一级倒立摆的课程设计
乐高公司一阶倒立摆系统一阶倒立摆控制器设计课程设计论文
H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y课程设计说明书（论文）课程名称：控制系统课程设计设计题目：一阶倒立摆控制器设计院系：航天学院控制科学与工程系班级：设计者：学号：指导教师：罗晶周乃馨设计时间：2011年8月21日至2011年9月9日哈尔滨工业大学教务处哈尔滨工业大学课程设计任务书姓名：王院（系）：专业：班号：任务起至日期：2011年8月21 日至2011年9月9 日课程设计题目：一阶倒立摆控制器设计已知技术参数和设计要求：本课程设计的被控对象采用固高公司的一阶倒立摆系统GIP-100-L。
系统内部各相关参数为：M小车质量0.5 Kg ；m摆杆质量0.2 Kg ；b小车摩擦系数0.1 N/m/sec ；l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3 m ；I摆杆惯量0.006 kg*m*m ；T采样时间0.005秒。
设计要求：1．推导出系统的传递函数和状态空间方程。
用Matlab进行脉冲输入仿真，验证系统的稳定性。
2．设计PID控制器，使得当在小车上施加1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为：（1）稳定时间小于5秒（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1 弧度工作量：1. 建立一阶倒立摆的线性化数学模型；2. 倒立摆系统的PID控制器设计、MATLAB仿真及实物调试；3. 倒立摆系统的极点配置控制器设计、MATLAB仿真及实物仿真调试。
工作计划安排：第17周：建模研究和确定控制系统方案；第18周：控制系统设计和试验调试；第17周：撰写论文、答辩。
同组设计者及分工：独立完成。
指导教师签字___________________年月日教研室主任意见：教研室主任签字___________________年月日一、一阶倒立摆动力学建模倒立摆系统其本身是自不稳定的系统，实验建模存在着一定的困难。
在忽略掉一些次要的因素之后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系中应用经典力学理论建立系统动力学方程。
单级倒立摆课程设计
单级倒立摆课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握单级倒立摆的基本概念、原理和数学模型；2. 使学生了解单级倒立摆在实际工程中的应用和价值；3. 引导学生运用物理知识分析单级倒立摆的动态特性及稳定性。
技能目标：1. 培养学生运用数学、物理知识解决实际问题的能力；2. 提高学生动手实践能力，学会设计、搭建和调试单级倒立摆控制系统；3. 培养学生团队协作、沟通表达及分析问题的能力。
情感态度价值观目标：1. 激发学生对物理科学研究的兴趣，培养创新意识和探索精神；2. 引导学生关注我国在倒立摆技术领域的发展，增强国家认同感；3. 培养学生严谨的科学态度和良好的学习习惯。
课程性质：本课程为物理学科实验课程，旨在通过实践操作，让学生深入理解单级倒立摆的原理和应用。
学生特点：本课程针对高中学生，他们在数学、物理基础知识方面有较好的储备，具备一定的动手能力和探究精神。
教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，引导学生主动参与，提高综合运用知识解决实际问题的能力。
将课程目标分解为具体的学习成果，便于后续教学设计和评估。
二、教学内容1. 理论知识：- 单级倒立摆的基本概念、原理及数学模型；- 倒立摆系统的动态特性分析；- 倒立摆稳定性判据及控制方法。
2. 实践操作：- 搭建单级倒立摆实验装置；- 设计并实现单级倒立摆控制系统；- 调试优化控制系统，实现倒立摆的稳定控制。
3. 教学大纲：- 第一周：单级倒立摆基本概念、原理及数学模型学习；- 第二周：倒立摆系统的动态特性分析；- 第三周：稳定性判据及控制方法学习；- 第四周：实践操作，搭建实验装置；- 第五周：设计并实现单级倒立摆控制系统；- 第六周：调试优化控制系统，总结交流。
教材章节：本教学内容参考课本第十章“自动控制”，具体涉及第1节“倒立摆控制”和第2节“倒立摆控制系统设计”。
教学内容安排和进度：按照教学大纲，每周安排一次课，共计6周。
理论教学与实践操作相结合，保证学生充分理解并掌握单级倒立摆相关知识。
(完整word版)一级倒立摆的LQR控制器设计(一)
沈阳航空航天大学课程设计（论文)题目一级倒立摆的LQR控制器设计（一）班级04070202学号2010040702069学生姓名杨贺指导教师目录0。
前言.。
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1 倒立摆的背景及简介...。
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.10.2 MATLAB简介及应用....。
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一级倒立摆模型和线性二次最优控制LQR基本理论.。
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(4)1。
1 一级倒立摆模型基本理论。
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41.2 线性二次最优控制LQR基本理论.。
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72. 方案设计。
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软件编程。
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析.。
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环形一级倒立摆设计
1 绪论随着电脑技术和通信技术的飞速发展，控制理论的研究不断深入，自动控制技术在农业、工业、军队和家庭等社会各领域得到了广泛应用，对于提高劳动生产率做出了重要奉献。
倒立摆是一种理想的控制对象平台，它结构简单、成本较低，可以有效地检验众多控制方法的有效性。
对倒立摆系统这样一个典型的多变量、快速、非线性和自然不稳定系统的研究，无论在理论上和方法上都具有重要意义。
这不仅因为其级数增加而产生的控制难度是人类对其控制能力的有力挑战，更是因为在实现其稳定控制的过程中，众多的控制理论和方法被不断应用，新的控制理论和方法因而层出不穷。
各种控制理论和方法都可以在倒立摆这个控制对象平台上加以实现和检验，并可以促成控制理论和方法相互间的有机结合，进而使得这些新方法、新理论可以应用到更加广泛的受控对象中。
1.1 倒立摆系统的分类随着倒立摆系统控制方法研究的不断深入，倒立摆系统的种类也逐渐发展为多种形式。
目前研究的倒立摆大多为在二维空间仁即平面)内摆动的摆。
考虑倒立摆的不同结构形式，倒立摆系统可以分为以下几种类型1〕小车倒立摆系统仁或称为“直线倒立摆系统”)小车倒立摆系统主要由小车和摆杆两部分构成。
其中，摆杆可以是一级、两级、三级、四级甚至多级。
摆杆的级数越多，控制难度越大，而摆杆的长度也可能是变化的。
控制目标一般是通过给小车施加一个水平方向的力，使小车在期望的位置上稳定，而摆杆到达竖直向上的动态平衡状态。
2〕旋转倒立摆系统仁或称为“环形倒立摆系统”)旋转倒立摆系统是在小车倒立摆系统的基础上发展起来的。
与小车倒立摆不同，旋转倒立摆将摆杆安装在与电机转轴相连的水平旋臂上，通过电机带动旋臂在水平面的转动来控制摆杆的倒立，摆杆可以在垂直平面内旋转。
旋转倒立摆将小车倒立摆的平动控制改为旋转控制，使得整个系统更为复杂和不稳定，增加了控制的难度。
3〕平面倒立摆系统在平面倒立摆系统中，匀质摆杆底端可以在平面内作二维自由运动，摆杆 可沿竖直平面内任一轴线转动。
单级倒立摆系统课程设计
单级倒立摆系统课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解单级倒立摆系统的基本原理，掌握其数学模型和动力学特性；2. 学会分析单级倒立摆系统的稳定性，并掌握相应的控制策略；3. 掌握利用传感器和执行器实现单级倒立摆系统的实时控制方法。
技能目标：1. 能够运用所学的理论知识，设计并搭建单级倒立摆实验系统；2. 能够编写程序，实现对单级倒立摆系统的实时控制，使系统保持稳定；3. 能够分析实验数据，优化控制参数，提高系统性能。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对物理系统控制原理的兴趣，激发学生探索科学技术的热情；2. 培养学生的团队协作意识和解决问题的能力，增强学生的自信心；3. 引导学生关注科技创新，认识到所学知识在实际应用中的价值。
课程性质：本课程为理论与实践相结合的课程，旨在帮助学生将所学的理论知识应用于实际系统中，提高学生的实践能力和创新能力。
学生特点：学生具备一定的物理、数学基础，对控制原理有一定了解，但实践经验不足。
教学要求：注重理论与实践相结合，鼓励学生动手实践，培养解决实际问题的能力。
在教学过程中，注重引导学生自主学习，培养学生的创新意识和团队协作精神。
通过本课程的学习，使学生能够将所学知识应用于实际系统，提高自身综合素质。
二、教学内容1. 理论知识：- 单级倒立摆系统的基本原理及数学模型；- 单级倒立摆系统的稳定性分析；- 控制策略及控制算法在单级倒立摆系统中的应用；- 传感器和执行器在单级倒立摆系统中的作用及选型。
2. 实践操作：- 搭建单级倒立摆实验系统；- 编写程序实现实时控制；- 调试优化控制参数；- 分析实验数据，提高系统性能。
3. 教学大纲：- 第一周：介绍单级倒立摆系统基本原理，学习数学模型，进行稳定性分析；- 第二周：学习控制策略及控制算法，探讨其在单级倒立摆系统中的应用；- 第三周：了解传感器和执行器，学习其在单级倒立摆系统中的作用及选型；- 第四周：分组搭建单级倒立摆实验系统，进行程序编写和实时控制；- 第五周：调试优化控制参数，分析实验数据，提高系统性能。
一级倒立摆控制系统设计
基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计一、设计目的倒立摆是一个非线性、不稳定系统，经常作为研究比较不同控制方法的典型例子。
设计一个倒立摆的控制系统，使倒立摆这样一个不稳定的被控对象通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统。
、设计要求倒立摆的设计要求是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。
当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。
实验参数自己选定，但要合理符合实际情况，控制方式为双PID控制，并利用MATLAB进行仿真，并用simulink对相应的模块进行仿真。
二、设计原理倒立摆控制系统的工作原理是：由轴角编码器测得小车的位置和摆杆相对垂直方向的角度，作为系统的两个输出量被反馈至控制计算机。
计算机根据一定的控制算法，计算出空置量，并转化为相应的电压信号提供给驱动电路，以驱动直流力矩电机的运动，从而通过牵引机构带动小车的移动来控制摆杆和保持平衡。
四、设计步骤首先画出一阶倒立摆控制系统的原理方框图一阶倒立摆控制系统示意图如图所示：工业控制计算机电动机驱动器一阶倒立摆一阶倒立摆控制系统动态结构图F面的工作是根据结构框图，分析和解决各个环节的传递函数!1. 一阶倒立摆建模在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示,其中：M小车质量m为摆杆质量J :为摆杆惯量F:加在小车上的力x :小车位置摆杆与垂直向上方向的夹角l :摆杆转动轴心到杆质心的长度根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知:(1) 摆杆绕其重心的转动方程为J鎳F y lsin 二- F x l cos： (1)(2) 摆杆重心的运动方程为F x d2(x l sin r)彳『=mg-m d2 d2t(3) 小车水平方向上的运动为-1-L+10-0一4即 G 1(s)=' ; G 2(s)='-一阶倒立摆环节问题解决！2. 电动机驱动器选用日本松下电工MSMA02型小惯量交流伺服电动机，其有关参数如下:F — F x 二 M d 2x联列上述4个方程，可以得出一阶倒立精确气模型：J ml 2F ml J ml 2sin u 2-m 2l 2gsin r COST2 2 2 2J ml j[ M m ：-m l cos )mlcos v.F m 2l 2sin vcos m 2-＜； M m mlg sin vm 2l 2cos 20—(M + m )(J +ml 2)式中J 为摆杆的转动惯量：J 』3若只考虑B 在其工作点附近B 0=0附近(-10 —”：10 )的细微变化，则可 以近似认为: 石2“* sin^比日 cos 日“若取小车质量M=2kg,摆杆质量 m=1kg,摆杆长度2 l =1m,重力加速度取g=10m/s 2,则可以得阶倒立摆简化模型:x =0.44F -3.33^ v - -0.4 F 12^拉氏变换=^>日(s)』F(s) x(s) ?(s)-0.42s-122 -1.1s 102 s2(J ml 2)F -m 2l 2g J J(M m) Mml (M m)mlg mlF J(M m) Mml电磁时间常数：Tl=0.001s电机时间常数：TM=0.003s经传动机构变速后输出的拖动力为： F=0~16N 与其配套的驱动器为:MSDA021A1A S 制电压：UDA=0± 10V 。
一级倒立摆控制系统设计说明
基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计一、设计目的倒立摆是一个非线性、不稳定系统,经常作为研究比较不同控制方法的典型例子。
设计一个倒立摆的控制系统，使倒立摆这样一个不稳定的被控对象通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统。
二、设计要求倒立摆的设计要使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。
当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。
实验参数自己选定，但要合理符合实际情况，控制方式为双PID控制，并利用 MATLAB进行仿真，并用simulink对相应的模块进行仿真。
三、设计原理倒立摆控制系统的工作原理是：由轴角编码器测得小车的位置和摆杆相对垂直方向的角度，作为系统的两个输出量被反馈至控制计算机。
计算机根据一定的控制算法，计算出空置量，并转化为相应的电压信号提供给驱动电路，以驱动直流力矩电机的运动，从而通过牵引机构带动小车的移动来控制摆杆和保持平衡。
四、设计步骤首先画出一阶倒立摆控制系统的原理方框图一阶倒立摆控制系统示意图如图所示：分析工作原理，可以得出一阶倒立摆系统原理方框图：一阶倒立摆控制系统动态结构图下面的工作是根据结构框图，分析和解决各个环节的传递函数！1.一阶倒立摆建模在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，其中： M ：小车质量 m ：为摆杆质量 J ：为摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置θ：摆杆与垂直向上方向的夹角l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知： （1） 摆杆绕其重心的转动方程为（2） 摆杆重心的运动方程为得sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=-2222(sin ) (2)(cos ) (3)x y d F m x l d td F mg m l d t θθ=+=-（3）小车水平方向上的运动为22..........(4)x d xF F M d t-=联列上述4个方程，可以得出一阶倒立精确气模型：()()()()()()()2222222222222222sin .sin cos cos cos .sin cos .lg sin cos J ml F ml J ml m l g x J ml M m m l ml F m l M m m m l M m J ml θθθθθθθθθθθθ⎧+++-⎪=++-⎪⎨+-+⎪=⎪-++⎩式中J 为摆杆的转动惯量：32ml J =若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近（︒︒≤≤-1010θ）的细微变化，则可以近似认为：⎪⎩⎪⎨⎧≈≈≈1cos sin 02θθθθ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+=++-+=2..2222..)(lg )()()(Mml m M J mlF m m M Mml m M J g l m F ml J x θθθ 若取小车质量M=2kg,摆杆质量m=1kg,摆杆长度2 l =1m,重力加速度取g=2/10s m ,则可以得 一阶倒立摆简化模型：....0.44 3.330.412x F F θθθ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩即 G 1(s)= ; G 2(s)=一阶倒立摆环节问题解决！2.电动机驱动器选用日本松下电工MSMA021型小惯量交流伺服电动机，其有关参数如下：222()0.4()12() 1.110()s F s s x s s s s θθ-⎧=⎪-⎪⎨-+⎪=⎪⎩驱动电压：U=0~100V 额定功率：PN=200W 额定转速：n=3000r/min 转动惯量：J=3×10-6kg.m2 额定转矩：TN=0.64Nm 最大转矩：TM=1.91Nm 电磁时间常数：Tl=0.001s 电机时间常数：TM=0.003s经传动机构变速后输出的拖动力为：F=0~16N ；与其配套的驱动器为：MSDA021A1A ，控制电压：UDA=0~±10V 。
直线型一级倒立摆系统的控制器设计
直线型一级倒立摆系统的控制器设计引言1. 设计目的（1）熟悉直线型一级倒立摆系统（2）掌握极点配置算法（3）掌握MATLAB/simulink动态仿真技术2. 设计要求基于极点配置算法完成对于直线型一级倒立摆系统的控制器设计3. 系统说明倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。
通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。
同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。
4. 设计任务（1）建立直线型一级倒立摆系统的状态空间表达式。
（2）对该系统的稳定性、能观性、能控性进行分析。
（3）应用极点配置法对该直线型一级倒立摆系统进行控制器设计。
（4）使用MATLAB/simulink软件验证设计结果目录设计目的........................................................................................... 2-4设计要求：. (4)系统说明：....................................................................................... 4-5设计任务........................................................................................... 5-8运行结果......................................................................................... 8-11收获与体会.. (10)参考文献 (12)1. 设计目的（1）熟悉直线型一级倒立摆系统倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。
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目录摘要 (3)1．一阶倒立摆的概述 (4)1.1倒立摆的起源与国内外发展现状 (4)1.2倒立摆系统的组成 (5)1.3倒立摆的分类： (5)1.4倒立摆的控制方法： (5)1.5本文研究内容及安排 (6)1.6系统内部各相关参数为： (6)2．一阶倒立摆数学模型的建立 (7)2.1概述 (7)2.2数学模型的建立 (8)2.3一阶倒立摆的状态空间模型： (11)2.4实际参数代入： (12)3．定量、定性分析系统的性能 (13)3.1，对系统的稳定性进行分析 (13)3.2 对系统的稳定性进行分析： (15)4．状态反馈控制器的设计 (16)4.1反馈控制结构 (16)4.2单输入极点配置 (17)4.3利用MATLAB编写程序 (20)5．系统的仿真研究，校验与分析 (22)5.1使用Matlab中的SIMULINK仿真 (22)6．设计状态观测器，讨论带有状态观测器的状态反馈系统的第 1 页性能。
(26)6.1观测器的设计思路： (26)6.2利用MATLAB进行编程 (27)6.3状态观测器的仿真 (29)小结 (32)参考文献： (33)第 2 页摘要倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台。
倒立摆也是机器人技术，控制理论，计算机控制等多个领域，多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定，多变量，强耦合的非线性系统。
可以作为一个典型的被控对象对其进行研究。
最初的研究开始于二十世纪50年代，专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。
近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆的一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量，非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出好的控制方法。
倒立摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。
倒立摆的研究不仅具有深刻的理论意义，还有重要的工程背景，在多种控制理论与方法的研究中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的实验问题，使其理论与方法得到有效检验，倒立摆就能为此提供一个从理论通往实践的桥梁，目前，对倒立摆的研究也引起了国内外学者的广泛关注，是控制领域的热门课题之一。
第 3 页1．一阶倒立摆的概述1.1倒立摆的起源与国内外发展现状倒立摆的最初研究开始于二十世纪五十年代，麻省理工学院的控制理论专家根据火箭助推器原理设计出来一级倒立摆实验设备。
倒立摆作为一个典型的不稳定，严重非线性例证被正式提出于二十世纪六十年代后期。
国内，在倒立摆系统实验平台先后出现了多种控制算法。
用状态空间法设计的比例微分控制器来实现单机倒立摆的稳定控制；利用最优状态调节器实现双电机三集倒立摆实物控制；用变结构方法实现倒立摆的控制。
用神经网络的自学习模糊控制器的输入输出的对比，引起其他学者的关注，之后不断出现实时学习神经网络的方法来控制倒立摆。
图1 一级倒立摆第 4 页1.2倒立摆系统的组成倒立摆系统由计算机，运动控制卡，伺服机构，传感器和倒立摆本体五部分构成。
1.3倒立摆的分类：1，根据摆杆数目的不同，可以把倒立摆分为一级，二级和三级倒立摆等2，根据摆杆间连接形式不同，可以把倒立摆系统分为并联式倒立摆和串联式倒立摆；3根据运动轨道的不同，可以把倒立摆系统分为倾斜轨道倒立摆和水平轨道倒立摆；4根据控制电机的不同，可以把倒立摆分为多电机倒立摆和单电机倒立摆5根据摆杆与小车的连接方式不同，可以把倒立摆分为刚性摆和柔性摆6根据运动方式不同，可以把倒立摆分为平面倒立摆，直线倒立摆和旋转倒立摆。
1.4倒立摆的控制方法：1）PID控制：该方法出现的最早，首先是对倒立摆系统进行力学分析，并在牛顿定律基础上得到运动方程，然后在平衡点附近对其进行线性化求出传递函数，最后在要求系统的特征方程应有全部左半平面的根的条件下，设计闭环系统控制器。
2）状态反馈控制：极点配置法是在动态特性和稳态特性都满第 5 页足的条件下，将多变量闭环倒立摆系统极点配置在期望的位置上，来设计状态反馈控制器3）线性二次型最优控制（LQR）LQR最优控制是通过寻找最佳状态反馈控制规律使期望的性能指标达到最小。
1.5本文研究内容及安排倒立摆的控制算法多种多样，各种方法都有其各自的领域及重点，通过算法的比较，可以看出它们彼此之间的一些优缺点。
本课程设计的被控对象采用固高公司生产的GIP-100-L型一阶倒立摆系统，选取稳定控制算法中的状态反馈极点配置设计，在分析了倒立摆的受力情况后，建立理论模型，由此推倒出系统的状态方程，并且对系统的性能进行定量、定性分析。
配制出理想极点，设计状态反馈控制器，使得当在小车上施加1N的脉冲信号时，闭环系统的响应满足性能指标要求。
对设计的系统进行仿真研究、校验与分析，设计状态观测器，讨论带有状态观测器的状态反馈系统的性能。
1.6系统内部各相关参数为：M小车质量0.5 Kg ；m摆杆质量0.2 Kg ；b小车摩擦系数0.1 N/m/sec ；l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3 m ；I摆杆惯量0.006 kg*m*m ；T采样时间0.005秒。
第 6 页2．一阶倒立摆数学模型的建立2.1概述倒立摆系统其本身是自不稳定系统，实验建模存在一些问题和困难，在忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统是一个典型的运动的刚体系统，可以再惯性坐标系中运用经典力学对它进行分析，来建立系统动力学方程。
在忽略掉了空气阻力和各种摩擦力之后，可以讲一阶倒立摆系统抽象成小车和均匀杆组成的系统，一阶倒立摆系统的结构示意图如下：图2 一阶倒立摆系统的结构示意图定义的参数为：M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数第7 页I摆杆惯量F加在小车上的力x小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角l摆杆转动轴心到杆质心的长度θ摆杆与垂直向下方向的夹角（摆杆初始位置为竖直向下）得到小车和摆杆的受力图：图3 小车和摆杆的受力图2.2数学模型的建立运用牛顿定理分析受力得到下列方程：（2-1）由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：第8 页（2-2）求导得到：（2-3）代入第一个方程得到：（2-4）在摆杆垂直方向上的合力进行分析得到方程：（2-5）即：（2-6）力矩平衡方程：（2-7）又因为θ为摆杆与垂直向下方向的夹角（摆杆初始位置为竖直向下），φ为摆杆与垂直向上方向的夹角，由θ和φ关系得合并这两第9 页个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：（2-8）微分方程的建立：因为，假设φ<<1弧度，则可以进行近似处理：错误!未找到引用源。
来实现线性化。
用上述近似进行线性化得直线一阶倒立摆的微分方程为：（2-9）一阶倒立摆的传递函数模型：对上式进行拉普拉斯变换，得：（2-10）推导传递函数时假设初始条件为0。
由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可得：（2-11）或（2-12）第10 页如果令错误!未找到引用源。
，则有：把上式代入方程组（2-1）的第二个方程，得：整理后得到传递函数：其中。
2.3一阶倒立摆的状态空间模型：设系统状态空间方程为：方程组（2-9）对错误!未找到引用源。
解代数方程，得到解如下：（2-14）（2-13）（2-15）（2-16）第11 页整理后得到系统状态空间方程：2.4实际参数代入：GIP-100-L型一阶倒立摆系统，系统内部各相关参数为：M小车质量0.5 Kg ；m摆杆质量0.2 Kg ；b小车摩擦系数0.1 N/m/sec ；l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3 m ；I摆杆惯量0.006 kg*m*m ；T采样时间0.005秒。
将上述参数代入得实际模型：（2-17）（2-18）（2-19）第12 页摆杆角度和小车位移的传递函数：摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：以外界作用力作为输入的系统状态方程：3．定量、定性分析系统的性能3.1，对系统的稳定性进行分析在MATLAB中运行以下程序：A=[ 0 1 0 0; 0 -0.181818 2.672727 0; 0 0 0 1; 0 -0.454545 31.181818 0];B=[ 0 1.818182 0 4.545455]';C=[ 1 0 0 0; 0 0 1 0];D=[ 0 0 ]';（2-21）（2-22）（2-20）第13 页[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D)z =-4.9497 0.0000 + 0.0000i4.9497 0.0000 - 0.0000ip =-5.6041-0.14285.5651k =1.81824.5455>> impulse(A,B,C,D）第14 页第 15 页27T o : O u t (1)x 1028T o : O u t (2)Impulse ResponseTime (sec)A m p l i t u d e图4 系统脉冲响应由图可得，系统在单位脉冲的输入作用下，小车的位移和摆杆的角度都是发散的，同时，由以上程序的零极点得极点有一个大于零，因此系统不稳定。
3.2 对系统的稳定性进行分析：A=[ 0 1 0 0; 0 -0.181818 2.672727 0; 0 0 0 1; 0 -0.454545 31.181818 0];B=[ 0 1.818182 0 4.545455]'; C=[ 1 0 0 0; 0 0 1 0]; D=[ 0 0 ]'; >> Qc=ctrb(A,B); >> Qo=obsv(A,C); >> rank(Qc)第 16 页ans = 4>> rank(Qo) ans = 4因此系统为完全能观测和完全能控的。
4．状态反馈控制器的设计4.1反馈控制结构设系统为Cx y BuAx x =+=•，其中x ，u ，y 分别为n 维状态变量，m维输入向量和p 维输出向量；A,B,C 分别为n*n ，n*m ，p*n 矩阵当将系统的控制量u 取成状态变量的线性函数u=v+Kx 称之为线性直接状态反馈，其中v 为m 维参考输入向量，K 为m*n 矩阵，成为反馈增益矩阵。
得到采用状态反馈后闭环系统的状态空间方程为：第 17 页Cxy Bv x BK A x =++=•)(得出结论引入状态反馈后系统的输出方程没有变化，状态反馈将开环系统方程式中的系数矩阵A ，变成了闭环系统状态方程中的（A+BK ），特征方程从]det[A I -λ变为了)](det[BK A I +-λ，可以看出状态反馈后闭环系统的系统特征跟不仅与系统本身的结构参数有关，而且与状态反馈增益矩阵K 有关，正是利用这一点进行配置。
4.2单输入极点配置控制系统的品质很大程度上取决于系统的闭环极点在复平面上的位置，因此在对系统进行综合讨论是，往往给出一组期望的极点，或根据时域指标提出一组期望的极点，所谓极点配置问题就是通过对反馈增益矩阵的设计，使闭环系统的极点处于复平面所期望的位置，以获得理想的动态特性。