正弦型函数
正弦函数的图像和性质
“奇变偶不变，符号看象限。”（π/2的奇数倍或偶数倍，“变”就是三角函数名的改变。）[1]符号、单调性
1
2
3
4x+ y+ x- y- sin
+，+ +，- -，+
0
1
0
-1cos+，- -，+ +，+
1 0 -1
0tαn+，+ -，+ +，+ -，+ 0+1/00
+1/0-
cot
+，-
-?i
Sin( α+2kπ)=Sinα
Sin(-α )=-Sinα
Sin( π-α )=Sinα
Sin(π/2-α )=COSα
Sinα=CoS(π/2-α )
Sin( π+α )=-Sinα
Sin(3π/2-α )=-CoSα
Sin(3π/2+α)=-CoSα
正弦函数X∈&
定义域
实数集R
值域
[-1，1](正弦函数有界性的体现)
最值和零点
1最大值：当X=2k∏+(∏/2),k∈Z时，y(max)=1
2最小值：当X=2k∏+(3∏/2),k∈Z时，y(min)=-1零值点：(kπ,0)，k∈Z
对称性
既是轴对称图形,又是中心对称图形。
1)对称轴：关于直线X=(π/2)+kπ,k∈Z对称
各常数值对函数图像的影响：
φ（初相位）：决定波形与X轴位置关系或横向移动距离（左加右减）
ω:决定周期（最小正周期T=2π∕∣ω|）
A:决定峰值（即纵向拉伸压缩的倍数）
正弦型函数解析式
正弦型函数解析式：y=Asin(ωx+φ)+b各常数值对函数图像的影响：φ：决定波形与X轴位置关系或横向移动距离（左加右减）ω：决定周期（最小正周期T=2π/∣ω∣）A：决定峰值（即纵向拉伸压缩的倍数）b：表示波形在Y轴的位置关系或纵向移动距离（上加下减）两角和差公式两角和与差的三角函数公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtan（α＋β）＝(tanα+tanβ)／(1-tanαtanβ)tan（α－β）＝(tanα－tanβ)／(1＋tanα·tanβ)二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)tan2α＝2tanα/[1－tan^2(α)]半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sin^2(α/2)＝(1－cosα)／2cos^2(α/2)＝(1＋cosα)／2tan^2(α/2)＝(1－cosα)／(1＋cosα)另也有tan(α/2)=(1－cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)万能公式万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]万能公式推导附推导：sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝2tanα/(1＋tan^2(α))然后用α/2代替α即可。
正弦型函数
y
o
x
Y=sinx
纵坐标不变
横坐标不变
y=sin2x
y=3sin2x
图像向左平移
3sin(2x+π/3)
横坐标缩短到原来1/2 横坐标缩短到原来
纵坐标伸长到原来的3倍 纵坐标伸长到原来的 倍
π/6个单位
y
o
x
图像向左平移
纵坐标不变
横坐标不变
Y=sinx
π/3个单位 个
y=sin(x+π/3)
横坐标缩短到原来1/2 横坐标缩短到原来
π
2π
5π/2
x
的作用：使正弦函数的图象发生平移。 ϕ 的作用：使正弦函数的图象发生平移。 y=sin(x+ϕ y=sin(x+ϕ)（ϕ≠0)的图象是由 0)的图象是由y=sinx的图象 的图象是由 的图象 个单位而成 而成. 向左或向右平移 φ个单位而成.
跟踪练习
图像向左平移π/6个单位 图像向左平移 个单位 图像向右平移π/6个单位 个单位 图像向右平移
y=Sin(x+ ϕ ) 的图象
（2）横坐标缩短(ω >1)或伸长 ω<1)到 ）横坐标缩短 ω 或伸长(0<ω 到 或伸长 原来的 倍，纵坐标不变
1
y=Sin(ω x+ ϕ ) 的图象 ω
ω
（3）横坐标不变，纵坐标伸长 ）横坐标不变，纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0<A<1)到原来的 倍 到原来的A倍 或缩短 到原来的
y=sin(2x+π/3)
纵坐标伸长到原来3倍 纵坐标伸长到原来 倍
3sin(2x+π/3)
y
3 2 1
π π y=3sin(2x+ ) ) y=3sin(2x+ 3
正弦型函数的图像性质
相位是正弦波在时间轴上的偏移量，决定了波形开始的时间点。当 $varphi > 0$ 时，图像向右位移；当 $varphi < 0$ 时，图像向左位移。相位的变化不会 改变波形周期和振幅，但会影响波形在时间轴上的位置。
03 正弦型函数的奇偶性
奇函数性质
奇函数性质
正弦型函数是奇函数，因为对于任意x，都有f(-x) = -f(x)。这意 味着正弦型函数的图像关于原点对称。
对称轴
正弦函数图像关于y轴对称
正弦函数$y = sin x$的图像关于y轴对称，即当$x$取正值和负值时，$y$的值相 同。
余弦函数图像关于x轴对称
余弦函数$y = cos x$的图像关于x轴对称，即当$y$取正值和负值时，$x$的值相 同。
对称中心
要点一
正弦函数图像关于点$(kpi, 0)$对 称
通过调整A、ω、φ的值，可以获 得不同振幅、周期和相位偏移的 正弦型函数。
单位圆与三角函数关系
单位圆是指在平面直角坐标系中， 以原点为圆心、半径为1的圆。
三角函数与单位圆密切相关，单 位圆上的点可以用三角函数来表
示。
在单位圆上，正弦和余弦函数的 值等于点的纵坐标和横坐标的比 值，正切函数的值等于点的纵坐
图像特点
偶函数的图像关于y轴对称，即当 x=0时，y达到最大或最小值。在 x>0和x<0的区间内，函数值相等。
应用实例
偶函数性质在电磁学中有广泛应用， 例如磁场分布等。
既非奇又非偶函数性质
既非奇又非偶函数
性质
正弦型函数既不是奇函数也不是 偶函数。虽然它的图像关于原点 和y轴都有对称性，但它不符合奇 偶函数的严格定义。
振幅与图像高度
正弦型函数
武陵源一中：赵群龙
正弦型函数
一.概念： 1.形如y=Asin( x+ )的函数，叫做正弦型函数。 用它来表示物理中的震动量时，x≥0,A>0, >0,其中 A——振幅：震动时离开平衡位置的最大距离。 2 T= ——周期：震动一次所需要的时间。 f= T1 ——频率：单位时间内震动的次数。 x+ ——相位。 ——初相。
10
3
正弦型函数
例1,用“五点法”做出函数y=3sin(2x+ )的图像。
3
例2，把y=sinx的图像经过怎样的变换可以得到函数 y=2sin(3x+ 3 )的图像？
4
正弦型函数
三，正弦型函数的性质： 1.周期：T= 2 ; 2.最值：1）当 x+ =2k + 2 (k z)时，y取最大值A； 3 2）当 y取最小值－A。 2 3.单调区间： 4.对称4sin(3x+ )的周期、振幅、频率和初相 分别是多少？ 解：函数的周期T= 23 ; 振幅A=4； 3 频率f= 2 ; 初相 = 2 .
2
6
正弦型函数
例4.指出函数y=2sin( x+ )的最大值和最小值及 取得最值时x的值。
1 3
3
7
正弦型函数
2
正弦型函数
二，正弦型函数图像的作法： 1，方法一：“五点法”。 2，方法二：图像变换法。 步骤一：相位变换y=sinx——y=sin(x+ ); 步骤二：周期变换y=sin(x+ )——y=sin( x+ ): 步骤三：振幅变换y=sin( x+ )——y=Asin( x+ ). 说明：这三个步骤的顺序可以调换，但是一 般的情况下把振幅变换放在最后一步。
正弦型函数
理论升华 整体建构
正弦型函数的定义域周期分别是什么？
A 0, 0) 的定义 正弦型函数 y A sin( x )(
域是R，周期是
2π
．
T
2π
．
巩固知识 典型例题
例1 求函数 y sin x cos 2 x cos x sin 2 x 的周期． 解 由于
y sin x cos 2 x cos x sin 2 x sin 3x，
故函数的周期为
T 2π ． 3
利用公式（1.3）将 函数化成正弦型函数 的形式，是确定函数弦型函数
创设情境 兴趣导入
我们已经学习了正弦函数 y sin x 和余弦函数 y cos x． 在物理、电工和工程技术中，经常遇到形如 y A sin( x ) 的函数，这类函数叫做正弦型函数．
动脑思考 探索新知
我们首先讨论正弦型函数的周期．
π π 观察正弦型函数 f ( x) sin(2 x )．令 z 2x ，则 x R，z R． 3
运用知识 强化练习
指出下列各函数的周期 π (1) y sin(3 x )； 3 π (2) y 3sin( x )； 3 1 π (3) y sin( x )； 2 3 (4) y cos 2 x sin 2 x．
2π （1） ； 3 （2） 2 π； （3） ； 4π （4） π ．
3
由于函数 y sin （ z z R） 的周期是2 π ，故
π f ( x) sin(2x ) sin z sin( z 2π) 3 π = sin(2 x 2π) 3 π sin[2( x π) ] 3 f ( x π)，
正弦型函数求参数-概述说明以及解释
正弦型函数求参数-概述说明以及解释1.引言1.1 概述正弦型函数是一种在数学和工程领域中广泛应用的函数形式。
它以周期性变化的方式描述了许多自然现象和物理量的变化规律。
在实际问题中，我们经常需要根据给定的数据或条件来确定正弦型函数的参数。
本文旨在介绍如何求解正弦型函数的参数。
我们将首先对正弦型函数进行定义和描述，然后详细阐述在给定条件下如何求解函数的各个参数。
具体而言，我们将重点讨论正弦函数的振幅、周期、相位和纵向偏移等参数的求解方法。
我们将逐步介绍如何根据给定的函数图像或数据，利用数学方法进行参数求解。
同时，我们也将介绍如何利用计算机编程工具来实现参数求解的过程。
通过本文的阅读，读者将能够掌握利用数学方法和计算工具求解正弦型函数参数的基本原理和具体操作方法。
同时，本文也将提供一些实际应用案例，帮助读者更好地理解和应用所学知识。
在下一节中，我们将对正弦型函数的定义进行详细介绍，以便为后续的参数求解提供必要的背景知识。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下几点：文章结构的设计是为了使读者能够更好地理解和掌握正弦型函数求参数的方法。
本文将按照以下结构进行阐述：1. 引言部分：本部分将简要介绍本文所涉及的主题和背景，概括正弦型函数求参数的重要性和应用领域。
读者可以通过引言部分对整篇文章的主要内容和意义有一个整体的了解。
2. 正文部分：本部分将详细介绍正弦型函数的定义和特点，并重点讨论如何求解正弦型函数的参数。
具体而言，将讨论如何确定正弦函数的振幅、周期、相位和垂直位移等参数，并提供相应的计算方法和实例。
通过具体的数学公式和图像，读者可以更加直观地理解求解参数的过程和原理。
3. 结论部分：本部分将对前文的内容进行总结，强调正弦型函数求参数的重要性和应用前景。
文章将指出求解正弦型函数参数在实际问题中的实用性，并提出进一步研究和应用的方向。
读者可以通过结论部分对整篇文章的核心观点和成果有一个完整的总结和理解。
经典：正弦型函数
3
2
2
2
2 3 4
1
0 -1
0
2、ω的作用：研究 y=sinωx与y=sinx 图象的关系 先观察y=sin2x、y=sin 1 x与y=sinx的图象间的关系
2
y
1
0
π
2π
3π
4π x
-1
ω的作用：使正弦函数的周期发生变化。
y=sinωx（ω>0, ω1)的图象是由y=sinx 的图象沿x轴缩短(当ω>1时)或伸长（当 0<ω<1时)ω-1倍而成.
y
2
2
1
2sinx
1 2
sinx
π
2π x
0
π/2
π
3π/2
2π
0
1
0
-1
0
0
2
0
-2
0
0
1/2
0
-1/2
0
1、A的作用：研究 y=Asinx 与 y=sinx 图象的关系
先观察y=2sinx、y= 1 sinx与y=sinx的图象间的关系
y
2
2
1
0
π
2π x
-1
-2
A的作用：使正弦函数相应的函数值发生变化。 y=Asinx（A>0, A1)的图象是由y=sinx的图象沿y轴 方向伸长 (当A>1时)或缩短（当0<A<1时)A倍而成.
1
正弦型函数y =Asin(ωx + )
对于正弦型函数，我们称：
A 为振幅，ω为 角速度，
T 2
为周期
周期T的倒数
f 1 T 2
为 频率，
ωx+ 为相位， x=0 时的相位为初相。
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如果只有频率不同，如何求正弦量的合成？
实训
例5 已知交流电的电流强度i （单位：A）随时间t（单位：s） 的函数关系为i 40sin(100π t π )， 写出电流的峰值、周期、频率和 3 初相位． 解 峰值为 I m 40(A)， 周期为 T 20π 0.02(s)；
100π 1 1 50(Hz)； 频率为 f T 0.02
导学
在电学中，电流强度的大小和方向都随时间变化的电流叫做 交变电流，简称交流电．最简单的是简谐交流电，其电流的大小 和方向随时间而变化，满足
i I m sin(t 0 ) ( I m 0, 0, ≤ 0 ≤ )
的函数关系．其中I m 是电流强度的最大值，叫做简谐交流电的峰值； 2 T 叫做简谐交流电的变化周期，表示交流电完成一次周期性变 化所需的时间（单位为：s）；单位时间内，交流电完成周期性变化 的次数叫频率，用f表示，f 位， 0 叫做初相位．
3 3 3
2 4 2 4 cos ) sin t I (sin sin ) cos t 3 3 3 3 3 1 3 1 I ( ) ( ) sin t I ( ) cost 2 2 2 2 I (cos
于是有
2
2 102 解得 100 π．
因图中起点坐标的横坐标为0.25 102， 2 t 0.25 10，所以 即 t 0 0时，
0 t 100π 0.25 102 ，
因此所求的函数关系式为
π 4
实训
例7 设 i1 I sin(t 解
只有初相位不同 的两个正弦量的合成 说明：只有初相位不同的两个正弦量的合成仍是 仍是正弦量，其频率 正弦量，其频率和峰值不变，只有初相位 和峰值不变，只有初 相位发生变化．
I sin t．
发生变化．
练习课学了哪些内容？
重点和难点各是什么？
课外能力强化
1、书面作业： 课本习题1.2.2（必做题） 习题集1.2.3（选做题） 学习与训练1.2（选做题） 2、实践作业： 实践指导1.2
2 4 )，i2 I sin(t ) ，求i i1 i2． 3 3
i i1 i2 I sin(t
3
2 4 ) I sin(t ) 3 3 2 2 4 4 I (sin t cos cos t sin ) I (sin t cos cos t sin )
1 t 0 叫做相 单位为Hz（赫兹）； T
导学
s 表示 在物理学中，用 S A sin(t )表示简谐振动，
T 位移， A叫做振幅； 2
0 叫做初相位． 做简谐振动的变化频率， t 0叫做相位；
叫做简谐振动的变化周期，f 叫
1 T
探究
系数A, w, 对正弦型曲线有何影响 ？
1.2
正弦型函数
正弦型函数应用举例
1.2.3
导入
正弦型函数在物理学中有着广泛的应用，究 竟有哪些应用呢？
预读
1、什么是峰值？什么是变化周期? 2、什么是频率？什么是相位、初相位？ 3、简谐交流电的三要素是什么？
思议
如何求电流的峰值、周期、频率和初相位?
如何根据图像些函数解析式？
初相位为 ．
π 3
实训
例6 已知交流电的电流强度i （单位：A）随时间t（单位：s）变 化的部分曲线如图所示．试写出i与t的函数关系式． 解 电流强度i随时间t的变化满足正弦型函数关系， 故设所求的函数关系为i A sin(t 0 ).
2 2 2 T 2.25 10 0.25 10 2 10 , 观察图得到，峰值A=30，周期