用傅里叶变换计算衍射的光强分布

龙岩学院学年论文（设计）论文题目用傅里叶变换计算衍射的光强分布学院物理与机电工程学院专业物理学（光电子技术方向）年级 2011级姓名徐武童学号 ********** 指导教师兑自强二0一三年四月十二日用傅里叶变换计算衍射的光强分布物理与机电工程学院 11物本2011042526徐武童指导老师：兑自强【摘要】：利用傅里叶变换式计算光的单缝和圆孔衍射的光强分布，根据计算结果利用MATLAB软件仿真模拟单缝和圆孔衍射及光强分布，分析计算和模拟结果得知衍射图样取决于缝宽或孔径的大小【关键词】：傅里叶变换；单缝；圆孔；衍射；光强分布目录前言1 1.傅里叶变换式 11.1一维变换式 21.2二维变换式 31.3三维傅里叶变换式 32. 用傅里叶变换计算衍射的光强分布 42.1计算圆孔衍射的光强分布 62.2计算单缝衍射的光强分布 73.光强分布曲线 83.1单缝衍射的光强分布曲线 83.2圆孔衍射的光强分布曲线 94.讨论104.1单缝衍射 104.2圆孔衍射 10总结11致谢110 前言衍射现象是波动光学中的重要知识，光的衍射的定义从广义上说是光在传播过程中，遇到障碍物时产生的偏离几何光学规律从而引起光强重新分布的现象，也称为绕射。

该定义指出光的衍射是一种区别于几何光学规律的光的传播现象。

当所选光学元件的尺度与波长相当时，光的传播现象明显不同于几何光学所描述的。

它也明确给出了产生衍射现象的条件“光波遇到障碍物”，对于任何一束光都会因在空间传播过程中遇到障碍物而使自由波面受损，从而改变波前后振幅，使光表现出衍射行为。

而傅里叶变换是一种特殊的积分变换，它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。

在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。

从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。

从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。

在现代光学发展的今天，如何运用傅里叶方法解决干涉、衍射和成像等问题成了至关重要的部分。

1 傅里叶变换式1.1 一维变换式某个空间变量的一维函数()x f ，可以表示为无穷多个谐波分量的线性组合：()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰∞∞00sin cos 1)(kxdk k B kxdk k A x f π（1）其中决定各空间频率()k 的贡献的权重因子()k A 和()k B 分别是()x f 的傅里叶余弦和正弦变换式，由下式给出： ()()⎰+∞∞-'''=x d x k x f k A cos , ()()⎰+∞∞-'''=x d x k x f k B sin (2)将（2）式代入（1）式中()()()dk x d x k x f kx dk x d x k x f kx x f '''+'''=⎰⎰⎰⎰∞∞∞∞sin sin 1cos cos 1ππ（3）由于()x k kx x k kx x x k '+'=-'sin sin cos cos cos ，上式可改写为()()()⎰⎰∞+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-''=cos 1dk x d x x k x f x f π（4）方括号中的量是k 的偶函数，因而改变外面的一个积分限得到()()⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-''=dk x x k x f x f cos 21)(π（5） 由于()()⎰⎰+∞∞-+∞∞-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-''0sin 2dk x d x x k x f iπ，把它与上式相加，并应用欧拉公式，得()()⎰⎰+∞∞--+∞∞-'⎥⎦⎤⎢⎣⎡''=dk e x d e x f x f ikx x ik π21（6） 由于可以写为()()⎰+∞∞--=dk e k F x f ikxπ21（7） 只要 ()()dx e x f k F ikx ⎰+∞∞-=（8）式（8）中已令x x ='，函数()k F 叫做()x f 的傅里叶变换式，用下面的记号来表示：()()}{x f F k F = (9)常常把()x f 和()k F 称为傅里叶变换式。

如果f 是时间的函数而不是空间变量的函数，为了在时域中得到相应的变换式偶，我们只是把x 换成t ，再把空间角频率k 换成时间角频率w ，即()()⎰+∞∞--=dw e k F t f iwt π21（10）以及()()dt e t f w F iwt ⎰+∞∞-=（11）1.2 二维变换式光学中一般涉及的信号，例如孔上的光场或者象平面上的通量密度分布，将傅里叶变换式推广到二维情况有()()()()y x yk x k i y x dk dk ek k F y x f y x ⎰⎰∞+-=,21,2π（12）或者()()()dxdy ey x f y x F yk x k i y x ⎰⎰∞+=,,（13）其中x k 和y k 分别是沿坐标轴方向的空间角频率。

1.3 三维傅里叶变换式 将傅里叶变换推广到三维情况有()()()()z y x z k y k x k i z y x dk dk dk ek k k F z y x f z y x )3,,21,,++-∞⎰⎰⎰=π（14）以及()()()⎰⎰⎰∞++=dxdydz ez y x f z y x F yk y k x k i z y x ,,,,（15）其中x k ，y k 和z k 分别是沿坐标方向的空间角频率。

2 用傅里叶变换计算衍射的光强分布光是一种电磁波，按jwt e 的规律随时间传播，电光源发出的是一组球面波，设光源位于坐标原点处，以速度v 在电容率为ε的介质中传播，当光到达半径为r 的求面时，光的场强E 是t r ,的函数，可以表示为()()()()[]kr wt j r E r t jw r E t r E -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=exp exp ,υ（16）其中λπυ2==w k 称为波数，()t r E , 为光矢量点光源从原点出发的球面波，能量密度为221E w ε=（17）以v 表示单位时间内光矢量所在空间的体积，则单位时间内通过整个球面的能量为V E W 221 ε=（18）而()0E k r E υ'= （19）式中0E 是与光源振动有关的常数，k '是与介质有关的常数，则()()[]kr wt j E rk t r E -'=exp ,0 （20）为简便，只考虑某时刻的振动，含时间的项jwt e 可省去。

在光学系统中，光从出射光瞳射出，取光瞳坐标为()00,y x ，观察平面的坐标为()y x ,，两坐标系相平行，原点在它们的公共垂线上，相距为z 。

见图（1）图（1）光瞳面上任意一点s ()00,y x 到观察面上的某点p ()y x ,的距离为()()[]2122020zy y x x r +-+-=（21）由（20）式知，光是从s 点以球面波jkre rk -'的形式传播到p 点的。

如果s 点振幅为E ()y x ,,则在P 点光的矢量为()()jkr e y x E rk y x E -'=00,, （22）为计算球面上p 点的光的场强，需要选取包含s 点在内的小面元00dy dx ，则()00001,),(dy dx e ry x E k y x E jkr -⎰⎰= （23）为便于计算，设光瞳与观察点面相距很远，取R r =,r 的近似值为()()[][]Ryy xx R y x R yy xx y x R zy y x x r x 0202021020222122020222+-++=--++=+-+-=（24）在远场衍射的情况下，即∞→R 时()Ry x k 222+-《1 且z R ≈，则()()()⎰⎰+=-ds zyy xx jk y x E zke y x E jkz]ex p[,,0000（25） 式（25）为远场近似情况下的衍射（也称之为夫琅禾费衍射）的公式。

式（25）与式（13）形式完全相同，级光源在p 点的E ()y x ,是光瞳函数E ()00,y x 的二维傅里叶变换式。

2.1 计算单缝衍射的光强分布当光源为线光源时，式（25）可以演化为()()000dx ex E zke x E zjkxx jkz⎰∞+∞--=（26）显然，式（26）和式（11）在形式上完全相同，切有以下对应关系：()()t f x E ↔0zkx w ↔式（24）可以记为()()}{0x E F zke x E jkz-=（27）可见，若要求观察平面上的光强分布，只要把表示出瞳光源的光强分布进行傅里叶变换，其中把傅里叶变换的w 用zkx置换即可。

也就是说只要计算出出瞳的傅里叶变换，就能求出观察面上的光强分布。

为简便，把式（26）前的常数省略，则()()000dx ex E x E zjkxx ⎰∞+∞-=（28）如果狭缝上有均匀照度，其值为A,则长度为a 2的狭缝上的振幅为()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=ax ax A x E 000,0,则()()wa jwA e e jw A dx Ae x E jwa jwa aa jwx sin 00=-==-+-⎰（29） 所以，长为a 2的狭缝光源在观察面上所形成的光强分布为()()()222222sin 4sin 4⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=•=*wa wa a A wa w A x E x E x I （30）2.2 计算圆孔衍射的光强分布圆孔上的夫琅禾费衍射，在光学仪器的研究中具有重要意义。

由（25）式知，在远场情况下，一个任意孔在p 点所产生的光的场强分布为()()()⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-000000exp ,,dy dx z yy xx jk y x E zke y x E jkz（36） 对于一个圆孔，由于对称性，所以在孔径平面和观察平面上都采用极坐标。

因此，令φρcos 0=x ，φρsin 0=y ，Φ=cos q x ，Φ=sin q y （37）因而微分面元现在是φρρd d dy dx =00（38）把（37）式和（38）式代入（36）式中，得()()φρρφρρπφφρd d ezke E a z q k j jkz⎰⎰==Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20cos ,（39）由于问题是完全对称的，其解一定与Φ无关，这样可以令0=Φ求解（39）式。