线性规划与数学建模简介

第十三章线性规划与数学建模简介【授课对象】理工类专业学生【授课时数】6学时【授课方法】课堂讲授与提问相结合【基本要求】1、了解数学模型的基本概念、方法、步骤；2、了解线性规划问题及其数学模型；3、了解线性规划问题解的性质及图解法.【本章重点】线性规划问题.【本章难点】线性规划问题、线性规划问题解的性质、图解法.【授课内容】本章简要介绍数学建模的基本概念、方法、步骤，并以几个典型线性规划问题为例，介绍构建数学模型的方法及其解的性质。

§1 数学建模概述一、数学建模数学建模是构造刻划客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法。

运用这种科学方法，必须从实际问题出发，遵循从实践到认识再实践的认识规律，围绕建模的目的，运用观察力、想象力的抽象概括能力，对实际问题进行抽象、简化，反复探索，逐步完善，直到构造出一个能够用于分析、研究和解决实际问题的数学模型。

因此，数学建模是一种定量解决实际问题的创新过程。

二、数学模型的概念模型是人们对所研究的客观事物有关属性的模拟。

例如在力学中描述力、量和加速度之间关系的牛顿第二定律F＝ma就是一个典型的（数学）模型。

一般地，可以给数学模型下这样的定义：数学模型是磁于以部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。

通俗而言，数学模型是为了一定目的对原型所作的一种抽象模拟，它用数学式子，数学符号以及程序、图表等描述客观事物的本质特征与内在联系。

三建立数学模型的方法和步骤建立数学模型没有固定模式。

下面介绍一下建立模型的大体过程：1.建模准备建模准备是确立建模课题的过程。

这类课题是人们在生产和科研中为了使认识和实践过一步发展必须解决的问题。

因此，我们首先要发现这类需要解决的实际问题。

其次要弄清所解决问题的目的要求并着手收集数据。

进行建模筹划，组织必要的人力、物力等，确立建模课题。

2．模型假设作为建模课题的实际问题都是错综复杂的、具体的。

如果不对这些实际问题进行抽象简化，人们就无法准确把握它的本质属性，而模型假设就是根据建模的目的对原型进行抽象、简化，抓住反映问题本质属性的主要因素，简化掉那些非本质的次要因素。

有了这些假设，就可以在相对简单的条件下，弄清各因素之间的关系，建立相应的模型。

合理的假设是建立理想模型的必要条件和基本保证。

如果假设是合理的，则模型切合实际，能解决实际问题；如果假设不合理中或过于简化，则模型与实际情况不符或部分相符，就解决不了问题，就要修改假设，修改模型。

3．构造模型在模型假设的基础上，开始构建数学模型。

首先分析变量类型，恰当使用数学工具。

一般而言，如果实际问题中的变量是确定型变量，数学工具可采用微积分、微分方程、线性或非线性规划、投入产出、确定性库存论等。

如果变量是随机变量，数学工具可采用概率与统计、排队论、对策论、决策论、随机微分方程、随机性库存论等。

其次，抓住问题本质，简化变量之间的关系。

可以说，数学的任一分支在构造模型时都可能有用，而同一实际问题也可以构造不同的数学模型。

一般而言，在能够达到建模目的前提下，所用的数学工具应力求简单、易解，但要保证模型的解的精确在允许的范围内。

4．模型求解不同的模型要选择或设计不同的数学方法和算法求解，许多模型还可以通过编写计算机程序软件包，借助计算机快速完成对模型的求解。

5．模型分析对模型的求解结果进行分析，主要包括稳定性分析，参数的灵敏度分析，误差分析等。

通过分析，若发现不符合建模要求，就要修改或增减建模假设条款，重新构造模型，直到符合要求。

若模型符合要求，则可以对模型进行评价是、预测民、优化等方面的探析，力争得到最优模型。

6．模型检验对于经过分析后符合要求的模型，还要把它放回到实际对象中去进行检验，看它是否符合实际，能否解决相应的实际问题。

若不符合实际，就要修改前提假设，重新建模，重新分析，直到获得符合实际的模型。

7．模型应用建模最终目的，是用模型来分析、研究和解决实际问题。

因此，一个成功和数学模型必须能够在实践中得到成功的应用，甚至形成一套科学和理论。

图13――1是上述各步骤的直观图：图13――1数学建模步骤示意图一、数学模型的分类数学模型按照不同的分类标准有许多种类：1．按照模型的数学方法分，有几何模型、代数模型、图论模型、微分方程模型概率模型、最优控制模型、随机模型等等。

2．按模型的特征分，有静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型等。

3．按模型的应用领域分，有人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。

4。

按建模的目的分，有预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。

5．按夺模型结构的了解程度分，有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。

§2线性规划问题及其数学模型线性规划作为运筹学的一人重要分支，是研究较早，理论较完善，应用最广泛的一门科学。

它所研究的问题主要包括两个方面：一是在一项任务确定后，如何以最低限度和成本（如人力、物力、资金和时间等）去完成这一任务；二是如何在现有条件下进行组织和安排，以完成更多的工作。

因此，线性规划就是求一组变量的值，使它满足一组线性式子，并使一个线性函数的值最大（或最小）的数学方法。

一、运输问题例1 设有A1，A2两个香蕉基地，产量分别为60吨和80吨，联合供应B1，B2，B3三个销地的销售量经预测分别为50吨、50吨和40吨。

两个产地到三个销地的单位运价如下表所示：表13――1运价表（单位：元/吨）问每个产地向每个销地各发货多少，才能使总的运费最少？解 （1）在该问题中，所要确定的量是各产地运往各销地的香蕉数量，即决策变量是运输量。

设X ij (i =1,2; j =1,2,3)分别表示由产地A i 运往销地B i 的数量。

（2）在解决问题的过程中，要受到如下条件限制，即约束条件： 各产地运出的数量应等于其产量，即8060232221131211=++=++xxxx x x②各销地运进的数量应等于其当地预测的销售量，即405050231322122111=+=+=+x xx xx x③从各产地运往各销地的数量不能为负值，即)3,2,1;2,1(0==≥j i xij(3)该问题的目的是运价最低，所以运价是目标函数，即x x x x x x S 232221121211300700400400300600+++++=因此，该问题的数学模型为：求x x x x x x S 232221131211300700400400300600min +++++=结束条件4050508060231322122111232221131211=+=+=+=++=++x xx x x x x x x x x x例1的一般形式是：设某种物资有m 个产地A A A m⋯⋯，，21产量分别为aa a m⋯⋯,,21，有n 个销地B B B n ,,,21 ,销量分别为。

吨，)(,,321b b b ⋯⋯如果由产地A i 运往销地B j 的单位运价为C ij （元/吨），在产销平衡的情况下，应如何调运才能使运费最省？解 设x ij 表示由产地A i 运往销地B j 的数是(i=1,……，m ；j=1,2,……，n) 则该问题数学模型为：求变量x ij 的一组值，使它们满足),...,2,1;,...,2,1(0........................................................... (212)222121121112111211n j m i xb x x x b x xx b x x x a x x x a x xx ijnmn n n m m mmn m m n ==≥=+++=+++=+++=+++⋯++１＝＋并使目标函数x C x C x C mn mn S +++=...12121111的值最小。

二、生产组织与计划问题 例2 设某用AA A m,...,,21种原料，生产B B B m ,...,21 种产品，其中B j 种产品每单位需要A A A m ,...,21原粉分别为；而该厂现有原料a a a mj ,...,,21；的数量分别为BB B b b b nm,...,,,,...,,2121各种产品每单位可是利润分别为C C C n ,...,2,1 。

在该厂产品全部能销售情况下，应如何组织生产，才能使该企业获得最大？ 解 设生产产B j 中数量为),...,2,1(n j x j =，则此问题的数学模型为： 求一组变量 的值，使满足结束条件 ),...,1(0.................................................. (2)2112222212111212111n j x b x a x a x a bx a x a x a b x a x a x a jmnmnm m nnnn=≥≤+++≤+++≤+++并使目标函数x C x C x C n n S +++=...2211的值最大。

三、配料问题例 设有AA m,...,1种原料，配制含有几种成分B B B n ,...,,21的产品，要求产品中各种成分的含量不低于a a a n ,...,21；不高于b b b n ,...,,21；B j 种成分在A i 种原料中的单位含量为，各种原料的单位价格依次为.,...,21d d d m 问如何调配原料，才能使产品符合要求，又使成本最低？解 设x i 表示每单位产品中原料A i 的使用量(即决策变量)，,,...,2,1m i =则数学模型为：求一组变量的值，使其满足约束条件),...,1(,01............ (2)12211222221122112211111m i x x x x b x C x C x C a bx C x C x C a b x C x C x C a imn n mn n n n mm mm =≥=+++≤+++≤≤++≤≤+++≤并使目标函数x d x d m m S ++=...11 最小。

二、线性规划问题数学模型的一般形式和标准形式上面我们建立了经济领域中常见的实际问题的数学模型，尽管这些实际问题本身是多种多样的，但是它们的数学模型却具有相同的特征：要确定某些变量(决策变量)的一组值，使得在确定的确定的约束条件下，目标函数是取得最大值或最小值。

其中，约束条件是决策变量的线性方程或线性不等式。

目标函数是决策变量的线性函数。

因此，我们把这种规划问题称为线性规划问题。

同时，我们可以得到对于一个线性规划问题，其数学模型应具有如下形式：求x C x C x C n n S ++=2211min)max(或),...,2,1(0),(...........................................)(...)(...x i22221122222221211111212111n i b b b x a x a x a b b b x a x a x a b b b x a x a x a mnmnm m nnnn=≥=≥≤+++=≥≤+++=≥≤+++或或，或或，或或我们称这种形式的线性规划模型为一般形式。