实变函数复习题

复习题1 一、判断1、若N 是自然数集，e N 为正偶数集，则N 与e N 对等。

（对）2、由直线上互不相交的开间隔所成之集是至多可列集。

（对）3、若12,,,n A A A 是1R 上的有限个集，则下式()1212n n A A A A A A ''''+++=+++成立。

（对）4、任意多个开集的交集一定是开集。

（错）5、有限点集和可列点集都可测。

（对）6、可列个零测集之并不是零测集。

（对）7、若开集1G 是开集2G 的真子集，则一定有12mG mG <。

（错） 8、对于有界集1ER ⊆，必有*m E <+∞。

（对）9、任何点集E 上的常数函数()f x =C ，x E ∈是可测函数。

（错） 10、由()f x 在()1,2,k E k =上可测可以推出()f x 在1k k E E ∞==∑上可测。

（对） 二、填空1、区间（0,1）和全体实数R 对等，只需对每个()0,1x ∈，令 ()tan()2x x πϕπ=-2、任何无限集合都至少包含一个 可数子集3、设12,S S 都可测，则12S S ⋃也可测，并且当12S S ⋂为空集时，对于任意集合T 总有***1212[()]()()m T S S m T S m T S ⋂⋃=⋂+⋂4、设E 是任一可测集，则一定存在F ∂型集F ，使F E ⊂，且 ()0m E F -=5、可测集n ER ⊂上的 连续函数 是可测函数。

6、设E 是一个有界的无限集合，则E 至少有一 个聚点。

7、设π是一个与集合E 的点x 有关的命题，如果存在E 的子集M ，适合mM=0，使得π在E\M 上恒成立，也就是说，E\E[π成立]= 零测度集 ，则我们称π在E 上几乎处处成立。

8、E 为闭集的充要条件是'(E E)E E ⊂∂⊂或 。

9、设A 、B 是两个非空集合，若,A B B A ≤≤，则有 A =B。

三、证明 1、证明：若A B ⊂，且~A A C ⋃，则有~B B C ⋃。

证明：由条件易得，()B A B A =⋃- （1） [()]()B C A C B B A ⋃=⋃-⋃- （2）由于()A B A ⋂-=∅,[()]()A C B B A ⋃-⋂-=∅,而 ()A A C B A C ⊂⋃-⊂⋃,已知~A A C ⋃,所以~()A A C B ⋃-.而 ~B A B A--,由（1）（2）得~B B C ⋃。

2、设()f x 为1R 上的连续函数，则对任意的1a R ∈，[]()E f x a ≥、[]()E f x a ≤为闭集1()E R = 证： 先证[()]E f x a ≥是闭集。

设0x 是[()]E f x a ≥的一个极限点，则[()]E f x a ≥中有点列{}n x ，使0()n x x n →→∞.由[]()n x Ef x a ∈≤知()n f x a ≥.又由()f x 的连续性及极限不等性可得0()lim ()n x f x f x a →∞=≥.∴ 0[()]x E f x a ∈≥.即 '([()])[()]E f x a E f x a ≥⊆≥.故 [()]E f x a ≥为闭集.4、设}{nf 是E 上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。

证： 显然，{}n f 的收敛点集可表示为0[lim ()lim ()]n n x x E E x f x f x →∞→∞===11[lim lim ]n nx x k E f f k ∞→∞→∞=-<∏. 由n f 可测lim n x f →∞及lim n x f →∞都可测，所以lim lim n nx x f f →∞→∞-在E 上可测。

从而，对任一自然数k ，1[lim lim ]nn x x E f f k→∞→∞-<可测。

故011[lim lim ]n n x x k E E f f k ∞→∞→∞==-<∏可测。

既然收敛点集0E 可测，那么发散点集0E E -也可测。

实变函数复习题2一、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错”。

共10小题，每题 1.5分，共10×1.5=15分）1、中全体子集构成一个代数。

（ √ ）2、存在闭集使其余集仍为闭集。

（ √ ）3、若是可测集，是的可测子集，则 。

( × )4、无限集中存在基数最大的集合，也存在基数最小的集合。

( × )5、可数个可数集的并集是可数集。

（ √ ）6、、可数个集的交集不一定是集。

（ × ）7、若是可测集，是上的实函数，则在上可测的充要条件是：存在实数，使是可测集。

（ × ）8、若是可测集，是的可测子集，则 。

( × )9、若是可测集，是上的非负可测函数，则在上一定可积。

( × )10、若是可测集，是上的非负简单函数，则一定存在。

( √ )二、选择题。

（每道题只有一个答案正确，多选或者不选均为零分，每道题1.5分，共15分） 1、下列集合关系成立的是（ A ） （A ）(\)A B B A B ⋃=⋃ （B ）(\)A B B A ⋃=（C ）(\)B A A A ⋃⊆ （D ）(\)B A A ⊆2、若n ER ⊂是开集，则（ B ）（A ）E E '⊂ （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '=3、设是有理数，则下列正确的是（ B ）A ． [0,1]>； Ｂ．[0,1]<； Ｃ．[0,1]=； Ｄ．以上都不正确。

4.、设E 是nR 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0Ef x x =⎰，则（ A ）（A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥（C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠5、设E 是1R 中的可测集，()x ϕ是E 上的简单函数，则（ D ） （A ）()x ϕ是E 上的连续函数 （B ）()x ϕ是E 上的单调函数 （C ）()x ϕ在E 上一定不L 可积 （D ）()x ϕ是E 上的可测函数 6、设()f z 是[,]a b 的单调函数，则（ C ）（A ）()f z 不是[,]a b 的有界变差函数 （B ）()f z 不是[,]a b 的绝对连续函数 （C ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续 （D ）()f z 不在[,]a b 上几乎处处可导7、若1ER ⊂至少有一个内点，则（ D ） （A ）*m E 可以等于零 （B ）E 是可数集（C ）E 可能是可数集 （D ）*0m E >8、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C ）（A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0*<E m9、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ D ）（A ）()f z +和()f z -有且仅有一个在E 上L 可积 （B ）()f z +和()f z -不都在E 上L 可积（C ）()f z 在E 上不一定L 可积 （D ）()f z 在E 上一定L 可积10、设[,]Ea b ⊂是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （ B ）（A ）在[,]a b 上不是简单函数 （B ）在[,]a b 上的可测函数 （C ）在E 上不是连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数三、填空题（将正确的答案填在横线上，每道题1分，共10分）1、设X为全集，A ，B 为X的两个子集，则\A B =C A B ⋂ 。

2、设n E R ⊂，如果E 满足E E '⊂，则E 是 闭 集。

3、若开区间(,)αβ是直线上开集G的一个构成区间，则(,)αβ满足(,)Gαβ⊂、,G Gαβ∉∉。

4、设A 是无限集，则A 的基数A ≥a （其中a 表示可数基数）。

5、设1E ，2E 为可测集，2mE <+∞，则12(\)m E E ≥12mE mE -。

6、设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，若对任意实数a ，都有[()]E x f x a >是 可测集 ，则称()f x 是可测集E 上的可测函数。

7、设0x 是1ER ⊂的内点，则*m E >0。

8、设函数列{()}n f x 为可测集E 上的可测函数列，且()()()n f x f x x E ⇒∈，则由黎斯定理可得，存在{()}n f x 的子列{()}kn f x ，使得()kn f x ..a e →()()f x x E ∈。

9、设()f x 是E 上的可测函数，则()f x 在E 上的L 积分不一定存在，且()f x 在E 上 不一定L可积。

10、若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数，则()f x 一定 是 [,]a b 上的有界变差函数。

四、证明题。

又因为A 为开集 所以为A C 闭集。

因此B-A 为闭集。

3、设A,B P R ⊂且+∞<B m *，若A 是可测集，证明）（B A m B m mA B A m **)(*-+= 证明：因为A 是可测集，所以由卡拉泰奥多里条件得))((**)(*A C B A m A B A m B A m +=））（（)(*A B m mA -+= (I) +∞<+=)(*)(**A C B m A B m B m于是)(**)(*B A m B m A B m -=- (II)将(II)代入(I)得）（B A m B m mA B A m **)(*-+= 4、设q R E⊂，存在两侧两列可测集{n A }，{n B },使得n A ⊂ E ⊂n B 且m （n A -n B ）→0，（n →∝）则E 可测. 证明：对于任意i ，i n n B B ⊂∞=1，所以 E B E B i n n -⊂∞=-1又因为E A i ⊂ ，i i i A B E B -⊂-所以对于任意i ，)(**1E B m E B m i n n -≤-∞=）（ )(*i i A B m -≤)(i i A B m -=令i →∝ ，由)(i iA B m -→0 得0*1=-∞=）（E B m n n所以E B n n -∞=1是可测的又由于n B 可测，有n n B ∞=1 也是可测的所以)(11E B B En n n n --=∞=∞= 是可测的。

实变函数复习题3一、证明题： 1、设在E 上()()n f x f x ⇒，而()()n n f x g x =..a e 成立，1,2n =，则有()()ng x f x ⇒2、 证明：开集减闭集后的差集仍是开集；闭集减开集后的差集仍然是闭集。