平面 高中数学必修二总复习课件
直线 l 在平面α内，或者说平面α经过直线 l
直线 l 在平面α外.
l ,l
平面的基本性质
思考1：如何让一条直线在一个平面内？
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,
那么这条直线在此平面内.
平面经过这条直线 集合符号表示
A．
B．
α
Al, B l,且A, B l
作用：为判断直线与平面的位置关系提供依据
平面是可无限延展的
平面的表示
平面的画法
一般来说，常用正方形或长方形表示平面，如 图一, 在画立体图时，为了增强立体感， 常常把平 面画成平行四边形，如图二是按照斜二测画法得到的 平面的水平直
A B
1. 希腊字母： 平面， 平面，平面
2. 一个或几个拉丁字母： 平面M， 平面AC， 平面ABCD等
平面的表示
两个相交平面的画法和表示
平面和平面相交于一条直线a
a
a
平面平面=直线a 被遮住的部分画虚线
平面的表示
用集合符号表示 点与直线、点与平面、直线 与平面的关系
直线和平面都可以看成点的集合
“点P在直线l上”,“点A在平面α内”P l, A
“点P在直线l 外”,“点A在平面α外”P l , A
• 根据公理3探究平面与平面的各种位置关系.
小结
1.平面的表示：概念、图形、符号等 2.平面的基本性质
公理1 公理2 公理3 3.判断共面的方法
作业
P43 练习1,2,34 P51 习题A组 1，2
a
α
B
Al β
α a
l
P
β b
(1)
(2)
解：1） A，B，=l，a=A，a=B
2) a,b,=l,al=P, bl=P, ab=P
例2：已知直线a，和点P，Pa，求证 经过点P和直线a有且只有一个平面.
P a
探究问题
• 根据公理1探究直线与平面的各种位置关系.
• 根据公理2探究两条相交直线或平行直线确定一个 平面的合理性.
第二章
2.1 2.2 2.3
2.1
空间点、直线、平 面之间的位置关系
主要内容
2.1.1 平面 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.1 平 面
构成图形的基本元素
D′ A′
D
A
C′ B′
C
B
点、线、面
点无大小 线无粗细 面无厚薄
点
直线 可无限延伸的 平面
思考3：如果两个平面有一个公共点， 那么还会有其它公共点吗？如果有这些
公共点有什么特征？
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
P ,且P I l,且P l
作用：判断两个平面位
置关系的基本依据
Pl
例题
例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、 平面之间的位置关系.
平面的基本性质
思考2：经过两点可以确定一条直线， 那么经过几个点可以确定一个平面呢？
公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平
面.
“不共线的三点确定一个平面”
集合符号表示
B．
．A ．C
已知A、B、C三点不共线，则存在惟一平面 ，使得A、B、C
作用：判断几个点共面或直线在同一个平面内
平面的基本性质
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数学必修2第二章复习总结知识点PPT课件
简记为:线线垂直，则线面垂直。
3．直线与平面垂直的另一种判定方法
两条平行直线中的一条垂直一个平面,则另
一202条1/7/2直4 线也垂直这个平面.
11
直线和平面垂直的判定与性质
4.直线与平面所成的角 定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所 成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角. 直线与平面所成的角的范围α: 00≤α ≤900
若两个平面平行,则一个平面内的所有
直2021线/7/24都平行于另一个平面.
10
直线和平面垂直的判定与性质
1．直线与平面垂直的概念
如果直线 l 与平面内的任意一条直线都 垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直，
2．直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直．
2021/7/24
18
简记为:线面平行，则线线平行。
2021/7/24
9
平面和平面平行的判定与性质
1.判定定理:一个平面内的两条相交直线与 另一个平面平行,则这两个平面平行.
简记为:线面平行,则面面平行.
2.性质定理:如果两个平行平面同时和 第三个平面相交,那么它们的交线平行.
简记为:面面平行,则线线平行.
3.两个平面平行的一个性质:
6.平面与平面垂直的性质定理
定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直.
简记为:面面垂直，则线面垂直
7.另一个性质:两个平面垂直,过一个平面的一点
作202另1/7/2一4 个平面的垂线,必在第一个平面内.
14
一些常用结论 1.三条两两相交的直线可确定1个或3个平面. 2.不共面的四点可确定4个平面. 3.三个平面两两相交,交线有1条或3条. 4.正方体各面所在平面将空间分成27个部分.
高中数学必修2复习课件PPT课件演示文稿
若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则
该直线与此平面平行.
a
b a//
简述为：线线平行线面平行
第二十六页，共51页。
两个平面平行的判定定理： 线面平行→面面平行
如果一个平面内有两条相交直线都平行于 另一个平面，那么这两个平面平行.
•P
b
a
第二十七页，共51页。
线面平行的性质定理
一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行。
第十七页，共51页。
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有
其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点 的一条直线。
条件是两平面有一个公共点； 结论是它们有且只有一条过这个点的直线。
第十八页，共51页。
公理3 经过不在同一条直线上的三点，
有且只有一个平面。
条件是不在同一直线上的三点； 结论是过这三点有且只有一个平面。
k
y2 x2
y1 x1
( x1
x2 )
第三十九页，共51页。
结论1：对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率
分别为k1、k2，则有：
l1∥l2
k1＝k2.
结论2：如果两条直线l1、l2都有斜率，且分别 为k1、k2，则有：
l1⊥l2
k1k2=-1.
第四十页，共51页。
1.点斜式方程
y y0 k(x x0 )
第十九页，共51页。
2、空间中两直线的三种位置关系
1、相交
m P
l
2、平行
m l
3、异面直线
m
l
P
只有一个公共点
没有公共点
在同一平面
没有公共点
不同在任一平面
平面 课件(1)-人教A版高中数学必修第二册(共27张PPT)
(1)平展性 (2)无限延展性
(3)没有厚度
练习 判断下列各题的说法正确与否：
1、一个平面长 4 米,宽 2 米；
(
)
2、平面有边界；
(
)
3、一个平面的面积是 25 cm 2；
(
)
4、菱形的面积是 4 cm 2；
(
)
5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
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三、平面的画法： (1)水平放置的平面：
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面。
作用：确定一个平面
C
A
α
B
用两根绳子可说明桌子的四条腿的底端在一个平面内。
例1:用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
a
B A
l
(1)
al
l
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在
号 语 言：
B A
l
l
B
B
作用：判断直线是否在平面 内的依据．
思考：如图,把三角尺的一个角立在课桌面上,三角尺所在平面与课桌面 所在平面是否只相交于一点B？为什么？
B
文字语言
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有 一条过该点的公共直线．
图形语言
符号语言
l
P , P l,且P l
P
作用？
①判断两个平面相交的依据． ②判断点在直线上．
两个相交平面的画法： 想 一 想
注意： 画两个平面相交时,当一个平面的一部分被另一个平 面遮住时,应把被遮住的部分画成虚线或不画．
数学必修二全套课件ppt课件ppt
习题解答三：拓展题
总结词
拓展题是难度较高的题目，旨在培养学生的创新思维和探究 能力。
详细描述
拓展题主要包括难题、探究题和开放性问题等，涉及的知识 点更加广泛和深入，如数列的性质、组合数学等。这些题目 旨在培养学生的创新思维和探究能力，提高学生的数学素观看
数学必修二全套课件 ppt课件
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目录
• 平面几何 • 立体几何 • 解析几何初步 • 函数与方程思想 • 数形结合思想 • 数学必修二习题解答
01
平面几何
直线与圆
相切
当直线与圆只有一个公共点时， 称为相切。
相交
当直线与圆有两个公共点时，称 为相交。
直线与圆
• 相离：当直线与圆没有公共点时，称为相离。
外接圆的圆心是所有顶点与对边中点的中点连线段的交点，称为外心。
多边形与圆
多边形的内切圆 内切圆是与多边形各边都相切的圆。
内切圆的半径等于多边形周长与边长的比值的一半。
多边形与圆
多边形与圆的面积关系 外接圆的面积大于或等于多边形的面积。 内切圆的面积小于或等于多边形的面积。
角与三角形
角的性质
1
2
通过圆心$(h, k)$和半径$r$，表示圆 参数方程为$x = h + rcostheta, y = k + rsintheta$。
圆的一般方程
通过三个不共线的点$(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$，表示圆方 程为$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。
02
立体几何
空间点、直线、平面的位置关系
详细描述
点、直线和平面之间的位置关系 ，包括共面、平行和相交等。
新版高中数学必修2课件：8.4.1平面
平面个数是 1 或 3，如果交于不共线的三点，可以确定的平面个数 是 1，所以空间两两相交的三条直线，可以确定的平面个数是 1 或
3. 答案：B
2．如图所示的两个相交平面，其中画法正确的是( )
解析：对于①，图中没有画出平面 α 与平面 β 的交线，另外图 中的实线、虚线也没有按照画法原则去画，因此①的画法不正确．同 样的道理，可知②③的画法不正确，④中画法正确．
方法归纳 证明三点共线，可以证明三点都在两平面的交线上或第三点在 两点所确定的直线上．
微点 2 线共点问题 例 3 在四面体 ABCD 中，E，G 分别是 BC，AB 的中点，点 F 在 CD 上，点 H 在 AD 上，且 DF:FC＝DH:HA＝2:3.求证：EF，GH， BD 交于一点．
证明：如图，连接 GE、HF 因为 E，G 分别是 BC，AB 的中点，所以 GE∥AC，GE＝12AC. 又 DF:FC＝DH:HA＝2:3， 所以 FH∥AC，FH＝25AC，所以 FH∥GE，FH≠GE， 所以 E，F，H，G 四点共面，且四边形 EFHG 是一个梯形． 延长 GH 和 EF 交于一点 O， 因为 GH⊂平面 ABD，EF⊂平面 BCD， 所以 O∈平面 ABD，O∈平面 BCD， 所以点 O 在这两个平面的交线上， 而这两个平面的交线是 BD，且交线只有这一条，所以点 O 在 直线 BD 上． 所以 EF，GH，BD 交于一点．
(3)根据已知符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线 和虚线的区别．
跟踪训练 1 根据如图所示，在横线上填入相应的符号或字母： A___∈_____平面 ABC，A____∉____平面 BCD，BD___⊄_____平面 ABC，平面 ABC∩平面 ACD＝___A__C___.
人教版高中数学必修2课件：2.1.1平面
文字语言
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
图形语言 符号语言
β
P ·
l
α
p
且p
p
l
l
平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内.
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一 个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
注意：
1、平面的两个特征：
①无限延展 ②平的（没有厚度）
2、一条直线把平面分成两部分. 一个平面把空间分成两部分.
二、点、线、面的基本位置关系
（1）符号表示： 点A、线a、面α
（2）集合关系： A a, A, a ,
图形
符号语言 文字语言(读法)
A a A a 点在直线上
D1 A1
A
C1 B1
C B
1、平面的概念
桌面 黑板面 海面
平面的形象
几何里的平面是无限延展的.
注意：
1、平面的两个特征：
①无限延展 ②平的（没有厚度）
2、一条直线把平面分成两部分. 一个平面把空间分成两部分.
2、平面的画法
通常把水平的平面画成锐角为450，横边长等于 其邻边长2倍的平行四边形.
练习:画一个相交平面
β
如果一个平面被另一个平面挡
住则这遮挡的部分用虚线画出
来.
α
3、平面的表示法
D
C
α
A
B
①平面通常用一个希腊字母α、β、γ等来表 示如平面α、平面β、平面γ；
人教B版高中数学必修二第二章《平面解析几何初步》章末归纳总结》ppt课件
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题意，得00－ －aa22＋ ＋06－ －bb22＝ ＝rr22 ，解得ab＝ ＝33
.
a－b＝0
r＝3 2
故所求圆的方程是(x－3)2＋(y－3)2＝18.
解法二：由题意，所求圆经过点(0,0)和(0,6)，∴圆心一定 在直线 y＝3 上，又由解法一，知圆心在直线 x－y＝0 上，
第二章 平面解析几何初步
第二章 章末归纳总结
1 知识结构 2 学后反思
3 专题研究 4 课时作业
知识结构
学后反思
• 用坐标法研究几何问题使我们从抽象的推理中解脱 出来，用坐标的计算替代推理．为我们研究几何问 题开辟了一条全新的道路．
• 本章介绍了解析几何研究问题的基本思路：建立直 角坐标系，求出或设出点的坐标，通过坐标的运算， 对方程的研究来解释几何现象，表述几何问题．
• [例3] 设有直线l：y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝16， 求k为何值时，直线l被圆O所截得的弦最短？并求出 最短弦长；能否求得k的值，使直线l被圆O所截得的
弦最长？
[解析] 解法一：设所截得的弦长为 L，
则 L＝2 16－k2＋9 1.
显然，当 k＝0 时，Lmin＝2 7； 不论 k 取何值，L 均无最大值，故弦长取不到最大值．
• 判断直线与圆、圆与圆的位置关系可以从两个方 面入手：①直线与圆有无公共点，等价于它们的方程 组成的方程组有无实数解，方程组有几组实数解，直 线与圆就有几个公共点，方程组没有实数解，直线与 圆就没有公共点，判断圆与圆的位置关系时慎用此法； ②运用平面几何知识，把直线与圆、圆与圆位置关系 的几何结论转化为相应的代数结论．
21190，∴当
高中数学人教A版必修二 2.1.1 平面 课件(39张)
-24-
2.1.1 平面
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探究一
探究二
探究三
思想方法
证法一∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α. 又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也
反思感悟证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2,常用 方法有:
(1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面 内,即用“纳入平面法”;
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一 个平面β,再证平面α与β重合,即用“辅助平面法”;
(3)假设不共面,结合题设推出矛盾,用“反证法”. 注意:在遇到文字叙述的结论时,一定要先根据题意画出图形,结 合图形写出已知与求证,再证明.
提示:不是.平面ABCD与平面ABB1A1相交于直线AB.
-13-
2.1.1 平面
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一二三
4.关于平面的基本性质,请完成下表:
公理 内 容
图形
如果一条直线
上的两点在一
公理 1 个平面内,那么 这条直线在此
解:(1)①不一定共面.
若三条直线两两相交,且过同一个点. 这三条直线在同一个平面内相交,如图.
-20-
2.1.1 平面
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探究二
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探究一
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探究三
思想方法
证法一∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α. 又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也
反思感悟证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2,常用 方法有:
(1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面 内,即用“纳入平面法”;
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一 个平面β,再证平面α与β重合,即用“辅助平面法”;
(3)假设不共面,结合题设推出矛盾,用“反证法”. 注意:在遇到文字叙述的结论时,一定要先根据题意画出图形,结 合图形写出已知与求证,再证明.
提示:不是.平面ABCD与平面ABB1A1相交于直线AB.
-13-
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一二三
4.关于平面的基本性质,请完成下表:
公理 内 容
图形
如果一条直线
上的两点在一
公理 1 个平面内,那么 这条直线在此
解:(1)①不一定共面.
若三条直线两两相交,且过同一个点. 这三条直线在同一个平面内相交,如图.
-20-
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高中数学人教A版必修二全程复习课件 第二章 2.1.1 平 面
无所谓面积的.
二、点、线、面之间位置关系的表示
探究1：观察如图所示的点、线、面的位置关系,思考下面的
问题：
(1)两平面α ,β 的位置关系是相交,怎样表示? 提示：α∩β=l.
(2)根据提示完成下面的填空,理解点、线、面之间关系的符
号表示：
①a
③A
α ;②a∩β =
l; ④ a b=A.
;
提示：①⊂ ②A
提示：不对,我们通常用平行四边形表示平面,但平面是无限
延展的.所以平行四边形不是一个平面.
【探究提升】对平面含义的三点说明
(1)平面和点、直线一样是构成空间图形的基本要素之一 ,是
一个描述而不定义的原始概念.
(2)平面具有无限延展性,是没有边界的.
(3)几何中的平面是点的集合,因此平面是无大小、无厚薄、
(2)公理2： 不在一条直线上 的三点,有且只有一个平面. 文字语言：过_______________ 图形语言：
符号语言：A,B,C三点不共线⇒有且只有一个平面α 使得 A∈α ,B∈α ,C∈α __________________.
(3)公理3： 文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们 有且只有 一条过该点的公共直线. _________ 图形语言：
的含义吗?
提示：如教室中的地面、天花板、平静的海面等.几何中的
“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的 ,是无限延伸的.
探究2：能否说多个平面重叠在一起比一个平面厚吗? 提示：不能,平面是无厚薄的,无论多少个平面重叠在一起仍 然是一一个平面,这句话对吗?
③∈
④∩
探究2：直线a与直线b相交于点A,用符号表示能否记作
a∩b={A}?
人教版高中数学必修二 第二章 2.1.1《平面》课件
人教版高中数学必修二 第二章 2.1.1《平面》课件
人教版高中数学必修二 第二章 2.1.1《平面》课件
三、平面的画法：
(1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
ß a
通常把表示平面的平行四边形的锐角 画成450
人教版高中数学必修二 第二章 2.1.1《平面》课件
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人教版高中数学必修二 第二章 2.1.1《平面》课件
一、平面的概念：
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们 熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现 实平面加以抽象的结果.
人教版高中数学必修二 第二章 2.1.1《平面》课件
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二、平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄， 平面 在空间是无限延伸的. (1)平展性 (2)无限延展性 (3)没有厚度
3．作者先说“请息交以绝游”，而后又 说“悦 亲戚之 情话”， 这本身 也反映 了作者 的矛盾 心情。 4．此段是转承段，从上文的路上、居 室、庭 院，延 展到郊 野与山 溪，更 广阔地 描绘了 一个优 美而充 满生机 的隐居 世界。
5．“木欣欣以向荣，泉涓涓而始流”既 是实景 ，又是 心景， 由物及 人，自 然生出 人生短 暂的感 伤。 6．“善万物之得时，感吾生之行休”， 这是作 者在领 略到大 自然的 真美之 后，所 发出的 由衷赞 美和不 能及早 返归自 然的惋 惜之情 。
点P在直线l上: P l
点Q不在直线l上: Q l
点A在平面上：A
点B不在平面上：B
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直线l在平面内：
l 表示为：l
(不在呢?) l
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三、平面的画法：
(1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
ß a
通常把表示平面的平行四边形的锐角 画成450
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一、平面的概念：
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们 熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现 实平面加以抽象的结果.
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二、平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄， 平面 在空间是无限延伸的. (1)平展性 (2)无限延展性 (3)没有厚度
3．作者先说“请息交以绝游”，而后又 说“悦 亲戚之 情话”， 这本身 也反映 了作者 的矛盾 心情。 4．此段是转承段，从上文的路上、居 室、庭 院，延 展到郊 野与山 溪，更 广阔地 描绘了 一个优 美而充 满生机 的隐居 世界。
5．“木欣欣以向荣，泉涓涓而始流”既 是实景 ，又是 心景， 由物及 人，自 然生出 人生短 暂的感 伤。 6．“善万物之得时，感吾生之行休”， 这是作 者在领 略到大 自然的 真美之 后，所 发出的 由衷赞 美和不 能及早 返归自 然的惋 惜之情 。
点P在直线l上: P l
点Q不在直线l上: Q l
点A在平面上：A
点B不在平面上：B
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直线l在平面内：
l 表示为：l
(不在呢?) l