流体力学习题及答案-第六章

第六章 水波理论
6-1 求波长为145m 的海洋波传播速度和波动周期，假定海洋是无限深的。

答：052.1514525.125.1=⨯==λc （m/s ），
633.91458.08.0=⨯==λτ（s ）；
即传播速度为15.052（m/s ），波动周期为9.633（s ）。

6-2 海洋波以10m/s 移动，试求这些波的波长和周期。

答：6425.1/1025.1/2
222===c λ（m ）， 4.6648.08.0=⨯==λτ（s ）；
即波长为64（m ），波浪周期为6.4（s ）。

6-3 证明()t iH A z W Ω-+=ςλπ
2cos )(为水深为H 的进行波的复势，其中iy x +=ς为复
变数，y 轴垂直向上，原点在静水面上。

并证明λπλπ
H
th 222=Ω（提示：
()xshy i xchy iy x sin cos cos -=+）。

答：在图示坐标系中，平面进行波的速度势为：
()()t kx chkH
H y chk ag ωωϕ-+=sin 在x 、y 方向的速度分别为： ()()t kx shkH
H y chk a x u ωωϕ-+=∂∂=cos ， ()()t kx shkH H y shk a y v ωωϕ-+=∂∂=
sin ； 由上述速度分布得到二维波浪运动的流函数为：
()()()()()()()()t kx chkH
H y shk ag t kx shkH
H y shk k a dy t kx shkH
H y chk a dx t kx shkH H y shk a udy vdx ωωωωωωωω
ψ-⋅+⋅=-⋅+⋅=-++-+-=+-=⎰⎰cos cos cos sin 因此，二维波浪运动的复势为：
()()()
()()()()()()()()[]t kx H y ishk t kx H y chk chkH ag t kx chkH
H y shk ag i t kx chkH H y chk ag t y x i t y x z W ωωωωωωωψϕ-++-+⋅=-+⋅+-+⋅=
+=cos sin 1 cos sin ,,,, 在上式中，令：
chkH ag A 1⋅
=ω，t kx X ω-=，()H y k Y +=； 则可得到：
()()
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⋅+⋅=2sin 2cos 2sin 2cos cos sin ππππX ishY X chY A X ishY X chY A X ishY X chY A z W 由提示()xshy i xchy iy x sin cos cos -=+，可以得到：
()()()⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--++=⎪⎭
⎫ ⎝⎛++--=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=2cos 2cos 2cos πωπωπt ikH iy x k A H y ik t kx A iY X A z W
6-4 在水深为d 的水平底部（即d z -=处），用压力传感器记录到沿x 方向传播的进行波的波压力为()t p 。

设()t p 的最大高度（相对平衡态来说）为H ，圆频率为σ，试确定所对应的自由面波动的圆频率和振幅。

答：微幅平面进行波的压力分布函数为
()gz t
p t p -∂∂-=-ϕρ0。

对于有限水深d ，其速度势为： ()()t kx chkd
d z chk ag ωωϕ-+⋅=sin ， 对时间求导得到：
()()t kx chkd
d z chk ag t ωϕ-+⋅-=∂∂cos ； 其中a 为表面波幅值，ω为波动的圆频率，代入到压力分布函数中，得到：
()()()gz t kx chkd
d z chk ag p t p ρωρ--++=cos 0 当d z -=时，代入上式得到：
()()()()()t kx chkd ag gd p d g t kx chkd d d chk ag
p t p ωρρρωρ-++=---+-+=cos cos 00 若波压高度为H ，则其幅值为2/H ，因此根据上式得到chkd
ag H ρ=2，整理得到： chkd g
H a ρ2= 并且从波压分布方程可见，若波压频率为σ，则自由波面频率σω=。

6-5 有一全长70m 的船沿某一方向以等速u o 航行。

今有追随船后并与船航行方向一致的波浪以传播速度c 追赶该船。

它赶过一个船长的时间是16.5s ，而赶过一个波长的时间是6s 。

求波长及船速u o 。

答：设船长为L ，波长为λ，波速为c ，波浪周期为T ，则可得到：
()L u c =⨯-5.160 （1） ()λ=⨯-60u c （2） 两式相比较得到： 波长：45.25705
.1665.166=⨯=⨯=L λ（m ）， 波速：30.645.2525.125.1=⨯==λc （m/s ）， 船速：06.26
45.2530.660=-=-=λ
c u （m/s ）。

6-6 重力场中有限水深微幅进行波的波面为()t kx A ως+=cos ，其中A 为波幅；设流场的速度势为()()t kx h z Bchk ωϕ++=sin ，试求（1）常数B ；（2）波数k 与频率ω关系；
（3）波的传播速度c 与波长λ的关系。

答：（1）由线性自由表面动力学条件得到：
()()t kx h z chk g
B t g ωωϕς++⋅⋅=∂∂⋅-=cos 1， 注意到在自由表面0=z ，代入上式得到：
()t kx chkh g
B t g ωωϕς+⋅⋅=∂∂⋅-=cos 1 将该式与给定的波面方程()t kx A ως+=cos 进行比较，可得到：chkh g B A ⋅⋅=ω
整理得到：chkh
Ag B ω=。

（2）将上述常数代入到速度势函数中得到：
()()t kx chkh
h z chk Ag ωωϕ++=sin ， ()()t kx chkh
h z chk Ag t ωϕ++=∂∂cos ， ()()t kx chkh
h z chk Ag t ωωϕ++-=∂∂sin 22， ()()t kx chkh
h z shk Agk z ωωϕ++=∂∂sin ； 在自由表面0=z 上，得到：
()()()t kx Ag t kx chkh
h chk Ag t ωωωωϕ+-=++-=∂∂sin sin 022， ()()()t kx thkh Agk t kx chkh h shk Agk z ωω
ωωϕ+⋅=++=∂∂sin sin 0； 代入到自由表面条件：022=∂∂+∂∂z
g t ϕϕ中，得到： ()()0sin sin =+⋅⋅
++-t kx thkh Agk g t kx Ag ωωωω， 整理得到：gkthkh =2ω。

（3）波速k T T c ωππλλ===
2/2/； 由gkthkh =2ω，得到gkthkh =ω； 因此：⎪⎭⎫ ⎝⎛===h th g gkthkh k
k c λππλω
221。

6-7 无限水深中一波浪高度h=1m ，而波形的最大坡度角β=π/8。

试决定流体质点的旋转角速度。

答：设波面方程为()t kx a ως-=sin ，其中波幅为5.02
==h a （m ）；
由于任意波倾角（坡度角）为：
()t kx ak x
tg ωςβ-=∂∂=cos 最大波倾角取在波节点处，即()1cos =-t kx ω；因此：
8π
tg ak =，
828.082=⨯=π
tg k （1/m ）
， 85.2828.081.9=⨯==gk ω（rad/s ）。

6-8两种流体在y=0处有一分界面，流体被限制在y=-h 和y=h`之间，若上层流体密度为ρ`，下层流体密度为ρ。

证明重力波的波速为c 2=g(ρ-ρ`)/k(ρcothkh+ρ`cothkh`)其中k 为波数，g 为重力加速度，忽略表面张力效应。

并讨论两层流体均为无限深的情况。

答：
6-9边长为2a 的方形柱置于均匀来流U o 和无限深波浪中，潜深为H ，若设该流场的速度势为φ=U o x+ga/w e kz sin(kx+wt)其中A 为波幅，w 为频率，k=w 2/g 为波数。

已知无穷远自由面上流体静止，压力为大气压p a 。

试求
(1)速度场v ;
答：
(2)方柱上下两个面上的压力分布p(含速度平方项V 2) ;
答：
(3)方柱所受z 方向的合力(含V 2项)。

答：。