二次函数与图形面积
二次函数与图形面积问题
二次函数与图形面积问题1、阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部的线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）.我们可行出生种计算三角形面积的新方示：y=a(x-1)2+4 ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.解答下列问题:如图2，抛物线顶点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B.（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）求△ABC的铅垂高CD及S △ ABC（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使a=-1 ，且S△PAB=9/8 S△CAB若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.2、如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2,3）,B（6,1）,C（0,-2）．（1）求此抛物线的解析式,并用配方法把解析式化为顶点式；（2）点P是抛物线对称轴上的动点,当AP⊥CP时,求点P的坐标；（3）设直线BC与x轴交于点D,点H是抛物线与x轴的一个交点,点E（t,n）是抛物线上的动点,四边形OEDC的面积为S．当S取何值时,满足条件的点E只有一个?当S取何值时,满足条件的点E有两个?3、如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）为两动点，其中0＜m＜3，连接OA，OB，OA⊥OB。
（1）求证：mn=-6；（2）当S△AOB=10时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；（3）在（2）的条件下，设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线l，使S△POF：S△QOF=1：3？若存在，求出直线l对应的函数关系式；若不存在，请说明理由。
4、如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，1），二次函数y=x2的图象记为抛物线l1。
（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：______ （任写一个即可）；（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A，B两点，记为抛物线l2，如图2，求抛物线l2的函数表达式；（3）设抛物线l2的顶点为C，K为y轴上一点，若S△ABK=S△ABC，求点K的坐标；（4）请在图3上用尺规作图的方式探究抛物线l2上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形，若存在，请判断点P共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由。
二次函数与图形面积问题
M点的坐标
如图，已知抛物线y=x2-1 与 X轴交于A、B两点，与 y轴交于点C（3）
在X 轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG 垂直于X轴于点G，
使以A、M、G三点为顶点的三角形与 △PCA相似．若存在，请求出
M点的坐标
2.在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角 形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线 y=x2+bx+c经过A， B两点，抛物线的顶点为D．（1）求b,c的值；
如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q （2，-1），且 与 Y轴交于点C(0,3) ，与X 轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点 P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合 ），过点P作PD∥ Y轴，交AC于点D． (2)当△ADP是直角三角形时， 求点P的坐标；
二次函数与图形面积问题
1.如图，已知抛物线y=x2-1 与 X轴交于A、B
两点，与 y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标;
解：（1）当y=0,得：x2-1=0, 解得：x=1或x=-1 令x=0得，y=-1 所以A(-1,0) B(1,0) C(0,-1)
如图，已知抛物线y=x2-1 与 X轴交于A、B两点，与
y轴交于点C． （2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P， 求四边形ACBP的面积;
如图，已知抛物线y=x2-1 与 X轴交于A、B两点，与 y轴交于点C（3）
在X 轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG 垂直于X轴于点G，
使以A、M、G三点为顶点的三角形与 △PCA相似．若存在，请求出
22_3 第1课时 二次函数与图形面积问题【人教九上数学学霸听课笔记】
(2)S＝72－12(6－t)·2t＝t2－6t＋72(0≤t≤6).
(3)因为S＝t2－6t＋72＝(t－3)2＋63,
所以当t＝3时,S有最小值,最小值为63.
谢 谢 观 看！
与 围成一个矩形场地ABCD,求该矩形场地的最大面积.
应
用 解：设矩形场地的面积为S m2,平行于墙的
一边BC的长为x m.由题意,得
图22－3－1
S＝x·12(80－x)＝－12(x－40)2＋800,
所以当 x＝40 时,S 最大值＝800,12(80－x)＝20,符合题意.
探 究
所以当所围成的矩形场地ABCD的长为40 m,宽为20 m时,其
故当所围成的矩形场地ABCD的长为30 m,宽为25 m时,其面积最
大,最大面积为750 m2.
探 究
变式 在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图J22－3
与 －1所示的直角墙角(两边足够长),用28 m长的篱笆围成一个
应
用 矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),在P处有一棵树与墙
CD,AD的距离分别是15 m和6 m,要将这棵树围在花园内(含
1.用一条长为 40 cm 的绳子围成一个面积为 S cm2 的矩形,S 的
小 检
值不．可．能．为( D )
测 A.20
B.40
C.100
D.120
随 [解析] 设矩形的一边长为x cm,则S＝x(20－x)＝－x2＋20x＝－
堂
小 (x－10)2＋100.
检 测
可见S的最大值是100,
所以S的值不可能为120.
探 归纳总结
究 与
应用二次函数解决面积最值问题的“三个关键点”
应 用
二次函数与图形面积教案
⼆次函数与图形⾯积教案课题：⼆次函数与图形⾯积撰写：陈天灵审核：______ 授课⽇期：__⽉__⽇教学课时：第 6 周第 1 课教学⽬标知识与技能⽬标通过本节学习，巩固⼆次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。
过程与⽅法⽬标通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为⼆次函数的最值问题，通过动⼿动脑，提⾼分析解决问题的能⼒，并体会⼀般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。
情感、态度与价值观⽬标通过学⽣之间的讨论、交流和探索，建⽴合作意识，提⾼探索能⼒，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在⽣活中⼴泛的应⽤价值。
教学重点利⽤⼆次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象与性质，求⾯积最值问题教学难点对函数图象顶点、端点与最值关系的理解与应⽤教学过程环节教学内容调整意见复习旧知导⼊新课1.⼆次函数y=a(x-h)2+k的图象是⼀条抛物线，它的对称轴是直线x=h，顶点坐标是 (h，k) 。
2.⼆次函数的⼀般式是，它的图像的对称轴是，顶点坐标是 . 当a>0时，开⼝向向上，有最低点，函数有最⼩值，是；.当a<0时，开⼝向向下，有最⾼点，函数有最⼤值，是。
3.⼆次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是直线x=3, 顶点坐标是 (3 ，5) 。
当x= 3时，y有最⼩值，是 5 .4.5详见课件。
⾃学指导阅读教材P49“问题”，解决下⾯问题。
1、问题1中是通过什么⽅法来求出⼩球在运动中的最⼤⾼度？2.归纳：⼀般地，当a>0(a<0)时，抛物线y=ax2+bx+c的的顶点是最低 ( ⾼_)点,当x=________时，⼆次函数y=ax2+bx+c有最⼤（⼩）值________.阅读教材P49-P50“探究1”，解决下⾯问题1.“探究1”中，场地⾯积S与边长l之间是什么关系？你能写出它们的关系式cbxaxy+ +=2 abx2-=直线) 44,2(2abacab--abac442 -abac442 -吗？2.当l取何值时，S最⼤？3.当场地⾯积S最⼤时，该场地是什么图形？合作探究⽤长为12cm的铁丝围成⼀个矩形，设矩形⼀边长为xcm,⾯积为ycm2,问何时矩形的⾯积最⼤？解：∵周长为12cm, ⼀边长为xcm ,∴另⼀边为（6－x）cm∴ y ＝x（6－x）（0< x<6）＝－x2＋6x＝－（x2 -6x +9 -9）＝－(x－3) 2＋9∵ a＝－1<0, ∴ y有最⼤值当x＝3cm时，y最⼤值＝9 cm2答：矩形的两边都是3cm，即为正⽅形时，矩形的⾯积最⼤。
人教九年级数学上册《二次函数与图形面积问题》课件
第1课时 二次函数与图形面积问题
重难互动探究
探究问题 求几何图形的最大（小）面积 例 ［教材探究1变式题］ 一条隧道的截面如图22－3－2所 示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形 ABCD.
图22－3－2
第1课时 二次函数与图形面积问题
（1）当AD＝4米时，求隧道截面上部半圆O的面积； （2）已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米. ①求隧道截面的面积S（平方米）关于半径r（米）的函数关系 式（不要求写出r的取值范围）； ②若2米≤CD≤3米，求隧道截面的面积S的最大值（π取3.14， 结果精确到0.1平方米）.
与x间的函数关系，再求解.
解： 不妨设矩形纸较短边长为 a，设 DE＝x，则 AE＝a －x.
那么两个正方形的面积和为 y＝x2＋（a－x）2 ＝2x2－2ax＋a2. 当 x＝－－2×22a＝12a 时， y 最小＝2×12a2－2a×12a＋a2＝12a2. 即点 E 选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的 面积和最小.
［解析］ （1）已知AD＝4米，即半圆O的半径为2米，直接根 据圆的面积公式计算；（2）①隧道的截面积由两部分组成， 即半圆面积和矩形面积；②注意自变量的取值范围，在实际问 题中求最大（小）值，要注意自变量的范围是否符合实际意义.
第1课时 二次函数与图形面积问题
解：（1）当 AD＝4 米时，S 半圆＝12π·A2D2＝12π×22＝2 π（平方米），
数学
新课标（RJ） 九年级上册
22.3 实际问题与二次函数
第1课时 二次函数与图形面积问题
第1课时 二次函数与图形面积问题
新知梳理
► 知识点 用二次函数求几何图形的最大（小）面积 在解答有关二次函数求几何图形的最大（小）面积的问题时 ，应遵循以下规律： （1）利用几何图形的面积（或体积）公式得到关于面积（ 或体积）的二次函数关系式； （2）由已得到的二次函数关系式求解问题； （3）结合实际问题中自变量的取值范围得出实际问题的答 案.
二次函数应用几何图形的最大面积问题教学课件
求解极值点
通过求导数并令其为0，找到函 数的极值点。
确定最大面积
根据极值点和单调性，确定几 何图形的最大面积对应的点。
05
练习题与答案解析
练习题
01
02
03
题目1
一个矩形ABCD的面积为 12，其中AB=2，求BC的 最大值。
题目2
一个直角三角形ABC的面 积为6，其中∠C=90°， AC=3，求BC的最大值。
详细描述
首先设定三角形的底和高为二次函数 的变量，然后根据二次函数的性质， 找到使面积最大的底和高的值。
利用二次函数求圆形面积的最大值
总结词
通过设定圆的半径为二次函数的变量 ，利用二次函数的性质求圆的最大面 积。
详细描述
首先设定圆的半径为二次函数的变量 ，然后根据二次函数的性质，找到使 面积最大的半径的值。
02
几何图形可以由二次函数图像与x 轴、y轴的交点确定，进而形成三 角形、矩形、平行四边形等。
二次函数的最值与几何图形面积的关系
二次函数的最值出现在顶点处，此时 对应的x值为函数的零点或对称轴。
几何图形面积的最大值或最小值出现 在二次函数最值处，可以通过求导数 或配方法找到最值点。Βιβλιοθήκη 02常见几何图形面积公式
题目3
一个等腰三角形ABC的面 积为10，其中AB=AC， ∠B=45°，求BC的最大值 。
答案解析
解析1
设BC=x，则矩形的面积可以表 示为2x=12，解得x=6。由于AB 已经给定为2，所以BC的最大值
为6。
解析2
设BC=x，则直角三角形的面积 可以表示为1/2×3x=6，解得 x=4。由于AC已经给定为3，所
17二次函数与图形面积问题教案
二次函数与图形面积问题一、教学目标(一)知识与技能：1.通过探究实际问题与二次函数关系，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值(或最小值)问题的方法；2.通过学习和探究“矩形面积”问题，渗透转化的数学思想方法.(二)过程与方法：通过研究生活中实际问题，体会数学知识的现实意义，体会建立数学建模的思想，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题.(三)情感态度与价值观：通过将“二次函数的最大值”的知识灵活用于实际，让学生亲自体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感.二、教学重点、难点重点：探究利用二次函数的最值(或增减性)解决实际问题的方法.难点：如何将实际问题转化为二次函数的问题.三、教学过程知识预备1.二次函数y =a (x -h )2+k 的图象是一条______，它的对称轴是_______，顶点坐标是_______.2.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象是一条_______，它的对称轴是_____________，顶点坐标是________________.当a ＞0时，抛物线开口向___，有最___点，即当x =____时，y 最小值=______；当a ＜0时，抛物线开口向___，有最___点，即当x =____时，y 最大值=_______.问题 从地面坚直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：m )与小球的运动时间t (单位：s )之间的关系式是h =30t -5t 2(0≤t ≤6).小球运动的时间是多少，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？分析：可以借助函数图象解决这个问题，画出函数h =30t -5t 2(0≤t ≤6).可以看出，这个函数图象是一条抛物线的一部分.这条抛物线的顶点是这个函数的图像的最高点，也就是说，当t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.解：由函数h =30t -5t 2(0≤t ≤6)的图象性质可知.当t ===3时，h 有最大值==45.也就是说，小球运动时间是3s 时，小球最高.小球运中的最大高度是45m .探究1用总长为60m 的篱笆墙围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化，当l 是多少米时，场地的面积S 最大？解：矩形场地的周长是60m ，一边长为l m ，所以另一边长为(-l )m .场地的面积 S=l (30-l ) (0＜l ＜30)即 S=-l 2+30l (0＜l ＜30)因为，a =-1＜0，所以，当 l ===15时，S 有最大值==225.也就是说，当l 是15m 时，场地的面积S 最大.练习已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最ab 2-)5(230-⨯-a b ac 442-)5(4302-⨯-260ab 2-)1(230-⨯-a b ac 442-)1(4302-⨯-大，最大值是多少？解：设直角三角形的一边为x ，则另一边为(8-x )，面积为y .则y 与x 的函数关系式为 y =x (8-x ) (0＜x ＜8) 即 y =-x 2+4x (0＜x ＜8)∵ a =-＜0，∴ 当x ==4时，y 最大=8.答：当两条直角边都为4时，这个直角三角形的面积最大，最大值为8.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.212121ab 2。
二次函数解析式求法及图形面积问题
注：任何求抛物线解析式的问题，都可以使用一般式.
练习1： 二次函数 的图象经过点（4，3）， （3，0），求二次函数的解析式
二次函数解析式特点： +k 2、顶点式：y=a（x-h）²
(a≠0)， 这种形式易得顶点坐标和对称轴，顶 点坐标是 （h，k） ，对称轴是直 线 x=h .
注：一般情况下，已知抛物线的顶点坐标求其解析 式时，选用顶点式比较方便。
中考链接
(2017济南 )如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标 分别为(4，0)，(0，6)，直线AD交B C于点D， tan∠OAD＝2，抛物线M1：y＝ax² ＋bx(a≠0)过A， D两点． （1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；
y D C B C E
O 图1
A
xห้องสมุดไป่ตู้
O
二、二次函数中面积问题常见解决方法： 一、直接计算法
水平宽 铅锤高 二、运用 S 2
三、割补法
例1. 如图所示，二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0）， 另一个交点为B，且与y轴交于点C． （1）求m的值； （2）求点B的坐标； （3）该二次函数图象上有一点D，使S△ABD =S△ABC，求点D的坐标．
铅垂高法； 如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两 条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内 部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积 的新方法：S△ABC=ah/2，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 一
例2.如图，在平面直角坐标系中，已知点C(0，4），点A、B在x轴 上，并且OA=OC=4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P，使得Δ PAC的面积最大？ 若存在，求出P点坐标及Δ PAC面积的最大值；若不存在，请说明理 由. (3)在x轴上是否存在点Q，使得Δ ACQ是等腰三角形？若存在，请直 接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
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＝ 20 m时，矩形场地的面积最大，最大面积为 800 m2.
巩固训 练
3.（《名校课堂》22.3第1课时习题）手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱 形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单 位：cm)的变化而变化． (1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)； (2)当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？
之间的关系式是h=30t-5t2（0≤t≤6），其图象如图所示.
（1）小球运动的时间是 3 S时，小球最高； （2）小球运动中的最大高度是 45 m.
3.一个直角三角形的两条直角边长的和为20cm，其中一直角边长为xcm，面积为ycm2，则y
与x的函数的关系式是 y 1 x(20 x)
2
，当x= 10 时，面积y最大，为 50 cm².
2
∴当
l b 30 15 2a 2 (1)
时，S有最大值 4ac b2 302 225
4a 4 (1)
.
答：当l是15m时，场地的面积S最大.
点拨：在实际问题中，求函数的解析式时，一定要标注自变量的取值范围，同时在求 函数的最值时，一定要注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内．
跟踪训练1
名校讲 坛
（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时 的最大面积．
分析：由（1）中的函数关系可知，y和x是二次函数关系，根据二次函数的性质即可得 到最大面积．
解：由（1）可知，y和x是二次函数关系.
3
∵
a 0, 2
∴函数有最大值.
当
x
3 2 (
3)
1
2
时，
y最大
3 2
（《名校课堂》22.3第1课时习题）如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m， 则所围成矩形ABCD的最大面积是( C )
A.60 m2 D.66 m2
B.63 m2
C.64 m2
名校讲 坛
例2 （教材P49探究的变式）如图，用长为6m的铝合金条制成一个“日”字形窗框，
已知窗框的宽为x m，窗户的透光面积为y m2（铝合金条的宽度不计）．
（1）求出y与x的函数关系式；
分析：由题意可知，窗户的透光面积为长方形，根据长方形的面积公式即可 得到y和x的函数关系式.
6 3x
解：∵大长方形的周长为6m，宽为xm，∴长为
m.
∴ y x·6 3x 3 x2 3x(0 x 2)
2
22
点拨：求y与x的函数关系式时，一定不能漏掉自变量的取值范围.
B.当C是AB的中点时，S最大 C.当C为AB的三等分点时，S最小 D.当C是AB的三等分点时，S最大
巩固训 练
1.为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100m，则池
底的最大面积是（ B ）
A.600m2
B.625m2
C.650m2
的长度不超过45 m)，用80 m长的篱笆围成一个矩形场地，当AD
例1 （教材P49探究）用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随 矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？
分析：先写出S关于l的函数解析式，再求出使S最大的l值.
解：∵矩形场地的周长是60m，一边长为lm，则另一边长为 ( 60 l) m， 2
∴场地的面积S= l(60 l) l2 30l(0 l 30.)
m2
，此时
6
3x 2
1.5
.
答：窗框的长和宽分别为1.5m和1m时才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5m2．
点拨：要考虑x=1是不是在自变量的取值范围内.
名校讲 坛
跟踪训练2
如图，点C是线段AB上的一点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形， 用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( A ) A.当C是AB的中点时，S最小
次函数y=ax2+bx+c有最 小 值 4ac b2
；
2a
4a
当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最 高 点，也就是说，当x=- b 时，二次函数
y=ax2+bx+c有最 大 值 4ac b2 .
2a
4a
2.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）
22．3 实际问题与二次函数
第1课时 二次函数与图形面积
1.会求二次函数y=ax2+bx+c的最小（大）值. 2.能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利 用二次函数及性质解决与面积有关的最小（大）值问题．
预习反 馈
1.一般地，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最 低 点，也就是说，当x=- b 时，二
解：（1） S 1 x2 30x.
（2）S
1
x2
2
30x
1
(x
30)2
450,
且
2
2
∴当＝30时，S有最大值，最大值为450.
a 1 0 2
即当x为30 cm时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450 cm2.
课堂小 结
1.主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用 二次函数的有关性质解决实际问题的方法. 2.利用二次函数解决实际问题时，根据面积公式等关系写出二次 函数表达式是解决问题的关键.