四川省眉山市2019届高三第一次诊断性考试试题数学(文)
眉山市高中2019届第一学期期末教学质量检测数学试题卷
眉山市高中 2019 届第一学期期末教学质量检测
数学参考答案及评分意见
2017.01
一、选择题 (本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 B 5 C 6 D 7 D 8 B 9 B 10 C 11 A 12 D
二、填空题 (本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 1 1 1 13. 4 14. 15.[ , ) 16. ④ 9 7 3 三、解答题 (本题共 6 小题，共 70 分) 3 1 tan 1 1 4 -----------------------------------------------5 分 17、 （1）原式= 3 tan 1 7 1 4 3 3 4 cos （2）由已知有 为钝角，又 tan - ， sin ， 4 5 5 7 原式= cos sin ------------------------------------------------------10 分 5
19、解：（1）由已知得 a 2
1 f ( x) ( ) x 在 R 上递减， 2 ≤ b2 2 3 f (2) ≥ f (b 2 2) -------------------------------------------------------------------6 分
f
给出如下四个图形，其中能表示
0 3 ，+00 A. A. a a 5、 已知 = 的终边经过点 log =B.2 B. -,c= 0.302,则 a ,2 三C. 者的 V大 2 ，则 小 关 sine 系是 D. 7、若角 pf-2cos60° ， 舶值为 20.3， b 2 2->/Isin45°j 2 7t O0, 2 b> a>c A. a > b > B. C . b > c > a D. c > ba > a 、 8、若函数/( x) =cx + ( 2 a -1)JC' + 1 在区间(oo,2]上是减函数，则实数 的取值范围足 x 6、 当 0 < a < 1 时，在同一坐标系中，函数少= a ^ y = l o g a x 的图象是
四川省眉山市2019届高三理数第一次诊断性考试试题
0!必要不充分条件
1!充分不必要条件
2!充分必要条件
3!既不充分又不必要条件
-!中国古代的数学家不仅很早就发现并应用勾股定理#而且很早就尝试
对勾股定理进行证明!三国时期吴国数学家赵爽创制了一幅&赵爽弦
图'#用形数结合的方法#给出了勾股定理的详细证明!在&赵爽弦图'
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2019年四川省眉山市高考文科数学一诊试卷及答案解析
2019年四川省眉山市高考文科数学一诊试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合2{|log 2}A x x =，{|22}B x x =-<<，则(AB = ) A ．(2,2)-B ．(0,2)C ．(2-，4]D ．(0，4] 2．（5分）复数34(34i z i i -=+为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．（5分）已知(,)2παπ∈，3sin 5α=，则sin()(4πα+= ) A ．7210 B ．7210- C ．210 D ．210- 4．（5分）函数sin y x x =部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．5．（5分）中国古代的数学家不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理进行证明．三国时期吴国数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明．在“赵爽弦图”中，以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的那个正方形组成．如图，正方形ABCD 是某大厅按“赵爽弦图”设计铺设的地板砖．已知4个直角三角形的两直角边分别为30a cm =，40b cm =．若某小物体落在这块地板砖上任何位置的机会是均等的．则该小物体落在中间小正方形中的概率是( )A ．125B ．112C ．625D ．24256．（5分）下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是( )A ．1y x =B ．2x y -=C ．cos y x x =+D ．33y x x =-7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．108．（5分）若x ，y 满足约束条件131x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，则2z x y =+的最大值为( )A ．2B ．4C ．5D ．69．（5分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是面1111A B C D 内任意一点，则四棱锥P ABCD -的体积为( )A ．16B ．13C ．12D ．2310．（5分）已知21log 2a =，132b =，21()3c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．c b a <<11．（5分）如图，正三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球面上，底面正三角形的边长为3，侧棱长为23，则球O 的表面积是( )A ．4πB ．323πC ．16πD ．36π12．（5分）已知点(1,0)A -是抛物线22y px =的准线与x 轴的交点，F 为抛物线的焦点，P是抛物线上的动点，则||||PF PA 的最小值为( ) A ．13 B ．22 C ．45 D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）椭圆22221(3)9x y a a a +=>-的焦距为 ． 14．（5分）若向量(1,1)a =，(2,3)b =，(3,)c x =满足条件(2)2a b c +=，则x = ．15．（5分）张明同学进入高三后，5次月考数学成绩的茎叶图如图所示，那么他这5次月考数学成绩的平均数为 ．16．（5分）已知函数()21x f x ae x =--有两个零点，则a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．17．（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且216n S n n m λ=-+．（1）当2λ=时，求通项公式n a ；（2）设{}n a 的各项为正，当15m =时，求λ的取值范围．18．（12分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos (2)cos a B c b A =-．（1）求角A 的大小；（2）若AD 为BC 边上的高，6a =，求AD 的范围．19．（12分）某地方教育部门对某学校学生的阅读素养进行检测，在该校随机抽取了100名学生进行检测，将得到的成绩百分制按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，图中4．a b（1）求a，b的值；（2）已知得分在[90，100]内的男生人数与女生人数的比为2:1，若在该组中随机抽取2人进行交流，求所抽取的两人中至少有一名女生的概率．20．（12分）某商家销售某种商品，已知该商品进货单价由两部分构成：一部分为每件产品的进货固定价为3百元，另一部分为进货浮动价，据市场调查，该产品的销售单价与日销售量的关系如表所示：该产品的进货浮动价与日销售量关系如下表所示：（1）分别建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映该商品日销售量y与销售单价x的关系()d y；f x、进货浮动价d与日销售量y的关系()【注：可选的函数模型有一次函数、二次函数、反比例函数指数函数、对数函数、幂函数】（2）运用（1）中的函数模型判断，该产品销售单价确定为多少元时，单件产品的利润最大？【注：单件产品的利润=单件售价-（进货浮动价+进货固定价）】21．（12分）已知函数2()(,)f x x ax blnx a b R =++∈，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为220x y --=．（1）求a ，b 的值；（2）求证：当2m ，1x >时，不等式()()x m e e e f x -恒成立．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2(3x t t y t =+⎧⎨=⎩为参数，)t R ∈，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+．（1）求1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程；（2）曲线1C 与2C 交于点M ，N ，求||MN 的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()2|||2|f x x x =+-．（1）解不等式()4f x ；（2）设函数()f x 的最小值为m ，若实数a 、b 满足222a b m +=，求22411a b ++最小值．2019年四川省眉山市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【解答】解：集合2{|log 2}{|04}A x x x x ==<，{|22}B x x =-<<，则{|24}(2A B x x =-<=-，4]．故选：C ． 【解答】解：234(34)72434(34)(34)2525i i z i i i i --===--++-， z ∴在复平面内对应的点的坐标为724(,)2525--，在第三象限． 故选：C ．【解答】解：(2πα∈，)π，3sin 5α=，4cos 5α∴==-，则sin()cos )4πααα+=+= 故选：D ．【解答】解：函数sin y x x =是偶函数，可知B ，C 正确；当(0,)x π∈时，函数0y >，可知函数的图象为：D ．故选：D ．【解答】解：如图，30a cm =，40b cm =，∴小正方形的边长为403010-=，大正方形的边长50c =．则小正方形面积为100，大正方形面积为2500现向大正方形内随机投掷一枚飞镖，则由几何概型概率计算公式得飞镖落在小正方形内的概率是：1001250025p ==． 故选：A ．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，1y x =，为反比例函数，在区间(0,)+∞上为减函数，不能符合题意； 对于B ，12()2x x y -==，为指数函数，在区间(0,)+∞上为减函数，不能符合题意； 对于C ，cos y x x =+，则1sin 0y x '=-，在R 上为增函数，符合题意；对于D ，33y x x =-，其导数22333(1)y x x =-=-，在区间(0,1)上为减函数，不能符合题意；故选：C ．【解答】解根据题意运行程序得，1i =，0212S lg g =+=；2i =，30232S lg lglg =++=； 3i =，3402423S lg lg lg lg =+++=； ⋯9i =，101S lg ==满足条件1S故选：C ．【解答】解：x ，y 满足约束条件131x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩，作可行域如图，易知可行域为一个三角形，其三个顶点为(2,1)A ，(1,2)，(1,0)，验证知在点(2,1)A 时取得最大值2即当直线2z x y =+过点(1,0)A 时，z 最大是5，故选：C ．【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是面1111A B C D 内任意一点，∴点P 到平面ABCD 的距离11d AA ==，111ABCD S =⨯=正方形，∴四棱锥P ABCD -的体积为：111111333P ABCD ABCD V AA S -=⨯⨯=⨯⨯=正方形． 故选：B ． 【解答】解：221log log 102a =<=， 103221b =>=， 20110()()133c <=<=． a c b ∴<<．故选：B ．【解答】解：如图，设OM x =，OB OD r ==，3AB =，BM ∴又DB =3DM ∴=，在Rt OMB ∆中，22(3)3x x -=+，得：1x =，2r ∴=，16O S π∴=球，故选：C ．【解答】解：由题意可得，焦点(1,0)F，准线方程为1x=-．过点P作PM垂直于准线，M为垂足，由抛物线的定义可得||||PF PM=，则则||||sin||||PF PMPAMPA PA==∠，PAM∠为锐角．故当PAM∠最小时，则||||PFPA最小，故当PA和抛物线相切时，||||PFPA的最小．可设切点(P a，2)a，则PA的斜率为2a k而函数2y x=(2)y xx'='2aa=，求得1a=，可得(1,2)P，则||2PM=，||22PA=即有||2 sin||22PMPAMPA∠===，由抛物线的对称性可得P为(1,2)-2．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 【解答】解：椭圆22221(3)9x y a a a +=>-，可得：2293c a a -+=， 可得椭圆22221(3)9x y a a a +=>-的焦距为：6． 故答案为：6． 【解答】解：(1,1)a =，(2,3)b =，(3,)c x =，∴2(4,5)a b +=，(2)2a b c +=，则4352x ⨯+=，2x ∴=-故答案为：2-【解答】解：这5次月考数学成绩分别是：105，115，118，120，122， 故平均数是：1(105115118120122)1165++++=， 故答案为：116．【解答】解：根据题意，()21x f x ae x =--，其导数()2x f x ae '=-，若函数()21x f x ae x =--有两个零点，分2种情况讨论：①，当0a 时，()20x f x ae '=-<，()f x 在R 上为减函数，则函数()f x 最多只有1个零点，不符合题意；②，当0a >时，令()20x f x ae '=-=，解可得2x ln a=， 分析可得：在2(,)ln a -∞上，()0f x '<，函数()f x 为减函数，在2(ln a，)+∞上，()0f x '>，函数()f x 为增函数， 则当2x ln a=时，函数()f x 取得最小值， 且当x →-∞上，()f x →+∞，当x →+∞上，()f x →+∞，若函数()21xf x ae x =--有两个零点，则必有2()0f ln a<，即222()10ln a a e ln a ⨯--<， 解可得：a<， 又由0a >，则a 的取值范围为； 综合可得：a 的取值范围为； 故答案为：． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．【解答】解：（1）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且216n S n n m λ=-+．当2λ=时，2216n S n n m =-+①．所以：212(1)16(1)n S n n m -=---+②，①-②得：1n n n a S S -=-，418n =-故：14(1)418(2)n m n a n n -+=⎧=⎨-⎩． （2）由15m =时，当1n =时，111a S λ==-，当2n 时，1216n n n a S S n λλ-=-=--，所以：由于数列的各项为正数，故：102022160λλλλ->⎧⎪>⎨⎪-->⎩， 解得：163λ> 故λ的取值范围是：16{|}3λλ>． 【解答】解：（1）由(2)cos cos c b A a B -=及正弦定理得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -=， 得2sin cos sin cos cos sin sin()C A A B A B A B =+=+，A B C π++=，sin()sin 0A B C ∴+=≠，1cos 2A ∴=， A 为三角形的内角，3A π∴=．（2）根据（1）的结论， 11sin 22ABC S AD BCbc A ∆==， AD ∴=， 由余弦定理得：2221236cos 222b c a bc A bc bc+--==， 036bc ∴<（当且仅当b c =时等号成立）033AD ∴<．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：4(0.0080.0350.027)101a b a b =⎧⎨++++⨯=⎩， 解得0.024a =，0.006b =．（2）得分在[90，100]内的男生人数与女生人数的比为2:1，由频率分布直方图得得分在[90，100]内的频率为0.006100.06⨯=，∴得分在[90，100]内抽取0.061006⨯=人，其中男生有2643⨯=人，女生有1623⨯=人， 在该组中随机抽取2人进行交流，基本事件总数2615n C ==人，所抽取的两人中至少有一名女生的对立事件是所抽取的两人都是男生，∴所抽取的两人中至少有一名女生的概率24266311155C p C =-=-=． 【解答】解：（1）根据表中数据，销售单价每增加1百元，日销量减少10件，所以销售单价与销售量为一次函数的关系，故可设()f x kx b =+，由41105100k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得10k =-，150b =， 即()10150f x x =-+，又根据表中数据，日销售量和进货浮动价的积为一个固定常数90，考虑其为一个反比例函数关系，设()m d y y=，由题意可得90m =， 于是90()d y y =， （2）由1501000x x ->⎧⎨>⎩，可得015x <<，设单件产品的利润为P 百元， 则90909(()3)333()1501015P x d y x x x f x x x =-+=--=--=----， 因为015x <<，所以150x ->， 所以9(15)1215P x x =--++-， 又99152(15)61515x x x x-+-=--， 当且仅当91515x x-=-，即12x =时等号成立， 所以6126max P =-+=，故单件产品售价定为1200元时，单件产品的利润最大，为600元．【解答】解：（1）()2b f x x a x'=++，故f （1）1a =+，f '（1）2a b =++， 将点(1，f （1）)代入切线方程得21f ⨯-（1）20-=，得f （1）0=，所以，(1)10(1)22f a f a b =+=⎧⎨'=++=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩；（2）由（1）得：2()f x x x lnx =-+，当2m ，1x >时，要证不等式()()x m e e e f x -，即证12(1)x m e x x lnx ---+，先证：当1x >时，122(1)x e x x lnx ---+． 构造函数12()2(1)x g x e x x lnx -=--+-，其中1x >， 则1111()2212()x x x g x e x e x x x ---'=-+-=-+， 构造函数1()x h x e x -=-，其中1x >，则1()1x h x e -'=-，当1x >时，()0h x '>． 所以，函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，当1x >时，()h x h >（1）0=，则10x e x -->， 所以，当1x >时，()0h x '>，因此，函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，所以，()g x g >（1）0=， 那么，当1x >时，122(1)x e x x lnx -->-+， 则当2m 且1x >时，112(1)2(1)x x m e e x x lnx ---->-+， 因此，当2m ，1x >时，不等式()()x m e e e f x -恒成立．[选修4-4：坐标系与参数方程]【解答】解：（1）曲线1C 的参数方程为2(3x t t y t=+⎧⎨=⎩为参数，)t R ∈， ∴曲线1C 的普通方程为：360x y --=．曲线2C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+，即22cos 4sin ρρθρθ=+，2C ∴的直角坐标方程2224x y x y +=+，2C ∴的直角坐标方程为22(1)(2)5x y -+-=．（2）联立22360(1)(2)5x y x y --=⎧⎨-+-=⎩，得20x y =⎧⎨=⎩或33x y =⎧⎨=⎩， (2,0)M ∴，(3,3)N ，或(3,3)M ，(2,0)N ，||MN ∴=．[选修4-5：不等式选讲]【解答】解：（1）当0x <时，则()324f x x =-+，解得：203x -<， 当02x 时，则()24f x x =+，解得：02x ， 当2x >时，则()324f x x =-，此时无解， 综上，不等式的解集是2{|2}3x x -； （2）由（1）知，当0x <时，()322f x x =-+>， 当02x 时，则()22f x x =+， 当2x >时，则()324f x x =->， 故函数()f x 的最小值是2， 故2m =，即224a b +=， 则22411a b ++ 2222141(1)()51a b a b =++++ 222214(1)[5]51b a a b +=+++ 222214(1)9(52)515b a a b +++， 当且仅当22224(1)1b a a b +=+且224a b +=， 即2103a =，223b =取“=”， 故22411a b ++的最小值是95．。
文数参考答案
2019-2019学年高2019级高三“一诊”模拟考试数学试题（文科）一、选择题 CDCAB DACBD BA二、填空题：13．1 14．10 15．41n n + 16．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭三、解答题17．解：（Ⅰ）连接AC ，在ABC ∆中，由余弦定理知：2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠，则AC =………………………3分在ABC ∆中，由正弦定理知：sin sin BC ACCAB ABC=∠∠，得sin CAB ∠=分（Ⅱ）由题意知13sin 22ABC S AB AC ABC ∆=⋅∠=-……………………7分又由 AC CD ==ACD ∆为等腰三角形，作CE AD ⊥于E ，则DE AE =在Rt DCE ∆中，30ADC ∠=︒，则2DE =，则AD =分1sin 2ACD S AD DC ADC ∆=⋅∠=……………………11分 32ABC ACD ABCD S S S ∆∆=+=+四边形分 18．（Ⅰ）证明：因为90BAP ︒∠=，则PA AB ⊥， 又侧面PAB ⊥底面ABCD ， 面PAB面ABCD AB =，PA ⊂面PAB ，则PA ⊥面ABCD ………………………………2分BD ⊂面ABCD ，则PA BD ⊥………………………………3分又因为120BCD ∠=，ABCD 为平行四边形， 则60ABC ∠=，又AB AC =则ABC ∆为等边三角形，则ABCD 为菱形，则BD AC ⊥…………4分 又PAAC A =，则BD ⊥面PAC ，………………………… 5分BD ⊂面PBD ，则面PAC ⊥面PBD …………………………6分（Ⅱ）由平面AMC 把四面体P ACD -分成体积相等的两部分，则M 为PB 中点……7分由2AB AC ==，120BCD ︒∠=，得BD =分由（Ⅰ）知ABCD 为菱形，则122ABCD S =⨯=分又由（Ⅰ）知PA ⊥面ABCD ，则11233P A B C D A B C D V S PA -=⋅⋅=⋅=………10分则11133M ABCD ABCD V S d -=⋅⋅=⋅=分则3M PAB P ABCD M ABCD V V V ---=-=…………………………12分 19．解：（Ⅰ）众数为180……………………………1分 中位数0.50.060.120.321751751840.0340.034m --=+=+≈…………………………3分平均数18508.02101.020030.019034.018012.017006.0160=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X （个） …………………………5分（Ⅱ）跳绳个数在[155,165)内的人数为1000.066⨯=个跳绳个数在[165,175)内的人数为1000.1212⨯=个…………………6分按分层抽样的方法抽取9人，则[155,165)内抽取3人，[165,175) 内抽取6人…………7分 经列举得基本事件总数为36种…………………………9分经列举得发生事件包含基本事件数为3种…………………………10分则112P =………………………12分 20．解：（Ⅰ）由题意知可设过点()1,0-的直线方程为1x ty =-联立214x ty y x=-⎧⎨=⎩得：2440y ty -+=，又因为直线与抛物线相切，则0∆=，即1t =±…………………………………3分 当1t =时，直线方程为1y x =+，则联立得点P 坐标为()1,2………………………… 5分 （Ⅱ）设直线l 的方程为：2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y联立224x my y x=+⎧⎨=⎩得：2480y my --=，则0∆>恒成立，12128,4y y y y m =-+=，则()21212416y y x x ==，()21212444x x t y y m +=++=+…………………………… 7分由于圆M 是以线段AB 为直径的圆过点P ，则0PA PB ⋅=，()()121212121240x x x x y y y y -+++-++=…………………………… 8分24830m m ++=，则12m =-或32m =-…………………………………………10分则直线l 的方程为24y x =-+或2433y x =-+ ………………………………………12分 21. 解：解：（Ⅰ）由题知定义域为(),-∞+∞，()xf x e a '=-，a R ∈，………1分①当0a ≤时， ()'0f x >，()f x ∴在(),-∞+∞上单调递增，即增区间为(),-∞+∞； 则()f x 无极值；…………………3分②当0a >时，()=0xf x e a '=-的解为ln x a =，当(),ln x a ∈-∞时，()'0fx <，∴()f x 的减区间为(),ln a -∞；当()ln ,x a ∈+∞时，()'0f x >，∴()f x 的增区间为()ln ,a +∞．解：（Ⅰ）因为曲线M 的参数方程为2cos sin x y =⎧⎨=⎩ββ，则2214x y +=………… 1分()()22cos sin 14+=ρθρθ……………………………………………3分则曲线M 的极坐标方程为2243sin 1ρθ=+………………………………………4分表示以)(),为焦点，4为长轴长的椭圆………………………………5分（Ⅱ）由椭圆的对称性得：422AOB A B ABCD S S OA OB ρρ∆==⋅=四边形………6分联立2243sin 1θαρθ=⎧⎪⎨=⎪+⎩得：2243sin 1A ρα=+…………………………7分 联立22243sin 1πθαρθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩得：2243cos 1B ρα=+……………………8分 则22222244256443sin 13cos 19sin 216A B ABCD S ρρααα==⨯⋅=+++四边形……9分 由于[]2sin 20,1α∈，则2256256,2516ABCD S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦四边形， 则16,45ABCD S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦四边形……………………………………10分 23．解：（Ⅰ） ()()312121212=+--≥++-=x x x x x f …………… 1分存在R x ∈0，使得()520+≤+m m x f 532+≤+∴m m …………… 3分21,022≤≤-∴≤--∴m m m …………………………… 5分（Ⅱ）由（1）知:2|max =m 233=+∴b a ……………………… 6分而043222>⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-b b a b a +<∴0①……………………… 8分()()()()[]()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++≥-++=+-+=+=∴22222334332b a b a b a ab b a b a b ab a b a b a ()341b a +=()83≤+∴b a 2≤+∴b a ②………………………9分 由①②20≤+<∴b a ………………………………… 12分。
四川省成都市2019届高三第一次诊断性检测数学(文)试题(附解析)
2019届高三第一次诊断性检测数学（文）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用集合并集的定义求解即可.【详解】因为,,所以，根据集合并集的定义可得，故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.2.复数为虚数单位)在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内对应点的坐标即可得结果.【详解】,复数在复平面内对应的点的坐标为,位于第四象限，故选D .【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为真角三角形),则该三棱锥的体积为（）A. 4B. 8C. 16D. 24【答案】B【解析】【分析】根据三视图知，三棱锥的一条长为6的侧棱与底面垂直，底面是直角边为2、4的直角三角形，利用棱锥的体积公式计算即可.【详解】由三视图知三棱锥的侧棱与底垂直，其直观图如图，可得其俯视图是直角三角形，直角边长为2，4，，棱锥的体积，故选B.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.4.设实数满足约束条件,则的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 6【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】作出实数满足约束条件表示的平面区域（如图所示：阴影部分），由得，由得，平移，直线过点时，直线在轴上截距最小，，故选A.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.执行如图所示的程序框图,则输出的值是（）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值. 【详解】执行程序框图，时，；时，；时，；时，，，满足循环终止条件，退出循环，输出的值是9，故选C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.设为等差数列的前项和,且,则（）A. 28B. 14C. 7D. 2【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质求得，利用等差数列的前项和公式结合等差的性质可得结果.【详解】因为，所以，故选B.【点睛】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前项和公式，属于中档题.求解等差数列有关问题时，要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系.7.下列判断正确的是（）A. “”是“”的充分不必要条件B. 函数的最小值为2C. 当时，命题“若,则”的逆否命题为真命题D. 命题“,”的否定是“,”【答案】C【解析】【分析】利用特殊值判断；利用基本不等式的条件“一正二定三相等”判断，利用原命题与逆否命题的等价性判断；利用全称命题的否定判断.【详解】当时，成立，不成立，所以不正确；对，当，即时等号成立，而，所以,即的最小值不为2，所以不正确；由三角函数的性质得“若,则”正确，故其逆否命题为真命题，所以正确；命题“,”的否定是“,”，所以不正确，故选C.【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要考查充分条件与必要条件、基本不等式的性质、原命题与逆否命题的等价性、全称命题的否定，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的、自己掌握熟练的知识点入手、结合特殊值的应用，最后集中精力突破较难的命题.8.已知函数,若,,,则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数,由导函数的符号可得在上为增函数，由，利用单调性可得结果. 【详解】因为函数，所以导数函数，可得在上恒成立，所以在上为增函数，又因为，所以，故选D.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性，以及利用单调性比较函数值的大小.函数的单调性常用判断方法有定义法，求导法，基本函数的单调性法，复合函数的单调性法，图象法等.9.在各棱长均相等的直三棱柱中,已知M是棱的中点,是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】【分析】以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的正切值．【详解】解：各棱长均相等的直三棱柱中,棱长为 2,以为原点,为轴,为轴,建立空间直角坐标系，则，，，，,，,设异面直线与所成角为，则，．异面直线与所成角的正切值为．故选：．【点睛】本题考查异面直线所成角的正切值的求法,考查空间中线线、线面,面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题．10.齐王有上等,中等,下等马各一匹；田忌也有上等,中等,下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,若有优势的马一定获胜,则齐王的马获胜的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛 ,利用列举法求出基本事件有9种，齐王的马获胜包含的基本事件有6种，利用古典概型概率公式可求出齐王的马获胜的概率.【详解】设齐王上等、中等、下等马分別为，田忌上等、中等、下等马分别为，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,基本事件有：，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有：，共 6种,齐王的马获胜的概率为，故选C.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.11.已知定义在上的函数的图像关于直线对称，且当时,.过点作曲线的两条切线，若这两条切线相互垂直，则函数的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据两条切线垂直可知，其中一条切线的倾斜角为，斜率为.对函数求导后，利用斜率和切线方程，求得的值，再根据单调性求得函数的最小值. 【详解】由于函数关于直线对称，且过点的函数切线相互垂直，根据对称性可知，一条切线的倾斜角为，斜率为.设切点为，，故，故切线方程为.依题意可知，斜率①，将代入切线方程得②，联立①②解得.故函数为，导数为，函数在时单调递增，且函数关于对称，故在处取得最小值为.故选B.【点睛】本小题主要考查利用切线方程求函数的解析式，考查利用导数求函数的最小值，属于中档题.12.设椭圆：的左，右顶点为，.是椭圆上不同于 ，的一点，设直线，的斜率分别为，，则当 取得最小值时，椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】设出的坐标,得到(用,表示,求出，令，则． 利用导数求得使取最小值的，可得，则椭圆离心率可求 ．【详解】解：，，设，，则，则，，，，令，则．，当时， 函数取得最小值（2）．．，故选：．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线的右焦点为,则点到双曲线的一条渐近线的距离为_____.【答案】1【解析】【分析】由可得焦点坐标与渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得结果.【详解】双曲线的，所以,设双曲线的一条渐近线方程为，则到渐近线的距离为，故答案为1 .【点睛】本题主要考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程，以及点到直线的距离公式的应用，属于中档题. 若双曲线方程为，则渐近线方程为.14.已知函数是奇函数,则实数的值为_____.【答案】2【解析】【分析】由函数是奇函数可得，求出的值，再验证所求函数的奇偶性即可.【详解】的定义域为，且是奇函数，，，此时，是奇函数，符合题意，故答案为2.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.15.设为数列的前项和,且,,则_____.【答案】32【解析】【分析】由可得，，两式相减可化为，可得 (首项不符合通项），从而可得结果.【详解】为数列的前项和，且,，①则当时，,②-②得 ,所以 (常数），则数列是从第二项起，公比2的等比数列，求得，(），故，当时，，故答案为32.【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前项和，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等差数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意验证的情况.16.已知为△的重心，过点的直线与边分别相交于点.若,则与的面积之比为________.【答案】【解析】【分析】根据，求得的比值，然后利用三角形的面积公式，求得两个三角形面积的比值.【详解】设，，由于三点共线，故.由于与有公共角，由三角形面积公式得. 【点睛】本小题主要考查三点共线的向量表示，考查三角形的面积公式，考查三角形重心的性质，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17.在中,内角所对的边分别为，已知,.（1）求的值；（2）若,求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，利用余弦定理可得,结合可得结果；（2）由正弦定理，, 利用三角形内角和定理可得，由三角形面积公式可得结果.【详解】（1）由题意，得.∵.∴,∵，∴ .（2）∵，由正弦定理，可得.∵a>b，∴,∴.∴.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 18.如图,四棱锥的底面是边长为2的菱形,,平面,点是棱的中点.（1）证明：平面；（2）当时,求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，则，分别为，中点，由三角形中位线定理可得 ,从而可得结论；（2）取线段的中点，先证明垂直于平面，则点到平面的距离即为的长度. 结合A，可得点到平面的距离即为的长度. 由为的中点，可得点到平面的距离即为的长度，利用即可得结果.【详解】（1）如图，连接AC交BD于点O，连接MO.∵M，O分别为PC，AC中点，∴PA∥MO ,∵PA不在平面BMD内，MO平面BMD.∴PA∥平面BMD.（2）如图，取线段BC的中点H，连结AH.∵ABCD是菱形，，∴AH⊥AD.∵PA⊥平面ABCD，∴AH⊥PA.又PA∩AD=A，PA，AD平面PAD.AH⊥平面PAD.∴点H到平面PAD的距离即为AH的长度.∴BC∥AD，∴点C到平面PAD的距离即为AH的长度.∵M为PC的中点，∴点M到平面PAD的距离即为AH的长度..【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、棱锥的体积，属于中档题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.19.在2018年俄罗斯世界杯期间,莫斯科的部分餐厅经营了来自中国的小龙虾,这些小龙虾标有等级代码.为得到小龙虾等级代码数值与销售单价之间的关系,经统计得到如下数据：等级代码数值销售单价元（1）已知销售单价与等级代码数值之间存在线性相关关系,求关于的线性回归方程(系数精确到0.1)；（2）若莫斯科某餐厅销售的中国小龙虾的等级代码数值为98，请估计该等级的中国小龙虾销售单价为多少元？参考公式：对一组数据,，····,其回归直线的斜率和截距最小二乘估计分别为：,.参考数据：,.【答案】（1）；（2）28.5.【解析】【分析】(1)根据所给的数据，做出变量的平均数，根据最小二乘法所需要的数据做出线性回归方程的系数,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，可得线性回归方程； (2)根据上一问做出的线性回归方程,将代入线性回归方程求出对应的的值，即可估计该等级的中国小龙虾销售单价.【详解】（1）由题意得，，，，.所以回归方程为；（2）由（1）知当时，，故估计该等级的中国小龙虾销售单价为元.【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20.已知点和,且,动点满足，记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设不经过点的直线与曲线相交于两点,若直线与的斜率之和为1,求实数的值. 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，由，可得，代入，整理即可得结果；（2）设.联立，可得，根据直线与的斜率之和为1,利用斜率公式，结合韦达定理可得，从而可得结果.【详解】（1）设.∵，∴,即∴.∵,∴∴曲线的方程（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）.联立，消去y，得.由，可得.又直线y=2x+t不经过点H（0，1），且直线HM与HN的斜率存在，，则且，，由，解得，的值为3.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求解方法，以及直线与椭圆的位置关系，属于难题. 求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.21.已知函数.（1）当时,讨论函数的单调性；（2）当时,若不等式在时恒成立,求实数的取值范围.【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）.【解析】【分析】（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）当时，不等式在时恒成立,等价于在(1，+∞)上恒成立，令，先证明当时，不合题意，再分两种情况讨论即可筛选出符合题意的实数的取值范围.【详解】（1）由题意，知,∵当a<0，x>0时，有.∴x>1时，；当0<x<1时，.∴函数f(x)在(0，1)上单调递增，在（1，+∞）上单调递减.（2）由题意，当a=1时，不等式在x∈(1，+∞)时恒成立.整理，得在(1，+∞)上恒成立.令.易知，当b≤0时，，不合题意.∴b>0又，.①当b≥时，.又在[1，+∞)上单调递减.∴在[1，+∞)上恒成立，则h(x)在[1，+∞)上单调递减.所以,符合题意；②时，,,又在[1，+∞)上单调递减,∴存在唯一x0∈(1，+∞)，使得.∴当h(x)在(1，x0)上单调递增，在(x0，+∞)上单调递减.又h(x)在x=1处连续，h(1)=0，∴h(x)>0在(1，x0)上恒成立，不合题意.综上所述，实数b的取值范围为[，+∞ ).【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间与最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线的极坐标方程是.（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设点.若直与曲线相交于两点,求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数可求直线的普通方程，极坐标方程展开后，两边同乘以，利用，即可得曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义即可得结果.【详解】（1）将直线l的参数方程消去参数t并化简，得直线l的普通方程为.将曲线C的极坐标方程化为.即.∴x2+y2=2y+2x.故曲线C的直角坐标方程为.（2）将直线l的参数方程代入中，得.化简，得.∵Δ>0，∴此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2.由根与系数的关系，得，，即t1，t2同正.由直线方程参数的几何意义知,.【点睛】本题主要考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于x的方程无实数解,求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）由（1）知函数的最小值为为，若关于的方程无实数解，解不等式，即可得结果.【详解】（1）由题意，知，由f(x)-3<0，可得，或，或.解得，或.∴不等式的解集为 .（2）由（1）知函数f(x)的值域为[，+∞）.若关于x的方程无实数解，则m2+2m<0，解得-2<m<0，∴实数m的取值范围为(-2，0).【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2019年四川省眉山市高考数学一诊试卷(文科)
2019年四川省眉山市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A {x|log x2}，B {x|2x 2}，则A2B ()A．(2,2)B．(0,2)C．(2，4]D．(0，4]2．（5分）复数z 34i34i(i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知(,2)，sin3，则sin()(54)A．7210B．7210C．210D．2104．（5分）函数y x sin x部分图象大致为()A．B．C．D．5．（5分）中国古代的数学家不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理进行证明．三国时期吴国数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明．在“赵爽弦图”中，以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的那个正方形组成．如图，正方形ABCD是某大厅按“赵爽弦图”设计铺设的地板砖．已知4个直角三角形的两直角边分别为a 30cm，b 40cm．若某小物体落在这块地板砖上任何位置的机会是均等的．则该小物体落在中间小正方形中的概率是()A ．125B ．112C ．625 D ．24 256．（5 分）下列函数中，在区间 (0, )上为增函数的是 ()A ． y1xB ． y2 xC ． y x cos xD ． yx 33x7．（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的值为 ()A ．7B ．8C ．9D ．108．（5 分）若 x， y 满足约束条件x y … 1 x y … 3 ，则 z 2 x y 的最大值为 ()x (1)A ．2B ．4C ．5D ．69．（5分）如图，正方体 ABCD A B C D 的棱长为 1，点 P 是面 A B C D 内任意一点，则四棱锥P ABCD 的1 1 1 11 1 1 1体积为 ()A ．1 6B ．1 3C ．1 2D ．2 310．（5 分）已知 a log 2 11 ，b2 3 ， c( ) 2 32 ，则 a ， b ， c 的大小关系为 ()A ． a b cB ． a c bC ． b c aD ． c b a11．（5分）如图，正三棱锥D ABC 的四个顶点均在球 O 的球面上，底面正三角形的边长为 3，侧棱长为 2 3 ， 则球 O 的表面积是 ()1A ． 4B ．323C ． 16D ． 3612．（5 分）已知点 A (1,0) 是抛物线 y2 px 的准线与 x轴的交点， F 为抛物线的焦点， P 是抛物线上的动点，则| PF || PA |的最小值为 ()A ．1 3B ．22C ．4 5D ．3 2二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13．（5 分）椭圆x 2y 21(a 3) 的焦距为． a 2 a 2 914．（5 分）若向量 a (1,1)， b (2,3) ， c (3, x ) 满足条件 (2a b ) c 2 ，则 x．15．（5 分）张明同学进入高三后，5 次月考数学成绩的茎叶图如图所示，那么他这 5 次月考数学成绩的平均 数为．16．（5 分）已知函数 f ( x ) ae2 x 1有两个零点，则 a的取值范围是．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考每个试题考生都必 须作答．第 22、23 题为选考题，考生依据要求作答．17．（12 分）设数列 {a }的前 n n项和为 S ，且 Sn n n2 16n m ．（1）当2 时，求通项公式 a ；n（2）设 {a }的各项为正，当 m 15 时，求 的取值范围． n18．（12 分）已知 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a， b ， c，且 a cos B (2c b )cos A ．（1）求角 A 的大小；（2）若 AD 为 BC 边上的高， a 6 ，求 AD 的范围．19．（12 分）某地方教育部门对某学校学生的阅读素养进行检测，在该校随机抽取了 100 名学生进行检测， 将得到的成绩百分制按照 [50 ， 60) ， [60 ， 70) ， [70 ， 80) ， [80 ， 90) ， [90 ，100] 分成 5 组，制成如图 2x（1）求a，b的值；（2）已知得分在[90，100]内的男生人数与女生人数的比为2:1抽取的两人中至少有一名女生的概率．，若在该组中随机抽取2人进行交流，求所20．（12分）某商家销售某种商品，已知该商品进货单价由两部分构成：一部分为每件产品的进货固定价为3百元，另一部分为进货浮动价，据市场调查，该产品的销售单价与日销售量的关系如表所示：销售单价x （单位：百元）日销售量y（单位：件）45678 110100908070该产品的进货浮动价与日销售量关系如下表所示：日销售量y（单位：件）进货浮动价d（单位：百元）120100906045 0.750.91 1.52（1）分别建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映该商品日销售量y与销售单价x 动价d与日销售量y的关系d(y)；的关系f(x)、进货浮【注：可选的函数模型有一次函数、二次函数、反比例函数指数函数、对数函数、幂函数】（2）运用（1）中的函数模型判断，该产品销售单价确定为多少元时，单件产品的利润最大？【注：单件产品的利润单件售价（进货浮动价进货固定价）】21．（12分）已知函数f(x)x2x y 20．，b的值；（1）求a2ax blnx(a,b R)，曲线y f(x)在点(1，f （1）)处的切线方程为（2）求证：当m…2，x 1时，不等式m(e[选修4-4：坐标系与参数方程]x e)…e f(x)恒成立．22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1x 2ty 3t(t为参数，t R)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos 4sin ．2（1）求C的普通方程，C的直角坐标方程；1 2（2）曲线C与C交于点M，N ，求|MN|的值．1 2[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f(x)2|x||x 2|．（1）解不等式f(x)…4；（2）设函数f(x)的最小值为m，若实数a、b满足a2b2m2，求41最小值．a2b212019年四川省眉山市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【解答】解：集合A {x|log x剟2}{x|0x4}，2B {x|2x 2}，则A B {x|2x4}(2，4]．故选：C ．34i (34i)2724【解答】解：z i34i (34i)(34i) 2525，z在复平面内对应的点的坐标为(故选：C ．724,)，在第三象限．2525【解答】解：(2，)，sin3，5c os 1sin4 2，5则sin(22)(sin cos )4210．故选：D．【解答】解：函数y x sin x是偶函数，可知B，C正确；当x (0,)时，函数y 0，可知函数的图象为：D．故选：D．【解答】解：如图，a 30c m，b 40cm，小正方形的边长为403010，大正方形的边长c a2b250．则小正方形面积为100，大正方形面积为2500现向大正方形内随机投掷一枚飞镖，则由几何概型概率计算公式得飞镖落在小正方形内的概率是：p 1001．250025故选：A．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y 1x，为反比例函数，在区间(0,)上为减函数，不能符合题意；对于B，y 2x1()2x，为指数函数，在区间(0,)上为减函数，不能符合题意；对于C，y x cos x，则y 1si n x…0，在R上为增函数，符合题意；对于D，y x33x，其导数y 3x233(x21)，在区间(0,1)上为减函数，不能符合题意；故选：C ．【解答】解根据题意运行程序得，i 1，S 0lg21g2；i 2，S 0lg2lg 32lg3；i 3，S 0lg2lg 34lg lg4 23；i 9，S lg101满足条件S (1)故选：C ．【解答】解：xx y (1)，y满足约束条件x y…3，作可行域如图，x (1)易知可行域为一个三角形，其三个顶点为A(2,1)，(1,2)，(1,0)，验证知在点A(2,1)时取得最大值2即当直线z 2x y过点A(1,0)时，z最大是5，故选：C ．【解答】解：正方体ABCD A B C D的棱长为1，1 1 1 1点P是面A B C D内任意一点，1 1 1 1点P到平面ABCD的距离d AA 1，1S正方形ABCD 111，四棱锥P ABCD的体积为：VP ABCD111AA S 11．333故选：B．【解答】解：a log212log102，1b 23201，110c ()2()01．33a c b．故选：B．【解答】解：如图，设OM x，OB OD rAB 3，BM 3，又DB 23，D M 3，在Rt OMB中，(3x)x 3，得：x 1，r 2，，S球O16，故选：C ．【解答】解：由题意可得，焦点F(1,0)，准线方程为x 1．过点P作PM垂直于准线，M为垂足，由抛物线的定义可得|PF ||P M|，1 正方形ABCD2 2则则|PF||PM |sin PAM，PAM为锐角．|PA||PA|故当PAM最小时，则|PF||PA|最小，故当PA和抛物线相切时，可设切点P(a，2a)，|PF||PA|的最小．则PA的斜率为k 2aa 1，而函数y 2x的导数为y(2x )2a1即为，a 1a求得a 1，可得P(1,2)，则|PM |2，|PA |22，|PM|22即有sin PAM ，|PA|2221x，由抛物线的对称性可得P为(1,2) 时，同样取得最小值故选：B．22．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分x2y2【解答】解：椭圆a2a291(a 3)，可得：c a2a293，可得椭圆x2a2ay2291(a 3)的焦距为：6．故答案为：6．【解答】解：a (1,1)，b (2,3)，c (3,x)，2a b (4,5)，(2a b)c 2，则435x 2，x 2故答案为：2【解答】解：这5次月考数学成绩分别是：105，115，118，120，122，1故平均数是：(105115118120122)1165，故答案为：116．【解答】解：根据题意，f(x)ae x 2x 1，其导数f (x)ae x 2，若函数f(x)ae x 2x 1有两个零点，分2种情况讨论：①，当a0时，f (x)ae x 20，f(x)在R上为减函数，则函数f(x)最多只有1个零点，不符合题意；②，当a 0时，令f (x)ae x 20，解可得x ln 2a，22分析可得：在(,l n)上，f (x)0，函数f(x)为减函数，在(lna a数，，)上，f (x)0，函数f(x)为增函则当x ln 2a时，函数f(x)取得最小值，且当x 上，f(x)，当x 上，f(x)，2若函数f(x)ae 2x 1有两个零点，则必有f(ln )0，即a ea2，解可得：ae2)；又由a 0，则a的取值范围为(0,e ln2a22(ln)10 ，a综合可得：a的取值范围为(0,2e )；故答案为：(0,2e )．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．【解答】解：（1）数列{a}的前nn 项和为S，且Sn n n216n m．当2时，S 2n216n m①．x所以：Sn 12(n 1)216(n 1)m②，①②得：a S Sn n n1，4n 1814m(n 1)故：a4n 18(n…2)（2）由m 15时，．当n 1时，a S1 11，当n…2时，a S Sn n n12n 16，所以：由于数列的各项为正数，10故：20，2216016解得：3故的取值范围是：{|163}．【解答】解：（1）由(2c b)cos A a cos B及正弦定理得(2sin C sin B)cos A sin A cos B，得2sin C cos A sin A cos B cos A sin B sin(A B)，A B C ，s in(A B)sin C 0，c os A12，A为三角形的内角，A3．（2）根据（1）的结论，SABC11AD BC bc sin A，22AD312bc，1b2c2a22bc 36由余弦定理得：cos A …，22bc2bc0bc…36（当且仅当b c时等号成立）0AD…33．na 4b(0.008a 0.0350.027b)101，解得a 0.024，b 0.006．（2）得分在[90，100]内的男生人数与女生人数的比为2:1，由频率分布直方图得得分在[90，100]内的频率为0.006100.06，得分在[90，100]内抽取0.061006人，其中男生有6214人，女生有62人，33在该组中随机抽取2人进行交流，基本事件总数n C2615人，所抽取的两人中至少有一名女生的对立事件是所抽取的两人都是男生，所抽取的两人中至少有一名女生的概率p 1C2 6 3 4 1．C2155 6【解答】解：（1）根据表中数据，销售单价每增加1百元，日销量减少10件，所以销售单价与销售量为一次函数的关系，故可设f(x)kx b，4k b 110由，解得k 10，b 150，5k b 100即f(x)10x 150，又根据表中数据，日销售量和进货浮动价的积为一个固定常数90，考虑其为一个反比例函数关系，设d(y)由题意可得m 90，my，于是d(y)90y，（2）由15010x 0x 0，可得0x 15，设单件产品的利润为P百元，则P x (d(y)3)x因为0x 15，所以15x 0，909093x 3x 3 ，f(x)15010x15x所以P (15x915x)12，又15x99…2(15x)15x15x6，当且仅当15x 9，即x 12时等号成立，所以Pmax6126，故单件产品售价定为1200元时，单件产品的利润最大，为600元．b【解答】解：（1）f (x)2x a ，故f（1）a 1，f （1）a b 2，x将点(1，f （1）)代入切线方程得21f（1）20，得f（1）0 ，所以，a 1；b 1f(1)a 10f (1)a b 22，解得（2）由（1）得：f(x)x2x lnx，当m…2，x 1时，要证不等式m(e x e)…e f(x)，即证m(e x 11)…x2x lnx，先证：当x 1时，2(e x 11)…x2x lnx．构造函数g(x)2(e 1)x x lnx，其中x 1，则g (x)2e x 12x 11x 12(e x 1x)x x，构造函数h(x)e x 1x，其中x 1，则h(x)e x 11，当x 1时，h(x)0．所以，函数h(x)在(1,)上单调递增，当x 1时，h(x)h（1）0，则e所以，当x 1时，h(x)0，因此，函数g(x)在(1,)上单调递增，所以，g(x)g（1）0，x 1x 0，那么，当x 1时，2(e x 11)x2x lnx，则当m…2且x 1时，m(e 1)…2(e 1)x x lnx，因此，当m…2，x 1时，不等式m(e[选修4-4：坐标系与参数方程]x e)…e f(x)恒成立．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为1x 2ty 3t(t为参数，t R)，曲线C的普通方程为：3x y 60．1曲线C的极坐标方程为2cos 4sin ，2即22cos 4sin ，C的直角坐标方程x y 2x 4y，2C的直角坐标方程为(x 1) 2(y 2)25．x 12x 1x 122 22（2）联立3x y 60(x 1)2 (y 2)2 5x 2x 3，得或，y 0y 3M(2,0)，N(3,3)，或M(3,3)，N(2,0)，|M N |(32)2(30)210．[选修4-5：不等式选讲]【解答】解：（1）当2x 0时，则f(x)3x 2…4，解得：…x 0，3当0剟x2时，则f(x)x 2…4，解得：0剟x2，当x 2时，则f(x)3x 2…4，此时无解，2综上，不等式的解集是{x |剟x2}3；（2）由（1）知，当x 0时，f(x)3x 22，当0剟x2时，则f(x)x 2…2，当x 2时，则f(x)3x 24，故函数f(x)的最小值是2，故m 2，即a2b24，41则a2b21141(a2b21)()5a2 b 2 114(b21)a2[5]5a2b2114(b21)a29厖(52) ，5a2b215当且仅当4(b21)a2a2b21且a2b24，即a2102，b2取“”，33故419的最小值是．a2b215。
2019届四川省四市高三第一次诊断性联考数学试题Word版含解析
2019届四川省四市高三第一次诊断性联考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}9,U x x x N +=∈≤，集合{}1,2,3A =，{}3,4,5,6B =，则()U A B ⋃=ð（ ）A ．{}3B ．{}7,8C ．{}7,8,9D ．{}1,2,3,4,5,6 【答案】C考点：集合的并集与补集运算．2.已知i 是虚数单位，若()113z i i +=+，则z =（ ）A ．2i +B ．2i -C ．1i -+D ．1i -- 【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得13(13)(1)21(1)(1)i i i z i i i i ++-===+++-，故选A ． 考点：复数的运算．3. 若3sin 052a πα⎛⎫= ⎪⎝⎭＜＜，则sin 6a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A【答案】B 【解析】试题分析：因为02απ<<，3sin 5α=，所以4cos 5α=，所以sin()sin cos cos sin 666αααπππ+=+＝341552⨯=，故选B ． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、两角和的正弦公式．4.已知命题p ，q 是简单命题，则“p q ∨是真命题”是“p ⌝是假命题”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分有不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：由p q ∨是真命题，可得p 真q 假或p 假q 真或p 真q 真；由p ⌝是假命题，知p 为真命题，则p q ∨是真命题，所以已知命题p ，q 是简单命题，则“p q ∨是真命题”是“p ⌝是假命题”的必要不充分条件，故选B ．考点：1、充分条件与必要条件；2、命题的真假．5.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =，若点P 为CD 的中点，且AP AB AE λμ=+，则λμ+=（ ）A ．3B ．52C ．2D ．1 【答案】B考点：向量的坐标运算．6.如图，是某算法的程序框图，当输出29T ＞时，正整数n 的最小值是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C考点：程序框图．【方法点晴】对于循环结构有两种形式应用，其中当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型是先循环后判断，此类问题的解答的关键是根据每次循环，把握好判断的条件，准确计算S的结果，直到最后终止循环，输出结果．7.从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（）A．23B．35C．12D．25【答案】D 【解析】试题分析：从1,3,5,7,9中选3个数字，有3510C=种不同选法，从2,4,6,8中选2个数字，有246C=种不同选法，共组成3255457200C C A=个不同的五位数，其中偶数的个数为314153442880C C A C=，所以该五位数为偶数的概率为2880272005＝，故选D．考点：1、排列与组合的应用；2、古典概型．8.已知数列{}n a 满足()()1116,26,n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+⎪⎪=⎝⎭⎨⎪⎩＜≥若对于任意的*n N ∈都有1n n a a +＞，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．17,212⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】试题分析：因为1n n a a +>恒成立，又数列在6n ≥时为等比数列，所以01>>a ．当102a <≤时，6n ≥，n a 递减，n a a ≤，当6n <，n a 为递增数列，不满足1n n a a +>；当112a <<时，6n ≥，n a 递减，n a a ≤，当6n <，n a 为递减数列，又因1n n a a +>成立，所以65a a <，即1()512a a <-⨯+，解得712a <，所以17212a <<，故选B ． 考点：数列的单调性．9.2cos 0444x x x m +-≥对于,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A．(,-∞ B．⎛-∞ ⎝⎦ C ．⎣ D．)+∞ 【答案】B考点：1、倍角公式；2、两角和的正弦公式；3、正弦函数的性质．【方法点睛】解决恒成立问题的关键是将其进行等价转化，使之转化为函数的最值问题,或者区间上的最值问题，使问题得到解决．具体转化思路为：若不等式()f x A >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上()f x 的最小值大于A ；若不等式()f x B <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上()f x 最大值小于B ．10.如图，在三棱锥A BCD -中，已知三角形ABC 和三角形DBC 所在平面互相垂直，AB BD =，23CBA CBD π∠=∠=，则直线AD 与平面BCD 所角的大小是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】B考点：直线与平面的所成角．11.椭圆()222210x y a b a b +=＞＞的一个焦点为F ，该椭圆上有一点A ，满足OAF ∆是等边三角形（O 为坐标原点），则椭圆的离心率是（ ）A 1B ．21 D ．2【答案】A 【解析】试题分析：不妨设F 为椭圆的右焦点，点A 在第一象限内，则由题意，得()2c A ，代入椭圆方程，得22223144c c a b+=，结合222b a c =-，化简整理，得4224840c a c a -+=，即42840e e -+=，解得1e =，故选A ．考点：椭圆的几何性质．【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．12.已知函数()y f x =与()y F x =的图象关于y 轴对称，当函数()y f x =和()y F x =在区间[],a b 同时递增或同时递减时，把区间[],a b 叫做函数()y f x =的“不动区间”，若区间[]1,2为函数2x y t =-的“不动区间”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(]0.2B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)1,24,2⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦【答案】C考点：1、新定义；2、函数的图象． y=|2x-t|第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.二项式42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．【答案】24 【解析】试题分析：二项式展开式的通项公式为44241442()2rrr r r r r T C x C x x---+=⋅=．令240r -=，得2r =，所以二项式42x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为224224C =．考点：二项式定理．14.学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“A ，D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“是C 作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ． 【答案】B考点：归纳与推理．15.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球面的面积为 ．【答案】48π 【解析】试题分析：由三视图知，该几何体为一个底面腰长为4的等腰直角三角形、高为4的三棱锥，且有一侧棱与底面的两腰两两垂直，所以可将此三棱锥补形为棱长为4的正方体，所以该三棱锥外接球的直径2R ＝=R =2448R π=π．考点：1、空间几何体的三视图；2、球的表面积．【思路点晴】求解几何体外接球的表面积和体积问题的关键在于找到球心和求出半径.找外接球圆心的方法是：先找到一个面的中心，如本题的1O ，然后过中心做这个面的垂线，球心就在这条垂线上，然后假设球心的位置，根据球心到表面的距离相等列方程，从而求出半径．16.若一直线与圆22240x y x y a +--+=和函数24x y =的图象相切于同一点，则a 的值为 ．【答案】3 【解析】试题分析：设切点为00(,)P x y ，则由24x y =，得2x y '=，所以切线的斜率为02x ，又点P 在函数24x y =的图象上，所以204x y = ①．化圆的方程为22(1)(2)5x y a -+-=-，则圆心(1,2)C 与点00(,)P x y 连线的斜率000212PC y xk x -==-- ②．联立①②解得002,1x y ==，代入圆的方程解得3a =． 考点：1、直线与圆的位置关系；2、导数的几何意义．【思路点晴】求函数的切线方程的注意事项(1)首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点；(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组；(3)在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos 0a b C c B ++=． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin cos A B 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）23C π=；（Ⅱ）⎛ ⎝⎭．考点：1、正弦定理；2、两角和与差的正弦与余弦公式．18.（本小题满分12分）张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如下表：（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的线性回归方程，分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况，如17岁之前都符合这一变化，请预测张三同学15岁时的身高．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()111211ni ni xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-．【答案】（Ⅰ）13762y x =+；（Ⅱ）173．5cm ． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先根据表格与公式求得相关数据，然后代入线性回归方程求得a ，由此求得线性回归方程；（Ⅱ）将15x =代入（Ⅰ）中的回归方程即可求得张三同学15岁时的身高． 试题解析：（Ⅰ）由题意得()178910111213107x =++++++=，()11211281351411481541601417y =++++++=． ()721941014928i i x x =-=++++++=∑，()()()()()()()()71320213160017213319182iii xxy y =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，所以()()()12118213282ii i i i xx y y b x xππ==--===-∑∑，1314110762a yb x =-=-⨯=， 所求回归方程为13762y x =+． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1302b =＞， 故张三同学7岁至13岁的身高每年都在增高，平均每年增高6．5cm ． 将15x =代入（Ⅰ）中的回归方程，得131576173.52y =⨯+=， 故预测张三同学15岁的身高为173．5cm ． 考点：线性回归方程．19.（本小题满分12分）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ＞时，()()313f x x ax a R =+∈，且曲线()f x 在12x =处的切线与直线314y x =--平行． （Ⅰ）求a 的值及函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()y f xm =-在区间⎡-⎣上有三个零点，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）1a =-，()313f x x x =-；（Ⅱ）2,03⎛⎤- ⎥⎝⎦．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()36f -=-，()213f -=，()213f =-，0f =，所以函数()y f x m =-在区间⎡-⎣上有三个零点，等价于函数()f x 在⎡-⎣上的图象与y m =有三个公共点．结合函数()f x 在区间⎡-⎣上大致图象可知，实数m 的取值范围是2,03⎛⎤- ⎥⎝⎦． 考点：1、导数几何意义；2、函数的零点；3、函数的图象．【知识点睛】对于函数零点的判定：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有()()·0f a f b <，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点,即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根．20.（本小题满分12分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()1n a n N +∈︒． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()12n n n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）1431499n n n T +-=+⋅．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()212122224an n n n n n b a n n n -=+⋅=⋅=⋅=⋅． 所以231424344n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅，()23414142434144n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅， 两式相减得()2311414344444414n nn n n T n n ++--=++++-⋅=-⋅-141433n n +⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭，所以1431499n n n T +-=+⋅． 考点：1、等差数列的定义及通项公式；2、错位相减法求数列的和．【方法点睛】对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列，此法称为辅助数列法．常用转化方法：变换法、待定系数法、加减法、累加法、迭代法等．21.（本小题满分12分）已知函数()()x f x ae x a R =-∈，其中e 为自然对数的底数， 2.71828e =…． （Ⅰ）判断函数()f x 的单调性，并说明理由；（Ⅱ）若[]1,2x ∈，不等式()x f x e -≥恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）11,2e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭．（Ⅱ）由题意，问题等价于[]1,2x ∈，不等式x x ae x e --≥恒成立，即[]1,2x ∈，21xx xe a e+≥恒成立，令()21xx xe g x e +=，则问题等价于a 不小于函数()g x 在[]1,2上的最大值．由()()()()221214212x xx xxe exe e x e xxx e g x e '+-+--'==，当[]1,2x ∈时，()0g x '＜，所以函数()g x 在[]1,2上单调递减， 所以函数()g x 在[]1,2x ∈的最大值为()2111g e e=+， 故[]1,2x ∈，不等式()x f x e -≥恒成立，实数a 的取值范围为11,2e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭．考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题常用分离参数法，即将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围．一般地，()f x a ≥恒成立，只需min ()f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可．请从下面所给的22 , 23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线133cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）经过伸缩变换32xx y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，后的曲线为2C ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求2C 的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线3C 的极坐标方程为sin 16πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且曲线3C 与曲线2C 相交于P ，Q 两点，求PQ 的值．【答案】（Ⅰ）2cos ρθ=；（Ⅱ）3．（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲线2C 是以()1,0为圆心，半径为1的圆， 而曲线3C 为直线，直角坐标方程为320x -=． 曲线2C 的圆心()1,0到直线3C 的距离13021213d -⨯-==+， 所以弦PQ 的值为2212132⎛⎫-= ⎪⎝⎭考点：1、参数方程与极坐标方程之间的互化；2、直线与圆的位置关系． 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x b x =+--+，()2222g x x a c x b =+++-，其中a ，b ，c 均为正实数，且1ab bc ac ++=．（Ⅰ）当1b =时，求不等式()1f x ≥的解集； （Ⅱ）当x R ∈时，求证()()f x g x ≤． 【答案】（Ⅰ）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（Ⅱ）见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先将函数解析式写成分段形式，然后分段求解不等式，最后取它们的并集；（Ⅱ）首先利用三角绝对值不等式的性质求得函数()f x 的最大值与()g x 的最小值，然后利用基本不等式求证即可． 试题解析：（Ⅰ）由题意，当1b =时，()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x --⎧⎪=-⎨⎪⎩≤＜＜≥当1x -≤时，()21f x =-＜，不等式()1f x ≥无解；当11x -＜＜时，()21f x x =≥，解得12x ≥，所以112x ≤＜．当1x ≥时，()21f x =≥恒成立， 所以()1f x ≥的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．考点：1、绝对值不等式的解法；2、三角绝对值不等式的性质；3、基本不等式．。
2019年1月9日四川省高中2019届广安一诊眉山一诊遂宁一诊文科科数学试题文数答案
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眉山市高中2019届第一次诊断性考试
数学(文史类)
2019.01注意事项：
1.答题前，务必将自乙的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上
. 2.答选择题时，必须使用2B 格笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题有必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束，将答题卡上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、复数2)1(i 等于
A ．2+2i B.﹣2i C. 2﹣2i D.2i
2、对于以下判断
（1）命题“已知R y x,”，若x 2或y 3，则x + y 5”是真命题。
（2）设f(x)的导函数为f' (x)，若f' (x 0)，则x 0是函数f(x)的极值点。
（3）命题“R x ,e x ﹥0”的否定是：“R x ,e x ﹥0”。
（4）对于函数f (x)，g(x)，恒成立的一个充分不必要的条件是f(x)min g(x)max 。
其中正确判断的个数是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
3、执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为
A ．21
B ．43
C ．1411
D ．10
7
4、以下茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩
（单位：分）
已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则y x,的值分别为
A ．5,2
B ．5,5
C ．8,5
D ．8,8
5、设n m,是两条不同的直线，,是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A ．若, ,m ,n 则n
m
B ．若//,//,n n m a m
，则,m C ．若n m
，,m ,n 则,m D ．若,//m ,m ,n 则n
m //6、已知数列{a n }的前n 项和S n =2
n+1-2，等差数列{b n }中，b 2 = a 2，面b n+3+b n-1=2b n +4, (n 2,n N +), 则b n =
A. 2n+2
B.2n
C. n-2
D.2n-2 7、△ABC 的三内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c ，设向量),(s i n c a B p
,),sin (sin a b A C q .若,R 使,q p 则角C 的大小为A. 6 B.
32 C. 3 D. 28、设f(x)=(1+t e )x-t e 2. 其中R x
，t 为常数；集合M={x )(x f ﹤0，R x }，则对任意实常数t ，总有
A ．-3
M ，0M B ．-3M ，0M C ．-3M ，0M
D ．-3M ，0M 9、己知函数f(x)=R a a x
,3在[-1，1]上的最大值为M(a) ，则函数g(x)=M(x)-12x 的零点个数为
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10、节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的月秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在
4秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后它们第一次闪亮的时刻相差不超过
1秒的概率是A ．165
B ．16
9C ．41D ．167二、填空题：本大题共
5小题。
每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。
11、某几何体的三视图如图所示，则其体积为
_______。
12、已知定义在R 上的奇函数f (x)满足f(x+2)=-f(x)，则f(-6)的值为_______。
13、函数
f(x)=sin 2(x+4)-sin 2(x-4), x (6,3)的值域是_______。
14、从一个盒子中，有分别标有数字
1,2,3,4,5的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，则取出的卡片上的数字之积为偶数的概率为
_______。
15、已知集合M={ f (x)R y x y x f y x f y f x f ,),()()()(22}，有下列命题。