实变函数测试题与答案

实变函数试题一，填空题1. 设1,2n A n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1,2n =, 则lim n n A →∞= . 2. ()(),,a b -∞+∞,因为存在两个集合之间的一一映射为3. 设E 是2R 中函数1cos ,00,0x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪ =⎩的图形上的点所组成的集合，则E '= ，E ︒= .4. 若集合nE R ⊂满足E E '⊂, 则E 为 集. 5. 若(),αβ是直线上开集G 的一个构成区间, 则(),αβ满足:, .6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体无理数集, 则mE = .7. 若()n mE f x →()0f x ⎡⎤=⎣⎦, 则说{}()n f x 在E 上 .8. ）9.设nE R ⊂, 0nx R ∈,若 ,则称0x 是E 的聚点.10. 设{}()n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列, ()f x 是E 上 几乎处处有限的可测函数, 若0σ∀>, 有, 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x .11. 设()()n f x f x ⇒,x E ∈, 则∃{}()n f x 的子列{}()j n f x , 使得 .二, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1. 若,A B 可测, A B ⊂且A B ≠,则mA mB <. 2. 设E 为点集, P E ∉, 则P 是E 的外点.3. 点集11,2,,E n⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的闭集. 4. 任意多个闭集的并集是闭集.5. 若nE R ⊂,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合. '三, 计算证明题1. 证明:()()()A B C A B A C --=-2. 设M 是3R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集.3. 设nE R ⊂,i E B ⊂且i B 为可测集, 1,2i =.根据题意, 若有()()*0,i m B E i -→ →∞, 证明E 是可测集.4. 设P 是Cantor 集, ()[]32ln 1,(),0,1x x P f x x x P⎧+ ∈⎪=⎨ ∈-⎪⎩.求10(L)()f x dx ⎰.5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3x , 而在0P 的余集中长为13n 的构成区间上取值为16n , ()1,2n =, 求1()f x dx ⎰.6. 求极限: 13230lim(R)sin 1n nx nxdx n x →∞+⎰.！实变函数试题解答一 填空题 1. []0,2.2. ()()()tan ,,.2x x a x a b b a ππϕ⎡⎤=--∈⎢⎥-⎣⎦3. {}1(,)cos ,0(0,)1x y y x y y x ⎧⎫=≠≤⎨⎬⎩⎭; ∅.4. 闭集.5. (),.,.G G G αβαβ⊂ ∉ ∉6. b a -.7. 几乎处处收敛于()f x 或 a.e.收敛于()f x . 8. 对000,(,)U x δδ∀> 有{}()0E x -=∅.9.#10.lim ()()0n n mE f x f x σ→∞⎡-≥⎤=⎣⎦11. ()()n f x f x → a.e.于E . 二 判断题1. F . 例如, (0,1)A =, []0,1B =, 则A B ⊂且A B ≠,但1mA mB ==.2. F . 例如, 0(0,1)∉, 但0不是(0,1)的外点.3. F . 由于{}0E E '=⊄.4. F . 例如, 在1R 中, 11,1n F n n ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦, 3,4n =是一系列的闭集, 但是3(0,1)n n F ∞==不是闭集.5. T . 因为若E 为有界集合, 则存在有限区间I , I <+∞,使得E I ⊂, 则**,m E m I I ≤=<+∞ 于*m E =+∞ .三, 计算证明题. 1. 证明如下:·()()()()()()()()SSS S S A B C A B CAB C A B C A B A C A B A C --=- = = = =-2. M 中任何一个元素可以由球心(,,)x y z , 半径为r 唯一确定, x ,y , z 跑遍所有的正有理数, r 跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故M 为可数集.3. 令1i i B B ∞==, 则i E B B ⊂⊂且B 为可测集, 于是对于i ∀, 都有i B E B E -⊂-, 故()()**0i m B E m B E ≤-≤-,令i →∞, 得到()*0m B E -=, 故B E -可测. 从而()E B B E =--可测.4. 已知0mP =, 令[]0,1G P =-, 则()1320221130(L)()(L)ln 1(L)(L)()(L)(L)(R)()133PGGPGf x dx x dx x dxf x dxx dx x dxf x dxx=++ =0+ =+ = ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.…5. 将积分区间[]0,1分为两两不相交的集合: 0P , 1G , 2G ,其中0P 为Cantor 集, n G 是0P 的余集中一切长为13n 的构成区间(共有12n -个)之并. 由L 积分的可数可加性, 并且注意到题中的00mP =, 可得11111111()()()()()1()61126631112916nn P G P G n nP G n n n n nnn n n n f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx dx mG ∞=∞=∞=-∞∞==∞==+ =+ =+=0+=⋅ =⋅=⎰⎰⎰∑⎰⎰∑⎰⎰∑∑∑6. 因为323sin 1nx nx n x +在[]0,1上连续, 13230(R)sin 1nx nxdx n x +⎰存在且与13230(L)sin 1nx nxdx n x +⎰的值相等. 易知323232323211sin 111nx nx nx nx n x n x n x ≤≤≤+++由于1在()0,1上非负可测，且广义积分101⎰收敛，则1在()0,1上(L)可积， 由于323lim sin 01n nx nx n x →∞=+， ()0,1x ∈，于是根据勒贝格控制收敛定理，得到1133232300132301lim(R)sin lim(L)sin 11lim sin 100n n n nx nx nxdx nxdx n x n xnx nx dx n x dx →∞→∞→∞=++⎛⎫ = ⎪+⎝⎭ ==⎰⎰⎰⎰.一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)（15分，每小题3分）1.非可数的无限集为c势集2.:3.开集的余集为闭集。

4.若m E=0，则E为可数集5.若|f(x)| 在E上可测，则f(x) 在E上可测6.若f(x) 在E上有界可测，则f(x) 在E上可积二、将正确答案填在空格内（共8分，每小题2分）1.______可数集之并是可数集。

2.A. 任意多个B. c势个C. 无穷多个D 至多可数个3._____闭集之并交是闭集。

4.A. 任意多个B. 有限个C. 无穷多个D 至多可数个5.可数个开集之交是_____6.A开集B闭集C F型集D G型集7.若|f| 在E上可积，则_______8.A. f在E上可积B. f 在E上可测C. f 在E上有界D. f在E上几乎处处有限三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（共9分，每小题3分）。

'四、证明下列集合等式（共6分，每小题3分）：1.S-S=(S-S)2.E[f a]=E[f>a-]五、证明：有限个开集之交是开集。

举例说明无限个开集之交不一定是开集。

（8分）六、证明：设f(x)，f(x)为可积函数列，f(x)f(x) 于E，且|f|d|f|d，则对任意可测子集e E有|f|d|f|d（7分）七、计算下列各题：（每小题5分，共15分）1.sin(nx)d=2.设f(x)=求d=3.设f(x)= n=2,3,…, 求d=一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)1.？c势集，（不正确！如：直线上的所2.非可数的无限集为有子集全体不可数，但其势大于c）。

3.开集的余集为闭集。

（正确！教材已证的定理）。

4.若m E=0，则E为可数集（不正确！如contorP集外测度为0，但是C势集）。

5.若|f(x)| 在E上可测，则f(x) 在E上可测（不正确！如）6.若f(x) 在E上有界可测，则f(x) 在E上可积（不正确！如有界可测，但不可积）二、将正确答案填在空格内1．至多可数个可数集之并是可数集。

A. 任意多个势个C. 无穷多个D 至多可数个2.有限个闭集之并交是闭集。

A. 任意多个B. 有限个C. 无穷多个D 至多可数个3.可数个开集之交是G型集A开集B闭集C F型集D G型集4.若|f| 在E上可积，则f在E上几乎处处有限A. f在E上可积B. f 在E上可测C. f 在E上有界D. f在E 上几乎处处有限三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（见教材，不赘述！）。

…四、证明下列集合等式=(S-S)解：=(S-S)2。

E[f a]=E[f>a-]证明：所以，同理，故五、证明：有限个开集之交是开集。

举例说明无限个开集之交不一定是开集。

证明：（分析法证明）设要证为开集，只须证明事实上，取时，自然有。

故为开集。

无限个开集之交不一定是开集。

反例：设，则=既不是开集，又不是闭集。

六、证明：设f(x)，f(x)为可积函数列，f(x)f(x) 于E，且|f|d|f|d，则对任意可测子集e E有|f|d|f|d证明：因为f(x)f(x) 于E，对任意由Fatou引理知|f|d≤|f|d而已知|f|d|f|d，则对任意由Fatou引理知：一方面|f|d=|f|d≤|f|d另一方面，|f|d=|f|d≤|f|d|f|d=|f|d=|f|d-|f|d|f|d故|f|d≤|f|d≤|f|d即|f|d=|f|d七、计算下列各题：1．sin(nx)d=？解：因为sin(nx) 0于[0，1]第3页共 4 页$且||≤1则由Lebesgue控制收敛定理知：sin(nx)d=sin(nx)d=02．设f(x)=求d=？解：所以3．设f(x)= n=2,3,…, 求d=？解：因为f(x)=n=2,3,…,在上非负可测，所以由Lebesgue逐块积分定理知：d=。