希帕索斯悖论与第一次数学危机
数学史上的三次数学危机的成因分析
数学史上的三次数学危机的成因分析数学的发展并非一帆风顺，在其漫长的历史进程中，曾经历了三次重大的危机。
这些危机不仅对当时的数学界产生了巨大的冲击，也推动了数学的不断进步和完善。
第一次数学危机发生在古希腊时期，主要源于对无理数的发现。
在古希腊，毕达哥拉斯学派深信“万物皆数”，这里的数指的是整数以及整数之比（有理数）。
他们认为，宇宙中的一切现象都可以用有理数来解释和描述。
然而，毕达哥拉斯学派的一个成员希帕索斯却发现了一个惊人的事实：边长为 1 的正方形，其对角线的长度无法用有理数来表示。
按照勾股定理，这个对角线的长度应该是根号 2。
但根号 2 既不是整数，也不是两个整数之比，这一发现直接冲击了毕达哥拉斯学派的基本信念。
这次危机的成因可以归结为以下几点。
首先，当时的数学观念和认知存在局限性。
人们过度依赖于整数和有理数来理解世界，对于无法用已有数学概念表达的量缺乏准备。
其次，数学的推理和证明体系还不够完善。
在面对根号 2 这样的新对象时，缺乏严谨的逻辑方法来处理和理解。
第一次数学危机的影响是深远的。
它促使人们重新审视数学的基础，推动了数学逻辑和证明的发展。
数学家们开始意识到，仅仅依靠直观和经验是不够的，必须建立更加严谨的数学体系。
第二次数学危机则与微积分的基础问题相关。
在 17 世纪，牛顿和莱布尼茨各自独立地发明了微积分。
微积分在解决众多科学和工程问题中显示出了强大的威力，极大地推动了科学技术的发展。
然而，微积分在创立初期却存在着逻辑上的漏洞。
例如，在求导数的过程中，无穷小量的概念含糊不清。
无穷小量有时被看作是零，有时又被当作非零的量参与运算，这引发了广泛的争议。
造成第二次数学危机的原因主要有两个方面。
一方面，微积分的发展速度过快，其应用的迫切需求超过了理论基础的完善速度。
科学家们急于利用微积分解决实际问题，而对其内在的逻辑矛盾关注不够。
另一方面，当时的数学分析方法还不够精确和严格。
对于极限、无穷小等概念的理解和定义存在模糊性。
数学悖论与数学危机
数学悖论与数学危机数学悖论与数学危机【摘要】数学⼀向以逻辑严谨著称，但数学的发展也不是⼀帆风顺的，总是不时的发⽣各式各样的危机.其突出的表现就是出现悖论.数学史上共出现了三次⼤的数学危机，且都与悖论有关.本⽂主要描述了这三次数学危机的发⽣、发展和解决过程，详细讨论了分别与它们相伴的希帕索斯悖论、贝克莱悖论、罗素悖论，特别是介绍了数学⼤师们在解决这些悖论和危机的过程中⽽做的艰⾟努⼒以及取得的⼀系列的重⼤成就.因此，数学悖论的产⽣和危机的出现并不可怕，它们尽管会在⼀定时间内给⼈们带来⿇烦和迷茫，但危机的解决也会促进数学观念的突破和创新从⽽极⼤的推动数学科学的发展.【关键词】数学悖论；数学危机；希帕索斯悖论；贝克莱悖论；罗素悖论Mathematical Paradoxes and Mathematical Crises 【Abstract】Mathematics has always been known as strict, but the development of mathematics was not easy and it was always full of a wide range of crises. Its outstanding performance is the emergence of the paradox. There were three major mathematical crises in the history of mathematics which are all related to some kind of paradox. This paper describes the origin, development and settlement process of the three mathematical crises, and discuss ed the Pythagoras paradox, Berkeley paradox,Russell paradox respectively. It was especially introduced the hard work and a series of great achievements in addressing these paradoxes by mathematical masters. So, the appearance of the mathematical paradox and mathematical crisis was not terrible, although it will lead to trouble and confuse to us in a period of time, the resolution of the paradox will also promote the mathematical concept innovation and greatly promoted the development of mathematical sciences. 【Key Words】Mathematical paradox; Mathematical crisis; Pythagoras paradox; Berkeley paradox; Russell paradox⽬录1 引⾔ (1)2 第⼀次数学危机与希帕索斯悖论 (1)2.1 第⼀次数学危机的产⽣和解决 (1)2.2 第⼀次数学危机的影响 (3)3 第⼆次数学危机与贝克莱悖论 (3)3.1 第⼆次数学危机的产⽣和解决 (3)3.2 第⼆次数学危机的影响 (5)4 第三次数学危机与罗素悖论 (5)4.1 第三次数学危机的产⽣ (6)4.2 第三次数学危机的发展 (6)4.3 第三次数学危机的影响 (8)5 结论 (8)参考⽂献 (9)致谢 (10)数学悖论与数学危机1 引⾔悖论是⼀种认识⽭盾，常常以逻辑推理为⼿段，深⼊到原理论的根基之中，尖锐地揭露出该理论体系中潜藏着的⽆法回避的⽭盾，所以它的出现必然导致现存理论体系的危机. 科学危机的产⽣，往往是科学⾰命的前兆和强⼤杠杆，是科学认识飞跃的关节点和开始进⼊新阶段的重要标志. 数学悖论作为悖论的⼀种，主要发⽣在数学研究中. 数学⼀向以严谨著称，但依然存在着悖论. “现在我说的是⼀句假话. ”这句话是真是假？假定它为真，将推出它的假；假定它为假，将推出它为真. 这个以“说谎者悖论”⽽闻名的命题⾃公元前4世纪就开始流传，迄今为⽌仍然以其特有的美丽吸引着为数众多的⼈们. 悖论的吸引⼒可见⼀斑. 历史上⼀连串的数学悖论动摇了⼈们对数学可靠性的信仰，数学史上曾经发⽣了三次数学危机. 第⼀次数学危机源于希帕索斯悖论，它的出现促使⼈们去认识和研究⽆理数. 第⼆次数学危机源于贝克莱悖论，许多数学家从不同的⾓度进⾏研究、探索，进⼀步完善了微积分体系. 第三次数学危机源于罗素悖论，他指出集合论是不完善的，时⾄今⽇，第三次数学危机还不能说已从根本上消除了，因为数学基础和数理逻辑的许多重要课题还未能从根本上得到解决. 然⽽，⼈们正向根本解决的⽬标逐渐接近[1].本⽂主要介绍了三次数学危机产⽣的原因，具体的发展，最后如何解决以及它给数学带来的影响. 通过这三次数学危机，让⼈们了解到数学的发展历程，更认识到悖论对数学的巨⼤推动作⽤.2 第⼀次数学危机与希帕索斯悖论2.1第⼀次数学危机的产⽣和解决第⼀次数学危机的产⽣和勾股定理密切相关，现在先介绍勾股定理的发现者毕达哥拉斯. 毕达哥拉斯⽣活在公元前六世纪，是古希腊著名数学家，他的⼀⽣极富传奇⾊彩，年轻时他曾游历东⽅，去过许多国家，年近半百回到故乡开始讲学. 在⼴收门徒后，毕达哥拉斯建⽴起来⼀个组织严密，带有宗教⾊彩的学派. 在毕达哥拉斯的领导下，该学派进⾏了多⽅⾯的研究⼯作. 毕达哥拉斯学派倡导的是⼀种称为“唯数论”的哲学观点，他们认为宇宙的本质就是数的和谐. 他们认为万物皆数，⽽数只有两种，就是正整数和可通约的数（即分数，两个整数的⽐），除此之外不再有别的数，即是说世界上只有整数或分数. 毕达哥拉斯学派在数学上的⼀项重⼤贡献是证明了毕达哥拉斯定理，也就是⼈们所说的勾股定理.希帕索斯是毕达哥拉斯的学⽣，当他在研究勾股定理时突然发现正⽅形的边长和其对⾓线的⽐值既不是⼀个整数，⼜不是⼀个分数. 也就是说，它不是⼀个有理数. 现在我们知道，希帕索斯发现了了第⼀个⽆理数2.这⼀发现直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之⼤为恐慌. 许多建⽴在任何量可公度理论上的论断居然被2推翻了！⽐如，在证明“等⾼的三⾓形的⾯积之⽐等于底边长度之⽐”的时候，就是这样证明的：如图，ABC ?和ADE ?，他们的底BC 和DE 在阿同⼀条直线MN 上．两三⾓形等⾼．毕达拉斯学派依据任何两个长度可公度理论，设BC 和DE 的公度单位为d ，BC nd =，DE md =. 把BC 分为n 等分，等分点分别与定点相连，则将ABC 分为n 个底边长度为d 的⼩三⾓形；同样把ADE 为m 个底边长度为d 的⼩三⾓形. 这些⼩三⾓形等底等⾼，因⽽⾯积相等，记为s ,⽽ABC S ns ?=，ADE S ms ?=. 故:::ABC ADE S Sns ms BC DE ??==. 命题得证[2].由于不可度量的发现，这⼀证明就完全失效了. 因为建⽴在证明之上的基础已经坍塌了. 于是，建⽴在“任何两条线段都可通约”的基础上的数学结论失去了根基，所有那些建⽴在这⼀假设基础之上的证明都被粉碎了，已经确⽴的⼏何学的许多定理不得不随之⽡解了. ⽽最为令⼈尴尬的是，⼈们是相信这些定理的正确性的，只是随着不可公度量的发现，他们拿不出有⼒的证据来⽀持他们的观点. 这就是⼈们有时所谓的希腊⼏何的“逻辑耻辱”.实际上，这⼀伟⼤发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击. 对于当时所有古希腊⼈的观念这都是⼀个极⼤的冲击. 这⼀结论的悖论性表现在它与⼈们的直觉相冲突. 它简直把以前所知道的事情根本推翻了. 更糟糕的是，⾯对这⼀荒谬⼈们竟然毫⽆办法，因为连毕达哥拉斯也找不出这⼀论断的⽑病. 这就在当时直接导致了⼈们认识上的危机，从⽽导致了西⽅数学史上⼀场⼤的风波，史称“第⼀次数学危机”.这个问题⼀直没有得到很好的解释，直到⼆百年后，才华横溢的欧多克索斯建⽴起⼀套完整的⽐例论. 欧多克索斯的巧妙⽅法可以避开⽆理数这⼀“逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的⼀些结论，从⽽解决了由⽆理数出现⽽引起的数学危机. 欧多克索斯的解决⽅案其中⼼概念⽤现代符号可简述为：::a b c d =就是指对任何正整数学悖论与数学危机数,m n ：只要ma nb >，就有mc nd >；只要ma nb =，就有mc nd =；只要ma nb <，就有mc nd <；可以⽤欧多克索斯的思想证明“等⾼的三⾓形的⾯积之⽐等于底边长度之⽐”,就避免了这些问题. 这⾥不再证明. 欧多克索斯的解决⽅式，是借助⼏何⽅法，通过避免直接出现⽆理数消除了由悖论引起的第⼀次数学危机. 但这就⽣硬地把数和量肢解开来. 在这种解决⽅案下，对⽆理数的使⽤只有在⼏何中是允许的，合法的，在代数中就是⾮法的，不合逻辑的. 或者说⽆理数只被当作是附在⼏何量上的单纯符号，⽽不被当作真正的数. ⼀直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是⽆理数时，拥护⽆理数存在的⼈才多起来. 到⼗九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建⽴起来后，⽆理数本质被彻底搞清，⽆理数在数学中才真正扎下了根. ⽆理数在数学中合法地位的确⽴，⼀⽅⾯使⼈类对数的认识从有理数拓展到实数，另⼀⽅⾯也真正彻底、圆满地解决了第⼀次数学危机.2.2 第⼀次数学危机的影响第⼀次数学危机的影响是巨⼤的，它极⼤的推动了数学及其相关学科的发展. ⾸先，第⼀次数学危机让⼈们第⼀次认识到了⽆理数的存在，⽆理数从此诞⽣了，之后，许多数学家正式研究了⽆理数，给出了⽆理数的严格定义，提出了⼀个含有有理数和⽆理数的新的数类——实数，并建⽴了完整的实数理论，为数学分析的发展奠定了基础. 再者，第⼀次数学危机表明，直觉和经验不⼀定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊⼈开始重视演绎推理，并由此建⽴了⼏何公理体系[3]. 欧⽒⼏何就是⼈们为了消除⽭盾，解除危机，在这时候应运⽽⽣的. 第⼀次数学危机极⼤地促进了⼏何学的发展,使⼏何学在此后两千年间成为⼏乎是全部严密数学的基础，这不能不说是数学思想史上的⼀次巨⼤⾰命.3 第⼆次数学危机与贝克莱悖论3.1 第⼆次数学危机的产⽣和解决第⼆次数学危机源于对微积分⼯具的使⽤. 伴随着⼈们科学理论与实践认识的提⾼，⼗七世纪⼏乎在同⼀时期，微积分这⼀锐利⽆⽐的数学⼯具为⽜顿、莱布尼兹各⾃独⽴发现. 这⼀⼯具⼀问世，就显⽰出它的⾮凡威⼒. 许许多多疑难问题运⽤这⼀⼯具后变得易如翻掌. 但是不管是⽜顿，还是莱布尼兹所创⽴的微积分理论都是不严格的. 两⼈的理论都建⽴在⽆穷⼩分析之上，但他们对作为基本概念的⽆穷⼩量的理解与运⽤却是混乱的. 因⽽，从微积分诞⽣时就遭到了⼀些⼈的反对与攻击. 其中攻击最猛烈的是英国⼤主教贝克莱.贝克莱主教1734年以“渺⼩的哲学家”之名出版了⼀本标题很长的书，在这本书中，贝克莱对⽜顿的理论进⾏了攻击. 例如他指责⽜顿，为计算⽐如说 2x 的导数，先将x 取⼀个不为0的增量x ?，由，得到22()x x x ?+? ，后再被x ?除，得到2x x +? ，最后突然令 0x ?= ，求得导数为2x .这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”. 因为⽆穷⼩量在⽜顿的理论中⼀会⼉说是零，⼀会⼉⼜说不是零.2x x +? ，最后突然令 0x ?= ，求得导数为2x . 这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”. 因为⽆穷⼩量在⽜顿的理论中⼀会⼉说是零，⼀会⼉⼜说不是零.数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”. 笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“⽆穷⼩量究竟是否为0 ”的问题：就⽆穷⼩量在当时实际应⽤⽽⾔，它必须既是0，⼜不是0. 但从形式逻辑⽽⾔，这⽆疑是⼀个⽭盾. 贝克莱是利⽤微积分来为神学辩解，妄图证明数学是建⽴在不稳定的基础上，并以此来维护宗教哲学. 然⽽不可否认的是，他的抨击将微积分在概念、基础⽅⾯的缺陷和漏洞来了个⼤曝光. 这⼀问题的提出在当时的数学界引起了⼀定的混乱，由此导致了第⼆次数学危机的产⽣.针对贝克莱的攻击和嘲讽，⽜顿与莱布尼兹都曾试图通过完善⾃⼰的理论来解决，但虽经多次尝试，最终都没有获得完全成功. 这使数学家们陷⼊了尴尬境地. ⼀⽅⾯微积分在应⽤中⼤获成功，另⼀⽅⾯其⾃⾝却存在着逻辑⽭盾，即贝克莱悖论. 这种情况下对微积分的取舍上到底何去何从呢？经过⼀个多世纪的漫漫征程，⼏代数学家，包括达朗贝尔、拉格朗⽇、贝努利家族、拉普拉斯以及欧拉等⼈的努⼒，微积分理论获得了空前丰富. 复变函数，微分⼏何，解析⼏何，变分法，⽆穷级数等都是在18世纪成长起来的，并逐渐形成了称为“数学分析”的⼴⼤领域，与代数、⼏何并成为数学三⼤学科.然⽽，与此同时⼗⼋世纪不严密的⼯作也导致了谬误越来越多的局⾯，不和谐的声⾳开始震惊数学家们. 问题的严重性在于当时分析中任何⼀个⽐较细致的问题，如级数、积分的收敛性、微分积分的换序、⾼阶微分的使⽤以及微分⽅程解的存在性……都⼏乎⽆⼈过问. 尤其到⼗九世纪初，傅⽴叶理论直接导致了数学逻辑基础问题的彻底暴露. 下⾯仅举⼀⾮常有名的⽆穷级数为例：⽆穷级数1111S =-+-+ 到底等于什么？当时⼈们认为⼀⽅⾯(11)(11)0-+-+= S=；另⼀⽅⾯，1(11)(11)1+-+-+= S=；再有就是 S=1-(1-1+1-1+1)=1-S ，所以12S =.那么岂⾮0112＝＝？这⼀⽭盾竟然使傅⽴叶那样的数学家困惑不解，甚⾄连被后⼈称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下错误[4]. 他在得到 23111n X X X X X ++++++=- 后，令 1X =-，得出 1111112S =-+-+-= ；数学悖论与数学危机令2X =，得出1124816112+++++==--⽽这样的荒谬结果欧拉也接受了.使分析基础严密化的⼯作由法国著名数学家柯西迈出了第⼀⼤步. 柯西于1821年开始出版了⼏本具有划时代意义的书与论⽂.其中给出了分析学⼀系列基本概念的严格定义. 如他开始⽤不等式来刻画极限，使⽆穷的运算化为⼀系列不等式的推导. 这就是所谓极限概念的“算术化”. 后来，德国数学家魏尔斯特拉斯给出更为完善的⼈们⽬前所使⽤的“εδ- ”⽅法. 另外，在柯西的努⼒下，连续、导数、微分、积分、⽆穷级数的和等概念也建⽴在了较坚实的基础上. 不过，在当时情况下，由于实数的严格理论未建⽴起来，所以柯西的极限理论还不可能完善. 柯西之后，魏尔斯特拉斯、戴德⾦、康托尔各⾃经过⾃⼰独⽴深⼊的研究，都将分析基础归结为实数理论，并于七⼗年代各⾃建⽴了⾃⼰完整的实数体系. 魏尔斯特拉斯的理论可归结为递增有界数列极限存在原理；戴德⾦建⽴了有名的戴德⾦分割；康托尔提出⽤有理“基本序列”来定义⽆理数. 1892年，另⼀个数学家创⽤“区间套原理”来建⽴实数理论. 由此，沿柯西开辟的道路，建⽴起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基⼯作.数学分析的⽆⽭盾性问题归纳为实数论的⽆⽭盾性，从⽽使微积分学这座⼈类数学史上空前雄伟的⼤厦建在了牢固可靠的基础之上. 重建微积分学基础，这项重要⽽困难的⼯作就这样经过许多杰出学者的努⼒⽽完成了. 微积分学坚实牢固基础的建⽴，结束了数学中暂时的混乱局⾯，同时也宣布了第⼆次数学危机的彻底解决.3.2 第⼆次数学危机的影响第⼆次数学危机由⼈们对⽆穷量的探索⽽起，⽽贝克莱悖论是这⼀危机的直接导⽕索. 这⼀危机的产⽣、发展和解决造就了18世纪分析学的辉煌，18世纪因⽽被称为“分析时代”. ⼀代代数学先驱为将数学分析建⽴在严格坚实的基础之上⽽不懈奋⽃，直到1889年，⽪亚诺给出了举世闻名的⾃然数公理，建⽴起⾃然数的⽪亚诺公理系统，在⾃然数公理的基础上简明扼要地建⽴起了⾃然数系. 数学分析基础依赖于实数，实数依赖于有理数，⽽有理数最终依赖于⾃然数. ⼀旦对⾃然数的逻辑处理完之后，实数的基本问题也就宣告完备了[5]. 再经过这样⾃上⽽下的基础重建⼯程后，数学分析完全建⽴在实数理论基础之上了. 于是，随着分析的算术化，建⽴在⼗数理论之上的微积分理论有了严格的基础. 微积分学⽆论在基本概念，还是逻辑严密性，形式严谨性上，都有如欧⼏⾥得⼏何学⼀般的令⼈惊叹.4 第三次数学危机与罗素悖论4.1 第三次数学危机的产⽣⼗九世纪下半叶，康托尔创⽴了著名的集合论，在集合论刚产⽣时，曾遭到许多⼈的猛烈攻击. 但不久这⼀开创性成果就为⼴⼤数学家所接受了，并且获得⼴泛⽽⾼度的赞誉. 1903年，⼀个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的. 这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论.把所有集合分为2类，第⼀类中的集合以其⾃⾝为元素，第⼆类中的集合不以⾃⾝为元素，假令第⼀类集合所组成的集合为P，第⼆类所组成的集合为Q，于是有：{}=∈|P A A A{}=?Q A A A|那Q P∈？∈还是Q Q若Q P∈，但是Q中任何集合∈，那么根据第⼀类集合的定义，必有Q Q都有A A的性质，因为Q Q∈，根据第⼀类，引出⽭盾. 若Q Q∈，所以Q Q集合的定义，必有Q P，还是⽭盾.∈，⽽显然P Q=，所以Q Q这就是著名的“罗素悖论”. 罗素悖论还有⼀些较为通俗的版本，如理发师悖论等，这⾥不再详细叙述.4.2 第三次数学危机的发展罗素的悖论发表之后，许多以前古⽼悖论进⼊了数学家们的视野，⼀连串的悖论相继提出并产⽣了第三次数学危机后，众多数学家开始分析悖论产⽣之因，并寻求消除悖论的解决⽅案.对悖论做出分析，并从原则上确定消除悖论的⽅法是通向解决的第⼀步. 下⼀步是如何在数学中贯彻相应的原则，完善集合论，改造数学. 这⾥介绍⼀种被证实极为有效的途径：集合论的公理化⽅案.1908年，数学家策梅罗做出了第⼀次成功的尝试.那年，他发表了⼀篇名为《关于集合论基础的研究》建⽴了集合论公理体系，他给出了7条公理：外延公理、初等集合公理、分离公理、幂集合公理、并集合公理、选择公理、⽆穷公理[2].在策梅罗的这种处理下，集合论变成⼀个完全抽象的公理化理论，在这样⼀个公理化的理论中，集合这个概念不加定义，它是满⾜上述7条公理的条件的“对象”. 1930年，策梅罗采纳了弗兰克尔、斯科朗和冯诺依曼的建议，对原公理体系加以严格处理及补充，从⽽得到更为严谨的集合论公理系统，并取策梅罗、弗兰克尔的名字的⾸字母记做ZF. 这⼀公理化集合系统很⼤程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷. 如果在ZF系统中再加上选择公理,就构成ZFC系统,只要这个系统⽆⽭盾,那么严格的微积分理论就能在ZFC公理集合论上建⽴起来. 然⽽ZFC系统本⾝是否数学悖论与数学危机保证不会出现新的⽭盾呢?这也是任何公理系统必须解决的相容性问题,但⽬前尚⽆证明.集合论公理化运动是假定了数学运⽤的逻辑本⾝不成问题,但数学家们对于这⼀前提陆续提出了不同观点,并形成了关于数学基础的三⼤学派,即以英国哲学家兼数学家罗素为代表的逻辑主义学派,以荷兰数学家兼哲学家布劳威尔(L·E·Brouwer)为代表的直觉主义学派和以德国数学家希尔伯特(D·Hilbert)为代表的形式主义学派.逻辑主义的基本思想在罗素1903年发表的《数学的原理》中已有⼤概的轮廓,罗素后来与怀特⿊德(A·Whitehead)合著的《数学原理》是逻辑主义的权威性论述. 罗素认为,“数学就是逻辑”,全部数学可以由逻辑推导出来. 尽管逻辑主义学派在数学上不能⾃圆其说,但逻辑主义以纯粹符号形式实现逻辑的彻底公理化揭⽰了数学和逻辑的关系,对于当今计算机的研制和⼈⼯智能的研究有重⼤现实意义. 特别是罗素、怀特⿊德《数学原理》⼆、三卷提出的“关系算术理论”建⽴了完整的命题演算与谓词演算系统,这⼀切构成了对现代数理逻辑的重⼤贡献. 另外,罗素的类型论对于排除悖论具有重要的意义.直觉主义特别强调⼈的直觉对数学概念的作⽤. 其基本思想是:数学独⽴于逻辑,数学的基础是⼀种能使⼈认识“知觉单位”以及⾃然数列的原始直觉. 坚持数学对象的“构造性”定义,是直觉主义哲学的精粹. 今天直觉主义提倡的构造性数学已成为数学科学中⼀个重要的学科体系,并与计算机科学密切相关. 直觉主义的缺陷是严格限制使⽤排中律,使古典数学中⼤批受数学家珍视的东西成为牺牲品.形式主义纲领的要旨是将数学彻底形式化为⼀个系统. 在这个形式系统中,⼈们必须通过逻辑的⽅法来进⾏数学语句的公式表述,并⽤形式的程序表⽰推理:确定⼀个公式——确定这个公式蕴含另⼀个公式——再确定这第⼆个公式,依此类推,数学证明便由这样⼀条公式链构成. 在这⾥,语句只有逻辑结构⽽⽆实际内容,从公式到公式的演绎过程不涉及到公式的任何意义,这是形式主义与逻辑主义的重要区别. 对于任何形式系统确⽴其相容性是形式主义纲领的⾸要任务. 希尔伯特提出了⼀套直接证明形式系统相容性的设想,这套设想被称之为“证明论”或“元数学”,它是形式主义纲领的核⼼. 1931年奥地利数学家哥德尔证明的⼀条定理出乎意料的揭⽰了形式主义⽅法的内在局限,明⽩⽆误地指出了形式系统相容性在本系统内不能证明,从⽽使希尔伯特纲领受到了沉重的打击. 这就是著名的“哥德尔不完全性定理”. 希尔伯特的形式主义计划虽然没全部实现,但是,他创造的“元数学”(对“对象系统”进⾏研究时所⽤到的数学理论)已成为⼈类的重要数学宝藏. “证明论”(把数学证明作为对象进⾏研究)这样新兴数学分⽀的产⽣,使数学研究达到了⼀个新的⾼度. 公理化思想也对现代数学和物理学的许多分⽀产⽣了深刻的影响[6-8].上述关于数学基础的三⼤学派论战,都未能对数学基础问题做出令⼈满意的解答,没有得到明确的结论. 但他们各⾃发展了⼀套精致⽽深奥的理论,推动了数学的发展,将⼈们对数学基础的认识引向了空前的深度. 三⼤学派在基础问题上积累的深刻的结果,都被纳⼊数理逻辑研究的范畴⽽极⼤地推动了现代数理逻辑的形成与发展,并产⽣了⼀批现代数学家.4.3 第三次数学危机的影响然⽽，第三次数学危机的解决也留给数学家们⼀些令⼈困惑的问题. 例如在消除悖论时⽤到了重要的选择公理，然⽽⽤选择公理也可以证明出⼀些荒唐的结论[9]；且每⼀种选择都会导致⽆法控制的后果，这种选择使数学家在数学基础研究中陷⼊了新的困境. 问题还在于⽆论如何选择都意味着集合论可以有许多发展⽅向，⽽在集合论基础上建构的数学，⼈们就有了多种不同的作法. 在这场危机中集合论得到较快的发展，数学基础的进步更快，数理逻辑也更加成熟. 然⽽，⽭盾和⼈们意想不到的事仍然不断出现，⽽且今后仍然会这样. 这表明，⼈们可以构造出多种数学. 数学的确定性是否就此丧失了呢？数学的真理性是否已经划上句号了呢？这是否证明数学具有不可靠性？第三次数学危机表⾯解决了，实质上以更深刻的其他形式延续着.5 结论本⽂介绍了历史上的三次数学悖论，并探讨由此引发出的三次数学危机：⽆理数的危机、微积分的危机、集合论的危机. 虽然前两次危机已经解决，可第三次危机⾄今还没有完美解决，数学的发展还在继续. 数学危机不仅不会引起数学研究的萧条，反⽽刺激数学学科本⾝的发展和⼀些原有数学观念的突破和创新. 数学中悖论和危机的历史也说明了这⼀点：已有的悖论和危机消除了，⼜产⽣新的悖论和危机. “产⽣悖论和危机，然后努⼒解决它们，⽽后⼜产⽣新的悖论和危机. ”这是⼀个⽆穷反复的过程，也就不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过程.参考⽂献数学悖论与数学危机[1] 韩雪涛.从惊讶到思考-数学悖论奇景[M].湖南科学技术出版社，2007：1-29[2] 韩雪涛.数学悖论与三次数学危机[M].湖南科学技术出版社,2006,5：47-180[3] 梁宗巨.世界数学通史（上册）[M].沈阳：辽宁教育出版社,2005：72-120[4] 周勇.第2次数学危机的影响和启⽰[J].数学通讯,2005，（13）：54-97[5] 王⽅汉.历史上的三次数学危机[N].数学通报,2002，(3)[6] 张莉敏.悖论与数理逻辑的发展探析[D]，郑州：河南⼤学,2003.[7] 戴峰.哲学视域下的第三次数学危机[D].太原：太原科技⼤学,2010.[8] 张怀德.数学危机与数学发展[J].⽢肃：定西师范⾼等专科学校,2004，（02）60-62[9] 张建军.逻辑悖论研究引论[M].南京：南京⼤学出版社,2002：211-259。
由悖论引起的三次数学危机
由悖论引起的三次数学危机数学发展史上的第一次危机发生于古希腊时期，当时毕达哥拉斯学派所倡导的是一种称为“唯数论”的哲学观点。
他们认为宇宙的本质就是数的和谐，一切事物都必须而且只能通过数学得到解释。
而他们所谓“数的和谐”是指一切事物和现象都可归结为整数或整数与整数之比。
他们深信这一观点无比正确，因此广泛利用它来解释各种现象。
而后不久即出现了我们前面介绍过的希帕索斯发现无理数的事件，而这一事件是由于一个简单的不公度线段的发现而引起的。
在一般人看来，对于任何两条不一样长的线段，我们都能找到第3条线段，使给定的两条线段都包含第3条线段的整数倍。
可是希帕索斯却发现，对于边长为l 的正方形，设它的对角线为x ，根据勾股定理，则有：2 )(2 2 22222=±==∴=+lx l x l x x l l 舍掉负根 这里出现的2，正好是1与2的比例中项（图153）。
但是无论如何了找不到两个整数之比等于2。
也就是说，x 和l 之间不可能是整数的比例关系，也就不可能找到一条线段，使x 和l 都包含它的整数倍。
因此，从数学的推导可以得出结论，那就是，与我们直观的观察和想像相反，的确存在着不可公度的线段，即不具有共同度量单位的线段。
不可公度线段的出现对毕达哥拉斯学派是一个沉重的打击，但这一怪现象毕竟是学派内部的人发现的，因此被称为毕达哥拉斯悖论或希帕索斯悖论。
希帕索斯为此而献出生命，但他的死并没有消除悖论的存在，却使数学界产生了极度的思想混乱，从而爆发屯第一次数学危机。
这次数学危机的解决导致无理数的诞生。
美籍华人数学家项武指出，有理数的准确翻译应该是“可比数”，无理数的准确翻译应该是“不可比数”。
经过这次惨痛的教训，古希腊数学家不得不承认直观和经验并非绝对可靠。
因此他们对一些凭经验而得到的几何知识都要求严格的推理加以证明，正是在这个过程中促进了欧氏几何和非欧几何的诞生。
数学史上的第二次危机发生在17世纪，涉及的是微积分理论基础的问题，是由贝克莱悖论引起的。
数学史上的三次数学危机，你都知道吗？
数学史上的三次数学危机，你都知道吗？从哲学上来看，矛盾是无处不存在的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
数学中有大大小小的许多矛盾，例如正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。
在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。
在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。
当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。
而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。
数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。
可恶的有理数危机产生- 希帕索斯悖论毕达哥拉斯学派（公元前500年）信奉数是万物的本源，事物的性质是由某种数量关系决定的，万物按照一定的数量比例而构成和谐的秩序；“一切数均可表成整数或整数之比'。
后来，毕达哥拉斯证明了勾股定理，但同时发现“某些直角三角形的三边比不能用整数来表达'。
不过毕达哥拉斯选择隐瞒实情，装作不知道。
希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？这就是希帕索斯悖论，他本人因为此事被抛入大海！危机的缓解二百年后，欧多克索斯建立起一套完整的比例论，巧妙地避开无理数这一“逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论，缓解了数学危机。
但欧多克索斯的解决方式，是借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实现的。
危机并没有解决只是被巧妙避开。
危机的解决直到到十九世纪下半叶，实数理论建立后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学中合法地位的确立，才真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。
微积分中幽灵般的无穷小危机产生- 贝克莱悖论十七世纪，牛顿与莱布尼兹各自独立发现了微积分，但两人的理论都建立在无穷小分析之上。
贝克莱提出了一个悖论，求x2的导数时会有如下奇怪情形出现。
无穷小量在牛顿的理论中“一会儿是零，一会儿又不是零”。
贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。
数学史上一共发生过三次危机,都是怎么回事
数学史上一共发生过三次危机，都是怎么回事？在数学历史上，有三次大的危机深刻影响着数学的发展，三次数学危机分别是：无理数的发现、微积分的完备性、罗素悖论。
第一次数学危机第一次数学危机发生在公元400年前，在古希腊时期，毕达哥拉斯学派对“数”进行了定义，认为任何数字都可以写成两个整数之商，也就是认为所有数字都是有理数。
但是该学派的一个门徒希帕索斯发现，边长为“1”的正方形，其对角线“√2”无法写成两个整数的商，由此发现了第一个无理数。
毕达哥拉斯的其他门徒知道后，为了维护门派的正统性，把希帕索斯杀害了，并抛入大海之中，看来古人也是解决不了问题时，先解决提出问题的人。
即便如此，无理数的发现很快引起了一场数学革命，史称第一次数学危机，这危机影响数学史近两千年的时间。
第二次数学危机微积分是一项伟大的发明，牛顿和莱布尼茨都是微积分的发明者，两人的发现思路截然不同；但是两人对微积分基本概念的定义，都存在模糊的地方，这遭到了一些人的强烈反对和攻击，其中攻击最强烈的是英国大主教贝克莱，他提出了一个悖论：从微积分的推导中我们可以看到，△x在作为分母时不为零，但是在最后的公式中又等于零，这种矛盾的结果是灾难性的，很长一段时间内数学家都找不到解决办法。
直到微积分发明100多年后，法国数学家柯西用极限定义了无穷小量，才彻底解决了这个问题。
第三次数学危机数学家总有一个梦想，试图建立一些基本的公理，然后利用严格的数理逻辑，推导和证明数学的所有定理；康托尔发明集合论后，让数学家们看到了曙光，法国科学家庞加莱认为：我们可以借助结合论，建造起整座数学大厦。
正在数学家高兴之时，英国哲学家、逻辑学家罗素，提出了一个惊人的悖论——罗素悖论：罗素悖论通俗描述为：在某个城市中，有一位名誉满城的理发师说：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。
”那么请问理发师自己的脸该由谁来刮？罗素悖论的提出，引发了数学上的又一次危机，数学家辛辛苦苦建立的数学大厦，最后发现基础居然存在缺陷，数学家们纷纷提出自己的解决方案；直到1908年，第一个公理化集合论体系的建立，才弥补了集合论的缺陷。
史上三大数学危机——你听说过吗？
史上三大数学危机——你听说过吗？在数学的历史上，有过三次比较重大的危机，第一次是关于无理数的，这次危机把毕达哥拉斯的数学王朝推翻，第二次数学危机是关于微积分的，是常识跟数学之间的契合的问题；第三次数学危机发生在二十世纪初，这次危机涉及到了数学中最基础的大厦，差点把整个数学理论推翻重来。
下面我来跟大伙聊聊这三次有意思的事件。
第一次数学危机发生在公元前500年左右，我感觉跟精确度有关，我们平时用到的数学知识，几乎都只要精确到一定程度就可以了，所以古希腊毕达哥拉斯学派认为，任何一个数都能用a/b的形式来表示，其中a和b都是整数，这些数在数学上有个专有名词叫有理数。
但是有一天，有个叫希帕索斯的学者发现，好像不是这么回事，他作了一个这样的假设，就是等腰直角三角形，如果直边都为1，那么它的斜边(√2)就不满足这个条件。
这个证明起来其实很简单，但是对于当时着了迷的毕达哥拉斯派学者来说，这完全不能接受，就好像发现自己一直深爱的很纯洁的美女是绿茶妹一样，这些气急败坏的学者们最后把希帕索斯扔到海里面去了。
这就是典型的学术迫害啊。
纸当然是包不住火的，死了一个希帕索斯，自然会有更多的学者发现√2，√3，√5；第一次数学危机使得纯代数的地位下降，几何学的地位上升，因为几何量不能完全由有理数来表示，但数却完全可以用几何量来表示，从而形成了欧几里得《原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系，这两个体系在经典数学中就有点相牛顿的三大定律。
正是因为这次危机，使得东西方数学体系完全走向不同的路，像中国这样的大国，因为没有这次数学危机，就没能完全形成真正的数学体系，尽管很多方面表现得很优秀。
第二次数学危机导源于微积分工具的使用。
伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹共同发现。
这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。
许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如反掌。
但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。
数学史上的三次数学危机的成因分析
数学史上的三次数学危机的成因分析数学，绝对不是只有加、减、乘、除那样简单的运算而已。
它是一个早从“石器时代”就开始发展的一段历史，是一个演变和提升的过程。
悖论历史悠久，它的出现，本来并没有引起人们的重视，可是由于19世纪末20世纪初，在集合论中出现了3个著名的悖论，引起了当时数学界、逻辑学界以至于哲学界的震惊，触发了数学史上的第三次危机，才引起了现代数学界和逻辑学界的极大注意。
本文试图对悖论的定义、成因以及由于数学悖论引起的数学史上的三次危机作以简要分析。
1第一次数学危机及成因1.1危机介绍第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。
当时人们对有理数的认识还很有限，对于无理数的概念更是一无所知，毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数，他们不把分数看成一种数，而仅看作两个整数之比，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。
该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。
希伯索斯的发现被认为是“荒谬”和违反常识的事。
它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条，也冲击了当时希腊人的传统见解。
使当时希腊数学家们深感不安，相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。
1.2危机成因分析毕达哥拉斯学派主张“数”是万物的本原、始基，而宇宙中一切现象都可归结为整数或整数之比。
公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯（470B.C.前后）发现：等腰直角三角形斜边与一直角边是不可公度的，它们的比不能归结为整数或整数之比。
这一发现不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条，同时也冲击了当时希腊人的普遍见解，因此在当时它就直接导致了认识上的“危机”。
希帕索斯的这一发现，史称“希帕索斯悖论”，从而触发了数学史上的第一次危机。
数学史上的三大数学危机
3）实践是检验真理的唯一标准 应当承认，贝克莱的责难是有道理的。“无
穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛 顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清 “无穷小”的方法。数学家们相信它，只是由于 它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。 特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显 示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们 不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的 脑海里，“实践是检验真理的唯一标准。”
C1
1
11
下边证明，当 c2 2时，c 不能表成整数比。
如（果不不妨然 设，n 有是两既个约正分整数数即m(m和, nn) 使1）c。两mn端
m
平方得 2
n2 m2
，即
2m2
n2。
由此知 n2 是偶数。由于偶数的平方是偶
数，奇数的平方是奇数，∴ n 是偶数。
12
因 n “既约”，m 不能再是偶数，于是 m 是奇数。
有公式 S(t) 1 gt ，2 其中 g 是固定的重力加速度。
2
我们要求物体在t 0
的瞬时速度，先求S
t
。
S
S (t1)
S (t0 )
1 2
gt12
1 2
gt02
1 2
g[(t0
t ) 2
t02 ]
1 2
g[2t0t
(t)2 ]
∴
S t
gt0
1 2
g(t)
（*）
21
当 t 变成无穷小时，右端的
1 g (t) 2
也变成无穷小，因而上式右端就可以认为
是 gt 0 ，这就是物体在 t0 时的瞬时速度，
它是两个无穷小之比。
牛顿的这一方法很好用，解决了大量过 去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严 格，遭到责难。
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希帕索斯悖论与第一次数学危机希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。
因此，我们从勾股定理谈起。
勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。
天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。
它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。
在我国，最早的一部天文数学著作《周髀算经》中就已有了关于这一定理的初步认识。
不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。
一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。
在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。
因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。
并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。
因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。
毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。
他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。
由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。
而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。
然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学
信仰的“掘墓人”。
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个
成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。
希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2的诞生。
小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。
它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。
对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。
这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。
更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。
这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。
为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。
要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。
可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课
前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。
这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。
唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。
而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。
“教授”和“助教”均原为学官称谓。
前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。
“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。
唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。
至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。
至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。
二百年后，大约在公元前370年，才华横溢的欧多克索斯建立起一套完整的比例论。
他本人的著作已失传，他的成果被保存在欧几里德《几何原本》一书第五篇中。
欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一“逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论，从而解决了由无理数出现而引起的数学危机。
但欧多克索斯的解决方式，是借助几何方法，通过避
免直接出现无理数而实现的。
这就生硬地把数和量肢解开来。
在这种解决方案下，对无理数的使用只有在几何中是允许的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。
或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号，而不被当作真正的数。
一直到18世纪，当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时，拥护无理数存在的人才多起来。
到十九世纪下半叶，现在意义上的实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学园地中才真正扎下了根。
无理数在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。
要练说，先练胆。
说话胆小是幼儿语言发展的障碍。
不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。
总之，说话时外部表现不自然。
我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。
一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。
每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。
二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。
或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话
有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。
三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用眼神。
对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表扬，并要其他幼儿模仿。
长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断提高。