有限元课件 单元分析
B——单元的应变矩阵；（它的元素仍为位置坐标的
函数）
再把（4-2） 式代入物理方程，可导出用单元结点位移 列阵表示的单元应力表达式：
DB e
（4-3）
式中：
——单元内任一点的应力列阵；
D ——单元的弹性矩阵，（它与材料的特性有关）
最后利用弹性体的虚功方程建立单元结点力阵与结点位移 列阵之间的关系，即形成单元的刚度方程式：
7. 由单元的结点位移列阵计算单元应力
解出整体结构的结点位移列阵 后，再根据单元结点的 编号找出对应于单元的位移列阵 e，将 e代入（4-3）式就
可求出各单元的应力分量值。
8. 计算结果输出
求解出整体结构的位移和应力后，可有选择地整理输 出某些关键点的位移值和应力值，特别要输出结构的 变形 图、应力图、应变图、结构仿真变形过程动画图及整体结 构的弯矩、剪力图等等。
根据题目的要求，可选择适当的单元把结构离散化。对 于平面问题可用三角元，四边元等。 例如：
3. 选择单元的位移模式
结构离散化后，要用单元内结点的位移通过插值来获得 单元内各点的位移。在有限元法中，通常都是假定单元的位 移模式是多项式，一般来说，单元位移多项式的项数应与单 元的自由度数相等。它的阶数至少包含常数项和一次项。至 于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。
1 um ym
1 xi ui A3 1 x j u j
1 xm um
展开后
A1
ui
xj xm
yj ym
uj
xi xm
yi ym
um
xi xj
yi yj
uiai u j a j umam
§4-2 三角形单元
一、离散化
在运用有限单元法分析弹性力学平面问题时，第一步就是 要对弹性体进行离散化，把一个连续的弹性体变换为一个离散 的结构物。对于平面问题，三角形单元是最简单、也是最常用 的单元，在平面应力问题中，单元为三角形板，而在平面应变 问题中，则是三棱柱。
假设采用三角形单元，把弹性体划分为有限个互不重叠的 三角形。这些三角形在其顶点（即节点）处互相连接，组成一 个单元集合体，以替代原来的弹性体。同时，将所有作用在单 元上的载荷（包括集中载荷、表面载荷和体积载荷），都按虚 功等效的原则移置到节点上，成为等效节点载荷。由此便得到 了平面问题的有限元计算模型，如下图所示。
第四章 平面问题的有限元分析
引言
杆系问题以结点作为分割单元的“结点”是很自然的，但对 于平面问题，待分析物体是连续的，并不存在实际结点。要将 物体“拆”成单元，必须用一些假想的线或面作人为地分割。 将物体进行分割时，必须保证相邻单元具有公共边界。假定相 邻单元仅在一些点（顶点或顶点加边中点）相连接。这些点即 为“结点”。实际计算时，可将连续体分成多种形状单元，为 讨论简单，现暂时规定只用一种单元来分割。
有限元法的实质是：把有无限个自由度的连续体，理想化 为只有有限个自由度的单元集合体，使问题简化为适合于数值 解法的结构型问题。
二、经典解与有限元解的区别：
微分 经 典 解 法 —— （解析法）
数目增到∞ 大小趋于 0
建立一个描述连续体 性质的偏微分方程
有限单元 离散化 集合
总体分析解
有限元法——连续体——单元——代替原连续体
F
y
F2
F1
F3
结构物的离散 假定三角形单元的位移模式
o
x
e
T i
T j
T m
T
ui
vi
uj
vj
um
vm T
y
vj
j
uj
v(x,y)
vm
.
vi
(x,y) u(x,y)
ห้องสมุดไป่ตู้
ui
i
m um
i ui vi T （i，j，m 轮换） (a)
f
u v
u v
x, x,
y y
1 4
2 5
ui=1+2 xi +3 yi uj=1+2 xj +3 yj um=1+2 xm +3 ym
根据克莱姆法则，可求出1， 2 ， 3
1
A1 A
2
A2 A
3
A3 A
其中 1 xi
A 1 xj 1 xm
yi y j 2 ym
ui xi yi A1 u j x j y j
um xm ym
1 ui yi A2 1 u j y j
以位移为未知量的有限元法，最关键的工作是建立单元位移 场，因此本节主要介绍各种单元位移场的建立。
平面问题有限元法可用的单元很多，先介绍最简单的单元： 三角形。
§4-1 有限元法基本思想和解题步骤
一、有限元法的基本思想
假想的把一连续体分割成数目有限的小体（单元），彼此 间只在数目有限的指定点（结点）出相互连结，组成一个单元 的集合体以代替原来的连续体，再在结点上引进等效力以代替 实际作用于单元上的外力。选择一个简单的函数来近似地表示 位移分量的分布规律，建立位移和节点力之间的关系。
式中：
Re ke e k e ——单元刚度矩阵
（4-4）
ke BT DBdxdydz
v
（4-5）
5. 建立整体结构的刚度方程
用直接刚度法将单刚k e 组集成总纲K，并将Re 组集成
总载荷列阵 R，形成总体结构的刚度方程：
K R
（4-6）
6. 求解修改后的整体结构刚度方程
考虑整体结构的约束情况，修改整体刚度方程之后，（46）式就变成以结点位移为未知数的代数方程组。解此方程组 可求出结点位移。
f N e
（4-1）
f ——单元内任一点的位移列阵； e——单元的结点位移列阵；
N ——单元的形函数矩阵；（它的元素是任一点位置坐
标的函数）
4. 单元的力学特性分析
把（3-1）式代入几何方程可推导出用单元结点位移表示 的单元应变表达式：
B e
（4-2）
式中：
——单元内任一点应变列阵；
x x
3 6
y y
o
x
ui
三角形单元中的节点位移如下：
e
i j
m
vi
u v
j j
um
vm
建立单元内任意点的位移与节点位移的关系，单元节点位 移坐标为( xi,yi ), ( xj,yj ), ( xm,ym )
每一点的位移由下列方程给出，在 i点上 的水平位移方程为：
（近似法）
（单元分析）
线性方程组
三、有限元法算题的基本步骤
1. 力学模型的选取
（平面问题，平面应变问题，平面应力问题，轴对称问题，
空间问题，板，梁，杆或组合体等，对称或反对称等）
例如：
y
x
为平面应力问题 ，由于结构的对 称性可取结构的 1/4来研究，故 所取的力学模型
2. 单元的选取、结构的离散化
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有限元课件第2章-单元分析精选全文完整版
a1
1 2A
ui uj
xi xj
yi yj
um xm ym
1
a2
1 2A
1
ui uj
yi yj
1 um ym
（2-14）
1
a3
1 2A
1
xi xj
ui uj
1 xm um
式中， A为三角形单元的面积，有
1 A 11
2
xi xj
yi yj
（2-15）
1 xm ym
y
m（7）
i（2）
j（1）
x
特别指出：为使求得面积的值为正值，本单元节点号
（2-16）
1 2A
[(ai
bi
x
ci
y)
i
(a
j
b
j
x
c
j
y)
j
(am
bm
x
cm
y)
m
]
令
Ni
1 2A
(ai
bi x ci y)
(i, j, m)
（2-18）
位移模式（2-16）可以简写为
u Niui N ju j Nmum Ni i N j j Nm m （2-19）
式（2-19）中的Ni、Nj、Nm是坐标的函数，反应 了单元的位移形态，称为单元位移函数的形函数。数
Ni 0
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
u v
j j
缩写为
um
vm
{ f } [N ]{ } （2-20）
[N]为形函数矩阵，进一步写成分块形式：
[N ] [[ Ni ] [N j ] [Nm ]]
有限元课件 单元分析共30页
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
有限元课件
单元分析 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
有限元课件
单元分析 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈
有限元分析 ppt课件
有限元分析 Finite Element Analysis
课程目标
1) 了解什么是有限单元法、有限单元法的基本 思想。
2) 学习有限单元法的原理，主要结合弹性力学 问题来介绍有限单元法的基本方法，包括单 元分析、整体分析、载荷与约束处理、等参 单元等概念。
3) 初步学会使用商用有限元软件分析简单工程 问题。
4. O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. The finite element method( 5th ed). Oxford ; Boston : Butterworth-Heinemann, 2000
5. 郭和德编. 有限单元法概论，清华大学， 1998
1 有限单元法简介
自重作用下等截面直杆的材料力学解答
N(x)q(Lx)
d(L x)N(x)d xq(Lx)dx EA EA
u(x)xN(x)d xq(L xx2)
0 EA EA 2
x
du q (Lx) dx EA
x
Ex
q(Lx) A
自重作用下等截面直杆的有限单元法 解答
1）离散化 如图所示，将直杆划分 成n个有限段，有限段之 间通过一个铰接点连接。 称两段之间的连接点为 结点，称每个有限段为 单元。 第 i 个 单 元 的 长 度 为 Li ， 包含第i，i+1个结点。
1.3.1网格划分
对弹性体进行必要的简化，再将弹性体 划分为有限个单元组成的离散体。 单元之间通过单元节点相连接。 由单元、结点、结点连线构成的集合称 为网格。
1.3.1网格划分
通常把三维实体划分成四面体（Tetrahedron） 或六面体（Hexahedron）单元的网格
四面体4结点单元
六面体8结点单元
课程目标
1) 了解什么是有限单元法、有限单元法的基本 思想。
2) 学习有限单元法的原理，主要结合弹性力学 问题来介绍有限单元法的基本方法，包括单 元分析、整体分析、载荷与约束处理、等参 单元等概念。
3) 初步学会使用商用有限元软件分析简单工程 问题。
4. O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. The finite element method( 5th ed). Oxford ; Boston : Butterworth-Heinemann, 2000
5. 郭和德编. 有限单元法概论，清华大学， 1998
1 有限单元法简介
自重作用下等截面直杆的材料力学解答
N(x)q(Lx)
d(L x)N(x)d xq(Lx)dx EA EA
u(x)xN(x)d xq(L xx2)
0 EA EA 2
x
du q (Lx) dx EA
x
Ex
q(Lx) A
自重作用下等截面直杆的有限单元法 解答
1）离散化 如图所示，将直杆划分 成n个有限段，有限段之 间通过一个铰接点连接。 称两段之间的连接点为 结点，称每个有限段为 单元。 第 i 个 单 元 的 长 度 为 Li ， 包含第i，i+1个结点。
1.3.1网格划分
对弹性体进行必要的简化，再将弹性体 划分为有限个单元组成的离散体。 单元之间通过单元节点相连接。 由单元、结点、结点连线构成的集合称 为网格。
1.3.1网格划分
通常把三维实体划分成四面体（Tetrahedron） 或六面体（Hexahedron）单元的网格
四面体4结点单元
六面体8结点单元
有限单元法ppt课件
06
有限单元法的发展趋势和展 望
发展趋势
工程应用领域拓展
随着科技的发展，有限单元法在解决 复杂工程问题上的应用越来越广泛， 不仅局限于结构分析，还涉及到流体 动力学、热传导等领域。
与其他方法的结合
有限单元法正与其他数值方法（如有 限差分法、边界元法等）进行交叉融 合，形成更为强大的数值分析工具。
05
有限单元法的优缺点
优点
灵活性
有限单元法允许对复杂的几何形状进 行离散化，适用于解决各种形状和大 小的问题。
高效性
有限单元法能够处理大规模问题，通 过使用计算机技术，可以快速求解。
广泛的应用领域
有限单元法被广泛应用于工程、物理 、生物等领域，是一种通用的数值分 析方法。
易于理解和实现
有限单元法的基本概念直观易懂，且 实现起来相对简单。
01
利用线性代数方法，将 各个单元的数学模型和 节点信息组合成整体方
程组。
03
将节点的未知量返回到 原问题中，得到问题的
解。
05
根据问题的物理性质和 边界条件，建立单元的 数学模型和节点信息。
02
解整体方程组，得到节 点的未知量。
04
有限单元法的特点
适用范围广
可以用于解决各种类型的问题，如弹性力学 、流体力学、传热学等。
高精度与高效率
研究者们致力于开发更高效、精确的 算法，以解决大规模、非线性、动态 等复杂问题。
并行化与云计算应用
随着计算资源的丰富，有限单元法的 计算过程正逐步实现并行化，利用云 计算平台进行大规模计算已成为趋势 。
展望
理论完善与创新
随着工程实践的深入，有限单元法的理论体系将进一步完善，同时会 有更多创新性的算法和模型出现。
《有限元分析及应用》PPT课件
41
2.3 基本变量的指标表达
指标记法的约定：
自由指标：在每项中只有一个下标出现，如
，
i，j为自由指标，它们可以自由变化；在三维ij 问题
中，分别取为1，2，3；在直角坐标系中，可表示
三个坐标轴x, y, z。
哑指标：在每项中有重复下标出现，如：
，j为哑指标。在三维问题中其变化的范ai围j x为j 1,b2i ,3
有限元方法的思路及发展过程
思路：以计算机为工具，分析任意变形体以获得所有 力学信息，并使得该方法能够普及、简单、高效、方 便，一般人员可以使用。 实现办法：
20
技术路线：
21
发展过程： 如何处理
对象的离散化过程
22
常用单元的形状
.点 (质量)
面 (薄壳, 二维实体,
.. 轴..对称实体.).......
3
有限元法是最重要的工程分析技术之一。 它广泛应用于弹塑性力学、断裂力学、流 体力学、热传导等领域。有限元法是60年 代以来发展起来的新的数值计算方法，是 计算机时代的产物。虽然有限元的概念早 在40年代就有人提出，但由于当时计算机 尚未出现，它并未受到人们的重视。
4
随着计算机技术的发展，有限元法在各个 工程领域中不断得到深入应用，现已遍及 宇航工业、核工业、机电、化工、建筑、 海洋等工业，是机械产品动、静、热特性 分析的重要手段。早在70年代初期就有人 给出结论：有限元法在产品结构设计中的 应用，使机电产品设计产生革命性的变化， 理论设计代替了经验类比设计。
由此得到
考虑 X 0
xyl ym zy n Y xl yxm zxn X
考虑
Z 0 xzl yzm zn Z
应力边界条件
有限元分析——_课件
John Swanson 博士创建，是目前世界CAE行业最大公 司。
1.2.2 ANSYS10.0 创新之处 1.2.3 ANSYS 10.0 使用环境
ANSYS及ANSYS/LS-DYNA程序可运行与PC机、 NT工作站、UNIX工作站及巨型计算机等各类计算机 及操作系统中，其数据文件在其所有的产品系列和工 作平台上均兼容。并与多种CAD软件共享数据。
2. ANSYS/Structural：通过利用其先进的非线性功能， 该模块可进行高目标的结构分析，具体包括：几何非 线性、材料非线性、单元非线性及屈曲分析。该模块 可以使用户精确模拟大型复杂结构的性能。
3. ANSYS/Linear plus：该模块是从ANSYS/Structural派 生出来的，一个线性结构分析选项，可用于线性的静 态、动态及屈曲分析，非线性分析仅包括间隙元和板/ 梁大变形分析。
4. ANSYS/Thermal：该模块同样是从ANSYS/Mechanical 中派生出来的，是一个可单独运行的热分析程序，可 用于稳态及瞬态热分析。
5. ANSYS/Flotran：该程序是个灵活的CFD软件，可求解 各种流体流动问题，具体包括：层流、紊流、可压缩 流及不可压缩流等。通过与ANSYS/Mechanical耦合， ANSYS/FLOTRAN 是 唯 一 一 个 具 有 设 计 优 化 能 力 的 CFD软件，并且能提供复杂的多物理场功能。
8. ANSYS/ED：该模块是一个功能完整的设计模拟程序， 它拥有ANSYS隐式产品的全部功能，只是解题规模受 到了限制（目前节点数1000）。该软件可独立运行， 是理想的培训教学软件。
9. ANSYS/LS-DYNA：该程序是一个显示求解软件，可 解决高度非线性结构动力问题。该程序可模拟板料成 形、碰撞分析、涉及大变形的冲击、非线性材料性能 以及多物体接触分析，它可以加入第一类软件包中运 行，也可以单独运行。
1.2.2 ANSYS10.0 创新之处 1.2.3 ANSYS 10.0 使用环境
ANSYS及ANSYS/LS-DYNA程序可运行与PC机、 NT工作站、UNIX工作站及巨型计算机等各类计算机 及操作系统中，其数据文件在其所有的产品系列和工 作平台上均兼容。并与多种CAD软件共享数据。
2. ANSYS/Structural：通过利用其先进的非线性功能， 该模块可进行高目标的结构分析，具体包括：几何非 线性、材料非线性、单元非线性及屈曲分析。该模块 可以使用户精确模拟大型复杂结构的性能。
3. ANSYS/Linear plus：该模块是从ANSYS/Structural派 生出来的，一个线性结构分析选项，可用于线性的静 态、动态及屈曲分析，非线性分析仅包括间隙元和板/ 梁大变形分析。
4. ANSYS/Thermal：该模块同样是从ANSYS/Mechanical 中派生出来的，是一个可单独运行的热分析程序，可 用于稳态及瞬态热分析。
5. ANSYS/Flotran：该程序是个灵活的CFD软件，可求解 各种流体流动问题，具体包括：层流、紊流、可压缩 流及不可压缩流等。通过与ANSYS/Mechanical耦合， ANSYS/FLOTRAN 是 唯 一 一 个 具 有 设 计 优 化 能 力 的 CFD软件，并且能提供复杂的多物理场功能。
8. ANSYS/ED：该模块是一个功能完整的设计模拟程序， 它拥有ANSYS隐式产品的全部功能，只是解题规模受 到了限制（目前节点数1000）。该软件可独立运行， 是理想的培训教学软件。
9. ANSYS/LS-DYNA：该程序是一个显示求解软件，可 解决高度非线性结构动力问题。该程序可模拟板料成 形、碰撞分析、涉及大变形的冲击、非线性材料性能 以及多物体接触分析，它可以加入第一类软件包中运 行，也可以单独运行。
有限元课件5-单元分析总结与例题
0.2527
单元载荷移置（集中力）
yj
y
j
xj
py p
yi
ym
M
px
xi
i
m
xm
o
x
优秀课件，精彩无限！
28
单元载荷移置（集中力）
FLix
FLiy
Ni px
Ni
py
FL e
FLjx
FLjy
t
N N
j j
px py
{} [S]{ }
1
对
[D] E 1 称
1 2
0
0
1
优秀课件，精彩无限！
2
18
[S] [[Si] [S j] [Sm]]
[Si ] [D][ Bi ]
[
Si
]
2(1
E
MATLAB 编程
2
)
A
1
bi
bi
2
ci
Nm(x, y) ?
优秀课件，精彩无限！
11
指定点位移的计算
2、x=a/2,y=a/3
u Niui N juj Nmum
u(x, y) ui / 2 uj / 3 um / 6
v(x, y) ?
优秀课件，精彩无限！
12
指定点位移的计算
3. 假定：
u(x, y) ?
三结点三角形单元
单元分析小结
优秀课件，精彩无限！
1
单元分析小结（3结点三角形单元）
第1章有限元基本理论ppt课件
x dx
li
E i
i
E (ui1ui )
x
x
li
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)
❖ 外载荷与结点的平衡方程
EA(uiui1 ) li1
EA(ui1ui ) li
q(li1 li ) 2
q(li1li ) 为第i个结点上承受的外载荷
2
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)
❖ 假定将直杆分割成3个单元，每个单元长为a=L/3， 则对结点2，3，4列出的平衡方程为：
单元: 一组节点自由度间相互作用的 数值、矩阵描述（称为刚度或系数 矩阵)。单元有线、面或实体以及二 维或三维的单元等种类。
载荷
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单 元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
1.6 节点和单元 (续)
信息是通过单元之间的公共节点传递的。
. . 2 nodes ...
. . . 1 node
1.1 有限元分析 (FEA)
有限元分析 是利用数学近似的方法对真实物理
系统（几何和载荷工况）进行模拟。它利用简 单而又相互作用的元素，即单元，用有限数量 的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
1.2 有限单元法的基本思想
❖ 将连续的结构离散成有限个单元，并在每一单元中 设定有限个节点，将连续体看作只在节点处相连接 的一组单元的集合体。
I
J
O
N
三维实体结构单元
K UX, UY, UZ
P
M L
J
I
J
K J
O N
K J
三维梁单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
三维四边形壳单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
《有限单元法》PPT课件
➢有限单元法的应用
（2）在土力学、岩石力学、基础工程学等方 面，用来研究填筑和开挖问题、边坡稳定性问 题、土壤与结构的相互作用，坝、隧洞、钻孔、 涵洞、船闸等的应力分析，土壤与结构的动态 相互作用，应力波在土壤和岩石中的传播问题。
（3）在流体力学、水利工程学等方面，研究 流体的势流、流体的粘性流动、蓄水层和多孔 介质中的定常（非定常）渗流、水工结构和大 坝分析，流体在土壤和岩石中的稳态渗流，波 在流体中传播，污染的扩散问题。
➢有限单元法的特性
计算精度的可信性
随着单元数目的增加，近似解不断趋近于精确解。
计算的高效性
适合于计算机编程实现。
➢有限单元法的分析过程
结构物的离散
划分 单元
数据 建立 编码 信息 坐标
单 元 类 型 选 最 优 化 单 最 优 化 单 合适的坐标
择 （ 形 状 、 元 结 点 编 元 结 点 编 系（直角、
建立离散化 计算模型
（二维问题） （三维问题） （二阶问题） （四阶问题） （杆系问题） （组合体问题） （梁弯曲问题） （板弯曲问题）
单元分析 (科学规律)
形成总体方程 （组装总刚度阵） （组装载荷阵）
基础理论 (变分原理) (分片插值)
约束条件处理 (灵活、易错)
有限元方法的组成模块
解方程 (数值积分) (代数方程求解)
结点数等） 码
码
柱、球坐标）
➢有限单元法的分析过程
单元分析（结点位移与结点力的关系）
单元位 移模式
单元特 性分析
单元载 荷分析
形函数
单元刚度矩阵
等效荷载矩阵
➢有限单元法的分析过程
整体分析（结点位移与结点力的关系）
单元刚 度矩阵
有限元及其分析绪论PPT课件
以处理很复杂的连续介质问题，是一种普遍方法。
60年代后期，J.T.Oden 等学者进一步研究了加权残值法与有限元法之间的关系，建立有限元法的计算格式， 并指出有限元法所利用的主要是Galerkin加权残值法，它可以用于即使泛函无法构造或泛函根本不存在的 问题，从而进一步扩大了有限元法的应用领域。
1972年，J.T.Oden 出版了第一本处理非线性连续介质问题的专著 《非线性连续体的有限元法 》。
• 在此期间，O.C.Zienkiewicz、卞学璜、董平等人进一步推动有限元的发展，分别提出了等参单元、杂交 单元的概念。1967年，O.C.Zienk iewic e 和Y.K.Cheung( 张佑启) 出版了第一本有关有限元分析的专著 《连续体和结构的有限元法》，此书是有限元法的名著，后更名为《有限单元法》。
V
•
Galerkin 方法
在Galerkin方法中，选择的加权函数wi为试函数（如取为形函数N，wi=Ni ）
L(x) EIv' ' ' ' p
R(x) EIv' ' ' ' p
L
0 wi(EIv''''' p)dx 0
i 0~n
• 以三角函数为试探函数求ci • 以幂级数为试探函数求ci • 以形函数为试探函数求ci
近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似；利 用与原问题的等效的变分原理（如最小势能原理）建立有限元基本方程（刚度方程）又体现了其明确的物理背 景。
• 厚实的理论基础，数值计算稳定、高效
• 有限元法计算格式的建立既可基于物理概念推得，如刚度法、虚功原理，也可基于纯数学原理推 得，如泛函变分原理、加权残值法。通常直接刚度法、虚功原理用于杆系结构或结构问题的方程 建立；而变分原理设计泛函极值，既适用于简单的结构问题，也适应于更复杂的工程问题（如温 度场问题）。当给定的问题存在经典变分叙述时，则利用变分原理很容易建立这类问题的有限元 方程，如加权残值法。加权残值法由问题的基本微分方程出发而不依赖于泛函，可用于处理一般 问题的有限元方程建立，如流固耦合问题。所以，有限元法不仅具有明确的物理背景，更具有坚 实的数学基础，且数值计算的收敛性、稳定性均可从理论上得到证明，有关这方面的内容可参考 相关资料。
60年代后期，J.T.Oden 等学者进一步研究了加权残值法与有限元法之间的关系，建立有限元法的计算格式， 并指出有限元法所利用的主要是Galerkin加权残值法，它可以用于即使泛函无法构造或泛函根本不存在的 问题，从而进一步扩大了有限元法的应用领域。
1972年，J.T.Oden 出版了第一本处理非线性连续介质问题的专著 《非线性连续体的有限元法 》。
• 在此期间，O.C.Zienkiewicz、卞学璜、董平等人进一步推动有限元的发展，分别提出了等参单元、杂交 单元的概念。1967年，O.C.Zienk iewic e 和Y.K.Cheung( 张佑启) 出版了第一本有关有限元分析的专著 《连续体和结构的有限元法》，此书是有限元法的名著，后更名为《有限单元法》。
V
•
Galerkin 方法
在Galerkin方法中，选择的加权函数wi为试函数（如取为形函数N，wi=Ni ）
L(x) EIv' ' ' ' p
R(x) EIv' ' ' ' p
L
0 wi(EIv''''' p)dx 0
i 0~n
• 以三角函数为试探函数求ci • 以幂级数为试探函数求ci • 以形函数为试探函数求ci
近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似；利 用与原问题的等效的变分原理（如最小势能原理）建立有限元基本方程（刚度方程）又体现了其明确的物理背 景。
• 厚实的理论基础，数值计算稳定、高效
• 有限元法计算格式的建立既可基于物理概念推得，如刚度法、虚功原理，也可基于纯数学原理推 得，如泛函变分原理、加权残值法。通常直接刚度法、虚功原理用于杆系结构或结构问题的方程 建立；而变分原理设计泛函极值，既适用于简单的结构问题，也适应于更复杂的工程问题（如温 度场问题）。当给定的问题存在经典变分叙述时，则利用变分原理很容易建立这类问题的有限元 方程，如加权残值法。加权残值法由问题的基本微分方程出发而不依赖于泛函，可用于处理一般 问题的有限元方程建立，如流固耦合问题。所以，有限元法不仅具有明确的物理背景，更具有坚 实的数学基础，且数值计算的收敛性、稳定性均可从理论上得到证明，有关这方面的内容可参考 相关资料。