信道容量
什么是信道容量
一、信道的概念信道，是信号在通信系统中传输的通道，是信号从发射端传输到接收端所经过的传输媒质，这是狭义信道的定义。
广义信道的定义除了包括传输媒质，还包括信号传输的相关设备。
信道容量是在通信信道上可靠地传输信息时能够达到的最大速率。
根据有噪信道编码定理，给定信道的信道容量是其以任意小的差错概率传输信息的极限速率。
信道容量的单位为比特每秒、奈特每秒等等。
香农在第二次世界大战期间发展出信息论，并给出了信道容量的定义和计算信道容量的数学模型。
他指出，信道容量是信道的输入与输出的互信息量的最大值，这一最大取值由输入信号的概率分布决定。
二、信道的分类（一）狭义信道的分类狭义信道，按照传输媒质来划分，可以分为有线信道、无线信道和存储信道三类。
1. 有线信道有线信道以导线为传输媒质，信号沿导线进行传输，信号的能量集中在导线附近，因此传输效率高，但是部署不够灵活。
这一类信道使用的传输媒质包括用电线传输电信号的架空明线、电话线、双绞线、对称电缆和同轴电缆等等，还有传输经过调制的光脉冲信号的光导纤维。
2. 无线信道无线信道主要有以辐射无线电波为传输方式的无线电信道和在水下传播声波的水声信道等。
无线电信号由发射机的天线辐射到整个自由空间上进行传播。
不同频段的无线电波有不同的传播方式，主要有：地波传输：地球和电离层构成波导，中长波、长波和甚长波可以在这天然波导内沿着地面传播并绕过地面的障碍物。
长波可以应用于海事通信，中波调幅广播也利用了地波传输。
天波传输：短波、超短波可以通过电离层形成的反射信道和对流层形成的散射信道进行传播。
短波电台就利用了天波传输方式。
天波传输的距离最大可以达到400千米左右。
电离层和对流层的反射与散射，形成了从发射机到接收机的多条随时间变化的传播路径，电波信号经过这些路径在接收端形成相长或相消的叠加，使得接收信号的幅度和相位呈随机变化，这就是多径信道的衰落，这种信道被称作衰落信道。
视距传输：对于超短波、微波等更高频率的电磁波，通常采用直接点对点的直线传输。
MIMO信道容量计算公式
MIMO信道容量计算公式
MIMO（Multiple-Input Multiple-Output）是一种通过同时使用多个发射天线和接收天线来增加无线通信系统容量的技术。
MIMO技术可以利用信道的冗余和多路径效应，提高信号的传输速率和可靠性。
1.SISO信道容量计算公式：
SISO信道容量的计算公式使用香农公式，用于计算传输速率。
香农公式如下：
C = B * log2(1 + SNR)
其中，C是信道容量，B是带宽，SNR是信噪比（Signal-to-Noise Ratio）。
SISO信道容量计算公式适用于只有一个天线的系统。
2.MIMO信道容量计算公式：
C = log2(det(I + H*SNR*H^H))
其中，C是信道容量，H是MIMO信道的传输矩阵，SNR是信噪比。
除了以上基本的MIMO信道容量计算公式，还有一些进一步考虑调制方式、信道状态信息等因素的改进公式，如ZF（Zero Forcing）和MMSE （Minimum Mean Square Error）等方法，用于提高MIMO系统的容量。
这些方法考虑了天线之间的干扰和多径效应，可以优化信号的传输和接收性能。
总结起来，MIMO信道容量的计算公式可以通过SISO信道容量公式和MIMO信道容量公式来表示，具体的计算方法需要综合考虑信道状况和系
统参数，并结合数值计算方法进行分析。
通过合理设计和优化，MIMO技术可以显著提高无线通信系统的容量和性能。
信道容量和概率的关系
信道容量和概率的关系
在信息理论中，信道容量指的是在给定信道条件下，能够通过该信道传输的最大信息率。
信道容量的大小取决于信道的特性和噪声水平。
概率与信道容量的关系表现在信道的转移概率分布函数上。
对于一个离散无记忆信道来说，其转移概率分布函数指的是在每个可能输入符号下，输出符号的概率分布情况。
概率分布函数的不同将直接影响信道容量的大小。
简单来说，当信道的转移概率分布函数越均匀、随机性越高，信道容量就越大。
这是因为当概率分布函数随机性较高时，信道能够提供更多不同的输出选项，从而传输更多的信息。
相反，当信道的概率分布函数越集中、不均匀，信道容量就越小。
这是因为当概率分布函数集中在某些输出选项上时，信道能提供的输出选择较少，传输的信息量就受限制。
总结起来，概率分布函数的不确定性越高，信道容量就越大；概率分布函数的不确定性越低，信道容量就越小。
信道容量
当一个信道受到加性高斯噪声的干扰时，如果信道传输信号的功率和信道的带宽受限，则这种信道传输数据的能力将会如何？这一问题，在信息论中有一个非常肯定的结论――高斯白噪声下关于信道容量的山农（Shannon）公式。
本节介绍信道容量的概念及山农定理。
1、信道容量的定义在信息论中，称信道无差错传输信息的最大信息速率为信道容量，记为。
从信息论的观点来看，各种信道可概括为两大类：离散信道和连续信道。
所谓离散信道就是输入与输出信号都是取值离散的时间函数；而连续信道是指输入和输出信号都是取值连续的。
可以看出，前者就是广义信道中的编码信道，后者则是调制信道。
仅从说明概念的角度考虑，我们只讨论连续信道的信道容量。
2. 山农公式假设连续信道的加性高斯白噪声功率为（W），信道的带宽为（Hz），信号功率为（W），则该信道的信道容量为这就是信息论中具有重要意义的山农公式，它表明了当信号与作用在信道上的起伏噪声的平均功率给定时，具有一定频带宽度的信道上，理论上单位时间内可能传输的信息量的极限数值。
由于噪声功率与信道带宽有关，故若噪声单边功率谱密度为（W/Hz），则噪声功率。
因此，山农公式的另一种形式为由上式可见，一个连续信道的信道容量受、、三个要素限制，只要这三个要素确定，则信道容量也就随之确定。
3. 关于山农公式的几点讨论山农公式告诉我们如下重要结论：（1）在给定、的情况下，信道的极限传输能力为，而且此时能够做到无差错传输（即差错率为零）。
这就是说，如果信道的实际传输速率大于值，则无差错传输在理论上就已不可能。
因此，实际传输速率一般不能大于信道容量，除非允许存在一定的差错率。
（2）提高信噪比（通过减小或增大），可提高信道容量。
特别是，若，则，这意味着无干扰信道容量为无穷大；（3）增加信道带宽，也可增加信道容量，但做不到无限制地增加。
这是因为，如果、一定，有（4）维持同样大小的信道容量，可以通过调整信道的及来达到，即信道容量可以通过系统带宽与信噪比的互换而保持不变。
信道容量的计算方法
信道容量的计算方法信道容量的计算方法：1、对于离散无记忆信道，香农公式是计算信道容量的重要方法。
香农公式为C = W log₂(1 + S/N)，其中C表示信道容量，W表示信道带宽，S表示信号功率，N表示噪声功率。
2、在计算信道容量时，先确定信道带宽W的值。
例如，在一个无线通信系统中，经过测量或者根据通信标准规定，信道带宽可能是20MHz。
3、接着确定信号功率S。
信号功率可以通过功率测量仪器得到，比如在一个发射机输出端测量到的功率为10W。
4、然后确定噪声功率N。
噪声功率的确定需要考虑多种因素，如热噪声、干扰噪声等。
热噪声功率可以根据公式N₀= kT₀B计算，其中k是玻尔兹曼常数，T₀是绝对温度，B是等效噪声带宽。
在常温下，假设T₀= 290K，若等效噪声带宽与信道带宽相同为20MHz，可算出热噪声功率，再加上其他干扰噪声功率得到总的噪声功率N。
5、将确定好的W、S、N的值代入香农公式计算信道容量C。
6、对于离散有记忆信道，计算信道容量会更复杂。
需要考虑信道的记忆特性，通常采用马尔可夫链来描述信道状态的转移概率。
7、构建马尔可夫链的状态转移矩阵，矩阵中的元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
8、通过求解马尔可夫链的稳态分布，结合输入符号的概率分布，利用信息论中的互信息公式来计算信道容量。
9、在多输入多输出(MIMO) 系统中，信道容量的计算又有不同。
需要考虑多个发射天线和多个接收天线之间的信道矩阵H。
10、利用矩阵H的特征值等信息，根据MIMO信道容量公式C = log₂det(I + ρHH*)计算信道容量，其中ρ是信噪比，I是单位矩阵，H*是H的共轭转置矩阵。
信道、信道容量、数据传输速率
信道、信道容量、数据传输速率简介：信道、信道容量、数据传输速率（比特率）、电脑装置带宽列表一、信道的概念信道，是信号在通信系统中传输的通道，是信号从发射端传输到接收端所经过的传输媒质，这是狭义信道的定义。
广义信道的定义除了包括传输媒质，还包括信号传输的相关设备。
信道容量是在通信信道上可靠地传输信息时能够达到的最大速率。
根据有噪信道编码定理，给定信道的信道容量是其以任意小的差错概率传输信息的极限速率。
信道容量的单位为比特每秒、奈特每秒等等。
香农在第二次世界大战期间发展出信息论，并给出了信道容量的定义和计算信道容量的数学模型。
他指出，信道容量是信道的输入与输出的互信息量的最大值，这一最大取值由输入信号的概率分布决定。
二、信道的分类（一）狭义信道的分类狭义信道，按照传输媒质来划分，可以分为有线信道、无线信道和存储信道三类。
1. 有线信道有线信道以导线为传输媒质，信号沿导线进行传输，信号的能量集中在导线附近，因此传输效率高，但是部署不够灵活。
这一类信道使用的传输媒质包括用电线传输电信号的架空明线、电话线、双绞线、对称电缆和同轴电缆等等，还有传输经过调制的光脉冲信号的光导纤维。
2. 无线信道无线信道主要有以辐射无线电波为传输方式的无线电信道和在水下传播声波的水声信道等。
无线电信号由发射机的天线辐射到整个自由空间上进行传播。
不同频段的无线电波有不同的传播方式，主要有：地波传输：地球和电离层构成波导，中长波、长波和甚长波可以在这天然波导内沿着地面传播并绕过地面的障碍物。
长波可以应用于海事通信，中波调幅广播也利用了地波传输。
天波传输：短波、超短波可以通过电离层形成的反射信道和对流层形成的散射信道进行传播。
短波电台就利用了天波传输方式。
天波传输的距离最大可以达到400千米左右。
电离层和对流层的反射与散射，形成了从发射机到接收机的多条随时间变化的传播路径，电波信号经过这些路径在接收端形成相长或相消的叠加，使得接收信号的幅度和相位呈随机变化，这就是多径信道的衰落，这种信道被称作衰落信道。
第三章 信道和信道容量
I（X；Y）：接收到Y前、后关于的平均不确定性 的消除 ；或发送X前、后关于Y的平
均不确定性的消除。
可见：熵只是平均不确定性的描述，而不确定性 的消除（两熵之差）才等于接收端所获得的信息 量。获得的信息量不能和不确定性混为一谈。
第三章 信道和信道容量
关于信道容量： 研究：信道中平均每个符号所能传送的信息量，
有损失，是无噪有损信 道，也称确定信道，即： 损失熵：H(X/Y) ≠ 0； 噪声熵：H(Y/X) ＝ 0， I(X;Y)＝H(Y)＝H(X)－H(X/Y) ＜H(X)
第三章 信道和信道容量
信道容量仍是最大熵问题（最大H(Y)）：
C＝max H(Y)＝log s bit/符号
P(X)
（设Y有s个符号）
不相交的子集mk，由mk组成的矩阵[P]k是对称矩阵 （具有可排列的性质），则称此信道为准对称信道， 其信道容量：
r为输入符号集个数 即信道矩阵行数 准对称信道中的 行元素 第k个子矩阵 中行元素之和
第k个子矩阵 中列元素之和
第三章 信道和信道容量
例3－1：二元对称删除 信道如图，计算信道容量。
例3－2：准对称信道的信道矩阵为： P(y/x)＝ 0.5 0.3 0.2 0.3 0.5 0.2 当输入概率分布为p(x1)＝ɑ，p(x2)＝1－ɑ
且：p＝0时，信道无干扰； P＝1/2时，信道干扰最为严重。
第三章 信道和信道容量
二、二元删除信道
难以区分原发送信号时，不硬性
判断0或1，而作删除处理。 删除信道中，p＝q时，则为 对称删除信道。 三、Z信道 信道特性：0错成1的概率为0， 1错成0有一定可能。
1
0 1 0
p
1－p
1
第三章 信道和信道容量
《信道容量》PPT课件
C log r H ( p1, p2 ps ) Nk log M k
k 1
log 2 H ( 1 , 1 , 1 , 1) ( 3 log 3 1 log 1 ) 2488 4 4 4 4
1 1.75 0.811 0h.06（1 比特 / 信道符号） 35
• 另一种简单的方法： • 1.当输入分布为等概率时：计算出各个输出概率
信道容量的取得的过程亦是信源符号概率分布的自我调整的过程某一个输入信源符号对输入提供的平均信息量大于其他符号则势必更多的使用这个信源符号与此同时信源符号的概率分布也就发生了变化和调整由于输入信源符号分布的调整又减少了这个符号对输出提供的平均信息量增加了其他符号提供的平均信息量
第三章
信道与信道容量
h
1
• 求信道容量，必须求出使互信息量达到 最大的信源概率分布p(x)；
• 对于无噪无损信道，当信宿为等概分布 时，信源也为等概分布;
• 问题：对于无噪有损信道，信源的概率 分布是否也为等概分布？
h 18
3.4.2 对称离散信道的信道容量
h 19
对称DMC信道
• 对称离散信道：
• 对称性:
– 每一行都是由同一集{q1, q2,…qs}的诸元素不 同排列组成——输入对称
分布p(bj); • 2.然后计算H(Y); • 3.C=H(Y)max-H(Y/ai);
h 36
• 上题另解：
h 23
• 找一组信源概率分布，使C达到最大。 • 现在P(bj）=1/s，信源的概率分布为： • 假设信源为等概率分布p(ai)=1/r
p(bj ) p(a1) p(bj / a1) p(a2) p(bj / a2) p(am) p(bj / am) 1/ r[ p(bj / a1) p(bj / a2) p(bj / ar )] 1/ r 常数
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• 2)从信息论的角度看，平均的条件自信息即条件熵H（X/Y）可以解释为由于信道干扰和噪声所造成的 平均信息量的损伤。
如果BSC信道中p(0/1)=p(1/0)=p=0,即无误码概率，那么从接收的 Y可完全确定发送的X，信 道的介入没有产生任何损伤或模糊度，因此条件熵H（X/Y）＝0。
若H（X/Y）＝0，必有I（X;Y）＝H（X），互信息等于输人符号的信息熵。
（3）准对称DMC信道的容量
• 什么叫准对称DMC信道? 如果转移概率矩阵P是输入对称而输出不
对称，即转移矩阵P的每一行都包含同样的元素 而各列的元素可以不同，则称该矩阵是准对称 DMC信道。
用I(Px)表示I是Px的函数，则在I(Px)曲线上凸点所对应的输入符号概率矢量Px上，I(Px）取得了极 大值，这个极大值就是信道容量。
如何计算信道容量?
• （1）对称DMC信道的容量 什么叫对称DMC信道? 如果转移概率矩阵P的每一行都是第一行
的置换（包含同样元素），称该矩阵是输入对 称的；如果转移概率矩阵P的每一列都是第一列 的置换（包含同样元素），称该矩阵是输出对 称的；如果输入、输出都对称，则称该DMC为 对称的DMC信道。
q1 Q1 i0 j0
p(xi ) p(y j
/
xi )log
p(y j / xi ) p(y j )
• (2) 限制条件: p( xi ) 0
q 1
p(xi ) 1
i 0
• (3) 信道容量单位
a. C的单位是信道上每传送一个符号（每使用一 次信道）所能携带的比特数，即比特／符号 （bits／symbol或 bits／channel use）。
C=p(x0)p(0/0)log[p(0/0)/0.5]+ p(x0)p(1/0)log[p(1/0)/0.5]+ p(x1)p(0/1)log[p(0/1)/0.5]+ p(x )p(1/1)log[p(1/1)/0.5]
• 说明： 1) C随p变化的曲线如图5-1-4所示。 由图可知，p=0时的信道容量是1比特每符号（l bit／Symbol）； 当p=1/2时，从输出得不到关于输入的任何信息，互信息为0即信道容量是零。 对于1/2＜p≤ l的情况，可在BSC的输出端颠倒 0和 1，导致信道容量以p=1/2点为中心对称。
• ③ 当信道输入符号等概分布时，对称DMC信道达到其信道容量，为
Q
C log Q H (Y / xi ) log Q pij log pij j 1
• 证明③ :
由于对称信道的条件熵H（Y／X）与信 道输人符号的概率分布无关，所以
max[H Px
(Y
)
H
(Y
/
X
)]
max[H Px
b. 以e为底取自然对数时，信道容量的单位变为 奈特／符号（nats／sym－bol）。
c. 如果已知符号传送周期是T秒，也可以“秒” 为单位来计算信道容量，此时Cs＝C／T，以 比特/秒（bits／s）或奈特/秒（nats／s）
•(4) 转换计算式
若将Px=[p（x0）,p（x1），….，p（xq-1）] 定义为输入符号的概率矢量Px，关系式
例如：
1/ 3 1/ 6
1/ 3 1/ 6
1/ 6 1/ 3
1/ 1/
63和
1/ 2 1/ 6 1/ 3
1/ 3 1/ 2 1/ 6
1/ 6 1/ 3 1/ 2
都是对称的
有扰的对称DMC信道性质：
• ① 对称信道的条件熵H（Y／X）与信道输入符号的概率分布无关，且有H（Y／X）＝H（Y／xi），i＝ 0，1，…，q-1。
第十三讲
5.1.2 信道容量
• 1．如何刻画DMC信道的容量? 考虑一个DMC信道，其输入字符集是X={x0，x1，…，xq-1}，输出字符集是Y={y0,y1，…，yQ-1}，转 移概率P（yj／xi）. 若给定信道的转移概率和对应于输入符号的概率分布p（xi）,则 DMC信道容量C 为
C max I(X ;Y ) p( xi )
换言之，信道上传送的信息量正是输人信号的全部信息量，相当于信道容量为1。
3)当X和Y统计独立时，接收的Y完全与发送的X无关，此时P=0.5及H（X/Y）=H（X），说明损失的信
。 息 达 到 与 输 人 符 号 信 息 熵 相 等 的 程 度 。 可 得 I （ X ; Y ） = 0 或 C ＝ 0 ， 即 信 道 上 没 能 传 送 任 何 信 息
max
p( xi )
q1 i0
Q1 j0Biblioteka p(xi ) p( y j
/
xi ) log
p( y j / xi ) p(y j )
说明:
• (1) 两个公式
q 1
p( y j ) p(Y y j ) p(xi ) p( y j / xi ) i0
I ( X ;Y )
(Y
)
H
(Y
/
xi
)]
max[H Px
(Y
)]
H
(Y
/
xi
)
于是问题就简化为求
［H（Y）］。
max Px
由信息论原理，当输出符号集的各符号等概出现时可得最大信源熵，即
H（Y）≤logQ 或者
max［H（Y）］=logQ
■
（2）BSC信道的容量
如何确定BSC的信道容量? 对于转移概率为p(0/1)=P（1/0）=P及P（0/0） =p（1/1）=1-P的BSC信道而言，当输出概率p （y0）=P（y1）=0.5时其平均互信息最大。所 以，BSC的信道容量是
H (Y / X ) p(xi ) p( y j / xi ) log p( y j / xi )
i
j
p( y j / xi ) log p( y j / xi )
j
H (Y / xi )
② 当信道输入符号等概分布时，信道输出符号也等概分布； 反之，若信道输出符号等概分布，信道输入符号必定也是等概分布。
I(X;Y)＝H(X)- H(X/Y)＝H(Y)-
H(Y/X) C max I ( X ;Y )
可得:
px
max[H (X ) H (X / Y )] px
max[H (Y ) H (Y / X )] px
信道容量是否存在 ?
• 定理：给定转移概率矩阵P后，平均互信息I(X;Y)是概率矢量Px的上凸函数。(证明略)