高等数学4_4傅里叶级数1.
同济版高数知识点归纳总结大全
同济版高数知识点归纳总结大全# 同济版高数知识点归纳总结大全## 一、极限与连续1. 极限的定义：数列极限、函数极限、无穷小量。
2. 极限的性质：唯一性、有界性、保号性、夹逼定理。
3. 无穷小的比较：高阶无穷小、同阶无穷小。
4. 极限的运算法则：四则运算、复合函数的极限。
5. 连续性：连续点、连续函数、间断点的分类。
6. 连续函数的性质：局部有界性、最值定理、零点定理。
## 二、导数与微分1. 导数的定义：导数的几何意义、物理意义。
2. 基本初等函数的导数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数。
3. 导数的运算法则：和差法则、积商法则、链式法则。
4. 高阶导数：二阶导数、三阶导数及其应用。
5. 隐函数与参数方程的导数：隐函数求导、参数方程求导。
6. 微分：微分的定义、微分与导数的关系。
## 三、中值定理与导数的应用1. 罗尔定理：定理条件、几何意义。
2. 拉格朗日中值定理：定理条件、几何意义、应用。
3. 柯西中值定理：定理条件、应用。
4. 泰勒公式：泰勒展开、麦克劳林公式。
5. 导数在几何上的应用：曲线的切线、法线、弧长、曲率。
6. 导数在物理上的应用：速度、加速度、变速运动。
## 四、不定积分1. 不定积分的定义：原函数、积分号。
2. 基本积分公式：基本积分表。
3. 换元积分法：第一类换元法、第二类换元法。
4. 分部积分法：分部积分公式、应用。
5. 有理函数的积分：部分分式分解、积分。
6. 三角函数的积分：正弦函数、余弦函数的积分。
## 五、定积分1. 定积分的定义：黎曼和、定积分的性质。
2. 定积分的计算：牛顿-莱布尼茨公式、定积分的换元法、分部积分法。
3. 定积分的应用：面积、体积、平均值、物理意义。
4. 反常积分：无穷区间上的积分、无界函数的积分。
## 六、多变量函数微分学1. 偏导数：偏导数的定义、高阶偏导数。
2. 全微分：全微分的定义、全微分与偏导数的关系。
3. 多元函数的极值：拉格朗日乘数法、条件极值。
傅里叶变换算法详细介绍
从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上前言第一部分、DFT第一章、傅立叶变换的由来第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT）从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下第三章、复数第四章、复数形式离散傅立叶变换/***************************************************************************************************/这一片的傅里叶变换算法，讲解透彻，希望对大家会有所帮助。
感谢原作者们（July、dznlong）的精心编写。
/**************************************************************************************************/前言：“关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解”---dznlong，那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉与到的公式具体有多复杂列?傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。
因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。
哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。
这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。
ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉与到的公式，究竟有多复杂：以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科）连续傅里叶变换一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。
连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。
高等数学 第七节 傅里叶(Fourier)级数
公式 :
1 an = π
∫−π f ( x)cosnxdx
π
a0 ∞ f ( x) ~ + ∑ ( ancos nx + bnsin nx ) 2 n =1
取 x = 0, 则
4π + 4 1 = 2π 2 ∑ n2 3 n =1
4 ∑ 12 = 2π 3 n n =1
∞ 2
2
∞
?
收敛定理 !
1 =π2 ⇒∑ 2 6 n n=1
∞
16
1 1 1 π2 1+ 2 + 2 + 2 + L = L 8 3 5 7
1 =π2 ∑ n2 6 n=1
∞
1 1 1 1 π2 ⇒ 2 + 2 + 2 + 2 +L = L . 24 2 4 6 8
a0 ∞ f ( x − 0) + f ( x + 0) + ∑ (an cos nx + bn sin nx ) = 2 n =1 6 2 (证明 ) 略
函数 f ( x ) 展开成 (收敛的) Fourier 级数所要求条件不高 (与幂级数相比) , 收敛性容易得到满足 .
将 f ( x ) 展开成 Fourier 级数常用直接方法 .
x2
− 2x
sin nx
1 − n cos nx − 12 sin nx n 1 cos nx n3
14
2 0
a0 = 8 π 2 , 3
《高等数学》第6章4 傅里叶级数
f(x)
=
a0 2
∞
+Σ n=1
(ancos
nπx l
+
bnsin
nπx l
).
其中
an
=
−1 l
∫
l −l
f(x)cos
nπx l
dx,
n = 0, 1, 2, …
bn
=
−1 l
∫
l −l
f(x)sin
nπx l
dx,
n = 1, 2, …
第六章 无穷级数
§6.4 傅里叶级数
a0 2
∞
+Σ n=1
x = 0;
−π
O πx
−f(−x), π ≤ x < 0,
则 an = 0 (n = 0, 1, 2, …),
bn
=
−π1
∫
π −π
F(x)sinnxdx
=
−π2
∫
π 0
f(x)sinnxdx
(n = 1, 2, …).
272365083@
3
请双面打印/复印(节约纸张)
第六章 无穷级数
将f(x)展成傅里叶级数.
−π
解:
a0
=
−π1
∫
π −π
f(x)dx
=
−π1
∫−0π
(−π)dx
+
−π1
∫
π 0
xdx
=
−
−π2 .
对于n = 1, 2, …, 有
an = −π1 ∫−ππ f(x)cosnxdx
=
−π1
∫−0π
(−πcosnx)dx
+
高数微积分公式大全3篇
高数微积分公式大全第一篇：高数微积分公式大全（上）微积分是数学中的重要分支，也是物理、工程、经济等领域中不可或缺的工具。
下面将介绍一些高等数学中常用的微积分公式，包括极限、导数、微分等，供读者参考。
1. 极限极限是微积分中的基本概念，它描述的是函数在某一点附近的取值趋近于某个常数的情况。
极限公式如下：（1）左极限$$\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=A$$（2）右极限$$\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=A$$（3）无穷远处的极限$$\lim_{x\to \infty}f(x)=A$$（4）无穷小量$$\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=0$$2. 导数导数是微积分中的重要概念，它描述的是函数在某一点处的变化率。
导数公式如下：（1）切线的斜率$$k=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} $$（2）函数的导数$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$3. 微分微分是微积分中的基本运算，它可以帮助我们研究函数的变化趋势。
微分公式如下：$$df=f'(x)dx$$其中，$dx$表示自变量$x$的微小变化量，$df$表示因变量$y$的微小变化量。
4. 泰勒公式泰勒公式是微积分中的重要定理，它可以帮助我们将一个函数表示为一系列多项式的和，从而简化函数的计算。
泰勒公式如下：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} $$其中，$f^{(n)}(x)$表示函数$f(x)$的$n$阶导数。
5. 柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程是复分析中的重要定理，它描述了复函数的导数和复共轭函数的关系。
柯西-黎曼方程如下：$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partialv}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$其中，$u(x,y)$和$v(x,y)$分别表示复函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$的实部和虚部。
大学高等数学基础教材下册
大学高等数学基础教材下册第一章导数和微分第一节函数导数的定义与性质第二节常见函数的导数1. 幂函数的导数2. 指数函数的导数3. 对数函数的导数4. 三角函数的导数5. 反三角函数的导数第三节高阶导数1. 二阶导数2. 高阶导数的计算第四节隐函数与参数方程的导数1. 隐函数的导数2. 参数方程的导数第二章积分与定积分第一节不定积分1. 基本积分表2. 特殊积分a. 有理函数的积分b. 三角函数的积分c. 指数函数与对数函数的积分第二节定积分1. 定积分的定义2. 定积分的性质3. 定积分的计算方法a. 改变积分区间b. 分部积分法c. 凑微分法4. 定积分的应用a. 几何应用b. 物理应用c. 经济应用第三章微分方程第一节微分方程的基本概念1. 微分方程的定义2. 解的概念第二节常微分方程1. 高阶线性常微分方程a. 齐次线性微分方程b. 非齐次线性微分方程2. 一阶线性常微分方程3. 可分离变量微分方程4. 高阶常系数齐次线性微分方程5. 可降阶的高阶常系数齐次线性微分方程第三节常微分方程的应用1. 生物学应用2. 物理学应用3. 工程学应用第四章无穷级数第一节数项级数1. 无穷级数的收敛与发散2. 收敛级数的性质3. 收敛级数的求和第二节幂级数1. 幂级数的基本概念2. 幂级数的收敛域3. 幂级数的性质第三节泰勒级数1. 泰勒级数的定义2. 常见函数的泰勒展开a. 指数函数的泰勒展开b. 对数函数的泰勒展开c. 三角函数的泰勒展开第五章多元函数微分学第一节二元函数的极限与连续1. 极限的定义2. 连续的定义第二节偏导数与全微分1. 偏导数的定义与计算2. 全微分的定义与计算第三节隐函数与参数方程的偏导数与全微分1. 隐函数的偏导数与全微分2. 参数方程的偏导数与全微分第六章多元函数的积分学第一节二重积分1. 二重积分的定义与性质2. 二重积分的计算方法a. 矩形区域上的二重积分b. 一般区域上的二重积分c. 极坐标下的二重积分第二节三重积分1. 三重积分的定义与性质2. 三重积分的计算方法a. 长方体上的三重积分b. 一般区域上的三重积分c. 柱面坐标与球面坐标下的三重积分第三节多重积分的应用1. 几何应用2. 物理应用3. 经济应用第七章空间解析几何基础第一节空间直线与平面1. 空间直线的方程2. 空间平面的方程第二节空间曲线与曲面1. 空间曲线的参数方程2. 空间曲面的方程第三节空间向量与标量积1. 空间向量的定义与性质2. 空间向量的运算3. 空间向量的模与方向角4. 空间向量的数量积与向量积第四节空间直线与平面的位置关系1. 点与直线的位置关系2. 直线与平面的位置关系3. 平面与平面的位置关系第八章多元函数微分学应用第一节多元函数的极值与条件极值1. 多元函数的极值与最值2. 多元函数的条件极值第二节多元函数的梯度与方向导数1. 多元函数的梯度2. 多元函数的方向导数第三节多元函数的泰勒展开1. 二元函数的泰勒展开2. 三元函数的泰勒展开第九章多重积分的应用第一节物理应用1. 质心与重心2. 质量、重力与力矩第二节统计应用1. 概率密度函数与分布函数2. 期望值与方差第十章曲线与曲面积分第一节曲线积分1. 第一类曲线积分a. 定义b. 性质与计算2. 第二类曲线积分a. 定义b. 性质与计算第二节曲面积分1. 第一类曲面积分a. 定义b. 性质与计算2. 第二类曲面积分a. 定义b. 性质与计算第十一章常微分方程的定性与数值解第一节常微分方程的定性1. 稳定性与解的性态2. 解的存在唯一性第二节常微分方程的数值解1. 插值法2. 数值微分与数值积分3. 数值解的稳定性第十二章矩阵与线性方程组第一节矩阵的基本概念1. 矩阵的定义与运算2. 矩阵的基本性质第二节线性方程组的解1. 线性方程组的表示与解的存在唯一性2. 齐次线性方程组的基础解系3. 非齐次线性方程组的通解与特解第三节矩阵的秩与逆矩阵1. 矩阵的秩与线性独立性2. 逆矩阵的定义与性质第十三章局部极值与最值第一节多元函数的极值与最值1. 多元函数的极值与最值的定义2. 多元函数的极值判定第二节约束条件下的极值与最值1. 拉格朗日乘子法2. 约束条件下的条件极值第十四章重积分的应用第一节应用于质量与质心1. 三维物体的质量2. 质心的位置与坐标第二节应用于流量与通量1. 二维平面上的流量2. 曲面上的通量第十五章傅里叶级数与傅里叶变换第一节傅里叶级数1. 傅里叶级数的定义2. 傅里叶级数的性质第二节傅里叶变换1. 傅里叶变换的定义2. 傅里叶变换的性质。
高等数学第六节 傅里叶 级数
函.数 于是在区间 ( ) 内 f(x)cosnx 为奇函数 ，
而奇函数在对称区间上的积分为零 ， 所以
a n 1 f(x )cn o d x x s0(n 0 ,1 ,2 , ).
0
1n 1sin n ]0 x 1n 1sin n ]0 x 0 (n1,2,3 ).
因为在计算 an 中n0,所以a0 需另计:算
a0
1
10
1
f(x)dx (1d )x dx0.
0
又
1
bn
f(x)sinnxdx
10
1
( )cn od x s xco nd sx
0
n 1 [s n i]0 n x [n 1 x sn in ]0 x n 1 0 sn in d x x
n12[(1)n
1]
n22 ，n1,3,5,, 0，n2,4,6, .
2
3
4
(x, xk,k0,1,2,).
当 x = 2k (k = 0 , 1 , 2 , ···) 时，级数收敛
于
2
.
当 x = (2k + 1) (k = 0 , 1 , 2 ，) 时，
级数收敛于 0 . 图中给出了它的和函数的图形.
f(x)
O
2
(1) 当 x 是 f(x) 的连续点时，级数收敛于 f(x) ; (2) 当 x 是 f(x) 的间断点时，级数收敛于
大学高等数学教材目录
大学高等数学教材目录第一章前言1.1 数学教材的重要性1.2 数学教材的组成要素第二章函数与极限2.1 函数的概念与性质2.1.1 函数的定义2.1.2 函数的图像与性质2.2 极限的概念与性质2.2.1 极限的定义2.2.2 无穷小量与无穷大量2.3 一元函数的极限2.3.1 极限的运算法则2.3.2 连续函数与间断点2.4 多元函数的极限2.4.1 多元函数的定义与性质2.4.2 多元函数的极限计算2.5 极限存在准则与极限运算法则 2.5.1 极限存在准则2.5.2 极限运算法则的应用第三章导数与微分3.1 导数的概念与性质3.1.1 导数的定义与解释3.1.2 导数的几何意义与物理意义 3.2 导数运算法则3.2.1 导数的四则运算3.2.2 链式法则与复合函数的导数 3.3 高阶导数与隐函数求导3.3.1 高阶导数的定义3.3.2 隐函数求导的方法3.4 微分与微分近似3.4.1 微分的定义与计算3.4.2 微分近似与局部线性化第四章积分与定积分4.1 不定积分与反导函数4.1.1 不定积分的概念与性质4.1.2 基本积分公式与换元积分法4.2 定积分的概念与性质4.2.1 定积分的定义与几何意义4.2.2 定积分的计算方法4.3 定积分的应用4.3.1 几何应用：曲线长度与曲面面积 4.3.2 物理应用：质量、质心与弧长 4.4 微积分基本定理及其应用4.4.1 第一型与第二型微积分基本定理 4.4.2 牛顿-莱布尼茨公式的推广第五章一元函数的级数5.1 数项级数5.1.1 数项级数的概念与性质5.1.2 数项级数的敛散性判定5.2 幂级数与函数展开5.2.1 幂级数的收敛半径5.2.2 幂级数的基本性质与展开5.3 函数项级数5.3.1 函数项级数的概念与性质5.3.2 函数项级数的一致收敛性5.4 泰勒级数与傅里叶级数5.4.1 泰勒级数的定义与应用5.4.2 傅里叶级数的定义与计算第六章多元函数与偏导数6.1 多元函数的概念与性质6.1.1 多元函数的定义6.1.2 多元函数的极限与连续性6.2 偏导数与全微分6.2.1 偏导数的定义与计算6.2.2 全微分与多元函数的微分近似 6.3 多元复合函数与隐函数求导6.3.1 多元复合函数的偏导数6.3.2 多元隐函数的求导方法6.4 梯度与方向导数6.4.1 多元函数的梯度6.4.2 方向导数与梯度的应用第七章多元函数的积分学7.1 二重积分的概念与性质7.1.1 二重积分的定义与几何意义 7.1.2 二重积分的计算方法7.2 二重积分的应用7.2.1 几何应用：面积与质心7.2.2 物理应用：质量与矩7.3 三重积分的概念与性质7.3.1 三重积分的定义与几何意义 7.3.2 三重积分的计算方法7.4 三重积分的应用7.4.1 几何应用：体积与质心7.4.2 物理应用：质量与转动惯量7.5 曲线与曲面积分7.5.1 第一型曲线积分7.5.2 第二型曲线积分与曲面积分第八章常微分方程8.1 微分方程的基本概念8.1.1 微分方程的定义与分类8.1.2 初值问题与解的存在唯一性 8.2 一阶常微分方程8.2.1 可分离变量方程8.2.2 一阶线性方程8.3 二阶线性常系数齐次微分方程 8.3.1 特征方程与通解形式8.3.2 边值问题与特解法8.4 高阶线性常系数齐次微分方程 8.4.1 特征方程与通解形式8.4.2 边值问题与特解法8.5 常微分方程的应用8.5.1 骨架曲线与特解的选择8.5.2 物理领域中的应用第九章向量代数与空间解析几何9.1 向量的基本概念与运算9.1.1 向量的定义与性质9.1.2 向量的线性运算与数量积9.2 空间直线与平面9.2.1 空间直线的参数方程9.2.2 空间平面的法向量与标准方程 9.3 空间曲线与曲面9.3.1 曲线的参数方程与切向量9.3.2 曲面的方程与切平面9.4 空间解析几何的应用9.4.1 空间中的曲线运动问题9.4.2 几何体的性质与计算第十章空间向量与向量函数微积分10.1 空间向量的运算10.1.1 空间向量的定义与基本性质10.1.2 空间向量的线性运算与向量积 10.2 空间向量的微积分10.2.1 向量函数的极限与连续性10.2.2 向量函数的导数与曲率10.3 曲线与曲面的向量微积分10.3.1 参数曲线的弧长与切向量10.3.2 向量场与曲面积分第十一章多元函数与多元积分11.1 多元复合函数与链式法则11.1.1 高阶导数的定义与计算11.1.2 链式法则与复合函数的高阶导数 11.2 多元函数的积分11.2.1 多元函数的定积分11.2.2 重积分的计算方法11.3 极坐标与球面坐标系下的积分11.3.1 极坐标系下的二重积分11.3.2 球面坐标系下的三重积分11.4 多元积分的应用11.4.1 几何应用：质心与转动惯量 11.4.2 物理应用：质量、通量与功率第十二章向量场与曲线积分12.1 向量场的基本概念和性质12.1.1 向量场的定义与性质12.1.2 向量场的流线与发散度12.2 曲线积分的概念与性质12.2.1 曲线积分的定义12.2.2 曲线积分的计算方法12.3 格林公式与环量12.3.1 格林公式的表述与应用12.3.2 环量与全微分12.4 曲面积分的概念与性质12.4.1 曲面积分的定义与计算12.4.2 流量与高斯公式12.5 散度与环量12.5.1 散度的定义与计算12.5.2 散度与高斯公式的应用第十三章曲线曲面积分与斯托克斯公式 13.1 曲线积分的类型与计算13.1.1 第一型与第二型曲线积分13.1.2 曲线积分计算方法13.2 曲面积分的类型与计算13.2.1 第一型与第二型曲面积分13.2.2 曲面积分计算方法13.3 散度定理与高斯公式13.3.1 散度定理的表述与应用13.3.2 高斯公式与流量计算13.4 斯托克斯定理与环量13.4.1 斯托克斯定理的表述与应用 13.4.2 环量计算与应用第十四章常微分方程数值解14.1 常微分方程初值问题的数值解法14.1.1 欧拉方法与改进的欧拉方法14.1.2 龙格-库塔方法14.2 常微分方程边值问题的数值解法14.2.1 二点边值问题与分段线性插值14.2.2 有限差分方法与微分方程的离散化14.3 常微分方程数值解的误差估计14.3.1 局部截断误差与全局截断误差14.3.2 稳定性与收敛性的分析结语15.1 数学学科的重要性与发展15.2 高等数学教材的应用与拓展15.3 数学学科对于人类社会的贡献本教材将大学高等数学知识进行系统整理和归纳，以便帮助读者更好地学习和理解数学的基本概念、原理和应用。
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二、函数展开成傅里叶级数
a0 f ( x) (an cos nx bn sin nx) 2 n1
1、f(x)满足什么条件时，才能展开成三角级数？ 2、如果f(x)能展开成三角级数，展开式中的
a0 , an , bn (n 1, 2, ) 如何计算？
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a0 f ( x) an cos nx bn sin nx 2 n 1 1 π an f ( x) cos nx d x (n 0 , 1, ) π π 1 π bn f ( x) sin nx d x (n 1, 2 , ) π π
b
a
f ( x) g ( x)dx 0,
则称函数 f 与 g 在[a,b]上正交。 设 { f n }是区间[a,b]上的一个函数列，若其中任 意两个不同的函数在[a,b]上正交，且
b
a
f n2 ( x)dx 0(n 1, 2, )
则称 { f n } 是[a,b]上的正交函数系。
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a0 an cos nx d x bn sin nx d x f ( x) d x 2 d x n 1 π π π π
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1 π a0 f ( x ) d x π π a0 π π f ( x) cos k x dx 2 πcos k x dx a π cos k x cosnx d x b π cos k x sin nx d x n π n π n 1
π11d x 2 π
2 cos π n x d x π π
π
π sin
2
π
2
nx d x π
1 cos 2n x 1 cos 2n x 2 cos n x , sin n x 2 2
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一般，若 f , g [a, b] 且
称上述形式的级数为三角级数.
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定理 1. 组成三角级数的函数系 正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在
上的积分等于 0 .
证:
π π π cos k x cos nx d x
1 π 2 π
π
1 cos nx d x π 1 sin nx d x 0
第四节 傅里叶级数
第四章
一、三角级数及三角函数系的正交性
二、函数展开成傅里叶级数
三、周期函数的Fourier展开 四、周期为2 l 的周期函数的傅里叶级数 五、Fourier级数的复数形式
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一、三角级数及三角函数系的正交性
简单的周期运动 :
复杂的周期运动 :
(谐波函数)
ak cos 2 k x d x
π
π
(利用正交性)
1 π ak f ( x) cos k x d x ( k 1, 2 , ) π π 类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得 1 π bk f ( x) sin k x d x (k 1, 2 , ) π π
称公式 ② 为Euler-Fourier公式。 以 称为 的傅里叶系数为系数的三角级数 的傅里叶级数 . 的傅里叶系数 ;
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①
②
这些系数称为函数
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பைடு நூலகம்、周期函数的Fourier展开
设有函数 f ：[a,b] R.如果在[a,b]内插入n-1个分点：
a x0 x1 x2 xn1 xn b
π
cos(k n) x cos(k n) x d x 0 π 同理可证 : π sin k x sin n x d x 0 (k n ) π π cos k x sin nx dx 0
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但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有
x 为连续点 f ( x) f ( x 0) f ( x 0) x 为间断点 S ( x) 2 f ( 0) f ( 0) x 2
注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多.
定理中的条件称为狄利克雷( Dirichlet )条件。
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定义在 (, ) 上的函数 f (x)的傅氏级数展开法
周期延拓
f ( x)
F ( x) ,
x [ π , π )
F ( x 2k π ) , 其它
Fourier级数展开式同F(x) 上的傅里叶级数
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定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 a0 f ( x) (an cos nx bn sin nx) 2 n1 右端级数在 [ , ] 上一致收敛于f，则
①
② 证: 由定理条件, 对①在
π π π
逐项积分, 得
π
能使 f 在每个开子区间 ( x k 1 , xk ) 内都单调，那么就称 f 在[a,b]上分段单调。
y
a
x1
o
x2 x3 b
x
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定理3 (Dirichlet定理) 设 f (x) 在 [ , ] 上分段单调，
而且除有限个第一类间断点外都是连续的，则 f (x) 的傅里叶级数在 [ , ]上收敛 , 且其和函数为：
( A为振幅, 为角频率, φ为初相 )
An sin n cos n t An cos n sin n t
令
(谐波迭加)
an An sin n , bn An cos n , a0 得函数项级数 (an cos n x bn sin n x ) 2 k 1