优化问题的数学模型及基本要素
优化设计作业
作业1. 阐述优化设计数学模型的三要素。
写出一般形式的数学模型。
答：建立最优化问题数学模型的三要素：（1）决策变量和参数。
决策变量是由数学模型的解确定的未知数。
参数表示系统的控制变量，有确定性的也有随机性的。
（2）约束或限制条件。
由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括把决策变量限制在它们可行值之内的约束条件，而这通常是用约束的数学函数形式来表示的。
（3）目标函数。
这是作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的效率，即系统追求的目标。
2. 阐述设计可行域和不可行域的基本概念答：约束对设计点在设计空间的活动范围有所限制。
凡满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的可能活动范围，称可行设计区域(可行域)。
不能满足所有约束条件的设计空间便是不可行设计区域(不可行域)。
3、无约束局部最优解的必要条件？答： （1）一元函数(即单变量函数) 极值点存在的必要条件如果函数f (x )的一阶导数f’(x )存在的话，则欲使x *为极值点的必要条件为： f’(x *)=0但使f’(x *)=0的点并不一定部是极值点；使函数f (x )的一阶导数f’(x )=0的点称为函数f (x )的驻点；极值点(对存在导数的函数)必为驻点，但驻点不一定是极值点。
至于驻点是否为极值点可以通过二阶导数f’’(x )=0来判断。
（2）n 元函数在定义域内极值点X *存在的必要条件为即对每一个变量的一阶偏导数值必须为零，或者说梯度为零(n 维零向量)。
▽f (X*)=0是多元函数极值点存在的必要条件，而并非充分条件；满足▽f (X*)=0的点X *称为驻点，至于驻点是否为极值点，尚须通过二阶偏导数矩阵来判断。
3. 阐述约束优化问题最优解的K-T 条件。
答：K-T 条件可阐述为：如果X (k)是一个局部极小点，则该点的目标函数梯度▽f (X (k))可表示成该点诸约束面梯度为▽g u (X (k))、▽h v (X (k))的如下线性组合：()()()()0****21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂=∇T n x X f x X f x X f X f式中：q —在X (k)点的不等式约束面数；j —在X (k)点的等式约束面数；λu (u =1,2,…q )、μv (v =1,2,…j )——非负值的乘子，亦称拉格朗日乘子。
机械优化设计复习总结
1.优化设计问题的求解方法:解析解法和数值近似解法。
解析解法是指优化对象用数学方程（数学模型）描述,用数学解析方法的求解方法.解析法的局限性：数学描述复杂，不便于或不可能用解析方法求解。
数值解法：优化对象无法用数学方程描述，只能通过大量的试验数据或拟合方法构造近似函数式，求其优化解；以数学原理为指导，通过试验逐步改进得到优化解。
数值解法可用于复杂函数的优化解，也可用于没有数学解析表达式的优化问题.但不能把所有设计参数都完全考虑并表达，只是一个近似的数学描述。
数值解法的基本思路:先确定极小点所在的搜索区间,然后根据区间消去原理不断缩小此区间，从而获得极小点的数值近似解。
2.优化的数学模型包含的三个基本要素：设计变量、约束条件（等式约束和不等式约束）、目标函数（一般使得目标函数达到极小值）。
3.机械优化设计中，两类设计方法：优化准则法和数学规划法。
优化准则法：(为一对角矩阵）数学规划法:（分别为适当步长\某一搜索方向——数学规划法的核心）4.机械优化设计问题一般是非线性规划问题,实质上是多元非线性函数的极小化问题。
重点知识点：等式约束优化问题的极值问题和不等式约束优化问题的极值条件.5.对于二元以上的函数，方向导数为某一方向的偏导数。
函数沿某一方向的方向导数等于函数在该点处的梯度与这一方向单位向量的内积。
梯度方向是函数值变化最快的方向（最速上升方向），建议用单位向量表示，而梯度的模是函数变化率的最大值。
6.多元函数的泰勒展开。
海赛矩阵：=（对称方阵）7.极值条件是指目标函数取得极小值时极值点应满足的条件.某点取得极值，在此点函数的一阶导数为零，极值点的必要条件：极值点必在驻点处取得.用函数的二阶倒数来检验驻点是否为极值点。
二阶倒数大于零,取得极小值。
二阶导数等于零时，判断开始不为零的导数阶数如果是偶次,则为极值点，奇次则为拐点。
二元函数在某点取得极值的充分条件是在该点出的海赛矩阵正定。
极值点反映函数在某点附近的局部性质。
线性规划解决最优化问题的数学方法
线性规划解决最优化问题的数学方法线性规划是一种常见的数学方法，用来解决最优化问题。
它能够帮助我们在给定一组线性约束条件下，找到最优的目标函数值。
在实际应用中，线性规划方法被广泛用于制定优化决策、资源配置、生产计划等领域。
本文将介绍线性规划的基本概念、公式以及解决最优化问题的具体步骤。
一、线性规划的基本概念与公式线性规划的目标是在给定约束条件下，找到使目标函数（也称为优化函数）取得最大或最小值的解。
它包含三个基本要素：决策变量、约束条件和目标函数。
1. 决策变量：决策变量是问题中需要确定的变量，它们可以是实数、整数或布尔变量。
决策变量的取值范围和类型由问题的实际情况决定。
2. 约束条件：约束条件是对决策变量的限制条件，它们可以是线性等式或不等式。
约束条件用于描述问题的限制条件，例如资源约束、技术限制等。
3. 目标函数：目标函数是求解问题的目标，它可以是最小化或最大化一个线性函数。
目标函数的形式通常是关于决策变量的线性组合。
线性规划问题可以用如下的标准形式表示：最小化 Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ非负约束：x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, ... , xₙ ≥ 0其中，Z为目标函数值，c₁, c₂, ... , cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ... , bₙ为约束条件的常数项，x₁, x₂, ... , xₙ为决策变量。
二、线性规划的解决步骤解决线性规划问题一般可以遵循以下步骤：1. 定义问题：明确问题的目标函数、约束条件和决策变量，并将其转化为标准形式。
2. 建立数学模型：根据问题的实际情况，根据标准形式建立数学模型，将问题转化为求解目标函数最大或最小值的数学问题。
动态优化模型
动态优化模型动态优化模型是一种利用动态规划理论对优化问题进行建模与求解的方法。
它能够在不同环境下进行模型的动态调整，以求得最优解。
本文将介绍动态优化模型的基本概念与原理，并讨论其在实际问题中的应用。
一、动态规划的基本原理动态规划是一种以递归的方式进行求解的优化方法。
它将大问题分解为一系列子问题，并从子问题的最优解递归地求解出整个问题的最优解。
动态规划的核心思想是"最优子结构"和"重叠子问题"。
1. 最优子结构动态规划中的每个子问题必须具备最优子结构的特点，即如果一个问题的最优解包含了它的子问题的最优解，则称其具有最优子结构。
通过求解子问题得到的最优解可以作为整个问题的最优解的一部分。
2. 重叠子问题动态规划中的子问题往往是重叠的，即包含相同的子问题。
为避免重复计算，可以使用备忘录或者动态规划表来记录已求解的子问题的结果，在需要时直接检索以节省计算时间。
二、动态优化模型的建立动态优化模型通常包括三个基本要素：状态、状态转移方程和边界条件。
1. 状态状态是指问题中的一个变量或一组变量，它能够完整地描述问题的某个特定场景。
状态的选择对模型的性能和求解效果有着重要的影响。
2. 状态转移方程状态转移方程描述了问题中的状态如何转移到下一个状态。
它是建立动态规划模型的核心，通过定义合适的状态转移方程，可以准确地描述问题的演变过程。
3. 边界条件边界条件指定了问题的起始状态和终止状态，以及在某些特定情况下的处理方式。
它是动态规划模型中必不可少的部分，可以确定问题的边界和约束条件。
三、动态优化模型的应用动态优化模型广泛应用于各个领域，如经济学、管理学、运筹学等。
下面以背包问题和路径规划问题为例，说明动态优化模型的具体应用。
1. 背包问题背包问题是一个常见的优化问题，其目标是在给定的背包容量下，选择一定数量的物品放入背包中，使得背包内的物品总价值最大化。
动态优化模型中，可以将背包问题转化为一个二维的状态转移方程，并通过动态规划的方法求解最优解。
优化模型的三要素
④ 一行中“！”后面的文字将被认为是说明语句，不参与
模型的建立，主要目的是增加程序的可读性。
现在我们用Lindo软件来求解这个模型，单击工具栏中的
Lindo求解器运行状态窗口各项的含义
型
xij
0,1;
这是一个线性0-1 规划模型，它是一个特 殊的线性整数规划。
Lingo/Lindo软件介绍
➢ 这套软件包由美国芝加哥大学的Linus Scharge教
授于1980年前后开发，专门用于求解最优化问题，后 经不断完善和扩充，并成立LINDO公司进行商业化运 作，取得了巨大的成功。全球《财富》杂志500强的企 业中，一半以上使用该公司产品，其中前25强企业中 有23家使用该产品。
队员
甲
乙
丙
丁
戊
蝶泳 66.8 57.2
78
70
67.4
仰泳 75.6
66
67.8
74.2
71
蛙泳
87
66.4 84.6
69.6
83.8
自由泳 58.6
53
59.4
57.2
62.4
线 性 规
·划
模 型
决策变量：引入0-1变量xij 若选择队员 i 参加泳姿 j
的比赛，记 xij=1，否则记 xij=0.这就是问题的决策变量， 共20个。
•松弛变量的值 【紧约束】
Lingo/Lindo软件介绍 ---Lindo
➢使用Lindo软件的一些注意事项：
① 变量以字母开头、不区分大小写，变量名可不超过8个字符；
第1章最优化方法的基本知识
Pattern Recognition and Intelligent System Institute, BIT
最优化方法的地位
为应用数学的一个分支，是新兴的数学理论之一； 是现代工程分析最佳设计的四种主要方法之一：
有限元分析 将问题从几何上看作有限个小单元（结点） 将问题从几何上看作有限个小单元（结点）相互连接而成的集 合体，使连续体离散化，然后用结构矩阵分析的方法处理， 合体，使连续体离散化，然后用结构矩阵分析的方法处理，得 到一组以结点场量为未知量的代数方程组， 到一组以结点场量为未知量的代数方程组，再用计算机及相应 最优化方法 无穷维系统，一般由偏微分方程、积分方程、 无穷维系统，一般由偏微分方程、积分方程、泛函微分方程 的计算方法，可以得到需求结点处未知量的近似值。 的计算方法，可以得到需求结点处未知量的近似值。 或抽象空间中的微分方程所描述。 或抽象空间中的微分方程所描述。我国学者在细长体弹性振 动系统的建模和振动控制、振动系统的谱分析、 动系统的建模和振动控制、振动系统的谱分析、能控性和反 动态设计 一般地， 一般地，系统的数学模型与实际系统存在着参数或结构等方 由于实际系统的复杂性，人们往往很难(或不可能 由于实际系统的复杂性，人们往往很难 人口系统控制、人 馈镇定、一般无穷维系统的极大值原理、或不可能)从基本的 人口系统控制、 馈镇定、一般无穷维系统的极大值原理、或不可能 从基本的 面的差异， 面的差异，而我们设计的控制律大多都是基于系统的数学模 物理定律出发直接推导出系统的数学模型， 物理定律出发直接推导出系统的数学模型，这就需要利用可 口预测和控制等方面都做出了重要贡献。 口预测和控制等方面都做出了重要贡献。 为了保证实际系统对外界干扰、 型，为了保证实际系统对外界干扰 以量测的系统输入和输出数据， 、系统的不确定性等有尽 以量测的系统输入和输出数据，来构造系统内部结构及参数 数值仿真 可能小的敏感性，导致了研究系统鲁棒控制问题。 可能小的敏感性，导致了研究系统鲁棒控制问题 的估计，并研究估计的可靠性和精度等问题， 。 的估计，并研究估计的可靠性和精度等问题，这就是系统辨 近几年，非线性系统、时滞饱和系统、 近几年，非线性系统、时滞饱和系统、时滞故障系统的鲁棒 识的任务。系统辨识领域有3个热点研究方向 个热点研究方向: 识的任务。系统辨识领域有 个热点研究方向 综合控制问题已经成为新的热点研究方向， 综合控制问题已经成为新的热点研究方向，而且已经有不少 1.基于鲁棒控制数学模型要求的鲁棒辨识； 基于鲁棒控制数学模型要求的鲁棒辨识； 基于鲁棒控制数学模型要求的鲁棒辨识 应用事例。例如，核反应堆的温度跟踪鲁棒控制、 应用事例。例如，核反应堆的温度跟踪鲁棒控制、导弹系统 2.基于特殊信号驱动下的系统辨识； 基于特殊信号驱动下的系统辨识； 基于特殊信号驱动下的系统辨识 Pattern Recognition and Intelligent System Institute, 。 的鲁棒自适应最优跟踪设计、机器人操作的鲁棒神经控制。 的鲁棒自适应最优跟踪设计、机器人操作的鲁棒神经控制。 3.基于智能信息处理的非线性系统辨识 BIT 基于智能信息处理的非线性系统辨识。 基于智能信息处理的非线性系统辨识
数学建模 四大模型总结
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP 问题是VRP 问题的特例。
● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
运筹学与优化管理
运筹学与优化管理一、运筹学概述运筹学(Optimization)是研究如何使用数学模型和算法来解决最优化问题的领域。
它涉及到多个学科，如数学、计算机科学、工程学等。
最初，运筹学主要应用于军事领域，以解决军事计划和决策问题。
随着时间的推移，这个领域逐渐扩展到其他领域，并被广泛应用于企业管理、公共决策、金融和交通等领域。
二、运筹学的基本要素1.数学模型数学模型是运筹学中的重要内容。
它是对真实世界的抽象和简化。
通常由变量、约束条件和目标函数构成。
选择合适的数学模型可以将实际问题转化为可计算的问题。
2.算法算法是运筹学的核心。
它是解决最优化问题所需的计算方法。
运筹学通过研究不同的算法，来寻找最优解。
常见的算法有线性规划、整数规划、动态规划、模拟退火等。
不同的算法具有不同的优缺点，需要根据具体问题选择适当的算法。
3.数据数据是运筹学的重要基础。
它提供了解决问题所需的信息。
数据的质量对问题的解决影响很大。
因此，需要进行数据分析和预处理，确保数据质量。
三、应用案例1.物流优化现代物流涉及到复杂的运输、仓储、配送等环节。
如何最优化地配置物流资源是企业所关注的问题。
通过建立数学模型，考虑物流成本、订单满足率等因素，运筹学可以帮助企业优化物流方案，提高效率。
比如，国外的快递公司UPS就应用了运筹学，将分拣中心从原来的一扇门，扩展到190个门，提高了工作效率。
2.生产计划生产计划是企业生产活动中的重要环节。
生产计划不合理会导致生产过剩或者生产不足的问题。
通过运筹学方法，可以构建生产计划的数学模型，利用算法求解最优解。
比如，国内某汽车制造商就使用了运筹学方法，优化了生产计划，节省了300万元原材料成本，提高了运营效率。
3.金融分析金融分析需要对海量数据进行处理和分析。
通过运筹学技术，可以对数据进行筛选、排序、预测、优化等操作。
例如，投资组合优化问题。
在有有效市场假设下，投资组合可以构建为一个数学模型，并通过线性规划方法求解，以得到最优组合方案。
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第1章 优化设计Chapter 1 Optimization Design1-1 优化设计1-1-1 最优化 (optimize, optimization )所谓最优化，通俗地说就是在一定条件下，在所有可能的计划、设计、安排中找出最好的一个来。
换句话说，也就是在一定的条件下，人们如何以最好的方式来做一件事情。
(Optimization deals with how to do things in the best possible manner)结论的唯一性是最优化的特点，即公认最好。
(It is the best of all possibilities) 最优化的思想体现在自然科学、工程技术及社会活动的各个领域，最优化的方法在这些领域也得到了广泛地应用。
(P1)1-1-2 最优化方法 (Arithmetic )要从所有可能的方案中找出最优的一个，用“试”（try ）的办法是不可行的，需要采用一定的数学手段。
二十世纪五十年代以前，用于解决最优化问题的数学方法仅限于古典的微分和变分(differential and variation)。
数学规划法在五十年代末被首次用于解决最优化问题，并成为现代优化方法的理论基础。
线性规划和非线性规划是数学规划的主要内容，它还包括整数规划、动态规划、二次规划等等。
(Linear programming or Nonlinear programming, Integer, Dynamic, Quadratic )数学规划法与电子计算机的密切结合,改变了最优化方法多有理论研究价值,而少有实际应用的局面,使得解决工程中的优化问题成为可能。
因此,我们现在所说的最优化方法，实际上包括了最优化理论和计算机程序二方面的内容。
(Optimization theory plus computer program)1-1-3 优化设计下面以一个简单的问题为例来说明传统设计与优化设计这二个不同的设计过程。
例1-1 设计一个体积为5cm 3的薄板包装箱，其中一边的长度不小于4m 。
要求使薄板耗材最少，试确定包装箱的尺寸参数，即长a ，宽b 和高h 。
分析 包装箱的表面积s 与它的长a ，宽b 和高h 尺寸有关。
因此，耗板最少的问题可以转化为表面积最小问题，故取表面积s 为设计目标。
传统设计方法:首先固定包装箱一边的长度如)(4m a =。
要满足包装箱体积为35m 的设计要求，则有以下多种设计方案:如果包装箱的长度a 再取)(4m a >的其他值，则包装箱的宽度和高度还会有很多其他结果… 。
最后，从上面众多的可行方案中选择出包装箱表面积最小的方案来，这就是相对最好的设计方案。
但由于不可能列出所有可能的设计方案，最终方案就不一定是最优的。
机械产品的传统设计通常需要经过：提出课题、调查分析、技术设计、结构设计、绘图等环节。
传统分析通常是在调查分析的基础上，参照同类产品，通过估算、验算、类比或试验等方法来确定产品的初步设计方案。
然后对产品的设计参数进行强度、刚度和稳定性等性能的分析计算，检查各项性能指标是否满足设计要求。
若不能满足要求，则根据经验或直观判断对设计参数进行修改。
因此，可以说整个传统设计过程是人工“试凑”和定性分析比较的过程。
实践证明，按照这种方法得出的设计方案，有较大地进一步改进和提高的余地。
当然，传统设计中也存在着“优选”的思想。
如上面例题，设计人员可以在有限的几种可行的设计方案中，分析评价出较好的方案。
由于传统的设计方法受到经验、计算方法和计算手段等条件的限制，一般不可能得到最佳的设计方案。
优化设计方法:在优化设计中，该问题可以用数学的方法描述为：在满足包装箱的体积35m abh =，长度m a 4≥，00>>h b 的限制条件下，确定参数a ，b 和h 的值，使包装箱的表面积)(2ha bh ab s ++=达到最小。
根据这样的描述，可以建立一个优化的数学模型，然后选择适当的优化方法和计算程序，在计算机进行数值迭代、求解，最后得到这个数学模型的结果是m a 4=，m h b 1180.1==，23885.20m s =。
用优化方法得到的解，从理论上可以证明是所有可能解中的最优解。
机械产品的优化设计，就是把最优化方法（最优化理论 + 计算机）引入机械设计领域，为设计提供一种新的科学设计方法，使得在解决复杂设计问题时，不用逐个尝试就能从所有可能的设计方案中找到尽可能完善的或最合适的设计方案。
应用优化设计方法，可以缩短设计周期，提高设计精度和设计质量，获得显著的技术与经济效益。
例如对具有十个变数挡的机床主轴箱进行优化设计，与传统设计相比，中心距可以减少16.5%；如果对整体结构进行优化设计，与传统设计相比，简单结构可以节约材料约7%，较复杂结构可以节约材料约20%，复杂结构可以节约材料约35% - 40%。
另据有关资料介绍，美国的一个飞机制造公司采用最优化方法对具有450个设计参数的飞机机翼进行设计，使其重量减轻了35%。
一般来说，所涉及的因数越多，设计对象越复杂，优化设计取得的效果就越显著。
最后，可以用二句简单的话来描述传统设计和优化设计的特点。
前者凭经验“试”或者“凑”，而后者有目的的去“寻”或者去“找”。
例1-2分别采用传统的和优化的方法，设计一盛液体、体积为V 、液面高度为H 、璧厚为T 的塑料盆。
（该盆的产量很大）（p2~7）图1-1 传统设计：凭直觉，我们选择盆的截面形状为矩形，见图1-1。
假定盆的璧厚T 相对于长和宽很小, 液体的体积就可以写成V bLH = (1.1)我们可以任意地选择一个b 值, 然后代入式 (1.1)，就可以得到相应的L 值，这样的设计完全满足要求，但是有无穷多种方案。
优化设计：在进行优化设计时，我们仅考虑相对简单的情况，即忽略应力、振动、变形和重量等因素，只考虑价格。
换句话说，设计盆的几何尺寸，在满足一定的条件下使盆的造价最低。
为了达到盆的造价最低的目的，首先来分析它的价格构成：t l m C C C C =++ (1.2)其中，t C 设备费，l C 是人工费，m C 是材料费。
在式(1.2)中，设备、人工费用与盆的几何形状及材料没有关系，只有材料的价格与之有关。
对于矩形盆，材料的价格为(22)m C c bl bH lH T =++ （1.3a ） 其中, c 是单位体积材料的价格; H 和T 是给定值; b 和L 是盆的几何尺寸,需由设计给出。
现在设计的目的就是，要选择合适的材料及几何尺寸b 和L ，使式（1.3a ）表示的造价达到最小值。
由公式(1.1) 和（1.3a ）可以消去一个非独立变量，如L 得到（1.3b ） 2(2)m V V C c bH T H b=++ （1.3b ） 使式（1.3b ）达到最小可从二方面考虑：第一，选择c 最的材料；第二，确定使（1.3b ）达到最小的b 。
由下面步骤得到22()0,m opt C V c T H b b b ∂=-=∂ 将b 值代入式（1.1），则opt opt opt V l b Hb == 从造价最低的角度考虑，最优设计，即造价最低，的矩形是正方形，最低造价是()(m opt V C c T H=+ （1.3c ） 在实际应用中,对盆的放置空间还是有限制的, 如它只能放在二个结构的中间（见图1.2），即对尺寸的限制就是max max ,b b l l ≤≤ （1.4）显然，m a x b 和max l 的值可能会影响优化设计的结果。
如果max b 和max l 都等于或大于，则最优解就不能满足空间的限制条件了。
图1-2在做优化设计时，我们先假定盆的几何形状是传统的矩形，那么其他形状盆的造价在满足设计要求的前提下是否会更低呢？我们发现，圆形盆可能会出现这样的结果，来分析一下。
对于圆形盆（图1-2），其造价为2()4m D C c DH T ππ=+ (1.5a)除了D 以外，式中的其他项均定义过，同样假定T 远远小于D 。
那么圆形盆的体积就可以表示成 2()4D V H π= （1.6）由式 (1.5) 和 (1.6) 消去D 得(m V C c T H =+ (1.5b) 比较式（1.3c ）正方形盆的造价和 (1.5b) 圆形盆的造价，可以发现，显然后者要低。
如果圆形盆在放置时也受到限制，则形状就会变成图1.2所示。
1-2 优化设计的基本内容和方法 (Contents and methods)1-2-1 引例 (Example)如何进行优化设计，下面以一个引例来进行说明。
例1-3 如图1-3，一中心受压的管柱，所承受的压力N P 22680=，柱长M P a L 41003.7⨯=，密度36/10768.2cm g -⨯=ρ，许用应力MPa 140)[=σ，截面中心线直径（平均直径）2/)(10D D D +=，壁厚为T 。
对该管进行最优设计，在保证强度和稳定性的条件下，寻找一组参数D 和T ，使管柱的重量最轻。
图1-3 图1-4分析 管的重量表达式为 DT DT L W ππρ703.0==，显然，它是变量D 和T 的函数，把它称为该优化问题的目标函数；D 和T 称为设计变量。
现在，优化设计的任务就是，找到一组设计变量D 和T ，使目标函数),(T D W 达到最小值，并满足以下条件：（1） 压杆的强度条件→≤][σσ 014022680≤-DTπ（2） 压杆的强稳定性条件→≤e σσ 025481003.7226802226≤⨯⨯-D DT ππ 其中，欧拉临界应力)(82222T D L E e +=πσ（二端铰支杆），由于T D >>可将2T 忽略不计。
（3） 局部稳定性条件 →≤c σσ →≤⨯-010812.2226804DDT π 简化成 005.0≤-T 其中，局部稳定性临界应力D ET c 4.0=σ （4） 工艺、几何尺寸限制09.8,0,01.0≤-≥≤-D D T以上选择设计变量、确定目标函数和约束条件的过程称为建立优化问题的数学模型。
接下来的工作就是求解数学模型，得到问题的最优解。
求解数学模型可以用解析法、图解法和各种优化算法。
对于这个简单问题，可以采用图解法来求。
如图1-4，分别以设计变量D 和T 为坐标轴，建立一个二维设计空间。
空间中的任何一点都表示一个设计方案（即一组D 和T ）。
把所有的约束条件取等式后（极限情况），均画在设计空间内，并标明满足约束的区域。
称满足所有约束的区域为可行域，可行域中的任何一个点都代表一个可行的设计方案。
显然，优化设计的目的就是要在设计空间的可行域内找到目标函数值最小的点，这一点对应的设计方案就是最优设计方案。
为此，作目标函数系列等值线 ,2,1==i C W i 如814.1,722.2==W W 等，越靠近原点，W 值越小。