实变函数复习题
实变函数试题库及参考答案
实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1．设,A B 为集合，则()\A B B A B （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写）6．设nE ⊂是可数集，则*m E 07．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈，()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是 ，则称()f x 在E 上可测8．可测函数列的上极限也是 函数9．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x +⇒ 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若n R E ⊂是开集，则（ ）3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ）A E 是不可数集B E 是闭集C E 中没有内点D 1mE = 2．设nE ⊂是无限集，则（ ）A E 可以和自身的某个真子集对等B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ）A 函数()f x 在E 上可测B ()f x 在E 的可测子集上可测C ()f x 是有界的D ()f x 是简单函数的极限4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ）A ()f x 在[],a b 上可测B ()f x 在[],a b 上L 可积C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数四、判断题1. 可数个闭集的并是闭集. （ ）2. 可数个可测集的并是可测集. （ ）3. 相等的集合是对等的. （ ）4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题1. 设()[]230,1\xx E f x xx E⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，其中E 为[]0,1中有理数集，求()[]0,1f x dx ⎰.2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.七、证明题1．证明集合等式：(\)A B B A B =2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1[|()|]|()|EmE x f x a f x dx a ≥≤⎰ 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞=，则实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1.=2.≤3.闭集4.开集5.≤6.=7.可测集8.可测9.()()f x g x + 10.可积 二、单选题 ABB三、多选题ACD AB ABD ABC 四、判断题 × √√√ 五、定义题1.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A ，A 的幂集2A 的基数大于A 的基数.2.答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.3.答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限4.答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差. 六、解答题1.解：因为0mE =，所以()3,.f x x a e =于[]0,1，于是()[][]30,10,1f x dx x dx =⎰⎰，而3x 在[]0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系， 因此()[]0,114f x dx =⎰. 2.解：显然()n f x 在[]0,1上可测，另外由()n f x 定义知，()0,.n f x a e =于[]0,1()1n ≥ 所以()[][]0,10,100nf x dx dx ==⎰⎰因此()[]0,1lim0nn f x dx →∞=⎰七、证明题 1.证明2.证明 设F 是[0,1]中的有理数集，则F 是可数集，从而*0m F =，因此F 是可测集，从而c F 可测，又[0,1]\[0,1]c E F F ==，故E 是可测集.由于EF =∅，所以1[0,1]()0m m EF mE mF mF ===+=+，故1mF =3.证明 设{}n r 为全体有理数所成之集，则因为(),()f x g x 是E 上的可测函数，所以[|()]n E x f x r ≥，[|()]n E x g x r <是可测集，1,2,n =，于是由可测集性质知[|()()]E x f x g x >是可测集4.证明 因为()f x 在E 上可测，所以|()|f x 在E 上非负可测，由非负可测函数积分性质， 而[|()|][|()|]E x f x a adx a mE x f x a ≥=⋅≥⎰，所以5.证明 因为lim 0n n mE →∞=，所以0,1N δ∀>∃≥，当n N ≥时，n mE δ<，又()f x 在E上L -可积，所以由积分的绝对连续性，0,0,εδ∀>∃>当,e E me δ⊂<时|()|ef x dx ε<⎰于是当n N ≥时，n mE δ<，因此|()|nE f x dx ε<⎰，即lim ()0nE n f x dx →∞=⎰。
实变函数本科试题及答案
实变函数本科试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 实变函数论主要研究的是：A. 数学分析B. 复变函数C. 函数的实值性D. 函数的连续性答案：C2. 以下哪个命题是实变函数论中的基本定理？A. 中值定理B. 泰勒公式C. 勒贝格控制收敛定理D. 柯西-施瓦茨不等式答案：C3. 勒贝格积分与黎曼积分的主要区别在于：A. 定义方式B. 积分值C. 积分对象D. 积分方法答案：A4. 若函数f在区间[a,b]上连续，则以下哪个命题一定成立？A. f在[a,b]上可积B. f在[a,b]上可微C. f在[a,b]上单调D. f在[a,b]上一致连续答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f在区间[a,b]上处处有定义，则f在[a,b]上是______的。
答案：有界2. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的勒贝格积分值为______。
答案：1/33. 勒贝格积分的一个重要性质是______。
答案：可加性4. 若函数f在区间[a,b]上单调增加，则f在[a,b]上是______的。
答案：可积三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述实变函数论与复变函数论的主要区别。
答案：实变函数论主要研究实数域上的函数，关注的是函数的实值性质，如连续性、可积性等。
而复变函数论研究的是复数域上的函数，关注的是函数的解析性质，如解析延拓、复积分等。
2. 描述勒贝格积分的定义过程。
答案：勒贝格积分的定义过程首先将积分区间划分为若干子区间，然后选择每个子区间上的样本点，计算函数在这些样本点上的值与子区间长度的乘积之和，最后取这个和的极限，当这个极限存在时，就定义为函数的勒贝格积分。
3. 举例说明实变函数论在数学分析中的应用。
答案：实变函数论在数学分析中的应用非常广泛，例如在研究函数的极限性质、连续性、可微性和可积性等方面都有重要应用。
一个具体的例子是勒贝格控制收敛定理，它在处理函数序列的极限问题时非常有用，特别是在概率论和统计学中，勒贝格积分被用来定义随机变量的期望值。
实变函数复习题
复习题1 一、判断1、若N 是自然数集，e N 为正偶数集，则N 与e N 对等。
（对）2、由直线上互不相交的开间隔所成之集是至多可列集。
（对）3、若12,,,n A A A 是1R 上的有限个集，则下式()1212n n A A A A A A ''''+++=+++成立。
（对）4、任意多个开集的交集一定是开集。
（错）5、有限点集和可列点集都可测。
（对）6、可列个零测集之并不是零测集。
（对）7、若开集1G 是开集2G 的真子集，则一定有12mG mG <。
（错） 8、对于有界集1ER ⊆，必有*m E <+∞。
（对）9、任何点集E 上的常数函数()f x =C ，x E ∈是可测函数。
（错）10、由()f x 在()1,2,k E k = 上可测可以推出()f x 在1kk E E ∞==∑上可测。
（对）二、填空1、区间（0,1）和全体实数R 对等，只需对每个()0,1x ∈，令 ()tan()2x x πϕπ=-2、任何无限集合都至少包含一个 可数子集3、设12,S S 都可测，则12S S ⋃也可测，并且当12S S ⋂为空集时，对于任意集合T 总有***1212[()]()()m T S S m T S m T S ⋂⋃=⋂+⋂4、设E 是任一可测集，则一定存在F ∂型集F ，使F E ⊂，且 ()0m E F -=5、可测集n ER ⊂上的 连续函数 是可测函数。
6、设E 是一个有界的无限集合，则E 至少有一 个聚点。
7、设π是一个与集合E 的点x 有关的命题，如果存在E 的子集M ，适合mM=0，使得π在E\M 上恒成立，也就是说，E\E[π成立]= 零测度集 ，则我们称π在E 上几乎处处成立。
8、E 为闭集的充要条件是'(E E)E E ⊂∂⊂或 。
9、设A 、B 是两个非空集合，若,A B B A ≤≤，则有 A =B。
三、证明 1、证明：若A B ⊂，且~A A C ⋃，则有~B B C ⋃。
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《实变函数》 一、单项或多项选择题1、下列正确的是(234(3) (?1UB )\C = ?1U (B C UC )C 2、下列正确的是(24)(1) 无理数集是可数集；(2) 超越数构成的集合是不可数集；(3) 若/?屮两个Lebesgue 可测集A 和B 的基数相等，则它们的测度也相等;(4) 0表示全体有理数集，则Q?。
也是可数集.3、在R 中令A = {1,丄丄…丄,…},则(2 3 n6、设几九 wM(X),则(12 3 4(3) /2 G M(X)7、若/在［0,1］上乙可积，则下列成立的是8、设= 1,2,3,…)是X 上儿乎处处有限的可测函数，则下列结论正确的是(1(1)若人 则£—/,心.;(1) A\(B\C) = (A\B)\C(2) AU(BAC) =(AUB )n (AUC )(4)⑷B)\C = A\(BUC )(1) A 为闭集 (2) A 为开集 (3) 几{0}(4) A 为疏集4、设 AuR 满足 mA = 0 ,贝 ij ( 1 3 (1) A 为Lebesgue 可测集)(2)(3)任意可测函数/在A 上可积(4) 4为疏集5、在/?上定义/(%),当兀为有理数时, f(x) = 1 ,当x 为无理数时，/(x) = 0,贝ij( 3(1) /儿乎处处连续 (2) /不是可测函数(3)/在上处处不连续(4) /在/?上为可测函数⑴\f <+oo 在［0,1 ］上儿乎处处成立 (2) |.f|在［0,1］上厶可积 (3) /在［0,1］±几乎处处连续(4)兀在［of 上非厶可积(2) 若九 T/,d.e.,则九(3) 若 f n —> f ,a.u.,则 f n T f ； (4) 若 f 厶 f,则£->/•,“.・9、若｛A“｝为降列,且 M = 2，贝(4 )n —>oc、“8 、(1) 0(2) 0(3) “U4(4) “CM1心10、有界实函数/在区间［G , /?］± Riemann 可积的充要条件是/的不连续点集为（ 4 ）11、设f eBV ［a,b ］f 则下列成立的是（1 416、超越数的个数为（3(1) 2 (2) a (3) c (4) 2C（1）空集（2）有限集 （3）可数集 （4）零测度集(1) 于在［a 问上有界; (2) /在［a 问上连续; (3) /在［a 问上可微; (4) /是两个增函数Z 差.12、整数集 的内部和闭包分别为（1）（3） 0,(1) 0, (2) (4)13. 设/(%) =x,xe[0,l]2-x,x w(l ，2]' 令 A = <x\f(x)(1) 0(2) 1(3) 2(4)14、下列哪些集合是测度为零的不可数集（3 ）(4)(1) 031O )XEB(2) 1 ，则（1(3) 2 ⑷3100,XG [0,1]\17、f G AC[0,1],/(O) = 2,Kf = 0,a.e , B'J/(x)=_318、 设A ，%是R 的可测集，且A 0A 2，则下列正确的是( 2 4 )(1)< mA.(2) mA l <mA 2(3) mA x -mA 2 =\ A 2)(4) mA x =777(71^X2) + mA 219、 当/在[1,+00)上连续且Lebesgue 可积时，则lim f(x)=1L7X->4<0(1) 0 (2) 1 (3) -1 (4) +0020、 人2”-1=[°」]，A” =[°，2],(斤= 1,2,…)，则limA “和lim 人分别为" >1(I) [0,1],[0,2] ⑶[0,2],[0,1]21、下列正确的是(1 4 )(1) (4UB )\C =(A\C )U (B\C ) (3) A\(B\C) = (A\B)\C ⑵[0,1],[0,2](4) [0,2],[0,2](2) ACl(BUC) =(4nB )UC (4) (A\B)\C = A\(BUC ))⑵ r 1 2 3(Aus )=r ,(A )ur 1(5) ⑷ /-i (An5)=r i (A )ny 1(B )2 3 )24、 设人是[0,1]上所有有理数构成的集合，则川二(3 )(1) A (2) [0,l]\A (3) El(4)以上都不对25、 下列说法正确的是(12 3)1 A =(3) B = P 7(B )23、下列与 有相同基数的集合是( (1) [0,1] (2)3(4)(1) 0(2) 1 (3) 2 (4) 322、设f:X —X 是一个映射，4,B u X ,下列正确的是(2 4(2)上的开集都可以表示成互不相交的开区间的并（4） 的了集不是开集就是闭集 26、 下列正确的是（1 ） （1） 有理数集是可数集；（2） 代数数构成的集合是不可数集；（3） 若中两个Lebesgue 可测集A 和B 的测度相等,则它们的基数也相等; （4） ［0,2］内包含的点比［0,1］内包含的点多。
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集。
0, 开集 G E,使 m* (G E)
，则 E 是可测
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3. （6 分）在 a, b 上的任一有界变差函数 f ( x) 都可以表示为 两个增函数之差。
5. （8 分）设 f ( x) 在 E a,b 上可积，则对任何 0 ，必存
b
在 E 上的连续函数 ( x) ，使 | f ( x) (x) | dx . a
E
四、解答题 （8 分× 2=16 分） .
1、（8分）设 f (x)
x2, x为无理数 ，则 f ( x) 在 0,1 上是否 R
1, x为有理数
可积，是否 L 可积，若可积，求出积分值。
五、证明题 （6 分× 4+10=34 分） . 1、（6 分）证明 0,1 上的全体无理数作成的集其势为 c
可测集；
二. 填空题 (3 分× 5=15 分)
1、设 An
11 [ , 2 ], n 1,2,
，则 lim An
_________。
nn
n
2、设 P 为 Cantor 集，则 P
o
，mP _____，P =________。
3、设 Si 是一列可测集，则 m i 1 Si ______ mSi i1 4、鲁津定理：
4.（8 分）设函数列 fn (x) ( n 1,2, ) 在有界集 E 上“基本上” 一致收敛于 f ( x) ，证明： fn (x) a.e.收敛于 f ( x) 。
2． x
E , 则存在 E中的互异点列
{
xn },
使 lim n
xn
x ……… .2
分
xn E, f ( xn ) a ………………… .3 分
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2页，共19页） 3、若|()|fx是可测函数，则()fx必是可测函数 4．设()fx在可测集E上可积分，若,()0xEfx，则()0Efx 四、解答题（8分×2=16分）. 1、（8分）设2,()1,xxfxx为无理数为有理数 ，则()fx在0,1上是否R可积，是否L可积，若可积，求出积分值。 2、（8分）求0ln()limcosxnxnexdxn 五、证明题（6分×4+10=34分）. 1、（6分）证明0,1上的全体无理数作成的集其势为c
6页，共19页） 又()0,mEF所以()fx是EF上的可测函数，从而是E上的 可测函数……………………..10分 《实变函数》试卷二 一.单项选择题（3分×5=15分） 1．设,MN是两集合，则 ()MMN=（ ） (A) M (B) N (C) MN (D) 2. 下列说法不正确的是( ) (A) 0P的任一领域内都有E中无穷多个点，则0P是E的聚点 (B) 0P的任一领域内至少有一个E中异于0P的点，则0P是E的聚点 (C) 存在E中点列nP，使0nPP，则0P是E的聚点 (D) 内点必是聚点 3. 下列断言( )是正确的。 （A）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对； 4. 下列断言中( )是错误的。 （A）零测集是可测集； （B）可数个零测集的并是零测集； （C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集； 5. 若()fx是可测函数，则下列断言（ ）是正确的 (A) ()fx在,abL可积|()|fx在,abL可积； (B) (),|()|,fxabRfxabR在可积在可积 (C) (),|()|,fxabLfxabR在可积在可积; (D) (),()fxaRfxL在广义可积在a,+可积 二. 填空题(3分×5=15分) 1、设11[,2],1,2,nAnnn，则nnAlim_________。 2、设P为Cantor集，则 P ，mP_____，oP=________。 3、设iS是一列可测集，则11______iiiimSmS 4、鲁津定理：__________________________________________ 5、设()Fx为,ab上的有限函数，如果_________________则称()Fx为,ab上的绝对连续函数。 三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分) 1、由于0,10,10,1，故不存在使0,101和，之间11对应的映射。
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《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
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《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
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《实变函数》一、单项或多项选择题1、下列正确的是（ 2 3 4 ）（1）\(\)(\)\A B C A B C = （2）()()()A B C A B A C =（3）()()cc \AB C AB C = （4）()(\)\\A B C A B C =2、下列正确的是（ 2 4 ） （1）无理数集是可数集；（2）超越数构成的集合是不可数集；（3）若R 中两个Lebesgue 可测集A 和B 的基数相等，则它们的测度也相等； （4）Q 表示全体有理数集，则2014Q 是可数集.3、在R 中令111{1,,,,},23A n=则（ 3 4 ） （1）A 为闭集 （2）A 为开集 （3）{}'0A = （4）A 为疏集 4、设A R ⊂满足0mA =，则（ 1 3 ）（1）A 为Lebesgue 可测集 （2）A 为可数集 （3）任意可测函数f 在A 上可积 （4）A 为疏集5、在R 上定义()f x ，当x 为有理数时，()1f x =，当x 为无理数时，()0f x =，则（ 3 4 ）（1） f 几乎处处连续 （2）f不是可测函数（3） f 在R 上处处不连续 （4）f 在R 上为可测函数 6、设,(X),n f f M ∈则（1 2 3 4 ）（1）()f M X +∈ （2）()f M X ∈（3）()2f M X ∈ （4）()lim n nf M X ∈7、若f 在[]0,1上L 可积，则下列成立的是（ 1 2 ）（1）f <+∞在[]0,1上几乎处处成立 （2）f 在[]0,1上L 可积 （3）f 在[]0,1上几乎处处连续 （4）2f 在[]0,1上非L 可积8、设(),1,2,3,n f f n =是X 上几乎处处有限的可测函数，则下列结论正确的是（ 13 ）（1）若,..,n f f a u →则,.e.;n f f a →（2）若,.e.,n f f a →则,..;n f f a u → （3）若,..,n f f a u →则;n f f μ→ （4）若,n f f μ→则,...n f f a u →9、若{}n A 为降列，且12A μ=，则lim n n A μ→∞（ 4 ）（1）0 （2）∅ （3）1n n A μ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭ （4）1n n A μ∞=⎛⎫⎪⎝⎭10、有界实函数f 在区间[]a b ，上Riemann 可积的充要条件是f 的不连续点集为（ 4 ） （1）空集 （2）有限集 （3）可数集 （4）零测度集 11、设[],f BV a b ∈，则下列成立的是（ 1 4 ） （1）f 在[],a b 上有界； （2）f 在[],a b 上连续； （3）f 在[],a b 上可微； （4）f 是两个增函数之差.12、整数集的内部和闭包分别为（ 1 ）（1）∅， （2）， （3）∅， （4），13、设()[](],0,12,1,2x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩，令()12A x f x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则mA =（ 2 ）（1）0 （2）1 （3）2 （4）314、下列哪些集合是测度为零的不可数集（ 3 ）（1） （2） （3）Cantor 集 （4）15、设()[]1013,10,0,1\x n f x x n ⎧⎧⎫∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭=⎨⎧⎫⎪∈⎨⎬⎪⎩⎭⎩，则()[]0,1f c dm =⎰（ 1 ）（1）0 （2）1 （3）2 （4）103 16、超越数的个数为（ 3 ）（1）2 （2）a （3）c （4）2c17、[0,1],(0)2,f AC f ∈=且0,.f a e '=，则()f x = 3 （1）0 （2）1 （3） 2 （4）318、设12,A A 是R 的可测集，且12A A ，则下列正确的是（ 2 4 ）（1）12mA mA < （2）12mA mA ≤（3）()1212\mA mA m A A -= （4）()1122\mA m A A mA =+ 19、当f 在[)1,+∞上连续且Lebesgue 可积时，则lim ()x f x →+∞= 1（1） 0 （2）1 （3）-1 （4）+∞ 20、21[0,1]n A -=，2[0,2]n A =,()1,2,n =，则lim n nA 和lim n nA 分别为（ 3 ） （1） [][]0,1,0,2 （2）[][]0,1,0,2 （3）[][]0,2,0,1 （4）[][]0,2,0,2 21、下列正确的是（1 4 ） （1）()()()\\C \AB C A B C = （2）()()A B C A B C =（3）\(\)(\)\A B C A B C = （4）()(\)\\A B C A BC =22、设:f X X →是一个映射，,A B X ⊂,下列正确的是（ 2 4 ） （1）()1A ff A -= （2）()()()111f AB f A f B ---= （3）()1B f f B -= （4）()()()111f A B f A f B ---=23、下列与有相同基数的集合是（ 2 3 ）（1） []0,1 （2） （3）（4）24、设A 是[]0,1上所有有理数构成的集合，则'A =（3 ） （1） A （2）[]0,1\A （3）[]0,1 （4）以上都不对 25、下列说法正确的是（ 1 2 3 ） （1）是上的闭集（2）上的开集都可以表示成互不相交的开区间的并（3）是上的疏集（4）的子集不是开集就是闭集 26、下列正确的是（ 1 ） （1）有理数集是可数集；（2）代数数构成的集合是不可数集；（3）若R 中两个Lebesgue 可测集A 和B 的测度相等，则它们的基数也相等； （4）[]0,2内包含的点比[]0,1内包含的点多。
27、下列说法不正确的是（ 2 4 ）（1）凡外测度为零的集合都可测 （2）可测集的任何子集都可测 （3） 开集和闭集都可测 （4）不存在不可测集 28、设()f x 是X 上的可测函数，则（ 4 ）（1）()f x 是X 上的连续函数 （2）()f x 是X 上的勒贝格可积函数（3）()f x 是X 上的简单函数 （4）()f x 可表示为一列简单函数的极限29、设{}n f 是X 上一列可测函数，则sup n nf 是X 上的（ 3 ）（1）可导函数 （2）连续函数 （3）可测函数 （4）单调函数 30、下列说法正确的是（ 1 ）（1）若()f x 是X 上的Lebesgue 可积函数，则()f x 在X ..a e 上有界； （2）若()f x 是X 上的Lebesgue 可积函数，则()f x 在X 上有界；（3）若()f x 是X 上的Lebesgue 可积函数，则()f x 在X 上Riemann 可积； （4）以上都不对。
31、设()f x 是X 上的Lebesgue 可积函数，则（ 1 2 3 4 ） （1）()f x Lebesgue 可积； （2）()f x +Lebesgue 可积； （3）()fx -Lebesgue 可积；（4）()f x 在X 的任意可测子集上的Lebesgue 可积。
32、下列说法正确的是（ 2 3 4 ）（1）有界变差函数是单调函数； （2）单调函数是有界变差函数； （3）绝对连续函数是有界变差函数； （4）Lipschitz 函数是绝对连续函数。
33、关于1111,2n A n n ∞=⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的说法正确的是（ 2 4 ）（1）A 是开集 （2）A 是闭集 （3）[]1,2A = （4）()1,2A = 34、设[]0,1A =，则o A =（ 2 ）（1）∅ （2）()0,1 （3）[]0,1 （4）{}0,1 35、设()f x 是上的连续函数，则对任意实数a ，(){}x f x a >是上的（1 3 ）（1）开集 （2）闭集 （3）可测集 （4）零测度集 36、设(),1,2,3,n f f n =是X上几乎处处有限的可测函数，则,..,n f f a u →是,.e.n f f a →的（ 1 ）（1）充分条件 （2）必要条件（3）充要条件 （4）既不充分也不必要条件37、设()1,12,12,x x f x x x x x ≤∈⎧⎪=>∈⎨⎪∉⎩且且，则()[]0,2f x =⎰（ 4 ）（1）3 （2）2 （3）1 （4）4 38、设()f x 是X 上的可测函数，若()Xf x <∞⎰，则（ 1 2 4 ）（1）()f x 在X 上L 可积； （2）()f x 在X 上L 积分存在； （3）()f x 在X 上R 可积； （4）()f x 在X 上..a e 有限；39、关于零测度集下列说法正确的是（ 2 4 ） （1）零测度集是可数集；（2）零测度集的任何子集是零测度集； （3）无穷多个零测度集的并还是零测度集； （4）可数多个零测度集的并还是零测度机。
40、设()()12X X μμ=<∞，则1X 和2X 的关系是（4 ） （1）12X X = （2）12X X ⊂ （3）12X X ⊃ （4）12X X ，至多差一个零测度集41、设:f X X →是一个映射，,A B X ⊂,下列正确的是（ 1 2 4 ） （1）()()()f A B f A f B = （2）()()()111f A B f A f B ---= （3）()()()f AB f A f B = （4）()()()111f A B f A f B ---=42、设()1,1,2,3,11n n A n B n n n n ⎧⎫⎧⎫=-+=+-=⎨⎬⎨⎬+-⎩⎭⎩⎭，则（3 4 ）（1）A B ⊂ （2）B A ⊂ （3）A B =∅ （4） (),0d A B =43、下列基数是c 的集合为（2 4 ）（1）（2）（3）（4）所有无理数构成的集合44、下列说法正确的是（ 1 2 3 ）（1）开集是可测集； （2）闭集是可测集； （3）可数集是零测度集； （4）零测度集是可数集。
45、设,g,(X),n f f M ∈则（ 1 2 3 4 ）（1）()fg M X ∈ （2）()f g M X ∨∈ （3）()sup f M X ∈ （4）()lim n nf M X ∈46、设(),1,2,3,n f f n =是X 上几乎处处有限的可测函数，则下列结论正确的是（ 23 ）（1）若,n f f μ→则,...n f f a u →（2）若,n f f μ→则存在{}k n f 为{}n f 的子列，使得,...k n f f a u → （3）若,..,n f f a u →则;n f f μ→ （4）若,.e.,n f f a →则,..;n f f a u → 47、设f 为[,]a b 上增函数，则f为（2 3 4 ）（1）绝对连续函数 （2）可测函数 （3）有界变差函数 （4）有界函数 48、设()0,1x f x x ⎧=⎨⎩为超越数，为代数数，则f =⎰（ 1 ）（1）1 （2）0 （3）+∞ （4）以上都不对 49、下列哪些函数是有界变差函数（ 1 3 4 ） （1）单调函数 （2）有界函数 （3）Lipschitz 函数 （4）绝对连续函数 50、设()()1,2,n f M X n +∈=，则（3 4 ）（1）limlim n XXnn f f =⎰⎰ （2）lim lim n XXnnf f =⎰⎰（3）lim lim n n XXnnf f ≤⎰⎰ （4）n n XXnnf f =∑∑⎰⎰51、设,M N 是两集合，则()\\M M N =（ 3 ） （1）M （2）N （3）M N （4）∅52、设(),1,2,3,n f f n =是X 上几乎处处有限的可测函数，则,..,n f f a u →是n f f μ→的（ 1 ）（1）充分条件 （2）必要条件（3）充要条件 （4）既不充分也不必要条件 53、()1,2,3,n A n =是一列集合，则下列正确的是（2 3）（1）1lim n m n n m n A A ∞∞→∞===（2） 1lim n m n n m n A A ∞∞→∞===（3）1lim n m n n m nA A ∞∞→∞===（4）1lim n m n n m nA A ∞∞→∞===54、设1nn A A ∞==基数为c ，则对于n A 下列说法正确的是（ 4 ）（1）n A 都是可数集 （2）n A 都是有限集（3）n A 都是不可数集 （4）至少有一个n A 是不可数集 55、直线上的可测集个数为（4 ）（1）a （2）c （3）2a（4）2c56、关于[]01，上的有限减函数的说法，下列正确的是（ 1 3 4 ）（1）是有界变差函数； （2）是连续函数； （3）是可测函数；（4）是几乎处处连续的函数。