2013年广州市一模理科试题
2013年广东省广州市高考物理一模试卷
2013年广东省广州市高考物理一模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题(本大题共4小题，共16.0分)1.水压机是利用液体来传递压强的．水压机工作时，水分子间（）A.只有斥力B.只有引力C.既有引力也有斥力，但分子力表现为引力D.既有引力也有斥力，但分子力表现为斥力【答案】D【解析】解：水分子间引力和斥力是同时存在的，水压机是利用液体来传递压强时，分子间距离较小，引力f引和斥力f斥随着分子间距离减小而增大，但斥力增加快，此时分子力表现为斥力．故D正确．故选D分子间的相互作用力由引力f引和斥力f斥两部分组成，这两种力同时存在，实际的分子力是引力和斥力的合力．引力f引和斥力f斥随着分子间距离增大而减小，随着分子间距离减小而增大．对于分子力的特点，要抓住三个“同”：分子间的引力和斥力是同时存在的；随着分子间距离变化，分子引力和斥力是同增同减的．2.如图是压力保温瓶的结构简图，活塞a与液面之间密闭了一定质量的气体．假设封闭气体为理想气体且与外界没有热交换，则向下压a的过程中，瓶内气体（）A.内能增大B.体积增大C.压强不变D.温度不变【答案】A【解析】解：A、当向下压活塞a时，压力对气体做功，气体与外界又没有热交换，由热力学第一定律得内能增大，故A正确B、向下压a的过程中，体积减小，故B错误C、一定质量的气体，内能增大，温度升高，体积减小，根据气体方程得压强增大，故C错误，D错误．故选A．当向下压活塞a时，压力对气体做功，气体与外界又没有热交换，由热力学第一定律分析内能变化，根据气体方程求解压强的变化．本题是气体的状态方程与热力学第一定律结合的问题，考查综合应用物理规律的能力．关键要明确气体的压强不变．3.如图，虚线表示a、b两个相同圆形金属线圈的直径，圆内的磁场方向如图所示，磁感应强度大小随时间的变化关系B=kt（k为常量）．当a中的感应电流为I时，b中的感应电流为（）A.OB.O.5IC.ID.2I【答案】A【解析】解：b环中穿过圆环的磁感线完全抵消，磁通量为零，保持不变，所以没有感应电流产生，则I b=0．故选A本题先判断圆环中有无感应电流产生，根据产生感应电流的条件进行判断．此题关键是掌握产生感应电流的条件：穿过闭合电路的磁通量发生变化．4.如图，细线a和b的一端分别固定在水平地面上，另一端系一个静止在空气中的氢气球，细线与地面的夹角分别为30°和60°．若a、b受到的拉力分别为T a和T b，氢气球受到的浮力为F，则（）A.T a＞T bB.T a＜T bC.F=T aD.F＜T b【答案】B【解析】解：不计氢气球的重力，受力如图所示．从力图可知，T a＜T b＜F，故B正确，A、C、D错误．故选B．对氢气球受力分析，根据共点力平衡比较两绳子的拉力．解决本题的关键能够正确地受力分析，根据共点力平衡进行求解，知道在平行四边形中，边的长短代表力的大小．二、多选题(本大题共5小题，共30.0分)5.两个核反应方程：C H+H→H e+x1 ②P→S i+x2，其中x1x2各表示某种粒子，则下列说法正确的是（）A.①是聚变反应B.②是裂变反应C.X1是HD.X2是e【答案】AD【解析】解：H+H→H e+x1，知x1的电荷数为0，质量数为1，为中子，该反应为聚变反应．P→S i+x2，知x2的电荷数为1，质量数为0，为正电子．该反应不是裂变反应．故A、D正确．B、C错误．故选AD．根据电荷数守恒、质量数守恒确定未知粒子的电荷数和质量数，从而知道未知粒子为何种粒子．解决本题的关键知道核反应过程中电荷数守恒、质量数守恒．6.某正弦交流电的i-t图象如图所示，则该电流的（）A.频率f=O.02H zB.有效值I=10 AC.峰值I m=210AD.瞬时值表达式i=20sin100πt（A）【答案】BD【解析】解：A、周期T=0.02S，频率为周期的倒数是50H z，故A错误B、正弦交流电有效值I==10A，故B正确C、峰值I m=20A，故C错误D、角速度ω=2πf=100π，所以瞬时值表达式i=20sin100πt A，故D正确；故选BD．由图象知电流的有效值、周期，从而得出频率和角速度，求功率用有效值．本题考查了根据图象得出有用物理信息的能力，根据周期、峰值和有效值计算．7.如图，在同一竖直平面内，距地面不同高度的地方，以不同的水平速度同时抛出两个小球．则两球（）A.一定不能在空中相遇B.落地时间可能相等C.抛出到落地的水平距离有可能相等D.抛出到落地的水平距离一定不相等【答案】AC【解析】解：A、因为两球同时抛出，落地前相等时间内下落的高度相同，则两球一定不能在空中相遇．故A正确．B、平抛运动的时间由高度决定，所以两球落地时间不等．故B错误．C、因为初速度不等，时间不等，但是水平距离可能相等．故C正确，D错误．故选AC．平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，运动的时间由高度决定，初速度和时间共同决定水平位移．解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，知道高度决定时间．8.地球赤道上的物体随地球自转而做圆周运动的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；地球同步卫星的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；设物体与卫星的质量相等，则（）A.F1＞F2B.a1＞a2C.v1＜v2D.ω1=ω2【答案】CD【解析】解：A、物体1和卫星2周期相等，则角速度相等，即ω1=ω2，而加速度a=rω2，则a2＞a1，物体与卫星的质量相等，根据F=ma得F2＞F1．故AB错误C、物体1和卫星2周期相等，则角速度相等，即ω1=ω2，根据v=rω，则v2＞v1，故C正确，D正确故选CD．题中涉及两个物体：地球赤道上有一随地球的自转而做圆周运动物体1、地球同步卫星2；物体1与人造卫星2转动周期相同，进行比较分析即可．本题关键要将物体1、同步卫星2进行分析比较，把物体当同一种模型分析，否则会使问题复杂化．9.某静电除尘器工作时内部电场线分布的俯视图如图，带负电粉尘被吸附时由b点运动到a点，以下说法正确的是（）A.该电场是匀强电场B.a点电势高于b点电势C.电场力对粉尘做正功D.粉尘的电势能增大【答案】BC【解析】解：A、该电场的电场线疏密不均匀，所以不是匀强电场．故A错误B、沿着电场线方向电势降低．所以a点电势高于b点电势，故B正确C、带负电粉尘受电场力向右，由b点运动到a点，电场力对粉尘做正功．故C正确D、带负电粉尘被吸附时由b点运动到a点，电场力对粉尘做正功，电势能减小，故D 错误故选BC．电场线的疏密反映电场的强弱．沿着电场线方向电势降低．根据电场力做功判断电势能的变化．掌握电场线的特点即可解决问题．知道电势能的变化不仅与电势变化有关还与电荷性质有关．三、实验题探究题(本大题共1小题，共18.0分)10.（1）用如图（a）所示的实验装置验证机械能守恒定律．①为了减少______ 带来的误差，打点计时器的两个限位孔中心连线应在一条竖直线上．②实验操作时，先______ ，再______ （选填“释放纸带”、“接通打点计时器电源”）③如图（b）是某次实验的一条纸带，A、B、C、D、E、F、G是连续的七个点．为验证重锤对应B点和F点时的机械能是否相等，并使数据处理简便，应测量______ 两点间的距离，______ 两点间的距离和B、F两点间的距离．④若重物质量为0.200kg，B、F间的距离为12.00cm，g取9.8m/s2．对应B到F的下落过程中，重锤重力势能的减少量△E p= ______ J（计算结果保留三位有效数字）．（2）如图（c）所示的金属工件，截面外方内圆，外边长约为lcm、内径约为0.5cm、长度约为40cm．①某同学用游标卡尺测出截面外边长如图（d）所示，其读数a= ______ cm．②应选用______ 来测量工件内径d，选用______ 来测量工件长度L．（选填“毫米刻度尺”，“游标卡尺”，“螺旋测微器”）③为了测出该金属的电阻率，该同学设计了如图（e）所示的电路，请按设计的电路完成实物图（f）的连线．④实验测得工件两端电压为U，通过的电流为I，请写出该金属电阻率的表达式p=______ ．（用a、d，L、U、I等字母表示）【答案】摩擦阻力；接通打点计时器电源；释放纸带；A、C；E、G；0.235；1.02；游标卡尺；毫米刻度尺；π【解析】解：（1）①为了减少纸带与限位孔间的摩擦阻力带来的误差，打点计时器的两个限位孔中心连线应在一条竖直线上．②实验操作时，先接通打点计时器电源，再释放纸带．③为验证重锤对应B点和F点时的机械能是否相等，需要求出重锤对应于B、F两点的瞬时速度，做匀变速运动的物体在某段时间内的平均速度等于该段时间中间时刻的瞬时速度，应测量A、C两点间的距离，E、G两点间的距离和B、F两点间的距离．④重锤重力势能的减少量△E p=mgh=0.235J．（2）①由图d所示游标卡尺可得，主尺示数为1cm，游标尺示数为2×0.1mm=0.2mm=0.02cm，则游标卡尺读数a=1cm+0.02cm=1.02cm；②应选用游标卡尺来测量工件内径d，选用毫米刻度尺来测量工件长度L．③根据电路图连接实物电路图，电路图如图所示．④工件的横截面积S=a2-π，工件电阻R=，由电阻定律R=ρ得：金属的电阻率ρ==π．故答案为：（1）①摩擦阻力；②接通打点计时器电源；释放纸带；③A、C；E、G；④0.235；（2）①1.02；②游标卡尺；毫米刻度尺；③电路图如图所示；④π．（1）根据验证机械能守恒定律实验的实验注意事项、匀变速运动的推论、功的计算公式分析答题．（2）①游标卡尺主尺与游标尺示数之和是游标卡尺示数；②可以用游标卡尺的内侧利爪测工件的内径；用毫米刻度尺测工件的长度；③根据电路图连接实物电路图；④根据欧姆定律与电阻定律求出电阻率的表达式．（1）知道实验原理与实验注意事项即可正确解题．（2）游标卡尺主尺与游标尺示数之和是游标卡尺示数，对游标卡尺读数时，不需要估读；应用欧姆定律与电阻定律即可求出电阻率表达式．四、计算题(本大题共2小题，共36.0分)11.如图所示，内径为r、外径为2r的圆环内有垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场．圆环左侧的平行板电容器两板间电压为U，靠近M板处静止释放质量为m、电量为q的正离子，经过电场加速后从N板小孔射出，并沿圆环直径方向射入磁场，求：（1）离子从N板小孔射出时的速率；（2）离子在磁场中做圆周运动的半径；（3）要使离子不进入小圆区域，磁感应强度的取值范围．【答案】解：（1）带电粒子在平行板电容器中加速过程，由动能定理得q U=解得，v=（2）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，由洛仑兹力充当向心力，由牛顿第二定律得qv B=m则得圆周运动的半径R==（3）当粒子的轨迹恰好与小圆相切时，轨迹半径最大，画出轨迹，如图，由几何关系得R2+（2r）2=（R+r）2解得，R=1.5r由R=得B=将v=，R=1.5r代入解得，B=所以要使离子不进入小圆区域，磁感应强度的取值范围为B≥．答：（1）离子从N板小孔射出时的速率是；（2）离子在磁场中做圆周运动的半径是；（3）要使离子不进入小圆区域，磁感应强度的取值范围为B≥．【解析】（1）带电粒子在平行板电容器中做匀加速直线运动，由动能定理可求得粒子射入磁场时的速度；（2）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，由洛仑兹力充当向心力，可由牛顿第二定律求得粒子旋转半径R；（3）要使离子不进入小圆区域，轨迹半径要足够小，当粒子的轨迹恰好与小圆相切时，轨迹半径最大，画出轨迹，由几何关系可得粒子轨迹半径的最大值，由牛顿第二定律求得磁感应强度的最小值，即可求得B的范围．带电粒子在电磁场中的运动，要注意灵活选择物理规律，电场中一般由动能定理或类平抛的规律求解，而磁场中粒子做圆周运动，应由向心力公式及几何关系求解．12.如图所示，轻杆一端固定着小球A，另一端可绕0点自由转动；矩形厚木板B放在粗糙的水平地面上，B上表面的最右端有一光滑小物块C；A在最低点时刚好与B左侧接触．轻杆与水平成30°角时，给A以大小为v0=、方向垂直于杆的初速度，A到达最低点时与B发生正碰后静止．已知g为重力加速度，L为杆长；A、C可视为质点，质量均为m；B的质量为2m、长度也为L；B与地面的动摩擦因数μ=0.4，其余摩擦不计．（1）求A到达最低点与B碰撞前，A受到杆的作用力大小；（2）讨论木板高度h取不同值时，C落地瞬间与B左侧的水平距离．【答案】解：（1）A在下落过程中，由动能定理得：mg（L+L sin30°）=mv2-mv02①，在最低点，由牛顿第二定律得：F-mg=m，解得：v=，F=7mg，则在最低点，杆对A的作用力大小为7mg，方向竖直向上．（2）A与B碰撞过程系统动量守恒，由动量守恒定律得：mv=2mv′②，由①②v′=；碰后B做向右做匀减速直线运动，C静止不动，当B的位移为L过程中，对B由动能定理得：-μ（2m+m）g L=•2mv″2-•2mv′2，代入数据解得：v″=，此时C离开B，C离开B到B静止需要的时间：t=″==，B到静止过程的位移：s=″===0.375L；C离开B后做自由落体运动，h=gt′2，t′=，①当t′≥t，即h≥L时，C落地瞬间与B左侧的水平距离：x=s=0.375L；②当t′＜t，即h＜L时，C落地瞬间与B左侧的水平距离：x=v″t′-at′2=×-×μg×=-0.4h．答：（1）A到达最低点与B碰撞前，A受到杆的作用力为7mg．（2）①当h≥L时，C落地瞬间与B左侧的水平距离x=0.375L；②当h＜L时，C落地瞬间与B左侧的水平距离为x=-0.4h．【解析】（1）由动能定理求出A到达最低点时的速度，由牛顿第二定律求出A受到杆的作用力．（2）应用动量守恒定律、动能定理、自由落体运动规律与匀变速运动规律分析解题．应用动能定理、动量守恒定律、动能定理、匀变速运动运动规律即可正确解题．。
2013年广州市一模数学理科试卷含答案(word版)
2013年广州市一模数学理科试卷本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
参考公式：如果事件A ，B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ∙=∙.线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式x b y ax xy y x xb ni ini i i-=---=∑∑==ˆ,)())((ˆ121， 其中y x ,表示样本均值。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，}4,2{=B ，则A.B A U ⋃=B.B A C U U ⋃=)(C.)(B C A U U ⋃=D.)()(B C A C U U U ⋃= 2.已知bi ia +=-11，其中a,b 是实数，i 是虚数单位，则a+bi=A.1+2iB.2+iC.2-iD.1-2i 3.已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≥+.01,1,12y y x y x ，则y x z 2-=的最大值为A.-3 B .0 C.1 D.3 4.直线03==y x 截圆4)2(22=+-y x 所得劣弧所对的圆心角是A.6πB.3πC.2πD.32π5.某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A.2B.1C.32 D.316.函数)cos )(sin cos (sin x x x x y -+=是A.奇函数且在]2,0[π上单调递增B.奇函数且在],2[ππ上单调递增C.偶函数且在]2,0[π上单调递增D.偶函数且在],2[ππ上单调递增7.已知e 是自然对数的底数，函数2)(-+=x e x f x 的零点为a ，函数2ln )(-+=x x x g 的零点为b ，则下列不等式中成立的是A.)()1()(b f f a f <<B.)1()()(f b f a f <<C.)()()1(b f a f f <<D.)()1()(a f f b f <<8.如图2，一条河的两岸平行，河的宽度d=600m ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往 河对岸的码头B.已知km AB 1=，水流速度为2km/h ，若客船行驶完航程所用最短时 间为6分钟，则客船在静水中的速度大小为A.8km/hB.h km /26C.h km /342D.10km/h二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9-13题）9.不等式x x ≤-1的解集是_________.10.⎰=1._______cos xdx11.根据上表可得回归方程a x yˆ23.1ˆ+=，据此模型估计，该型号机器使用所限为10年维修费用约______万元（结果保留两位小数）.12.已知1,0≠>a a ，函数⎩⎨⎧>+-≤=1,1,)(x a x x a x f x ，若函数)(x f 在区间[0,2]上的最大值比最小值大25，则a 的值为________.13.已知经过同一点的)3*,(≥∈n N n n 个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n 个平面将空间分成)(n f 个部分，则.________)(______,)3(n f f = （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）图2在极坐标系中，定点)23,2(πA ，点B 在直线0sin 3cos =+θρθρ上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为______.15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 与⊙O交于点D ，若BC=3，516=AD ，则AB 的长为______.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分） 已知函)4sin()(πω+=x A x f （其中0,0,>>∈ωA R x ）的最大值为2，最小正周期为8．(1)求函数)(x f 的解析式；(2)若函数)(x f 图象上的两点P ，Q 的横坐标依次为2，4，O 坐标原点，求POQ ∆的 面积.17.（本小题满分12分）甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为,21乙，丙做对的概率分别为m,n(m>n)，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：(2)求m,n 的值； (3)求ξ的数学期望. 18.（本小题满分14分）如图4，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，ABC ∆是边长为2的等边三角形， ⊥1AA 平面ABC ，D ，E 分别是CC 1，AB 的中点.(1)求证：CE//平面A 1BD ；(2)若H 为A 1B 上的动点，当CH 为平面A 1AB 所成最大角的正切值为215时，求平面A 1BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值.19.（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，且n na a a a ++++ 32132*)(2)1(N n n S n n ∈+-=.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若p,q,r 是三个互不相等的正整数，且p,q,r 成等差数列，试判断1,1,1---r q p a a a 是否成等比数列？并说明理由.20.（本小题满分14分）已知椭圆C 1的中心在坐标原点，两个焦点分别为)0,2(),0,2(21F F -，点A （2，3）在椭圆C 1上，过点A 的直线L 与抛物线y x C 4:22=交于B ，C 两点，抛物线C 2在点B ，C 处的切线分别为21,l l ，且1l 与2l 交于点P .(1)求椭圆C 1的方程；(2)是否存在满足||2121AF AF PF PF +=+的点P ？若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）已知二次函数1)(2+++=m ax x x f ，关于x 的不等式21)12()(m x m x f -+-<的解集为)1,(+m m ，其中m 为非零常数.设1)()(-=x x f x g .(1)求a 的值；(2))(R k k ∈如何取值时，函数)1ln()()(--=x k x g x φ存在极值点，并求出极值点； (3)若m=1，且x>0，求证：*)(22)1()]1([N n x g x g nnn∈-≥+-+2013年广州市一模数学理科试卷参考答案。
2013 广东 各地 一模 理数 打包 (一)广州 深圳 佛山 揭阳 梅州 肇庆 东莞
2013广东各地高考 一模 理数 打包：广州 佛山 深圳 揭阳 肇庆 梅州 东莞广州市2013届普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题 卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔 和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：如果事件A ，B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ∙=∙.线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式x b y ax x y y x x b ni i ni ii-=---=∑∑==ˆ,)())((ˆ121， 其中y x ,表示样本均值。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，}4,2{=B ，则 A.B A U ⋃= B.B A C U U ⋃=)( C.)(B C A U U ⋃= D.)()(B C A C U U U ⋃=2.已知bi ia+=-11，其中a,b 是实数，i 是虚数单位，则a+bi= A.1+2i B.2+i C.2-i D.1-2i3.已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≥+.01,1,12y y x y x ，则y x z 2-=的最大值为A.-3 B .0 C.1 D.34.直线03==y x 截圆4)2(22=+-y x 所得劣弧所对的圆心角是A.6π B.3π C.2π D.32π5.某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A.2B.1C.32D.316.函数)cos )(sin cos (sin x x x x y -+=是A.奇函数且在]2,0[π上单调递增 B.奇函数且在],2[ππ上单调递增C.偶函数且在]2,0[π上单调递增 D.偶函数且在],2[ππ上单调递增7.已知e 是自然对数的底数，函数2)(-+=x e x f x 的零点为a ，函数2ln )(-+=x x x g 的零点为b ，则下列不等式中成立的是A.)()1()(b f f a f <<B.)1()()(f b f a f <<C.)()()1(b f a f f << D.)()1()(a f f b f <<8.如图2，一条河的两岸平行，河的宽度d=600m ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往 河对岸的码头B.已知km AB 1=，水流速度为2km/h ，若客船行驶完航程所用最短时间为6分钟，则客船在静水中的速度大小为A.8km/hB.h km /26C.h km /342D.10km/h二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9-13题） 9.不等式x x ≤-1的解集是_________.10.⎰=1._______cos xdx11.某工厂的某种型号机器的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元）有下表的统计资料：x 2 3 4 5 6 y2.23.85.56.57.0根据上表可得回归方程a x yˆ23.1ˆ+=，据此模型估计，该型号机器使用所限为10年维修费用约______万元（结果保留两位小数）.12.已知1,0≠>a a ，函数⎩⎨⎧>+-≤=1,1,)(x a x x a x f x ，若函数)(x f 在区间[0,2]上的最大值比最小值大25，则a 的值为________. 13.已知经过同一点的)3*,(≥∈n N n n 个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n 个平面将空间分成)(n f 个部分，则.________)(______,)3(n f f =（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点)23,2(πA ，点B 在直线0sin 3cos =+θρθρ上 运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为______.15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 与⊙O交于点D ，若BC=3，516=AD ，则AB 的长为______.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分） 已知函)4sin()(πω+=x A x f （其中0,0,>>∈ωA R x ）的最大值为2，最小正周期为8．(1)求函数)(x f 的解析式；(2)若函数)(x f 图象上的两点P ，Q 的横坐标依次为2，4，O 坐标原点，求POQ ∆的面积.17.（本小题满分12分）甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为,21乙，丙做对的概率分别为m,n(m>n)，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：ξ0 1 2 3P41 a b241 (1)求至少有一位学生做对该题的概率； (2)求m,n 的值； (3)求ξ的数学期望.18.（本小题满分14分）如图4，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，ABC ∆是边长为2的等边三角形，⊥1AA 平面ABC ，D ，E 分别是CC 1，AB 的中点.(1)求证：CE//平面A 1BD ；(2)若H 为A 1B 上的动点，当CH 为平面A 1AB 所成最大角的正切值为215时，求平面A 1BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值.19.（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，且nna a a a ++++ 32132*)(2)1(N n n S n n ∈+-=.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若p,q,r 是三个互不相等的正整数，且p,q,r 成等差数列，试判断1,1,1---r q p a a a是否成等比数列？并说明理由.20.（本小题满分14分）已知椭圆C 1的中心在坐标原点，两个焦点分别为)0,2(),0,2(21F F -，点A （2，3）在椭圆C 1上，过点A 的直线L 与抛物线y x C 4:22=交于B ，C 两点，抛物线C 2在点B ，C处的切线分别为21,l l ，且1l 与2l 交于点P.(1)求椭圆C 1的方程； (2)是否存在满足||2121AF AF PF PF +=+的点P ？若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）已知二次函数1)(2+++=m ax x x f ，关于x 的不等式21)12()(m x m x f -+-<的解集为)1,(+m m ，其中m 为非零常数.设1)()(-=x x f x g . (1)求a 的值；(2))(R k k ∈如何取值时，函数)1ln()()(--=x k x g x φ存在极值点，并求出极值点；(3)若m=1，且x>0，求证：*)(22)1()]1([N n x g x g n n n ∈-≥+-+参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DBCDACAB二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 10．1sin 11．12.38 12．12或27 13．8，22n n -+14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分． ② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ).三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >， ∴2A =. ……………1分∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. ……………2分∴()2sin()44f x x ππ=+. ……………3分（2）解法1：∵(2)2sin 2cos 2244f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭， ……………4分(4)2sin 2sin 244f πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭， …………5分∴(2,2),(4,2)P Q -. ∴6,23,32OP PQ OQ ===. ……………8分∴()()()222222632233cos 232632OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===⨯.…10分 ∴21POQ POQ sin cos ∠=-∠=63. ……………11分 ∴△POQ 的面积为116632223S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯32=. ………12分解法2：∵(2)2sin 2cos 2244f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭， ……………4分(4)2sin 2sin 244f πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭， ……………5分∴(2,2),(4,2)P Q -.∴(2,2),(4,2)OP OQ ==-. ……………8分∴63cos cos ,3632OP OQ POQ OP OQ OP OQ⋅∠=<>===⨯. ……………10分 ∴21POQ POQ sin cos ∠=-∠=63. ……………11分 ∴△POQ 的面积为116632223S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯32=. ………12分解法3：∵(2)2sin 2cos 2244f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭， ………4分(4)2sin 2sin 244f πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭， ……………5分∴(2,2),(4,2)P Q -.∴直线OP 的方程为22y x =，即20x y -=. ……………7分∴点Q 到直线OP 的距离为42233d +==. ……………9分∵6OP =， ……………11分∴△POQ 的面积为1162322SOP d =⋅=⨯⨯32=.……………12分 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知， ()()()12PA PB m PC n ,,===. ……………1分 （1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=.…………3分 （2）由题意知()()()()1101124PP ABC m n ξ===--=， ……………4分 ()()113224P P ABC mn ξ====， ……………5分 整理得 112mn=，712m n +=. 由mn >，解得13m =，14n =. ……………7分 （3）由题意知()()()()1aP P ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=， …9分 (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14， ……………10分∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312. …………12分H FABCA 1C 1B 1DE18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法） 解法一：（1）证明：延长1A D 交AC 的延长线于点F ，连接BF .∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴C 为AF 的中点. ……………2分 ∵E 为AB 的中点，∴CE ∥BF . ……………3分 ∵BF⊂平面1ABD ，CE ⊄平面1ABD ， ∴CE ∥平面1ABD . ……………4分 （2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点， ∴CE AB ⊥，332CE AB ==.∵AB⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A = ，∴CE⊥平面1A AB . ……………6分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分 ∵3CE =，在R t △CEH 中，tan 3CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EHAB ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan 3CE EHC EH EH∠===152.∴255EH =. ……………9分 ∵CE ∥BF ，CE⊥平面1A AB ，z yxH ABCA 1C 1B 1DE F∴BF ⊥平面1A AB . ……………10分∵AB ⊂平面1A AB ，1AB ⊂平面1A AB ， ∴BF⊥AB ，BF ⊥1AB . ……………11分∴1ABA ∠为平面1ABD 与平面ABC 所成二面角（锐角）. ……………12分 在R t △EHB 中，22BH EB EH =-=55，cos 1ABA ∠55BH EB ==.…13分 ∴平面1ABD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值为55. ……………14分 解法二：（1）证明：取1AB 的中点F ，连接DF 、EF .∵E 为AB 的中点， ∴EF ∥1AA ，且112EFAA =. ……………1分 ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴EF ∥CD ，EF =CD . ……………2分 ∴四边形EFDC 是平行四边形.∴CE ∥DF . ……………3分 ∵DF⊂平面1ABD ，CE ⊄平面1ABD ， ∴CE ∥平面1ABD . ……………4分 （2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点， ∴CE AB ⊥，332CE AB ==.∵AB⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A = ，∴CE⊥平面1A AB . ……………6分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵3CE =，在R t △CEH 中，tan 3CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EHAB ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan 3CE EHC EH EH∠===152.∴255EH =. ……………9分 在R t △EHB 中，2255BHEB EH =-=. ∵R t △EHB ～R t △1A AB ，∴1EH BHAA AB=，即1255552AA =. ∴14AA =. ……………10分以A 为原点，与AC 垂直的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -.则()000A,,，1A ()004,,，B ()310,,，D ()02,,2.∴1AA = ()004,,，1AB =()314,,-，1AD =()02,,-2. 设平面ABD 1的法向量为n =()x y z ,,， 由n B A 1⋅，n 01=⋅D A ，得340220x y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî 令1y=，则13z x ==,.∴平面ABD 1的一个法向量为n =()311,,. ……………12分∵1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA=()004,,是平面ABC 的一个法向量.∴cos 111,⋅==n AA n AA n AA 55. ……………13分 ∴平面1ABD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值为55. ……………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1) 解：12323(1)2nn a a a na n S n ++++=-+ ，∴ 当1n=时，有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分由12323(1)2nn a a a na n S n ++++=-+ , ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++ , ② ……………2分 ② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+. ③ ……………3分 以下提供两种方法：法1：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+，即122n n S S +=+; ……………4分∴122(2)n n S S ++=+， ……………5分∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列. ∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……………6分 当2n≥时, 11(22)(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=， ……………7分又12a =也满足上式,∴2nn a =. ……………8分法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S nS S S ++++=--+=-++，得12n n a S +=+. ④ ……………4分当2n≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……………5分⑤-④得：12n n a a +=. ……………6分 由12224a a S +=+，得24a =， ∴212a a =. ……………7分∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列. ∴2n n a =. …………8分 （2）解：∵p q r ,,成等差数列，∴2p r q +=. …………9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列，则()()()2111p r q a a a --=-， …………10分即()()()2212121prq--=-，化简得：2222p r q +=⨯. （*） ……………11分∵p r ≠，∴2222222p r p r q +>⨯=⨯，这与(*)式矛盾，故假设不成立.…13分 ∴111pq r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 (2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x BC --=， )413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //. ……………4分∴()()()222211211113244xx x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分 由24x y =,即214yx ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ② 同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222412x x x y -=. ③ ………8分 设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -， 而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =， ……………10分则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24x y =,即214yx ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-， 即2111212x y x x y -+=. ……………5分 ∵21141x y =， ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……………6分 同理，20202y x x y -=. ② ……………7分 综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ………8分 ∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的， ∴直线L 的方程为y x xy -=2， ……………9分 ∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ……………10分∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分 若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，…12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分 由24x y =,即214yx ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.…7分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-. 同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x yx x =-. ……………8分 由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-. ……………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=. 化简得271230kk --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识） （1）解：∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+，即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+，∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x mx m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++. ∴()1221a m m +-=-+. ∴2a=-. ……………2分(2)解法1:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m mx x x -++==-+--.∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分 方程()2210x k x k m -++-+=（*）的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+. ……………4分①当0m >时，0Δ>，方程（*）的两个实根为212412k k mx ,+-+=<222412k k m x ,+++=> ……………5分则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分 ②当0m<时，由0Δ>,得2k m <--或2k m >-，若2k m <--，则212412k k m x ,+-+=<222412k k mx ,+++=<故x∈()1,+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若2k m >-时，212412k k m x ,+-+=>222412k k mx ,+++=>则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分 综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m<时，2k m >-，函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .…9分(其中21242k k m x +-+=, 22242k k mx +++=)解法2:由(1)得()()1f xg x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞. ∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分 若函数()()x g x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且至少有一个零点在()1,+∞上. ……………4分令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=, 得()221x k x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δk k m k m =+--+=+>,(**) ……………5分方程（*）的两个实根为21242k k m x +-+=, 22242k k mx +++=.设()h x =()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m>,此时,k 取任意实数, (**)成立.则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得2k m >-或2k m <--,故2k m >-. ……………7分 则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分 综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m<时，2k m >-，函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .…9分(其中21242k k m x +-+=, 22242k k mx +++=)(2)证法1：∵1m=， ∴()g x =()111x x -+-. ∴()()1111nnnn n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111n n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x x x x x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭ 122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++ . ……………10分令T 122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++ ， 则T122412n n n n n n n n C x C x C x -----=+++122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++ .∵x0>，∴2T()()()122244122n n n n n n n n n n C x x C x x C x x -------=++++++ …11分≥122244122222n n n n n n n n n n C x x C x x C x x -------⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅ …12分()1212n n n n C C C -=+++()12102n n n nn n n n n n C C C C C C C -=+++++--()222n=-. ……………13分∴22n T≥-，即()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. ……………14分 证法2：下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n ≥-.① 当1n=时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成立；……………10分② 假设当n k =k (∈N *)时，不等式成立，即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k ≥-，则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111kk k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………11分()11112222k k k x x x x--≥⋅⋅-+⋅ ……………12分 122k +=-. ……………13分也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀n ∈N*，()()1122nn n gx g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ………14分2013年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数 学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷和答题卡交回． 参考公式：①柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．②锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为锥体的高．2013-1-25 ③标准差222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- ，其中x 为样本12,,,n x x x 的平均数．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i 为虚数单位，则复数i2i+等于 A ．12i 55+ B ． 12i 55-+ C ．12i 55- D ．12i 55--2．命题:p 2,11x x ∀∈+≥R ，则p ⌝是A ．2,11x x ∀∈+<R B ．2,11x x ∃∈+≤R C ．2,11x x ∃∈+<R D ．2,11x x ∃∈+≥R3．已知(1,2)=a ，(0,1)=b ，(,2)k =-c ，若(2)+⊥a b c ，则k = A ．2 B ．8 C ．2- D ．8-4．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的 三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．9 B ．10C ．11D ．232221 31 正视图侧视图俯视图第4题图5．为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是A ．x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛B ．x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛C ．x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛D ．x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛6．已知实数,x y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为A ．3-B ．12C ．5D ．67．已知集合{}|4||1|5Mx x x =-+-<，{}6N x a x =<< ,且()2,M N b = ,则a b +=A ．6B ．7C ．8D ．9 8．对于函数()y f x =，如果存在区间[,]m n ，同时满足下列条件：①()f x 在[,]m n 内是单调的；②当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ，则称[,]m n 是该函数的“和谐区间”．若函数11()(0)a f x a a x+=->存在“和谐区间”，则a 的取值范围是 A ．(0,1) B ． (0,2) C ．15(,)22D ．(1,3)二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题) 9．已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()f x =2log x ，则1(())4f f 的值等于 ．10．已知抛物线24x y =上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 的横坐标是_____．11．函数sin sin 3y x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的最小正周期为 ，最大值是 ．12．某学生在参加政、史、地 三门课程的学业水平考试中，取得ξ0 1 2 3 P6125ab24125第5题图A 等级的概率分别为54、53、52，且三门课程的成绩是否取得A 等级相互独立.记ξ为该生取得A 等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望ξE 的值为______________. 13．观察下列不等式： ①112<；②11226+<；③11132612++<；… 则第5个不等式为 ．(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线3πθ=（ρ∈R ）垂直，则直线l 极坐标方程为 ． 15．（几何证明选讲）如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的 中点，直线l 过点M 分别交,AD AC 于点,E F ．若3AD AE =，则:AF FC = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）如图，在△ABC 中，45C ∠=，D 为BC 中点，2BC =. 记锐角ADB α∠=．且满足7cos225α=-． （1）求cos α；（2）求BC 边上高的值．第15题图F ABCD E Ml第16题图CBD A17．（本题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为122n n S +=-，数列{}n b 是首项为1a ，公差为(0)d d ≠的等差数列，且1311,,b b b 成等比数列． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设nnnb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18．（本题满分14分）如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且13AD DB =，点C 为圆O 上一点，且3BC AC =． 点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD DB =．PABDO（1）求证：PA CD ⊥；（2）求二面角C PB A --的余弦值．19．（本题满分14分）某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式3C x =+，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式35, (06)814, (6)k x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩ 已知每日的利润L S C =-，且当2x =时，3L =．（1）求k 的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值． 20．（本题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率32e =．过该椭圆上任一点P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且||||QP PC =． （1）求椭圆的方程；（2）求动点C 的轨迹E 的方程；（3）设直线AC （C 点不同于,A B ）与直线2x =交于点R ，D 为线段RB 的中点，试判断直线CD 与曲线E 的位置关系，并证明你的结论． 21．（本题满分14分）设()xg x e =，()[(1)]()f x g x a g x =λ+-λ-λ，其中,a λ是常数，且01λ<<．（1）求函数()f x 的极值；（2）证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式11x e a x--<成立； （3）设12,λλ∈+R ，且121λλ+=，证明：对任意正数21,a a 都有：12121122a a a a λλ≤λ+λ．2013年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 题号 1 2 3 4567 8 答案A CBCD C BA二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9．1- 10．4± 11．2π（2分），3 （3分） 12．5913．11111526122030++++< 14．2sin()16πρθ+=（或2cos()13πρθ-=、cos 3sin 1ρθρθ+=） 15．1:4 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分） 解析：（1）∵27cos22cos 125αα=-=-，∴29cos 25α=， ∵(0,)2πα∈，∴3c o s 5α=． -----------------5分（2）方法一、由（1）得24sin 1cos 5αα=-=，∵45CAD ADB C α∠=∠-∠=-，∴2sin sin()sin cos cos sin 44410CAD πππααα∠=-=-=，-----------------9分在ACD ∆中，由正弦定理得：sin sin CD ADCAD C=∠∠，∴21sin 25sin 210CD C AD CAD ⨯⋅∠===∠，-----------------11分则高4sin 545h AD ADB =⋅∠=⨯=． -----------------12分方法二、如图，作BC 边上的高为AH在直角△ADH 中，由（1）可得3cos 5DB AD α==， 则不妨设5,AD m = 则3,4DH m AH m ==-----------------8分注意到=45C ∠，则AHC ∆为等腰直角三角形，所以CD DH AH += ，则134m m +=-----------------10分 所以1m =，即4AH =-----------------12分 17．（本题满分12分） 解析：（1）当2n ≥，时11222n nn n n n a S S +-=-=-=， -----------------2分又111112222a S +==-==，也满足上式，所以数列{na }的通项公式为2n n a =． -----------------3分112b a ==，设公差为d ，则由1311,,b b b 成等比数列，得2(22)2(210)d d +=⨯+，第16题图 C BD AH-----------------4分 解得d =（舍去）或3d =，----------------5分 所以数列}{n b 的通项公式为31n b n =-． -----------------6分（2）由（1）可得312123n n nb b b b T a a a a =++++ 123258312222nn -=++++ ， -----------------7分121583122222n n n T --=++++ ，-----------------8分两式式相减得1213333122222n n n n T --=++++- ，-----------------11分131(1)3135222512212n n n n n n T ---+=+-=--，-----------------12分 18．（本题满分14分） 解析：（Ⅰ）法1：连接CO ，由3AD DB =知，点D 为AO 的中点， 又∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥， 由3AC BC =知，60CAB ∠= ，∴ACO ∆为等边三角形，从而CD AO ⊥．-----------------3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD ⊥，-----------------5分由PD AO D = 得，CD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，∴PA CD ⊥． -----------------6分（注：证明CD ⊥平面PAB 时，也可以由平面PAB ⊥平面ACB 得到，酌情给分．） 法2：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥，在Rt ABC ∆中设1AD =，由3A D D B=，3AC BC =得，3DB =，4AB =，23BC =，PA BDCO∴32BD BC BC AB ==，则BDC BCA ∆∆∽， ∴BCA BDC∠=∠，即C ⊥． -----------------3分∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD⊥，-----------------5分由PD AO D = 得，CD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，∴PA CD ⊥． -----------------6分 法3：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥， 在Rt ABC ∆中由3AC BC =得，30ABC ∠= ，设1AD =，由3AD DB =得，3DB =，23BC =，由余弦定理得，2222cos303CD DB BC DB BC =+-⋅= ， ∴222CD DB BC +=，即C ⊥． -----------------3分∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD⊥，-----------------5分由PD AO D = 得，CD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB，∴PA CD ⊥． -----------------6分（Ⅱ）法1：（综合法）过点D 作DE PB ⊥，垂足为E ，连接CE ． -----------------7分由（1）知CD ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ， ∴CD PB ⊥，又DE CD D = ， ∴PB ⊥平面CDE ，又CE ⊂平面CDE ， ∴CE PB ⊥，-----------------9分∴DEC ∠为二面角C PB A --的平面角． -----------------10分 由（Ⅰ）可知3CD =，3PD DB ==，PABDCOE（注：在第（Ⅰ）问中使用方法1时，此处需要设出线段的长度，酌情给分．） ∴32PB =，则932232PD DB DE PB ⋅===， ∴在Rt CDE ∆中，36tan 3322CD DEC DE ∠===， ∴15cos 5DEC ∠=，即二面角C P B --的余弦值为155． -----------------14分 法2：（坐标法）以D 为原点，DC 、DB 和DP的方向分别为x 轴、y 轴和z 轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系． -----------------8分 （注：如果第（Ⅰ）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明CD AB ⊥，酌情给分．） 设1AD =，由3AD DB =，3AC BC =得，3PD DB ==，3CD =，∴(0,0,0)D ，(3,0,0)C ，(0,3,0)B ，(0,0,3)P ，∴(3,0,3)PC =- ，(0,3,3)PB =- ，(3,0,0)CD =-，由CD ⊥平面PAB ，知平面PAB 的一个法向量为(3,0,0)CD =-． -----------------10分设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则00PC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ，即330330x y y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令1y =，则3x =，1z =， ∴(3,1,1)=n ，-----------------12分设二面角C PB A --的平面角的大小为θ，则315cos 5||53CD CD θ⋅-===-⋅⨯ n |n|，-----------------13分 ∴二面角C PB A --的余弦值为155．-----------------14分19．（本题满分14分）解析：（Ⅰ）由题意可得：22,06811,6k x x L x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩，PABDCOyz x-----------------2分 因为2x =时，3L =，所以322228k =⨯++-.-----------------4分解得18k =.-----------------5分（Ⅱ）当06x <<时，18228L x x =++-，所以 1818182818=[2(8)]182********L x x x x x x=-++--++--⋅+=---≤（）（）．-----------------8分 当且仅当182(8)8x x-=-，即5x =时取得等号． -----------------10分 当6x ≥时，1L x =-≤． -----------------12分 所以当5x =时，L 取得最大值6．所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元． -----------------14分 20．（本题满分14分） 解析：（1）由题意可得2a =，32c e a ==，∴3c =， -----------------2分 ∴2221b a c =-=，所以椭圆的方程为2214x y +=． -----------------4分 （2）设(,)C x y ，00(,)P x y ，由题意得002x x y y =⎧⎨=⎩，即0012x xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩， -----------------6分又220014x y +=，代入得221()142x y +=，即224x y +=． 即动点C的轨迹E的方程为224x y +=． -----------------8分（3）设(,)C m n ，点R 的坐标为(2,)t ，∵,,A C R 三点共线，∴//AC AR，而(2,)AC m n =+ ，(4,)AR t =，则4(2)n t m =+，∴42nt m =+， ∴点R 的坐标为4(2,)2nm +，点D 的坐标为2(2,)2nm +，-----------------10分∴直线CD 的斜率为222(2)22244nn m n n mn m k m m m -+-+===---， 而224m n +=，∴224m n -=-，∴2mn mk n n==--，-----------------12分∴直线CD 的方程为()my n x m n-=--，化简得40mx ny +-=， ∴圆心O 到直线CD 的距离224424dr m n====+， 所以直线CD 与圆O相切． -----------------14分 21．（本题满分14分）解析：（1）∵()[(1f x g x a g x λλλλ'''=+--，-----------------1分 由()0f x '>得，[(1)]()g x a g x λλ''+->，∴(1)x a x λλ+->，即(1)()0x a λ--<，解得x a <，-----------------3分 故当x a <时，()0f x '>；当x a >时，()0f x '<；∴当x a =时，()f x 取极大值，但()f x 没有极小值．-----------------4分（2）∵111x x e e x x x----=， 又当0x >时，令()1x h x e x =--，则()10x h x e '=->， 故()(0)0h x h >=， 因此原不等式化为1x e x a x--<，即(1)1x e a x -+-<， -----------------6分令()(1)1x g x e a x =-+-，则()(1)x g x e a '=-+， 由()0g x '=得：1xe a =+，解得ln(1)x a =+，当0ln(1)x a <<+时，()0g x '<；当ln(1)x a >+时，()0g x '>． 故当l n (1x a =+时，()g x 取最小值[ln(1)](1)ln(1)g a a a a +=-++，-----------------8分令()ln(1),01a s a a a a =-+>+，则2211()0(1)1(1)as a a a a '=-=-<+++． 故()(0)0s a s <=，即[ln(1)](1)ln(1)0g a a a a +=-++<． 因此，存在正数ln(1)x a =+，使原不等式成立． -----------------10分 （3）对任意正数12,a a ，存在实数12,x x 使11xa e =，22x a e =，则121122112212x x x x a a e e e λλλλλλ+=⋅=，12112212x x a a e e λλλλ+=+，原不等式12121122a a a a λλλλ≤+11221212x x x x e e e λλλλ+⇔≤+，11221122()()()g x x g x g x λλλλ⇔+≤+-----------------14分 由（1）()(1)()f x g a λ≤-恒成立，故[(1)]()(1)()g x a g x g a λλλλ+-≤+-， 取1212,,,1x x a x λλλλ===-=， 即得11221122()()()g x x g x g x λλλλ+≤+， 即11221212x x x x e e e λλλλ+≤+，故所证不等式成立． -----------------14分。
2013广州一模数学试卷(文、理)含答案
图1俯视图侧视图正视图221122013广州一模数学（文科）参考公式：线性回归方程 y bx a =+ 中系数计算公式121ni i i ni i x x y y b a y b x x x ()(),()==--∑==--∑，其中y x ,表示样本均值.锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分． 1．已知i 是虚数单位，则复数1-2i 的虚部为A ．2B ．1C ．1-D ．2- 2．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,=，则A ．U AB = B ．U =()U A ðBC ．U A = ()U B ðD ．U =()U A ð()U B ð 3．直线3490x y +-=与圆()2211x y -+=的位置关系是A ．相离B ．相切C ．直线与圆相交且过圆心D ．直线与圆相交但不过圆心 4．若函数()y fx =是函数2xy=的反函数，则()2f的值是A ．4B ．2C ．1D ．0 5．已知平面向量a ()2m =-,，b()13=,，且()-⊥a b b ，则实数m 的值为A ．23-B ．23C ．43D ．636．已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.⎧+≥⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为A ．3-B ．0C ．1D ．3 7. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A ．2B. 1C.23D.138. 已知函数()22fx x sin =，为了得到函数()22gx x x sin cos =+的图象，只要将()y fx =的图象C BA ．向右平移4π个单位长度 B ．向左平移4π个单位长度C ．向右平移8π个单位长度 D ．向左平移8π个单位长度9．“2m <”是“一元二次不等式210x mx ++>的解集为R ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．设函数()fx 的定义域为D ，如果xD y D ,∀∈∃∈，使()()2fx f y C C (+=为常数)成立，则称函数()fx 在D 上的均值为C . 给出下列四个函数：①3yx =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y x ln =；④21y x sin =+, 则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．函数()()21fx x x ln =-+-的定义域是12．某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：根据上表可得回归方程ˆˆ1.23yx a =+，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年的维修费用约 万元（结果保留两位小数）．13．已知经过同一点的n n (∈N 3n *,)≥个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这n 个平面将空间分成()fn 个部分，则()3f = ，()fn = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题） 在极坐标系中，定点32,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在直线cos 3sin 0ρθρθ+=上运动，当线段A B 最x2 3 4 5 6y2.23.85.56.57.0a0.06b频率组距短时，点B 的极坐标为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图2，AB 是O 的直径，B C 是O 的切线，A C 与O 交于点D ， 若3B C =，165A D =，则AB 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()sin()4f x A x πω=+（其中x ∈R ，0A >，0ω>）的最大值为2，最小正周期为8.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求cos ∠POQ的值.17．（本小题满分12分）沙糖桔是柑桔类的名优品种，因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植沙糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量（单位：kg ），获得的所有数据按照区间(4045,,⎤⎦(((455050555560,,,,,⎤⎤⎤⎦⎦⎦进行分组，得到频率分布直方图如图3.已知样本中产量在区间(4550,⎤⎦上的果树株数是产量在区间(5060,⎤⎦上的果树株数的43倍.（1）求a ,b 的值；（2）从样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树随机抽取两株，求产量在区间(5560,⎤⎦上的果树至少有一株被抽中的概率.图4MDCBAP18．（本小题满分14分）如图4，在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是平行四边形，60BCD ︒∠=，2AB AD =，P D ⊥平面A B C D ，点M 为P C 的中点.（1）求证:PA //平面BM D ； （2）求证：AD ⊥P B ；（3）若2AB PD ==，求点A 到平面BM D 的距离.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，28a =，()11452n n n S S S n +-+=≥，n T 是数列{}2n a log 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n T ； （3）求满足2311110101112013n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 的最大正整数n 的值.20．（本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，2F ()20,，点(2,3)A 在椭圆1C 上，过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点，抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,, 且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程；(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）; 若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知n ∈N *，设函数2321()1,2321n n xxxf x x x n -=-+-+-∈- R .（1）求函数y =2()f x kx k (-∈R )的单调区间；（2）是否存在整数t ，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间1t t ,⎡⎤+⎣⎦上有唯一实数解，若存在，求t 的值；若不存在，说明理由.2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DDACBCADBC二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 11．(]1,2 12．1238. 13．8，22nn -+ 14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭ 15．4说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分．② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ).三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >，∴2A =. ……………1分 ∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. ……………3分∴()2sin()44f x x ππ=+. ……………4分（2）解法1：∵(2)2sin 2cos 2244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭， ……………5分(4)2sin 2sin 244f πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭， ……………6分∴(2,2),(4,2)P Q -. ……………7分 ∴6,23,32OP PQ OQ ===. ……………10分∴()()()222222632233cos 232632O PO QPQPO Q O P O Q+-+-∠===⨯.……12分yxQ 1QP 1PO解法2：∵(2)2sin 2cos 2244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭， ……………5分(4)2sin 2sin 244f πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭， ……………6分∴(2,2),(4,2)P Q -. ……………8分∴(2,2),(4,2)O P O Q ==-. ……………10分∴63cos cos ,3632O P O QP O Q O P O Q O P O Q⋅∠=<>===⨯. ……………12分解法3: ∵(2)2sin 2cos 2244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭，……………5分(4)2sin 2sin 244f πππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，……………6分∴(2,2),(4,2)P Q -. ……………7分 作1PP x ⊥轴, 1Q Q x ⊥轴,垂足分别为11P Q ,, ∴116,2,2,32OP OP PP OQ ====,1142O Q Q Q ,==. (8)分设11PO P Q O Q ,αβ∠=∠=,则361223333sin ,cos ,sin ,cos ααββ====. ……………10分∴cos cos POQ ∠=()33cos cos sin sin αβαβαβ+=-=.………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查频率分布直方图、概率等知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解:样本中产量在区间(4550,⎤⎦上的果树有520100a a ⨯⨯=（株），…………1分 样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树有()()002520100002b b ..+⨯⨯=+（株）， ……………2分依题意，有()41001000023a b .=⨯+，即()40023a b.=+.①…………3分根据频率分布直方图可知()00200651b a ..+++⨯=， ② …………4分 解①②得:008004a b .,.==. ……………6分（2）解：样本中产量在区间(5055,⎤⎦上的果树有0045204.⨯⨯=株，分别记为 123A A A ,,,4A ，……………… 7分 产量在区间(5560,⎤⎦上的果树有0025202.⨯⨯=株，分别记为12B B ,. … 8分 从这6株果树中随机抽取两株共有15种情况：()()1213A A A A ,,,，()14A A ,()()()()()()111223242122A B A B A A A A A B A B ,,,,,,,,,,,,()34A A ,,()31A B ,,()32A B ,，()()4142A B AB ,,,,()12B B ,. ……………10分其中产量在(5560,⎤⎦上的果树至少有一株共有9种情况：()()1112A B A B ,,,,()()()()21223132A B A B A B A B ,,,,,,,,()()4142A B A B ,,,，()12B B ,. (11)分记“从样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树随机抽取两株，产量在区间(5560,⎤⎦上的果树至少有一株被抽中”为事件M ，则()93155P M ==. ……………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、点到平面的距离等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） (1)证明:连接A C ，A C 与B D 相交于点O , 连接M O ， ∵A B C D 是平行四边形，∴O 是A C 的中点. ……………1分 ∵M 为P C 的中点，∴MO AP //. ……………2分 ∵P A ⊄平面BM D ,M O ⊂平面BM D ,∴PA //平面BM D . ……………3分ON MDCBAP(2)证明:∵P D ⊥平面A B C D ，AD ⊂平面A B C D ，∴P D ⊥A D . ……………4分 ∵60BAD BCD ︒∠=∠=，2AB AD =， ∴222260BDABADAB AD cos ︒=+-⋅⋅2222AB AD AD =+- 22ABAD =-. ……………5分∴22AB AD =2BD +.∴AD BD ⊥. ……………6分∵PD BD D = ，PD ⊂平面P B D ，BD ⊂平面P B D ，∴AD ⊥平面P B D . ……………7分 ∵P B ⊂平面P B D ，∴AD PB ⊥. ……………8分（3）解：取C D 的中点N ，连接M N ，则MN PD //且12MN PD =.∵P D ⊥平面A B C D ，2PD =，∴M N ⊥平面A B C D ，1M N =. ……………9分在Rt △P C D 中，2C D AB PD ===，2211222DM PC PDCD==+=，∵BC AD //,AD PB ⊥, ∴B C P B ⊥.在Rt △P B C 中，122BM PC ==.在△BM D 中，BM D M =，O 为B D 的中点, ∴M O B D ⊥.在Rt △A B D 中，360232BD AB sin ︒=⋅=⨯=.在Rt △M O B 中，22M O BMOB=-=52.∴1322ΔABD S AD BD =⨯=，11524ΔM BD S BD M O =⨯=.…………11分设点A 到平面BM D 的距离为h ，∵M ABD A M BD V V --=，∴13M N 13ΔABD S h = ΔM BD S . ……………12分即13⨯312⨯13h =⨯⨯154， 解得255h =. ……………13分∴点A 到平面BM D 的距离为255. ……………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等知识，考查分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1） 解：∵当2n ≥时，1145n n n S S S +-+=，∴()114n n n n S S S S +--=-. ……………1分 ∴14n n a a +=. ……………2分 ∵12a =，28a =，∴214a a =. ……………3分∴数列{}n a 是以12a =为首项，公比为4的等比数列. ∴121242n n n a --=⋅=. ……………4分（2） 解：由（1）得：2122221n n a n log log -==-， ……………5分∴21222n n T a a a log log log =+++ ()1321n =+++- ……………6分()1212n n +-=……………7分2n = . ……………8分（3）解： 23111111n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22211111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ……………9分 222222222131411234nn----=⋅⋅⋅⋅()()2222132********n n n⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅ ……………10分12n n +=. ……………11分令12n n+10102013>，解得：42877n <. ……………13分故满足条件的最大正整数n 的值为287. ……………14分20．（本小题满分14分） （本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识） (1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y ab+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得: 2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612xy+=. ……………3分解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y ab+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分∵2c =， ∴22212b a c =-=. (2)分∴ 椭圆1C 的方程为2211612xy+=. ……………3分(2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x BC --=，)413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //. (4)分∴()()()222211211113244x x x xx x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . (6)分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ② (7)分同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ (8)分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =， ……………10分则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分12121……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分 解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ， 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . (4)分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. ……………5分∵21141x y =， ∴112y x x y -=.∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① (6)分同理， 20202y x x y -=. ② (7)分综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程 y x x y -=002. ……8分∵经过),(),,(2211y x C y x B 两点的直线是唯一的， ∴直线L 的方程为y x x y -=002， ……………9分∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ……………10分∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分12121∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . (6)分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. (7)分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. (8)分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩∴()223P k k ,-. ……………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612xyC :+=上. ……………11分∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查三次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数的零点、数列求和等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识） （1）解：∵232()1,23xxy f x kx x kx =-=-+-- ……………1分∴221(1)y x x k x x k '=-+--=--++. ……………2分 方程210xx k -++=的判别式()()214134Δk k =--+=--.当34k ≥-时，0Δ≤，2(1)0y x x k '=--++≤，故函数y =2()f x kx -在R 上单调递减； ……………3分当34k <-时，方程210xx k -++=的两个实根为11342k x ---=，21342k x +--=. (4)分则()1x x ,∈-∞时，0y '<；()12xx x ,∈时，0y '>；()2xx,∈+∞时，0y '<；故函数y =2()f x kx -的单调递减区间为()1x ,-∞和()2x ,+∞，单调递增区间为()12x x ,. ……………5分（2）解：存在1t =，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间1t t ,⎡⎤+⎣⎦上有唯一实数解，理由如下：当1n =时，1()1f x x =-，令1()10f x x =-=，解得1x =，∴关于x 的方程1()0f x =有唯一实数解1x =. ……………6分当2n ≥时，由2321()12321n n xxxf x x n -=-+-+-- ，得22322()1n n n f x x x x x --'=-+-++- . ……………7分 若1x =-，则()(1)(21)0n n f x f n ''=-=--<， 若0x =，则()10n f x '=-<, ……………8分若1x ≠-且0x ≠时，则211()1n n xf x x -+'=-+, ……………9分当1x <-时，2110,10,()0n n x x f x -'+<+<<, 当1x >-时，2110,10,()0n n x x f x -'+>+><,∴()0n f x '<，故()n f x 在(,)-∞+∞上单调递减. ……………10分 ∵111111(1)(11)()()()23452221n f n n =-+-+-++--- 0>， ………11分23452221222222(2)(12)()()()23452221n n n f n n --=-+-+-++---24221212121()2()2()223452221n n n -=-+-+-++---2422132312222345(22)(21)n n n n --=-----⋅⋅-- 0<. …………12分∴方程()0n f x =在[]1,2上有唯一实数解. ……………13分 当()1x ,∈-∞时，()()10n n f x f >>；当()2x ,∈+∞时，()()20n n f x f <<.综上所述，对于任意n ∈N *，关于x 的方程()0n f x =在区间12,⎡⎤⎣⎦上有唯一实数解. ∴1t =. ……………14分2013年广州市一模数学理科试卷本试卷共4页，21小题，满分150分。
2013年广州市普通高中毕业班综合测试理科综合生物(广州一模)试题和答案
2013年广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科综合（生物）试卷类型：A一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得4分，选错或不答的得0分。
1，下列关于生物膜系统的叙述，正确的是A．原核细胞无核膜及细胞器膜因而不具生物膜B．细胞膜功能的复杂程度取决于磷脂的种类和数量c．内质网膜为多种酶提供了大量的附着位点D．有丝分裂过程中核膜随着丝点的分裂而消失2．眼虫属于原生动物（其眼点能感光），如右图所示。
对其分析恰当的是A．眼虫的细胞质中不含RNAB．眼虫具有趋光性，因其眼点能感受化学信息c．眼虫鞭毛摆动所需的ATP来自叶绿体D．眼虫的伸缩泡有助于提高物质运输的效率眼点3．人食用被诺如病毒（NV）污染的食物会导致呕吐与腹泻，而NV极易变异，下列推断不．合理．．的是A．胃酸能杀死部分NV属于特异性免疫B．NV极易变异，人类很难研究相应的疫苗c．人体有多种抗NV的抗体，可能是因为NV表面存在多种抗原蛋白D．特异性的效应T细胞能促使被NV入侵的靶细胞裂解4．有关育种的说法，正确的是A．多倍体育种过程都要使用秋水仙素B．利用基因工程技术可定向培育优良品种c．用于大田生产的优良品种都是纯合子D．杂交育种与单倍体育种的原理都是基因重组5．下列对实验的分析，正确的是A．用洋葱鳞片叶内表皮细胞能观察到质壁分离现象B．斐林试剂能与蔗糖反应产生砖红色沉淀c．加入无水乙醇越多，叶绿体色素提取液的绿色越深D．观察洋葱根尖分生区细胞有丝分裂可用健那绿染色6．下列关于“转化”的说法不正确．．．的是A．ATP水解释放的能量可转化成光能、电能等B．细胞内多个基因发生突变，细胞就转化成癌细胞c．在含适量DNA酶和S型菌DNA的培养基中，R型菌不能转化为S型菌D．目的基因导人受体细胞，并在细胞内维持稳定和表达的过程称为转化二、双项选择题：在每小题给出的四个选项中，有两个选项符合题目要求，选对的得6分，只选1个且正确的得3分，有选错或不答的得0分。
广东省广州市2013届高三毕业班综合测试数学理试题(一)
试卷类型：A2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2013.3本试卷共4页，21小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：如果事件A B ,相互独立,那么()()()PA B P A PB ⋅=⋅.线性回归方程y b x a =+ 中系数计算公式121ni i i n i i x x y y b a y b x x x ()(),()==--∑==--∑，其中y x ,表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A,,=，{}24B,=，则A ．U AB = B ．U =()U A ðBC ．U A = ()U B ðD ．U =()U A ð()U B ð2. 已知11a b i i=+-，其中a b ,是实数，i 是虚数单位，则a b +i =A ．12+iB ．2+iC ．2-iD ．12-i图1俯视图侧视图正视图3．已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.⎧+≥⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为A ．3-B ．0C ．1D ．3 4. 直线0x -=截圆()2224x y-+=所得劣弧所对的圆心角是A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A ．2B ．1C.23D.136. 函数()()y x x x x s i n c o s s i n c o s =+-是A ．奇函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．奇函数且在2,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．偶函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．偶函数且在2,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 7．已知e 是自然对数的底数，函数()f x =e 2xx +-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+- 的零点为b ，则下列不等式中成立的是A ．()()()1f a f f b << B. ()()()1f a f b f << C. ()()()1f f a f b << D. ()()()1f b f f a << 8．如图2，一条河的两岸平行，河的宽度600d =m ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B . 已知A B =1km ，水流速度为2km/h, 若客船行 驶完航程所用最短时间为6分钟，则客船在静水中 的速度大小为A ．8 km/hB ．C ．D ．10km/h二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）图3C9. 不等式1x x -≤的解集是 . 10．10x c o s ⎰d x = .11．某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：根据上表可得回归方程ˆˆ1.23yx a =+，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年时维修费用约 万元（结果保留两位小数）． 12．已知01a a ,>≠，函数()()()11x a x fx x a x ,,⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩若函数()f x 在02,⎡⎤⎣⎦上的最大值比最小值大52，则a 的值为 .13. 已知经过同一点的n n (∈N 3n *,)≥个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这n个平面将空间分成()fn 个部分，则()3f = ，()fn = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点32,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在直线c o s sin 0ρθθ+=上运动，当线段A B 最短时，点B 的极坐标为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，A B 是O 的直径，B C 是O 的切线，A C 与O 交于点D 若3B C =，165A D =，则A B 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分） 已知函数()s in ()4f x A x πω=+（其中x ∈R ，0A >，0ω>）的最大值为2，最小正周期为8.（1）求函数()f x 的解析式；图4ABC A 1C 1B 1DE （2）若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求△P O Q 的 面积.17．（本小题满分12分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为12，乙，丙做对的概率分别为m ，n(m ＞n )，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：(1) 求至少有一位学生做对该题的概率； （2) 求m ，n 的值； （3) 求ξ的数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在三棱柱111A BC A B C -中，△A B C 是边长为2的等边三角形， 1A A ⊥平面ABC ，D ，E 分别是1C C ，A B 的中点.（1）求证：C E ∥平面1A B D ；（2）若H 为1A B 上的动点，当C H 与平面1A A B 所成最大角的正切值为2时，求平面1A B D 与平面A B C 所成二面角（锐角）的余弦值. 19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 12323(1)2(n n a a a n a n S n n +++⋅⋅⋅+=-+∈N *).(1) 求数列{}n a 的通项公式；（2）若p q r ,,是三个互不相等的正整数，且p q r ,,成等差数列，试判断111p q r a a a ,,---是否成等比数列？并说明理由.20．（本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，2F ()20,，点(2,3)A 在椭圆1C 上，过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点，抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,，且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程；(2) 是否存在满足1212P F P F A F A F +=+的点P ? 若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）; 若不存在，说明理由. 21．（本小题满分14分） 已知二次函数()21fx x a x m =+++，关于x的不等式()()2211fx m x m<-+-的解集为()1m m ,+，其中m 为非零常数.设()()1fx g x x =-.（1）求a 的值；（2）k k (∈R )如何取值时，函数()x ϕ()gx =-()1k xl n-存在极值点，并求出极值点；（3）若1m =，且x 0>，求证：()()1122nnng x gxn (⎡⎤+-+≥-∈⎣⎦N *).2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．1sin 11．12.38 12．12或7213．8，22n n -+14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分． ② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ).三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >， ∴2A =. …………1分∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. …………2分∴()2s in ()44f x x ππ=+. ……………3分（2）解法1：∵(2)2s in 2c o s244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭ ……………4分(4)2s in 2s in 44f π⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭， ……………5分∴(2,(4,P Q -.∴O P P Q O Q === ……………8分∴((222222c o s 23O P O Q P QP O Q O P O Q+-+-∠===. (10)分∴P O Q s i n ∠==3. ……………11分∴△P O Q的面积为11223S O P O Q P O Q s i n =∠=⨯⨯⨯=……………12分 解法2：∵(2)2s in 2c o s 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭， ……………4分(4)2s in 2s in 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭， ……………5分∴(2,(4,P Q -. （苏元高考吧： ）∴(2(4,O P O Q ==. ……………8分∴c o s c o s ,3O PO Q P O Q O P O Q O PO Q⋅∠=<>===……………10分∴P O Q s i n ∠==3……………11分∴△P O Q的面积为11223S O P O Q P O Q s i n =∠=⨯⨯⨯=……………12分解法3：∵(2)2s in 2c o s244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭ ……………4分(4)2s in 2s in 44f π⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭ ……………5分∴(2,(4,P Q .∴直线O P 的方程为2y x =，即0x -=. ……………7分∴点Q 到直线O P 的距离为d == ……………9分∵O P = ……………11分∴△P O Q 的面积为1122S O P d =⋅=⨯⨯= …………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知， ()()()12PA PB m PC n ,,===. ……………1分（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=.…………3分（2）由题意知()()()()1101124P PA B Cmn ξ===--=，……………4分()()113224PPA B Cm n ξ====， ……………5分整理得 112m n =，712m n +=.由m n >，解得13m =，14n =. ……………7分（3）由题意知()()()()1a P PA B C PA B C PA BC ξ===++()()()()11111111122224mn m n mn=--+-+-=，H FABC A 1C 1B 1DE………9分(2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14， ……………10分∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312.…………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法） 解法一：（1）证明：延长1A D 交A C 的延长线于点F ，连接B F .∵C D ∥1A A ，且C D 12=1A A ，∴C 为A F 的中点. ……………2分 ∵E 为A B 的中点，∴C E ∥B F . ……………3分∵B F ⊂平面1A B D ，C E ⊄平面1A B D ，∴C E ∥平面1A B D . ……………4分 （2）解：∵1A A ⊥平面A B C ，C E ⊂平面A B C ，∴1A A ⊥C E . ……………5分 ∵△A B C 是边长为2的等边三角形，E 是A B 的中点， ∴C E A B ⊥，2C E A B==.∵A B ⊂平面1A A B ，1A A ⊂平面1A A B ，1A B A A A = ，∴C E ⊥平面1A A B . ……………6分 ∴E H C ∠为C H 与平面1A A B 所成的角. ……………7分∵C E =在Rt △C E H 中，tan C E E H C E HE H∠==，A ∴当E H 最短时，tan E H C ∠的值最大，则E H C ∠最大. ……………8分 ∴当1E HA B ⊥时，E H C ∠最大. 此时，tan C E E H CE HE H∠===2.∴5E H=. ……………9分∵C E ∥B F ，C E ⊥平面1A A B ，∴B F ⊥平面1A A B . ……………10分 ∵A B ⊂平面1A A B ，1A B ⊂平面1A A B ，∴B F ⊥A B ，B F ⊥1A B . ……………11分 ∴1A B A ∠为平面1A B D 与平面A B C 所成二面角（锐角）. ……………12分在Rt △E H B中，B H ==5，c o s 1A B A∠5B H E B==.…13分∴平面1A B D 与平面A B C所成二面角（锐角）的余弦值为5. ……………14分解法二：（1）证明：取1A B 的中点F ，连接D F 、E F .∵E 为A B 的中点， ∴E F ∥1A A ，且112E F A A =. ……………1分∵C D ∥1A A ，且C D 12=1A A ，∴E F ∥C D ，E F =C D . ……………2分 ∴四边形E F D C 是平行四边形.∴C E ∥D F . ……………3分 ∵D F ⊂平面1A B D ，C E ⊄平面1A B D ，∴C E ∥平面1A B D . （苏元高考吧： ） ……………4分 （2）解：∵1A A ⊥平面A B C ，C E ⊂平面A B C ，∴1A A ⊥C E . ……………5分∵△A B C 是边长为2的等边三角形，E 是A B 的中点， ∴C E A B ⊥，2C E A B==.∵A B ⊂平面1A A B ，1A A ⊂平面1A A B ，1A B A A A = ，∴C E ⊥平面1A A B . ……………6分∴E H C ∠为C H 与平面1A A B 所成的角. ……………7分∵C E =在Rt △C E H 中，tan C E E H C E HE H∠==，∴当E H 最短时，tan E H C ∠的值最大，则E H C ∠最大. ……………8分 ∴当1E HA B ⊥时，E H C ∠最大. 此时，tan C E E H CE HE H∠===2.∴5E H =. ……………9分在Rt △E H B中，5B H ==.∵Rt △E H B ～Rt △1A A B ，∴1E H B H A A A B=，即1552A A =.∴14A A =. ……………10分 以A 为原点，与A C 垂直的直线为x 轴，A C 所在的直线为y 轴，1A A 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A x y z -. 则()000A ,,，1A ()004,,，B)10,，D()02,,2.∴1A A =()004,,，1A B =)14,-，1A D =()02,,-2.设平面A B D 1的法向量为n =()x y z ,,，由n 10A B ?，n 10A D?，得40220y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî（苏元高考吧： ）令1y =，则1z x ==,∴平面A B D 1的一个法向量为n=)11,. ……………12分∵1A A ⊥平面ABC ， ∴1A A=()004,,是平面A B C 的一个法向量.∴c o s111,⋅==n A A n A A n AA 5. ……………13分∴平面1A B D 与平面A B C所成二面角（锐角）的余弦值为5. ……………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1) 解：12323(1)2n n a a a n a n S n ++++=-+ ，∴ 当1n =时，有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分 由12323(1)2n n a a a n a n S n ++++=-+ , ①得1231123(1)2(1)n n n a a a n a n a n S n ++++++++=++ ,② ……………2分② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a n S n S +++=--+. ③ ……………3分 以下提供两种方法：法1：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S n S n S +++-=--+，即122n n S S +=+; ……………4分∴122(2)n n S S ++=+， ……………5分∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列.∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……………6分当2n ≥时, 11(22)(22)2n n nn n n a S S +-=-=---=， ……………7分又12a =也满足上式,∴2nn a =. ……………8分法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a n S n S n S S S ++++=--+=-++，得12n n a S +=+. ④ ……………4分当2n ≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……………5分 ⑤-④得：12n n a a +=. ……………6分 由12224a a S +=+，得24a =，∴212a a =. ……………7分∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列. ∴2nn a =. ……………8分（2）解：∵p q r ,,成等差数列，∴2p r q +=. ……………9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列， 则()()()2111p r q a a a --=-， ……………10分 即()()()2212121prq--=-，化简得：2222p r q +=⨯. （*） ……………11分 ∵p r ≠，∴2222prq+>=⨯，这与（*）式矛盾，故假设不成立.……13分∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识） (1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y ab+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为2211612xy+=. ……………3分解法2：设椭圆1C 的方程为22221xy ab+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a A F A F =+=，即4a =， ……………1分 ∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612xy+=. ……………3分 (2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x BC --=，)413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线, （苏元高考吧： ）∴B C B A //. ……………4分∴()()()222211211113244x x x xx x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分 由24xy=,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ②同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ………8分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =， ……………10分则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212P F P F A F A F +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212P F P F A F A F +=+ 的点P 有两个. ……………14分 解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24xy=,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=. ……………5分∵21141x y =， ∴112y x x y -=.∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=.① ……………6分同理， 20202y x x y -=. ② ……………7分综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x x y -=002. …………8分∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的， ∴直线L 的方程为y x x y -=002， ……………9分∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ……………10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分 若1212P F P F A F A F +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上， ……12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0), ∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212P F P F A F A F +=+ 的点P有两个. ……………14分解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y kx =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x k x k -+-=. (4)分 设()()1122Bxy C xy ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分由24xy=,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+= (7)分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩∴()223P k k ,-. ……………10分 ∵1212P F P F A F A F +=+,∴点P 在椭圆22111612xyC :+=上. ……………11分∴()()2222311612kk -+=.化简得271230kk --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识） （1）解：∵关于x 的不等式()()2211f x mx m <-+-的解集为()1m m ,+，即不等式()22120x a m x mm ++-++<的解集为()1m m ,+，∴()2212x a m x m m ++-++=()()1xm x m ---.∴()2212x am x mm ++-++=()()2211xm x m m -+++.∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ……………2分 (2)解法1:由(1)得()()1fx gx x =-()221111xx m m x x x -++==-+--.∴()()x g x ϕ=-()1k x l n -()11m x x =-+-()1k x l n--的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mk x x---()()22211xkx k m x-++-+=-. (3)分方程()2210x kx k m -++-+=（*）的判别式()()222414Δkk m km =+--+=+. ……………4分①当0m >时，0Δ>，方程（*）的两个实根为1212k x ,+-=<2212k x ,++=> ……………5分则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x. ……………6分②当0m <时，由0Δ>,得k <-或k >若k <-，则1212k x ,+-=<2212k x ,++=<故x ∈()1,+∞时，()0x ϕ'>，（苏元高考吧： ） ∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若k >时，112x ,=>212x ,=>则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x xx ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12xx ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x，有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x (9)分(其中12x =, 22x =)解法2:由(1)得()()1fx gx x =-()221111xx m m x x x -++==-+--.∴()()x g x ϕ=-()1k x l n-()11m x x =-+-()1k x l n--的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mk x x---()()22211xkx k m x-++-+=-. (3)分 若函数()()x gx ϕ=-()1k x l n-存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且至少有一个零点在()1,+∞上. ……………4分 令()x ϕ'()()22211xkx k m x-++-+=-0=,得()221x kx k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δkk m km =+--+=+>,(**) ……………5分方程（*）的两个实根为12x =, 22x =设()h x =()221x kx k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立. 则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x. ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩ 又由(**)解得k >k <-故k >. ……………7分 则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x xx ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12xx ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x，有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x；当0m <时，k >，函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x.………9分 (其中12x =, 22x =(2)证法1：∵1m =， ∴()gx =()111x x -+-.∴()()1111nnnn n gx gxx x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111nn n n nn n n nnn nn xC xC xC x C x xxxxx ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭122412n n n nn n nC xC x C x ----=+++. ……………10分令T 122412n n n nn n n C x C xC x----=+++ ， 则T 122412n nn nn nnn C xC xC x-----=+++12241nnn n n n nC x C xC x ----=+++.∵x 0>，∴2T ()()()122244122n nn nn nn n nnC xxC xxC xx-------=++++++……11分≥1212nn n nn C C C--⋅+⋅++ …12分()1212n n n nC C C -=+++()1212n nnn n n nnnnC C C C C C C -=+++++-- ()222n=-. ……………13分∴22nT ≥-，即()()1122nnngx gx⎡⎤+-+≥-⎣⎦. ……………14分证法2：下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22n≥-. ① 当1n =时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成立；……………10分② 假设当n k =k (∈N *)时，不等式成立，即11kk kx x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22k≥-， 则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk kk k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111kk k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………11分()22k≥⋅-+ ……………12分122k +=-. ……………13分也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀n ∈N *，()()1122nnng xgx⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立.………14分。
(高二理科用)2013年广州一模化学试题精选(含答案)
2013年广州一模试题化学部分7．在水溶液中能大量共存的一组离子是A．Al3+、Na+、HCO3－、SO42－B．H+、Fe2+、ClO－、Cl－C．Mg2+、K+、SO42－、NO3－D．NH4+、Ag+、OH－、Br－8．下列叙述正确的是A．食盐、醋酸和蔗糖都是电解质B．纤维素、淀粉和蛋白质都是高分子化合物C．甲烷和乙烯均可使KMnO4溶液褪色D．乙酸乙酯和植物油均可水解生成乙醇9．下列实验不．能．达到目的的是A．用AlCl3溶液和过量氨水制备Al(OH)3B．用NH4Cl和Ca(OH)2混合加热制备NH3C．用NaOH溶液除去苯中的溴D．用足量铜粉除去FeCl2溶液中的FeCl3杂质10．设n A为阿伏加德罗常数的数值，下列说法正确的是A． 16g CH4含有10n A电子B．常温常压下，22.4L Cl2含有2n A个Cl原子C．1 mol Cu与足量稀HNO3反应，转移3n A个电子D．1L 0.1 mol·L－1 Na2SO3溶液中含有0.1n A个SO32－11．下列陈述Ⅰ、Ⅱ正确并且有因果关系的是选项陈述Ⅰ陈述Ⅱ浓H2SO4可用于干燥NH3A 浓H2SO4有吸水性B SO2有氧化性SO2尾气可用NaOH溶液吸收C Mg有还原性电解MgCl2饱和溶液可制备MgD 锌金属性比铁强海轮外壳上装锌块可减缓腐蚀12．对于常温下pH=3的乙酸溶液，下列说法正确的是A．c(H+)＝c(CH3COO－) + c(OH－)B．加水稀释到原体积的10倍后溶液pH变为4C．加入少量乙酸钠固体，溶液pH降低D．与等体积pH为11的NaOH溶液混合后所得溶液中：c(Na+)＝c(CH3COO－)22．短周期元素的X、Y、Z、W原子序数依次增大…23．在容积为2L的密闭容器中进行反应：CO(g)+2H2(g)CH3OH(g) ，平衡常数、速率…30．（16分）液晶高分子材料应用广泛。
新型液晶基元---化合物Ⅳ的合成线路如下：1．化合物Ⅰ的分子式为__________ ，1mol 化合物Ⅰ最多可与_____molNaOH 溶液反应。
广东省广州市高三数学毕业班综合测试试题(一)(广州一模) 理 新人教A版
2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）本试卷共4页，21小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：如果事件A B ,相互独立,那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅.线性回归方程y bx a=+中系数计算公式121ni i i ni i x x y y b a y bx x x ()(),()==--∑==--∑，其中y x ,表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,=，则A ．U AB = B ．U =()U A BC ．U A=()UB D ．U =()U A ()UB2. 已知11abi i=+-，其中a b ,是实数，i 是虚数单位，则a b +i = A ．12+i B ．2+i C ．2-i D ．12-i3．已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.⎧+≥⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为A ．3-B ．0C ．1D ．3图1俯视图侧视图正视图4. 直线0x -=截圆()2224x y -+=所得劣弧所对的圆心角是A ．6π B ．3πC ．2πD ．23π5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A ．2B ．1C.23 D. 136. 函数()()y x xx x sin cos sin cos =+-是A ．奇函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．奇函数且在2,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．偶函数且在02,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．偶函数且在2,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 7．已知e 是自然对数的底数，函数()f x =e 2xx +-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ，则下列不等式中成立的是A ．()()()1f a f f b << B. ()()()1f a f b f << C. ()()()1f f a f b << D. ()()()1f b f f a << 8．如图2，一条河的两岸平行，河的宽度600d =m ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B . 已知AB =1km ，水流速度为2km/h, 若客船行 驶完航程所用最短时间为6分钟，则客船在静水中 的速度大小为A ．8 km/h B ．C ．．10km/h二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9. 不等式1x x -≤的解集是 . 10．10x cos ⎰d x = .图3C11．某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：根据上表可得回归方程ˆˆ1.23yx a =+，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年时维修费用约 万元（结果保留两位小数）．12．已知01a a ,>≠，函数()()()11xa x f x x a x ,,⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩若函数()f x 在02,⎡⎤⎣⎦上的最大值比最小值大52，则a 的值为 . 13. 已知经过同一点的nn (∈N 3n *,)≥个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这n 个平面将空间分成()fn 个部分，则()3f = ，()f n = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点32,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在直线cos sin 0ρθθ=上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，AC 与O 交于点D 若3BC =，165AD =，则AB 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()sin()4f x A x πω=+（其中x ∈R ，0A >，0ω>）的最大值为2，最小正周期为8.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求△POQ 的 面积.图4ABC A 1C 1B 1DE17．（本小题满分12分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为12，乙，丙做对的概率分别为m ，n (m ＞n )，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：(1) 求至少有一位学生做对该题的概率； （2) 求m ，n 的值； （3) 求ξ的数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 是边长为2的等边三角形， 1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是1CC ，AB 的中点.（1）求证：CE ∥平面1A BD ；（2）若H 为1A B 上的动点，当CH 与平面1A AB 所成最大角的正切值为2时， 求平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值. 19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 12323(1)2(n n a a a na n S n n +++⋅⋅⋅+=-+∈N *).(1) 求数列{}n a 的通项公式；（2）若p q r ,,是三个互不相等的正整数，且p q r ,,成等差数列，试判断111p q r a a a ,,---是否成等比数列？并说明理由.20．（本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，2F ()20,，点(2,3)A 在椭圆1C 上，过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点，抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,，且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程；(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）; 若不存在，说明理由. 21．（本小题满分14分） 已知二次函数()21f x x ax m =+++，关于x的不等式()()2211f x m x m <-+-的解集为()1m m ,+，其中m 为非零常数.设()()1f xg x x =-.（1）求a 的值；（2）k k (∈R )如何取值时，函数()x ϕ()g x =-()1k x ln -存在极值点，并求出极值点；（3）若1m =，且x 0>，求证：()()1122nn n g x g x n (⎡⎤+-+≥-∈⎣⎦N *).2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．1sin 11．12.38 12．12或7213．8，22n n -+ 14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分． ② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ). 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >， ∴2A =. ……………1分∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. (2)分∴()2sin()44f x x ππ=+. ……………3分（2）解法1：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭ (4)分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ (5)分∴(4,P Q .∴OP PQ OQ ===……………8分∴222222cos 23OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===. ………10分∴POQ sin ∠==……………11分∴△POQ 的面积为11223S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=……………12分解法2：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭ (4)分(4)2sin 2sin 44fπππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ (5)分∴(4,P Q . （苏元高考吧： ）∴(2,2),(4,OP OQ ==. ……………8分∴cos cos ,36OP OQ POQOP OQ OP OQ⋅∠=<>===. ……………10分∴POQ sin ∠==……………11分∴△POQ 的面积为11223S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=……………12分解法3：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭ (4)分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ (5)分∴(4,P Q .∴直线OP 的方程为2y x =，即0x -=. (7)分∴点Q 到直线OP 的距离为d ==. ……………9分∵OP = (11)分∴△POQ 的面积为1122S OP d =⋅=⨯⨯=……………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知， ()()()12P A P B m P C n ,,===. ……………1分（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=. …………3分H FABCA 1C 1B 1DE（2）由题意知()()()()1101124PP ABC m n ξ===--=， ……………4分 ()()113224P P ABC mn ξ====， ……………5分整理得 112mn =，712m n +=. 由m n >，解得13m =，14n =. ……………7分（3）由题意知()()()()1a P P ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=， ………9分(2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14， ……………10分∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312. …………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法） 解法一：（1）证明：延长1A D 交AC 的延长线于点F ，连接BF .∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴C 为AF 的中点. ……………2分 ∵E 为AB 的中点，∴CE ∥BF . ……………3分∵BF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ，∴CE ∥平面1A BD . ……………4分（2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点，∴CE AB ⊥，2CE AB == ∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1ABAA A =，∴CE ⊥平面1A AB . ……………6分 ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵CE =在Rt △CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH EH ∠===2. ∴EH =……………9分 ∵CE ∥BF ，CE ⊥平面1A AB ，∴BF ⊥平面1A AB . ……………10分∵AB ⊂平面1A AB ，1A B ⊂平面1A AB ，∴BF ⊥AB ，BF ⊥1A B . (11)分∴1ABA ∠为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）. ……………12分A 在Rt △EHB中，BH ==cos 1ABA∠BH EB ==…13分∴平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值为5. ……………14分 解法二：（1）证明：取1A B 的中点F ，连接DF 、EF .∵E 为AB 的中点， ∴EF ∥1AA ，且112EF AA =. ……………1分 ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴EF ∥CD ，EF =CD . ……………2分 ∴四边形EFDC 是平行四边形.∴CE ∥DF . ……………3分 ∵DF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ，∴CE ∥平面1A BD . （苏元高考吧： ） ……………4分（2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点， ∴CE AB ⊥，2CE AB == ∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1ABAA A =，∴CE ⊥平面1A AB . ……………6分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ……………7分∵CE =在Rt △CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH EH ∠===.∴5EH =. ……………9分 在Rt △EHB中，5BH ==. ∵Rt △EHB ～Rt △1A AB ，∴1EH BHAA AB =，即1552AA =. ∴14AA =. ……………10分以A 为原点，与AC 垂直的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -. 则000A ，1A 004，B 10，D 022. ∴1AA =004，1A B=14，1A D =022.设平面A BD 1的法向量为n ()x y z ,,，由n 10A B ，n 10A D，得340220x y z yz.（苏元高考吧： ）令1y ，则13z x.∴平面A BD 1的一个法向量为n11. (12)分∵1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA 004是平面ABC 的一个法向量.∴cos 111,⋅==nAA n AA n AA . ……………13分∴平面1A BD与平面ABC 所成二面角（锐角）……………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1) 解：12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+，∴ 当1n =时，有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+, ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++, ② ……………2分②-①得:11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+.③ ……………3分 以下提供两种方法：法1：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+，即122n n S S +=+; ……………4分∴122(2)n n S S ++=+， ……………5分∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列.∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……………6分当2n ≥时, 11(22)(22)2n n nn n n a S S +-=-=---=， (7)分又12a =也满足上式,∴2nn a =. (8)分法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++，得12n n a S +=+. ④ ……………4分当2n ≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……………5分⑤-④得：12n n a a +=. ……………6分由12224a a S +=+，得24a =，∴212a a =. ……………7分∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列. ∴2nn a =. (8)分（2）解：∵p q r ,,成等差数列，∴2p r q +=. ……………9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列， 则()()()2111p r q a a a --=-， (10)分即()()()2212121prq--=-，化简得：2222p r q +=⨯. （*） ……………11分 ∵p r ≠，∴2222pr q +>=⨯，这与（*）式矛盾，故假设不成立.……13分∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分 20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意:222222231,4.ab a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分 ∴椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分 (2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x --=， )413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线, （苏元高考吧： ） ∴BC BA //. ……………4分∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分由24x y=,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ②同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ……………8分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -， 而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =，……………10分则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ， 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-， 即2111212x y x x y -+=. ……………5分∵21141x y =， ∴112y x x y -= . ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=.① ……………6分同理， 20202y x x y -=. ② ……………7分综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ……………8分∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的， ∴直线L 的方程为y x xy -=002， ……………9分∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ……………10分∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，……12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………4分 设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分由24x y=,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.…7分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分 由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-. ……………10分∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识） （1）解：∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+，即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+， ∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x mx m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++. ∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ……………2分(2)解法1:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--. ∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分 方程()2210x k x k m -++-+=（*）的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+. ……………4分①当0m >时，0Δ>，方程（*）的两个实根为1212k x ,+-=<2212k x ,++=> ……………5分则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分②当0m <时，由0Δ>,得k <-或k >若k <-，则1212k x ,+-=<2212k x ,++=<故x ∈()1,+∞时，()0x ϕ'>，（苏元高考吧： ） ∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若k >时，1212k x ,+-=>2212k x ,++=>则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分(其中1x =, 2x =解法2:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--. ∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211mkx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分 若函数()()x g x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且 至少有一个零点在()1,+∞上. ……………4分 令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*) 则()()2224140Δk k m k m =+--+=+>,(**) ……………5分方程（*）的两个实根为122k x +-=, 222k x ++=.设()h x=()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立. 则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>. ∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x . ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >k <-故k >……………7分则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分(其中1x =2x =(2)证法1：∵1m =， ∴()g x =()111x x -+-. ∴()()1111nnnn n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111n n n n nn n n n nn n n x C x C x C x C x x xx x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭122412n n n nn n n C xC x C x ----=+++. ……………10分 令T 122412n n n nn n n C xC x C x ----=+++，则T 122412n nn n n n n n C x C x C x -----=+++122412nnn n n n n C xC x C x ----=+++.∵x 0>， ∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C xx C x x C x x -------=++++++ ……11分≥121n n n n C C C -⋅+⋅++⋅ …12分()1212n n n n C C C -=+++ ()012102n n nn n n n n n n C C C C C C C -=+++++--()222n=-. (13)分∴22n T ≥-，即()()1122nnng x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. (14)分证法2：下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n ≥-.① 当1n =时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成立； ……………10分② 假设当n k =k (∈N *)时，不等式成立，即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k ≥-，则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (11)分()22k ≥⋅-+……………12分122k +=-. (13)分也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀n ∈N *，()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ………14分。
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试卷类型：A
2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（理科）
2013.3
本试卷共4页，21小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座
位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：
如果事件A B ,相互独立,那么()()()P A B
P A P B ⋅=⋅.
线性回归方程 y bx
a =+ 中系数计算公式 1
2
1
n
i i i n
i i x x y y b a
y bx x x ()()
,()==--∑==--∑ ， 其中y x ,表示样本均值.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,=
，则 A ．U A B = B ．U =(
)U A ðB C ．U A = ()U B ð D ．U =()U A ð(
)
U B ð
2. 已知
11a
bi i
=+-，其中a b ,是实数，i 是虚数单位，则a b +i = A ．12+i B ．2+i C ．2-i D ．12-i
3．已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.⎧+≥⎪
-≤⎨⎪-≤⎩
则2z x y =-的最大值为
A ．3-
B ．0
C ．1
D ．3
图1
俯视图
侧视图
正视图
4. 直线0x -
=截圆()2
224x y -+=所得劣弧所对的圆心角是
A ．
6π B ．3
π
C ．
2
π D ．23π
5. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是
A ．2
B ．1
C .
23 D . 13
6. 函数()()y x x
x x sin cos sin cos =+-是
A ．奇函数且在02,π⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦上单调递增 B ．奇函数且在2,ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递增 C ．偶函数且在02,π⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
上单调递增 D ．偶函数且在2,ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递增 7．已知e 是自然对数的底数，函数()f x =e 2x
x +-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+-
的零点为b ，则下列不等式中成立的是
A ．()()()1f a f f b << B. ()()()1f a f b f << C. ()()()1f f a f b << D. ()()()1f b f f a << 8．如图2，一条河的两岸平行，河的宽度600d =m ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头
B . 已知AB =1km ，水流速度为2km/h, 若客船行 驶完航程所用最短时间为6分钟，则客船在静水中 的速度大小为
A ．8 km/h
B ．
C ．km/h
D ．10km/h
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）
9. 不等式1x x -≤的解集是 . 10．1
0x cos ⎰d x = .
图3
C
11．某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料：
根据上表可得回归方程ˆˆ1.23y
x a =+，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年时维修费用约 万元（结果保留两位小数）．
12．已知01a a ,>≠，函数()()()11x
a x f x x a x ,
,
⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩若函数()f x 在02,⎡⎤⎣⎦上的最大
值比最小值大
5
2
，则a 的值为 . 13. 已知经过同一点的n
n (∈N 3n *,)≥个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这n 个平面将空间分成()f
n 个部分，则()3f = ，()f n = .
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，定点32,2A π⎛⎫
⎪⎝⎭
，点
B 在直线cos sin 0ρθθ=上运动，当线段AB 最短
时，点B 的极坐标为 ． 15．（几何证明选讲选做题）
如图3，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，AC 与O 交于点D 若3BC =，16
5
AD =，则AB 的长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()sin()4
f x A x π
ω=+（其中x ∈R ，0A >，0ω>）的最大值为2，最小正周
期为8.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4，O 为坐标原点，求△POQ 的
面积.
图4
A
B
C A 1
C 1
B 1
D
E 17．（本小题满分12分）
甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为
1
2
，乙，丙做对的概率分别为m ，n (m ＞n )，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布
列为：
(1) 求至少有一位学生做对该题的概率； （2) 求m ，n 的值； （3) 求ξ的数学期望.
18．（本小题满分14分）
如图4，在三棱柱111
ABC A B C -中，△ABC 是边长为2的等边三角形， 1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是1CC ，AB 的中点.
（1）求证：CE ∥平面1
A BD ； （2）若H 为1A
B 上的动点，当CH 与平面1
A A
B 所成最大角的正切值为2
时， 求平面1
A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值. 19．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 12323(1)2(n n a a a na n S n n +++⋅⋅⋅+=-+∈N *).
(1) 求数列{}n a 的通项公式；
（2）若p q r ,,是三个互不相等的正整数，且p q r ,,成等差数列，试判断
111p q r a a a ,,---是否成等比数列？并说明理由.
20．（本小题满分14分）
已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两个焦点分别为1(2,0)F -，2F ()
20,，点(2,3)A 在椭圆1C 上，过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点，抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,，且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程；
(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点
P ? 若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点P 的坐标）; 若不存在，说明理由. 21．（本小题满分14分） 已知二次函数()
21f
x x ax m =+++，关于x 的不等式()()2211f x m x m <-+-
的解集为()
1m m ,+，其中m 为非零常数.设()
()1
f x
g x x =
-.
（1）求a 的值；
（2）k k (∈R )如何取值时，函数()
x ϕ()g x =-()
1k x ln -存在极值点，并求出极值点；
（3）若1m =，且x 0>，求证：1122n n n g x g x n +-+≥-∈(())()(N *).。