2013广东佛山二模数学试题及答案
2013广东佛山二模数学试题及答案
一、选择题（本大题共10个小题．每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．的算术平方根为( )
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
2.据济宁市旅游局统计，2012年春节约有359525人来济旅游，将这个旅游人数(保留三个有效数字)用科学计数法表示为( )
A．3.59×B．3.60×C．3.5 ×D．3.6 ×
3．下列运算正确的是( )
Ａ．Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
4．如图，由几个小正方体组成的立体图形的左视图是( )
5．下列事件中确定事件是( )
Ａ．掷一枚均匀的硬币，正面朝上Ｂ．买一注福利彩票一定会中奖
Ｃ．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有个球
Ｄ．掷一枚六个面分别标有，，，，，的均匀正方体骰子，骰子停止转动后奇数点朝上
6.若式子有意义，则x的取值范围为（）
A.x≥2
B.x≠3
C.x≥2或x≠3
D.x≥2且x≠3
7．已知且，则的取值范围为( )
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
8.二次函数的图像与图像的形状、开口方向相同，只是位置不同，则二次函数的顶点坐标是（）
A.( )
B.( )
C.( )
D.( )
9. 如图，P1是反比例函数在第一象限图像上的一点，点A1 的坐标为
(2，0)．若△P1O A1与△P2 A1 A2均为等边三角形，则A2点的坐标为（）
Ａ．2 Ｂ．2 -1
Ｃ．2 Ｄ．2 -1
10．在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1,………按这样的规律进行下去，
第2012个正方形的面积为（）
A. B.
注意事项：
1．第Ⅱ卷共6页．用0.5mm黑色墨水签字笔答在答题卡上．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．考试期间，一律不得使用计算器．
第II卷（非选择题共70分）
得分评卷人
二、填空题（本大题共5个小题．每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上）
11.分解因式：2 2＋4 ＋2＝．
12．当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，
另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为cm．
13. 化简的结果是_______________．
14．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于
15. 将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线l向右滚动(不滑动)，当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是cm
三、解答题（本大题共8个小题．共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）得分评卷人
18. （本题满分6分）
(1) (3分)一个人由山底爬到山顶，需先爬的山坡，再爬的山坡，求山的高度（结果可保留根号）．
BC与△ABD中，AD与BC相交于O点，∠1=∠2,请你添加一个条件(不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，使AC=BD,并给出证明.
你添加的条件是: ．
证明:。
佛山市2013年第二学期九年级数学检测卷
第6题图佛山市2013年第二学期九年级数学检测卷数 学 试 卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，满分120分，考试时间：100分钟。
注意事项：1、不能使用计算器。
2、试卷的选择题与非选择题都在答题卷上作答，不能答在试卷上，监考教师只收答题卷。
第Ⅰ卷 （选择题 共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
） 1、sin45°的值是（ ）A.12B.2C.2D.12、把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦函数值（ ）A ．扩大为原来的3倍B ．缩小为原来的13C ．不能确定D ．不变3、在Rt △ABC 中,∠C=900,AB=6,cosB=23,则BC 的长为（ ）A ．4B ．2 5 C.18 1313 D. 1213134、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠A =40 º，则∠B 的度数为（ ）A ．80 ºB ．60 ºC ．50 ºD ．40 º 5、在抛物线42-=x y 上的一个点是（ ）A ．（4，4）B ．（2，0） C. （1，－4） D.（0，4）6、已知：如图，OA,OB 是⊙O 的两条半径，且OA ⊥OB ，点C在⊙O 上则∠ACB 的度数为( )A.45°B.35°C.25°D.20° 7、抛物线y ＝－2x 2＋1的对称轴是( )A ．直线B ．直线C ．y 轴D ．直线x ＝2第4题图第14题图第10题图13题图8、将二次函数y=x 2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（ ） A ．y=（x+1）2 B ．y=x 2+1 C ．y=（x ﹣1）2 D ．y=x 2﹣19、若二次函数y=ax 2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表：则当x =1时，y 的值为（ ）A ．—27B ．—13C ．—3D ．510、小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是( )A.第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。
佛山市高三第二次质量检测理科数学
yxoA321B佛山市2013届高三第二次质量检测理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．设全集)},1ln(|{},0)3(|{,--==>--==x y x B x x x A R U 则 右图中阴影部分表示的集合为（ ） A ．}0|{>x x B ．}03|{<<-x x C ．}13|{-<<-x xD ．}1|{-<x x2．50<<x 是不等式4|4|<-x 成立的A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件 3．若复数(a 2 - 4a +3)+(a -1)i 是纯虚数,则实数a 的值为( )A.1B.3C.1或3D.-1 4．函数()26ln f x x x =-+的零点一定位于下列哪个区间A. (1,2)B.(2,3)C.()3,4D. ()4,5 5．已知点P (sin α– cos α，tan α)在第一象限，则在[0，2π]内α的取值范围是A ．)45,()43,2(ππππ⋃ B ．)45,()2,4(ππππ⋃C ．)23,45()43,2(ππππ⋃D ．),43()2,4(ππππ⋃6．偶函数))((R x x f ∈满足：0)1()4(==-f f ，且在区间[0,3]与),3[+∞上分别递减和递增，则不等式0)(3<x f x 的解集为A. ),4()4,(+∞⋃--∞B. )4,1()1,4(⋃--C. )0,1()4,(-⋃--∞D. )4,1()0,1()4,(⋃-⋃--∞ 7．)(x f 是定义在),0(+∞上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '-≤，对任意正数b a ,，若b a <，则必有（ ）A. )()(a bf b af ≤B. )()(b af a bf ≤C. )()(b f a af ≤D. )()(a f b bf ≤8．函数f (x )的图象是如图所示的折线段OAB,点A 坐标为(1,2),点B 坐标为(3,0).定义函数()()(1)g x f x x =⋅-.则函数g (x )最大值为( )A.0B.2C.1D.4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．dx x ⎰-2024=10．若x 、y 满足(22)1()1,12020-+-⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤≤≤y x y x y x 则的取值范围是 。
2013年广东省各市二模计算题汇总
2013年广东省各市二模计算题汇总广州市35．(18分)如图，水平地面上，质量为4m的凹槽左端紧靠墙壁但不粘连；凹槽内质量为m 的木块压缩轻质弹簧后用细线固定，整个装置处于静止状态．现烧断细线，木块被弹簧弹出后与凹槽碰撞并粘在一起向右运动．测得凹槽在地面上移动的距离为s．设凹槽内表面光滑，凹槽与地面的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，求：(1)木块与凹槽碰撞后瞬间的共同速度大小v；(2)弹簧对木块做的功W．36．(18分)如图，足够长平行金属导轨内有垂直纸面向里的匀强磁场，金属杆ab与导轨垂直且接触良好，导轨右端通过电阻与平行金属板AB连接．已知导轨相距为L；磁场磁感应强度为B；R1、R2和ab杆的电阻值均为r，其余电阻不计；板间距为d、板长为4d；重力加速度为g，不计空气阻力．如果ab杆以某一速度向左匀速运动时，沿两板中心线水平射入质量为m、带电量为+q的微粒恰能沿两板中心线射出；如果ab杆以同样大小的速度向右匀速运动时，该微粒将射到B板距左端为d的C处．(1)求ab杆匀速运动的速度大小v；(2)求微粒水平射入两板时的速度大小v0；(3)如果以v0沿中心线射入的上述微粒能够从两板间射出，试讨论ab杆向左匀速运动的速度范围．深圳市35.( 18分）如图甲所示，电阻不计的光滑平行金属导轨相距L = 0.5m，上端连接R=0.5Ω的电阻，下端连着电阻不计的金属卡环，导轨与水平面的夹角θ=300，导轨间虚线区域存在方向垂直导轨平面向上的磁场，其上、下边界之间的距离s = 1Om，磁感应强度B-t图如图乙所示.长为L且质量为m= 0.5kg的金属棒ab的电阻不计，垂直导轨放置于距离磁场上边界d = 2.5m处，在t= O时刻由静止释放，棒与导轨始终接触良好，滑至导轨底端被环卡住不动.g取10m/s2，求：(1)棒运动到磁场上边界的时间；(2)棒进人磁场时受到的安培力；(3)在0-5s时间内电路中产生的焦耳热.36.(18分）如图所示，竖直平面内有一半径R = 0.9m、圆心角为60°的光滑圆弧轨道PM，圆弧轨道最底端M处平滑连接一长s = 3m的粗糙平台MN，质量分别为mA=4kg，mB=2kg的物块A, B静置于M点，它们中间夹有长度不计的轻质弹簧，弹簧与A连结，与B不相连，用细线拉紧A、B使弹簧处于压缩状态.N端有一小球C，用长为L的轻绳悬吊，对N点刚好无压力.现烧断细线，A恰好能从P端滑出，B与C碰后总是交换速度.A、B、C均可视为质点，g取10m/s2，问：(1)A刚滑上圆弧时对轨道的压力为多少？(2)烧断细线前系统的弹性势能为多少？(3)若B与C只能碰撞2次，B最终仍停在平台上，整个过程中绳子始终不松弛，求B 与平台间动摩擦因数µ的范围及µ取最小值时对应的绳长L潮州市35．如图甲所示，水平面上有一个多匝圆形线圈，通过导线与倾斜导轨上端相连，线圈内存在随时间均匀增大的匀强磁场，磁场沿竖直方向，其磁感应强度B 1随时间变化图像如图乙所示。
2013年佛山中考数学试卷
2013年佛山市高中阶段招生考试模拟试题数学科试卷 (二)第Ⅰ卷（选择题 共30 分）一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．答案选项填涂在答题卡上) 1、5的相反数是（ ）A 、 5B 、5-C 、51D 、51- 2、下列运算中正确的是 ( )A 、532a a a =+ B 、842a a a =⋅ C 、632)(a a = D 、326a a a =÷ 33、一个正方体的每个面都有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中和“毒”字相对的字是（ ）A ．卫B ．防C ．讲D ．生4、．下列图形中，不是．．轴对称图形的是（ ）A.B.C. D5、去年参加我市初中毕业生学业考试的考生总数为45730人，这个数据用科学记数法表示为（ ）A ．0.4573×105B ．4.573×104C ．－4.573×104D ．45.73×1046、在半径为3的圆中，弦AB=3，则 A B 的长度为（ ） A 、π91B 、π32 C 、π D 、π317、 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC=4，∠BAD=120°，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．15B ．16C ．18D ．20 8、下列事件是必然事件的是（ ） A ．明天一定会下雨B ．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放篮球比赛节目C ．某种彩票的中奖率为1%，买100张彩票一定中奖D ．13名学生中一定有两个人在同一个月过生日 9、题数轴上点P 表示的数可能是（ ）（第3题图）讲 卫 生防 病 毒Ｂ． Ｃ． 3.2- Ｄ．10、如图，在ΔABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点， 连接DE ，ADE S ∆=1，则ABC S ∆=（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、6第Ⅱ卷（非选择题 共90二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分．把答案填在答题卡中)． 11、若单项式m y x 22与331y x n -是同类项，则n m +的值是 。
2013年佛山市普通高中高二教学质量检测文科数学试题参考答案定稿12.17
EPAM DH第16题图PBAMDC2013年佛山市普通高中高二教学质量检测数学试题（文科）参考答案和评分标准一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分.11．3π 12．813．2- 14．12三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分12分)如图,已知四边形O A B C 是矩形,O 是坐标原点,O 、A 、B 、C 按逆时针排列,A 的坐标是),4AB =.(Ⅰ) 求点C 的坐标； （Ⅱ）求B C 所在直线的方程.解: (Ⅰ)因为四边形O A B C 是矩形,O A 所在直线的斜率3OA k =…2分 所以O C 的斜率为3-,O C 所在的直线方程为y =,…4分因为4OC AB ==,设(),C x ,则24O C x ===, ……………………6分所以2x =-或2x =(舍去),所以点C 的坐标为(2,-.…………………………………………8分 （Ⅱ）因为O A 与B C , 所以B C 所在直线的斜率3BC O A k k ==…………………………………10分所以B C 所在直线的方程为()23332+=-x y ,即80x -+=.…………………………12分给分说明:第 （Ⅱ）问中的直线若正确地写成一般式或斜截式均给满分.16.(本小题满分13分)如图,在四棱锥P A B C D -中,四边形A B C D 为直角梯形,//AD BC ,90BAD ∠=︒,P A ⊥ 底面A B C D ,且2PA AD ==,1A B B C ==,M 为P D 的中点.(Ⅰ) 求证://C M 平面P A B ； （Ⅱ）求证:C D ⊥平面PAC .解:(Ⅰ) 取P A 的中点E ,连结,ME BE ,…………1分因为M 为P D 的中点,所以1//2E M A D ,又1//2B C A D …………3分所以//EM BC ,所以四边形B C M E 为平行四边形, 所以//C M BE ,………………………………………5分 又B E ⊂平面P A B ,C M ⊄平面P A B ,所以//C M 平面P A B .………………………………6分 （Ⅱ）在直角梯形A B C D 中,//A D B C ,90B A D ∠=︒,1A B B C ==,2AD =,过C 作C H AD ⊥于H ,由平几知识易得A C=CD =所以222AC CD AD +=,所以A C C D ⊥……………………9分 又P A ⊥ 底面A B C D ,C D ⊂底面A B C D , 所以P A C D ⊥…………………11分又PA AC A = ,所以C D ⊥平面PAC .…………………13分17.(本小题满分13分)已知圆C 经过点(0,3)A 和(3,2)B ,且圆心C 在直线y x =上.(Ⅰ) 求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线2y x m =+被圆C 所截得的弦长为4,求实数m 的值. 解:(Ⅰ)解法一:设圆心(,)C a a ,因为AC BC =,=解得1a =……………………………………………………………………………………………………4分 所以圆心(1,1)C ,半径r AC ==……………………………………………………………………6分所以圆C 的方程为22(1)(1)5x y -+-= ………………………………………………………………7分 解法二:设圆C 的方程为()()()2220x a y a rr -+-=>, ……………………………………………2分依题意得()()()222222332a a r a a r⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩,………………………………………………………………………5分解得21,5a r ==,所以圆C 的方程为22(1)(1)5x y -+-= ………………………………………7分 解法三:依题意易得线段A B 的中垂线方程为32y x =-,……………………………………………2分 联立方程组32y x y x =⎧⎨=-⎩,解得11x y =⎧⎨=⎩,所以圆心(1,1)C ,……………5分 下同解法一.（Ⅱ）因为直线2y x m =+被圆C 所截得的弦长为4, 所以圆心(1,1)C 到直线2y x m =+的距离1d == ……………………………10分1=，解得1m =-±……………………………………………………………………13分18.(本小题满分14分)已知曲线C 上的任意一点到定点(1,0)F 的距离与到定直线1x =-的距离相等. (Ⅰ) 求曲线C 的方程；（Ⅱ）若曲线C 上有两个定点A 、B 分别在其对称轴的上、下两侧,且||2FA =，||5FB =,求原点O 到直线AB 的距离.解:(Ⅰ) 因为曲线C 上的任意一点到定点(1,0)F 的距离与到定直线1x =-的距离相等.由抛物线定义可知,C 的轨迹T 是以()1,0F 为焦点,直线1x =-为准线的抛物线,…………………4分所以动圆圆心C 的轨迹T 的方程为24y x =.……………………………………………………………6分 （Ⅱ）由已知得)0,1(F ,设A ),(11y x (其中10y >),由2=FA 得1,2111==+x x ,所以()1,2A …………………………………………………………9分 同理可得()4,4B -,所以直线AB 的方程为042=-+y x . ………………………………………12分则原点O 到直线AB的距离5d ==…………………………………………………………14分19.(本小题满分14分)如图,在底面为平行四边形的四棱柱1111ABC D A B C D -中,1D D ⊥底面ABC D ,1AD =,2C D =,60D C B ∠=︒. (Ⅰ) 求证:平面11A BCD ⊥平面11BD D B ； （Ⅱ）若1D D BD =,求四棱锥11D A BCD -的体积. 解: (Ⅰ) 在ABD ∆中,由余弦定理得BD ==所以222AD BD AB +=,所以90A D B ∠=︒,即AD BD ⊥又四边形A B C D 为平行四边形,所以BC BD ⊥…………………………………2分 又1D D ⊥底面A B C D ,B C ⊂底面A B C D ,所以1D D BC ⊥又1D D BD D = ,所以B C ⊥平面11BD D B ,………………………………5分 又B C ⊂平面11A BCD ,所以平面11A BCD ⊥平面11BD D B .……6分（Ⅱ）解法一：连结1BD，∵1DD BD ==，∴1BD =∵B C ⊥平面11BD D B ，所以1BC BD ⊥……………8分 所以四边形11A BCD的面积111122A BC D S BC BD =⨯⋅⋅=取1BD 的中点M ，连结D M ，则1D M BD ⊥，且2D M =又平面11A BCD ⊥平面1B D D ,平面11A BC D 平面1B D D 1B D =， 所以D M ⊥平面11A BCD ……………12分 所以四棱锥11D A BCD -的体积11113A BC D V S D M =⋅⋅=……14分 解法二: 四棱锥11D A BCD -的体积111D A B D D B C D V V V --=+……8分而三棱锥11D A BD -与三棱锥1D BC D -底面积和高均相等 所以11112D A BD D BC D D BC D V V V V ---=+=第19题解法一图BDC A A 1B 1C 1D 1M第19题解法二图BD CAA 1B 1C 1D 1第19题图BDC AA 1B 1C 1D 11112213D BC D BC D V S D D -==⨯⋅⋅=………………14分20.(本小题满分14分)已知椭圆C 的中心在原点,焦点在坐标轴上,短轴的一个端点为()0,4B ,离心率35e =.(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若()0,0O 、()2,2P ,在椭圆上求一点Q 使OPQ ∆的面积最大. 解:(Ⅰ) 设椭圆C 的方程为()222210x y a b ab+=>>,依题意得34,5c b a==,又222a b c =+,…………………………3分所以5,4,3a b c ===, 所以椭圆C 的方程为2212516xy+=.…5分（Ⅱ）依题意OP =,直线O P 的方程为y x =,………7分 设与O P 平行的直线l 的方程为y x m =+(0m ≠),当l 与椭圆相切时,切点为所求的点Q ,此时OPQ ∆的面积最大. ……………………………9分由方程组2212516y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消元得224150254000x mx m ++-=(*)由225004414000m ∆=+⨯⨯=得m =………………………12分将m =(*)式,解得41x =±,此时对应切点的坐标为4141⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭,,4141⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭, 易知此两点到直线O P的距离相等,满足题意, 从而所求点Q 的坐标为4141⎛⎫-⎪⎪⎝⎭或,4141⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭…………………………14分。
坐标系与参数方程 Word版(含答案)
广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编20：坐标系与参数方程一、选择题 二、填空题1 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）设M 、N 分别是曲线2sin 0ρθ+=和s ()42in πρθ+=上的动点,则M 、N 的最小距离是______12 ．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））在极坐标系中,直线sin ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为____3 ．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)已知曲线1l 的极坐标系方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(0,ρ> 02)θπ≤≤,直线2l 的参数方程为{1222x t y t =-=+(为参数),若以直角坐标系的x 轴的非负半轴为极轴,则1l 与2l 的交点A 的直角坐标是____________【答案】解析:sin sin cos cos sin 1444y x πππρθρθρθ⎛⎫-=⇒-=⇒-= ⎪⎝⎭ {12322x t x y y t =-⇒+==+,由3112x y x y x y +==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩(1,2)A ⇒ 4 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））在极坐标系中,圆3cos ρθ=上的点到直线cos()13πρθ-=的距离的最大值是______.【答案】745 ．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线1:2sin C ρθ=与2:2cos C ρθ=的交点分别为A B 、,则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为________________.【答案】sin 4πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭(或1cos sin =+θρθρ)6 ．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,极点到曲线22)4cos(=+θπρ的距离是_____________【答案】7 ．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题 ）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________.【答案】cos 3ρθ=.8 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,直线ρsin(θ+π4)=2被圆ρ=4截得的弦长为__________. 【答案】349 ．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(),ρθ(0,02πρθ>≤<)中,曲线2sin ρθ=与2cos ρθ=的交点的极坐标为_____【答案】解析:4π⎫⎪⎭两式相除得tan 12sin 44ππθθρ=⇒=⇒==交点的极坐标为4π⎫⎪⎭10．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）已知抛物线C 的参数方程为⎩⎨⎧==t y t x 882(t为参数),若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点,且与圆222(4)(0)x y r r -+=>相切,则半径r =________.【答案】211．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程是6sin ρθ=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是1(x t y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩为参数),则直线l 与曲线C 相交所得的弦的弦长为________.【答案】412．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)曲线1C :1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)上的点到曲线2C:12112x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)上的点的最短距离为______ 【答案】1; 13．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））(坐标系与参数方程选做题)过点(2,)3π且平行于极轴的直线的极坐标方程为__________.【答案】sin ρθ【解析】点(2,)3π的直角坐标为,∴过点平行于x轴的直线方程为y =即极坐标方程为sin ρθ=14．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）已知圆M:x 2+y 2-2x-4y+1=0,则圆心M 到直线43,31,x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)的距离为______.【答案】215．（广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学（理）试题）(坐标系与参数方程)在直角坐标系xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线21x ty t=--⎧⎨=-⎩(t 为参数)截圆22cos ρρθ+-3=0的弦长为____ 【答案】 416．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知直线l 方程是22x ty t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数),以坐标原点为极点.x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为ρ=2,则圆C 上的点到直线l 的距离最小值是___【答案】222-17．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆ρ=2上的点到直线sin()6πρθ+=3的距离的最小值是____【答案】118．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数),则曲线C 上的点到直线3x -4y +4=0的距离的最大值为______________ 【答案】3;19．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））(坐标系与参数方程选做题)已知曲线1C:ρ=和曲线2C:cos()4πρθ+=,则1C 上到2C 的距的点的个数为__________.【答案】3;将方程ρ=与cos()4πρθ+=222x y +=与20x y --=,知1C 为圆心在坐标原点,半径为的圆,2C 为直线,因圆心到直线20x y --=,故满足条件的点的个数3n =.20．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）(坐标系与参数方程)在极坐标中,圆ρ =4cos θ 的圆心C 到直线 ρ sin (θ +π4 )=2 2 的距离为_*****_.【答案】答案: 2解:在直角坐标系中,圆:x 2+y 2=4x ,圆心C (2,0),直线:x +y =4,所以,所求为2.21．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题) 已知直线l 的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数),圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数), 则圆心C 到直线l 的距离为__________. 【答案】 22．（广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）(坐标系与参数方程选讲选做题)已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线l 截圆C 所得的弦长是________.分析:圆C 的参数方程化为平面直角坐标方程为22(2)1x y +-=,直线l 的极坐标方程化为平面直角坐标方程为1x y +=,如右图所示,圆心到直线的距离2d ==,故圆C 截直线l所得的弦长为23．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,定点32,2A π⎛⎫⎪⎝⎭,点B 在直线cos sin 0ρθθ=上运动,当线段AB 最短时,点B 的极坐标为_______.【答案】1116,π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 答案可以是:11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ).24．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系x oy 中,曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 22y x (θπθ],2,0[∈为参数),若以O 为极点,x 轴正半轴为极轴,则曲线C 的极坐标方程是________.【答案】4cos ρθ=25．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过点π1,2A ⎛⎫-⎪⎝⎭引圆8sin ρθ=的一条切线,则切线长为______.【答案】3;26．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）直角坐标系xOy中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点,A B 分别在曲线12c o s:s i n x C y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)和曲线2:1C ρ=上,则||AB 的最大值为__________.【答案】527．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））(坐标系与参数方程)在极坐标系(,)ρθ (02)θπ≤<中,曲线(cos sin )1ρθθ+=与(cos sin )1ρθθ-=-的交点的极坐标为_________.【答案】(1,)2π28．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,O 为极点,直线l 过圆C:)4πρθ=-的圆心C,且与直线OC 垂直,则直线l 的极坐标方程为_________.【答案】把)4πρθ=-化为直角坐标系的方程为2222x y x y +=+,圆心C 的坐标为(1,1),与直线OC 垂直的直线方程为20,x y +-=化为极坐标系的方程为cos sin 20ρθρθ+-=或cos()4πρθ-=29．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））(坐标系与参数方程选做题)若直线的极坐标方程为cos()4πρθ-=,曲线C :1ρ=上的点到直线的距离为d ,则d 的最大值为_________.【答案】【解析】直线的直角坐标方程为60x y +-=,曲线C 的方程为221x y +=,为圆;d 的最大值为圆心到直线的距离加半径,即为max 1d =+30．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,已知点1,2A π⎛⎫ ⎪⎝⎭,点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任意一点,设点P 到直线cos 10ρθ+=的距离为d ,则PA d +的最小值为______.31．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系) , (θρ(πθ20<≤)中,直线4πθ=被圆θρsin 2=截得的弦的长是__________.【答案】2.。
2013年佛山市普通高中高二教学质量检测
D1 A1 D B1
C1 M C
以D为坐标原点建立 如图所示坐标系。
则A(1, 0, 0), B(1,1, 0), 1 D1 (0, 0,1), M (0,1, ) 2
A
x
1 BD1 ( 1, 1,1), AM ( 1,1, ) 2 B 1 1 1 BD1 AM 3 2 cos 3 9 BD1 AM 3 2
(1)因为动圆C 过定点F (1, 0), 且与定直线x 1相切, 所以圆心C 到定点F (1, 0)的距离与到定直线x 1的距离 相等,由抛物线的定义可知, C的轨迹T 是以F (1, 0)为焦点, 直线x 1为准线的抛物线, 所以动员圆心C的轨迹方程 为y 4 x .
2
（Ⅱ）若轨迹T上有两个定点A、B分别在其对称轴的上、 下两侧,且|FA|=2,|FB|=5,在轨迹T位于A、B两点间的曲线 段上求一点P,使P到直线AB的距离最大,并求距离的最大值.
(1)取PA的中点E , 连接ME , BE ,
1 因为M 是PD的中点, 所以EM / / AD , 2 1 又BC / / AD, 所以EM / / BC , 2 所以四边形BCME为平行四边形 ,
P M
E A
所以CM / / BE , 所以四变成BCME D 为平行四边形, 所以CM / / BE , B C 又BE 平面PAB, CM 平面PAB, 所以CM //平面PAB.
(2) OA//BC , kBC kOA
所以直线BC的方程为 3 y2 3 x 2 , 3 即x 3 y 8 0
3 , 3
y C B
A O x
16.如图，在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是直角梯 形,AD//BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=2, AB=BC=1,M为PD的中点. （1）求证：CM//平面PAB;（2）求证：CD⊥平面PAC。
广东省佛山市2012-2013学年高二期末教学质量检测数学理试题Word版含答案
2013年佛山市普通高中高二教学质量检测数 学 (理科) 2013.1本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卡的相应位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回. 参考公式：球的表面积公式24S R π=,其中R 为球的半径． 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1． 已知点(1,2),(3,6)A B -,则过,A B 两点的直线斜率为A.1-B.12C. D. 22. 若直线1l :410ax y -+=,2l :10ax y ++=,且12l l ⊥,则实数a 的值为A.2B.2±C.4D. 4±3. 若命题p :0x ∃>,2320x x -+>,则命题p ⌝为A. 0x ∃>,2320x x -+≤B. 0x ∃≤,2320x x -+≤C. 0x ∀>,2320x x -+≤D. 0x ∀≤,2320x x -+≤4．如图所示的几何体为正方体的一部份,则它的侧视图可能是A B C D5．若空间三条直线c b a 、、满足b a ⊥,c b //,则直线a 与cA. 一定平行B. 一定垂直C. 一定是异面直线D. 一定相交 6．若集合{}0,A m =,{}1,2B =,则“1m =”是“{}0,1,2AB =”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7．过双曲线221916x y -=的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 A. 34150x y +-= B. 34150x y --=第4题图C. 43200x y -+=D. 43200x y --=8．已知命题p :sin y x =,R x ∈是奇函数；命题q :已知,a b 为实数,若22a b =,则a b =.则下列判断正确的是A. p q ∧为真命题B. ()p q ⌝∨为真命题C. ()p q ∧⌝为真命题D. ()()p q ⌝∨⌝为假命题 9．点(1,3)P -到直线:(2)l y k x =-的距离的最大值等于A . 2 B. 3 C.D. 10. 点P 到图形E 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形E 的距离.已知点(1,0)A ,圆C :2220x x y ++=,那么平面内到圆C 的距离与到点A 的距离之差为的点的轨迹是A. 双曲线的一支B. 椭圆C. 抛物线D. 射线二、填空题:本大题共4小题 ,每小题5分，满分20分. 11．棱长为的正方体的外接球的表面积是 .12．若直线210x y -+=平分圆01222=+-++my x y x13．如图所示,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 为棱1CC 的中点,则异面直线1BD 与AM 所成角的余弦值为 .14．探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是60cm ，灯深40cm ，则光源到反射镜顶点的距离是____________cm ．A 1第13题图三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分12分)如图,已知四边形OABC 是矩形,O 是坐标原点,OA 的坐标是),4AB =.(Ⅰ) 求点C 的坐标； （Ⅱ）求BC 所在直线的方程.16.(本小题满分13分)如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 为直角梯形,//AD BC ,90BAD ∠=︒, PA ⊥底面ABCD ,且2PA AD ==,1AB BC ==,M 为PD 的中点. (Ⅰ) 求证://CM 平面PAB ； （Ⅱ）求证:CD ⊥平面PAC .17.(本小题满分13分)已知圆C 经过点(0,3)A 和(3,2)B ,且圆心C 在直线y x =上. (Ⅰ) 求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线2y x m =+被圆C 所截得的弦长为4,求实数m 的值.第16题图PBAMDC第15题图18.(本小题满分14分)已知动圆C 过定点()1,0F ,且与定直线1x =-相切. (Ⅰ) 求动圆圆心C 的轨迹T 的方程；（Ⅱ）若轨迹T 上有两个定点A 、B 分别在其对称轴的上、下两侧,且||2FA =,||5FB =,在轨迹T 位于A 、B 两点间的曲线段上求一点P ,使P 到直线AB 的距离最大,并求距离的最大值.19.(本小题满分14分)如图,在底面为平行四边形的四棱柱1111ABCD A B C D -中,1D D ⊥底面ABCD ,1AD =,2CD =,60DCB ∠=︒.(Ⅰ) 求证:平面11A BCD ⊥平面1BDD ；（Ⅱ）若二面角1D BC D --的大小为45︒, 求直线CD 与平面11A BCD 所成的角的正弦值.20.(本小题满分14分)已知椭圆C 的中心在原点,焦点在坐标轴上,短轴的一个端点为()0,4B ,离心率35e =. (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若()0,0O 、()2,2P ,试探究在椭圆C 内部是否存在整点Q (平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点),使得OPQ ∆的面积4OPQ S ∆=?若存在,请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)．2013年佛山市普通高中高二教学质量检测数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.第19题图BD CAA 1B 1C 1D 1二、填空题:本大题共4小题 ,每小题5分，满分20分. 11．3π 12．2-1314．458三、解答题:本大题共6小题,满分80分,15.(本小题满分12分)如图,已知四边形OABC 是矩形,O 是坐标原点, O 、A 、B 、C 按逆时针排列,A 的坐标是),4AB =.(Ⅰ) 求点C 的坐标； （Ⅱ）求BC 所在直线的方程. 解: (Ⅰ)因为四边形OABC 是矩形,OA 所在直线的斜率OA k =…2分 所以OC 的斜率为3-,OC 所在的直线方程为y =,…4分 因为4OC AB ==,设(),C x ,则24OC x ===, ……………………6分所以2x =-或2x =(舍去),所以点C的坐标为(2,-.…………………………………………8分（Ⅱ）因为OA 与BC, 所以BC所在直线的斜率BC OA k k ==10分 所以BC所在直线的方程为()23332+=-x y ,即80x -+=.…………………………12分给分说明:第 （Ⅱ）问中的直线若正确地写成一般式或斜截式均给满分.16.(本小题满分13分)如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 为直角梯形,//AD BC ,90BAD ∠=︒,PA ⊥ 底面ABCD ,且2PA AD ==,1AB BC ==,M 为PD 的中点. (Ⅰ) 求证://CM 平面PAB ； （Ⅱ）求证:CD ⊥平面PAC . 解:(Ⅰ) 取PA 的中点E ,连结,ME BE ,…………1分因为M 为PD 的中点,所以1//2EM AD ,又1//2BC AD …………3分所以//EM BC ,所以四边形BCME 为平行四边形,所以//CM BE ,………………………………………5分 又BE ⊂平面PAB ,CM ⊄平面PAB ,所以//CM 平面PAB .………………………………6分 （Ⅱ）在直角梯形ABCD 中,//AD BC ,90BAD ∠=︒,1AB BC ==,2AD =,过C 作CH AD ⊥于H ,由平几知识易得AC =CD =第16题图P BA MD第16题答案图EPBA MDCH所以222AC CD AD +=,所以AC CD ⊥……………………9分 又PA ⊥ 底面ABCD ,CD ⊂底面ABCD , 所以PA CD ⊥…………………11分 又PAAC A =,所以CD ⊥平面PAC .…………………13分17.(本小题满分13分)已知圆C 经过点(0,3)A 和(3,2)B ,且圆心C 在直线y x =上. (Ⅰ) 求圆C 的方程； （Ⅱ）若直线2y x m =+被圆C 所截得的弦长为4,求实数m 的值.解:(Ⅰ)解法一:设圆心(,)C a a ,因为AC BC =,所以=解得1a =……………………………………………………………………………………………………4分 所以圆心(1,1)C ,半径r AC == ……………………………………………………………………6分所以圆C的方程为22(1)(1)5x y -+-= ………………………………………………………………7分解法二:设圆C的方程为()()()2220x a y a r r -+-=>, ……………………………………………2分依题意得()()()222222332a a r a a r⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩,………………………………………………………………………5分 解得21,5a r ==,所以圆C的方程为22(1)(1)5x y -+-= ………………………………………7分解法三:依题意易得线段AB 的中垂线方程为32y x =-,……………………………………………2分联立方程组32y x y x =⎧⎨=-⎩,解得11x y =⎧⎨=⎩,所以圆心(1,1)C ,……………5分 下同解法一.（Ⅱ）因为直线2y x m =+被圆C 所截得的弦长为4, 所以圆心(1,1)C 到直线2y x m =+的距离1d == ……………………………10分∴1，解得1m =-± ……………………………………………………………………13分18.(本小题满分14分)已知动圆C 过定点()1,0F ,且与定直线1x =-相切. (Ⅰ) 求动圆圆心C 的轨迹T 的方程；（Ⅱ） 若轨迹T 上有两个定点A 、B 分别在其对称轴的上、下两侧,并且||2FA =,||5FB =,在轨迹T 位于A 、B 两点间的曲线段上求一点P ,使P 到直线AB 的距离最大,并求距离的最大值.解:(Ⅰ) 因为动圆C 过定点()1,0F ,且与定直线1x =-相切,所以圆心C 到定点()1,0F 的距离与到定直线1x =-的距离相等, …………………………………2分由抛物线定义可知,C 的轨迹T 是以()1,0F 为焦点,直线1x =-为准线的抛物线,…………………4分 所以动圆圆心C的轨迹T 的方程为24y x =.……………………………………………………………5分（Ⅱ）由已知得)0,1(F ,设A ),(11y x (其中10y >), 由2=FA 得1,2111==+x x ,所以()1,2A …………………………………………………………7分同理可得()4,4B -,所以直线AB 的方程为042=-+y x . …………………………………………9分解法一:设抛物线曲线段AOB 上任一点),(00y x P ,其中2004y x =,24,4100≤≤-≤≤y x ,则点P 到直线AB 的距离d 12分所以时点P 的坐标为1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭. ………………………14分 解法二:设与AB平行的直线()204x y m m ++=≠-,…………………………………10分当与抛物线相切时,切点到AB 的距离最大. 由方程组2204x y m y x++=⎧⎨=⎩消元得()224440x m x m +-+=(*)由()2244160m m ∆=--=得12m =………………………12分 此时(*)式的解为14x =,切点1,14P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,距离最大值为1059.…14分19.(本小题满分14分)如图,在底面为平行四边形的四棱柱1111ABCD A B C D -中,1D D ⊥底面ABCD ,1AD =,2CD =,60DCB ∠=︒.(Ⅰ) 求证:平面11A BCD ⊥平面1BDD ；（Ⅱ）若二面角1D BC D --的大小为45︒,求直线CD 与平面11A BCD 所成的角的正弦值.解:(Ⅰ) 在ABD ∆中,由余弦定理得BD == 所以222AD BD AB +=,所以90ADB ∠=︒,即AD BD ⊥ 又四边形ABCD 为平行四边形,所以BC BD ⊥……………2分 又1D D ⊥底面ABCD ,BC ⊂底面ABCD ,所以1D D BC ⊥…4分又1D D BD D =,所以BC ⊥平面1BDD ,…………5分 又BC ⊂平面11A BCD ,所以平面11A BCD ⊥平面1BDD .……6分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知BC ⊥平面1BDD ,所以1,D B BC DB BC ⊥⊥ 所以1D BD ∠为二面角1D BC D --的平面角, 所以145D BD ∠=︒,所以1DD BD ==.…………8分解法一:取1BD 的中点M ,连结,DM CM ,则1DM BD ⊥ 又平面11A BCD ⊥平面1BDD ,平面11A BCD 平面1BDD 1BD =,所以DM ⊥平面11A BCD所以DCM ∠为直线CD 与平面11A BCD 所成的角, …………………………10分 在Rt CDM ∆中,112DM BD ==2CD =,所以sin DCM ∠= 所以直线CD 与平面11A BCD ………14解法二: 以D 为原点,建立空间直角坐标系D xyz -如图所示,则(1D ,()C -,()B ,所以()DC =-,()1,0,0BC =-,(11,CD =…10 设平面11A BCD 的法向量为(),,n x y z =,则100n BC n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即00x x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩,令1z =,得()0,1,1n =,……12分设直线CD 与平面11A BCD 所成的角为θ,则3sin 2n DC n DCθ⋅===⋅第19题图BD CAA 1B 1C 1D 1 第19题解法一图BD C AA 1B 1C 1D 1M1所以直线CD 与平面11A BCD………………………14分 说明:第（Ⅱ）问可不写出C 点的坐标,而直接通过DC AB =,BC AD =,11CD BA =得到所需向量.20.(本小题满分14分)已知椭圆C 的中心在原点,焦点在坐标轴上,短轴的一个端点为()0,4B ,离心率35e =.(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若()0,0O 、()2,2P ,试探究在椭圆C 内部是否存在整点Q (平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点),使得OPQ ∆的面积4OPQ S ∆=?若存在,请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)．解:(Ⅰ) 设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>,依题意得34,5c b a ==,又222a b c =+,…………………………………………3分 所以5,4,3a b c ===, 所以椭圆C 的方程为2212516x y +=.…………………5分（Ⅱ）依题意OP =,直线OP 的方程为y x =,因为4OPQ S ∆=,所以Q 到直线OP 的距离为, 所以点Q 在与直线OP 平行且距离为, 设:l y x m =+, 解得4m =±………………9分当4m =时,由22412516y x x y =+⎧⎪⎨+<⎪⎩,消元得2412000x x +<,即200041x -<<又x Z ∈,所以4,3,2,1x =----,相应的y 也是整数,此时满足条件的点Q 有4个.…………12分当4m =-时,由对称性,同理也得满足条件的点Q 有4个.综上,存在满足条件的点Q ,这样的点有8个. …………………………………14分。
佛山市普通高中高三教学质量检测(二)文科数学试题答案
2013年佛山二模数学试题（文科）参考答案和评分标准11．4π 12．()()22115x y -+-= 13． 20 14．sin()42πρθ+= 15．13三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分） (1)解法1、 由题可知：(1,3)A -， (cos ,sin )B αα即(1,3)OA =-，(cos ,sin )OB αα= …………2分OA OB ⊥，得0OAOB ⋅= …………3分∴ cos 3sin 0αα-+= 则1tan 3α= …………4分解法2、由题可知：(1,3)A -， (cos ,sin )B αα …………1分3OA k=-， tan OBk α= …………2分∵OA OB ⊥，∴1OA OB K K ⋅=- …………3分3tan 1α-=-，得1tan 3α=…………4分 （2）解法1、由（1）OA == 记AOx β∠=， (,)2πβπ∈∴sinβ==，cos β==…………6分 ∵1OB = 4cos 5α=，得3sin 5α== …………8分43sin sin()10510510AOB βα∠=-=+⨯=…………10分 ∴11sin 12210AOB S AO BO AOB ∆=∠=⨯32= …………12分解法2、由题意得：AO 的直线方程为30x y +=， …………6分则3sin 5α== 即43(,)55B …………8分则点B 到直线AO 的距离为d ==…………10分 又OA ==∴113222AOB S AO d ∆=⨯== …………12分解法3、3sin 5α==即43(,)55B …………6分 即：(1,3)OA =-，43(,)55OB = ， …………7分OA == 1OB =4313cos OA OB AOB OA OB-⨯+⨯⋅∠===…………9分 ∴ sin AOB ∠==…………10分则113sin 1222AOBS AO BO AOB ∆=∠== …………12分 17．（本题满分12分）解：（1）李生可能走的所有路线分别是： DDA ，DDB ，DDC ，DEA ，DEB ，DEC ， EEA ，EEB ，EEC ，EDA ，EDB ，EDC ；共12种情况； …………6分 （2）从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的走法有：DEA ， DEC ，EEA ， EEC 共四种情况， …………8分 所以从出发到回到上班地没有遇到过拥堵的概率41123P ==. …………12分 18．（本题满分14分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中， 已知底面ABCD 是边长 侧棱1D D 垂直于底面ABCD ，且13D D =． （1）点P 在侧棱1C C 上，若1CP =， 求证：1A P ⊥平面PBD ；（2）求三棱锥11A BDC -的体积V ． 解：（1）依题意，1CP =，12C P =， 在Rt BCP ∆中，PB =……………………1分同理可知，1A P ==1A B == ………………………3分所以22211A P PB A B +=， …………………………4分则1A P PB ⊥， …………………………5分 同理可证，1A P PD ⊥， …………………………6分 由于PB PD P =，PB ⊂平面PBD ，PD ⊂平面PBD ， …………………………7分 所以，1A P ⊥平面PBD ． …………………………8分 （2）解法1、如图1，易知三棱锥11A BDC -的体积等于四棱柱的体积减去四个体积相等的三棱锥的体积，即11111114A BDC ABCD A B C D A ABD V V V ---=- ………………………………11分()1111432AB AD A A AB AD A A ⎛⎫=-⨯⨯ ⎪⎝⎭………………………………13分1323== ……………………………………14分PABCD 1A1B 1C 1D 第18题图解法2、依题意知，三棱锥11A BDC -的各棱长分别是112AC BD ==，1111A B A D C B C D ====10分如图2，设BD 的中点为M ，连接 11A M C M ，，则1A M BD ⊥，1C M BD ⊥，且11AM C M = 于是BD ⊥平面11AC M ， …………12分 设11AC 的中点为N ，连接MN ，则11MN AC ⊥，且3MN ===，则三角形11AC M 的面积为11111123322A C M S AC MN ∆==⨯⨯=， …………………13分 所以，三棱锥11A BDC -的体积111132233A C M V S BD ∆==⨯⨯=． …………………14分19．（本题满分14分）解：（1）由题意，抛物线2C 的焦点()1,0F ，则1,22pp ==，所以方程为：24y x =. …………3分（2）解法1、设(,)P m n ，则OP 中点为(,)22m n， …………4分因为O P 、两点关于直线(4)y k x =-对称，所以(4)221nm k n k m ⎧=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，即80km n k m nk -=⎧⎨+=⎩，解之得2228181k m k kn k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， …………………………………7分 将其代入抛物线方程，得：222288()411k k k k -=⋅++，所以21k =. ………………9分联立 2222(4)1y k x x y a b =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得：2222222()8160b a x a x a a b +-+-=.由2222222(8)4()(16)0a b a a a b ∆=--+-≥，得2216a b +≥， 分 注意到221b a =-，即2217a ≥，所以a ≥，即2a ≥ ………………13分 因此，椭圆1C . ………………14分解法2、设2,4m P m ⎛⎫⎪⎝⎭，因为O P 、两点关于直线l 对称，则=4OM MP =， …………………………………5分 4=，解之得4m =± …………………………………6分 即(4,4)P ±,根据对称性,不妨设点P 在第四象限，且直线与抛物线交于A B CD 1A 1B 1C 1D （第18题图1） BD1A M1C （第18题图2） N,A B如图.则11ABOPkk=-=,于是直线l方程为4y x=-联立222241y xx ya b=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y，得：2222222()8160b a x a x a a b+-+-=.由2222222(8)4()(16)0a b a a a b∆=--+-≥，得2216a b+≥，注意到221b a=-，即2217a≥，所以a≥，即2a≥因此，椭圆1C. ………………14分20．（本题满分14分）解：(1)设第n年新城区的住房建设面积为nλ2m，则当14n≤≤时，12nnaλ-=；………………1分当5n≥时，(4)nn aλ=+. ………………2分所以, 当14n≤≤时，(21)nna a=-；………………3分当5n≥时，2489(4)na a a a a a n a=+++++++…29222n na+-=. ………………5分故2(21)(14),922(5).2nna na n na n⎧-≤≤⎪=⎨+-≥⎪⎩………………6分.(2)13n≤≤时，11(21)nna a++=-，(21)644nnb a a na=-+-，显然有1n na b+<. ………………7分4n=时，1524na a a+==，463nb b a==，此时1n na b+<. ………………8分516n≤≤时，2111122nn na a++-=，29226442nn nb a a na+-=+-，………………10分1(559)n na b n a+-=-. ………………11分所以,511n≤≤时，1n na b+<；1216n≤≤时，1n na b+>.17n≥时，显然1n na b+>. ………………13分故当111n≤≤时，1n na b+<；当12n≥时，1n na b+>. ………………14分21．（本题满分14分）解：（1）222211(21)()()()x a x af xx x a x x a-++'=-=--设22()(21)h x x a x a=-++，其判别式22(21)441a a a∆=+-=+…………2分①当14a≤-时，0,∆≤2()0,()0h x x x a≥->，()0f x'∴≥,)(xf在定义域()0,+∞上是增函数；…………3分当0∆>时，由22()(21)0h x x a x a=-++=解得：12x x==…………5分②当104a -<<时，0∆>， 210a +>；又22(21)(41)40a a a +-+=>，210a ∴+，故210x x >>即()h x 在定义域()0,+∞上有两个零点12212122a a x x ++==在区间()10,x 上，()0h x >，2()0x x a ->，()0f x '∴>， )(x f 为()10,x 上的增函数在区间()12,x x 上，()0h x <，2()0x x a ->，()0f x '∴<，)(x f 为()12,x x 上的增函数在区间()2,x +∞上，()0h x >，2()0x x a ->，()0f x '∴>,)(x f 为()2,x +∞上的增函数. ………6分 ③当0a =时，120,1x x ==，在区间()0,1上，()0h x <，2()0x x a ->，()0f x '∴<，在区间()1,+∞上，()0h x >，2()0x x a ->，()0f x '∴>， …………7分 ④当0a >时，函数)(x f 的定义域是()()0,,a a +∞，()0h a a =-<，()h x 在()0,a 上有零点1212a x +=，在(),a +∞上有零点221,2a x +=，在区间()10,x 和()2,x +∞上，()0f x '>，)(x f 在()10,x 和()2,x +∞上为增函数；在区间()1,x a 和()2,a x 上，()0f x '<，)(x f 在()1,x a 和()2,a x 上位减函数. …………8分 综上: 当14a ≤-时,函数)(x f 的递增区间是()0,+∞. 当104a -<<时, )(x f 的递增区间是()10,x 和()2,x +∞,递减区间是()12,x x ； 当0a =时，)(x f 的递减区间是()0,1；递增区间是()1,+∞.当0a >时，)(x f 的递减区间()1,x a 和()2,a x ,递增区间是()10,x 和()2,x +∞. …………9分 （2）当0a ≤时，()g x 的定义域是()0,+∞， 当0a >时，()g x 的定义域是()()0,,a a +∞，2(1ln )()()x x ag x x x a --'=-，令()(1ln )t x x x =-，则()ln t x x '=-， …………11分 在区间()0,1上，()ln 0t x x '=->，()(1ln )t x x x =-是增函数且0()1t x <<；在区间()1,+∞上，()ln 0t x x '=-<，()(1ln )t x x x =-是减函数且()1t x <；当1x =时，(1)1t =. …………12分 故当1a ≥时，()0g x '≤，()g x 无极大值；当01a <<时，()0t a a -≠，方程()t x a =在区间()0,1和()1,+∞上分别有一解,x x '''，此时函数()g x 在x x ''=处取得极大值； …………13分 当0a ≤时，方程()t x a =在区间[),e +∞上有一解x '''， 此时函数()g x 在x x '''=处取得极大值.综上所述，若()g x 有极大值，则a 的取值范围是(),1-∞. …………14分。
广东省佛山市石门中学第二次检测数学(理)试卷(含答案)
2013—2014学年度第一学期高三年级月考理科数学内容：集合逻辑、函数导数、三角、向量复数、数列、不等式、立体几何、直线与圆 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、tan(600)-︒的值等于（ ）A ．3-B ． 33-C ．3D ．33 2、函数()412x xf x +=的图象（ ） A. 关于原点对称 B. 关于直线y x =对称 C. 关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称3、给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是 （ ） Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．③和④ Ｄ．②和④4、设x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x ，则2-+x y x 的取值范围是（ ）A ．]1 , 0[B ．]0 , 1[-C ．) , (∞-∞D ．]2 , 2[-5、设⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=]2,1[2]1,0[)(2x x x x x f ，则2()f x dx ⎰的值为（ ）A ．43 B ．54 C ．65 D ．676、已知132:>-x p ，()05log :221<-+x x q ，则p ⌝是q ⌝的 （ ）A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ．充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件7、函数2()sin 5f x x x π=-的零点个数是（ ） A ．4 Ｂ．6 Ｃ．7 Ｄ． 88、数列{}n a 前n 项和为n S ，已知113a =，且对任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=⋅，若n S a <恒成立则实数a 的最小值为（ ）A ．21 B ．23 C ．32D ．2 二、填空题：（本大题共7小题，第14、15小题任选一题作答，多选的按第14小题给分，共30分） 9、设复数z 满足zi21+=i ，则z =____________ 10、若关于x 的不等式2|1||2|1()x x a a x R ---≥++∈的解集为空集，则实数a 的取值范围是 .11、在直角ABC ∆中， 90=∠C ， 30=∠A ， 1=BC ，D 为斜边AB 的中点，则⋅= .12、下面为某一几何体的三视图，则该几何体的体积为13、数列{}n a 满足：11121(234)n n a a n a -==-=⋅⋅⋅，，，，，若数列{}n a 有一个形如21)sin(3++=ϕωn a n 的通项公式，其中ϕω、均为实数，且2||0πϕω<>、，则ω=_________，ϕ=_______（二选一，第14、15小题任选一题作答）正视图： 半径为1的半圆以及高为1的矩形俯视图： 半径为1的圆14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系(),ρθ中,过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆θρsin 4=的切线,则切线的极坐标方程为_______________.15．(几何证明选讲选做题) 如图所示，AB ，CD 是半径为2的圆O 的两条弦，它们相交于P ，且P 是AB 的中点，PD ＝43，∠OAP ＝30°，则CP ＝____.三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。