实变函数练习题A

实变函数与泛函分析试卷A

一、判断题

1.定义在区间),(+∞-∞上的单调函数的间断点所成之集至多可数。

2.赋范空间中的压缩映射一定存在不动点。

3.平面上所有点的集合的势不能与含在其中的直线上的点集的势相等。

4.直线上互不相交的开区间所成之集为不可数集。

5.赋范空间中上压缩映射一定存在不动点。

二、填空题

1.直线上任何____可表示成至多可数的个互不相交的构成区间的并集。

2.实数集中一集合的闭包是包含此集合的所有闭集的____。

3.有限维空间上的任何两个范数都是____。

4.一闭集中所有点都是此集合的聚点，则称此集合为____。

5.在半序集中，如果所有全序集都有上界，则此半序集中有____。

三、选择题

1.直线上的单调函数的不连续点集____。

A.可数

B.至多可数

C.不可数

D.有限

2.有限维赋范空间中____中点列有收敛子列。

A.开集

B.闭集

C.有界集

D.无界集

3.Banach 空间间的____线性算子必是连续的。

A.无界

B.开

C.闭

D.有界

4.可分赋范空间的共轭空间必是____。

A.可分的

B.完备的

C.不可分的

D.不完备的

5.闭区间上____函数是Riemann 可积的。

A.有界的几乎处处连续

B.有界

C.几乎处处连续

D.Lebesgue 可积函数

四、论述题

1.证明：设F 是n 维欧几里得空间),(ρn R 中的有界闭集，映射F F T →:满足：

),,)(,(),(y x F y x y x Tx Tx ≠∈∀<ρρ.求证T 在F 中存在唯一的不动点。

2.证明：设集1R E ⊂有界，0*>E m ，则对于任意小于E m *的正数，恒有E 的子集1

E 使得c E m =1*。

3.设,...,21αα是一列数，∞

),,...),(,...)(,(:1

2121l x x x y y x T ∈=∀

其中,...)2,1(==n x y n n n α，证明：T 是1l 到1l 的有界线性算子，且n n T αsup ||||=。

4.证明：设n

R E ⊂，若存在两列可列集}{i A ，}{i B 使得,...)2,1(=⊂⊂i B E A i i 且)(0)(∞→→-i A B m i i ，则E 可测。

5.证明：设q L E ∈，)()(x f x f n ⇒于E ，且)()(x g x f n ≤，..e a 于E ，,...2,1=n 则 )()(x g x f ≤..e a 于E 。

6.证明：设数列}{n α对于任意元)(}{c x n ∈=ζ均使得级数∑∞

=1n n n ξα收敛，则

∞<∑∞

=1||n n α。

7.证明 1)1(lim ),0(1=+⎰+∞∞→n n n t n t dt 。