概率分布和抽样分布
概率与统计中的频率分布与抽样分布
概率与统计中的频率分布与抽样分布概率与统计是数学中一门重要的学科，它研究的是事物发生的概率和统计规律。
在概率与统计中，频率分布和抽样分布是两个重要的概念。
本文将分别介绍频率分布和抽样分布，并探讨它们在实际应用中的意义和作用。
一、频率分布频率分布是指将数据按照不同的区间进行分类，并统计每个区间内数据出现的频数或频率。
频率分布是对数据进行整理和总结的方式，它可以帮助我们更直观地了解数据的分布情况和规律。
频率分布可以通过直方图、饼图等图表形式进行展示。
直方图是一种常见的频率分布图，它将横坐标划分为若干个区间，纵坐标表示每个区间内数据出现的频率或频数。
通过直方图，我们可以清楚地看到数据的分布情况，包括数据的集中趋势、分散程度、偏态和峰度等信息。
在实际应用中，频率分布可以帮助我们了解各类数据的分布规律。
例如，在市场调研中，我们可以通过对消费者购买金额的频率分布进行分析，来确定产品的定价策略；在医学研究中，我们可以通过对患者体温的频率分布进行分析，来判断患者的健康状态。
二、抽样分布抽样分布是指从总体中随机抽取样本，并根据样本数据推断总体的分布情况。
抽样分布是概率与统计中非常重要的概念，它为我们进行统计推断和参数估计提供了基础。
抽样分布可以通过抽样分布图进行展示。
抽样分布图是一种曲线图，横坐标表示样本统计量（例如样本均值、样本比例等），纵坐标表示抽样分布的概率密度。
通过抽样分布图，我们可以了解到样本统计量的变化情况，以及估计量的准确程度和可靠性。
在实际应用中，抽样分布可以帮助我们进行统计推断和参数估计。
例如，在市场调研中，我们可以通过从总体中抽取样本，计算样本平均值的抽样分布，并根据抽样分布来估计总体的平均值；在医学研究中，我们可以通过从总体中抽取样本，计算样本比例的抽样分布，并根据抽样分布来推断总体的比例。
总结：概率与统计中的频率分布和抽样分布是两个重要的概念，它们在数据分析和统计推断中发挥着重要的作用。
频率分布可以帮助我们了解数据的分布规律，抽样分布可以帮助我们进行统计推断和参数估计。
理论分布和抽样分布的概念
抽样分布与理论分布一、抽样分布总体分布：总体中所有个体关于某个变量的取值所形成的分布。
样本分布：样本中所有个体关于某个变量大的取值所形成的分布。
抽样分布：样品统计量的概率分布，由样本统计量的所有可能取值和相应的概率组成。
即从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本最多可抽取m 个样本，m 个样本统计值形成的频率分布，即为抽样分布。
样本平均数的抽样分布：设变量X 是一个研究总体，具有平均数μ和方差σ2。
那么可以从中抽取样本而得到样本平均数x ，样本平均数是一个随机变量，其概率分布叫做样本平均数的抽样分布。
由样本平均数x 所构成的总体称为样本平均数的抽样总体。
它具有参数μx 和σ2x ，其中μx 为样本平均数抽样总体的平均数，σ2x 为样本平均数抽样总体的方差，σx 为样本平均数的标准差，简称标准误。
统计学上可以证明x 总体的两个参数 μx 和σ2x 与X 总体的两个参数μ和σ2有如下关系：μx = μ σ2x = σ2 /n由中心极限定理可以证明，无论总体是什么分布，如果总体的平均值μ和σ2都存在，当样本足够大时（n>30），样本平均值x 分布总是趋近于N （μ，n2)分布。
但在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，此时可用样本标准差S 估计σ。
于是，以nS估计σx ，记为X S ，称为样本标准误或均数标准误。
样本平均数差数的抽样分布：二、正态分布2.1 正态分布的定义：若连续型随机变量X 的概率密度函数是⎪⎭⎫ ⎝⎛--=σμπσx ex f 22121)( （-∞＜x ＜+∞）则称随机变量X 服从平均数为μ、方差为σ2的正态分布，记作X~N （μ，σ2）。
相应的随机变量X 概率分布函数为 F （x ）=⎰∞-x dx x f )(它反映了随机变量X 取值落在区间（-∞，x ）的概率。
2.2 标准正态分布当正态分布的参数μ=0，σ2=1时，称随机变量X 服从标准正态分布，记作X~N （0,1）。
概率论参数估计和抽样分布
概率论参数估计和抽样分布
一、极大似然估计MLE
极大似然估计（MLE）是一种用来近似概率分布参数的统计学方法。
它的基本原理是根据样本来估计一组参数，使单独参数的极大似然函数最大化，即最大前提下来达到样本可能性的最大化，这种方法可以让样本观测数据的期望值吻合该参数的假设值。
这种估计方法的优点是简单易行，它不需要指定模型的具体参数，而且参数的估计结果可以很容易地进行验证和分析。
它的缺点是需要多次计算，收敛速度慢，容易受噪声影响，而且模型假设受到限制，可能会有明显的偏离。
二、贝叶斯估计BE
贝叶斯估计（BE）是指在概率论估计中，采用以贝叶斯概率论的原理来估计模型参数的一种方法。
该方法将未知状态作为随机变量，根据贝叶斯公式及赋予先验分布，以最大后验概率的原则估计模型参数。
贝叶斯估计具有优点是可以用来估计模型参数的概率分布，而不仅仅是估计其期望值，可以将主观经验纳入参数估计过程中，也可以迅速得到模型参数的分布。
统计学的概率分布与抽样
统计学的概率分布与抽样统计学是一门研究数据的收集、分析和解释的学科，它在许多领域中起着重要的作用。
其中一个关键的概念是概率分布和抽样。
本文将介绍统计学中的概率分布和抽样方法，并讨论它们在实际应用中的作用。
一、概率分布概率分布是指描述一个随机变量所有可能取值的概率。
常见的概率分布包括离散概率分布和连续概率分布。
离散概率分布是指随机变量只能取有限个或可列无限个值的分布。
其中最常见的是二项分布和泊松分布。
二项分布描述了在进行有限次的独立重复试验时，成功的次数的概率分布。
而泊松分布用于描述单位时间或者单位空间内某事件发生次数的概率分布。
连续概率分布是指随机变量可以取任意实数值的分布。
其中最常见的是正态分布。
正态分布在自然界和社会科学中广泛应用，它是一个对称的钟形曲线，具有许多重要的特性。
二、抽样方法抽样是指从总体中选取样本的过程。
样本是指总体中的一个子集，通过对样本的研究和分析，可以推断总体的特征。
常见的抽样方法包括随机抽样、系统抽样和分层抽样。
随机抽样是指在总体中随机选择样本，使每个个体被选中的概率相等。
系统抽样是指按照一定的规则，选择样本中的个体。
分层抽样是将总体分为若干层次，然后在每个层次中进行抽样。
抽样方法的选择取决于研究的目的和总体的特点。
合适的抽样方法可以提高样本的代表性和可靠性，从而提高统计分析的准确性。
三、概率分布与抽样的应用概率分布和抽样在许多领域中都有重要的应用。
以下将介绍几个具体的例子。
1. 市场调研：在市场调研中，研究者通常需要从总体中选取样本，然后通过对样本的调查和分析来推断总体的特征。
这时候可以使用随机抽样或者分层抽样的方法，并根据样本数据的概率分布来进行统计分析。
2. 医学研究：医学研究中经常需要进行临床试验，以评估某种治疗方法的有效性和安全性。
在临床试验中，研究者需要随机选取一部分患者接受治疗，然后比较治疗组和对照组的结果。
这时候可以使用随机抽样的方法，并根据结果的概率分布做出结论。
金融数学CH4 概率分布：在资产收益率中的应用
CH4 概率分布：在资产收益率中的使用第一节基本概念1.概率分布抽样分布概率是度量某一个不确定性事件发生可能性的方法，概率分布是不确定事件发生的可能性（概率）的一种数学模型。
它描述了和一个随即变量相关的概率是如何在这个变量的所有可能值中分布的。
一般有正态分布，对数正态分布，二项式分布，Poisson分布和Pareto-Levy分布。
金融市场及其产品的不确定性决定了概率这个工具是研究的主要工具之一。
抽样分布：有时也不加区别是称其概率分布，现实中在不知道资产的概率分布的情况下，假设其服从某一个分布，然后用有限的样本去估计这个资产随机变量的描述性统计量，而这些统计量的概率分布就是抽样分布。
一般有Student-t分布，2分布，F分布。
2.先验概率和后验概率先验概率是描述事件的不确定结果的可能范围是已知的，且具有同等的可能性的数学模型。
属于频率统计学派。
适用于先验概率的事件，可以用逻辑判断来确定每种结果的概率，典型的例子就是古典概率事件，如扔硬币(50%)，掷骰（tou）子(1/6)。
后验概率是指在得到"结果"的信息后重新修正的概率,如贝叶斯公式.先验概率和后验概率有不可分割的联系,后验概率的计算要以先验概率为基础.是一种条件概率，属于贝叶斯学派。
多先验概率：扔硬币预掷骰子，资产服从多个正态分布。
关于概率的经典讨论题目：有三个门，里面有一个门里有汽车，如果选对了就可以得到这辆车，当应试者选定一个门之后，主持人打开了另外一个门，空的。
问应试者要不要换一个选择。
假设主持人知道车所在的那个门。
用概率方法计算后给出结果。
3.经验概率和主观概率通过分析事件的历史数据来确定时间未来发生的概率就是经验概率。
例如技术分析派。
不能依靠逻辑判断，也不能从足够的历史观察中得到，而是通过分析家运用主观判断得到的概率就是主观概率。
预测公司利润。
经验先验概率和主观先验概率4.事件的不相交和独立事件的不相交（教材翻译成“不相关”，不妥，容易和独立混淆）是指事件发生的结果只能是结果集中之一，不能同时有多个结果发生。
003理论分布与抽样分布28
生k次的概率恰好等于展开式中的第k+1项，所以也
把上式称作二项概率公式 。
2.2 二项分布的意义及性质
2.2.1 二项分布定义
设随机变量x所有可能取的值为零和正整数：
0,1,2,…，n，且有
Pn (k )
=
C
k n
p k q nk
k=0,1,2…，n
其中p＞0，q＞0，p+q=1，则称随机变量x服从
2.3 二项分布的概率计算
【例2.1】 纯种白猪与纯种黑猪杂交，根据孟德尔遗传理 论，子二代中白猪与黑猪的比率为3∶1。求窝产仔10 头，有7头白猪的概率。
解：根据题意，n=10，p=3／4=0.75，q=1／4=0.25。 设10头仔猪中白色的为x头，且x～B(10，0.75)
于是窝产10头仔猪中有7头是白色的概率为：
A1 A2 A 3 A4
A1
A2
A3
A4 p 2 q 42
2.1贝努力试验及其概率公式
又由于以上各种方式中，任何二种方式都是互 不相容的，按概率的加法法则，在4 次试验中， 事件A恰好发生2次的概率为
P4(2) = P(A1 A2 A3 A4) + P(A1 A2 A3 A4) + …+ P(A1 A2 A3 A4)
1.2离散型随机变量的概率分布
要了解离散型随机变量 x 的统计规律，就必须知道它 的一切可能值xi及取每种可能值的概率pi。
如果我们将离散型随机变量 x 的一切可能取值xi ( i=1, 2 , … )，及其对应的概率pi，记作 P(x=xi)=pi i=1,2,…
则称上式为离散型随机变量 x 的概率分布或分布。常 用分布列 (distribution series)来表示离散型随机变量：
概率论抽样分布
备用题
例1-1
服从＿＿＿＿，又若 服从＿＿＿＿. 解 因同为样相互独立的正态随机变量的线性和服从
正态分布 因而
所以 得
例1-2 解 以 表示样本均值，则
因此, 样本容量n至少取35.
例1-3 解
例1-4 解
等价于 此时样本距离超过标准差的可能性不大于0.01.
例1-5
概率. 解
例1-6 解
概率论抽样分布
2020/8/14
一、问题的提出
由于统计量依赖于样本,而后者又是随机变量
故统计量也是随机变量,因而统计量就有一定的
概率分布.称这个分布为“抽样分布”. 也即抽样 分布就是统计量的分布.
抽样分布
(小样本问题中使用) (大样本问题中使用)
这一节, 我们来讨论正态总体的抽样分布.
二、抽样分布定理
引理
证 所以
1. 样本来自单个正态总体 定理5.3
或 标准化样本均值
注 自由度减少一个!
减少一个自由度的原因：
事实上，它们受到一个条件的约束：
2° 3°
推论1
证 且两者独立, 由 t 分布的定义知
例1
现进行质量检查，方法如下：任意挑选若干个
灯泡，如果这些灯泡的平均寿命超过2000h，就 认为该厂生产的灯泡质量合格，若要使通过检 验的概率超过0.997，问至少检查多少只灯泡. 解
因此，当n至少取97时，满足上述条件.
例2-1 解
例2-2 解
例3-1 解
例3-2
U=_________ 服从 N(0,1), T=_________ 服从t(n-1), M=_________ 服从 解 由抽样分布的性质知
同时 所以
相互独立
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用概率分布是统计学中一个重要的概念，用于描述随机变量在各个取值上的概率分布情况。
常见的概率分布有16种，它们分别是均匀分布、伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布、正态分布、指数分布、负二项分布、超几何分布、Gumbel分布、Weibull分布、伽马分布、Beta分布、对数正态分布、卡方分布和三角分布。
以下将逐一介绍这些概率分布的概率密度函数、意义及其应用。
1. 均匀分布（Uniform Distribution）：概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，意义是在一个区间内所有的取值具有相同的概率，应用有随机数生成、模拟实验等。
2. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：概率密度函数为P(x)=p^x*(1-p)^(1-x)，意义是在两种可能结果中，成功或失败的概率分布，应用有二分类问题的建模。
3. 二项分布（Binomial Distribution）：概率密度函数为P(x)=C(n,x)*p^x*(1-p)^(n-x)，意义是在n次独立重复试验中，成功次数为x的概率分布，应用有二分类问题中的n次重复试验。
4. 几何分布（Geometric Distribution）：概率密度函数为P(x)=p*(1-p)^(x-1)，意义是独立重复试验中，第x次成功所需的试验次数的概率分布，应用有描述一连串同样试验中第一次获得成功之前所需的试验次数。
5. 泊松分布（Poisson Distribution）：概率密度函数为P(x)=(e^(-λ)*λ^x)/x!，意义是在给定时间或空间内事件发生的次数的概率分布，应用有描述单位时间或单位空间内的事件计数问题。
6. 正态分布（Normal Distribution）：概率密度函数为P(x) = (1 / sqrt(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，意义是描述连续变量的概率分布，应用广泛，例如测量误差、人口身高等。
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Stata软件基本操作和数据分析入门第三讲概率分布和抽样分布赵耐青概率分布累积函数1.标准正态分布累积函数norm(X)2.t分布右侧累积函数ttail(df，X) ，其中df是自由度3.χ2分布累积函数chi2(df，X) ，其中df是自由度4.χ2分布右侧累积函数chi2tail(df，X) ，其中df是自由度5.F分布累积函数F(df1，df2，X)，df1为分子自由度，df2为分母自由度6.F分布右侧累积函数F(df1，df2，X)，df1为分子自由度，df2为分母自由度累积函数的计算使用正态分布计算X服从N(0,1)，计算概率P(X<1.96)display 可简写为di，如：di norm(1.96)，同样可以得到上述结果。
X服从N(0,1)，计算概率P(X>1.96)，则X服从N(μ,σ2)，则~(0,1)=，因此对其他正态分布只要在函Y Nσ数括号中插入一个上述表达式就可以得到相应概率。
例如：X服从N(100,62)，计算概率P(X<111.76)，则操作如下又如X服从N(100,62)，计算概率P(X>90)，操作如下χ2分布累积概率计算设X服从自由度为1的χ2分布，计算概率P(X>3.84)，则操作如下设X服从自由度为3的χ2分布，计算概率P(X<5)，则操作如下χ2分布右侧累积概率计算设X服从自由度为1的χ2分布，计算概率P(X>3.84)，则操作如下设X服从自由度为3的χ2分布，计算概率P(X<5)，则操作如下t分布右侧累积概率计算设t服从自由度为10的t分布，计算概率P(t>2.2)，操作如下设t服从自由度为10的t分布，计算概率P(t<－2)，操作如下F分布累积概率计算设F服从F(3,27)，计算概率P(F<1)，操作如下：设F服从F(4,40)，计算概率P(F>3)，操作如下：F分布右侧累积概率计算设F服从F(3,27)，计算概率P(F<1)，操作如下：设F服从F(4,40)，计算概率P(F>3)，操作如下：概率分布的临界值计算正态分布的临界值计算函数invnorm(P)例如：双侧U0.05(即：左侧累积概率为0.975)，操作如下t分布的临界值计算函数invchi2tail(df,P)例如计算自由度为28的右侧累积概率为0.025的临界值t28，α，操作如下χ2分布的临界值计算函数invchi2(df,P) 或invchi2tail(df,P)例如：计算自由度为1的χ2右侧累积概率为0.05的临界值χ20.05，操作如下：或者操作如下：F分布的临界值计算函数invF(df1,df2,P) 或invF(df1,df2,P)例如计算分子自由度为3和分母自由度27的右侧累积概率为0.05的临界值，操作如下：或者操作为：产生随机数计算机所产生的随机数是通过一串很长的序列数模拟随机数，故称为伪随机数，在实际应用这些随机数时，这些随机数一般都能具有真实随机数的所有概率性质和统计性质，因此可以产生许许多多的序列伪随机数，一个序列的第一个随机数对应一个数，这个数称为种子数(seed)，因此可以利用种子数，使随机数重复实现。
设置种子数的命令为set seed 数。
每次设置同一种子数，则产生的随机序列是相同的。
产生(0,1)区间上的均匀分布的随机数uniform()例如产生种子数为100的20个在(0,1)区间上的均匀分布的随机数，则操作如下：clear 清除内存set seed 100 设置种子数为100set obs 20 设置样本量为20gen r=uniform()产生20个在(0，1)区间上均匀分布的随机数。
list 显示这些随机数结果如下利用均匀分布随机数进行随机分组：例：某实验要把20只大鼠随机分为2组，每组10只，请制定随机分组方案和措施。
第一步、把20只大鼠编号，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20。
并且标明。
第二步、用Stata软件制定随机分组方案，操作如下：clear 清除内存set seed 200 设置种子数为200set obs 20 设置样本量为20range no 1 20 建立编号1至20gen r=uniform() 产生在(0,1)均匀分布的随机数gen group=1 设置分组变量group的初始值为1 sort r 对随机数从小到大排序replace group=2 in 11/20 设置最大的10个随机数所对应的记录为第2组，即：最小的10个随机数所对应的记录为第1组sort no 按照编号排序list 显示随机分组的结果结果如下：随机分组整理如下第一组编号 3 4 7 9 11 12 15 17 18 20第二组编号 1 2 5 6 8 10 13 14 16 19产生服从正态分布N(μ，σ2)的随机数invnorm(uniform())*σ+μ。
例如产生10个服从正态分布N(100，62)的随机数，操作如下: clear 清除内存set seed 200 设置种子数为200set obs 10 设置样本量为10gen x=invnorm(uniform())*6+100 产生服从N(100，62)的随机数list 显示随机数结果如下：教学应用：考察样本均数的分布。
由于个体变异的原因，样本均数X的抽样误差(其定义为样本均数与总体均数的差值)是不可避免的，并且样本均数的抽样误差是呈随机变化的。
对于一次抽样而言，无法考察样本均数的抽样误差的规律性，但当大量地重复抽样，计算每次抽样的样本均数X，考察样本均数X的随机分布规律性和统计特征。
举例如下：利用计算机模拟产生100000个服从正态分布N(100,62)的样本，样本量分别为n=4，n=9，n=16，n=36，每个样本计算样本均数。
这里关键处是要清楚什么是样本量(每次抽样所观察的对象个数，也就是每个样本的个体数n)、什么是样本个数(指抽样的次数)，现以n=4为例，一条记录存放一个样本，样本量n=4，也就是每个样本的第1个数据放在第1列，第2个数据放在第2列，第3个数据放在第3列，第4个数据放在第4列，因此第1行是第一个样本，第2行是第2个样本，第100000行是第100000个样本，计算样本均数放在第5列，因此共有100000个样本均数。
具体操作如下：结果现共有100000个样本，每个样本计算一个样本均数，因此有100000个样本均数，现在把一个样本均数X视为一个数据，把100000个样本均数视为一个样本量为100000的新样本(这个样本里有100000个X)，计算这100000个X的平均值和标准差：得到：这100000个X的平均值＝99.98388非常接近总体均数μ=100这100000个X的标准差＝3.0022253≈==(理论上可以证明样本均数的总体均数与样本所在的总体的总体均数相同，样本均数的标样本所在总体的总体标准差)准差再考察这100000个X的频数图graph mean,bin(50) xlabel ylabel norm可以发现正态分布的样本均数仍呈正态分布，峰的位置在 ＝100。
再考察这100000个X的百分位数比较理论上的百分位数百分位数Stata操作理论百分位数模拟百分位数P2.5 di 100+invnorm(0.025)*3 94.120108 94.11224P5 di 100+invnorm(0.05)*3 95.065439 95.04831P50 di 100+invnorm(0.5)*3 100 99.97672P95 di 100+invnorm(0.95)*3 104.93456 104.9248P97.5 di 100+invnorm(0.975)*3 105.87989 105.8656可以发现理论上的百分位数与模拟数据的百分位数非常接近。
可以证明：样本量越大，这种X的误差小的可能性越大。
由于在实际研究中，只有一个样本，因此只有一个样本均数，无法如模拟数据一样计算样本均数的标准差，但是一个样本的数据可以计算样本的标准差S近似σ，利用样本均数的标准差σ=关系，间接估计得到样本均数的标准差估计为S=，为了区分样本的标准差和样本均数的标准差，故称S=为标准误。
为了帮助大家方便地进行模拟实习，特地编制的相应的stata模拟程序:模拟正态分布的样本均数分布的模拟程序simumean.ado复制到stata软件安装的目录下的子目录ado\base。
例如：stata软件安装在D:\stata，则simumean.ado 复制到d:\stata\ado\base然后启动stata软件后，输入连接命令:net set ado d:\stata\ado\base 若stata安装在其他目录下，则相应改变上述路径便是(这是一次性操作，以后无需再重复进行)。
这是模拟抽10000个正态分布的样本，具体说明如下：举例说明simumean 样本量均数标准差例如模拟抽10000个正态分布的样本，样本量为4、总体均数是20、标准差为6，则操作如下：simumean 4 20 6得到下列结果(随机的)Variable | Obs Mean Std. Dev. Min Max-------------+-----------------------------------------------------mean | 10000 19.99352 2.990616 8.344506 31.40937ssd | 10000 5.511469 2.346368 .258496 15.51934即10000个样本均数(视为一个新的样本数据)的平均值为19.99352≈总体均数20，10000个样本均数的标准差＝2.9906163≈==总体标准差。
变量 样本量 ％ 百分位数-- Binom. Interp. -- Variable | Obs Percentile Centile [95% Conf. Interval] -------------+------------------------------------------------------------- mean | 10000 2.5 14.19629 14.01392 14.31436 | 5 15.08899 14.96281 15.2017 | 50 19.96537 19.88963 20.03251 | 95 24.91111 24.78268 25.05202 | 97.5 25.92742 25.75092 26.05995理论上，样本均数X 的95%范围是μ±1.9620±1.96×3=(14.12,25.88)比较10000个样本均数的95％百分位数=(14.196,25.927) 模拟习题1)运行正态分布的样本均数模拟程序simumean.ado ，考察不同样本量情况下，X95％范围的比较。