3x xx x b +==-.由2AP PB =得122x x -=，解得126,3,6x x b ==-=，满足0∆>，符合题意，所以12|AB x x =-= 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，要熟练掌握根与系数关系在解题的中应用，不要遗漏两交点存在满足的条件，考查计算求解能力，属于基础题.8．在平面直角坐标系中，A （﹣1.0），B （1，0），设△ABC 的内切圆分别与边AC ，BC ，AB 相切于点P ，Q ，R ，已知|CP |＝1，记动点C 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）过G （2，0）的直线与y 轴正半轴交于点S ，与曲线E 交于点H ，HA ⊥x 轴，过S 的另一直线与曲线E 交于M 、N 两点，若S △SMG ＝6S △SHN ，求直线MN 的方程.【答案】（1）221(0)43x y y +=≠；（2）12y x =+或12y x =-+.【分析】（1）由椭圆定义可知，曲线E 为除去与x 轴的交点的椭圆，由定义即可求出方程； （2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），依题意可得||3||SM SN =即有x 1＝﹣3x 2，分直线MN 斜率存在及不存在两种情况讨论，当斜率不存在时易知不符合条件，当斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，由此建立等式，解出即可得到答案. 【详解】（1）由题意知，|CA |+|CB |＝|CP |+|CQ |+|AP |+|BQ |＝2|CP |+|AB |＝4＞|AB |， ∴曲线E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆（除去与x 轴的交点），设曲线E ：22221(0,0)x y a b y a b +=>>≠，则c ＝1，2a ＝4，即a ＝2，b 2＝a 2﹣c 2＝3，∴曲线E 的方程为221(0)43x y y +=≠；（2）因为HA ⊥x 轴，所以3(1,)2H -，设S （0，y 0），∴03223y --=-，解得y 0＝1，则S （0，1），因为a ＝2c ，所以|SG |＝2|SH |，∴1||||sin 2||261||||||sin 2SMG SHN SM SG MSG S SM S SN SN SH NSH ∆∆∠===∠， ∴||3||SM SN =，则3SM SN =-， 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则1122(,1),(,1)SM x y SN x y =-=-，则x 1＝﹣3x 2， ①当直线MN 斜率不存在时，MN 的方程为x ＝0，此时||2||SM SN ==+ ②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx +1，联立221143y kx x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3+4k 2）x 2+8kx ﹣8＝0，∴122122834834k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 将x 1＝﹣3x 2代入得，2222282348334k x k x k -⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴222483()3434k k k =++， ∴232k =，解得k = ∴直线MN的方程为12y x =+或12y x =-+. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查定义法求轨迹，以及直线与椭圆的位置关系的应用，解题关键是由S △SMG ＝6S △SHN 通过合适的面积公式转化为3SM SN =-，进而找到,M N 的横坐标关系，再通过直线与椭圆联立，由韦达定理建立等式解出．9．已知椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （2，0），且过点（．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线l ：y=kx （k ＞0）与椭圆在第一象限的交点为M ，过点F 且斜率为-1的直线与l 交于点N，若FN MN=sin ∠FON （O 为坐标原点），求k 的值． 【答案】（1）2211612x y +=；（2）32k 或926 【分析】（1）根据题意列出有关a 2、b 2的方程组，求出这两个数的值，即可求出椭圆的标准方程；（2）设点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标（x 2，y 2），利用已知条件3FN MN=sin ∠FON ，得出1252y y =，然后将直线l 的方程分别与椭圆方程和直线NF 的方程联立，求出点M 、N 的坐标，结合条件1252y y =可求出k 的值．【详解】（1）由题意可知222241231a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得a 2＝16，b 2＝12（负值舍去），所以椭圆方程为2211612x y +=；（2）设点M 的坐标为11x y （，），点N 的坐标22x y （，），由题可知120y y ＞＞，故12MN sin FON y y ∠＝﹣， 因为2y FN sin OFN =∠，而4OFN π∠=，所以2FN =，由FN FON MN=∠)2123y y =-， 所以1252y y =， 由2211612y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x，可得1y =，易知直线NF 的方程为20x y+﹣＝， 由20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，消去x ，可得221ky k =+，5221kk =⋅+，整理得52k 2﹣96k +27＝0， 解得32k =或926k =． 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆综合问题的求解，解决本题的关键在于求出一些关键的点和直线方程，考查计算能力，属于中等题．10．如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的半焦距为c ,且过点12⎫⎪⎭,原点O 到经过两点(c ,0),(0,b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的方程;(2)A 为椭圆E 上异于顶点的一点,点P 满足OP AO λ=,过点P 的直线交椭圆E 于B,C 两点,且BP BC μ=,若直线OA,OB 的斜率之积为14-,求证:221λμ=-. 【答案】（1）2214x y +=.（2）见解析【详解】试题分析：（1）利用点到直线距离公式得等量关系：12bc c a =,即a =2b .再利用点在椭圆上的条件得223114a b+=,解得a=2,b=1,（2）设()()()112333,,,,,,A x y B x y C x y 化简BP BC μ=,得3123121{1x x x y y y λμμμλμμμ-=-+-=-+,代入椭圆方程得()221212221114x x y y λμλμμμμ-⎛⎫⎛⎫-⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再根据直线OA,OB 的斜率之积为14-,得121240x x y y +=，即得221λμ=-. 试题解析：(1)过点(c ,0),(0,b )的直线方程为bx +cy -bc =0,则原点O到直线的距离为12bc d c a ===, 得a =2b .又椭圆过点12⎫⎪⎭,则223114a b +=,联立得a=2,b=1, 所以椭圆方程为2214x y +=.(2)证明:设()()()112333,,,,,,A x y B x y C x y 因为()11,OP AO x y λλλ==--, 又BP BC μ=,得()()12123232,,x x y y x x y y λλμ----=--,故3123121{1x x x y y y λμμμλμμμ-=-+-=-+,代入椭圆方程得:2212121114x x y y λμμμλμμμ⎛⎫--+ ⎪⎛⎫-⎝⎭+-+= ⎪⎝⎭, 整理得()2222221212121222111444x x x x y y y y λμλμμμμ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.① 因为A,B 在椭圆E 上,所以222212121,144x x y y +=+=,②又直线OA,OB 的斜率之积为14-即121212121404y y x x y y x x =-⇒+=.③ 将②③两式代入(1)得2221121λμλμμμ⎛⎫⎛⎫-+=⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.11．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上的点到右焦点F1．()1求椭圆C 的方程；()2如图，过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的动直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线l 的斜率为1k ，A 为椭圆上的一点，直线OA 的斜率为2k ，且121k k =，B 是线段OA 延长线上一点，且4.5ABMN =过原点O 作以B 为圆心，以AB为半径的圆B 的切线，切点为.P 令OP MNλ=，求2λ取值范围．【答案】(1)22 12x y +=；(2)211 62λ<< 【分析】()1依题1a c +=，结合离心率求得a 与c 的值，再由隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；()2由已知可得直线l 的方程，与椭圆C ：2212x y +=联立，化为关于x 的一元二次方程，利用弦长公式求得弦MN ，写出OA 所在直线方程，与椭C ：2212x y +=联立求得OA ，得到OA MN ，利用换元法求得OA MN 的范围，把222||||OP MN λ=转化为含OA MN 的代数式求解．【详解】() 1依题1a c +=，2c a=，解得a =1c =，222211b a c ∴=-=-=．∴椭圆C 的方程为2212x y +=；()2由已知可得直线l 的方程为：112y kx =+，与椭圆C ：2212x y +=联立，得()221124430k x k x ++-=，由题意0>，设()11,M x y ，()22,N x y ，则11221212k x x k +=-+，()12213212x x k -=+．∴弦1MN ==OA 所在直线方程为2y k x =，与椭C ：2212x y +=联立，解得222212x k =+，OA∴=2OAMN==．令2121(1)t k t=+>，则2112tk-=，则OAMN==，2OAMN<<，222222222||()||||||||||OB AB OA AB ABOPMN MN MNλ-+-∴===①224()2()25OA AB OA OA OAMN MN MN MN MN=+⋅=+⋅⋅．令OAMNω=，由①知，62ω<<，换元得：2285λωω=+ω<<．21162λ∴+<+【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题．12．已知抛物线21:2(0)C y px x=>与椭圆2222:2(0)C x y m m+=>的一个交点为(1,)P t，点F是1C的焦点，且32PF=.(1)求1C与2C的方程；(2)设O为坐标原点，在第一象限内，椭圆2C上是否存在点A，使过O作OA的垂线交抛物线1C于B，直线AB交y轴于E，且OAE EOB∠=∠?若存在，求出点A的坐标和AOB∆的面积；若不存在，说明理由.【答案】(1) 22212:2,:2 5.C y x C x y =+= (2) 见解析 【分析】（1）利用抛物线的定义求p ，点的坐标代入求出t ，m 的值；（2）设出OA ，OB 的方程与椭圆、抛物线分别联立，求出A 的横坐标，利用OAE EOB ∠=∠，即可得出结论． 【详解】（1）由抛物线定义：3122p PF =+=，所以11,p C =的方程为22y x =，将()1,P t 代入21:2c y x =得22t =，即t =(1,p 代入2222:2c x y m +=，得25m =，故2C 方程为2225x y +=.即22212:2,:2 5.C y x C x y =+=（2）由题意：直线OA 的斜率存在且不为0，设OA 的方程为()0y kx k =≠，由于OA OB ⊥，则OB 的方程为1y x k =-，由2225x y y kx⎧+=⎨=⎩得22225,x k x x +=∴= 由221y xy xk ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得222x x k =，得0x =（舍）或22.x k =在第一象限内，若满足OAE EOB ∠=∠的点A 存在，则0k >，此时()2,2,2A B k k -， 设直线AB 与x 轴交于点D ，由于0,90OAE EOB AOB DOE ∠=∠∠=∠=，所以,OAD AOD DOB OBD ∠=∠∠=∠，故AD OD BD ==，即D 为线段AB 中点，因此A B y y =-，即2k，解得21,8k A ⎛= ⎝⎭，故存在适合题意的2,2A ⎛ ⎝⎭，此时1,42B ⎛- ⎝⎭，此时4AB k == AB方程为)227y x -=-，即714y x =-， 点O 到AB的距离2h =，94AB ==，所以1922416AOB S ∆== 【点睛】本题考查抛物线、椭圆的方程，考查直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．13．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在坐标原点O ，其右焦点为()1,0F ，且点 31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上．()1求椭圆C 的方程；()2设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线MF 交椭圆C 于另一点N ，直线MB 交直线4x =于Q 点，求证：A ，N ，Q 三点在同一条直线上．【答案】（1）22143x y += （2）见解析【分析】（1）设椭圆的方程为22221x y a b +=，由题意可得2222211914c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解方程组即可.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为1x my =+，由方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()2234690my my ++-=，根据韦达定理求出点Q 的坐标，根据向量即可求出//AN AQ ，且向量AN 和AQ 有公共点A ，即可证明．【详解】（1）不妨设椭圆的方程为22221x y a b+=，(0)a b >>.由题意可得2222211914c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =，故椭圆的方程22143x y +=.（1）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线MN 的方程为1x my =+，由方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得22(34)690m y my ++-=223636(34)0m m ∆=++>122634m y y m ∴+=-+，122934y y m =-+， 直线BM 的方程可表示为11(2)2y y x x =--， 将此方程与直线4x =成立，可求得点Q 的坐标为112(4,)2y x -， 22(2,)AN x y ∴=+，112(6,)2y AQ x =-， ()()()211212211622226222y x y x y y x x x --+-+=--()()()2112161221212y my y my my ⎡⎤⎡⎤+--++⎣⎦⎣⎦=+-()22121211964()6()463434011mm my y y y m m my my ----+++===--，//AN AQ ∴，向量AN 和AQ 有公共点A ，A ∴，N ，Q 三点在同一条直线上．【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，向量问题等基础知识，考查了运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，应用意识，是中档题．14．已知点F 是抛物线2C:2(0)y px p =>的焦点，若点()0,4P x 在抛物线C 上，且5.2PF p =()1求抛物线C 的方程；()2动直线()l:1x my m R =+∈与抛物线C 相交于,A B 两点，问：在x 轴上是否存在定点(),0(D t 其中0)t ≠，使得向量DA DB DADB+与向量OD 共线(其中O 为坐标原点)？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）24y x =；（2）存在，()1,0D -. 【分析】()1求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得P 的坐标，代入抛物线方程，解得2p =，进而得到抛物线的方程；()2在x 轴上假设存在定点(),0(D t 其中0)t ≠，使得DA DB DADB+与向量OD 共线，可得x 轴平分ADB ∠，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立1x my =+和24y x =，根据120k k +=恒成立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理可得,m t 的方程，求得1t =-，可得结论． 【详解】()1抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为,02p⎛⎫⎪⎝⎭， 准线方程为2p x =-，即有0522p p PF x =+=，即02x p =， 则2164p =，解得2p =， 则抛物线的方程为24y x =；()2在x 轴上假设存在定点(),0(D t 其中0)t ≠，使得DA DB DADB+与向量OD 共线，由DA DA，DB DB均为单位向量，且它们的和向量与OD 共线，可得x 轴平分ADB ∠， 设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立1x my =+和24y x =， 得2440y my --=，()21610m =+>恒成立．124y y m +=，12 4.y y =-①设直线DA 、DB 的斜率分别为1k ，2k ， 则由ODA ODB ∠=∠得，()()()()122112121212y x t y x t y yk k x t x t x t x t -+-+=+=---- ()()()()()()()()1221121212121121y my t y my t my y t y y x t x t x t x t +-++-+-+==----，()()1212210my y t y y ∴+-+=，②联立①②，得()410m t -+=， 故存在1t =-满足题意，综上，在x 轴上存在一点()1,0D -，使得x 轴平分ADB ∠，即DA DB DADB+与向量OD 共线．【点睛】本题考查抛物线的方程、定义和性质，以及直线和抛物线的位置关系、转化与划归思想的应用，属于综合题．存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.①当条件和结论不唯一时要分类讨论.②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.③当条件和结论都不知，按常规方法很难时，采取另外的途径.15．已知圆()2221:1F x y t ++=，圆()()2222:1F x y t-+=， 0t <<点时，所有可能的公共点组成的曲线记为C . （1）求出曲线C 的方程；（2）已知向量()1,3a =， M ， N ， P 为曲线C 上不同三点， 22F M F N a λμ==，求PMN 面积的最大值.【答案】（1）2212x y +=（2【解析】试题分析：（1）看到12,F F 具有对称性所以要联想到椭圆或双曲线的定义，曲线C 上的点满足1212|2PF PF F F +==,∴曲线C 是以12,F F 为焦点的椭圆（2）∵22F M F N a λμ==，∴2,,M N F 三点共线，且直线MN l∴直线MN l 的方程为)1y x =-，与椭圆方程联立得271240x x -+=，借助弦长公式求得三角形的底边长，利用椭圆得参数方程设出动点设),sin Pθθ，利用点到直线距离公式求得高的最大值，从而得三角形面积最大值 试题解析：（1）曲线C 上的点满足1212|2PF PF F F +==, ∴曲线C 是以12,F F 为焦点的椭圆∴1,1a c b ===∴曲线C 的方程是2212x y +=（2）∵22F M F N a λμ==，∴2,,M N F 三点共线，且直线MN l∴直线MN l 的方程为)1y x =-， 与椭圆方程联立得271240x x -+=，∴MN =7=.设),sin Pθθ，∴P 到直线MN l 的距离d ==∴max 2d =，∴MNP S点睛：看到此类题首先联想到圆锥曲线的三个方程定义，根据定义得几何关系从而确定方程求解，在求三角形面积最值问题时首先明确其表达式一般是算弦长，算高，对于本题而言，要特别注重参数方程在此题得应用，这样求解高显得很简单16．已知方向向量为(1,3)v =的直线l 过点(0,-和椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的右焦点，且椭圆的离心率为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）若已知点()3,0D ，点M,N 是椭圆C 上不重合的两点，且DM DN λ=， 求实数λ的取值范围.【答案】（1）22162x y +=；（2）(5)(1,5-⋃+. 【分析】（1）求出直线方程可得椭圆的焦点坐标，结合离心率3c e a ==，以及222b a c =-列方程求得,a b 的值，从而可得结果；（2）设出直线MN 的方程，直线方程与椭圆方程联立，利用DM DN λ=，结合韦达定理得2221123621033m m m λλ+=-=-++，结合m 的范围，得到关于λ的不等式，进而可得结果. 【详解】（1）∵直线 的方向向量为∴直线 的斜率为 ，又∵直线 过点∴直线 的方程为∵，∴椭圆的焦点为直线 与 轴的交点∴椭圆的焦点为∴，又∵∴ ，∴∴椭圆方程为（2）设直线MN 的方程为由 ， 得设 坐标分别为则(1)(2)＞0∴, ∵ ，显然，且∴∴代入(1) (2)，得∵ ,得 ，即解得 且【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦点为()1,0F c -，()2,0F c ，P 是椭圆C 上一点.若椭圆C 的离112PF F F ⊥，12PF F △（1）求椭圆C 的方程；（2）已知O 是坐标原点，向量()1,1m =，过点（2，0）的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点.若点(),Q x y 满足1OQ m ⋅=，OM ON OQ λ+=，求λ的最小值.【答案】（1）2212x y +=（2）min 2λ=【分析】（1）根据题意可得方程组联立2222222a b b c a c a b ⎧=⎪⎪⋅=⎨⎪=-⎪⎩，解得b ，a ，进而得出椭圆C 的方程.（2）设直线l 的方程为：()2y k x =-，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线l 与椭圆的方程消元，然后韦达定理得2122812k x x k +=+，21228212k x x k-⋅=+，因为OM ON OQ λ+=，得()()1212,,x x y y x y λ++=，当0k =时，0λ=，当0λ≠时，()2122812x x k x k λλ+==+，()()1212214412y y ky k x x k k λλλ+-==+-=⎡⎤⎣⎦+，因为1OQ m ⋅=，所以1x y +=，代入化简得()228412k k k λ-=+，然后变形利用基本不等式可得出答案.【详解】 （1）依据题意得2c a =， 所以2222222112c a b b a a a -==-=，所以222a b =， 因为112PF F F ⊥，故设()0,P c y -，代入椭圆方程得20b y a=±， 所以12PF F △的面积为：2120122b F F yc a ⋅⋅=⋅=.联立2222222a b b c a c a b ⎧=⎪⎪⋅=⎨⎪=-⎪⎩，解得1b =，a == 所以椭圆C 的方程为：2212x y +=.（2）由题意可知直线l 的斜率显然存在，故设直线l 的方程为：()2y k x =-，联立()22212y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()2222128820k x k x k +-+-=， 所以()()()22228412820kk k ∆=--+->，设()11,M x y ，()22,N x y ，所以2122812k x x k +=+，21228212k x x k-⋅=+， 因为OM ON OQ λ+=， 所以()()1212,,x x y y x y λ++=， 当0k =时，0λ=，当0λ≠时，()2122812x x k x k λλ+==+，()()1212214412y y k y k x x k k λλλ+-==+-=⎡⎤⎣⎦+，因为1OQ m ⋅=，所以1x y +=，所以()()2228411212k k k k λλ-+=++， 所以()()()222284114141121221413k k k k k k k k λ⎛⎫-++⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭+-++⎝⎭()1414232141k k ⎛⎫⎪=-≥= ⎪ ⎪++-+⎝⎭当且仅当12k =-时取等号，且12k =-满足>0∆，所以2λ≥综上min 2λ=. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，向量问题，考查了学生的转化能力和计算能力，属于中档题. 18．已知椭圆经过点，其离心率为，经过点，斜率为的直线与椭圆C 相交于两点．（ⅰ）求椭圆C 的方程； （ⅰ）求的取值范围；（ⅰ）设椭圆C 与轴正半轴、轴正半轴分别相交于两点，则是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．【答案】（ⅰ）2212x y +=；（ⅰ）⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，；（ⅰ）没有符合题意的常数k ． 【解析】试题分析：（ⅰ）由已知椭圆C 的离心率为可得，，即椭圆的方程为；又因为其图像过点2(1)2M ，，将其坐标直接代入即可计算出参数，即可写出椭圆的方程；（ⅰ）首先写出直线l 的方程y kx =l 和椭圆方程并将直线l 的方程代入椭圆方程整理得221102k x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，由题意知，2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=-> ⎪⎝⎭，即可解出k 的取值范围；（ⅰ）假设存在常数k ，使得向量与共线，则设1122()()P x y Q x y ，，，，则，由（ⅰ）知，可用含k 的式子表示出来，然后根据假设可得等式关系12122()x x y y +=-+，即可解出k 的值，最后验证k 的值是否满足（ⅰ）中解出的k 的取值范围. 试题解析：（ⅰ）因为椭圆C 的离心率，222212x y b b ∴+=椭圆方程为，将点2(1)2M ，代入，得，∴所求椭圆方程为2212x y +=．（ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =22(12x kx +=．整理得221102k x ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭，解得2k <-或2k >．即k 的取值范围为⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，. （ⅰ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则，由方程①，12x x +=②又1212()y y k x x +=++ 而，．所以与共线等价于12122()x x y y +=-+， 将②③代入上式，解得k = 由（1）知2k <-或k >k ． 考点：椭圆的综合应用；向量的共线.。

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