2015年全国高考理科数学试题及答案-山东卷
2015年高考理科数学山东卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟. 参考公式：如果事件A ,B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2430{|}A x x x =-+<，24{|}B x x =<<，则AB = （ ）A ．1,3（）B ．1,4（）C ．2,3（）D ．2,4（）2．若复数z 满足z1i-=i ，其中i 为虚数单位，则z=（ ）A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+3．要得到函数πsin(4)3y x =-的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位4．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD =（ ）A ．232a -B ．234a -C ．234aD ．232a5．不等式|||52|1x x ---<的解集是 （ ）A ．(,4)-∞B ．(,1)-∞C ．(1,4)D ．(1,5)6．已知x ，y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）A ．3B ．2C ．2-D ．3-7．在梯形ABCD 中，π2ABC ∠=，AD ∥BC ，BC =2AD =2AB =2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π8．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N (0，23)，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为 （ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则(P μσ-<ξ)68.26%μσ<+=，(2P μσ-<ξ2)95.44%μσ<+=）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%9．一条光线从点（2-，3-）射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为 （ ）A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34-10．设函数31,1,()2, 1,x x x f x x -⎧=⎨⎩＜≥则满足()(())2f a f f a =的a 取值范围是（ ）A ．2[,1]3B ．[0,1]C ．2[,)3+∞D ．[1,)+∞第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.11．观察下列各式：001011330122555012337777C =4C +C =4C +C +C =4C +C +C +C =4；；；；……照此规律，当n ∈*N 时，012n-12n-12n-12n-12n-1C + C + C ++ C ⋯=_______. 12．若“∀x ∈[0，4π]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为_______. 13．执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为_______.14．已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=_______.15．平面直角坐标系xOy 中，双曲线222211 0,0x C a b y a b>->=：（）的渐近线与抛物线222C x py =：0p >（）交于点O ，A ，B .若OAB △的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为_______.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________?数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页）数学试卷 第6页（共21页）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）设2π()sin cos cos ()4f x x x x =-+.（Ⅰ）求f x （）的单调区间； （Ⅱ）在锐角ABC △中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c .若2f A （）=0，a =1，求ABC △面积的最大值.17．（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF ABC -中，AB =2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点. （Ⅰ）求证：BD ∥平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF =DE ，∠BAC =45︒，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小.18．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233nn S =+.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .19．（本小题满分12分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1-分；若能被10整除，得1分.（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX . 20．（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左、右焦点分别是1F ，2F ，以点1F 为圆心，以3为半径的圆与以点2F 为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222144 x y E a b +=：，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（i ）求||||OQ OP 的值；（ii ）求ABQ △面积的最大值.21．（本小题满分14分）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a ∈R .（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围.数学试卷 第7页（共21页）数学试卷 第8页（共21页）数学试卷 第9页（共21页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】2{|4+3<0}{|13}A x x x x x =-=<<，()2,3A B =I ，答案选C ．【提示】求出集合A ，然后求出两个集合的交集． 【考点】解一元二次不等式，集合间的运算． 2.【答案】A【解析】2(1i)i i +i 1+i z =-=-=，1i z =-，答案选A ．【提示】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可． 【考点】复数代数形式的四则运算． 3.【答案】B【解析】πsin 412y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，需将函数sin 4y x =的图象向右平移π12个单位，答案选B ．【提示】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可． 【考点】三角函数的图象及其变换． 4.【答案】D【解析】由菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒可知18060120BAD ∠=︒-︒=︒，2223()()+cos120+2BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a =--=-=-︒=uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r g g g g ，答案选D ．【提示】根据2()()+BD CD AD AB AB AB AD AB =--=-uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r g g g 代入可求．【考点】向量的运算． 5.【答案】A【解析】1x <时，1(5)42x x ---=-<成立 当15x ≤<时，1(5)262x x x ---=-<解得4x <；当5x ≥，1(5)42x x ---=<不成立，综上4x <，答案选A ．【提示】运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当1x <，②当15x ≤<，③当5x ≥，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可． 【考点】绝对值符号和分类讨论的思想． 6.【答案】B【解析】由+z ax y =得+y ax z =-，借助图形可知：当1a -≥，即1a ≤-时在0x y ==时有最大值0，不符合题意；当01a ≤-<，即10a -<≤时有最大值+14a =，3a =，不满足10a -<≤；当10a -≤-<，即01a <≤时在1x y ==时有最大值+14a =，3a =，不满足01a <≤；当1a -<-时，即1a >时在2x =，0y =时有最大值24a =，2a =，满足1a >，答案选B ．第6题图【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【考点】线性规划的问题． 7.【答案】C【解析】2215ππ12π1133V =-=gg g g ，答案选C ． 【提示】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可． 【考点】空间几何体体积的计算． 8.【答案】B【解析】0000001(36)(95.4468.26)13.592P ξ<<=-=，答案选B ． 【提示】由题意(33)68.26%P ξ-<<=，(66)95.44%P ξ-<<=， 可得0000001(36)(95.4468.26)13.592P ξ<<=-=，即可得出结论． 【考点】正态分布．9.【答案】D【解析】(2,3)--关于y 轴的对称点的坐标(2,3)-，设反射光线所在的直线为+3(2)y k x =-，即230kx y k ---=，则1d ==，|5+5|k =解得43k =-或34-，答案选D ．【提示】点(2,3)--关于y 轴的对称点为(2,3)-，可设反射光线所在直线的方程为：+3(2)y k x =-，利用直线与圆相切的性质即可得出．【考点】直线与圆的位置关系． 10.【答案】C【解析】由()(())2f a f f a =可知()1f a ≥，则121aa ≥⎧⎨≥⎩或1311a a <⎧⎨-≥⎩，解得23a ≥，答案选C ． 【提示】讨论()1f a ≥时，以及1a <，1a ≥，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．【考点】函数的定义域．第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】14n - 【解析】具体证明过程可以是：012101212121212121211C +C+C ++C (2C +2C2n n n n n n n n n n ----------= 021122223121212121212121211=(C +C )+(C +C )+(C +C )++(C +C )2n n n n nn n n n n n n n ------------⎡⎤⎣⎦01212121121212121212111=(C +C +C ++C +C ++C )2422n n n n n n n n n n n ----------==【提示】仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果．【考点】排列组合的运算． 12.【答案】1【解析】“0,4x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，tan x m ≤”是真命题，则πtan 14m ≥=，于是m 的最小值是1.【提示】求出正切函数的最大值，即可得到m 的范围． 【考点】三角函数的运算和命题真假．数学试卷 第10页（共21页）数学试卷 第11页（共21页） 数学试卷 第12页（共21页）13.【答案】116【解析】112011111++1++236T xdx x dx ===⎰⎰．【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n ，T 的值，当3n =时不满足条件3n <，退出循环，输出T 的值为116．【考点】程序框图． 14.【答案】32-【解析】当1a >时，10+1+0a b a b -⎧=-⎪⎨=⎪⎩，无解；当01a <<时10+0+1a b a b -⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得2b =-，12a =，则13+222a b =-=-【提示】对a 进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组 【考点】指数函数的定义域和值域的应用． 15.【答案】32【解析】1C ：22221x y a b -=(0,0)a b >>的渐近线为b y x a =±则点2222,pb pb A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2222,pb pb B a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，22:2(0)C x py p =>的焦点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22222pb p a pb aa kb -==，即2254b a =，22222+94c a b a a ==，32c e a ==． 【提示】求出A 的坐标，可得22244AC b a k ab-=，利用OAB 的垂心为C 2的焦点，可得22414b a b ab a -⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，由此可求C 1的离心率． 【考点】双曲线的离心率． 三、解答题16.【答案】（Ⅰ）()f x 的增区间为πππ,π+44k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k ∈Z()f x 的减区间为π3ππ+,π+44k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．【解析】（Ⅰ）由11π()sin 21+cos 2+222f x x x ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦111sin 2+sin 2222x x =- 1sin 22x =-由ππ2π22π+22k x k -≤≤，k ∈Z ，得ππππ+44k x k -≤≤，k ∈Z ，则()f x 的增区间为πππ,π+44k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ； 由π3π2π+22π+22k x k ≤≤，k ∈Z ，得π3ππ+π+44k x k ≤≤，k ∈Z ，则()f x 的减区间为π3ππ+,π+44k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ． （Ⅱ）在锐角ABC △中，1sin 022A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，1sin 2A =，π,6A =而1a =，由余弦定理可得22π12cos 2(26b c bc bc bc =+-≥=，当且仅当b c =时等号成立．即bc =11π1sin sin2644ABC S bc A bc bc ===≤△，故ABC △ 【提示】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得1()sin 22f x x =-，由ππ2π22π+22k x k -≤≤，k ∈Z 可解得()f x 的单调递增区间，由π3π2π+22π+22k x k ≤≤，k ∈Z 可解得单调递减区间．（Ⅱ）由1s i n 022A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可得sinA ，cos A ，由余弦定理可得：bc ≤且当b c =时等号成立，从而可求1sin 2bc A ≤【考点】三角函数单调区间，三角形的面积公式． 17.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）60︒【解析】（Ⅰ）证明：如图1，连接DG ，DC ，设DC 与GF 交于点O ．在三棱台DEF ABC -中，2AB DE =，则2AC DF =， 而G 是AC 的中点，DF AC ∥，则DF GC ∥， 所以四边形DGCF 是平行四边形，O 是DC 的中点，DG FC ∥．又在BDC △中，H 是BC 的中点，则OH DB ∥，又BD FGH ⊄平面，OH FGH ⊂平面， 故BD FGH ∥平面．第17题图1（Ⅱ）由,C F A B C ⊥平面可得DG ABC ⊥平面而AB BC ⊥，45BAC ∠=︒，则,GB AC ⊥ 于是GD ，GB ，GC 两两垂直，以点为G 坐标原点，GA，GB GD 所在的直线分别为,x ,y z 轴建立空间直角坐标系，如图2，2AB =，1DE CF ==，AC =，AG =B，(C ，(F ，22H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭则平面ACFD 的一个法向量为1(0,1,0)n =u r ， 设平面FGH 的法向量为2222(,,)n x y z =u u r则2200n GH n GF ⎧=⎪⎨=⎪⎩u ur uuu r g u u r uuu r g 即22220,22+0,yx z -=⎪⎨⎪=⎩取21x =，则21y =，2z =2n =u u r121cos ,2n n 〈〉==u r u u r ，故平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小为60︒．数学试卷 第13页（共21页）数学试卷 第14页（共21页） 数学试卷 第15页（共21页）第17题图2【提示】（Ⅰ）根据2AB DE =便可得到2BC EF =，从而可以得出四边形EFHB 为平行四边形，从而得到BE HF ∥，便有BE FGH ∥平面，再证明DE FGH ∥平面，从而得到BDE FGH 平面∥平面，从而BD FGH ∥平面；（Ⅱ）连接HE ，根据条件能够说明HC ，HG ，HE 三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接BG ，可说明1n BG=u r uuu r为平面ACFD 的一条法向量，设平面FGH 的法向量为2222(,,)n x y z =u u r ，根据2200n GH n GF ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r uuu r g u u r uuu r g 即可求出法向量2n u u r ，设平面FGH 与平面ACFD 所成的角为θ，根据12cos cos ,n n θ=〈〉u r u u r即可求出平面FGH 与平面ACFD 所成的角的大小． 【考点】线面的位置关系，两平面所夹的角 18.【答案】（Ⅰ）13,1,3,1n n n a n -=⎧=⎨>⎩，n *∈N（Ⅱ）1132+11243n n n T -=-g ，n *∈N 【解析】（Ⅰ）由23+3nn S =得111(3+3)32a S === 11111(3+3)(3+3)3(2)22n n n n n n a S S n ---=-=-=≥，而11133a -=≠，则13,1,3, 1.n n n a n -=⎧=⎨>⎩n *∈N ．（Ⅱ）由3log n n n a b a =及13,1,3, 1.n n n a n -=⎧=⎨>⎩可得311,1,log 31, 1.3n n nn n a b n a n -⎧=⎪⎪==⎨-⎪>⎪⎩.n *∈N 23111231+++++33333n n n T --=L ①223411112321++++++3333333n n n n n T ---=L ② 由①－②得，223121111111+++++33333333n n n n T --=--L223111111113333333n n n --⎛⎫=-+++++- ⎪⎝⎭L 113313212131+91392233n n n n n n ---=+-=---g 132+11823nn =-g 1132+11243n n n T -=-g ，n *∈N ． 【提示】（Ⅰ）利用23+3n n S =，可求得13a =；当1n >时，1123+3n n S --=，两式相减1222n n n a S S -=-，可求得13n n a -=，从而可得{}n a 的通项公式；（Ⅱ）依题意，3log n n n a b a =，可得113b =，当1n >时，31113log 313n n n n b n ---==-g ，于是可求得1113T b ==；当1n >时，121121++++13+23++(1)3)3n n n T b b b n ---=⋯⨯⨯⋯-⨯=（，利用错位相减法可求得{}n b 的前n 项和n T ．【考点】等比数列的通项公式，数列前n 项和的问题． 19.【答案】（Ⅰ）125，135，145，235，245，3450+(1)+1=3144221EX =⨯⨯-⨯【解析】（Ⅰ）125，135，145，235，245，345.（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为3984C =，随机变量X 的取值为：0，1-，1，当0X =时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即38C ； 当1X =-时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，5，7中选择两个数字和5进行组合，即24C ；当1X =时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即24C ；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择1个数字，再从1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即1144C C ． 则3839C 2(0)C 3P X ===，2439C 1(1)C 14P X =-==，1124443C C +C 11(1)C 42P X ===g ，0+(1)+1=3144221EX =⨯⨯-⨯．【提示】（Ⅰ）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）随机变量X 的取值为：0，1-，1分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望． 【考点】排列与组合的有关问题．20.【答案】（Ⅰ）22+14x y =（Ⅱ）（ⅰ）2（ⅱ）【解析】（Ⅰ）由椭圆C ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率为，可知c e a ==，而222+a b c =，则2a b =，c =，左，右焦点分别是1(,)F 0，2,0)F ，圆1:F 22()+9x y =，圆2:F 22()+1x y =，有两圆相交可得24<<，即12<<，交点⎛，在椭圆C 上，则224134b b =g ，整理得4245+10b b -=，解得21b =，214b =（舍去）． 故21b =，24a =，椭圆C 的方程22+14x y =．数学试卷 第16页（共21页）数学试卷 第17页（共21页）数学试卷 第18页（共21页）（Ⅱ）（ⅰ）椭圆E 的方程为22+1164x y =，设点P 00(,)x y 满足22+14x y =，射线PO ：000(0)y y x xx x =<代入22+1164x y =可得点00(2,2),Q x y --于是||2||OQ OP ==．（ⅱ）点00(2,2),Q x y --到直线AB 距离等于圆点O 到直线AB 距离的3倍d == 22+,+1164y kx m x y =⎧⎪⎨=⎪⎩得22+4(+)16x kx m =整理得222(1+4)+8+4160k x kmx m -= 2222226416(4+1)(4)16(16+4)0k m k m k m ∆=--=->||AB =2222211||+16+4=||3612221+42(4+1)ABQ m m k m S AB d k k -=≤=g g g g △当且仅当||m =228+2m k =等号成立．而直线+y kx m =与椭圆C ：222+14xy =有交点P ，则222++14y kx m x y =⎧⎪⎨=⎪⎩有解，即224|+|4x kx m +=，222(14)+8+440k x kmx m +-=有解， 其判别式22222216416(4+1)(1)16(4+1)0k m k m k m ∆=--=-≥，即221+4k m ≥，则上述228+2m k =不成立，等号不成立，设(]0,1t ，则ABQ S =△(]0,1为增函数， 于是当221+4k m =时max S ==△ 故ABQ △面积的最大值为【提示】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，计算即可得到b ，进而得到椭圆C 的方程；（Ⅱ）求得椭圆E 的方程，（ⅰ）设P 00(,)x y ，||||OQ OP λ=，求得Q 的坐标，分别代入椭圆C ，E 的方程，化简整理，即可得到所求值；（ⅱ）将直线+y kx m =代入椭圆E 的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线+y kx m =代入椭圆C 的方程，由判别式大于0，可得t 的范围，结合二次函数的最值，又ABQ △的面积为3S ，即可得到所求的最大值．【考点】椭圆的标准方程，圆交点连线所形成三角形的有关问题 21.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）01a ≤≤【解析】（1）2()ln(+1)+()f x x a x x =-，定义域为(1,+)-∞21(21)(+1)+12++1()+(21)+1+1+1a x x ax ax af x a x x x x --'=-==设2()2++1g x ax ax a =-当0a =时，()1g x =，1'()01f x x =>+函数()f x 在(1,+)-∞为增函数，无极值点． 当0a >时，228(1)98a a a a a ∆=--=-，若809a ≥>时，0∆≤，()0g x ≥，'()0f x ≥函数()f x 在(1,+)-∞为增函数，无极值点． 若89a >时，0∆>，设()0g x =的两个不相等的实数根12,x x ，且12,x x <且121+2x x =-，而(1)10g -=>，则12114x x -<<-<，所以当1(1,)x x ∈-，()0g x >，()0f x '>()f x 单调递增； 当12(,)x x x ∈，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减； 当2(,+)x x ∈∞，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增； 因此此时函数()f x 有两个极值点；若0a <时，0∆>，但(1)10g -=>，121x x <-<， 所以当1(1,)x x ∈-，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增； 当2(,+)x x ∈∞，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减； 所以函数()f x 只有一个极值点．综上所述：当809a ≥≥时()f x 无极值点；当0a <时()f x 只有一个极值点；当89a >时()f x 有两个极值点． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当809a ≥≥时，()f x 在(0,+)∞单调递增，而(0)0f =，则当(0,+)x ∈∞时，()0f x >，符合题意； 当819a ≥≥时，(0)0g ≥，20x ≤，()f x 在(0,+)∞单调递增，而(0)0f =，则当(0,+)x ∈∞时，()0f x >符合题意；当1a >时，(0)0g <，20x >所以函数()f x 在2(0,)x 单调递减，而(0)0f =，则当2(0,)x x ∈时，()0f x <，不符合题意；当0a <时，设()ln(1)h x x x =-+，当(0,+)x ∈∞时，1'()101+1+xh x x x=-=>，()h x 在(0,+)∞单调递增，因此当(0,+)x ∈∞时，()(0)h x h >=，ln(+1)0x <于是22()+()+(1)f x x a x x ax a x <-=-，当11x a>-时，2+(1)0ax a x -<此时()0f x <不符合题意．综上所述：a 的取值范围是01a ≤≤【提示】（Ⅰ）函数2()ln(+1)+()f x x a x x =-，其中a ∈R ，(1)x ∈-+∞，．212++1()+(21)+1+1ax ax a f x a x x x -'=-=．令2()2++1g x ax ax a =-.对a 与△分类讨论可得：（1）当0a =时，此时()0f x '>，即可得出函数的单调性与极值的情况． （2）当0a >时，(98)a a =-△．①当809a ≥>时，0≤△，②当89a >时，0>△，即可得出函数的单调性与极值的情况．（3）当0a <时，0>△.即可得出函数的单调性与极值的情况． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：（1）当809a ≥≥时，可得函数()f x 在(0,+)∞上单调性，即可判断出． （2）当819a ≥>1时，由(0)0g ≥，可得20x ≤，函数()f x 在(0,+)∞上单调性，即可判断出．（3）当1a <时，由(0)0g <，可得20x >，利用2(0,)x x ∈时函数()f x 单调性，即可判断出；（4）当0a <时，设()ln(+1)h x x x =-，(0,+)x ∈∞，研究其单调性，即可判断出【考点】函数的极值，函数恒成立求未知数的取值范围数学试卷第19页（共21页）数学试卷第20页（共21页）数学试卷第21页（共21页）。
2015年高考理科数学山东卷-答案
【解析】 ，需将函数 的图象向右平移 个单位，答案选B．
【提示】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．
【考点】三角函数的图象及其变换．
4.【答案】D
【解析】由菱形ABCD的边长为 ， 可知 ，
，答案选D．
【提示】根据 代入可求．
【考点】向量的运算．
5.【答案】A
【解析】 时， 成立
当 时， 解得 ；
第6题图
【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．
【考点】线性规划的问题．
7.【答案】C
【解析】 ，答案选C．
【提示】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．
【考点】空间几何体体积的计算．
8.【答案】B
【解析】 ，答案选B．
【提示】由题意 ， ，
当 ， 不成立，综上 ，答案选A．
【提示】运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当 ，②当 ，③当 ，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可．
【考点】绝对值符号和分类讨论的思想．
6.【答案】B
【解析】由 得 ，借助图形可知：当 ，即 时在 时有最大值0，不符合题意；当 ，即 时有最大值 ， ，不满足 ；当 ，即 时在 时有最大值 ， ，不满足 ；当 时，即 时在 ， 时有最大值 ， ，满足 ，答案选B．
（Ⅱ）由 ，可得 ， ，由余弦定理可得： ，且当 时等号成立，从而可求 ，从而得解．
【考点】三角函数单调区间，三角形的面积公式．
17.【答案】（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）证明：如图1，连接 ， ，设 与 交于点 ．
在三棱台 中， ，则 ，
而 是 的中点， ，则 ，
2015年高考山东理科数学试题及答案解析课件.doc
2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2015 年山东，理1】已知集合 2{ x |x4x 3 0} ，B {x|2 x 4} ，则 A B （）（A）1,3 （B）1,4 （C）2,3 （D）2,4z（2）【2015 年山东，理2】若复数z满足i1 i，其中i 是虚数单位，则z （）（A）1 i （B）1 i （C） 1 i （D） 1 i（3）【2015 年山东，理3】要得到函数y sin(4x ) 的图象，只需将函数y sin 4x的图像（）3（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位12 12 3 3（4）【2015 年山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为 a ，ABC 60 ，则????·???=?（）3 3 3 32 2 2 2a （B） a （C） a （D） a（A）2 4 4 2（5）【2015 年山东，理5】不等式| x 1| | x 5|2的解集是（）（A）( ,4) （B）( ,1)（C）(1,4)（D）(1,5)x y 0（6）【2015 年山东，理6】已知x,y 满足约束条件x y 2 若z ax y 的最大值为4，则 a （）y 0（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3（7）【2015 年山东，理7】在梯形ABCD中，A BC ，AD / / B C ，BC 2AD 2AB 2．将梯形ABCD2绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）（A）23 （B）43（C）53（D）2（8）【2015 年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布 2N (0,3 ) ，从中随机取一件，其长度误差落在区间3,6 内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布 2N(, ) ，则P( ) 6 8. 2 6，%P( 2 2 ) 95.44%）（A）4.56%（B）13.59%（C）27.18%（D）31.74%（9）【2015 年山东，理9】一条光线从点( 2, 3)射出，经y轴反射与圆 2 2(x3) (y2) 1相切，则反射光线所在的直线的斜率为（）（A）53 或35（B）32或23（C）54或45（D）43或34（10）【2015 年山东，理10】设函数f ( x)3x1,x1,x2 ,x 1.则满足f (a)f ( f (a)) 2 的取值范围是（）（A）2[ ,1]3（B）[0,1]（C）2[ , )3（D）[1, )第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2015 年山东，理11】观察下列各式：100C4;1011C C4;330122C C C4;55501233 C C C C4;7777照此规律，当n N*时，012n1C C C C．2n12n12n12n1（12）【2015年山东，理12】若“x[0,],tan x m”是真命题，则实数m的最小值为．4（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T的值为．x（14）【2015年山东，理14】已知函数f(x)a b(a0,a1)的定义域和值域都是[1,0]，则a b．22x y（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系xOy中，双曲线C1:221(a0,b0)a b2C x py p交于点O,A,B，若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．2:2(0)C x py p交于点O,A,B，若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．三、解答题：本大题共6题，共75分．的渐近线与抛物线（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设（Ⅰ）求f(x)的单调区间；2f(x)sin xcosx cos(x)．4A（Ⅱ）在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f()0,a1，求ABC面积．2（17）【2015年山东，理17】（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF ABC中，AB2DE,G,H分别为AC,BC的中点．（Ⅰ）求证：BD//平面FGH；（Ⅱ）若CF平面ABC，AB BC,CF DE,BAC45，求平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小．2na的前n项和为S n，已知2S33．（18）【2015年山东，理18】（本小题满分12分）设数列{}n n（Ⅰ）求数列{a}的通项公式；n（Ⅱ）若数列{b}满足a n b n log3a n，求数列{b n}的前n项和T n．n（19）【2015年山东，理19】（本小题满分12分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．3（20）【2015年山东，理20】（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22x yC:1(a b0)22a b的离心率为32，左、右焦点分别是F1,F2,以F1为圆心，以3为半径的圆与以F2为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；22x y，P为椭圆C上的任意一点，过点P的直线y kx m交椭圆E于A,B两点，（Ⅱ）设椭圆E:1224a4b射线PO交椭圆E于点Q．（i）求|OQ||OP|的值；（ii）求ABQ面积最大值．4（21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数（Ⅰ）讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；2f(x)ln(x1)a(x x)，其中a R．（Ⅱ）若x0，f(x)0成立，求a的取值范围．52015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2015 年山东，理1】已知集合{ x |x2 4x 3 0} ，B {x|2 x 4} ，则 A B （）（A）1,3 （B）1,4 （C）2,3 （D）2,4【答案】 C【解析】 2A { x | x 4x 3 0} { x |1 x 3} ，AB (2,3) ，故选C．z（2）【2015 年山东，理2】若复数z满足i1 i（）1 i 1 i 1 i 1i A B C D（）（）（）【答案】 A，其中i 是虚数单位，则z （）【解析】 2z (1 i)i i i 1 i ，z 1 i ，故选 A ．（3）【2015 年山东，理3】要得到函数y sin(4x ) 的图象，只需将函数y sin 4x的图像（）3（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位12 12 3 3【答案】 B【解析】y sin4( x ) ，只需将函数y sin4x的图像向右平移12 12个单位，故选B．（4）【2015 年山东，理4】已知菱形ABCD 的边长为 a ，ABC 60 ，则????·???=?（）（A）322a （B）342a （C）342a （D）322a【答案】 D【解析】由菱形ABCD 的边长为 a ，ABC 60 可知BAD 180 60 120 ，2 23 2BD CD ( AD AB) ( A B) AB AD AB a a cos120 a a ，故选D．2（5）【2015 年山东，理5】不等式| x 1| | x 5| 2的解集是（）（A）( ,4) （B）( ,1)（C）(1,4)（D）(1,5)【答案】 A【解析】当x 1时，1 x (5 x) 4 2成立；当 1 x 5 时，x 1 (5 x) 2x 6 2，解得x 4 ，则1 x 4 ；当x 5 时，x 1 ( x 5) 42 不成立．综上x 4 ，故选A．x y 0（6）【2015 年山东，理6】已知x, y满足约束条件若z ax y 的最大值为4，则a （）x y 2y 0（A）3（B）2 （C）-2（D）-3【答案】 B【解析】由z ax y 得y ax z ，借助图形可知：当 a 1，即a 1 时在x y 0时有最大值0，不符合题意；当0 a 1 ，即 1 a 0时在x y 1 时有最大值 a 1 4,a 3 ，不满足 1 a 0 ；当 1 a 0 ，即0 a 1 时在x y 1 时有最大值 a 1 4,a 3，不满足0 a 1；当 a 1，即a 1时在x 2,y 0 时有最大值2a 4,a 2 ，满足a 1，故选B．（7）【2015 年山东，理7】在梯形ABCD中，A BC ，AD / / B C ，BC 2AD 2AB 2．将梯形ABCD2绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）6（A）23 （B）43（C）53（D）2【答案】 C【解析】 2 1 2 5V 1 2 1 1 ，故选C．3 3（8）【2015 年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N (0,32 ) ，从中随机取一件，其长度误差落在区间3,6 内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布 2N(, ) ，则P( ) 6 8. 2 6，%P( 2 2 ) 95.44%）（A）4.56%（B）13.59%（C）27.18%（D）31.74%【答案】 D【解析】1P(3 6) (95.44% 68.26%) 13.59%，故选D．2（9）【2015 年山东，理9】一条光线从点( 2, 3)射出，经y轴反射与圆 2 2(x3) (y2) 1相切，则反射光线所在的直线的斜率为（）（A）53或35（B）32或23（C）54或45（D）43或34【答案】 D【解析】( 2, 3)关于y 轴对称点的坐标为(2, 3) ，设反射光线所在直线为y 3 k(x 2),即kx y 2k 3 0，则| 3k 2 2k 3 |2d 1,| 5k 5| k 12k 1，解得4k 或334，故选D．（10）【2015 年山东，理10】设函数 f (x) 3x 1,x 1,x2 , x 1.则满足 f ( a )f ( f ( a)) 2 的取值范围是（）（A）2[ ,1]3（B）[0,1] （C）2[ , )3（D）[1, )【答案】 C【解析】由 f ( a )f f a 可知 f (a) 1 ，则( ( )) 2 a 1a2 1或a 13a 1 1，解得 2a ，故选C．3第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2015 年山东，理11】观察下列各式：0 0C 4 ;10 1 1C C 4 ;3 30 1 2 2C C C 4 ;5 5 50 1 2 3 3C C C C 4 ;7 7 7 7 照此规律，当n N* 时，0 1 2 n 1C C C C ．2n 1 2 n 1 2n 1 2n 1n 1 【答案】 4【解析】10 1 2 n 1 0 1 2 n 1C C C C (2C 2C 2C 2C )2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1210 2n 1 1 2n 2 2 2n 3 n 1 n[(C C ) (C C ) (C C ) (C C )] 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2 n 1 2n 1 2n 1 2 n 121 10 1 2 n 1 n 2n 1 2n 1 n 1(C C C C C C ) 2 42n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 12 2（12）【2015 年山东，理12】若“x [0, ],tan x m”是真命题，则实数m 的最小值为．4【答案】 1【解析】“x [0, ],tan x m ”是真命题，则m tan 1，于是实数m 的最小值为1．4 4（13）【2015 年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T 的值为．7【答案】1161 121111【解析】T1xdx x dx1．00236x（14）【2015年山东，理14】已知函数f(x)a b(a0,a1)的定义域和值域都是[1,0]，则a b．【答案】32【解析】当a1时1a ba b1，无解；当a1时1abab1，解得1b2,a，则213a b2．22（15）【2015年山东，理15】平面直角坐标系xOy中，双曲线22x yC aba b1:221(0,0)的渐近线与抛物线2C x py p交于点O,A,B，若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．2:2(0)【答案】32【解析】22x yC1:221(a0,b0)a b的渐近线为byxa，则222pb2pb2pb2pbA(,),B(,)22a a a ap2C2:x2py(p0)的焦点F(0,)，则2kAF22pbp2aa22apbb，即2b2a54，222cab22aa94，eca32．三、解答题：本大题共6题，共75分．（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设（Ⅰ）求f(x)的单调区间；2f(x)sin xcosx cos(x)．4A（Ⅱ）在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若f()0,a1，求ABC面积．2解：（Ⅰ）由111111f(x)sin2x[1cos(2x)]sin2x sin2x sin2x，2222222由2k2x2k,k Z得k x k,k Z，2244则f(x)的递增区间为[,],k k k Z；44由32k2x2k,k Z得223k x k,k Z，44则f(x)的递增区间为[,3],k k k Z．44（Ⅱ）在锐角ABC中，()sin10,sin1Af A A，222A，而a1，6由余弦定理可得221b c2bccos2bc3bc(23)bc，当且仅当b c时等号成立，6即1bc23，2311123S bc sin A bc s in bc故ABC面积的最大值为ABC22644234．（17）【2015年山东，理17】（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF ABC中，AB2DE,G,H分别为AC,BC的中点．（Ⅰ）求证：BD//平面FGH；（Ⅱ）若CF平面ABC，AB BC,C F DE,BAC45，求平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小．解：（Ⅰ）证明：连接DG，DC，设DC与GF交于点T，8在三棱台DEF ABC 中，AB 2DE ，则AC 2DF ，而G 是AC 的中点，DF AC ，则DF / /GC ，所以四边形DGCF 是平行四边形，T是DC 的中点，DG FC ．又在BDC ，是BC 的中点，则TH DB ，又BD 平面FGH ，TH 平面FGH ，故BD / / 平面FGH ．（Ⅱ）由CF 平面ABC ，可得DG 平面ABC 而，AB BC ，BAC 45 ，则GB AC ，于是GB, G A, G C 两两垂直，以点G 为坐标原点，GA,GB, GC 所在的直线，分别为x, y,z轴建立空间直角坐标系，设AB 2,则DE CF 1, AC 2 2, AG 2 ,2 2B(0, 2,0), C(2,0,0), F ( 2,0,1), H ( , ,0) ，2 2则平面ACFD 的一个法向量为n，设平面FGH 的法向量为1 (0,1,0)n2 (x2 , y2 , z2 ) ，则n GH2n GF2，即2 2x y2 22 22x z 02 2，取x2 1，则y2 1, z2 2 ，n2 (1,1, 2) ，1 1cos ,n n ，故平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60 ．1 221 1 2n （18）【2015 年山东，理18】（本小题满分12 分）设数列{a } 的前n 项和为S n ，已知2S 3 3．n n （Ⅰ）求数列{a } 的通项公式；n（Ⅱ）若数列{b } 满足n a b log a ，求数列{b } 的前n 项和n n 3 n nT ．n1n解：（Ⅰ）由2S 3 3可得a1 S1 (3 3) 3，n21 1n n 1 n 1a S S (3 3) (3 3) 3 (n 2) ，n n n 12 2而3, n 11 1a1 3 3 ，则 1an n3 ,n 1．（Ⅱ）由3, n 1a b a 及 1log a，可得n n 3 n n n3 ,n 1bn1n 1log a 33 na n1nn 1n131 123 n 1T ，n 2 3 n 13 3 3 3 3 1 1 1 2 3 n 2 n 1 T ，n 2 2 34 n 1 n3 3 3 3 3 3 32 1 1 1 1 1 1 n 1 1 1 1 1 1 1 n 1 T ( )n 2 2 3 n 1 n 2 2 3 n 1 n3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 31 1n2 3 3 n 1 2 1 3 n 1 13 2n 1n n n n19 1 3 9 2 2 3 3 18 2 3313 2n 1Tn n112 4 3（19）【2015 年山东，理19】（本小题满分12 分）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567 等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除，参加者得0 分；若能被 5 整除，但不能被10 整除，得-1 分；若能被10 整除，得 1 分．（Ⅰ）写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX ．解：（Ⅰ）125，135，145，235，245，345；9（Ⅱ）X 的所有取值为-1，0，1．甲得分X 的分布列为：3 2 1 1 2C 2 C 1 C C C 118 4 4 4 4P( X 0) , P( X 1) ,P(X 1)3 3 3C 3 C 14 C 429 9 9X 0 -1 1P 2311411422 1 11 4 EX 0 ( 1) 1 ．3 14 42 21（20）【2015 年山东，理20】（本小题满分13 分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2 2x yC : 1(a b 0)2 2a b的离心率为32，左、右焦点分别是F1,F2 ,以F1 为圆心，以 3 为半径的圆与以F2 为圆心，以 1 为半径的圆相交，交点在椭圆 C 上．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设椭圆 E2 2x y: 12 24a 4b，P 为椭圆 C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m 交椭圆 E 于A,B 两点，射线PO 交椭圆 E 于点Q ．（i）求| OQ|| OP|的值；（ii）求ABQ面积最大值．解：（Ⅰ）由椭圆22xyC :1(ab0)22ab的离心率为32可知 eca右焦点分别是F1 ( 3b ,0), F2 ( 3b ,0) ,圆F1：(x 3b)2 y2 9,圆F2 ：22(x 3b) y 1,由两圆相交可得 2 2 3b 4 ，即1 3b2，交点2 22 ( , 1( ) )3b 3b在椭圆C 上，则21 ( 3b)4 3b2 2 23b 4b b21，整理得 4 24b 5b 10，解得2 1b ，2 1b （舍去），4故 2 1b ，2 4a ，椭圆 C 的方程为2x42 1y ．（Ⅱ）（i）椭圆E的方程为2 2x y16 41，设点P(x0,y0 ) ，满足2x42y0 1，射线yPO : y x( x0)x代入2 2x y16 41可得点Q( 2x0,2y0 ) ，于是22( 2x )( 2y )| OQ || OP | x y2 20 02．（ii ）点Q( 2x , 2y ) 到直线AB距离等于原点O 到直线AB距离的 3 倍：0 0d | 2kx 2 y m | | m |0 032 21 k 1 ky kx m，x2 y2 ，得116 42 4( )216x kxm ，整理得 2 2 2(1 4k )x8kmx 4m16 0 ．2 2 2 2 2 264k m 16(4 k 1)(m 4) 16(16k 4 m ) 0 ，21 k22 | AB | 16(16k 4 m )21 4k221 1 | m | |m|16k4 m2 2S | AB | d 3 4 16k 4 m 6222 2 1 4k 14k2 2 2m 16k 4 m61222(4k 1)，当且仅当 2 2 2 2|m| 16k 4 m ,m8k 2等号成立．而直线y kx m 与椭圆2xC y 有交点P，则: 124y kx m2 4 2 4x y有解，10即24()24,(142)284240 x kx m k x kmx m有解，其判别式222222164k m16(14k)(m1)16(14k m)0，即22 14k m，则上述2822m k不成立，等号不成立，设 t|m|214k(0,1]，则22|m|16k4mS66(4t)t214k在(0,1]为增函数，于是当2214k m时S max6(41)163，故ABQ面积最大值为12．（21）【2015年山东，理21】（本题满分14分）设函数f(x)ln(x1)a(x2x)，其中a R．（Ⅰ）讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若x0，f(x)0成立，求a的取值范围．解：（Ⅰ）2f(x)ln(x1)a(x x)，定义域为(1,)，21a(2x1)(x1)12ax ax1a f(x)a(2x1)x1x1x1，设2g(x)2ax ax1a，当a0时，()1,()10g x f xx1，函数f(x)在(1,)为增函数，无极值点．当a0时，a28a(1a)9a28a，若08a时0，g(x)0,f(x)0，函数f(x)在(1,)为增函数，无极值点．9若8a时0，设g(x)0的两个不相等的实数根x1,x2，且x1x2，91x x，而g(1)10，则且12211x x，所以当x(1,x1),g(x)0,f(x)0,f(x)单调124递增；当x(x,x),g(x)0,f(x)0,f(x)单调递减；当x(x2,),g(x)0,f(x)0,f(x)单调递增．12因此此时函数f(x)有两个极值点；当a0时0，但g(1)10，x11x2，所以当x(1,x),g(x)0,f(x)0,f(x)单调2递増；当x(x2,),g(x)0,f(x)0,f(x)单调递减，所以函数只有一个极值点．综上可知当08a时f(x)的无极值点；当a0时f(x)有一个极值点；当98a时，f(x)的有两个9极值点．8（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当0a时f(x)在(0,)单调递增，而f(0)0，9则当x(0,)时，f(x)0，符合题意；当81a时，g(0)0,x20，f(x)在(0,)单调递增，而f(0)0，9则当x(0,)时，f(x)0，符合题意；当a1时，g(0)0,x0，所以函数f(x)在(0,x2)单调递减，而f(0)0，2则当x(0,x)时，f(x)0，不符合题意；2当a0时，设h(x)x ln(x1)，当x(0,)时()110xh xx11x h(x)在(0,)单调递增，因此当x(0,)时h(x)h(0)0,ln(x1)0，，于是22f(x)x a(x x)ax(1a)x，当x11a时2(1)0ax a x，此时f(x)0，不符合题意．综上所述，a的取值范围是0a1．另解：（Ⅰ）2f(x)ln(x1)a(x x)，定义域为(1,)，21a(2x1)(x1)12ax ax1a f(x)a(2x1)x1x1x111当a0时，1f(x)0，函数f(x)在(1,)为增函数，无极值点．x1设222g(x)2ax ax1a,g(1)1,a8a(1a)9a8a，当a0时，根据二次函数的图像和性质可知g(x)0的根的个数就是函数f(x)极值点的个数．若a(9a8)0，即08a时，g(x)0，f(x)0函数在(1,)为增函数，无极值点．9若a(9a8)0，即8a或a0，而当a0时g(1)09此时方程g(x)0在(1,)只有一个实数根，此时函数f(x)只有一个极值点；当8a时方程g(x)0在(1,)都有两个不相等的实数根，此时函数f(x)有两个极值点；9综上可知当8a时f(x)的极值点个数为0；当a0时f(x)的极值点个数为1；当98a时，9f(x)的极值点个数为2．（Ⅱ）设函数2f(x)ln(x1)a(x x)，x0，都有f(x)0成立，即2ln(x1)a(x x)0当x1时，ln20恒成立；ln(x1)20当x1时，x x，a2x xln(x1)20当0x1时，x x，2x x 0；a0；由x0均有ln(x1)x成立．故当x1时，，l n(x1)12x x x1(0,)，则只需a0；当0x1时，l n(x1)12x x x1(,1)，则需1a0，即a1．综上可知对于x0，都有f(x)0成立，只需0a1即可，故所求a的取值范围是0a1．另解：（Ⅱ）设函数2f(x)ln(x1)a(x x)，f(0)0，要使x0，都有f(x)0成立，只需函数函数f(x)在(0,)上单调递增即可，于是只需x0，1f(x)a(2x1)0x1成立，当1x时2a1(x1)(2x1)，令2x1t0，2g(t)(,0)t(t3)，则a0；当1x时212f()0；当231x，2a1(x1)(2x1)，令2x1t(1,0)，g(t)2t(t3)关于t(1,0)单调递增，则2g(t)g(1)1，则a1，于是0a1．1(13)又当a1时，g(0)0,x0，所以函数f(x)在(0,x2)单调递减，而f(0)0，2则当x(0,x2)时，f(x)0，不符合题意；当a0时，设h(x)x ln(x1)，当x(0,)时1xh(x)10x11x，h(x)在(0,)单调递增，因此当x(0,)时h(x)h(0)0,ln(x1)0，于是22f(x)x a(x x)ax(1a)x，当x11a时2(1)0ax a x，此时f(x)0，不符合题意．综上所述，a的取值范围是0a1．【评析】求解此类问题往往从三个角度求解：一是直接求解，通过对参数a的讨论来研究函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是分离参数法，求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意，即可12确定所求．13。
2015年山东省高考数学试卷(理科)
2015年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知集合A={x |x 2﹣4x +3＜0}，B={x |2＜x ＜4}，则A ∩B=（ ）A ．（1，3）B ．（1，4）C ．（2，3）D ．（2，4）2．（5分）若复数z 满足z 1−i =i ，其中i 为虚数单位，则z=（ ）A ．1﹣iB ．1+iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i3．（5分）要得到函数y=sin （4x ﹣π3）的图象，只需要将函数y=sin4x 的图象（ ）个单位．A ．向左平移π12B ．向右平移π12C ．向左平移π3D ．向右平移π34．（5分）已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC=60°，则BD →⋅CD →=（ ）A ．﹣32a 2B ．﹣34a 2C ．34a 2D ．32a 2 5．（5分）不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣5|＜2的解集是（ ）A ．（﹣∞，4）B ．（﹣∞，1）C ．（1，4）D ．（1，5）6．（5分）已知x ，y 满足约束条件{x −y ≥0x +y ≤2y ≥0，若z=ax +y 的最大值为4，则a=（ ）A ．3B ．2C ．﹣2D ．﹣37．（5分）在梯形ABCD 中，∠ABC=π2，AD ∥BC ，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π 8．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N （0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P （μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y 轴反射后与圆（x +3）2+（y ﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A ．﹣53或﹣35B ．﹣32或﹣23C ．﹣54或﹣45D ．﹣43或﹣34 10．（5分）设函数f （x ）={3x −1，x ＜12x ，x ≥1，则满足f （f （a ））=2f （a ）的a 的取值范围是（ ） A ．[23，1] B ．[0，1] C ．[23，+∞） D ．[1，+∞）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）观察下列各式：C10=40； C30+C 31=41； C50+C 51+C 52=42； C70+C 71+C 72+C 73=43； …照此规律，当n ∈N *时，C 2n−10+C 2n−11+C 2n−12+…+C 2n−1n−1= ．12．（5分）若“∀x ∈[0，π4]，tanx ≤m”是真命题，则实数m 的最小值为 ． 13．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ．14．（5分）已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a +b= ．15．（5分）平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a ﹣y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线C 2：x 2=2py （p ＞0）交于点O ，A ，B ，若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为 ．三、解答题16．（12分）设f （x ）=sinxcosx ﹣cos 2（x +π4）．（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （A 2）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．17．（12分）如图，在三棱台DEF ﹣ABC 中，AB=2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：BD ∥平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF=DE ，∠BAC=45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小．18．（12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =3n +3．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }，满足a n b n =log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n ．19．（12分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX ．20．（13分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，左、右焦点分别是F 1，F 2，以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：x 24a 2+y 24b 2=1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y=kx +m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．（i ）求|OQ OP |的值；（ii ）求△ABQ 面积的最大值．21．（14分）设函数f （x ）=ln （x +1）+a （x 2﹣x ），其中a ∈R ，（Ⅰ）讨论函数f （x ）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x ＞0，f （x ）≥0成立，求a 的取值范围．2015年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）已知集合A={x |x 2﹣4x +3＜0}，B={x |2＜x ＜4}，则A ∩B=（ ）A ．（1，3）B ．（1，4）C ．（2，3）D ．（2，4）【解答】解：集合A={x |x 2﹣4x +3＜0}={x |1＜x ＜3}，B={x |2＜x ＜4}，则A ∩B={x |2＜x ＜3}=（2，3）．故选：C ．2．（5分）若复数z 满足z 1−i =i ，其中i 为虚数单位，则z=（ ）A ．1﹣iB ．1+iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i【解答】解：z 1−i =i ，则z =i （1﹣i ）=1+i ，可得z=1﹣i ．故选：A ．3．（5分）要得到函数y=sin （4x ﹣π3）的图象，只需要将函数y=sin4x 的图象（ ）个单位．A ．向左平移π12B ．向右平移π12C ．向左平移π3D ．向右平移π3【解答】解：因为函数y=sin （4x ﹣π3）=sin [4（x ﹣π12）]， 要得到函数y=sin （4x ﹣π3）的图象，只需将函数y=sin4x 的图象向右平移π12单位． 故选：B ．4．（5分）已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC=60°，则BD →⋅CD →=（ ）A ．﹣32a 2B ．﹣34a 2C ．34a 2D ．32a 2 【解答】解：∵菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC=60°，∴BA→2=a 2，BA →⋅BC →=a ×a ×cos60°=12a 2， 则BD →⋅CD →=（BA →+BC →）•BA →=BA →2+BA →⋅BC →=3a 22故选：D5．（5分）不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣5|＜2的解集是（ ）A ．（﹣∞，4）B ．（﹣∞，1）C ．（1，4）D ．（1，5）【解答】解：①当x ＜1，不等式即为﹣x +1+x ﹣5＜2，即﹣4＜2成立，故x ＜1； ②当1≤x ≤5，不等式即为x ﹣1+x ﹣5＜2，得x ＜4，故1≤x ＜4；③当x ＞5，x ﹣1﹣x +5＜2，即4＜2不成立，故x ∈∅．综上知解集为（﹣∞，4）．故选A ．6．（5分）已知x ，y 满足约束条件{x −y ≥0x +y ≤2y ≥0，若z=ax +y 的最大值为4，则a=（ ）A ．3B ．2C ．﹣2D ．﹣3【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A （2，0），B （1，1），若z=ax +y 过A 时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x +y ，即y=﹣2x +z ，平移直线y=﹣2x +z ，当直线经过A （2，0）时，截距最大，此时z 最大为4，满足条件，若z=ax +y 过B 时取得最大值为4，则a +1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x +y ，即y=﹣3x +z ，平移直线y=﹣3x +z ，当直线经过A （2，0）时，截距最大，此时z 最大为6，不满足条件，故a=2，故选：B7．（5分）在梯形ABCD 中，∠ABC=π2，AD ∥BC ，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π 【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：12π⋅2−13×12π×1=5π3． 故选：C ．8．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N （0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P （μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%【解答】解：由题意P （﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P （﹣6＜ξ＜6）=95.44%，所以P （3＜ξ＜6）=12（95.44%﹣68.26%）=13.59%． 故选：B ．9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y 轴反射后与圆（x +3）2+（y ﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A ．﹣53或﹣35B ．﹣32或﹣23C ．﹣54或﹣45D ．﹣43或﹣34 【解答】解：点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y +3=k （x ﹣2），化为kx ﹣y ﹣2k ﹣3=0． ∵反射光线与圆（x +3）2+（y ﹣2）2=1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d=√k 2+1=1， 化为24k 2+50k +24=0，∴k=−43或﹣34． 故选：D ．10．（5分）设函数f （x ）={3x −1，x ＜12x ，x ≥1，则满足f （f （a ））=2f （a ）的a 的取值范围是（ ）A ．[23，1]B ．[0，1]C ．[23，+∞）D ．[1，+∞） 【解答】解：令f （a ）=t ，则f （t ）=2t ，当t ＜1时，3t ﹣1=2t ，由g （t ）=3t ﹣1﹣2t 的导数为g′（t ）=3﹣2t ln2，在t ＜1时，g′（t ）＞0，g （t ）在（﹣∞，1）递增，即有g （t ）＜g （1）=0，则方程3t ﹣1=2t 无解；当t ≥1时，2t =2t 成立，由f （a ）≥1，即3a ﹣1≥1，解得a ≥23，且a ＜1； 或a ≥1，2a ≥1解得a ≥0，即为a ≥1．综上可得a 的范围是a ≥23． 故选C ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）观察下列各式：C10=40； C30+C 31=41； C50+C 51+C 52=42； C70+C 71+C 72+C 73=43； …照此规律，当n ∈N *时，C 2n−10+C 2n−11+C 2n−12+…+C2n−1n−1= 4n ﹣1 ． 【解答】解：因为C10=40； C30+C 31=41； C50+C 51+C 52=42； C70+C 71+C 72+C 73=43；… 照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幂指数相同， 可得：当n ∈N *时，C2n−10+C 2n−11+C 2n−12+…+C 2n−1n−1=4n ﹣1； 故答案为：4n ﹣1．12．（5分）若“∀x ∈[0，π4]，tanx ≤m”是真命题，则实数m 的最小值为 1 ． 【解答】解：“∀x ∈[0，π4]，tanx ≤m”是真命题， 可得tanx ≤1，所以，m ≥1，实数m 的最小值为：1．故答案为：1．13．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 10 ．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=﹣12+22﹣32+42的值∵S=﹣12+22﹣32+42=10故答案为：1014．（5分）已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a +b= −32 ．【解答】解：当a ＞1时，函数f （x ）=a x +b 在定义域上是增函数，所以{1+b =0a −1+b =−1， 解得b=﹣1，1a=0不符合题意舍去； 当0＜a ＜1时，函数f （x ）=a x +b 在定义域上是减函数，所以 {1+b =−1a −1+b =0， 解得b=﹣2，a=12， 综上a +b=−32，故答案为：−3215．（5分）平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线C 2：x 2=2py （p ＞0）交于点O ，A ，B ，若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为32． 【解答】解：双曲线C 1：x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y=±b a x ， 与抛物线C 2：x 2=2py 联立，可得x=0或x=±2pb a， 取A （2pb a ，2pb 2a ），设垂心H （0，p 2）， 则k AH =2pb 2a 2−p 22pb a=4b 2−a 24ab ， ∵△OAB 的垂心为C 2的焦点，∴4b 2−a 24ab ×（﹣b a）=﹣1， ∴5a 2=4b 2，∴5a 2=4（c 2﹣a 2）∴e=c a =32． 故答案为：32．三、解答题16．（12分）设f （x ）=sinxcosx ﹣cos 2（x +π4）． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （A 2）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f （x ）=12sin2x ﹣1+cos(2x+π2)2=12sin2x ﹣1−sin2x 2=sin2x ﹣12由2k π−π2≤2x ≤2k π+π2，k ∈Z 可解得：k π−π4≤x ≤k π+π4，k ∈Z ；由2k π+π2≤2x ≤2k π+3π2，k ∈Z 可解得：k π+π4≤x ≤k π+3π4，k ∈Z ；所以f （x ）的单调递增区间是[k π−π4，k π+π4]，（k ∈Z ）；单调递减区间是：[k π+π4，k π+3π4]，（k ∈Z ）；（Ⅱ）由f （A 2）=sinA ﹣12=0，可得sinA=12， 由题意知A 为锐角，所以cosA=√32， 由余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，可得：1+√3bc=b 2+c 2≥2bc ，即bc ≤2+√3，且当b=c 时等号成立．因此S=12bcsinA ≤2+√34， 所以△ABC 面积的最大值为2+√34． 17．（12分）如图，在三棱台DEF ﹣ABC 中，AB=2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：BD ∥平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF=DE ，∠BAC=45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据已知条件，DF ∥AC ，EF ∥BC ，DE ∥AB ；△DEF ∽△ABC ，又AB=2DE ，∴BC=2EF=2BH ，∴四边形EFHB 为平行四边形；∴BE ∥HF ，HF ⊂平面FGH ，BE ⊄平面FGH ；∴BE ∥平面FGH ；同样，因为GH 为△ABC 中位线，∴GH ∥AB ；又DE ∥AB ；∴DE ∥GH ；∴DE ∥平面FGH ，DE ∩BE=E ；∴平面BDE ∥平面FGH ，BD ⊂平面BDE ；∴BD ∥平面FGH ；（Ⅱ）连接HE ，则HE ∥CF ；∵CF ⊥平面ABC ；∴HE ⊥平面ABC ，并且HG ⊥HC ；∴HC ，HG ，HE 三直线两两垂直，分别以这三直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则：H （0，0，0），G （0，1，0），F （1，0，1），B （﹣1，0，0）；连接BG ，根据已知条件BA=BC ，G 为AC 中点；∴BG ⊥AC ；又CF ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC ；∴BG ⊥CF ，AC ∩CF=C ；∴BG ⊥平面ACFD ；∴向量BG →=(1，1，0)为平面ACFD 的法向量；设平面FGH 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则：{n →⋅HF →=x +z =0n →⋅HG →=y =0，取z=1，则：n →=(−1，0，1)；设平面FGH 和平面ACFD 所成的锐二面角为θ，则：cosθ=|cos ＜BG →，n →＞|=√2⋅√2=12； ∴平面FGH 与平面ACFD 所成的角为60°．18．（12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =3n +3．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }，满足a n b n =log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n ．【解答】解：（Ⅰ）因为2S n =3n +3，所以2a 1=31+3=6，故a 1=3，当n ＞1时，2S n ﹣1=3n ﹣1+3，此时，2a n =2S n ﹣2S n ﹣1=3n ﹣3n ﹣1=2×3n ﹣1，即a n =3n ﹣1，所以a n ={3，n =13n−1，n ＞1.． （Ⅱ）因为a n b n =log 3a n ，所以b 1=13， 当n ＞1时，b n =31﹣n •log 33n ﹣1=（n ﹣1）×31﹣n ， 所以T 1=b 1=13； 当n ＞1时，T n =b 1+b 2+…+b n =13+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n ﹣1）×31﹣n ）， 所以3T n =1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n ﹣1）×32﹣n ），两式相减得：2T n =23+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n ﹣（n ﹣1）×31﹣n ）=23+1−31−n 1−3﹣（n ﹣1）×31﹣n =136﹣6n+32×3n ， 所以T n =1312﹣6n+34×3n，经检验，n=1时也适合， 综上可得T n =1312﹣6n+34×3n ．19．（12分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX ．【解答】解：（Ⅰ）根据定义个位数字是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 93=84，随机变量X 的取值为：0，﹣1，1，当X=0时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即C 83； 当X=﹣1时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，7，9中选择两个数字和5进行组合，即C 42；当X=1时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即C 42；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择1个数字，再从1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即C 41C 41．则P （X=0）=C 83C 93=23，P （X=﹣1）=C 42C 93=114，P （X=1）=C 41C 41+C 42C 93=1142， X0 ﹣1 1 P 23 114 1142EX=0×23+（﹣1）×114+1×1142=421．20．（13分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，左、右焦点分别是F 1，F 2，以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：x 24a +y 24b =1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y=kx +m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．（i ）求|OQ OP |的值；（ii ）求△ABQ 面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，PF 1+PF 2=2a=4，可得a=2，又c a =√32，a 2﹣c 2=b 2， 可得b=1，即有椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E 的方程为x 216+y 24=1， （i ）设P （x 0，y 0），|OQ OP|=λ，由题意可知， Q （﹣λx 0，﹣λy 0），由于x 024+y 02=1， 又(−λx 0)216+(−λy 0)24=1，即λ24（x 024+y 02）=1， 所以λ=2，即|OQ OP|=2； （ii ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线y=kx +m 代入椭圆E 的方程，可得 （1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣16=0，由△＞0，可得m 2＜4+16k 2，①则有x 1+x 2=﹣8km1+4k 2，x 1x 2=4m 2−161+4k 2，所以|x 1﹣x 2|=4√16k 2+4−m 21+4k 2， 由直线y=kx +m 与y 轴交于（0，m ），则△AOB 的面积为S=12|m |•|x 1﹣x 2|=12|m |•4√16k 2+4−m 21+4k =2√(4−m 21+4k 2)⋅m 21+4k 2，设m 21+4k 2=t ，则S=2√t(4−t)， 将直线y=kx +m 代入椭圆C 的方程，可得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4=0， 由△≥0可得m 2≤1+4k 2，②由①②可得0＜t ≤1，则S=2√−(t −2)2+4在（0，1]递增，即有t=1取得最大值， 即有S ≤2√3，即m 2=1+4k 2，取得最大值2√3，由（i ）知，△ABQ 的面积为3S ，即△ABQ面积的最大值为6√3．21．（14分）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．【解答】解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．f′(x)=1x+1+2ax−a=2ax2+ax−a+1x+1．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．（1）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．（2）当a＞0时，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）．①当0＜a≤89时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．②当a＞89时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2．∵x1+x2=−1 2，∴x1＜−14，x2＞−14．由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x1＜−1 4．∴当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．因此函数f（x）有两个极值点．（3）当a＜0时，△＞0．由g（﹣1）=1＞0，可得x1＜﹣1＜x2．∴当x ∈（﹣1，x 2）时，g （x ）＞0，f′（x ）＞0，函数f （x ）单调递增； 当x ∈（x 2，+∞）时，g （x ）＜0，f′（x ）＜0，函数f （x ）单调递减． 因此函数f （x ）有一个极值点．综上所述：当a ＜0时，函数f （x ）有一个极值点；当0≤a ≤89时，函数f （x ）无极值点；当a ＞89时，函数f （x ）有两个极值点．（II ）由（I ）可知：（1）当0≤a ≤89时，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增．∵f （0）=0，∴x ∈（0，+∞）时，f （x ）＞0，符合题意．（2）当89＜a ≤1时，由g （0）≥0，可得x 2≤0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增．又f （0）=0，∴x ∈（0，+∞）时，f （x ）＞0，符合题意．（3）当1＜a 时，由g （0）＜0，可得x 2＞0，∴x ∈（0，x 2）时，函数f （x ）单调递减．又f （0）=0，∴x ∈（0，x 2）时，f （x ）＜0，不符合题意，舍去；（4）当a ＜0时，设h （x ）=x ﹣ln （x +1），x ∈（0，+∞），h′（x ）=x x+1＞0． ∴h （x ）在（0，+∞）上单调递增．因此x ∈（0，+∞）时，h （x ）＞h （0）=0，即ln （x +1）＜x ，可得：f （x ）＜x +a （x 2﹣x ）=ax 2+（1﹣a ）x ，当x ＞1−1a 时， ax 2+（1﹣a ）x ＜0，此时f （x ）＜0，不合题意，舍去．综上所述，a 的取值范围为[0，1]．。
15年高考真题——理科数学(山东卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（山东卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2|430A x x x =-+<，{}|24B x x =<<，则A B = （ ） （A ）()1,3 （B ）()1,4 （C ）()2,3 （D ）()2,42．若复数z 满足1zi i=-，其中i 是虚数单位，则z =（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+3．要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 4y x =的图像（ ） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位4．已知菱形ABCD 的边长为a ，060ABC ∠=，则BD CD ⋅= （ ）（A ）232a - （B ）234a - （C ）234a （D ）232a 5．不等式|1||5|2x x ---<的解集是（ ）（A ）(),4-∞ （B ）(),1-∞ （C ）()1,4 （D ） ()1,56．已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）（A ）3 （B ）2 （C ）2- （D ）3-7．在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//AD BC ，222BC AD AB ===。
将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） （A ）23π （B ）43π （C ）53π（D ）2π 8．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间()3,6内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=）（ ）（A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）31.74%9．一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在的直线的斜率为（ ） （A ）53-或35- （B ）32-或32- （C ）54-或45- （D ）43-或34- 10．设函数()()()31121xx x f x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则满足()()()2f a f f a =的取值范围是（ ） （A ）[]2 （B ）[]0,1 （C ）[)2+∞ （D ）[)1,+∞二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)山东卷
2015年山东理一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知集合A=x x2−4x+3<0，B=x2<x<4，则A∩B= A. 1,3B. 1,4C. 2,3D. 2,42. 若复数z满足z1−i=i，其中i为虚数单位，则z= A. 1−iB. 1+iC. −1−iD. −1+i3. 要得到函数y=sin4x−π3的图象，只需要将函数y=sin4x的图象 A. 向左平移π12个单位 B. 向右平移π12个单位C. 向左平移π3个单位 D. 向右平移π3个单位4. 已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60∘，则BD⋅CD= A. −32a2 B. −34a2 C. 34a2 D. 32a25. 不等式 x−1− x−5<2的解集是 A. −∞,4B. −∞,1C. 1,4D. 1,56. 已知x，y满足约束条件x−y≥0,x+y≤2,y≥0.若z=ax+y的最大值为4，则a= A. 3B. 2C. −2D. −37. 在梯形ABCD中，∠ABC=π2，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2．将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 A. 2π3B. 4π3C. 5π3D. 2π8. 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N0,32，从中随机取一件，其长度误差落在区间3,6内的概率为 （附：若随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2），则Pμ−σ<ξ<μ+σ=68.26%，Pμ−2σ<ξ<μ+2σ =95.44%．）A. 4.56%B. 13.59%C. 27.18%D. 31.74%9. 一条光纤从点−2,−3射出，经y轴反射后与圆x+32+y−22=1相切，则反射光线所在直线的斜率为 A. −53或−35B. −32或−23C. −54或−45D. −43或−3410. 设函数f x=3x−1,x<1,2x,x≥1.，则满足f f a=2f a的a取值范围是 A. 23,1 B. 0,1 C. 23,+∞ D. 1,+∞二、填空题（共5小题；共25分）11. 观察下列各式：C10=40；C 30+C 31=41； C 50+C 51+C 52=42； C 70+C 71+C 72+C 73=43；⋯照此规律，当n ∈N ∗时，C 2n−10+C 2n−11+C 2n−12+⋯+C 2n−1n−1= ．12. 若“ ∀x ∈ 0,π4 ,tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为 ． 13. 执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为 ．14. 已知函数f x =a x +b a >0,a ≠1 的定义域和值域都是 −1,0 ，则a +b = ．15. 平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1:x 2a2−y 2b 2=1 a >0,b >0 的渐近线与抛物线C 2:x 2=2py p >0 交于O ，A ，B ．若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为 ．三、解答题（共6小题；共78分） 16. 设f x =sin x cos x −cos 2 x +π4 ．（1）求f x 的单调区间；（2）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若f A2 =0，a =1，求△ABC 面积的最大值．17. 如图，在三棱台DEF −ABC 中，AB =2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．（1）求证：BD ∥平面FGH ；（2）若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF =DE ，∠BAC =45∘，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小18. 设数列 a n 的前n 项和为S n ．已知2S n =3n +3．（1）求a n的通项公式；（2）若数列b n满足a n b n=log3a n，求b n的前n项和T n．19. 若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的"三位递增数"的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得−1分；若能被10整除，得1分．（1）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（2）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．20. 平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2a +y2b=1a>b>0的离心率为32，左、右焦点分别是F1，F2．以F1为圆心、以3为半径的圆与以F2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆E:x 24a +y24b=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．①求 OQOP的值；②求△ABQ面积的最大值．21. 设函数f x=ln x+1+a x2−x，其中a∈R．（1）讨论函数f x极值点的个数，并说明理由；（2）若∀x>0，f x≥0成立，求a的取值范围．答案第一部分1. C2. A3. B4. D5. A6. B 【解析】画出可行域，分别代入O,A,B三点验证，发现当直线ax+y=z经过点B2,0时，符合题意，此时a=2．7. C 【解析】提示：分析知，围成的几何体为如图所示一个圆柱挖去一个圆锥．8. B 9. D 【解析】提示：作点M−2,−3关于y轴的对称点P2,−3，过点P作圆的切线，切线即反射光线．10. C【解析】1）当a≥1时，f a=2a≥2，此时f f a=2f a，成立．2）当a<1时，f a=3a−1．时，f f a=2f a，成立．当f a=3a−1≥1，即1>a≥23时，f f a=3f a−1，此时3f a−1<2f a，所以不满足题意．当f a=3a−1<1，即a<23,+∞ ．综上，a的取值范围是23第二部分11. 4n−112. 113. 11614. −32【解析】提示：由题意知a>1f−1=−1f0=0或0<a<1f−1=0f0=−1，解得a=12,b=−2．15. 32【解析】如图，可求得A,B坐标分别为A2pba ,2pb2a2，B −2pba,2pb2a2，而抛物线C2的焦点为F0,p2，由BF⊥OA可得4b2=5a2，进而可得C1的离心率为ca =32．第三部分16. （1）由题意知f x=sin2x2−1+cos2x+π22=sin2x2−1−sin2x2=sin2x−12．由−π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ,k∈Z，可得−π4+kπ≤x≤π4+kπ,k∈Z；由π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ,k∈Z，可得π4+kπ≤x≤3π4+kπ,k∈Z．所以f x的单调递增区间是 −π4+kπ,π4+kπ k∈Z；单调递减区间是π4+kπ,3π4+kπ k∈Z．（2）由f A2=sin A−12=0，得sin A=12，由题意知A为锐角，所以cos A=32．由余弦定理a2=b2+c2−2bc cos A，可得1+3bc=b2+c2≥2bc，即bc≤2+3，当且仅当b=c时等号成立．因此12bc sin A≤2+34．所以△ABC的面积的最大值为2+34．17. （1）证法一：如图，连接DG，CD，设CD∩GF=O，连接OH．在三棱台DEF−ABC中，AB=2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF=GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点．又H为BC的中点，所以OH∥BD．又OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH．证法二：在三棱台DEF−ABC中，由BC=2EF，H为BC的中点，EF∥BC .可得BH∥EF，BH=EF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BE∥HF．在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB．又GH∩HF=H，所以平面FGH∥平面ABED．因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH．（2）解法一：设AB=2，则CF=1．在三棱台DEF−ABC中，G为AC的中点，由DF=12AC=GC，可得四边形DGCF为平行四边形，因此DG∥FC．又FC⊥平面ABC，所以DG⊥平面ABC．在△ABC中，因为AB⊥BC，∠BAC=45∘，G是AC的中点，所以AB=BC，GB⊥GC，因此GB，GC，GD两两垂直．以G为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系G−xyz，所以G0,0,0，B 0,0，C 0,0，D0,0,1．可得H22,22,0，F 0,2,1，故GH=22,22,0，GF=0,2,1．设n=x,y,z是平面FGH的一个法向量，则由n⋅GH=0,n⋅GF=0,可得22x+22y=0,2y+z=0.令x=1，可得平面FGH的一个法向量n=1,−1,2．因为GB是平面ACFD的一个法向量，GB=2,0,0，所以cos⟨GB,n ⟩=GB⋅nGB n =222=12．所以平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60∘．解法二：如图，作HM⊥AC于点M，作MN⊥GF于点N，连接NH．设AB=2，则CF=1．由FC⊥平面ABC，得HM⊥FC．又FC∩AC=C，所以HM⊥平面ACFD．因此GF⊥NH，所以∠MNH为所求的角．在△BGC中，MH∥BG，MH=12BG=22．由△GNM∽△GCF，可得MNFC =GMGF，从而MN=66．由HM⊥平面ACFD，MN⊂平面ACFD，得HM⊥MN，因此tan∠MNH=HMMN=3，所以∠MNH=60∘．所以平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60∘．18. （1）因为2S n=3n+3，所以2a1=3+3，故a1=3．当n≥2时，2S n−1=3n−1+3，此时2a n=2S n−2S n−1=3n−3n−1=2×3n−1，即a n=3n−1，所以a n=3,n=1, 3n−1,n≥2.（2）因为a n b n=log3a n，所以b1=13．当n≥2时，b n=31−n log33n−1=n−1⋅31−n．所以T1=b1=13；当n≥2时，T n=b1+b2+b3+⋯+b n=13+1×3−1+2×3−2+⋯+n−1×31−n，所以3T n=1+1×30+2×3−1+⋯+n−1×32−n，两式相减，得2T n=2+ 30+3−1+3−2+⋯+32−n − n −1 ×31−n =23+1−31−n1−3−1− n −1 ×31−n=13−6n +3n , 所以T n =1312−6n +34×3n ． 经检验，n =1时也适合． 综上可得T n =1312−6n +34×3．19. （1）个位数字是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345．（2）由题意知，全部“三位递增数”的个数为C 93=84，随机变量X 的取值为：0，−1，1，因此P X =0 =C 8393=2,P X =−1 =C 4293=1,P X =1 =1−1−2=11.所以X 的分布列为X 0−11P2111 则EX =0×23+ −1 ×114+1×1142=421． 20. （1）由题意知2a =4，则a =2． 又ca =32，a 2−c 2=b 2，可得b =1，所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）由（1）知椭圆E 的方程为x 216+y 24=1．①设P 0 x 0,y 0 ， OQOP =λ，由题意知Q −λx 0,−λy 0 ．因为x 024+y 02=1，又−λx 0 216+−λy 0 24=1，即λ24 x 024+y 02=1， 所以λ=2，即 OQOP =2． ②设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ．将y =kx +m 代入椭圆E 的方程，可得 1+4k 2 x 2+8kmx +4m 2−16=0， 由Δ>0，可得m 2<4+16k 2. ⋯⋯ ∗ 则有x 1+x 2=−8km1+4k 2，x 1x 2=4m 2−161+4k 2．所以 x 1−x 2 =4 16k 2+4−m 21+4k 2．因为直线y =kx +m 与y 轴交点的坐标为 0,m ， 所以△OAB 的面积S=1m x1−x2=216k2+4−m2 m1+4k2=216k2+4−m2m22=24−m21+4k2m21+4k2.设m 21+4k=t．将y=kx+m代入椭圆C的方程，可得1+4k2x2+8kmx+4m2−4=0，由Δ≥0，可得m2≤1+4k2. ⋯⋯∗∗由∗∗∗可知0<t≤1，因此S=24−t t=22+4t，故S≤23．当且仅当t=1，即m2=1+4k2时取得最大值23．由①知，△ABQ的面积为3S，所以△ABQ的面积的最大值为63．21. （1）由题意知，函数f x的定义域为−1,+∞，fʹx=1x+1+a2x−1=2ax2+ax−a+1x+1．令g x=2ax2+ax−a+1,x∈−1,+∞．①当a=0时，g x=1，此时fʹx>0，函数f x在−1,+∞上单调递增，无极值点；②当a>0时，Δ=a2−8a1−a=a9a−8．a．当0<a≤89时，Δ≤0，g x≥0，fʹx≥0，函数f x在−1,+∞上单调递增，无极值点；b．当a>89时，Δ>0，设方程2ax2+ax−a+1=0的两根为x1,x2x1<x2，因为x1+x2=−12，所以x1<−14，x2>−14．由g−1=1>0，可得−1<x1<−14．所以当x∈−1,x1时，g x>0，fʹx>0，函数f x单调递增；当x∈x1,x2时，g x<0，fʹx<0，函数f x单调递减；当x∈x2,+∞时，g x>0，fʹx>0，函数f x单调递增；因此，函数有两个极值点．c．当a<0时，Δ>0，由g−1=1>0，可得x1<−1．当x∈−1,x2时，g x>0，fʹx>0，函数f x单调递增；当x∈x2,+∞时，g x<0，fʹx<0，函数f x单调递减；所以函数有一个极值点．综上所述，当a<0时，函数f x有一个极值点；当0≤a≤89时，函数f x无极值点；当a>89时，函数f x有两个极值点．（2）由（1）知，①当0≤a≤89时，函数f x在0,+∞上单调递增，因为f0=0，所以x∈0,+∞时，f x>0，符合题意．②当89<a≤1时，由g0≥0，得x2≤0，所以函数f x在0,+∞上单调递增．又f0=0，所以x∈0,+∞时，f x>0，符合题意．③当a>1时，由g0<0，可得x2>0．所以x∈0,x2时，函数f x单调递减．因为f0=0，所以x∈0,x2时，f x<0，不合题意．④当a<0时，设 x=x−ln x+1．因为x∈0,+∞时， ʹx=1−1x+1=xx+1>0，所以 x在0,+∞上单调递增．因此，当x∈0,+∞时， x> 0=0，即ln x+1<x．可得f x<x+a x2−x=ax2+1−a x，当x>1−1a时，ax2+1−a x<0，此时f x<0，不符合题意．综上所述，a的取值范围是0,1．。
2015年高考理科数学山东卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共42页）数学试卷 第2页（共42页）数学试卷 第3页（共42页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟. 参考公式：如果事件A ,B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2430{|}A x x x =-+<，24{|}B x x =<<，则AB = （ ）A ．1,3（）B ．1,4（）C ．2,3（）D ．2,4（）2．若复数z 满足z1i-=i ，其中i 为虚数单位，则z=（ ）A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+3．要得到函数πsin(4)3y x =-的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位4．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD =（ ）A ．232a -B ．234a -C ．234aD ．232a5．不等式|||52|1x x ---<的解集是 （ ）A ．(,4)-∞B ．(,1)-∞C ．(1,4)D ．(1,5)6．已知x ，y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）A ．3B ．2C ．2-D ．3-7．在梯形ABCD 中，π2ABC ∠=，AD ∥BC ，BC =2AD =2AB =2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π8．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N (0，23)，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为 （ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则(P μσ-<ξ)68.26%μσ<+=，(2P μσ-<ξ2)95.44%μσ<+=）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%9．一条光线从点（2-，3-）射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34-10．设函数31,1,()2, 1,x x x f x x -⎧=⎨⎩＜≥则满足()(())2f a f f a =的a 取值范围是（ ）A ．2[,1]3B ．[0,1]C ．2[,)3+∞D ．[1,)+∞第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.11．观察下列各式：001011330122555012337777C =4C +C =4C +C +C =4C +C +C +C =4；；；；……照此规律，当n ∈*N 时，012n-12n-12n-12n-12n-1C + C + C ++ C ⋯=_______. 12．若“∀x ∈[0，4π]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为_______. 13．执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为_______.14．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=_______.15．平面直角坐标系xOy 中，双曲线222211 0,0x C a b y a b>->=：（）的渐近线与抛物线222C x py =：0p >（）交于点O ，A ，B .若OAB △的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为_______.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________?数学试卷 第4页（共42页）数学试卷 第5页（共42页） 数学试卷 第6页（共42页）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）设2π()sin cos cos ()4f x x x x =-+.（Ⅰ）求f x （）的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC △中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c .若2f A（）=0，a =1，求ABC △面积的最大值.17．（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF ABC -中，AB =2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点. （Ⅰ）求证：BD ∥平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF =DE ，∠BAC =45︒，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小.18．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n n S =+. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .19．（本小题满分12分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1-分；若能被10整除，得1分.（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX .20．（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，左、右焦点分别是1F ，2F ，以点1F 为圆心，以3为半径的圆与以点2F 为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222144 x y E a b +=：，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（i ）求||||OQ OP 的值；（ii ）求ABQ △面积的最大值.21．（本小题满分14分）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a ∈R . （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围.3 / 14数学试卷 第10页（共42页） 数学试卷 第11页（共42页）数学试卷 第12页（共42页）最大值24a =，2a =，满足1a >，答案选B ．5 / 141012121212121211++C (2C +2C +2C ++2C )2n n n n n n n -------=121)++(C +C n n --1212112121211++C +C ++C )242n n n n n n n n -------== 【提示】仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果．利用OAB的垂心为数学试卷第16页（共42页）数学试卷第17页（共42页）数学试卷第18页（共42页）∥平面．故BD FGH7 / 14数学试卷 第22页（共42页） 数学试卷 第23页（共42页）数学试卷 第24页（共42页）21+1+29 / 14数学试卷第28页（共42页）数学试卷第29页（共42页）数学试卷第30页（共42页）11 / 14数学试卷第34页（共42页）数学试卷第35页（共42页）数学试卷第36页（共42页）13 / 14数学试卷第40页（共42页）数学试卷第41页（共42页）数学试卷第42页（共42页）。
2015年山东省高考数学试卷(理科)答案与解析
2015年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）（2015•山东）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合A，然后求出两个集合的交集．解答：解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．故选：C．点评：本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．2．（5分）（2015•山东）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．解答：解：=i，则=i（1﹣i）=1+i，可得z=1﹣i．故选：A．点评：本题考查复数的基本运算，基本知识的考查．3．（5分）（2015•山东）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．解答：解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．点评：本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．4．（5分）（2015•山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2D．a2考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由已知可求，，根据=（）•=代入可求解答：解：∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，∴=a2，=a×a×cos60°=，则=（）•==故选：D点评：本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题5．（5分）（2015•山东）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，1）C．（1，4）D．（1，5）考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当x＜1，②当1≤x≤5，③当x＞5，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可．解答：解：①当x＜1，不等式即为﹣x+1+x﹣5＜2，即﹣4＜2成立，故x＜1；②当1≤x≤5，不等式即为x﹣1+x﹣5＜2，得x＜4，故1≤x＜4；③当x＞5，x﹣1﹣x+5＜2，即4＜2不成立，故x∈∅．综上知解集为（﹣∞，4）．故选A．点评：本题考查绝对值不等式的解法，主要考查运用零点分区间的方法，考查运算能力，属于中档题．6．（5分）（2015•山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A．3B．2C．﹣2 D．﹣3考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为﹣6，不满足条件，故a=2，故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．7．（5分）（2015•山东）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．2π考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．解答：解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆锥，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：=．故选：C．点评：本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．画出几何体的直观图是解题的关键．8．（5分）（2015•山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，可得P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%），即可得出结论．解答：解：由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，所以P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%）=13.59%．故选：B．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．9．（5分）（2015•山东）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y ﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣考点：圆的切线方程；直线的斜率．专题：计算题；直线与圆．分析：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．解答：解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，化为24k2+50k+24=0，∴k=或﹣．故选：D．点评：本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．10．（5分）（2015•山东）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a 的取值范围是（）A．[，1]B．[0，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）考点：分段函数的应用．专题：创新题型；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：令f（a）=t，则f（t）=2t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．解答：解：令f（a）=t，则f（t）=2t，当t＜1时，3t﹣1=2t，由g（t）=3t﹣1﹣2t的导数为g′（t）=3﹣2t ln2，在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，1）递增，即有g（t）＜g（1）=0，则方程3t﹣1=2t无解；当t≥1时，2t=2t成立，由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥，且a＜1；或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1．综上可得a的范围是a≥．故选C．点评：本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2015•山东）观察下列各式：C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；…照此规律，当n∈N*时，C+C+C+…+C=4n﹣1．考点：归纳推理；组合及组合数公式．专题：推理和证明．分析：仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果．解答：解：因为C=40；C+C=41；C+C+C=42；C+C+C+C=43；…照此规律，可以看出等式左侧最后一项，组合数的上标与等式右侧的幂指数相同，可得：当n∈N*时，C+C+C+…+C=4n﹣1；故答案为：4n﹣1．点评：本题考查归纳推理的应用，找出规律是解题的关键．12．（5分）（2015•山东）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为1．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：求出正切函数的最大值，即可得到m的范围．解答：解：“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，可得tanx≤1，所以，m≥1，实数m的最小值为：1．故答案为：1．点评：本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力．13．（5分）（2015•山东）执行如图程序框图，输出的T的值为．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，T的值，当n=3时不满足条件n＜3，退出循环，输出T的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得n=1，T=1满足条件n＜3，T=1+xdx，n=2满足条件n＜3，T=1+xdx+x2dx=1+=，n=3不满足条件n＜3，退出循环，输出T的值为．故答案为：点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了定积分的应用，属于基本知识的考查．14．（5分）（2015•山东）已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=﹣．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解答：解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以解得b=﹣2，a=综上a+b=，故答案为；﹣点评：本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于基础题15．（5分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出A的坐标，可得=，利用△OAB的垂心为C 2的焦点，可得×（﹣）=﹣1，由此可求C1的离心率．解答：解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，与抛物线C2：x2=2py联立，可得x=0或x=±，取A（，），则=，∵△OAB的垂心为C2的焦点，∴×（﹣）=﹣1，∴5a2=4b2，∴5a2=4（c2﹣a2）∴e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定A的坐标是关键．三、解答题16．（12分）（2015•山东）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．考点：正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；余弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解．解答：解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；（k∈Z）；单调递减区间是：[k，所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．因此bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为．点评：本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．17．（12分）（2015•山东）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH；（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）根据AB=2DE便可得到BC=2EF，从而可以得出四边形EFHB为平行四边形，从而得到BE∥HF，便有BE∥平面FGH，再证明DE∥平面FGH，从而得到平面BDE∥平面FGH，从而BD∥平面FGH；（Ⅱ）连接HE，根据条件能够说明HC，HG，HE三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后求出一些点的坐标．连接BG，可说明为平面ACFD的一条法向量，设平面FGH的法向量为，根据即可求出法向量，设平面FGH与平面ACFD所成的角为θ，根据cosθ=即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小．解答：解：（Ⅰ）证明：根据已知条件，BC=2EF，H为BC中点，EF∥BC；∴EF∥BH，且EF=BH；∴四边形EFHB为平行四边形；∴BE∥HF，HF⊂平面FGH，BE⊄平面FGH；∴BE∥平面FGH；同样，因为GH为△ABC中位线，∴GH∥AB；又DE∥AB；∴DE∥GH；∴DE∥平面FGH，DE∩BE=E；∴平面BDE∥平面FGH，BD⊂平面BDE；∴BD∥平面FGH；（Ⅱ）连接HE，则HE∥CF；∵CF⊥平面ABC；∴HE∥平面ABC，并且HG⊥HC；∴HC，HG，HE三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设HC=1，则：H（0，0，0），G（0，1，0），F（1，0，1），B（﹣1，0，0）；连接BG，根据已知条件BA=BC，G为AC中点；∴BG⊥AC；又CF⊥平面ABC，BG⊂平面ABC；∴BG⊥CF，AC∩CF=C；∴BG⊥平面ACFD；∴向量为平面ACFD的法向量；设平面FGH的法向量为，则：，取z=1，则：；设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ，则：cosθ=|cos|=；∴平面FGH与平面ACFD所成的角为60°．点评：考查棱台的定义，平行四边形的定义，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理及其性质，线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法，平面法向量的概念及求法，向量垂直的充要条件，向量夹角余弦的坐标公式，平面和平面所成角的定义．18．（12分）（2015•山东）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用2S n=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2S n﹣1=3n﹣1+3，两式相减2a n=2S n﹣2S n﹣1，可求得a n=3n﹣1，从而可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）依题意，a n b n=log3a n，可得b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{b n}的前n项和T n．解答：解：（Ⅰ）因为2S n=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，当n＞1时，2S n﹣1=3n﹣1+3，此时，2a n=2S n﹣2S n﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即a n=3n﹣1，所以a n=．（Ⅱ）因为a n b n=log3a n，所以b1=，当n＞1时，b n=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，所以T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），所以3T n=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），两式相减得：2T n=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n ﹣1）×31﹣n）=﹣，所以T n=﹣，经检验，n=1时也适合，综上可得T n=﹣．点评：本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考“查错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．19．（12分）（2015•山东）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据“三位递增数”的定义，即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）随机变量X的取值为：0，﹣1，1分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）根据定义个位数字是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为，随机变量X的取值为：0，﹣1，1，当X=0时，可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合，即；当X=﹣1时，首先选择5，由于不能被10整除，因此不能选择数字2，4，6，8，可以从1，3，5，7中选择两个数字和5进行组合，即；当X=1时，有两种组合方式，第一种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择2个数字和5进行组合，即；第二种方案：首先选5，然后从2，4，6，8中选择1个数字，再从1，3，7，9中选择1个数字，最后把3个数字进行组合，即．则P（X=0）==，P（X=﹣1）==，P（X=1）==，X 0 ﹣1 1PEX=0×+（﹣1）×+1×=．点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，求出对应的概率是解决本题的关键．20．（13分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E 于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．（i）求||的值；（ii）求△ABQ面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；曲线与方程．专题：创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到b，进而得到椭圆C 的方程；（Ⅱ）求得椭圆E的方程，（i）设P（x0，y0），||=λ，求得Q的坐标，分别代入椭圆C，E的方程，化简整理，即可得到所求值；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，运用韦达定理，三角形的面积公式，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，由判别式大于0，可得t的范围，结合二次函数的最值，又△ABQ的面积为3S，即可得到所求的最大值．解答：解：（Ⅰ）由题意可知，2a=4，可得a=2，又=，a2﹣c2=b2，可得b=1，即有椭圆C的方程为+y2=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E的方程为+=1，（i）设P（x0，y0），||=λ，由题意可知，Q（﹣λx0，﹣λy0），由于+y02=1，又+=1，即（+y02）=1，所以λ=2，即||=2；（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆E的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，由△＞0，可得m2＜4+16k2，①则有x1+x2=﹣，x1x2=，所以|x1﹣x2|=，由直线y=kx+m与y轴交于（0，m），则△AOB的面积为S=|m|•|x1﹣x2|=|m|•=2，设=t，则S=2，将直线y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由△≥0可得m2≤1+4k2，②由①②可得0＜t≤1，则S=2在（0，1]递增，即有t=1取得最大值，即有S，即m2=1+4k2，取得最大值2，由（i）知，△ABQ的面积为3S，即△ABQ面积的最大值为6．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查三角形的面积公式和二次函数的最值，属于中档题．21．（14分）（2015•山东）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．专题：创新题型；导数的综合应用．分析：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．对a与△分类讨论可得：（1）当a=0时，此时f′（x）＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．（2）当a＞0时，△=a（9a﹣8）．①当时，△≤0，②当a时，△＞0，即可得出函数的单调性与极值的情况．（3）当a＜0时，△＞0．即可得出函数的单调性与极值的情况．（II）由（I）可知：（1）当0≤a时，可得函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调性，即可判断出．（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，利用x∈（0，x2）时函数f（x）单调性，即可判断出；（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），研究其单调性，即可判断出解答：解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．=．令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．（1）当a=0时，g（x）=1，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．（2）当a＞0时，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）．①当时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，无极值点．②当a时，△＞0，设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1，x2，x1＜x2．∵x1+x2=，∴，．由g（﹣1）＞0，可得﹣1＜x1．∴当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．因此函数f（x）有两个极值点．（3）当a＜0时，△＞0．由g（﹣1）=1＞0，可得﹣1＜x1．∴当x∈（﹣1，x2）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．因此函数f（x）有一个极值点．综上所述：当a＜0时，函数f（x）有一个极值点；当0≤a时，函数f（x）无极值点；当a0时，函数f（x）有两个极值点．（II）由（I）可知：（1）当0≤a时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．（2）当＜a≤1时，由g（0）≥0，可得x2≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．又f（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，符合题意．（3）当1＜a时，由g（0）＜0，可得x2＞0，∴x∈（0，x2）时，函数f（x）单调递减．又f（0）=0，∴x∈（0，x2）时，f（x）＜0，不符合题意，舍去；（4）当a＜0时，设h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=＞0．∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．因此x∈（0，+∞）时，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，可得：f（x）＜x+a（x2﹣x）=ax2+（1﹣a）x，当x＞时，ax2+（1﹣a）x＜0，此时f（x）＜0，不合题意，舍去．点评：本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．。
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绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答案卸载试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）已知集合2{|430},{|24}A x x x B x x =-+<=<<,则A B =I（A ）（1，3） （B ）（1，4）（C ）（2，3）（D ）（2，4）（2）若复数z 满足1zi i=-，其中i 为虚数为单位，则z = （A ）1i -（B ）1i +（C ）1i --（D ）1i -+（3）要得到函数sin(4)3y x π=-的图像，只需要将函数sin 4y x =的图像（ ）（A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 （4）已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=o，则BD CD =u u u r u u u rg（A ）232a -（B ）234a -（C ）234a （D ）232a （5）不等式|1||5|2x x ---<的解集是（A ）（-，4）（B ）（-，1）（C ）（1，4）（D ）（1，5）（6）已知,x y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为4，则a =（A ）3（B ）2（C ）-2（D ）-3（7）在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//,222AD BC BC AD AB ===。
将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 （A ）23π（B ）43π（C ）53π（D ）2π（8）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=.）（A ）4.56%（B ）13.59%（C ）27.18%（D ）31.74%（9）一条光线从点（-2，-3）射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）（A ）53-或35-（B ）32-或23- （C ）54-或45-（D ）43-或34-（10）设函数21,1,()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩,则满足()(())2f a f f a =的a 的取值范围是（A ）2[,1]3（B ）[0，1]（C ）2[,)3+∞（D ）[1,)+∞第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）观察下列各式：0014C =；011334C C +=； 01225554C C C ++=； 0123377774C C C C +++=；……照此规律，当*n N ∈时，012121212121...n n n n n C C C C -----++++= .（12）若“[0,],tan 4x x m π∀∈≤”是真命题，则实数m 的最小值为 .（13）执行右边的程序框图，输出的T 的值为 .（14）已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b +=（15）平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B 。
若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为____________三、解答题：本答题共6小题，共75分。
（16）（本小题满分12分）设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()0,12Af a ==，求ABC ∆面积的最大值。
(17)(本小题满分12分)如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点。
（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面,,ABC AB BC CF DE ⊥=，45BAC ∠=o ，求平面FGH 与平面ACFD所成的角（锐角）的大小.（18）（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233nn S =+.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log 2n n a b =，求{}n b 的前n 项和n T . （19）（本小题满分12分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1-分；若能被10整除，得1分.（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX .（20）（本小题满分13分）平面直角坐标系中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，左、右焦点分别是12,F F .以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:1,44x y E P a b+=为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（ⅰ）求||||OQ OP 的值； （ⅱ）求ABQ ∆面积的最大值.（21）(本小题满分14分)设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈。
（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若0,()0x f x ∀>≥成立，求a 的取值范围。
参考答案一、选择题：（1）C （2）A （3）B （4）D （5）A （6）B（7）C（8）B（9）D（10）C二、填空题：（11）14n - （12）1 （13）116（14）32-（15）32三、解答题： 16.解：（Ⅰ）由题意知1cos(2)sin 22()22x x f x π++=- sin 21sin 222x x-=-1sin 22x =-由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈；由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈，可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间是[,],()44k k k Z ππππ-++∈；单调递减区间是3[,],()44k k k Z ππππ++∈.（Ⅱ）由1()sin 022A f A =-=，得1sin 2A =,由题意知A为锐角，所以cos A =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得2212b c bc +=+≥，即2bc ≤，且当b c =时等号成立，因此12sin 24bc A +≤，所以ABC ∆面积的最大值为234+. 17.（Ⅰ）证法一：连接,DG CD ，设CD GF O =I ，连接OH在三棱台DEF ABC -中，2,AB DE =G 为AC 的中点，可得//,DF GC DF GC =， 所以四边形DFCG 为平行四边形 则O 为CD 的中点， 又H 为BC 的中点， 所以//OH BD ，又OH ⊂平面,FGH BD ⊄平面FGH ， 所以//BD 平面FGH证法二：在三棱台DEF ABC -中，由2,BC EF H =为BC 的中点， 可得//,BH EF BH EF =， 所以四边形BHFE 为平行四边形， 可得//BE HF在ABC ∆中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点， 所以//GH AB又GH HF H =I ，所以平面//FGH 平面ABED 因为BD ⊂平面ABED ， 所以//BD 平面FGH（Ⅱ）解法一：设2AB =，则1CF =在三棱台DEF ABC -中，G 为AC 的中点，由12DF AC GC ==， 可得四边形DGCF 为平行四边形， 因此//DG FC 又FC ⊥平面ABC ， 所以DG ⊥平面ABC在ABC ∆中，由,45,AB BC BAC G ⊥∠=o是AC 中点， 所以,AB BC GB GC =⊥ 因此,,GB GC GD 两两垂直以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz - 所以(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,1)G B C D可得22(,,0),(0,2,1)22H F ， 故22(,,0),(0,2,1)22GH GF ==u u u r u u u r 设(,,)n x y z =是平面FGH 的一个法向量，则由0,0,n GH n GF ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u rg 可得0,20.x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得平面FGH 的一个法向量(1,1,2)n =-因为GB uuu r 是平面ACFD 的一个法向量，(2,0,0)GB =u u u r，所以21cos ,2||||22GB n GB n GB n ===u u u ru u u r g u u u r g 所以平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60o解法二：作HM AC ⊥与点M ，作MN GF ⊥于点N ，连接NH 由FC ⊥平面ABC ，得HM FC ⊥， 又FC AC C =I ， 所以HM ⊥平面ACFD 因此GF NH ⊥， 所以MNH 即为所求的角 在BGC∆中，12//,22MH BG MH BG ==， 由GNM GCF ∆∆:， 可得MN GM FC GF=， 从而6MN =由HM ⊥平面,ACFD MN ⊂平面ACFD ， 得HM MN ⊥， 因此tan 3HMMNH MN∠==， 所以60MNH ∠=o所以平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60o18.解：（Ⅰ）因为233n n S =+所以1233a =+，故13a =，当1n >时，11233n n S --=+，此时1112223323n n n n n n a S S ---=-=-=⨯，即13n n a -=，所以13,1,3, 1.n n n a n -=⎧=⎨>⎩（Ⅱ）因为3log n n n a b a =，所以113b =， 当1n >时，11133log 3(1)3n n n n b n ---==-g所以1113T b ==； 当1n >时，123...n n T b b b b =++++1211(1323...(1)3)3n n ---=+⨯+⨯++-⨯ 所以01231(1323...(1)3)nn T n --=+⨯+⨯++-⨯两式相减，得0122122(333...3)(1)33n n n T n ----=+++++--⨯ 111213(1)3313n n n ----=+--⨯- 1363623nn +=-⨯， 所以13631243n nn T +=-⨯ 经检验，1n =时也适合 综上可得13631243n nn T +=-⨯ 19.解：（Ⅰ）个位数是5的“三位递增数”有125，135，145，235，245，345；（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为3984C =，随机变量X 的取值为-1，0，1.因此38392(0)3C P X C ===，24391(1)14C P X C =-==，1211(1)114342P X ==--= 所以X 的分布列为 X0 -1 1 P 23 114 1142 则211140(1)13144221EX =⨯+-⨯+⨯= 20.解：（Ⅰ）由题意知24a =，则2a =又c a =222a c b -=， 可得1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y += （Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E 的方程为221164x y += （ⅰ）设点00(,)P x y ，||||OQ OP λ=，由题意知00(,)Q x y λλ-- 因为220014x y +=， 又2200()()1164x y λλ--+=，即22200()144x y λ+=， 所以2λ=，即||2||OQ OP = （ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y将y kx m =+代入椭圆E 的方程，可得222(14)84160k x kmx m +++-=，由0∆>，可得22416m k <+ ①则有21212228416,1414km m x x x x k k -+=-=++所以12x x -= 因为直线y kx m =+与y 轴交点的坐标为(0,)m ， 所以OAB ∆的面积121||||2S m x x =-2|14m k =+== 设2214m t k =+ 将y kx m =+代入椭圆C 的方程，可得222(14)8440k x kmx m +++-=，由0∆≥，可得2214m k ≤+② 由①②可知01t <≤，因此S ==故S ≤当且仅当1t =，即2214m k =+时取得最大值由（ⅰ）知，ABQ ∆面积为3S ,所以ABQ ∆面积的最大值为21.解：（Ⅰ）由题意知，函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，2121()(21)11ax ax a f x a x x x +-+'=+-=++， 令2()21,(1,)g x ax ax a x =+-+∈-+∞，（1）当0a =时，()1g x =，此时()0f x '>，函数()f x 在(1,)-+∞单调递增，无极值点；（2）当0a >时，28(1)(98)a a a a a ∆=--=-， ①当809a <≤时，0∆≤，()0g x ≥， ()0f x '≥，函数()f x 在(1,)-+∞单调递增，无极值点； ②当89a >时，0∆>， 设方程2210ax ax a +-+=的两根为1212,()x x x x <， 因为1212x x +=-， 所以1211,44x x <->- 由(1)10g -=>，可得1114x -<<-， 所以当1(1,)x x ∈-时，()0,()0g x f x '>>，函数()f x 单调递增；当12(,)x x x ∈时，()0,()0g x f x '<>，函数()f x 单调递减； 当2(,)x x ∈+∞时，()0,()0g x f x '>>，函数()f x 单调递增； 因此函数()f x 有两个极值点。