随机过程课件复习题
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丄20 25 1. 设｛2V(r)J>0｝是一更新过程，已知P ｛X. =1｝ = 1/3, P ｛X i =2｝ = 2/3,则 P ｛N(3) = 2｝=§ 2.若Markov 链只存在一个类，则称它是不可约的，若状态同属一类,则d ① 与d(j)的大小关系d ⑴=d(j) (<,>,=)丄 423.设Markov 链的状态空间S = (1,2,3),转移矩阵P=-4..设｛B(f),宀 0｝是标准 Brown 运动，则 P(B(2)<0) = |.题目：X(/) = sin",U ~U[0,2刃.试判断X(/)为宽平稳还是严平稳过程.解：EX (t) = E(sin Ut) - ~ sin utdu = 01 ® 1= E(sinUtsinUs) = 一 I ——[cos+ 51) - cos u(t - s)]du2龙力 21 —,t = s =<2 0,心s故｛X(t)｝为宽平稳过程。
又sinU 与sin2U 的分布函数不同，故｛X (t)｝不是严平稳的 题目：MaMov 链的状态空间S = {1,2,3,4}，—步转移概率矩阵‘％0 o '1 0 0 0 0 % % 0%0 丿试对其状态进行分类，确定哪些是常返态,并确定其周期解：1.由转移概率矩阵知：10 2,并且有3 ^2,2^3； 4 T 2,2/4； 4宀3,3“4;故状态空间可以分为：S = {1,2}U ⑶U{4}.2.由转移概率矩阵知：几〉0(心1,2),所以状态1和2都是非周期的，又10 2故状态2也是非周期的.从状态4出发不可能返回到状态4,即集合{zz:z/>l,/^>0}为空集，故状态4的周期无穷大./11=z/H ,,=/H n +/r+/1<13,+-+/r+-n=l=i + 1 +0+---+0+•••2 2=1所以状态1为常返态，又1^-2,故2是常返态. ......... 4分+8f— f（"）= f ⑴ + f ⑵f ⑶+ …丿33 厶丿33 丿33 丁丿33 丁丿33 丁n-12=—+ 0 + 0 +•••3 厶13所以状态3为非常返态.+00f— N' f（"）—f ⑴ + f ⑵+ …J 44 丿44 J 44 ' J 44 ~n=l= 0 + 0 —=0<1故状态3也是非常返态.题目：将两个红球4个白球分别放入甲乙两个盒子中.每次从两个盒子中各取一球交换，以X(“)记第n次交换后甲盒中的红球数.1.说明｛X(n),n> 0｝是一Markov链并求转移矩阵P ；2.试证(X(n), n = 0,1,2, •••｝是遍历的；3.求它的极限分布.解：1.设X(“)为"次交换后甲盒中的红球数，则易见｛X(“)｝是马尔可夫链，状态空间为S =｛0,1,2｝；n 1 02 2转移矩阵为p = 3 4 18 8 80 1 0丿2.山于5 = ｛0,1,2｝有限，且S中状态互通，即不可约的，故｛X(")｝是正常返的，又状态1为非周期的，故1是遍历的，所以｛X®)｝是遍历链.题目：> 0｝为标准Brow”运动，验证｛X(/) = (1 -^―)｝, 0 V / V1｝是Brow”桥.1-t解：因为E[X(t)] = (l-t)E B(—) -01 — t皿⑴］n咕)")吩所以｛X(/)｝是Gauss过程，均值为零，协方差为5(1-0 ,即为Brown。
随机过程复习题答案
随机过程习题解答（一）第一讲作业：1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。
（a）分别写出随机变量和的分布密度（b）试问：与是否独立？说明理由。
解：（a）（b）由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。
2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。
（a）试求和的相关系数；（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。
解：（a）利用的独立性，由计算有：（b）当的时候，和线性相关，即3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。
解：由定义，有：4、考察两个谐波随机信号和，其中：式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。
（a）求的均值、方差和相关函数；（b）若与独立，求与Y的互相关函数。
解：（a）（b）第二讲作业：P33/2．解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度：P33/3．解：由周期性及三角关系，有：反函数，因此有一维分布：P35/4. 解：(1) 其中由题意可知，的联合概率密度为：利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且V和相互独立独立。
（2）典型样本函数是一条正弦曲线。
（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。
（4）由于：所以因此当时，当时，由（1）中的结论，有：P36/7．证明：(1)(2) 由协方差函数的定义，有：P37/10. 解：（1）（2）当i=j 时；否则令，则有第三讲作业：P111/7．解：（1）是齐次马氏链。
经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。
（2）由题意，我们有一步转移矩阵：P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：（2）由齐次马氏链的性质，有：，因此：P112/9．解：（1）（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得：；计算有：，递推得到，因此有：P112/11．解：矩阵的特征多项式为：由此可得特征值为：，及特征向量：，令矩阵则有：因此有：P112/12．解：设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。
随机过程复习题07
1、填空题 、
（1）设随机变量 X 服从正态分布 N(0,4)，则其特征函 ） ， 数 f X (t ) 为 ；
n 存在， （2）若随机变量 X 的 n 阶矩 E ( X ) 存在，则 X 的特征 ）
函数 g(t)可微分 n 次，且当 k ≤ n 时， 可微分 关系为
（3） ） 设 则 X 的特征函ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ g ( t1 , t 2 , L , t n ) =
；
( pijn ) 与首 （19）对一齐次马氏链，其任意 n 步转移概率 ）对一齐次马氏链，
f ij(l ) 之间的关系为 达概率
。
是均方连续的平稳过程， （20）设 { X ( t ), −∞ < t < ∞ } 是均方连续的平稳过程，则 ） 它的均值具有各态历经性的充要条件为 ；
(21) 、 设 平 稳 随 机 过 程 { X ( t ), −∞ < t < ∞ } 的 相 关 函 数 RX (τ ) = 6cos(ω 0τ + π ) ，则 X(t)的平均功率为 的平均功率为 ；
f ij( n ) =
；
f ij(n ) 定义表达式为 定义表达式为
（14）对一齐次马氏链，其首达概率 ）对一齐次马氏链， f ij(n ) = ；
lin X m − X n = m , n→∞
（15）设随机序列 { X n , n ≥ 1} 均方收敛于随机变量 X，则 ） ， ；
为马尔可夫链， 为常返态， （16）设 { X n , n ∈ T } 为马尔可夫链，已知 i 为常返态，其 ） 平均返回时间为 a，周期为 d，则 ， ，
14、已知平稳随机过程 X (t ) 的谱密度函数为 、
(完整)随机过程复习试题及答案,推荐文档
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
证明：当12n 0t t t t <<<<<L 时，1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤L =n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x )≤L =n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤L =n n P(X(t)x X(t )=x )≤3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p pl l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
证明：{}(n)ij k IP P X(n)=j X(0)=i P X(n)=j,X(l)=k X(0)=i ∈⎧⎫==⎨⎬⎩⎭U ={}k I P X(n)=j,X(l)=k X(0)=i ∈∑ ={}{}k IP X(l)=k X(0)=i P X(n)=j X(l)=k,X(0)=i ∈∑g =(l)(n-l)ik kjPP ∑，其意义为n 步转移概率可以用较低步数的转移概率来表示。
4.设{}N(t),t 0≥是强度为λ的泊松过程，{}k Y ,k=1,2,L 是一列独立同分布随机变量，且与{}N(t),t 0≥独立，令N(t)k k=1X(t)=Y ,t 0≥∑，证明：若21E(Y <)∞，则[]{}1E X(t)tE Y λ=。
随机过程复习题2的答案
随机过程复习题2的答案1. 定义：随机过程是定义在概率空间上的随机变量序列，这些随机变量随时间或空间的变化而变化。
2. 分类：- 离散时间随机过程：随机变量序列的索引是离散的，例如整数序列。
- 连续时间随机过程：随机变量序列的索引是连续的，例如时间序列。
3. 基本特征：- 概率分布：描述随机过程在任意时刻的状态分布。
- 联合分布：描述随机过程在多个时刻的状态分布。
4. 重要随机过程：- 泊松过程：描述在固定时间或空间内随机事件发生的次数。
- 布朗运动（Wiener过程）：连续时间随机过程，具有独立增量和正态分布的增量。
5. 随机过程的数学描述：- 随机变量函数：每个时刻的随机变量可以看作是时间的函数。
- 样本路径：随机过程在特定样本空间中的实现。
6. 随机过程的性质：- 平稳性：如果随机过程的统计特性不随时间变化，则称其为平稳的。
- 遍历性：如果随机过程在足够长的时间后，其统计特性与初始状态无关，则称其具有遍历性。
7. 随机过程的应用：- 信号处理：分析和处理信号中的随机成分。
- 金融数学：模拟股票价格的变动。
8. 随机过程的数学工具：- 期望：随机过程在某一时刻的期望值。
- 方差：随机过程在某一时刻的方差，衡量其波动大小。
- 协方差和相关系数：描述不同时刻随机变量之间的关系。
9. 随机过程的极限定理：- 大数定律：随着时间的增长，随机过程的样本均值趋于其期望值。
- 中心极限定理：在一定条件下，随机过程的和趋于正态分布。
10. 随机过程的模拟：- 使用计算机模拟随机过程，例如通过生成随机数来模拟泊松过程或布朗运动。
结束语：随机过程是理解现实世界中不确定性现象的重要工具。
通过对随机过程的学习，我们能够更好地分析和预测各种随机现象，为科学研究和工程实践提供理论支持。
随机过程例题(课堂PPT)
2020/4/26
10
4谱分析
例3 设随机序列X(n) = W(n) +W(n-1)，其中W(n)是高斯随
机序列，mW=0, RW(m)=2(m)，求X(n)的均值、自相关 函数和谱密度 GX () .
[解]
mX (n) E[X (n)] E[W (n) W (n 1)] 0
mZ (t) 0
n
RZ (s, t)
e 2 jk (st ) k
k 1
2020/4/26
4
3平稳过程
例1
• 设有随机相位过程 X (t) = a sin(t+)，a, 为常数， 为
(0, 2)上服从均匀分布的随机变量，试讨论随机过程 X (t) 的平稳性。
[解]
2
E[ X (t)] E[a sin(t )] a sin(t ) f ( )d
cos
RX ( )
RY (t,t
)(t)和 Y (t)均是平稳过程。
RXY (t, t ) E[ X (t)Y (t )] E{a cos(t )b sin[(t ) ]}
ab sin
2
RXY ( )
所以
2020/4/26
X
(t)和
Y
(t)
是联合平稳的。
0
a
2
sin(t )d 0
2 0
RX (t,t ) E[ X (t) X (t )]
2 a2 sin(t ) sin[(t ) ]d a2 cos
0 2
2
2020/4/26 因此 X (t)是平稳随机过程。
5
3平稳过程
例2（白噪声序列）
• 设 { Xn , n = 0, 1, 2, } 是实的互不相关随机变量
随机过程复习题答案
随机过程复习题答案
1. 随机过程的定义是什么？
答：随机过程是一组随机变量的集合，这些随机变量是时间或空间的函数，用来描述系统随时间或空间的演变。
2. 什么是马尔可夫链？
答：马尔可夫链是一种随机过程，其中未来状态的概率分布仅依赖于当前状态，而与之前的状态无关。
3. 描述随机游走的特点。
答：随机游走是一种马尔可夫过程，其中每一步移动到相邻状态的概率是固定的，并且每一步都是独立的。
4. 什么是平稳过程？
答：平稳过程是指其统计特性不随时间变化的过程，即过程的均值、方差和自相关函数不随时间变化。
5. 如何定义一个过程的遍历性质？
答：一个过程的遍历性质是指该过程的样本函数的统计特性与该过程的总体统计特性相一致。
6. 什么是鞅？
答：鞅是一种随机过程，其中给定当前和过去信息，未来某个时间点的期望值等于当前的值。
7. 描述泊松过程的基本性质。
答：泊松过程是一种计数过程，具有独立增量、平稳增量和泊松分布的到达时间间隔等基本性质。
8. 什么是布朗运动？
答：布朗运动是一种连续时间随机过程，其增量服从正态分布，且具有独立性和平稳性。
9. 如何确定一个过程是否是高斯过程？
答：如果一个过程的所有有限维分布都是多元正态分布，则该过程是高斯过程。
10. 什么是随机过程的谱分析？
答：随机过程的谱分析是研究过程功率谱密度的方法，它描述了过程在不同频率上的功率分布。
最终版随机过程总复习汇总.ppt
分析 先求 X (t) 的概率分布
整理
解 对每一个确定的时刻 t， X (t) 的概率分布为
t
X (t) 3
t
e
2
1
P
3
3
所以
F(t1；x1 ) P( X(t1) x1)
0,
2, 3 1，
t x1 3
t 3
x1
et
x1 et
整理
随机过程的数字特征
1．均值函数 X (t) E[X (t)]
计算协方差时通常用下列关系式：
C ov( X ,Y ) E(XY ) E(X )E(Y )
整理
三、矩母函数
1．定义 称 e tX的数学期望 (t) E[etX ]
为X的矩母函数
2．原点矩 利用矩母函数可求得X的各阶矩，即对
的求法
(t)逐次求导并计算在 t 0 点的值：
(t) E[XetX ] （n)(t) E[X netX ]
Y X1 X2 Xr 的特征函数为
Y (t) 1(t ) 2 (t ) … r (t )
两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于它 们的特征函数之积.
整理
练习:设随机变量X的概率密度函数为
p(
x)
1 2
x
0 x2
0 其 它
试求X的矩母函数。
解： (t ) E[etX ] 2 etx 1 xdx
Y (t) E[Ut2] t 2E[U] 所以 X (t) 和Y (t) 的互协方差函数
XY (t1 , t2 ) E{[X(t1) t1E(U)][Y(t2 ) t22E(U)]}
t1t22E[(U E(U))2] t1t22D(U ) 3t1t22
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（随机过程）
12.18 课后提交作业
12.23 下午考试
复习提纲：
1.特征函数、母函数、条件期望； 2.随机过程的分布(一、二维) 及数学特征 重要过程中的维纳过程和正态过程； 3.泊松过程：重点齐次泊松过程的定义及基本 性质(分布、数字特征、时间间隔与等待时间 分布、到达时间的条件分布等)
E[ X ( s) X (t )]
E E [( Ycos( cos( s ) sin( s ))( Y cos( t) Z sin( t )) E [( Y cos( s) ) ZZ sin( s ))( Y cos( cos( Z sin( [( Y s Z sin( Y t t) ) Z sin( tt))] ))] 2 s ))( cos( s) cos( t ) E (Y 2 )2 cos( s)sin( t ) E (YZ ) 2 E [(cos( s ) cos( t ) Y cos( s ) YZ E [(cos( scos( ) cos( t )Y cos( cos( s ) sin( t )) YZ E [(cos( s) t )Y s ) sin( sin( t t) ) YZ ) )
E[ X (t ) (t )] EX E
mX (t ) (t )
BY (t1 , t2 ) RY (t1 , t2 ) mY (t1 )mY (t2 )
E[Y (t1 )Y (t2 )] mY (t1 )mY (t2 )
E[( X (t1 ) (t1 ))( X (t2 ) (t2 ))] mX (t1 ) (t1 ) mX (t2 ) (t2 )
E[ X ( s) X (t )]
E[( [( Y cos( cos( Z sin( s ))( Y cos( t ) Z sin( t )) E Y s ) Z sin( s ))( Y tt ) ZZ sin( t ))] cos( ss )) Z sin( s ))( Ycos( cos( ) sin( t ))] 22 2 cos( E [(cos( s ) cos( t ) Y ssin( ) sin( t )) YZ Y ss )) sin( t) YZ E E[(cos( [(cos( s s) )cos( cos( tt)) Y cos( cos( t )YZ ) ) 2 2 EY=EZ=0 2 sin( sin( s cos( )YZ sin( ssin( ) sin( t ))] Z s ) cos( tt)t YZ sin( ss )) sin( t) ZZ sin( s )) cos( ) YZ sin( t ) )] )]
E[Y cos( t ) Z sin( t )] cos( t ) EY sin( t ) EZ
0
BX (s, t ) E[( X (s) mx (s))( X (t ) mx (t ))]
E[( X ( s) EX ( s))( X (t ) EX (t ))] E[ X ( s) X (t )] EX ( s) EX (t )
RX (t1 , t2 ) mX (t1 )mX (t2 )
BX (t1 , t2 )
例2 设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t), t>0， Y, Z相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=2。 求{X(t), t>0}的均值函数和协方差函数。 解 mX (t ) EX (t )
随机变量的数字特征
统计平均与随机变量的数学期望 随机变量函数的期望值 方差
协方差
相关系数 独立与不相关
随机变量的数字特征
随 机 变 量 函 数 的 数 学 期 望
数学期望
离 散 型
连 续 型
性 质
二维随机变量的 数学期望
数学期望
设随机变量X的分布函数为F(x)43;bY)= a2D(X) + b2D(Y)
(4)若EX2<, EY2< ，则 ( E XY)2 E(X2) E(Y2)
常见随机变量的数学期望、方差 分布
0-1分布 二项分布
期望 p np
方差 pq npq
泊松分布
几何分布
1 p q p2
常见随机变量的数学期望、方差 分布
均匀分布
DY=DZ=2 cos( 2 2 t) (Y s ) sin( t ) Et() YZ 2) cos( ss))cos( cos( tE )E (Y ) cos( cos( s ) sin( E () YZ )
cos(s ) cos(t ) E (Y ) cos(s ) sin(t ) E (YZ ) 2 2 sin( s ) cos( t ) E ( YZ ) sin( s ) sin( t ) E ( Z ) 2Z ) sin( s ) cos( t ) E ( YZ ) sin( s ) sin( t ) E ( sin(s )cos(t ) E (YZ ) sin(s) sin(t ) E ( Z ) cos( ss ))cos( t) DY sin ( s( t ) EYEZ cos( cos( t ) DY sin s ) EYEZ cos(s ) cos(t ) DY sin ( s t )t EYEZ sin( ss ) sin( t )t DZ 2 sin( ) sin( ) DZ sin(0 s ) sin( t ) DZ 2 cos(s ) cos(t ) 2 s ) sin(t ) 2 2 2 2 sin( cos(s ) cos(t ) sin(s ) sin(t )
2
=E[( X (t ) EX (t )) ] , t T
2
三、协方差函数
BX (s, t ) E[( X (s) mx (s))( X (t ) mx (t ))]
E[( X ( s) EX ( s))( X (t ) EX (t ))] s, t T
例1 已知随机过程X(t)的均值函数 mX (t ) 和协 方差函数 BX (t1 , t2 ) ， (t ) 为普通函数，令 Y (t ) X (t ) (t ) ,求随机过程Y (t ) 的均值函 数和协方差函数。 解 mY (t ) EY (t )
方 随 机 变 量 函 数 的 数 学 期 望 数学期望 差 定义 计算 性质 离 散 型 连 续 型 性 质
二维随机变量的 数学期望
二、方差
DX EX EX
2
2
标准差 X D X
随机变量的数学期望和方差的性质
(1)E(aX+bY)= aE(X) + bE(Y) (2) 若X,Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y) (3)若X,Y独立，则
期望
ab 2
方差
b a 2
12
N ( , 2 )
指数分布
1
2
1
2
随机变量的数字特征
方 随 机 变 量 函 数 的 数 学 期 望 数学期望 差 定义 计算 性质 离 散 型 连 续 型 性 质 协 方 差 与 相 关 系 数 定义
协方差 的性质
相关系数 定理
二维随机变量的 数学期望
4.马尔可夫链 (1)转移概率、初始概率与绝对概率、有限维分布； (2)马氏链的状态分类、周期性、状态空间的分解、 遍历性与平稳分布。
概率论中的基本概念—— 随机试验、样本空间、事件、 概率、概率空间、条件概率、 全概率。 随机变量及分布函数—— 随机变量、分布函数、随机变 量函数的分布、n维随机变量、 边际分布、条件分布。 随机变量的数字特征—— 统计平均、数学期望、方差、 协方差、相关系数、相关性和 统计独立。
sin(s )cos(t )YZ sin(s ) sin(t ) Z )] 2 2 cos( cos( t ) E ( Y )sin cos( s ) sin( E YZ 2 cos( s ) cos( DY cos( ( s t) EYEZ cos( cos( cos( )E (Y) ) cos( s ) sin( t( ) E () YZ ss )) cos( t )tE (Y s ) sin( t t) ) E ( YZ ) ) 2 sin( s ) cos( t ) E ( YZ ) sin( s ) sin( t ) E ( Z 2) 2 sin( s )sin( t ) DZ sin( s ) cos( t ) E ( YZ ) sin( s ) sin( t ) E Z ) sin(s )cos(t ) E (YZ ) sin(s ) sin(t ) E ( Z () cos( s ))cos( t t) DY sin ( ( s( t ) EYEZ 2 cos( s cos( t ) DY sin s tt) cos( s ) cos( ) DY sin s t ) EYEZ cos( s) cos( t ) sin( s)sin( )EYEZ 2 sin(s ) sin(t ) DZ sin( s t )t DZ sin( ) ssin( ) sin( ) DZ 2 2 2 cos[( s t ) cos( s ) cos( t )] 2 sin( s ) sin( t ) 2 2 cos( s ) cos( t ) sin( s ) sin( t ) cos(s ) cos(t ) sin(s ) sin(t ) 2