有限元方法ppt-02.
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有限元分析-动力学分析PPT课件
有限元分析-动力学分析ppt课件
目录
• 引言 • 有限元分析基础 • 动力学分析基础 • 有限元分析在动力学中的应用 • 案例分析 • 结论与展望
01 引言
目的和背景
01
介绍有限元分析在动力学分析中 的应用和重要性。
02
阐述本课件的目标和内容，帮助 读者了解有限元分析在动力学分 析中的基本概念、方法和应用。
随着工程复杂性和精确度要求的提高，有限元分析在动力学分析中的 应用将更加重要和必要。
02
未来需要进一步研究有限元分析算法的改进和优化，以提高计算效率 和精度。
03
未来需要加强有限元分析与其他数值计算方法的结合，如有限差分、 有限体积等，以实现更复杂的动力学模拟和分析。
04
未来需要加强有限元分析在多物理场耦合和多尺度模拟中的应用，以 更好地解决工程实际问题。
有限元分析的优点和局限性
• 精确性：对于某些问题，可以得到相当精确的结 果。
有限元分析的优点和局限性
数值误差
由于离散化的近似性，结果存在一定的数值误 差。
计算成本
对于大规模问题，计算成本可能较高。
对模型简化的依赖
结果的准确性很大程度上依赖于模型的简化程度。
03 动力学分析基础
动力学简介
动力学是研究物体运 动过程中力与运动关 系的科学。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
ห้องสมุดไป่ตู้
求解等。
02 有限元分析基础
有限元方法概述
01
有限元方法是一种数值分析方法，通过将复杂的物理系统离散化为有 限个简单元（或称为元素）的组合，来模拟和分析系统的行为。
02
它广泛应用于工程领域，如结构分析、流体动力学、热传 导等领域。
目录
• 引言 • 有限元分析基础 • 动力学分析基础 • 有限元分析在动力学中的应用 • 案例分析 • 结论与展望
01 引言
目的和背景
01
介绍有限元分析在动力学分析中 的应用和重要性。
02
阐述本课件的目标和内容，帮助 读者了解有限元分析在动力学分 析中的基本概念、方法和应用。
随着工程复杂性和精确度要求的提高，有限元分析在动力学分析中的 应用将更加重要和必要。
02
未来需要进一步研究有限元分析算法的改进和优化，以提高计算效率 和精度。
03
未来需要加强有限元分析与其他数值计算方法的结合，如有限差分、 有限体积等，以实现更复杂的动力学模拟和分析。
04
未来需要加强有限元分析在多物理场耦合和多尺度模拟中的应用，以 更好地解决工程实际问题。
有限元分析的优点和局限性
• 精确性：对于某些问题，可以得到相当精确的结 果。
有限元分析的优点和局限性
数值误差
由于离散化的近似性，结果存在一定的数值误 差。
计算成本
对于大规模问题，计算成本可能较高。
对模型简化的依赖
结果的准确性很大程度上依赖于模型的简化程度。
03 动力学分析基础
动力学简介
动力学是研究物体运 动过程中力与运动关 系的科学。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
ห้องสมุดไป่ตู้
求解等。
02 有限元分析基础
有限元方法概述
01
有限元方法是一种数值分析方法，通过将复杂的物理系统离散化为有 限个简单元（或称为元素）的组合，来模拟和分析系统的行为。
02
它广泛应用于工程领域，如结构分析、流体动力学、热传 导等领域。
有限元课件-第2讲-矩阵分析及弹性力学基础
有限元的离散化过程
总结词
离散化是有限元方法的核心步骤之一，它涉及到将连 续的物理系统划分为有限个离散的单元。离散化的精 度和单元类型的选择对求解结果的精度和计算效率有 很大的影响。
详细描述
离散化的过程通常需要根据所处理的问题和所用的数 学模型来确定。在离散化过程中，需要将连续的求解 区域划分为有限个小的单元，每个单元可以有不同的 形状和大小。同时，还需要确定每个单元的节点和边 界条件，以便建立整个系统的方程组。离散化的精度 越高，求解结果的精度就越高，但计算量也会相应增 大。因此，需要在精度和计算效率之间进行权衡。
过程求解。
LU分解
LU分解是将一个矩阵分解为一个 下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘 积。
迭代法
迭代法是一种求解线性代数方程组 的方法，通过不断迭代逼近解。
弹性力学中的基本矩阵
弹性矩阵
弹性矩阵是表示弹性力学中应 力与应变之间关系的矩阵。
刚度矩阵
刚度矩阵是表示结构刚度的矩 阵，用于有限元分析中。
质量矩阵
02
矩阵分析基础
矩阵的定义与运算
矩阵的定义
矩阵是一个由数字ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ成 的矩形阵列，表示为矩 形阵列的括号中的数字
。
矩阵的加法
矩阵的加法是将两个矩 阵的对应元素相加。
矩阵的数乘
数乘是指一个数与矩阵 中的每个元素相乘。
矩阵的乘法
矩阵的乘法仅适用于满 足特定条件的两个矩阵
。
线性代数方程组的求解
高斯消元法
高斯消元法是一种求解线性代数 方程组的方法，通过消元和回代
平衡方程
描述了物体在受力平衡状 态下的应力分布。
几何方程
描述了物体在受力后产生 的应变。
有限元ppt课件
15
里兹法:
选择一个定义于整个求解域 并满足边界条件的试探函数
将试探函数代入泛函表 达式,建立线性方程
求解方程 计算系数
16
设有边值问题
d2 y dx2
y
1
0
(1-8)
y(0) 0, y(1) 0
通过数学推导，求得其泛函为
I y(x) 1(1 y2 1 y2 y)dx
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW
1 2
F xdx
将F代入:
dW
1 2
x
x x dy
dU
dW
1 2
x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
边值问题的求解
泛函极值的求解
泛函:给定满足一定条件的函数集合A:{y(x)},和实数 集合R。设y(x)是A中的函数,V是R中的变量,若A和V 之间存在一个对应关系,就是A中的每个函数y(x),R 中都有唯一的V值与之对应,则称V是函数y(x)的泛函,
记为V=V(y(x))。
A称为泛函的定义域,可变函数y(x)称为自变函数,依赖 自变函数而变的量V,称为自变函数的泛函。
U T dV V
单位体积内的虚应变能为
U T
U
U
o
43
2.虚位移原理 虚位移原理又称虚功原理,是最基本的能量原理.
虚位移原理:如果在虚位移发生之前弹性体是平衡的, 那么在虚位移发生时,外力在虚位移上所做的功就等 于弹性体的虚应变能,即
里兹法:
选择一个定义于整个求解域 并满足边界条件的试探函数
将试探函数代入泛函表 达式,建立线性方程
求解方程 计算系数
16
设有边值问题
d2 y dx2
y
1
0
(1-8)
y(0) 0, y(1) 0
通过数学推导，求得其泛函为
I y(x) 1(1 y2 1 y2 y)dx
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW
1 2
F xdx
将F代入:
dW
1 2
x
x x dy
dU
dW
1 2
x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
边值问题的求解
泛函极值的求解
泛函:给定满足一定条件的函数集合A:{y(x)},和实数 集合R。设y(x)是A中的函数,V是R中的变量,若A和V 之间存在一个对应关系,就是A中的每个函数y(x),R 中都有唯一的V值与之对应,则称V是函数y(x)的泛函,
记为V=V(y(x))。
A称为泛函的定义域,可变函数y(x)称为自变函数,依赖 自变函数而变的量V,称为自变函数的泛函。
U T dV V
单位体积内的虚应变能为
U T
U
U
o
43
2.虚位移原理 虚位移原理又称虚功原理,是最基本的能量原理.
虚位移原理:如果在虚位移发生之前弹性体是平衡的, 那么在虚位移发生时,外力在虚位移上所做的功就等 于弹性体的虚应变能,即
有限单元法ppt课件
06
有限单元法的发展趋势和展 望
发展趋势
工程应用领域拓展
随着科技的发展，有限单元法在解决 复杂工程问题上的应用越来越广泛， 不仅局限于结构分析，还涉及到流体 动力学、热传导等领域。
与其他方法的结合
有限单元法正与其他数值方法（如有 限差分法、边界元法等）进行交叉融 合，形成更为强大的数值分析工具。
05
有限单元法的优缺点
优点
灵活性
有限单元法允许对复杂的几何形状进 行离散化，适用于解决各种形状和大 小的问题。
高效性
有限单元法能够处理大规模问题，通 过使用计算机技术，可以快速求解。
广泛的应用领域
有限单元法被广泛应用于工程、物理 、生物等领域，是一种通用的数值分 析方法。
易于理解和实现
有限单元法的基本概念直观易懂，且 实现起来相对简单。
01
利用线性代数方法，将 各个单元的数学模型和 节点信息组合成整体方
程组。
03
将节点的未知量返回到 原问题中，得到问题的
解。
05
根据问题的物理性质和 边界条件，建立单元的 数学模型和节点信息。
02
解整体方程组，得到节 点的未知量。
04
有限单元法的特点
适用范围广
可以用于解决各种类型的问题，如弹性力学 、流体力学、传热学等。
高精度与高效率
研究者们致力于开发更高效、精确的 算法，以解决大规模、非线性、动态 等复杂问题。
并行化与云计算应用
随着计算资源的丰富，有限单元法的 计算过程正逐步实现并行化，利用云 计算平台进行大规模计算已成为趋势 。
展望
理论完善与创新
随着工程实践的深入，有限单元法的理论体系将进一步完善，同时会 有更多创新性的算法和模型出现。
《有限元基础》课件
广泛适用性
有限元方法可以应用于各种物理问题和工程领域 ，如结构力学、流体力学、热传导、电磁场等。
高效性
有限元方法采用分块逼近的方式，将整体问题分 解为多个子问题，从而大大降低了问题的规模和 复杂度，提高了计算效率。
精度可控制
通过选择足够小的离散元尺寸和足够多的元数目 ，可以控制求解的精度，使得结果更加精确可靠 。
有限元方法对初值和边界条件 的选取比较敏感，不同的初值 和边界条件可能导致截然不同 的结果。
高阶偏微分方程的离散化 困难
对于一些高阶偏微分方程，有 限元方法的离散化过程可能会 变得相当复杂和困难。
有限元方法的发展趋势
并行化和高性能计算
随着计算机技术的发展，有限元方法的计算效率和精度得到了极大的提高。未来，随着并行化和高性能计算技术的进 一步发展，有限元方法的计算效率将会得到进一步提升。
02
有限元的数学基础
线性代数基础知识
向量与矩阵
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和基 本运算。
线性方程组
阐述线性方程组的基本概念、解法以及在有限元分析 中的应用。
特征值与特征向量
介绍特征值和特征向量的概念、计算方法以及在有限 元分析中的应用。
变分法基础知识
变分法的基本概念
阐述变分法的基本思想、定义和定理，以及在 有限元分析中的作用。
弱收敛与弱*收敛
03
介绍弱收敛和弱*收敛的概念、性质以及在有限元分析中的应用
。
03
有限元方法的基本步骤
问题的离散化
总结词
将连续的问题离散化，将连续体划分为有限个小的单元，每个单元称为有限元 。
详细描述
在有限元方法中，首先需要对实际问题进行离散化，即将连续的问题划分为有 限个小的单元，每个单元称为有限元。离散化的目的是将连续的物理量近似为 离散的数值，以便进行数值计算。
有限元方法可以应用于各种物理问题和工程领域 ，如结构力学、流体力学、热传导、电磁场等。
高效性
有限元方法采用分块逼近的方式，将整体问题分 解为多个子问题，从而大大降低了问题的规模和 复杂度，提高了计算效率。
精度可控制
通过选择足够小的离散元尺寸和足够多的元数目 ，可以控制求解的精度，使得结果更加精确可靠 。
有限元方法对初值和边界条件 的选取比较敏感，不同的初值 和边界条件可能导致截然不同 的结果。
高阶偏微分方程的离散化 困难
对于一些高阶偏微分方程，有 限元方法的离散化过程可能会 变得相当复杂和困难。
有限元方法的发展趋势
并行化和高性能计算
随着计算机技术的发展，有限元方法的计算效率和精度得到了极大的提高。未来，随着并行化和高性能计算技术的进 一步发展，有限元方法的计算效率将会得到进一步提升。
02
有限元的数学基础
线性代数基础知识
向量与矩阵
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和基 本运算。
线性方程组
阐述线性方程组的基本概念、解法以及在有限元分析 中的应用。
特征值与特征向量
介绍特征值和特征向量的概念、计算方法以及在有限 元分析中的应用。
变分法基础知识
变分法的基本概念
阐述变分法的基本思想、定义和定理，以及在 有限元分析中的作用。
弱收敛与弱*收敛
03
介绍弱收敛和弱*收敛的概念、性质以及在有限元分析中的应用
。
03
有限元方法的基本步骤
问题的离散化
总结词
将连续的问题离散化，将连续体划分为有限个小的单元，每个单元称为有限元 。
详细描述
在有限元方法中，首先需要对实际问题进行离散化，即将连续的问题划分为有 限个小的单元，每个单元称为有限元。离散化的目的是将连续的物理量近似为 离散的数值，以便进行数值计算。
有限元法PPT课件
和时间。
如何克服局限性
改进模型
通过更精确地描述实际 结构，减少模型简化带
来的误差。
优化网格生成
采用先进的网格生成技 术，提高网格质量，降
低计算误差。
采用高效算法
采用并行计算、稀疏矩 阵技术等高效算法，提
高计算效率。
误差分析和验证
对有限元法的结果进行误 差分析和验证，确保结果
的准确性和可靠性。
05 有限元法的应用实例
有限元法ppt课件
目 录
• 引言 • 有限元法的基本原理 • 有限元法的实现过程 • 有限元法的优势与局限性 • 有限元法的应用实例 • 有限元法的前沿技术与发展趋势 • 结论
01 引言
有限元法的定义
01
有限元法是一种数值分析方法， 通过将复杂的结构或系统离散化 为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来模拟和分析其行为。
有限元法在流体动力学分析中能够处理复杂的流体流动和 压力分布。
详细描述
通过将流体域离散化为有限个小的单元，有限元法能够模 拟流体的流动、压力、速度等状态，广泛应用于航空、航 天、船舶等领域。
实例
分析飞机机翼在不同飞行状态下的气动性能，优化机翼设 计。
热传导分析
总结词
有限元法在热传导分析中能够处理复杂的热传递过程。
实例
分析复杂电磁设备的电磁干扰问题，优化设备性能。
06 有限元法的前沿技术与发 展趋势
多物理场耦合的有限元法
总结词
多物理场耦合的有限元法是当前有限元法的重要发展方向， 它能够模拟多个物理场之间的相互作用，为复杂工程问题提 供更精确的解决方案。
详细描述
多物理场耦合的有限元法涉及到流体力学、热力学、电磁学 等多个物理场的耦合，通过建立统一的数学模型，能够更准 确地模拟多物理场之间的相互作用。这种方法在航空航天、 能源、环境等领域具有广泛的应用前景。
如何克服局限性
改进模型
通过更精确地描述实际 结构，减少模型简化带
来的误差。
优化网格生成
采用先进的网格生成技 术，提高网格质量，降
低计算误差。
采用高效算法
采用并行计算、稀疏矩 阵技术等高效算法，提
高计算效率。
误差分析和验证
对有限元法的结果进行误 差分析和验证，确保结果
的准确性和可靠性。
05 有限元法的应用实例
有限元法ppt课件
目 录
• 引言 • 有限元法的基本原理 • 有限元法的实现过程 • 有限元法的优势与局限性 • 有限元法的应用实例 • 有限元法的前沿技术与发展趋势 • 结论
01 引言
有限元法的定义
01
有限元法是一种数值分析方法， 通过将复杂的结构或系统离散化 为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来模拟和分析其行为。
有限元法在流体动力学分析中能够处理复杂的流体流动和 压力分布。
详细描述
通过将流体域离散化为有限个小的单元，有限元法能够模 拟流体的流动、压力、速度等状态，广泛应用于航空、航 天、船舶等领域。
实例
分析飞机机翼在不同飞行状态下的气动性能，优化机翼设 计。
热传导分析
总结词
有限元法在热传导分析中能够处理复杂的热传递过程。
实例
分析复杂电磁设备的电磁干扰问题，优化设备性能。
06 有限元法的前沿技术与发 展趋势
多物理场耦合的有限元法
总结词
多物理场耦合的有限元法是当前有限元法的重要发展方向， 它能够模拟多个物理场之间的相互作用，为复杂工程问题提 供更精确的解决方案。
详细描述
多物理场耦合的有限元法涉及到流体力学、热力学、电磁学 等多个物理场的耦合，通过建立统一的数学模型，能够更准 确地模拟多物理场之间的相互作用。这种方法在航空航天、 能源、环境等领域具有广泛的应用前景。
有限元方法及应用_02基本理论
1 2
uT
L(u)
1 2
uT
L(u)
d
b.t.(
u,
u)
1 uT L(u)d b.t.( u,u)
2
伽辽金提法等效为
(u) 0
(u)
1 2
uT
L(u)
uT
f
d
b.t.(u)
sdustzhu
泛函的极值性
u 0
u
1m
CT
uC
u
uT
f
d
b.t.(u)
u uu
u u u u u 1 2 u
v1
v
Байду номын сангаас
v2
v
x
k
x
y
k
y
Q
d
q
v
k
n
q
d
0
sdustzhu
Ω vT Au dΩ+Γ v TB u dΓ 0
如果在微分算子A出现的最 高阶导数是n阶，则要求函数u 必须具有连续的n-1阶导数，即 函数应具有Cn-1连续性。
sdustzhu
微分方程的等效积分“弱”形式
2
1 2
2
u
1 2
1m
CT
u C
u d
sdustzhu
Ritz法
n
u u Niai Na i 1
a1
a1
a2
a2
+
an
an
0
a1
a
a2
0
an
sdustzhu
对于二次泛函
Ka p 0 a
1 aT Ka aT P 2
1 aT Ka 1 aT K a aT P
有限元课件ppt
整体刚度矩阵
将所有单元的刚度矩阵依照一定的方式组合起来，形成整体的刚度 矩阵。
载荷向量与束缚条件
载荷向量
表示作用在结构上的外力，包括集中力和散布力。
束缚条件
表示结构在某些结点上的位移受到限制，常见的束缚有固定束缚、 弹性束缚等。
载荷向量和束缚条件的引入
在建立整体刚度矩阵后，需要将载荷向量和束缚条件引入到整体刚 度矩阵中，形成完全的线性方程组。
并行计算
采取并行计算技术，提高计算效率。
算法改进
优化算法，提高计算精度和效率。
06 有限元分析软件 介绍
ANSYS
01
功能特点
ANSYS是一款功能强大的有限元分析软件，广泛应用于结构、流体、
电磁等多种工程领域。它提供了丰富的建模工具和求解器，能够处理复
杂的工程问题。
02
优点
ANSYS具有友好的用户界面和强大的前后处理功能，使得建模和网格
有限元法的应用领域
结构分析
有限元法在结构分析中应用最 为广泛，可以用于分析各种类 型的结构，如桥梁、建筑、机
械零件等。
热传导
有限元法可以用于求解温度场 的问题，如热传导、热对流和 热辐射等问题。
流体动力学
有限元法在流体动力学领域也 有广泛应用，可以用于求解流 体流动和流体传热等问题。
其他领域
除了上述领域外，有限元法还 广泛应用于电磁场、声场、化
学反应等领域。
02 有限元的数学基 础
线性代数基础
向量与矩阵
01
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和运算规则等
。
线性方程组
02
论述线性方程组的解法，包括高斯消元法、LU分解等。
特征值与特征向量
将所有单元的刚度矩阵依照一定的方式组合起来，形成整体的刚度 矩阵。
载荷向量与束缚条件
载荷向量
表示作用在结构上的外力，包括集中力和散布力。
束缚条件
表示结构在某些结点上的位移受到限制，常见的束缚有固定束缚、 弹性束缚等。
载荷向量和束缚条件的引入
在建立整体刚度矩阵后，需要将载荷向量和束缚条件引入到整体刚 度矩阵中，形成完全的线性方程组。
并行计算
采取并行计算技术，提高计算效率。
算法改进
优化算法，提高计算精度和效率。
06 有限元分析软件 介绍
ANSYS
01
功能特点
ANSYS是一款功能强大的有限元分析软件，广泛应用于结构、流体、
电磁等多种工程领域。它提供了丰富的建模工具和求解器，能够处理复
杂的工程问题。
02
优点
ANSYS具有友好的用户界面和强大的前后处理功能，使得建模和网格
有限元法的应用领域
结构分析
有限元法在结构分析中应用最 为广泛，可以用于分析各种类 型的结构，如桥梁、建筑、机
械零件等。
热传导
有限元法可以用于求解温度场 的问题，如热传导、热对流和 热辐射等问题。
流体动力学
有限元法在流体动力学领域也 有广泛应用，可以用于求解流 体流动和流体传热等问题。
其他领域
除了上述领域外，有限元法还 广泛应用于电磁场、声场、化
学反应等领域。
02 有限元的数学基 础
线性代数基础
向量与矩阵
01
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和运算规则等
。
线性方程组
02
论述线性方程组的解法，包括高斯消元法、LU分解等。
特征值与特征向量
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Ux=0, Uy=0, θz=0
材料力学超静定05
线性叠加原理： p
A
=
p
+
Ubx=0,
+
Uby=0,
θbz=0
+
Fy B
Mz Fx
Fx
Fy
Mz
材料力学超静定06
柔度法——力法
D1=D1P+ δ11F1 + δ12 F2+ δ13 F3+… +δ1nFn
Dn=DnP+ δn1F1 + δn2 F2+ δn3 F3+… +δnnFn
2.2节点力与节点位移之间的关系— —单元刚度矩阵
单元节点的单位位移与单元节点力的关系 单元节点的位移与单元节点力的关系 单元刚度矩阵
2.2节点力与节点位移之间的关系— —单元刚度矩阵
F1 u1
1 1
u1=1 1
l x
a
对于单元a
F2
u2
F1 F2
Ka
uu12
K11 K 21
K12 K 22
uu12
2
即FF12
K11u1 K 21u1
K12u2 K22u2
2
令uu12
10,
那么KK1211
FF12
2.1有限元法基本思路
单元划分原则: 两个节点之间的杆件构成一个单元 杆件的交点 杆件截面变化处 支承点、自由端 集中载荷作用处 欲求位移处
2.1有限元法基本思路
p
p
3
2
4
24
6
3
5
1
1
5
p
p
p
绗架的力学计算简图——移置载荷
2.1有限元法基本思路
p
4 N3
UY UX
N2
A
B
L
超静定梁的基本系统：解除的多余约束 Ubx, Uby, θbz 对应的多余未知力Fbx, Fby Mbz
材料力学超静定03
2)将原系统上的载荷以及多余未知力加在基 本系统上，称为相当系统。
p
Fy
A
B
Mz Fx
超静定梁的相当系统
材料力学超静定04
3)要使相当系统能够代替原来系统，则两 者在变形情况上应完全一致。即，相当系 统在多余未知力作用处的位移能够满足一 定条件——符合原系统在多余约束处的变 形谐调条件。
多余约束：多于维持结构的几何不变性所 需的支座或杆件或自由度。
p
A
B
L
Ubx=0, Uby=0, θbz=0 超静定梁,B端三次超静定。Fbx≠0, Fby≠0, Mbz≠0
材料力学超静定02
解超静定系统的一般原则： 1)解除超静定系统中的多余约束，得到静定 的基本系统。与多余约束相对应的未知力 称为多余未知力。
12E l3
I
6EI
l2
6EI
l2 4EI
l 6EI l2 2EI
l
12EI l3 6EI
l2 12EI
l3 6EI
l2
6EI
l2 2EI
l
6E l2
I
4EI
l
材料力学超静定01
超静定系统：支反力或内力不能单凭静力 平衡方程式求解的结构系统。
u1EA
l u1E
A；
l
2
令uu12
10,
那么KK
21 22
F1 F2
uu2 2ElEAA。
l
u2=1
EA
K
a
l EA
l
EEAlA l
N6
N4
∑FX=0 ∑FY=0
3 建立节点 4 的平衡方程——求杆件内力N
2.1有限元法基本思路
一个节点处的未知力的数目，往往多于一个节点 所能建立的平衡方程的数目。
节点的位移数目，恰好等于该节点能够建立的平 衡方程的数目。
只要将单元节点力用节点位移表示，无论有多少 个未知力，都可以通过建立以节点位移表示的节 点力平衡方程求出。
2.2节点力与节点位移之间的关系— —单元刚度矩阵
v1Q1l NhomakorabeaM1θ1 1
a
2
M2
v2 θ2
Q2
Q1
v1 K11 K12 K13 K14 v1
M1 Q2
M 2
K
a
v21 2
K 21 KK3411
柔度方程与矩阵
D1
δ11δ12δ13δ14δ15…δ1n F1 D1P
D2
δ21
F2 D2P
=
+
Dn
δn1
δnn Fn DnP
柔度法——力法
对于n次超静定结构，解除n个约束条件； 选择对应的n个未知力F1,F2,,,Fn； 将实际载荷作用在基本系统上，得到相应于n个未知力处
的n个位移D1P,D2P,…,DnP。 将n个未知力的单位值分别作用在基本系统上。由每个单
位力，确定相应于所有n个未知力处的n个柔度δij。 柔度δij：定义为由于Fj处力的单位值所引起相应于Fi力处 的位移。 实际位移D1,D2,…,Dn等于载荷产生的位移与未知力产生的 位移之和。（位移的协调方程）
有限元的直接法
2.1有限元法的基本思路 2.2直接法
单元节点单位位移与节点力的关系 材料力学超静定 柔度法——力法 刚度法——位移法 单元刚度矩阵、系统总刚度矩阵
2.1有限元法基本思路
1区域的离散 2插值多项式 3单元刚度矩阵和力向量# 4系统方程的建立# 5引入边界条件# 6有限元方程的求解 7单元数据的处理
建立单元节点力与单元节点位移之间的关系—— 单元方程。
2.2节点力与节点位移之间的关系— —单元刚度矩阵
在结构力学中，直接应用材料力学公式和结构力 学公式来建立结构的单元刚度矩阵和力向量。也 称为直接公式法。
涉及的力学原理有： 1)线性叠加原理； 2)杆与梁的拉伸、扭转和弯曲公式； 3)超静定结构的刚度法或柔度法； 4)力系平衡。
K 22 K32 K 42
K 23 K33 K 43
K 24 K34 K 44
v21 2
12EI
v1 当v21
2
1 K11 00，KK1123 0 K14
Q1
M1 Q2
M 2
l3 6EI
l2 12EI
l3 6EI
；
l 2
并依次令仅其他位移为单位1，可以求得：
12EI
l3 6EI
Ka
l2
材料力学超静定05
线性叠加原理： p
A
=
p
+
Ubx=0,
+
Uby=0,
θbz=0
+
Fy B
Mz Fx
Fx
Fy
Mz
材料力学超静定06
柔度法——力法
D1=D1P+ δ11F1 + δ12 F2+ δ13 F3+… +δ1nFn
Dn=DnP+ δn1F1 + δn2 F2+ δn3 F3+… +δnnFn
2.2节点力与节点位移之间的关系— —单元刚度矩阵
单元节点的单位位移与单元节点力的关系 单元节点的位移与单元节点力的关系 单元刚度矩阵
2.2节点力与节点位移之间的关系— —单元刚度矩阵
F1 u1
1 1
u1=1 1
l x
a
对于单元a
F2
u2
F1 F2
Ka
uu12
K11 K 21
K12 K 22
uu12
2
即FF12
K11u1 K 21u1
K12u2 K22u2
2
令uu12
10,
那么KK1211
FF12
2.1有限元法基本思路
单元划分原则: 两个节点之间的杆件构成一个单元 杆件的交点 杆件截面变化处 支承点、自由端 集中载荷作用处 欲求位移处
2.1有限元法基本思路
p
p
3
2
4
24
6
3
5
1
1
5
p
p
p
绗架的力学计算简图——移置载荷
2.1有限元法基本思路
p
4 N3
UY UX
N2
A
B
L
超静定梁的基本系统：解除的多余约束 Ubx, Uby, θbz 对应的多余未知力Fbx, Fby Mbz
材料力学超静定03
2)将原系统上的载荷以及多余未知力加在基 本系统上，称为相当系统。
p
Fy
A
B
Mz Fx
超静定梁的相当系统
材料力学超静定04
3)要使相当系统能够代替原来系统，则两 者在变形情况上应完全一致。即，相当系 统在多余未知力作用处的位移能够满足一 定条件——符合原系统在多余约束处的变 形谐调条件。
多余约束：多于维持结构的几何不变性所 需的支座或杆件或自由度。
p
A
B
L
Ubx=0, Uby=0, θbz=0 超静定梁,B端三次超静定。Fbx≠0, Fby≠0, Mbz≠0
材料力学超静定02
解超静定系统的一般原则： 1)解除超静定系统中的多余约束，得到静定 的基本系统。与多余约束相对应的未知力 称为多余未知力。
12E l3
I
6EI
l2
6EI
l2 4EI
l 6EI l2 2EI
l
12EI l3 6EI
l2 12EI
l3 6EI
l2
6EI
l2 2EI
l
6E l2
I
4EI
l
材料力学超静定01
超静定系统：支反力或内力不能单凭静力 平衡方程式求解的结构系统。
u1EA
l u1E
A；
l
2
令uu12
10,
那么KK
21 22
F1 F2
uu2 2ElEAA。
l
u2=1
EA
K
a
l EA
l
EEAlA l
N6
N4
∑FX=0 ∑FY=0
3 建立节点 4 的平衡方程——求杆件内力N
2.1有限元法基本思路
一个节点处的未知力的数目，往往多于一个节点 所能建立的平衡方程的数目。
节点的位移数目，恰好等于该节点能够建立的平 衡方程的数目。
只要将单元节点力用节点位移表示，无论有多少 个未知力，都可以通过建立以节点位移表示的节 点力平衡方程求出。
2.2节点力与节点位移之间的关系— —单元刚度矩阵
v1Q1l NhomakorabeaM1θ1 1
a
2
M2
v2 θ2
Q2
Q1
v1 K11 K12 K13 K14 v1
M1 Q2
M 2
K
a
v21 2
K 21 KK3411
柔度方程与矩阵
D1
δ11δ12δ13δ14δ15…δ1n F1 D1P
D2
δ21
F2 D2P
=
+
Dn
δn1
δnn Fn DnP
柔度法——力法
对于n次超静定结构，解除n个约束条件； 选择对应的n个未知力F1,F2,,,Fn； 将实际载荷作用在基本系统上，得到相应于n个未知力处
的n个位移D1P,D2P,…,DnP。 将n个未知力的单位值分别作用在基本系统上。由每个单
位力，确定相应于所有n个未知力处的n个柔度δij。 柔度δij：定义为由于Fj处力的单位值所引起相应于Fi力处 的位移。 实际位移D1,D2,…,Dn等于载荷产生的位移与未知力产生的 位移之和。（位移的协调方程）
有限元的直接法
2.1有限元法的基本思路 2.2直接法
单元节点单位位移与节点力的关系 材料力学超静定 柔度法——力法 刚度法——位移法 单元刚度矩阵、系统总刚度矩阵
2.1有限元法基本思路
1区域的离散 2插值多项式 3单元刚度矩阵和力向量# 4系统方程的建立# 5引入边界条件# 6有限元方程的求解 7单元数据的处理
建立单元节点力与单元节点位移之间的关系—— 单元方程。
2.2节点力与节点位移之间的关系— —单元刚度矩阵
在结构力学中，直接应用材料力学公式和结构力 学公式来建立结构的单元刚度矩阵和力向量。也 称为直接公式法。
涉及的力学原理有： 1)线性叠加原理； 2)杆与梁的拉伸、扭转和弯曲公式； 3)超静定结构的刚度法或柔度法； 4)力系平衡。
K 22 K32 K 42
K 23 K33 K 43
K 24 K34 K 44
v21 2
12EI
v1 当v21
2
1 K11 00，KK1123 0 K14
Q1
M1 Q2
M 2
l3 6EI
l2 12EI
l3 6EI
；
l 2
并依次令仅其他位移为单位1，可以求得：
12EI
l3 6EI
Ka
l2