第二章 数学模型概述
第二章 被控对象的数学模型
Δh:液位的增量 m
dV dh Q1 Q2 A dt dt
Δu1：阀门1开度增量 m2
ΔQ1＝ Ku• Δu1
Ku：阀门1流量系数 m/s
Q2 A 2gh K h
h R Q2
Rs: 液阻 S/m2 h0+Δ h h0 Q20 Q20+Δ Q2
h dh dh ku u1 A C R dt dt
阶跃响应曲线法 1.阶跃响应曲线法 在对象上人为地加 一瞬变扰动，测定 对象的响应曲线， 然后根据此响应曲 线，推求出对象的 传递函数。
缺点：被控参数的偏 差往往会超出实际生 产所允许的数值。
脉冲响应曲线法
u(t)
u(0)
t
y(t)
y(0)
t
2.脉冲响应曲线法
u(t)：矩形脉冲输入
u(t)
u
T
u1(t) t
过程控制系统
按被控对象特性
组成控制系统
控制方案
选择测量控制仪表
控制系统控制效果的好坏，在很大程度 上取决于对被控对象动态特性了解的程 度。
1.选择输入量与输出量
A.多输入单输出的被控对象
e(t) u(t)
液 位 控 制 器 给 水 控 制 阀
+
给定值 -
蒸 汽 流 量
给 水 压 力
锅炉汽 鼓
液位
液 位 变 送 器
1. 概述
若对于复杂的工艺过程，要求出其数学模 型（微分方程）很困难。复杂对象错综复 杂的相互作用可能会对结果产生估计不到 的影响，即使能用机理法得到数学模型， 但仍希望通过实验测定来验证，可采用实 验和测试方法来求取对象数学模型。 方法： 时域法
频域法 相关统计法
第二章1_被控过程的数学模型-单容多容
2.2 采用物理机理方法建模
(1) 单容过程的建模
只有一个存储容量的过程。自衡单容过程和无自衡单容过程。
自衡过程：被控过程在扰动作用下，平衡
状态被破坏后，无需操作人员或仪表的干
预，依靠自身能够恢复平衡的过程。
自衡过程的阶跃响应图
无自衡过程：被控过程在扰动作用下，平衡状 态被破坏后，若无操作人员或仪表的干预，依 靠自身能力不能恢复平衡的过程。 无自衡过程的阶跃响应图
2.1 概述
建立数学模型的方法：
物理机理方法建模
根据过程的内在机理，运用已知的静态和动态的能量（物料）平衡关 系，用数学推理的方法建立数学模型。
实验辨识 （系统辨识和参数估计法）
根据过程输入、输出的实验测试数据，通过辨识和参数估计建立过程 的数学模型。
混合法
首先通过机理分析确定过程模型的结构形式，然后利用实验测试数据 来确定模型中各参数的大小。
则系统特性可用下列微分方程式来描述：
2.1 概述
a n c ( n ) (t ) a n1c ( n1) (t ) a1c(t ) a0 c(t ) bm r ( m) (t ) bm1r ( m1) (t ) b1r (t ) b0 r (t )
式中 an , an1 ,, a1 , a0 及 bm , bm1 ,, b1 , b0 分别为与系统 结构和参数有关的常系数。它们与系统的特性有关， 一般需要通过系统的内部机理分析或大量的实验数 据处理才能得到。
2.1 概述
(b) 传递函数 复数域模型包括系统传递函数和结构图，传递函数不 仅可以表征系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结 构或参数变化对系统性能的影响。 线性定常系统的传递函数定义为零初始条件下，输出 量（响应函数）的拉普拉斯变换与输入量（输入函数）的 拉普拉斯变换之比。拉普拉斯变换为：
第二章油气渗流的数学模型
第二章 油气渗流的数学模型
主要内容
§2.1 概述 §2.2 渗流基本微分方程的建立 §2.3 典型数学模型 §2.4 定解条件
§2.1 概
一、建立数学模型的基础
述
油气渗流数学模型的研究方法是把一定地质条件下油气渗 流的力学问题转换为数学问题，然后求解， 流的力学问题转换为数学问题，然后求解，再联系油气田开发 的实际条件应用到生产当中去。 的实际条件应用到生产当中去。 渗流形态和类型不同，所遵循的力学规律有差异， 渗流形态和类型不同，所遵循的力学规律有差异，伴随渗 流过程出现的物理化学现象也不同， 流过程出现的物理化学现象也不同，故有很多类型的渗流数学 模型。 模型。
§2.1 概
三、建立数学模型的步骤
述
3、确定未知数（因变量）和其他物理量之间的关系 确定未知数（因变量） 确定选用的运动方程 确定所需的状态方程 确定连续性方程 确定伴随渗流过程发生的其他物理化学作用的函 数关系
§2.1 概
三、建立数学模型的步骤
述
4、推导数学模型所需的综合微分方程 用连续性方程作为综合方程，把其他方程代入连续 性方程中，得到描述渗流过程全部物理现象的统一微分 方程或微分方程组。
§2.1 概
述
二、油气渗流数学模型的一般结构
油气渗流基本微分方程体现了在渗流过程中需要研究的流 体力学、物理学和化学问题的总和， 体力学、物理学和化学问题的总和，并且还要描述这些现象的 内在联系。因此，建立基本渗流微分方程要考虑包括以下几方 内在联系。因此， 面的因素： 面的因素： 渗流过程是流体运动的过程，必然受运动方程支配； 渗流过程是流体运动的过程，必然受运动方程支配； 渗流过程又是流体和岩石的状态不断改变的过程， 渗流过程又是流体和岩石的状态不断改变的过程，所以 需要建立流体和岩石的状态方程； 需要建立流体和岩石的状态方程；
自动控制系统的数学模型
宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的质量随着燃料 的消耗而变化）。
[非线性系统]：如果不能应用叠加原理，则系统是非线性的。
下面是非线性系统的一些例子：
d2x dt 2
( dx)2 dt
x
Asin t,
d2x dt 2
(x2
1)
dx dt
x
0,
d2x dt 2
dx dt
x
x3
0
古典控制理论中（我们所正在学习的），采用的是单输入单输出描述方 法。主要是针对线性定常系统，对于非线性系统和时变系统，解决问题的能 力是极其有限的。
Tm
Ra J CeCm
分别称为电磁时间常数和机电时间常数
Ku
1 Ce
和
Km
Ra CeCm
分别是转速与电压传递系数和转速与负载
传递系数。这里已略去摩擦力和扭转弹性力。
3.线性系统微分方程的编写步骤：
⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。 ⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理的方程。
⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素， 对非线性元部件进行线性化等。
4、线性方程的求解：
研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化 情况。方法有经典法，拉氏变换法和数字求解。 在自动系统理论中主要使用拉氏变换法。
[拉氏变换求微分方程解的步骤]： ①对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代数方程。 ②求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。
M c 上的负载转矩Mc，输出是转速
第2章 关系数据库数学模型
关系——二维表（行列），实体及其联系 都用关系表示。在用户看来关系数据的逻辑模 型就是一张二维表。
关系数据模型概述（续I）
关系操作 查询： 1）选择Select； 4）除Divide； Intersection； 编辑： 1）增加Insert； Update；
2）投影Project； 3）连接Join； 5）并Union； 6）交 7）差Difference；
三元关系的转换 一般要引入分离关系 如公司、产品和国家之间的m:n:p的三元关系及销 售联系。
关系代数
关系代数概述 关系代数的运算符 集合运算符
并U 交∩ 差 专门的关系运算符
笛卡尔积 × 选择σ 投影π 连接 除 算术比较符
> ≥ < ≤ = ≠ 逻辑运算符
EER模型到关系模式的转换（续IV）
为此，本例中引入一个分离关系On_Load(借 出的书)，可以避免空值的出现。 这样，存在以下三个关系模式： Borrower(B#,Name,Address,……) Book(ISBN,Title,……) On_Load(ISBN,B#,Date1,Date2) 只有借出的书才会出现在关系On_Load中， 避免空值 的出现，并把属性Date1和Date2加到 关系On_Load中。
D1 x D2 x…x Dn={(d1,d2,…,dn) | di∈Di, i=1,2,…,n} (d1,d2,…,dn) --------n元组(n-tuple) di--------元组的每一分量（Component) Di为有限集时，其基数为mi，则卡积的基 数为M=m1*m2*…*mn
关系数据库
初中数学模型
初中数学模型初中数学模型指的是将抽象的数学知识应用于解决实际问题的过程。
通过建立数学模型，我们可以更好地理解和分析现实世界中的各种情况，并提出解决方案。
在初中阶段，数学模型的应用范围涵盖了各个领域，如代数、几何、概率等。
本文将从几个角度介绍初中数学模型的定义、特点、应用以及解决实际问题的方法。
定义和特点初中数学模型是将实际问题通过数学符号和关系转化为数学表达式或方程的过程。
数学模型可以是线性的，也可以是非线性的；可以是确定的，也可以是随机的。
通过数学模型，我们可以描述事物之间的数量关系、空间位置关系或变化规律，从而更好地理解和分析问题。
数学模型的特点包括抽象性、简化性和实用性。
首先，数学模型对实际问题进行了抽象和简化，忽略了问题中的一些细节，从而使问题更易于处理和分析。
其次，数学模型提供了一种理论工具，可以用来预测和解决实际问题，具有一定的实用性和指导性。
应用领域初中数学模型在各个领域都有广泛的应用。
在代数领域，数学模型可以用来描述两个或多个变量之间的关系，如线性函数模型、指数函数模型等；在几何领域，数学模型可以用来描述平面图形或立体图形的性质和变化规律，如面积、体积等；在概率领域，数学模型可以用来描述随机事件的发生规律和可能性。
解决实际问题的方法解决实际问题的方法主要包括以下几个步骤：首先，分析问题，明确问题的背景、条件和要求；其次，建立数学模型，将实际问题转化为数学表达式或方程；然后，求解模型，通过数学方法解出问题的答案；最后，验证结果，检查答案是否符合实际情况，如有必要，可以对模型进行修正和完善。
综上所述，初中数学模型是一种重要的数学工具，通过数学模型，我们可以更好地理解和分析实际问题，并提出合理的解决方案。
初中生在学习数学时，应注重培养数学建模的能力，提高解决实际问题的水平，从而更好地应对未来的挑战。
《数学模型电子教案》课件
《数学模型电子教案》PPT课件第一章：数学模型概述1.1 数学模型的定义与分类1.2 数学模型的构建步骤1.3 数学模型在实际应用中的重要性1.4 数学模型与数学建模的区别与联系第二章：数学模型建立的基本方法2.1 直观建模法2.2 解析建模法2.3 统计建模法2.4 计算机模拟建模法第三章：线性方程组与线性规划模型3.1 线性方程组的求解方法3.2 线性规划的基本概念与方法3.3 线性规划模型的应用案例3.4 线性规划模型的求解算法第四章：微分方程与差分方程模型4.1 微分方程的基本概念与分类4.2 微分方程的求解方法4.3 差分方程的基本概念与分类4.4 差分方程的求解方法与应用第五章：概率论与统计模型5.1 概率论基本概念与随机变量5.2 概率分布与数学期望5.3 统计学基本概念与推断方法5.4 统计模型的应用案例第六章：最优化方法与应用6.1 无约束最优化问题6.2 约束最优化问题6.3 最优化方法的应用案例6.4 遗传算法与优化问题第七章：概率图与贝叶斯模型7.1 概率图的基本概念7.2 贝叶斯定理及其应用7.3 贝叶斯网络与推理方法7.4 贝叶斯模型在实际应用中的案例分析第八章：时间序列分析与预测模型8.1 时间序列的基本概念与分析方法8.2 自回归模型（AR）与移动平均模型（MA）8.3 自回归移动平均模型（ARMA）与自回归积分滑动平均模型（ARIMA）8.4 时间序列预测模型的应用案例第九章：排队论与网络流量模型9.1 排队论的基本概念与模型构建9.2 排队论在服务系统优化中的应用9.3 网络流量模型的基本概念与方法9.4 网络流量模型的应用案例第十章：随机过程与排队网络模型10.1 随机过程的基本概念与分类10.2 泊松过程与Poisson 排队网络10.3 马克威茨过程与随机最优控制10.4 排队网络模型的应用案例第十一章：生态学与种群动力学模型11.1 生态学中的基本概念11.2 种群动力学模型的构建11.3 差分方程在种群动力学中的应用11.4 种群动力学模型的案例分析第十二章：金融数学模型12.1 金融市场的基本概念12.2 金融数学模型概述12.3 定价模型与风险管理12.4 金融数学模型在实际应用中的案例分析第十三章：社会经济模型13.1 社会经济系统的基本特征13.2 经济数学模型的构建方法13.3 宏观经济模型与微观经济模型13.4 社会经济模型的应用案例第十四章：神经网络与深度学习模型14.1 人工神经网络的基本概念14.2 深度学习模型的构建与训练14.3 神经网络在数学建模中的应用案例14.4 当前神经网络与深度学习的发展趋势第十五章：数学模型在工程中的应用15.1 工程问题中的数学建模方法15.2 数学模型在结构工程中的应用15.3 数学模型在流体力学中的应用15.4 数学模型在其他工程领域中的应用案例重点和难点解析本《数学模型电子教案》PPT课件涵盖了数学模型概述、建模方法、线性方程组与线性规划、微分方程与差分方程、概率论与统计、最优化方法、概率图与贝叶斯模型、时间序列分析、排队论与网络流量模型、随机过程、生态学与种群动力学模型、金融数学模型、社会经济模型、神经网络与深度学习模型以及数学模型在工程中的应用等多个领域。
基本要求-控制系统数学模型
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
线性连续系统微分方程的一般形式
d c (t ) d c (t ) dc (t ) an an 1 ... a1 a0 c ( t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1r (t ) dr (t ) bm bm 1 ... b1 b0 r (t ) m m 1 dt dt dt
航空工程学院航空工程实验中心
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
• 3.表示形式 a.时域:微分﹑差分﹑状态方程 b.复域:传递函数﹑结构图 c.频域:频率特性
三种数学模型之间的关系 线性系统
拉氏 傅氏 传递函数 微分方程 频率特性 变换 变换
航空工程学院航空工程实验中心
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
题目变种3，寻求新解法
1 R1 cs I ( s) U ( s) U r ( s) c 1 R1 cs
Uc( s ) I (s) R2
联立，可解得： 微分方程为:
U c ( s) R2 (1 R1Cs) U r (s) R1 R2 R1 R2 Cs
微分方程的标准形式: 1、与输入量有关的项写在方程的右端； 2、与输出量有关的项写在方程的左端； 3、方成两端变量的导数项均按降幂排列
mx(t ) fx(t ) kx(t ) F (t )
航空
第二章控制系统的数学模型
电气系统三元件（知识补充）
电阻
航空工程学院航空工程实验中心
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
2.为什么要建立数学模型： 只是定性地了解系统的工作原理和大致的 运动过程是不够的，还要从理论上对系统 性能进行定量的分析和计算。 另一个原因：许多表面上看毫无共同之处 的控制系统，其运动规律具有相似性，可 以用相同形式的数学模型表示。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
结构分析和曲线拟合
例2-3 十二胺降解实验数据如表2-7所示，使用 Excel 工作表进行曲线拟合。
表2-7 十二胺降解实验数据
2.5 2 1.5 1 0.5 0 0
十二胺降解实验和模型 mg/L
y = -0.0568x + 2.0367 2 R = 0.9004 y = 2.3e 2 R = 0.9673 y = 2.1608e-0.0519x R2 = 0.9726 10 20 30
作业
已知一组实验数据, 就下列模型进行参数 估计并说明哪种模型结构更适合实验 数据。(1) y =abx；(2) y =ax b
x 1 y 1.36 2 3.69 4 7 10 15 20 25 30 40
27 5.5E2 1.1E4 1.6E6 2.4E8 3.6E10 5.3E12 1.2E14
数学模型:方程式,函数,逻辑式 图象模型:流程图,方向图,框图； 计算机程序 : 计算程序 ,模拟程 序 相似模型:(实物放大缩小)
具体模型
建筑模型，风洞实验模型
模拟模型:静态模型 线形模型/非线模型 确定性模型/随机模型 模拟模型/管理模型 集中参数模型/分布参数模型 通常环境系统分析模型——动态模型/非线模 型/随机模型/分布参数模型
物理简化法； 数学简化法。
2.2 数学模型的建立
2.2.1 对模型的基本要求 2.2.2 建立数学模型的过程 2.2.3 数学模型的验证和误差分析
2.2.1 对模型的基本要求
1.根据模型结构分类
利用对客观系统的结构和运动规律的认识和 理解建立模型-演绎法-机理模型-白箱模型 利用对系统的输入、输出数据的观察建立模 型-归纳法-经验或统计模型-黑箱模型
表2-5 出水COD对应入水COD回归统计结果 Multiple R 0.630237
Intercept
X Variable 1 标准误差
43.25682
0.136996 26.22009
观测值
24
因此，出水COD对应入水COD的线性 回归的模型形式是： Y = 0.137X + 43.257
灰箱模型：介于机理和经验之间
2. 对模型的基本要求
依据充分；
足够的精确度； 可操作、实用
2.2.2建模过程
数据的收集与分析
实测数据/ 历史数据 变量/变量；变量/时间；变量/空间
模型结构的选择与确定 模型参数估值 模型验证与修正 模型的应用和反馈
建立数学模型的步骤
观测数 据组Ⅰ
用最优化方法进行复杂模型的参数估值
使用 Excel电子表格，对于因变量 y 相应于自 变量 X（可以是包含多个元素的向量）的试验 或观测数据，由经验给定参数的初值开始， 计算计算值与观测值之间的误差，用最优化 方法进行参数估值，使该参数取值条件下误 差的平方和最小。 例2-5 已知河流平均流速为4.0km／h，饱和溶 解氧(DO)为lO.Omg／L，河流起点的BOD(L0) 浓度为20mg／L，沿程的溶解氧 (ＤＯ)的测定数据如下：
广义定义: 数学公式+ 计算方法和计算过程
特征: 抽象性(数学规律→突破约束→反应本质)
2.数学模型的优点
多变量模拟；
可以任意改变模型参数和结构，有利于发现事 物的本质特征； 不需要实验设备和空间，速度快，费用低； 具有描述目标系统的状态外，具有分析能力。
3.模型的分类
抽象模型
模型
2.3 Excel 在建立数学模型的应用
2.3.1 污水处理的线性回归分析 2.3.2 结构分析和曲线拟合 2.3.3 用Excel进行参数估计
2.1 数学模型的定义和分类
1.定义:根据所观察到的现象，归结成一套反映
其数量关系的数学关系式与算法，用以描述对 象的运动规律，这套公式和算法称为数学模型。
-0.0547x
(h)
40
从获得的三个数学模型来看，指数模型 R2 与实验数据拟合的相关系数高达 98.6%（R2=0.9726）,应是较好的 选择。
2.3.3 用Excel进行参数估计
用Copy计算式结合多元线性回归进行复杂
模型参数估值
例2-4 根据对某一种反应的分析，获得灰箱模型为：
讨论题
用建立数学模型的方法讨论，用一盆水清洗 衣服和将该盆水分成两个半盆水来洗衣服， 哪个效果好。 设，一盆水水量 L， 定义： M 中包含有一些元素(分量)， 衣服中污染物质量M， 每个元素(分量)分别对应和代 余水量L ，残余物比 1 表 S 中的一个元素(分量)； 较；
M 中的上述分量之间应存在 一定的关系，这种个关系可 以用于与 S 的分量间关系进 行类比。
2.3 Excel 在建立数学模型的应用
2.3.1 污水处理的线性回归分析 2.3.2 结构分析和曲线拟合 2.3.3 用Excel进行参数估计
污水处理的线性回归分析
例2-2 某污水处理厂提供的3、4月份的日常监测台 帐如表2-4所示，试根据3月份的数据建立其出水 COD对应入水COD的线性回归模型，然后用 4月 份的数据进行验证。
ka x ux
c c s (c s c 0 )e
k d L0 (e ka kd
ka x ux
e
kd x ux
)
第二章 数学模型概述 学习难点的阐述
通过例题例2-2学习，进一步阐述该学习难点， 用具体计算和图形展示
误差的取值、累积频率曲线； 认识中值误差(累积频率为50％)的概念和采用来 作为衡量模型精确度的度量。
某系统由5个要素组成，已知各子系统之 间的联系图如下，
求（1）系统的相邻矩阵； （2）指出哪两个系统要素之间经过长度 为2的通道可以到达。
模型结 构选择
参数 估计
检验与验 证
模型 应用
观测数据组Ⅱ
图2-4 模型的建立过程
模型的结构选择
(1)白箱模型 根据对系统的结构和性质的了解,以客观事物变化遵循的物 理化学定律为基础，经逻辑演绎而建立起的模型是机理模 型。这种建立模型的方法叫演绎法。机理模型具有唯一性。 (2)灰箱模型 即半机理模型。在建立环境数学模型的过程中,几乎每个模 型都包含一个或多个待定参数,这些待定参数一般无法由过 程机理来确定。通常要借助于观测数据或实验结果。 (3)黑箱模型 即输入-输出模型。需要大量的输入,输出数据以获得经验模 型。它们可在日常例行观察中积累,也可由专门实验获得。 根据对系统输入输出数据的观测,在数理统计基础上建立起 经验模型的方法又叫归纳法。经验模型不具有唯一性。
环境系统分析
欧晓霞
大连民族学院环境工程系 Office: 634 Email: ouxiaoxia@
2. 数学模型概述
2.1 数学模型的定义和分类 2.2 数学模型的建立
2.2.1 建立数学模型的过程 2.2.2 对模型的基本要求 2.2.3 数学模型的验证和误差分析
掌握数学建模方法。
第二章 数学模型概述
学习要点为： (1) 满足模型条件的数学表达式和算法叫做数学模型，它具 有高度的抽象性和经济性。环境系统工程中的数学模型是 应用数学语言和方法来描述环境污染过程中的物理、化学、 生物化学、生物生态以及社会等方面的内在规律和相互关 系的数学方程。 (2) 数学模型的建立过程包括：数据的搜集和初步分析、模 型的结构选择、估计模型的参数以及模型的检验和修正等。 难点 (3) Microsoft Excel 提供了一组数据分析工具，要使用分析 工具库进行数学模型的验证和误差分析，必须对所提供的 分析函数定义和在统计、误差分析中的作用有相应的了解。 (4) 练习掌握用 Excel解决环境问题的线性回归分析、曲线拟 重点 合及参数估计等数学建模问题。
y c a x1 b ln x2
试根据表2-8所示的一组实验观测值，进行灰箱模型的参数 估值，并讨论其是否可信。 解：首先建立Excel的工作表，输入已知的实验数据，在新 的两列中分别通过输入计算式和用 Copy 命令求得对应的 x10.5 和 ln(x2)，该反应测定的原始实验数据和两列中间计 算结果均列入 表2-8。