数学知识点：反证法与放缩法
《证明不等式的基本方法反证法与放缩法》
《证明不等式的基本方法反证法与放缩法》证明不等式的基本方法包括反证法和放缩法。
反证法是一种常用的证明不等式的方法，它的思路是假设不等式不成立，然后通过推理推出一个矛盾的结论，从而证明原不等式的成立。
放缩法是通过对不等式进行变形、放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。
首先介绍反证法。
对于一个要证明的不等式，我们可以假设不等式不成立，即假设存在一些满足条件的变量使得不等式不成立。
然后通过对这个假设的推理，得出一个与已知条件相矛盾的结论，从而证明假设是错误的，进而证明原不等式的成立。
具体步骤如下：1.假设不等式不成立，即假设存在一些满足条件的变量使得不等式不成立。
2.根据已知条件和假设，对变量进行推理，得出结论。
3.利用这个结论推出与已知条件矛盾的结论。
4.由此可以得出假设是错误的，从而证明原不等式的成立。
举个例子来说明反证法的应用：对于不等式x+y>0，假设不等式不成立，即存在一些满足条件的x和y使得x+y≤0。
然后我们通过推理可以得到y≤-x，即y的取值范围在x的左侧。
然而，根据已知条件，对于任意的x和y，x+y的和都大于0，与假设矛盾。
因此，假设错误，原不等式成立。
接下来介绍放缩法。
放缩法是通过对不等式进行变形和放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。
放缩法的关键在于找到合适的放缩因子和放缩方法。
具体步骤如下：1.根据不等式的特点，选择合适的放缩因子和放缩方法。
2.对不等式进行变形和放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。
3.对新形式的不等式进行证明。
4.如果新形式的不等式成立，根据不等式的等价性，原不等式也成立。
举个例子来说明放缩法的应用：对于不等式(x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz，我们可以使用放缩法进行证明。
我们选择放缩因子2和放缩方法(x + y) ≥ 2√xy，可以得到(2√xy)(2√yz)(2√xz) ≥ 8xyz。
化简后得到(√xy)(√yz)(√xz) ≥ xyz，即x·y·z ≥ xyz，显然成立。
三 反证法与放缩法
三 反證法與放縮法☆學習目標： 1. 理解並掌握反證法、換元法與放縮法;2. 會利用反證法、換元法與放縮法證明不等式☻知識情景：1. 不等式證明的基本方法：10. 比差法與比商法(兩正數時)．20. 綜合法和分析法．30. 反證法、換元法、放縮法2. 綜合法：從①已知條件、②不等式的性質、③基本不等式等出發,通過邏輯推理, 推導出所要證明的結論. 這種證明方法叫做綜合法. 又叫由 導 法.用綜合法證明不等式的邏輯關係：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒3. 分析法：從要證的結論出發, 逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證的定理、性質等), 從而得出要證的命題成立,這種證明方法叫做分析法.這是一種執 索 的思考和證明方法.用分析法證明不等式的邏輯關係： ☻新知建構：1.反證法：利用反證法證明不等式，一般有下麵幾個步驟：第一步 分清欲證不等式所涉及到的條件和結論；第二步 作出與所證不等式相反的假定；第三步 從條件和假定出發，應用證確的推理方法，推出矛盾結果；第四步 斷定產生矛盾結果的原因，在於開始所作的假定不正確，於是原證不等式成立. 分析：反設x y +1≥2，y x +1≥2 ∵x , y > 0，可得x + y ≤2 與x + y >2矛盾。
例2 已知a + b + c > 0，a b + bc + c a > 0，a bc > 0，求證：a , b , c > 0 .12 ( ) n B B B B A ⇐⇐⇐⇐⇐结步步寻求不等式已论成立的充分条件知.21,1,2,0, 1中至少有一个小于试证且已知例xy y x y x y x ++>+>.,0,0,0.0.0,0)(,0,0,00,0)2(.0,0,0,0)1(.00,0,,,,:所以原命题成立同理可证综上所述也不可能相矛盾这和已知于是又可得那么由如果不可能矛盾与则如果两种情况讨论和下面分不妨先设正数即其中至少有一个不是不全是正数假设证明>>><∴>++<++=++>-=+∴>++<><=∴>==<=≤c b a a ca bc ab bc c b a ca bc ab a c b c b a bc abc a a abc abc a a a a c b a2. 放縮法：“放”和“縮”的方向與“放”和“縮”的量的大小 由題目分析、多次嘗試得出,要注意放縮的適度.常用的方法是：①添加或舍去一些項，如：a a >+12，n n n >+)1(，②將分子或分母放大（或縮小）如：2111(1)(1)n n n n n <<+- ③應用“糖水不等式”：“若0a b <<，0m >，則a a m b b m +<+”④利用基本不等式，如：2lg 3lg 5()lg 4⋅<=<=； ⑤利用函數的單調性 ⑥利用函數的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈； ⑦絕對值不等式：a b -≤a b ±≤a b +；⑧利用常用結論：如：2=>=()*,1k N k ∈>，2=()*,1k N k ∈>⑨應用貝努利不等式：2(1)(1)11.12n n n n x nx x x nx -+=++++>+⨯ 例3 若a , b , c , d ∈R +，求證：21<+++++++++++<c ad d b d c c a c b b d b a a 證明：記m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++ ∵a , b , c , d ∈R +∴1=+++++++++++++++>c b ad d b a d c c a c b a b d c b a a m 2=+++++++<cd d d c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立。
《反证法和放缩法》 说课稿
《反证法和放缩法》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《反证法和放缩法》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析“反证法和放缩法”是高中数学选修 2-2 中的重要内容。
反证法是一种间接证明的方法，它在解决某些问题时具有独特的作用。
放缩法则是不等式证明中的一种常用技巧，通过对式子进行适当的放大或缩小，达到证明的目的。
这两种方法不仅丰富了学生证明问题的手段，也有助于培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
同时，它们在后续的数学学习以及实际生活中都有着广泛的应用。
二、学情分析学生已经掌握了直接证明的方法，如综合法和分析法，但对于间接证明的方法接触较少。
在思维上，学生可能会对反证法的逻辑原理感到困惑，对于放缩法中如何合理地进行放缩也会存在一定的困难。
然而，学生在之前的学习中已经积累了一定的推理经验，具备了一定的逻辑思维能力，这为学习反证法和放缩法奠定了基础。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解反证法的概念和逻辑原理，掌握反证法的一般步骤，并能运用反证法证明简单的命题。
（2）学生能够理解放缩法的基本思想，掌握常见的放缩技巧，并能运用放缩法证明不等式。
2、过程与方法目标（1）通过反证法的学习，培养学生的逆向思维能力和逻辑推理能力。
（2）通过放缩法的学习，培养学生的观察能力、分析能力和灵活运用知识解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学思维的严谨性和数学方法的多样性，激发学生学习数学的兴趣。
（2）通过解决实际问题，让学生体会数学在生活中的应用价值，培养学生的应用意识和创新精神。
四、教学重难点1、教学重点（1）反证法的逻辑原理和一般步骤。
（2）放缩法的基本思想和常见的放缩技巧。
2、教学难点（1）如何正确提出反设，以及在推理过程中如何导出矛盾。
（2）在运用放缩法时，如何把握放缩的度，做到恰到好处。
1.5.3 反证法和放缩法
(2)如果a<0，那么由abc>0可得bc<0. 又因为a+b+c>0,所以b+c>-a. 于是ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0, 这和已知矛盾.因此，a<0也不可能.
综上所述，a>0. 同理可证b>0,c>0. 所以原命题成立.
a b c d a b d a b,
b
b b
a b c d a b c a b,
c
c c
abcd cbd cd,
d
d d
a b c d a c d d c,
把以上四个不等式相加，得
abcd a b c d ab cd , abcd abd abc cbd acd ab cd 即1 a b c d 2.
1
y2
1
9
由于x,y>0,且x+y=1,
所以 1
x
2
1
1
y2
1
1 x2 x2
1 y2
y2
1 x
x
2
1
x x
9,
得(2x-1)2<0.这不可能.所以
1
x2
1
1
y2
1
9
abd bca cbd d ac
分析
反证法与缩放法
1.例1. 已知：x, y>0, 且x+y>2。试证明： 1 x 1 y , 中至少有一个小于2。 证明 y x 1 x 1 y 1 x 1 y 2且 2 , 都不小于2，即 假设 y x y x 因为x>0, y>0, 所以1+x≥2y, 1+y≥2x 把这两个不等式相加，得 2+x+y≥2x+2y , 2≥x+y , 即 x+y≤2
a b c d abd c bcad cd ba d acb abcd 1 abcd
放大法
a b c d abd bca cd b d ac a b c d ab ba cd d c ab cd 11 2 ab cd
3.例3. 已知a, b, d∈R+，求证 a b c d 1 2 abd bca cd b d a c 分析： 若把中间代数式通分相加，则运算非常复杂， 难度太大。 分析此式的形式特点，可以通过适当放缩， 使不等式简化，从而得证。
缩小法 a b c d abd bca cd b d ac
3.例3. 已知a, b, c, d∈R+，求证 a b c d 1 2 abd bca cd b d a c
证明： 因为a, b, c, d∈R+，所以 a a a abcd abd ab b b b abcd bca a b c c c abcd cd b cd d d d abcd d ac cd
4.例4. 已知a, b 是实数，
4.例4.
已知a, b 是实数，
|ab| |a| |b| 求证 1 | a b | 1 | a | 1 | b |
初中数学知识点：不等式证明的六大方法
马行软地易失蹄，人贪安逸易失志。
对待生命要认真，对待生活要活泼。
以下是为您推荐初中数学知识点：不等式证明的六大方法。
1、比较法：包括比差和比商两种方法。
2、综合法
证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，它是由因导果的方法。
3、分析法
证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法。
4、放缩法
证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法。
5、数学归纳法
用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。
在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。
6、反证法
证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的
条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。
利用数学归纳法证明不等式的基本技巧
利用数学归纳法证明不等式的基本技巧利用数学归纳法证明不等式的基本技巧：1、比较法：比较法证明不等式的一般步骤：作差（作商）—变形—判断—结论．作差法：差与“0”比较。
为了判断作差后的符号，经常需要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，判断其正负．作商法：商与“1”相比较。
作商时，需要满足两者均为正数。
2、综合法（顺推）：综合法是指从已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后得到结论，其特点是“执因索果”，即由“已知”，利用已经证明过的不等式或不等式的性质逐步推向“未知”。
综合法证明不等式的逻辑关系是：A B1B2…Bn B，及从已知条件A 出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论 B.3、分析法（逆推）：从求证的结论出发，分析使这个结论成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”．即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。
4、放缩法：要证明不等式A<B 成立，借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法．放缩法证明不等式的理论依据主要有：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．常用的放缩技巧有：①应用均值不等式进行放缩；②舍掉(或加进)一些项；③在分式中放大或缩小分子或分母。
5、反证法：即从正难则反的角度去思考，要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B. 凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不可能”、“不存在”等词语时，可以考虑用反证法．6、常数代换法常数代换是指利用某些带有常数项的恒等式，把常量化为变量代入到所求证的式子中，以到达化繁为简的目的。
常用的带有常数项的恒等式，可由题目中的条件变形得到，也可用常用的公式或公式变形。
7、几何法通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法。
高中数学常用证明方法归纳(比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法、放缩法)
高中数学常用证明方法（比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法、放缩法）江西省永丰中学陈保进高中数学证明题是学生学习的一个难点，学生对基本的数学证明方法不熟悉，证明题过程书写不规范，条理不清晰，为此有必要归纳一些常见的数学证明方法。
1.比较法比较法包括作差比较、作商比较，比如要证a >b ，只需证a -b >0;若b >0,要证a >b ，只需证a b >1。
例1：已知b a ,是正数，用比较法证明：b a a b b a +≥+22证明：0))((11)(()(222222222≥-+=--=-+-=+-+ab b a b a a b b a a a b b b a b a a b b a 所以b a ab b a +≥+222．综合法（由因导果法）利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出要证明的结论成立。
例2：已知.9111111,,≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∈+b a b a R b a 求证：证明：由ab b a 2≥+，1=+b a ，得41≤ab ，111111211 11111189119.a b a b a b ab ab ab ab a b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++=++=+≥+=∴++≥ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭而3.分析法（执果索因法）从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到把要证明的结论归结为一个显然成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止。
书写格式：要证……只需证……即证……例3：若a ，b ∈(1，＋∞)，证明：a ＋b <1＋ab .证明：要证a ＋b <1＋ab ，只需证(a ＋b )2<(1＋ab )2，只需证a ＋b －1－ab <0，即证(a －1)(1－b )<0.因为a >1，b >1，所以a －1>0，1－b <0，即(a －1)(1－b )<0成立，所以原不等式成立.4．反证法当命题从正面出发不好证明时，可以从反面入手，用反证法，正所谓"正难则反"。
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数学知识点：反证法与放缩法
有些不等式无法利用题设的已知条件直接证明，我们可以用间接的方法——反证法去证明，即通过否定原结论——导出矛盾——从而达到肯定原结论的目的。
放缩法的定义：
把原不等式放大或缩小成一个恰好可以化简的形式，比较常用的方法是把分母或分子适当放大或缩小（减去或加上一个正数）使不等式简化易证。
反证法证题的步骤：
若A成立，求证B成立。
共分三步：
（1）提出与结论相反的假设；如负数的反面是非负数，正数的反面是非正数即0和负数；
（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（必须由假设出发进行推理否则不是反证法或证错）；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.矛盾：与定义、公理、定理、公式、性质等一切已有的结论矛盾甚至自相矛盾。
反证法是一种间接证明命题的基本方法。
在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。
放缩法的意义：
放缩法理论依据是不等式的传递性：若,a 放缩法的操作：
若求证P 需注意：（1）只有同方向才可以放缩，反方向不可。
（2）不能放（缩）得太大（小），否则不会有最后的Pn<Q.
精心整理，仅供学习参考。