北师大版数学九年级上册第一次月考试卷.
【河南省郑州市枫杨外国语中学】2014-2015学年 九年级上学期数学第一次月考试卷及试卷分析
一、 选择题（每小题3 分，共24 分） 1、矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A ．两组对边分别平行 B ．对角线相等 C ．对角线互相评分 D ．两组对角相等 2、在平面直角坐标系中，已知点 E （
4,2），F （2,2），
以原点O 为位似中心，相似比为1：2，把△EFO 缩小， 则点E 的对应点E ’的坐标是（ ）
A ．
2,1
B ．
8,4
C ．
8,4
或
8,
4
D ．
2,1或
2,1 3、关于x 的方程x x
1
x 的根是（ ） A ． x 1 x 2 1 B ． x 1 x 2
-1
C ． x 1
0, x 2
1 D ． x 1
-1, x2
4、“十一”期间，小明与小亮两家准备从少林寺、龙门、 云台山中选择一景点游玩，小明与小亮通过抽签方式确 定景点，则两家抽到同一景点的概率是（ ） A ．
31 B ．61 C ．91 D ． 4
1
1.【答案】B
【考点】特殊四边形的性质
2.【答案】D 【考点】位似
3.【答案】C
【考点】一元二次方程的解法
4.【答案】A 【考点】概率
5、晚上，站在路灯下的晶晶向远离路灯的方向走去，她
发现自己的身影（）
A．变长B．变短C．先变长后变短D．先变短后变长
6、关于x 的方程 a 5 x2 4x 1 0有实数根，则a 满足（）
A．a 1 B．a＞1且
a 5
C．a 1且a 5 D．a 5
7、如图，将△ABC 沿BC 方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED 为菱形的是（）
A．AB=BC B．AC=BC
C．∠B=60°D．∠ACB=60
8、正方形ABCD 与正五边形EFGHM 的边长相等，初始如图所示，将正方形绕点F 顺时针旋转使得BC 与FG 重合，再将正方形绕点G 顺时针旋转使得CD 与GH 重合…按这样的方式将正方形依次绕点H、M、E 旋转后，正方
形中与EF 重合的是（）
A．AB B．BC 5.【答案】A
【考点】相似三角形
6.【答案】A
【考点】一元二次方程的判别式
7.【答案】B
【考点】菱形的判定
8.【答案】B
【考点】旋转找规律
二、 填空题（每小题3 分，共21 分） 9、若2a
3b 4c ，且abc 0，则
b
c b
a 2-+的值是 -------． 10、关于x 的一元二次方程
) 2 a
1 x x
a 1
0的
一个根是0，则a 的值是------------ ．
11、从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感．某女老师上身长约61.80cm ，下身长约93.00cm ，她要穿约-------cm 的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到0.01cm ）．
12、如图， ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD=2DE ．若△DEF 的面积为a ，则ABCD 的面积为 ----------．（用a 的代数式表
示）．
13、如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC=1，CE=3，H 是AF 的中点，那么CH 的长是---------- ．
9.【答案】-2
【考点】一元二次方程的判别式
10.【答案】-1
【考点】一元二次方程的根
11.【答案】7
【考点】黄金分割点
12.【答案】12a
【考点】相似三角形的性质
13.【答案】5
【考点】直角三角形斜边
14、已知△ABC 的三边长如图所示AB=4，AC=3，BC=6，取AB 的中点P ，在AC 上再取一点Q ，使△APQ 与△ABC 相似，则AQ 的长为 ---------．
15、如图，矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且AE=
3
1
AB ，将矩形沿直线EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连接BP 交EF 于点Q ，对于下列结论：①EF=2BE ；②PF=2PE ；③FQ=4EQ ；④△PBF 是等边三角形．其中正确结论的序号是------- ．
三、解答题（本大题共8 小题，满分75 分） 16、（8 分）用配方法解方程：
x 1
2
x
3x
5 1
17、（9 分）已知关于x 的一元二次方程 x 2
(2k 1) x
k 2
2k
0有两个实数根 x 1 , x 2 ．
14.答案为
23 或3
8
【考点】相似三角形
15.【答案】5
【考点】折叠问题
16.【答案】
4
65471+-=x
4
65472--=x
【考点】配方法
18、（9 分）第十五届中国“西博会”将于2014 年10 月底在成都召开，现有20 名志愿者准备参加某分会场的工作，其中男生8 人，女生12 人．
（1）若从这20 人中随机选取一人作为联络员，求选到女生的概率；
（2）若该分会场的某项工作只在甲、乙两人中选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：
将四张牌面数字分别为2，3，4，5 的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2 张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请
用树状图或列表法说明理由．
19、（9 分）如图，路灯（P 点）距地面8 米，身高1.6 米的小明从距路灯的底部（O 点）20 米的A 点，沿OA 所在的直线行走14 米到B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
20、（9 分）“十一黄金周”神州旅行社为吸引游客组团
去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如
下收费标准（如图所示）：
21、（9 分）观察下列方程及其解的特征，并填空．x+x
1=2 的解为x 1=x 2=1，x+x 1=221的解为x 1=2，x 2=21，x+x 1=3
31
的解为x 1=3，x 2=3
1
……
（1）请猜想：关于x 的方程x+x 1=55
1
的解为----------------
（2）请猜想：关于x 的方程x+x 1=-----的解为x 1=a ，x 2=
a
1
（a
0）
（3）请猜想：方程x+
11+x =67
1
的解为 --------------------. 22、如图，在菱形ABCD 中，AB=4，∠ADN=60°，点E 是AD 边的中点，点M 是AB 边上一动点（不与点A 重合），延长ME 交射线CD 于点N ，连接MD 、AN ． （1）求证：四边形AMDN 是平行四边形；
（2）填空：①当BM 的值为----- 时，四边形AMDN 是矩形； ②当AM 的值为 -------时，四边形AMDN 是菱
21.答案 （1）5
1
,521=
=x x (2)x +x 1=a a
1
（a 0） (3)7
6
,621-==x x
【答案】（1）证明:
证明：∵四边新ABCD 是菱
形，
∴AB ∥CD ，
∴∠DNE=∠AME ，
∵点E 是AD 边的中点， ∴AE=DE ，
在△NDE 和△MAE 中， ∵∠DNE=∠AME
23、（12 分）在Rt△ABC，∠C=90°，D 为AB 边上一点，点M、N 分别在BC、AC 边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB 于点F，NE⊥AB 于点E．
（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D 为AB 中点，则DM= ------，AE= --------；
（2）拓展探究：若AC≠BC．
①如图2，若D 为AB 中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC 边上”改为“点M在线段CB 的延长线上”，其它条件不变，则AE 与DF 的数量关系是（请直接写出结果）．【答案】（1）DM=DN，AE=DF
（2）①AE=DF 仍成立DF kAE
【考点】三垂直相似。
北师大版九年级数学上册第一次月考试题卷(含答案)
九年级上期第一次质量检测数学试题（试题卷）（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填 在题后的括号中.1．若一个正方形的边长为4，则它的面积是（ ）A ．8B ．12C ．16 D. 202．线段d c b a 、、、是成比例线段，224===c b a 、、，则d 的长为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D. 4 3．一元二次方程092=-x 的根是（ ）A ．3B ．3±C ．9D ．9± 4．下列函数中，图象经过点)2 1(-，的是（ ） A ．x y 1=B ．x y 1-=C ．xy 2= D. x y 2-=5．如图，要使平行四边形ABCD 成为矩形，需添加 的条件是（ ）A ．BC AB = B ．BD AC ⊥C ．︒=∠90ABCD ．21∠=∠6．用配方法解方程122=-x x 时，配方后所得的方程为（ ）A ．0)1(2=+x B ．0)1(2=-x C ．2)1(2=+x D ．2)1(2=-x 7．已知点) 2(1y A ，-，) 1(2y B ，-和) 3(3y C ，都在反比例函数xy 3=的图象上，则321y y y 、、的大小关系是（ ）A ．321y y y <<B ．123y y y <<C ．312y y y <<D ．231y y y <<D5题图8. 如图,小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒 的长度为cm 15，他准备了一支长为cm 20的蜡 烛，想要得到高度为cm 4的像，蜡烛与纸筒的 距离应该为（ ）A ．cm 60B ． cm 65C ．cm 70D ． cm 759. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ， AB OE ⊥，垂足为E ，若︒=∠130ADC ，则AOE ∠ 的大小是（ ）A ．︒75B ．︒65C ．︒55D ．︒5010．新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元，销售价为2900元，平均每天能售出8台；调查发现，当销售价每降低50元，平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱应该降价多少元？若设每台冰箱降价x 元，根据题意可列方程( )A ．5000)5048)(2900(=⨯+-x x B ．5000)5048)(400(=⨯+-xx C . 5000)508)(2900(4=+-x x D . 5000)508)(400(4=+-xx11．如图，小宋作出了边长为2的第一个正方形1111D C B A ，算出了它的面积.然后分别取正方形1111D C B A 四边的中 点2222D C B A 、、、 作出了第二个正方形2222D C B A ，算出了它的面积.用同样的方法，作出了第三个正方形 3333D C B A ，算出了它的面积……，由此可得，第六个 正方形6666D C B A 的面积是 ( )A ．5)21(4⨯ B ．6)21(4⨯ C . 5)41(4⨯ D . 6)41(4⨯ 12．如图，正方形ABCD 位于第一象限，22=AC ， 顶点C A 、在直线x y =上，且A 的横坐标为1，若 双曲线)0(≠=k xky 与正方形ABCD 有交点，则k 的取值范围是( )A ．10≤<k 或6≥kB ．61≤≤kC ．91≤≤kD ．10≤<k 或9≥kD 3C 3B 3A 3D 2C 2B 2A 2C 1D 1B 1A 1EO D ABC12题图8题图9题图11题图xy 1BC OA D二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将答案填在题后的横线上.13．一元二次方程0242=+-x x 的常数项是__________；14．已知23==d c b a ，（0≠+d b ），则=++db ca ；15．如图，点B 在反比例函数xy 2=（)0>x 的图象上，过点B 向x 轴作垂线，垂足为A ，连接OB ，则OAB ∆的面积 为__________；16．如图，在矩形ABCD 中，点F E 、分别是CD AB 、的中 点，连接DE 和BF ，分别取BF DE 、的中点N M 、， 连接MN CN AM 、、.若3=AB ，52=BC ，则图 中阴影部分的面积为___________；17．从3211 3---、、、、这五个数中，取一个数作为函数xk y 2-=和关于x 的方程 012)1(2=+++kx x k 中k 的值，恰好使所得函数的图象经过第二、四象限，且方程有实根，满足要求的k 的值共有__________个； 18. 如图，正方形OABC 的顶点O 是坐标原点，顶点A 在x 轴的正半轴上，3=OA ，点D 是BC 边的中点，连接OD ，点E 在OC 上且1:2:=OE CE ，过点E 作EF ∥OA 交OD 于点G ，交AB 于点F ，连接DF ，过点G 作DF GH ⊥，垂 足为H ，若BC 边上有一点P 与点H 在同一反比例函数的 图象上，则点P 的坐标为_____________；xy H GD AOBC EF216题图18题图三、解答题：（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤. 19．已知：53233=--b a a b ，求ba的值．20．如图，E D 、分别是ABC ∆的边AC 、AB 上的点，6=AE ，10=AC ，15=BC ，且53=AB AD ，求DE 的长．四、解答题：（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.21. 解方程：（1）0222=--x x （2）03832=-+x xABC D E 20题图22．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与DB 相交于点O ，过点C 作CP ∥DB ,过点B 作BP ∥AC ，两线相交于点P . 求证：四边形COBP 是菱形．23．如图，反比例函数xky=与一次函数b ax y +=的图象都经过第二象限的 点)2 4(，-A 与第四象限的点)4 (-，m B ，且一次函数的图象交x 轴于点C ， 交y 轴于点D ．（1）求反比例函数xky=和一次函数b ax y +=的关系式； （2）求AOB ∆的面积．23题图O P A B CD 22题图24．如图，在□ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，BE 平分ABC ∠且交AD 于点P ，交CD 的延长线于点E ；作EO 交AD 于点F ，交BC 于点G ． （1）求证：BG DF =； （2）若6AB ，9=AD ，求DF 的长.24题图A五、解答题：（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤. 25．如图，用长为cm 40的细铁丝围成一个矩形ABCD （AD AB >）．（1）若这个矩形的面积等于299cm ，求AB 的长度；（2）这个矩形的面积可能等于2101cm 吗？若能，求出AB 的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（AD 与AB 之比等于黄金比215-），求该矩形的面积．（结果保留根号）40cm26. 如图，在菱形ABCD 中，︒=∠120D ，8=AB ，点M 从A 开始，以每秒1个单位的速度向点B 运动；点N 从C 出发，沿C →D →A 方向，以每秒2个单位的速度向点A 运动，若M 、N 同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒，过点N 作DC NQ ⊥，交AC 于点Q ． （1）当t ＝2 时，求线段NQ 的长；（2）设AMQ ∆的面积为S ，直接写出S 与t 的函数关系式及t 的取值范围； （3）在点M 、N 运动过程中，是否存在t 值，使得AMQ ∆为等腰三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．九年级上期第一次质量检测CDAB（备用图）QN CDAB M（26题图）CDAB（备用图）数学试题（试题卷）（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填 在题后的括号中.1．若一个正方形的边长为4，则它的面积是（ C ）A ．8B ．12C ．16 D. 202．线段d c b a 、、、是成比例线段，224===c b a 、、，则d 的长为（ A ） A ．1 B ．2 C ．3 D. 4 3．一元二次方程092=-x 的根是（ B ）A ．3B ．3±C ．9D ．9± 4．下列函数中，图象经过点)2 1(-，的是（ D ） A ．x y 1=B ．x y 1-=C ．xy 2= D. x y 2-=5．如图，要使平行四边形ABCD 成为矩形，需添加 的条件是（ C ）A ．BC AB = B ．BD AC ⊥ C ．︒=∠90ABCD ．21∠=∠6．用配方法解方程122=-x x 时，配方后所得的方程为（ D ）A ．0)1(2=+x B ．0)1(2=-x C ．2)1(2=+x D ．2)1(2=-x 7．已知点) 2(1y A ，-，) 1(2y B ，-和) 3(3y C ，都在反比例函数xy 3=的图象上，则321y y y 、、的大小关系是（ C ）A ．321y y y <<B ．123y y y <<C ．312y y y <<D ．231y y y <<8. 如图,小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒21BACD5题图的长度为cm 15，他准备了一支长为cm 20的蜡 烛，想要得到高度为cm 4的像，蜡烛与纸筒的 距离应该为（ D ）A ．cm 60B ． cm 65C ．cm 70D ． cm 759. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ， AB OE ⊥，垂足为E ，若︒=∠130ADC ，则AOE ∠ 的大小是（ B ）A ．︒75B ．︒65C ．︒55D ．︒5010．新华商场销售某种冰箱，每台进价为2500元，销售价为2900元，平均每天能售出8台；调查发现，当销售价每降低50元，平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱应该降价多少元？若设每台冰箱降价x 元，根据题意可列方程( B )A ．5000)5048)(2900(=⨯+-x x B ．5000)5048)(400(=⨯+-xx C . 5000)508)(2900(4=+-x x D . 5000)508)(400(4=+-xx11．如图，小宋作出了边长为2的第一个正方形1111D C B A ，算出了它的面积.然后分别取正方形1111D C B A 四边的中 点2222D C B A 、、、 作出了第二个正方形2222D C B A ，算出了它的面积.用同样的方法，作出了第三个正方形 3333D C B A ，算出了它的面积……，由此可得，第六个 正方形6666D C B A 的面积是 ( A )A ．5)21(4⨯ B ．6)21(4⨯ C . 5)41(4⨯ D . 6)41(4⨯ 12．如图，正方形ABCD 位于第一象限，22=AC ， 顶点C A 、在直线x y =上，且A 的横坐标为1，若 双曲线)0(≠=k xky 与正方形ABCD 有交点，则k 的取值范围是( C )A ．10≤<k 或6≥kB ．61≤≤kC ．91≤≤kD ．10≤<k 或9≥k二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将答案填C 22A C 11B A 1C12题图8题图9题图11题图xy 1BC OA D。
九年级数学第一次月考卷(北师大版)(全解全析)【测试范围：第一章~第三章】A4版
2024-2025学年九年级数学上学期第一次月考卷基础知识达标测（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．测试范围：第一章~第三章（北师大版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单选题1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（）．A．1+x=2B．x2―2y=0xC．x2+2x=x2―1D．x2=0【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐项分析判断即可求解．+x=2，是分式方程，不是一元二次方程；故该选项不符合题意；【详解】解：A．1xB．x2―2y=0，含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；C．x2+2x=x2―1，化简后为：2x+1=0，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；D．x2=0，是一元二次方程，故该选项符合题意；故选D．2．下列事件中，属于必然事件的是（）A．打开电视，正在播放跳水比赛B．一个不透明的袋子中装有3个红球和1个白球，除颜色外，这些球无其他差别，随机摸出两个球，至少有一个是红球C．抛掷两枚质地均匀的骰子，点数和为6D．一个多边形的内角和为600°【答案】B【分析】本题考查事件的分类，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，由此对每一项进行分析即可．【详解】A，打开电视，可能播放跳水比赛，也可能不播放，因此该事件是随机事件；B，一个不透明的袋子中装有3个红球和1个白球，除颜色外，这些球无其他差别，随机摸出两个球，可能是2个红球，也可能是1个红球和1个白球，因此至少有一个是红球，该事件是必然事件；C，抛掷两枚质地均匀的骰子，点数和为可能是6，也可能不是6，因此该事件是随机事件；D，设一个n边形的内角和为600°，则(n―2)⋅180°=600°，解得n=16，不是整数，因此这种情3况不存在，该事件是不可能事件；故选B．3．下列命题是假命题的是（）A．有一组邻边相等的矩形是正方形B．有一组邻边相等的四边形是平行四边形C．有三个角是直角的四边形是矩形D．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形【答案】B【分析】根据正方形的判定、平行四边形的判定、矩形和菱形的判定判断即可．【详解】解：A、有一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题；B、有一组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，如筝形，原命题是假命题；C、有三个角是直角的四边形是矩形，是真命题；D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题；故选：B．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，主要包括平行四边形的判定和特殊平行四边形的判定．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．4．已知m是方程x2―x―4=0的一个根，则―2m2+2m的值为（）A．4B．―4C．8D．―8【答案】D【分析】根据一元二次方程的根的定义，可知m2―m=4，然后整体代入求值即可．【详解】解：∵m是方程x2―x―4=0的一个根，∴m2―m―4=0，整理，可得m2―m=4，∴―2m2+2m=―2(m2―m)=―2×4=―8．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及代数式求值，理解一元二次方程的根的定义是解题关键．5．某农机厂4月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个，设该厂5，6月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A．50(1―x)2=182B．50+50(1+x)+50(1+x)2=182C．50(1+2x)=182D．50+50(1+x)+50(1+2x)=182【答案】B【分析】本题主要考查一元二次方程的增长率问题，根据题意分别表示出五月份，六月份生产零件的量，最后相加列出等式即可．【详解】解：根据题意，该厂五月份生产零件为：50(1+x)，则该厂六月份生产零件为：50(1+x)(1+x)=50(1+x)2，故该厂第二季度共生产零件为：50+50(1+x)+50(1+x)2=182．故选：B6．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被凃黑，再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑，则三个被涂黑的小正方形能构成轴对称图形的概率是（）A．17B．37C．47D．57【答案】B【分析】本题考查了概率公式，轴对称图形，熟记概率公式和能识别轴对称图形是解题的关键．分别将7个空白处涂黑，判断出所得图案是轴对称图形的个数，再根据概率公式进行计算．【详解】解：如图①②③任意一处涂黑时，图案为轴对称图形，∵共有7个空白处，将①②③处任意一处涂黑，图案为轴对称图形，共3处，∴构成轴对称图形的概率是3，7故选：B7．若1和―1有一个是关于x的方程x2+bx+a=0的根，则一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有两个实数根D．没有实数根【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程的根的判别式．熟练掌握：当Δ=0时，一由(a+1)x2+2bx+(a+1)=0，可知Δ=4b2―4(a+1)2，由题意，当1是方程的根时，b=―(1+a)，则Δ=0，此时，方程有两个相等的实数根；当―1是方程的根时，b=1+a，则Δ=0，此时，方程有两个相等的实数根；然后作答即可．【详解】解：∵(a+1)x2+2bx+(a+1)=0，∴Δ=4b2―4(a+1)2，∵1和―1有一个是关于x的方程x2+bx+a=0的根，当1是方程的根时，则1+b+a=0，解得，b=―(1+a)，∴Δ=4b2―4(a+1)2=4[―(1+a)]2―4(a+1)2=0，此时，方程有两个相等的实数根；当―1是方程的根时，则1―b+a=0，解得，b=1+a，∴Δ=4b2―4(a+1)2=4(1+a)2―4(a+1)2=0，此时，方程有两个相等的实数根；综上，方程有两个相等的实数根，故选：B．8．如图，菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为1，2，―2，―1，BC∥x轴，将菱形ABCD平移，使点B与原点O重合，则平移后点D的对应点的坐标为（）A．3―1，2B．2,3)C．+1,2)D．+3,3)【答案】D【分析】本题考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理以及平移等知识，先利用勾股定理求出AB，然后利用菱形的性质求出点D的坐标，最后利用平移的性质求解即可．【详解】解∶∵A，B的坐标分别为1，2，―2，―1，∴AB==∵菱形ABCD，∴AD=AB=AD∥BC，又BC∥x轴，∴AD∥x轴，∴D的坐标为(1+，∵菱形ABCD平移，使点B与原点O重合，∴菱形ABCD向右平移2个单位，向上平移1个单位，∴平移后点D的对应点的坐标为3,3)，故选∶D．9．如图，在平行四边形ABCD中，∠C=135°，AB=2，AD=3，点H，G分别是CD，BC上的动点，连接AH，GH．E，F分别为AH，GH的中点，则EF的最小值是（ ）A．2B C D．【答案】C【分析】作AQ⊥BC，根据中位线定理可推出EF=12AG，进一步可得当AG⊥BC时，AG有最小值，此时EF的值也最小．据此即可求解．【详解】解：作AQ⊥BC，如图：∵E，F分别为AH，GH的中点∴EF=12AG故：当AG⊥BC时，AG有最小值，此时EF的值也最小∴EF的最小值是12AQ∵∠C=135°,AB=2∴∠B=180°―135°=45°∴AQ=AB×sin45°=∴EF故选：C【点睛】本题考查了中位线定理、平行四边形的性质、解直角三角形等．掌握相关结论即可．10．对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：①若a―b+c=0，则b2―4ac≥0；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2―4ac=(2ax0+b)2；⑤若方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根为x1,x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2+bx+a=0(c≠0)，必有实数根1x1，1x2．其中，正确的是（ ）A．②④⑤B．②③⑤C．①②③④⑤D．①②④⑤【答案】D【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根，则Δ=b2―4ac>0；有两个相等的实数根，则Δ=b2―4ac=0；没有实数根，则Δ=b2―4ac<0；若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2，则x1+x2=―ba ,x1·x2=ca．【详解】解：①若a―b+c=0，则x=―1是一元二次方程ax2+bx+c=0的解∴Δ=b2―4ac≥0，故①正确；②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实数根∴Δ=―4ac>0∴b2―4ac≥4ac>0∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根∴ac2+bc+c=0当c=0时，无法得出ac+b+1=0，故③错误；④∵x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根∴x0=∴±=2ax0+b∴b2―4ac=(2ax0+b)2，故④正确；⑤∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根为x1,x2∴x1+x2=―ba ,x1·x2=ca∴b=―a(x1+x2),c=ax1x2∴方程cx2+bx+a=0(c≠0)可化为：ax1x2x2―a(x1+x2)x+a=0(c≠0)即：x1x2x2―(x1+x2)x+1=0∴(x1x―1)(x2x―1)=0∴x=1x1或x=1x2，故⑤正确；综上分析可知，正确的是①②④⑤．故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．熟记相关结论是解题关键．第II卷（非选择题）二、填空题11．已知关于x的一元二次方程(m―2)x2―2x+1=0有实数根，则实数m的取值范围是．【答案】m≤3且m≠2【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，根据一元二次方程的定义及根的判别式可得，解不等式即可求解，掌握一元二次方程的定义及根的判别式与根的关系是解题的关键．【详解】解：由题意得，Δ=(―2)2―4(m―2)×1=12―4m≥0，且m―2≠0，∴m≤3且m≠2．12．在一个不透明的盒子中装有6个红球、若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是红球的概率为23，则盒子中黑球的个数为．【答案】3【分析】设黑球的个数为x个，根据概率的求法得：66+x =23，解方程即可求出黑球的个数．【详解】解：设黑球的个数为x个根据题意得：66+x =23解得：x＝3经检验：x＝3是原分式方程的解∴黑球的个数为3故答案为：3．【点睛】本题考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．13．把关于x的一元二次方程x²―8x+c=0配方，得(x―m)²=11，则c+m=．【答案】9【分析】本题考查了配方法解一元二次方程；把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数8的一半的平方得(x―4)2=16―c，进而得出c=5,m=4，即可求解．【详解】解：x2―8x+c=0配方，得(x―4)2=16―c∴m=4，16―c=11∴c=5∴c+m=9，故答案为：9．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且Rt△ABC的周长是12cm，斜边上的中线CD长为52cm，则S△ABC=．【答案】6cm2【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD=5cm，再利用勾股定理可得AC2 +BC2=25cm2，利用三角形的周长公式可得AC+BC=7cm，然后利用完全平方公式可得AC⋅BC的值，最后利用三角形的面积公式求解即可得．cm，【详解】解：∵在Rt△ABC中，斜边上的中线CD长为52∴AB=2CD=5cm，∴AC2+BC2=AB2=25(cm2)，∵Rt△ABC的周长是12cm，∴AC+BC+AB=AC+BC+5=12，∴AC+BC=7(cm)，×(72―25)=12(cm2)，∴AC⋅BC=AC+BC)2―(AC2+BC2)=12AC⋅BC=6cm2，则S△ABC=12故答案为：6cm2．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、完全平方公式等知识点，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．15．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3．P是射线AB上一动点，将矩形ABCD沿着PD对折，点A的对应点为A′．当P，A′，C三点在同一直线上时，则AP的长．【答案】4±【分析】分类讨论：当点P在AB上时，由折叠的性质得AD=A′D=3，AP=A′P，∠A=∠DA′P=90°，利用勾股定理求得A′C=AP=A′P=x，则PB=4―x，PC=x+定理列方程求解即可；当点P在AB的延长线上时，由折叠的性质得∠A=∠A′=90°，AP=A′P，AD=A′D=3，利用勾股定理求得A′C=AP=A′P=a，则CP=a―BP=a―4，利用勾股定理列方程求解即可．【详解】解：如图，当点P在AB上时，由折叠的性质得，AD=A′D=3，AP=A′P，∠A=∠DA′P=90°，∴∠DA′C=90°，在Rt△DA′C中，A′C==设AP=A′P=x，则PB=4―x，PC=x+在Rt△BCP中，BC2+BP2=PC2，即32+(4―x)2=(x+2，解得x=4―∴AP=4―如图，当点P在AB的延长线上时，由折叠的性质得，∠A=∠A′=90°，AP=A′P，AD=A′D=3，在Rt△A′DC中，A′C==设AP=A′P=a，则CP=a―BP=a―4，在Rt△BCP中，BC2+BP2=CP2，即32+(a―4)2=(a―2，解得a=4+综上所述，AP=±+4，故答案为：4±【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、解一元一次方程，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．16．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图所示放置，点A1，A2，A3，…，在直线y=x+2上，点C1，C2，C3，…在x轴上，则B2023的坐标是．【答案】(22024―2,22023)【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质可得出B1，B2，B3，……，的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律，再代入n=2023即可得出结论．【详解】解：∵直线y=x+2，当x=0时，y=2，∴A1的坐标为(0,2)．∵四边形A1B1C1O为正方形，∴B1的坐标为(2,2)，C1的坐标为(2,0)．当x=2时，y=4，∴A2的坐标为(2,4)，∵四边形A2B2C2C1为正方形，∴B2的坐标为(6,4)，C2的坐标为(6,0)．同理，可知：B3的坐标为(14,8)，……，∴B n的坐标为(2n+1―2，2n)(n为整数），∴点B2023的坐标是(22024―2，22023)．故答案为：(22024―2,22023)．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质及规律型，解题的关键是根据点的坐标的变化找出变化规律．三、解答题17．解方程：(1)x2―4x―1=0．(2) x(x―1)+2=2x【答案】(1)x1=2+2=2―(2)x1=2,x2=1【分析】（1）利用配方法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）x2―4x―1=0x2―4x=1x2―4x+4=1+4(x―2)2=5x―2=±x1=2x2=2―（2）x(x―1)+2=2xx(x―1)+2―2x=0x(x―1)―2(x―1)=0(x―2)(x―1)=0x1=2,x2=1【点睛】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法是解题的关键．18．小明的手机没电了，现有一个只含A，B，C，D四个同型号插座的插线板（如图，假设每个插座都适合所有的充电插头，且被选中的可能性相同），请计算：(1)若小明随机选择一个插座插入，则插入插座C的概率为______；(2)现小明同时对手机和学习机两种电器充电，请用列表或画树状图的方法计算两种电器插在不相邻的插座的概率．【答案】(1)14(2)12【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．（1）直接利用概率公式计算；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两个插头插在不相邻插座的结果数，然后根据概率公式计算．【详解】（1）小明随机选择一个插座插入，则插入A 的概率=14；故答案为：14；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两个插头插在不相邻插座的结果数为6，所以两个插头插在不相邻插座的概率=612=12．19．如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC 上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图），设花圃垂直于墙的边AB 长为x 米．(1)用含x 的代数式表示BC ；(2)当AB 为多少米时，所围成花圃面积为105平方米？【答案】(1)(36―3x )米(2)当AB 为7米时，所围成花圃面积为105平方米【分析】（1）用绳子的总长减去三个AB 的长，然后加上两个门的长即可表示出BC ；（2）由（1）得花圃长BC=36―3x，宽为x，然后再根据面积为105，列一元二次方程方程解答即可．【详解】（1）解：设花圃垂直于墙的边AB长为x米，则长BC=34―3x+2=36―3x（米）故答案为：(36―3x)；（2）由题意可得：(36―3x)x=105解得：x1=5,x2=7∵当AB=5时，BC=36―3×5=21>20，不符合题意，故舍去；当AB=7时，BC=36―3×7=15<20，符合题意，∴AB=7（米）．答：当AB为7米时，所围成花圃面积为105平方米．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，弄清题意、用x表示出BC是解答本题的关键．20．已知关于x的一元二次方程x2+6x―m2=0．(1)求证：该方程有两个不相等的实数根；(2)若该方程的两个实数根x1，x2满足x1+2x2=―5，求m的值．【答案】(1)见解析(2)m=±【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，代入计算即可解答；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，求得x1，x2，再将其代入求得m的值即可．【详解】（1）证明：∵在方程x2+6x―m2=0中，Δ=62―4×1×(―m2)=36+4m2>0，∴该方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵该方程的两个实数根分别为x1，x2，∴x1+x2=―6①，x1⋅x2=―m2②．∵x1+2x2=―5③，∴联立①③，解得x1=―7，x2=1．∴x1⋅x2=―7=―m2，解得m=±【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知相关公式是解题的关键．21．如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE 于点F，连接AE、CF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若CF=2，∠FAC=30°，∠B=45°，求AB的长．【答案】(1)见解析(2)AB=【分析】（1）由题意可得△AFD≌△CED(AAS)，则AF=EC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形AECF是平行四边形；又EF垂直平分AC，根据垂直平分线的性质可得AF=CF，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得结论；（2）过点A作AG⊥BC于点G，根据题意可得∠AEG=60°，AE=2，则BG=AG=AB=BG=【详解】（1）证明：在△ABC中，点D是AC的中点，∴AD=DC，∵AF∥BC，∴∠FAD=∠ECD，∠AFD=∠CED，∴△AFD≌△CED(AAS)，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形，又EF⊥AC，点D是AC的中点，即EF垂直平分AC，∴平行四边形AECF是菱形．（2）解：如图，过点A作AG⊥BC于点G，由（1）知四边形AECF是菱形，又CF=2，∠FAC=30°，∴AF∥EC，AE=CF=2，∠FAE=2∠FAC=60°，∴∠AEB=∠FAE=60°，∵AG⊥BC，∴∠AGB=∠AGE=90°，∴∠GAE=30°，AE=1，AG==∴GE=12∵∠B=45°，∴∠GAB=∠B=45°，∴BG=AG=∴AB==．【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定，含30°角的直角三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质与判定等内容，根据45°，30°等特殊角作出正确的垂线是解题关键．22．如图，在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，点P在BC上从B运动到C（不包括C），速度为2cm/s；点Q在AC上从C运动到A（不包括A），速度为5cm/s．若点P，Q分别从B，C同时出发，当P，Q两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题，并写出探索的主要过程．(1)当t为何值时，P，Q两点的距离为？(2)当t 为何值时，△PCQ 的面积为15cm 2【答案】(1)经过1秒，P ，Q 两点的距离为(2)经过1.5秒或2秒，△PCQ 的面积为15cm 2【分析】本题考查一元二次方程的应用，勾股定理．熟练掌握勾股定理，列出一元二次方程，是解题的关键．（1）设经过t 秒，P ，Q 两点的距离为，勾股定理列式求解即可；（2）利用S △PCQ =12PC ⋅CQ ，列式计算即可．【详解】（1）解：设经过t 秒，P ，Q 两点的距离为，由题意，得：BP =2t cm ,CQ =5t cm ，∵在Rt △ABC 中，AC =24cm ，BC =7cm ，∴CP =BC ―BP =(7―2t )cm ，由勾股定理，得：CP 2+CQ 2=PQ 2，即：(7―2t )2+(5t )2=2，解得：t 1=1，t 2=―129（舍去）；∴经过1秒，P ，Q 两点的距离为；（2）解：设经过t 秒，△PCQ 的面积为15cm 2，此时：BP =2t cm ,CQ =5t cm ，则：CP =BC ―BP =(7―2t )cm ，∴S △PCQ =12PC ⋅CQ =12(7―2t )⋅5t =15，解得：t 1=2,t 2=1.5，∴经过1.5秒或2秒，△PCQ 的面积为15cm 2．23．暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．(销售利润=销售总额-进货成本)(1)若该纪念品的销售单价为45元时则当天销售量为 件．(2)当该纪念品的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元．(3)该纪念品的当天销售利润有可能达到3700元吗?若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．【答案】(1)230(2)59元或39元(3)不可能达到3700元，理由见解析【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系是解题的关键，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）根据当天销售量=280―10×增加的销售单价，即可得到答案；（2）设该纪念品的销售单价为x元，则当天的销售利润为[280―(x―10)×10]件，列出一元二次方程即可得到答案；（3）设该纪念品的销售单价为y元，则当天的销售利润为[280―(y―10)×10]件，列出一元二次方程根据根的判别式判断即可．【详解】（1）解：280―(45―40)×10=230（件），故答案为：230；（2）解：设该纪念品的销售单价为x元，则当天的销售利润为[280―(x―10)×10]件，依题意得(x―30)[280―(x―40)×10]=2610，整理得x2―98x+2301=0，整理解得x1=39，x2=59，答：当该纪念品的销售单价定价为59元或39元时，该产品的当天销售利润是2610元．（3）解：不能，理由如下：设该纪念品的销售单价为y元，则当天的销售利润为[280―(y―10)×10]件，依题意得(y―30)[280―(y―40)×10]=2610，整理得y2―98y+2410=0，∵Δ=(―98)2―4×1×2410=―36<0，故该方程没有实数根，即该纪念品的当天利润不可能达到3700元．24．如图，正方形ABCD中，点P是线段BD上的动点．(1)当PE⊥AP交BC于E时，①如图1，求证：PA=PE．②如图2，连接AC 交BD 于点O ，交PE 于点F ，试探究线段PA 2、PO 2、PF 2之间用等号连接的数量关系，并说明理由；(2)如图3，已知M 为BC 的中点，PQ 为对角线BD 上一条定长线段，若正方形边长为4，随着P 的运动，CP +QM 的最小值为PQ 的长．【答案】(1)①见解析；②PO 2⋅(PA 2+PF 2)=PA 2⋅PF 2【分析】（1）①连接PC ，根据SAS 证明△ABP≌△CBP (SAS)，得到PA =PC ，∠BAP =∠BCP ，再求出∠BAP +∠BEP =180°，进一步证明∠BCP =∠PEC 得到PC =PE ，等量代换可得结果；②先根据PE ⊥AP 得到S △APF =12PO ⋅AF =12PA ⋅PF ，得到PO 2⋅AF 2=PA 2⋅PF 2，结合勾股定理得到PO 2⋅(PA 2+PF 2)=PA 2⋅PF 2；（2）连接AC 交BD 于点O ，先根据正方形的性质得到AC ⊥BD ，BO =CO =P 与点O 重合时，CP 的最小值，QM 的最小值，以及此时QM ⊥BD ，QM∥AC ，最后根据M 为BC 中点得到Q 为BO 中点，即可求解．【详解】（1）解：①如图1，连接PC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC ，∠ABC =90°，∠ABD =∠CBD =45°，在△ABP 和△CBP 中，AB =BC ∠ABD =∠CBD BP =BP，∴△ABP≌△CBP (SAS)，∴PA =PC ，∠BAP =∠BCP，∵PE ⊥AP ，∴∠APE =90°，又∠BAP +∠BEP +∠ABC +∠APE =360°，∴∠BAP +∠BEP =180°，∵∠PEC +∠BEP =180°，∴∠BAP =∠PEC ，∴∠BCP =∠PEC ，∴PC =PE ，∴PA =PE ；②如图，PO 2⋅(PA 2+PF 2)=PA 2⋅PF 2，理由是：∵PE ⊥AP ，∴PA 2+PF 2=AF 2，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∵S △APF =12PO ⋅AF =12PA ⋅PF ，∴PO 2⋅AF 2=PA 2⋅PF 2，∴PO 2⋅(PA 2+PF 2)=PA 2⋅PF 2；（2）如图，连接AC 交BD 于点O ，∵四边形ABCD 是正方形，边长为4，∴AC ⊥BD ，BO =CO ==∴当点P 与点O 重合时，CP 的最小值为CO =∵CP +QM 的最小值为∴QM ∴当点P 与点O 重合时，QM ⊥BD ，如图，∴QM∥AC ，∵M 为BC 中点，∴Q 为BO 中点，∴PQ =12BO =12×=。
北师大版2022-2023学年九年级数学上册第一次月考测试题(附答案)
2022-2023学年九年级数学上册第一次月考测试题（附答案）一、单项选择题（共18分）1．关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，则（）A．a＞1B．a＝1C．a≠1D．a≥02．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AD边的中点，AB＝6，则OE的长为（）A．2B．3C．6D．123．下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．邻边相等的矩形是正方形C．对角线相等的平行四边形是正方形D．有一个内角是直角的四边形是矩形4．已知m是一元二次方程x2+4x﹣1011＝0的一个根，则2m2+8m+1的值是（）A．﹣2022B．﹣2023C．2022D．20235．如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为E，OE＝CE，则BC的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm D．2cm6．已知关于x的一元二次方程（p+1）x2+2qx+（p+1）＝0（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（）A．1可能是方程x2+qx+p＝0的根B．﹣1可能是方程x2+qx+p＝0的根C．0可能是方程x2+qx+p＝0的根D．1和﹣1都是方程x2+qx+p＝0的根二、填空题（共18分）7．方程2x 2+3x ﹣4＝0的二次项系数为 ．8．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝40°，则∠CBD 的度数为 ．9．关于x 的一元二次方程x 2+4x +m ＝0有两个相等的实数根，则m 的值为 ． 10．观察表格，一元二次方程x 2﹣x ﹣1.1＝0的一个解的取值范围是 ．x 1.31.41.51.61.7 1.8 1.9 x 2﹣x ﹣1.1﹣0.71 ﹣0.54 ﹣0.35 ﹣0.140.090.340.6111．边长为2的一个正方形和一个等边三角形按如图所示的方式摆放，则△ABC 的面积为 ．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，OA ＝2，OC ＝4，对角线AC 的垂直平分线交AB 于点E ，交AC 于点D ．若y 轴上有一点P （不与点C 重合），能使△AEP 是以AE 为腰的等腰三角形，则点P 的坐标为 ．三、解答题（共30分）13．如图，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，O 是线段AC 的中点，求证：OB ＝OD ．14．解方程：x2﹣4x+3＝0．15．以下是某同学解方程x2﹣3x＝﹣2x+6的过程：解：方程两边因式分解，得x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3），①方程两边同除以（x﹣3），得x＝﹣2，②∴原方程的解为x＝﹣2．③（1）上面的运算过程第步出现了错误．（2）请你写出正确的解答过程．16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接EC，求证：四边形BECO是矩形．17．如图，在正方形ABCD中，E是AB的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留画图痕迹）（1）如图1，作正方形ABCD的一条对称轴，且该对称轴与AD平行．（2）如图2，在AD上找一点F，使得CF⊥DE．18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣k﹣2＝0．（1）求证：无论k为何值，方程都有两个不相等的实数根．（2）若方程有一个根为﹣2，求k的值．四、解答题（共24分）19．如图，一矩形草坪的长为25米，宽为12米，在草坪上有两条互相垂直且宽度相等的矩形小路（阴影部分），非阴影部分的面积是230平方米．（1）求小路的宽．（2）每平方米小路的建设费用为200元，求修建两条小路的总费用．20．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC＝2AB，BE∥AC，OE∥AB．（1）求证：四边形ABEO是菱形．（2）若AC＝4，BD＝8，求四边形ABEO的面积．21．阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：x2﹣3|x|﹣10＝0．解：分两种情况：①当x≥0时，原方程化为x2﹣3x﹣10＝0，解得x1＝5，x2＝﹣2（舍去）；②当x＜0时，原方程化为x2+3x﹣10＝0，解得x3＝﹣5，x4＝2（舍去）．综上所述，原方程的解是x1＝5，x2＝﹣5．请参照上述方法解方程x2﹣|x+1|﹣1＝0．五、解答题（共18分）22．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0经过适当变形，可以写成（x﹣s）（x﹣t）＝p（s≤t）的形式．现列表探究x2﹣4x﹣5＝0的变形：变形s t p（x+1）（x﹣5）＝0﹣150x（x﹣4）＝5045（x﹣1）（x﹣q）＝81q8（x﹣2）2＝9229回答下列问题：（1）表格中q的值为．（2）观察上述探究过程，表格中s与t满足的等量关系为．（3）记x2+bx+c＝0的两个变形为（x﹣s1）（x﹣t1）＝p1和（x﹣s2）（x﹣t2）＝p2（p1≠p2），求的值．23．如图1，在正方形ABCD中，O是对角线的交点，P是线段AO上任一点（不与点A，O重合），过点P作PE⊥PB，PE交边CD于点E．（1）∠PCE的度数为．（2）求证：PB＝PE．（3）如图2，若正方形ABCD的边长为4，过点E作EF⊥AC于点F，在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不发生变化，直接写出这个不变的值；若发生变化，请说明理由．六、解答题（本大题共12分）24．课本再现：（1）下图所示的是北师大版九年级上册数学课本上的一道题：※5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E．F求PE+PF的值．如图1，连接PO，利用△P AO与△PDO的面积之和是矩形面积的，可求出PE+PF的值，请你写出求解过程．知识应用：（2）如图，在矩形ABCD中，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C'处．①如图2，P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线BM，BC的垂线，垂足分别为E和F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEGF，若DM＝13，CN＝5，求平行四边形PEGF的周长．②如图3，当点P在线段MN的延长线上运动时，若DM＝m，CN＝n．请用含m，n的式子直接写出GF与GE之间的数量关系．参考答案一、单项选择题（共18分）1．解：由题意得：a﹣1≠0，解得：a≠1，故选：C．2．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB＝AD＝6，∵点E是AD的中点，∴OE＝AD＝3，故选：B．3．解：A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以A选项不符合题意；B．邻边相等的矩形是正方形，所以B选项符合题意；C．对角线相等的平行四边形是矩形，所以C选项不符合题意；D．有一个内角是直角的平行四边形是矩形，所以D选项不符合题意．故选：B．4．解：∵m为一元二次方程x2+4x﹣1011＝0的一个根．∴m2+4m﹣1011＝0，即m2+4m＝1011，∴2m2+4m+1＝2（m2+4m）+1＝2×1011+1＝2023．故选：D．5．解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，CD＝AB＝2cm，∴OA＝OD＝OC，∵DE⊥AC，OE＝CE，∴∠DEA＝90°，OD＝CD，∴OC＝OD＝CD＝2cm，∴BD＝2OD＝4cm，∴BC＝＝2（cm），故选：A．6．解：根据题意，可得Δ＝（2q）2﹣4（p+1）2＝0，且p+1≠0，∴q＝±（p+1），当q＝p+1时，q﹣p﹣1＝0，此时x＝﹣1是方程x2+qx+p＝0的根，当q＝﹣（p+1）时，q+p+1＝0，此时x＝1是方程x2+qx+p＝0的根，∵p+1≠0，∴p+1≠﹣（p+1），∴x＝1和x＝﹣1不能同时是方程x2+qx+p＝0的根，当x＝0时，p＝0，∴q＝±1，∴当p＝0，q＝±1时，x＝0是方程x2+qx+p＝0的根，故选项D符合题意，故选：D．二、填空题（共18分）7．解：方程2x2+3x﹣4＝0的二次项系数为2．故答案为：2．8．解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠A＝∠C＝40°，CD＝CB，∴∠CBD＝70°，故答案为：70°．9．解：根据题意得Δ＝42﹣4m＝0，解得m＝4．故答案为4．10．解：由x＝1.6时，x2﹣x﹣1.1＝﹣0.14，x＝1.7时，x2﹣x﹣1.1＝0.09，由函数的增减性，得x2﹣x﹣1.1＝0的解满足1.6＜x＜1.7，故答案为：1.6＜x＜1.7．11．解：过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长，如图，∵一个正方形和一个等边三角形的摆放，∴四边形DBEC是矩形，∴CE＝DB＝1，∴△ABC的面积＝AB•CE＝×1×2＝1，故答案为：1．12．解：∵对角线AC的垂直平分线交AB于点E，∴AE＝CE，∵OA＝2，OC＝4，∴AB＝OC＝4，BC＝OA＝2，∴设AE＝m，则BE＝4﹣m，CE＝m，在Rt△BCE中，BE2+BC2＝CE2，即：（4﹣m）2+22＝m2，解得：，∴，设点P坐标为（0，y），∵△AEP是以为AE为腰的等腰三角形，当AP＝AE，则，解得：，当EP＝AE，则，解得：y1＝4，y2＝1，∴点P的坐标为或或（0，4）或（0，1），故答案是：或或（0，4）或（0，1）．三、解答题（共30分）13．证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点O是AC的中点，∴OB＝AC，OD＝AC，∴OB＝OD．14．解：x2﹣4x+3＝0（x﹣1）（x﹣3）＝0x﹣1＝0，x﹣3＝0x1＝1，x2＝3．15．解：（1）上面的运算过程第②步出现了错误；故答案为：②；（2）方程两边因式分解，得x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3），移项得x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0，方程左边分解得（x﹣3）（x+2）＝0，方程转化为x﹣3＝0或x+2＝0，所以原方程的解为x1＝3，x2＝﹣2．16．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BOC＝90°，OC＝OA＝AC，∵BE＝AC，∴BE＝OC，∵BE∥AC，∴四边形BECO是平行四边形，∵∠BOC＝90°，∴平行四边形BECO是矩形．17．．解：（1）（2）∵CN//AB，∴，∵AD//BC，∴∴∴F是AD的中点，∴AE＝DF，又∵AD＝CD，∠EAD＝∠FDC∴△EAD≌△FDC，∴∠DFM+∠FDM＝90°，∴CF⊥DE．18．（1）证明：在方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣k﹣2＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝（2k﹣1）2﹣4×（k2﹣k﹣2）＝9＞0，∴此方程总有两个不相等的实数根．（2）解：将x＝﹣2代入x2+（2k﹣1）x+k2﹣k﹣2＝0中，k2+3k＝0，解得：k＝0或﹣3．∴如果方程有一个根为﹣2，k的值为0或﹣3．四、解答题（共24分）19．解：（1）设小路的宽为x米，则非阴影部分可合成长为（25﹣x）米，宽为（12﹣x）米的矩形，依题意得：（25﹣x）（12﹣x）＝230，解得：x2﹣37x+70＝0，解得：x1＝2，x2＝35（不符合题意，舍去）．答：小路的宽为2米．（2）200×（25×12﹣230）＝14000（元）．答：修建两条小路的总费用为14000元．20．证明：（1）∵BE∥AC，OE∥AB，∴四边形ABEO是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，∵AC＝2AB，∴AO＝AB，∴四边形ABEO是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝AC＝2，OB＝BD＝4，连接AE交BO于M，由（1）知，四边形ABEO是菱形，∴AE、OB互相垂直平分，∴OM＝BO＝2，∴AM＝＝＝4，∴AE＝8，∴四边形ABEO的面积＝AE•OB＝×8×4＝16．21．解：当x+1≥0，即x≥﹣1时，原方程可化为x2﹣（x+1）﹣1＝0，即x2﹣x﹣2＝0，（x﹣2）（x+1）＝0，x﹣2＝0或x+1＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1，当x+1＜0，即x＜﹣1时，原方程可化为x2+（x+1）﹣1＝0，即x2+x＝0，x（x+1）＝0，x＝0或x+1＝0，解得x1＝0（舍去），x2＝﹣1（舍去），综上所述，原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1．五、解答题（共18分）22．解：（1）∵x2﹣4x﹣5＝0，x2﹣4x+3＝8，（x﹣1）（x﹣3）＝8，所以q＝3；故答案为：3；（2）表格中s与t满足的等量关系为s+t＝4；故答案为：s+t＝4；（3）由（2）得s1+t1＝﹣b，s2+t2＝﹣b，所以s1+t1＝s2+t2，即t1﹣t2＝s2﹣s1，所以＝﹣1．23．（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝45°，∵P是线段AO上任一点，点E在CD边上，∴∠PCE＝45°，故答案为：45°；（2）证明：如图1，过点P作MN∥AD，交AB于点M，交CD于点N，∵PB⊥PE，∴∠BPE＝90°，∴∠MPB+∠EPN＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠D＝90°，∵AD∥MN，∴∠BMP＝∠BAD＝∠PNE＝∠D＝90°，∵∠MPB+∠MBP＝90°，∴∠EPN＝∠MBP，在Rt△PNC中，∠PCN＝45°，∴△PNC是等腰直角三角形，∴PN＝CN，∵∠BMP＝∠PNE＝∠ABC＝90°，∴四边形BMNC是矩形，∴BM＝CN＝PN，∴△BMP≌△PNE（ASA），∴PB＝PE；（3）解：在P点运动的过程中，PF的长度不发生变化，PF＝2，理由：如图2，连接OB，∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点，∴OB⊥AC，∴∠AOB＝90°，∴∠AOB＝∠EFP＝90°，∴∠OBP+∠BPO＝90°，∵PE⊥PB，∴∠BPE＝90°，∴∠BPO+∠OPE＝90°，∴∠OBP＝∠OPE，由（1）得PB＝PE，∴△OBP≌△FPE（AAS），∴PF＝OB，∵AB＝4，△ABO是等腰直角三角形，∴OB＝＝2，∴PF的长为定值2．六、解答题（本大题共12分）24．解（1）如图1，连接PO，∵四边形ABCD是矩形，∴S矩形ABCD＝12，OA＝OC＝OB＝OD，S△ABD＝S△BCD，∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，∴，∴S△AOD＝S△ABO＝S△BOC＝S△COD，∴，，∴＝＝＝3，∴；（2）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠DMN＝∠BNM，连接BP，过点M作MH⊥BC于H，如图2所示：则四边形ABHM是矩形，∴MH＝AB，由折叠的性质得：DM＝BM，∠DMN＝∠BMN，∴∠BMN＝∠BNM，∴DM＝BM＝BN＝13，∴AD＝BC＝BN+CN＝13+5＝18，∴AM＝AD﹣DM＝18﹣13＝5，在Rt△ABM中，由勾股定理可得，，∴MH＝12，∵S△BMN＝S△PBM+S△PBN，PE⊥BM，PF⊥BN，∴，∵BM＝BN，∴PE+PF＝MH＝12，∴平行四边形PEGF的周长＝2（PE+PF）＝2×12＝24，②GF与GE之间的数量关系为：，理由如下：连接BP，过点M作MH⊥BC于H，如图3所示：由折叠的性质得：DM＝BM＝BN＝m，∴AD＝BC+CN＝BN+n，∴AM＝AD﹣DM＝m+n﹣m＝n，∴，∵S△BMP＝S△NBM+S△PBN，PE⊥BM，PF⊥BN，∴⋅PF，∵BM＝BN，∴PE＝MH+PF，∴，∵四边形PEGF是平行四边形，∴GF＝PE，GE＝PF，∴，即．。
北师大版九年级上册数学第一次月考测试卷(含答案)
北师大版九年级上册数学第一次月考测试卷(满分120分,时间120分钟)合要求的)1.下列方程是关于x的一元二次方程的是( )=0B.ax²+bx+c=0 C.(x--1)(x+2)=0 D.3x²−2xy−5y²=0A.x2+1x22.四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件中能判定此四边形是正方形的是( )①AC=BD,AB∥CD,AB=CD;②AD∥BC,∠BAD=∠BCD;③AO=CO,BO=DO,AB=BC;④AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.A.1个B.2个C.3个D.4个3.已知方程x²+px+q=0的两个根分别是2和-3，则x²−px+q可分解为( )A.(x+2)(x+3)B.(x-2)(x-3)C.(x-2)(x+3)D.(x+2)(x--3)4.如图所示,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K 分别为线段BC,CD,BD 上任意一点,则PK+QK 的最小值为( )A.1B.√3C.2D.√3+15.已知α,β是方程.x²+2006x+1=0的两个根，则(1+2008α+α²)(1+2008β+β²)的值为( )A.1B.2C.3D.46.用配方法解一元二次方程x²−6x−4=0,，下列变形正确的是( )A.(x−6)²=−4+36B.(x−6)²=4+36C.(x−3)²=−4+9D.(x−3)²=4+97.如图所示，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B 为圆心，大于线段AB 长度的一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD 即为所求.连接AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知四边形ADBC一定是( )A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形8.教师节期间，某校数学组教师向本组其他教师各发一条祝福短信.据统计，全组共发了240条祝福短信，如果设全组共有x名教师，依题意，可列出的方程是( )x(x+1)=240 A. x(x+1)=240 B. x(x-1)=240 C.2x(x+1)=240 D.129.如图所示,在矩形ABCD 中,边AB的长为3,点E,F 分别在AD,BC上,连接BE,DF,EF,BD,若四边形B EDF 是菱形,且 EF=AE+FC,则BC的长为( )√3A.2√3B.3√3C.6√3D.9210.如图所示,在一张矩形纸片 ABCD 中,AB=4,BC=8,点 E,F 分别在AD,BC上,将纸片 ABCD 沿直线EF折叠，点C落在AD 上的一点H 处，点 D 落在点G 处，有以下四个结论：①四边形 CFHE 是菱形；②CE平分∠DCH;③线段BF的取值范围为3≤BF≤4;④当点 H 与点A 重合时,EF=2√5.以上结论中，你认为正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分，本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程)=0有实数根，则k的取值范围是 .11.关于x的方程kx2−4x−2312.如图,AB∥GH∥CD,点 H 在 BC 上,AC 与 BD 交于点G,AB=2,BG:DG=2:3,,则GH 的长为13.如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,点E,F,G,H 分别为边AD,AB,BC,CD 的中点.若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积为 .14.将相同的矩形卡片按如图所示的方式摆放在一个直角上，每个矩形卡片长为2，宽为1，以此类推，摆放2 014个时,实线部分长为 .。
北师大版九年级上册数学第一次月考试卷及答案
北师大版九年级上册数学第一次月考试卷及答案北师大版九年级上册数学第一次月考试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案，每小题3分，共30分）1.将一元二次方程3x2=4x-6化为一般形式，得到3x2-4x-6=0.2.由已知条件可得：2的平方-3×2+k=0，即k=2.3.菱形不一定具有对角线互相垂直的性质。
4.将x2+4x-1=0配方法得到(x+2)2=5.5.2x2-3x+1=0的根为x=1/2和x=1，即有两个不相等的实数根。
6.若顺次连结四边形四条边的中点所得的四边形是菱形，则原四边形是矩形。
7.根据勾股定理可得：AC'=√(AD²+CD²)=√(6²+8²)=10.8.∠XXX∠CFA+∠AFD=∠BAD+∠AFD=70°+90°-∠DFC=160°-∠XXX。
9.将矩形沿AE折叠后，DE=AB=3/2，因此DE的长为3/2.10.△BCF的面积最大值为8.二、填空题11.一元二次方程2x2-4x-9的一次项系数是-4.12.方程x2=9的解是x=3或x=-3.13.方程(x+2)(x-1)=0的解是x=-2或x=1.14.已知菱形的边长是10cm，较短的对角线长为12cm，则较长的对角线为20cm。
15.∠AEB=120°。
公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m²，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为x，则可列方程$(x-1)(x-2)=18$．17．解方程$x^2+4x-5=0$，得到$x=1$或$x=-5$．18．已知关于x的一元二次方程$x^2+kx-5=0$的一个根是1，由二次方程的性质可知另一个根为$\frac{-5}{1}=-5$，将这个根代入方程中，得到$k=4$．19．在矩形ABCD中，两条对角线相交于O，$\angle AOB=60°$，$AB=2$，设AD的长为x，则由三角函数可得$OD=\frac{x}{2}$，又由勾股定理可得$AD=\sqrt{4+x^2}$，根据正弦定理可得$\frac{\frac{x}{2}}{sin60°}=\frac{\sqrt{4+x^2}}{sin120°}$，解得$x=2\sqrt{3}$．20．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，由对角线的性质可知$\triangle AOB\cong\triangle COD$，$\triangle AOD\cong\triangle BOC$，因此$\angleAOD=\angle BOC=90°$，又因为DE∥AC，所以$\angleADE=\angle ACD$，$\angle CDE=\angle CAB$，因此$\angle AED=\angle BDC$，又因为CE∥BD，所以$\angle CED=\angle CBD$，因此四边形OCED是菱形．21．解方程$(x+1)-3(x+1)+2=0$，我们可以将$x+1$看成一个整体，设$x+1=y$，则原方程可化为$y-3y+2=0$，解得$y_1=1$，$y_2=2$．当$y_1=1$时，$x+1=1$，解得$x=0$，当$y_2=2$时，$x+1=2$，解得$x=1$，所以原方程的解为$x_1=0$，$x_2=1$．22．如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，已知AB=6，AD=8。
2022-2023学年北师大版九年级数学上册第一次月考测试卷含答案
九年级数学上册第一次月考试卷（满分150分 时间：120分钟）一.单选题。
（每小题4分，共48分）1.方程：①2x 2－13x=1，②2x 2－5xy+y 2=0，③7x 2+1=0，④y22=0，其中是一元二次方程是（ ）A.①②B.②③C.③④D.①③ 2.矩形，菱形，正方形具有的性质是（ ）A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线互相平分D.对角线平分对角 3.下列命题中，不正确的是（ ）A.顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形B.有一个角是直角的菱形是正方形C.对角线相等且垂直的四边形是正方形D.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 4.不解方程，判断方程2x 2－4x －1=0的根的情况是（ ）A.没有实数根B.有两个相等实数根C.有两个不相等实数根D.无法确定 5.在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率和概率，下列说法正确的是（ ） A.频率就是概率 B.频率与试验次数无关C.在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各实验小组所得的频率的值也相同D.随着试验次数的增加，频率一定会逐步稳定在概率数值附近6.若m ，n 是一元二次方程x 2+2x －2021=0的两个实数根，则2m+2n －mn 的值为（ ） A.2021 B.2019 C.2017 D.20157.用配方法解方程2x 2+4x+1=0，配方后的方程是（ ）A.（2x+2）2=﹣2B. （2x+2）2=﹣3C.（x+12）2=12D.（x+1）2=12 8.某公司今年一月产值200万元，现计划扩大生产，使今后两年的产值都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年（包括今年）的总产值就达到了1400万元，设这个百分数为x ，则可列方程为（ ）A.200（1+x ）2=1400B.200+200（1+x ）+200（1+x ）2=1400C.1400（1+x ）2=200D.200（1+x ）3=14009.有一个不透明的口袋中，装有5个红球和3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（ ） A.15 B.13 C.58 D.3810.根据四边形的不稳定性，当变动∠B的度数时，菱形ABCD的形状会发生改变，当∠B=60°时，如图1，AC=√2，当∠B=90°时，如图2，AC=（）.A.√2B.2C.2√2D.√3（第10题图）（第11题图）（第12题图）11.如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上，若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为（）A.50°B.55°C.70°D.75°12.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，下列结论：①EF=2BE，②PF=2PE，③FQ=2EQ，④△PBF是等边三角形，其中正确的是（）A.①②B.②③C.①③D.①④二.填空题。
2023-2024学年九年级上学期数学(北师大版)第一次月考试卷附详细答案
2023-2024学年九年级上学期数学(北师大版)第一次月考试卷▼(上册1.1～2.4) ▼说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟. 一、单项选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内.错选、多选或未选均不得分. 1.下列方程是一元二次方程的是( )A.3x −1=0B.a x 2+b x +c=0(a ，b ，c 为常数)C.x ²+x =3D.3x 2−2x y −5y 2=0 2.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )A.对角线互相垂直B.对边相等C.对角相等D.是中心对称图形 3.一元二次方程x 2=4的解为( )A.x =2B.x =4C.x 1=−2，x 2=2D.x 1=−4，x 2=4 4.如图，若四边形ABCD 是平行四边形，则下列结论中错误的是( ) A.当AC ⊥BD 时，它是菱形 B.当AC=BD 时，它是矩形 C.当∠ABC=90°时，它是矩形 D.当AB=BC 时，它是正方形5.已知关于x 的一元二次方程x 2+b x +c=0有一个非零实数根c ，则b+c 的值为( ) A.1 B.−1 C.0 D.26.如图，把一张矩形纸片ABCD 按如下方法进行两次折叠：第一次将DA 边折叠到DCADCBO边上得到DA ´，折痕为DM ，连接A ´M ，CM ，第二次将△MBC 沿着MC 折叠，MB 边恰好落在MD 边上.若AD=1，则AB 的长为( )A.32 B.√2 C.√3 D.√2−1 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7.把一元二次方程x (x −3)=4化成a x 2+b x +c=0的一般形式，其中a=1，则常数项c=______.8.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，如果∠ADB=25°，那么∠AOB 的度数为______.9.若关于x 的方程x 2−2x +1−k=0有两个相等的实数根，则k 的值为______. 10.若关于x 的一元二次方程a x 2=b(ab ＞0)的两个根分别为m 与2m −6，则m 的值为______.11.如图，在平面直角坐标系x Oy 中，四边形ABCO 是正方形，已知点A 的坐标为(2，1)，则点C 的坐标为______.12.如图，在菱形ABCD 中，AB=20，∠A=45°，点E 在边AB 上，AE=13，点P 从点A 出发，沿着A →D →C →B 的路线向终点B 运动，连接PE ，若△APE 是以AE 为腰的等腰三角形，则AP 的长可以是______.第8题图ADCBO第12题图A D BCPE第11题图ACDB三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13.(1)解方程：x 2−2x −1=0.(2)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 的中点，∠A=30°，BC=2，求CD 的长.14.如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点C 作BD 的平行线交AB 的延长线于点E.求证：AC=CE.15.如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，若OB=2，S 菱形ABCD =4，求AE 的长.16.如图，△ACB 和△CED 都是等腰直角三角形，点B ，C ，E 在同一直线上，且E 是BC 的中点，请仅用无刻度的直尺．．．．．．按要求完成以下作图(保留作图痕迹). (1)在图1中，作□ABMC. (2)在图2中，作正方形ACBN.ADBCEO CDEOADBC17.如图，矩形绿地的长为12m ，宽为9m ，将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地面积增加了72m 2，求绿地的长、宽增加的长度.四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18.设关于x 的一元二次方程为x 2+b x +c=0.在下面的四组条件中选择其中一组b ，c 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程. ①b=2，c=1；②b=1，c=2；③b=3，c=−1；④b=−3，c=2. 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分.19.定义：如果关于x 的一元二次方程a x 2+b x +c=0(a ≠0)满足b=a+c ，那么我们称这个方程为“完美方程”.(1)下面方程是“完美方程”的是______.(填序号) ①x 2−4x +3=0；②2x 2+x +3=0；③2x 2−x −3=0.(2)已知3x 2+m x +n=0是关于x 的“完美方程”，若m 是此“完美方程”的一个根，求m 的值.20.如图，在□ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的点，连接BE ，DF ，BE 与DF 交于点P ，BE=DF.添加下列条件之一使□ABCD 成为菱形：①CE=CF ；②BE ⊥CD ，DF ⊥BC. (1)你添加的条件是_______(填序号)，并证明.图1ADCBEA图2CDE B(2)在(1)的条件下，若∠A=45°，△BFP 的周长为4，求菱形的边长.五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21.【阅读】解方程：(x −1)2−5(x −1)+4=0.解：设x −1=y ，则原方程可化为y 2−5y+4=0，解得y 1=1，y 2=4. 当y=1时，即x −1=1，解得x =2；当y=4时，即x −1=4，解得x =5. 所以原方程的解为x 1=2，x 2=5. 上述解法称为“整体换元法”. 【应用】 (1)若在方程x−1x−3xx−1=0中，设y=x−1x，则原方程可化为整式方程：________.(2)请运用“整体换元法”解方程：(2x −3)2−(2x −3)−2=0.22.如图1，在□ABCD 中，点E ，F 在对角线AC 上，AE=CF ，DE ⊥AC ，过点D 作DG ∥AC 交BF 的延长线于点G. (1)求证：四边形DEFG 是矩形.(2)如图2，连接DF ，BE ，当∠DFG=∠BEF 时，判断四边形 DEFG 的形状，并说明理由.图1E F ABCDG图2ABDGCFE AFCDE P B六、解答题(本大题共12分) 23.【课本再现】(1)如图1，在正方形ABCD 中，F 为对角线AC 上一点，连接BF ，DF.你能找出图中的全等三角形吗？结论猜想：图中的全等三角形有__________ (不必证明). 【知识应用】(2)如图2，P 为DF 延长线上一点，且BP ⊥BF ，DP 交BC 于点E.判断△BPE 的形状，并说明理由. 【拓展提升】(3)如图3，过点F 作HF ⊥BF 交DC 的延长线于点H. ①求证：HF=DF.②若AB=√3+1，∠CBF=30°，请直接写出CH 的长.2023-2024学年九年级上学期数学(北师大版)第一次月考试卷参考答案▼(上册1.1～2.4) ▼说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟. 一、单项选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后图1AB CDFA图2B PDC EF图3ABDHCF括号内.错选、多选或未选均不得分. 1.下列方程是一元二次方程的是( )A.3x −1=0B.a x 2+b x +c=0(a ，b ，c 为常数)C.x ²+x =3D.3x 2−2x y −5y 2=01.解：A 是一元一次方程，B 当a ≠0时是一元二次方程，C 是一元二次方程，D 是二元二次方程，故选C 。
北师大版九年级数学上册第一次月考试卷(含解析)
北师大版九年级数学上册第一次月考试卷（考试时间：90分钟总分：120分）一、选择题（共10题；共30分）1.在四张大小、材质完全相同的卡片上写有“翼、装、飞、行”四个字，将四张卡片放置于暗箱内摇匀后先后随机抽取两张，则两张卡片上的汉字恰为“飞”，“行”二字的概率是（）A. 18B. 16C. 14D. 122.小郭、小亮两人打算搭乘同一班次电车上学，若此班次电车共有5节车厢，且小郭、小亮从任意一节车厢上车的机会相等，则两人从同一节车厢上车的概率为（）A. 12B. 15C. 110D. 1253.方程x2﹣5x＝0的解是（）A. x＝﹣5B. x＝5C. x1＝0，x2＝5D. x1＝0，x2﹣54.关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A. k≤1B. k＜1C. k≤1且k≠0D. k＜1且k≠05.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是()A. ∠ABC=90°B. AC⊥BDC. ∠1=∠2D. AB=BC6.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为6，它的一边AB在x轴上，且AB的中点是坐标原点，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标为（）A. (3√3,3)B. (3,3√3)C. (6,3)D. (6,3√3)7.在一个不透明的布袋中装有50个红、蓝两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小明通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.3左右，则布袋中蓝球可能有（）A. 35个B. 20个C. 30个D. 15个8.m，n是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-mn的值是（）A. -7B. 7C. 3D. -39.如图，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为（）A. 3B. 154 C.5 D. 15210.如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边CD上，且BG=CG，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG=45°；③CE=2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC= 725.其中正确结论的个数是（）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个二、填空题（共7题；共28分）11.菱形的面积是16，一条对角线长为4，则另一条对角线的长为________.12.如图，某小区规划在一个长34m、宽22m的矩形ABCD上，修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草.要使每一块花草的面积都为100m2，那么通道的宽应设计成________m.13.不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其余差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为________.14. 2019世界月季洲际大会4月28日在中国南阳举办!甲，乙，丙，丁四名同学将参加志愿者活动，若四名同学被随机分成两组，每组两人，则甲、乙恰好在同一组的概率是________.15.如图，菱形ABCD的周长为16，AC，BD交于点O，点E在BC上，OE∥AB，则OE的长是________.16.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D＝80°，则∠ECF的度数是________.17.已知矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，点E为BD上一点，OE＝1，连接AE，∠AOB＝60°，AB＝2，则AE的长为________．三、解答题一（共3题；共18分）18.解方程：（1）x2+4x﹣1＝0；（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9.19.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²？20.某小区为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为a（厨余）、b（可回收）、c（其他）三类，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱分别记为A、B、C.粗心的小亮将分类好的两袋垃圾（可回收、其他）随机投入到三种垃圾箱的其中两种内，请用画树状图或列表格的方法，求小亮投放正确的概率.四、解答题二（共3题；共24分）21.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边角形ADE，连接BE、CE．（1）求证：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度数．22.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元. 据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加________件，每件商品盈利________元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？23.东营市某中学对2020年4月份线上教学学生的作业情况进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表．作业情况频数频率非常好0.22较好68一般不好40请根据图表中提供的信息，解答下列问题：（1）本次抽样共调查了多少名学生？（2）将统计表中所缺的数据填在表中横线上；（3）若该中学有1800名学生，估计该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约多少名？（4）某学习小组4名学生的作业本中，有2本“非常好”(记为A1、A2)，1本“较好”(记为B)，1本“一般”(记为C)，这些作业本封面无姓名，而且形状、大小、颜色等外表特征完全相同，从中抽取一本，不放回，从余下的3本中再抽取一本，请用“列表法”或“画树状图”的方法求出两次抽到的作业本都是“非常好”的概率．五、解答题三（共2题；共20分）24.如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动.（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形APQD为长方形？（2）P、Q两点从出发开始到几秒时？四边形PBCQ的面积为33cm2；（3）P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm.25.如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连接DF.（1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；（2）连接AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；（3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系.（直接写出结论）答案一、选择题1.解：根据题意画树状图如下：共有12种可能，其中恰为：“飞”“行”二字的有2种，故概率P=212=16.故答案为：B2.解：记5节车厢分别为A、B、C、D、E，列表如下：由列表可知，共有种等可能的结果，其中两人从同一节车厢上车的结果有种，故（两人从同一节车厢上车）=525=15．3.解：x2﹣5x＝0，x（x﹣5）＝0，解得x1＝0，x2＝5．故答案为：C．4.一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，则代表着系数a不为零，且b2-4ac≥0，可解出k≤1且k≠0故答案为：C5.A、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，故A正确；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故B错误；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠ADB，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故C错误；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，故D错误；故答案为：A.6.解：∵四边形ABCD为菱形∴AB=AD=CD=6，AB∥CD∵AB的中点是坐标原点∴AO=BO=3∴DO=√AD2−AO2=3√3∴点C的坐标为（6，3√3）故答案为：D.7.解：蓝球的个数=50×0.7=35（个），所以答案为A选项.8.解：∵m，n是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，∴m+n=5，mn=-2，∴m+n-mn=5-（-2）=7.故答案为：B.9.解：设ED＝x，则AE＝6﹣x，∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB＝∠DBC；由题意得：∠EBD＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴EB＝ED＝x；由勾股定理得：BE2＝AB2+AE2，即x2＝9+（6﹣x）2，解得：x＝3.75，∴ED＝3.75= 15.4故答案为：B.10.解：①正确.理由：∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；②正确.理由：∵∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE.又∵∠BAD=90°，∴∠EAG=45°；③正确.理由：设DE=x，则EF=x，EC=12-x.在直角△ECG中，根据勾股定理，得：（12﹣x）2+62=（x+6）2，解得：x=4，∴DE=x=4，CE=12-x=8，∴CE=2DE；④正确.理由：∵CG=BG，BG=GF，∴CG=GF，∴∠GFC=∠GCF.又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；⑤正确.理由：∵S△ECG= 12GC•CE= 12×6×8=24.∵S△FCG= 35SΔGCE= 35×24= 725.故答案为：D.二、填空题11.设另一条对角线的长为x，则有4x2=16，解得：x=8，故答案为8.12.解：设通道的宽应设计成xm，则种植花草的部分可合成长（34−2x）m，宽（22−x）m的矩形，依题意，得：（34−2x）（22−x）＝100×6，整理，得：x2−39x＋74＝0，解得：x1＝2，x2＝37（不合题意，舍去）.故答案为：2.13.解：两次摸球的所有的可能性树状图如下：由图知：共有4种等可能结果，其中两次都摸到红球的只有1种结果，所以两次都摸到红球的概率为14.故答案为：1414.解：根据题意画树状图得：共有12种等可能的结果数，其中甲、乙恰好分到一组的结果数为2，所以甲、乙恰好分到一组的概率212=16；15.解：∵菱形ABCD的周长为16，∴AB=BC=CD=AD=4，OA=OC，∵OE∥AB，∴OE是△ABC的中位线，∴OE=12AB=2，故答案为：2.16.解：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，AD∥BC，∴∠BCD=180°-∠D=180°-80°=100°，∵BC=CF，∴CD=CF，∴∠DCF=180°-2∠D=180°-160°=20°，∴∠BCF=∠BCD-∠DCF=100°-20°=80°，∴∠ECF=∠BCE=40°.故答案为：40°.17.解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB,又∠AOB＝60°∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2,∵OE=1∴点E是OB的中点或OD的中点，如图若点E是OB的中点，则AE⊥BO,∴在Rt△AEO中，AE= √AO2−OE2= √22−12= √3,若点E是OD的中点E′，则EE′=2,∴在Rt△AEE′中，AE′= √AE2+EE′2= √(√3)2+22= √7,故AE的长是√3或√7.三、解答题18. （1）解：∵x2+4x﹣1＝0，∴x2+4x+4＝5，∴（x+2）2＝5，∴x+2＝±√5，∴x1＝﹣x2＝﹣√5﹣2（2）解：∵2（x﹣3）2＝x2﹣9.∴2（x﹣3）2﹣（x2﹣9）＝0，∴2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）[2（x﹣3）﹣（x+3）]＝0，∴（x﹣3）（x﹣9）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣9＝0，∴x1＝3，x2＝9.19. 解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为9 cm²，由题意得PC=6-x，QC=2x，×PC×QC=9∴12即1(6−x)×2x=92解得x1=x2=3，∴点P，Q出发3秒后可使△PCQ的面积为9 cm².20. 解：树状图如下：总共有6种可能情况，投放正确只有一种；.∴小亮投放正确的概率为：1621. （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，且∠BAD=∠CDA=90°，∵△ADE是等边三角形，∴AE=DE，且∠EAD=∠EDA=60°，∴∠BAE=∠BAD+∠EAD=150°，∠CDE=∠CDA+∠EDA=150°，∴∠BAE=∠CDE，在△BAE和△CDE中:{AB=CD∠BAE=∠CDEAE=DE，∴△BAE≌△CDE(SAS)．（2）解：∵AB=AD，且AD=AE，∴△ABE为等腰三角形，∴∠ABE=∠AEB，又∠BAE=150°，∴由三角形内角和定理可知：∠AEB=(180°-150°)÷2=15°．故答案为：15°．22. （1）2x；50－x（2）解：由题意，得（30＋2x）（50－x）＝2100解之得x1＝15，x2＝20.∵该商场为尽快减少库存，降价越多越吸引顾客．∴x＝20.答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．23. （1）解：由图形可知：72°占360°的百分比为72360=20%，故调查的总的学生人数为40÷20%=200(名)，故答案为：200(名) ．（2）解：“非常好”的学生人数为：0.22×200=44(人)，总人数减去“非常好”、“较好”、“不好”的人数即得到“一般”的人数，故一般的人数为200-44-68-40=48，其频率为48÷200=0.24，同样可算出“较好”、“不好”的频率为0.34和0.2，补充如下表所示：（3）解：“非常好”和“较好”的学生的频率为0.22+0.34=0.56，∴该校学生作业情况“非常好”和“较好”的学生一共约1800×0.56=1008(名)，故答案为：1008；（4）解：由题意知，列表如下:由列表可以看出，一共有12种结果，并且它们出现的可能性相等. 其中两次抽到的作业本都是“非常好”的有2种，∴两次抽到的作业本都是非常好的概率为212=16，故答案为：16．24.（1）解：设P，Q两点从出发开始到x秒时，四边形APQD为长方形，根据题意得：16﹣3x=2x，解得：x= 165.答：P，Q两点从出发开始到165秒时，四边形APQD为长方形（2）解：设P，Q两点从出发开始到y秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2，根据题意得：12×6（16﹣3x+2x）=33，解得：x=5.答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2（3）解：过点Q作QE⊥AB于点E，如图所示.设P，Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，根据题意得：（16﹣3x﹣2x）2+62=102，整理得：（16﹣5x）2=82，解得：x1= 85，x2= 245.答：P，Q两点从出发开始到85秒或245秒时，点P和点Q的距离是10cm.25. （1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=DC，∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA=45°，又∵AF=AF，∴△ADF≌△ABF，∵AC=AC，∴△ADC≌△ABC，∵CF=CF，∴△CDF≌△CBF，∴全等的三角形有：△ADF≌△ABF，△ADC≌△ABC，△CDF≌△CBF. （2）解：AE⊥DF.证明：设AE与DF相交于点H.∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAF=∠BAF.又∵AF=AF，∴△ADF≌△ABF.∴∠1=∠2.又∵AD=BC，∠ADE=∠BCE=90°，DE=CE，∴△ADE≌△BCE.∴∠3=∠4.∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴∠AHD=90°.∴AE⊥DF.（3）解：如图，∵∠ADE=90°，AE⊥DF.∴∠1+∠5=90°，∠3+∠1=90°.∴∠3=∠5，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5.∵DC=BC，∠DCM=∠BCE=90°，∴△DCM≌△BCE.∴CE=CM，又∵E为CD中点，且CD=CB，∴CE= 12CD= 12BC，∴CM= 12CB，即M为BC中点，∴BM=MC.。
北师大版九年级上册数学第一次月考试卷含答案解析
北师大版九年级上册数学第一次月考试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）A ．对角线互相平分B ．对角线相等C ．对角线平分一组对角D ．对角线互相垂直2．平行四边形ABCD 是正方形需增加的条件是（ ）A ．邻边相等B ．邻角相等C ．对角线互相垂直D ．对角线互相垂直且相等3．依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（ ）A ．矩形B ．平行四边形C ．菱形D ．梯形 4．在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，能够找到一个点，使该点到各顶点距离相等的图形是（ ）A ．平行四边形和菱形B ．菱形和矩形C ．矩形和正方形D ．菱形和正方形5．菱形的边长是2cm ，一条对角线的长是，则另一条对角线的长是（ ）A ．4 cmBC ．2 cmD ．6．矩形的对角线长10cm ，顺次连结矩形四边中点所得四边形的周长为（ ） A ．40cm B ．10cm C ．5cm D ．20cm 7．如图，正方形ABCD 的对角线AC 是菱形AEFC 的一边，则FAB ∠等于（ ）A ．135°B ．45°C ．22.5°D ．30° 8．方程()()2353x x x -=-的根为（ ）A ．52x =B ．3x =C ．125,32x x ==D ．125,32x x =-=- 9．一元二次方程x 2﹣x+2=0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根10．已知1x 、2x 是方程221x x =+的两个根，则1211x x +的值为（ ） A ．12- B ．2 C ．12 D ．2-11．用配方法解一元二次方程2420x x -+=，下列配方正确的是（ ）A ．()222x +=B ．2(2)2x -=-C ．2(2)2x -=D ．2(26)x -= 12．若方程2(4)x a -=有解，则a 的取值范围是（ ）．A ．0a ≤B ．0a ≥C ．0a >D ．无法确定二、填空题13．如果x 1，x 2是方程2x 2﹣3x ﹣6=0的两个根，那么x 1+x 2=________；x 1•x 2=________ 14．如图，矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边上E 处，如果∠BAE=50°，则∠DAF=_______.15．如图所示，把两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案，则∠FAC ＝_____度，∠FCA ＝_____度．16．若菱形的对角线长分别是6cm 、8cm ，则其周长是________ ，面积是____________ 17．若关于x 的一元二次方程mx 2+4x+3=0有实数根，则m 的取值范围是________ 18．已知x=－1是关于x 的方程222x ax a 0+-=的一个根，则a=_____．19．把方程x 2－4x =-5整理成一般形式后，得其中常数项是_______．20．方程22(2)(3)20m m x m x --+--=是一元二次方程，则m=_____．21．若式子4x 2-nx+1是一个完全平方式，则n 的值为____________.22．已知x 2＋4x －2=0，那么3x 2＋12x ＋2002的值为 _________．三、解答题23．用适当的方法解方程： ()2143x x +=- ()2 22340x x +-=()2325360x -= ()()24(4)54x x +=+24．已知菱形ABCD 中，E 、F 分别是CB 、CD 上的点，且BE=DF ；求证：⑴△ABE ≌△ADF ；⑵∠AEF=∠AFE25．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥BD ，求证：四边形OCED 是菱形．26．已知：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC 于点F．求证：四边形CEDF是正方形．27．阅读第（1）题的解题过程，再解答第（2）题：（1）例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0．解：当x≥0时，原方程可化为x2﹣x﹣2＝0．解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意．舍去）当x＜0时，原方程可化为x2+x﹣2＝0．解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意．舍去）∴原方程的解是x1＝2，x1＝﹣2．（2）请参照上例例题的解法，解方程x2﹣x|x﹣1|﹣1＝0．28．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1=0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．参考答案1．B【解析】根据正方形和菱形的性质逐项分析可得解.【详解】根据正方形对角线的性质：平分、相等、垂直；菱形对角线的性质：平分、垂直，故选B．【点睛】考点：1.菱形的性质；2.正方形的性质．2．D【解析】如图所示：添加的条件是AC=BD且AC⊥BD，平行四边形ABCD为正方形；理由如下：添加的条件时AC=BD且AC⊥BD时；∵四边形ABCD是平行四边形．又AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形；故选D．3．A【解析】【分析】如图，连接EF、FG、GH、HE，根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据三角形中位线定理得到EF⊥FG，FG⊥HG，GH⊥EH，HE⊥EF，根据矩形的判定定理解答即可．【详解】解：如图，连接EF、FG、GH、HE，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵E，F，G，H是中点，∴EF∥BD，FG∥AC，∴EF⊥FG，同理：FG⊥HG，GH⊥EH，HE⊥EF，∴四边形EFGH是矩形．故选：A．【点睛】本题考查的是菱形的性质、矩形的判定定理以及三角形的中位线定理，掌握三个角是直角的四边形是矩形是解题的关键．4．C【详解】由平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质易得，矩形对角线相等，所以选C.5．C【解析】如图所示,已知AB=2cm,因为菱形对角线互相平分,所以BO=OD在Rt△ABO中,222AB AO BO=+,AB=2cm,BO所以AO=1cm,故菱形的另一条对角线AC长为2AO=2cm,故选C.点睛:本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质,勾股定理在直角三角形中的运用,本题根据勾股定理求AO的长是解题的关键.6．D【解析】因为矩形的对角线相等，所以AC=BD=10cm，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD、的中点，∴EH=GF=12BD=12×10=5cm，EF=GH=12AC=12×10=5cm，故顺次连接矩形四边中点所得的四边形周长为EH+GF+EF+GH=5+5+5+5=20cm，故选D．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，解题的关键是要熟知矩形的对角线相等，三角形的中位线等于底边的一半．7．C【分析】根据正方形、菱形的性质解答即可.【详解】∵AC是正方形的对角线，∴∠BAC=12×90°=45°，∵AF是菱形AEFC的对角线，∴∠FAB=12∠BAC=12×45°=22.5°．故选C. 【点睛】本题考查了正方形、菱形的性质，熟知正方形、菱形的一条对角线平分一组对角的性质是解决问题的关键.8．C【分析】因式分解法解方程．【详解】解：()()2-530x x -=，125,32x x ==， 故选C ．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是关键．9．C【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b 2-4ac 的值的符号就可以了．【详解】解：∵△=b 2-4ac=1-8=-7＜0，∴方程无实数根．故选C ．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是熟记一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．10．D【分析】先把方程化为一般式，再根据根与系数的关系得到x 1+x 2=2，x 1x 2=-1，然后把1211x x +通分得到1212x x x x +，再利用整体代入的方法计算．【详解】方程化为一般式x 2−2x−1=0，根据题意得x 1+x 2=2，x 1x 2=−1， 所以1211x x +=1212x x x x +=21-=−2， 故选D.【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握这个关系对所求代数式进行变形是解此题的关键.11．C【分析】根据用配方法解一元二次方程的方法解答即可．【详解】解：移项，得242x x -=-，方程两边同时加上4，得24424x x -+=-+，即2(2)2x -=．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，掌握配方的方法是解题的关键． 12．B【分析】利用直接开平方法解方程，然后根据二次根式被开方数的非负性列出关于a 的不等式，然后可求得a 的取值范围．【详解】解：∵方程2(4)x a -=有实数解，∴x−4＝∴a≥0；故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程−−直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x＋a）2＝b（b≥0）；a（x＋b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．解答该题时，还利用了二次根式有意义的条件这一知识点．13．323-【分析】直接根据根与系数的关系求解．【详解】解：根据题意得x 1＋x2＝3322；x1•x2＝632，故答案为：32，3-．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝ba-，x1·x2＝ca．14．20°【分析】首先根据矩形的性质求得∠EAD的度数，然后由翻折的性质得到∠EAF＝∠DAF即可得解．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°，∵∠BAE＝50°，∴∠EAD＝40°，由翻折的性质可知：∠EAF＝∠DAF．∴∠DAF＝20°，故答案为：20°．【点睛】本题主要考查的是翻折变换、矩形的性质，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．15．90°45°【详解】解：由已知△AFG≌△CAB，∴∠AFG=∠CAB，AF=AC ∵∠AFG+∠FAG=90°，∴∠CAB+∠FAG=90°，∴∠FAC=90°．又∵AF=AC，∴∠FCA=（180°-90°）×12=45°．故答案为90；45．16．20cm 24cm2【解析】根据菱形的对角线互相垂直平分，求出对角线的一半，然后利用勾股定理求出菱形的边长，最后根据周长公式计算即可求解；根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可求解．解：∵菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm，∴两条对角线的长的一半分别是3cm和4cm，∴菱形的边长为，∴菱形的周长=5×4=20cm；面积=12×8×6=24cm2．故答案为20，24．17．43m≤且m≠0【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式，建立关于m的不等式组，求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程mx2+4x+3=0有实数根，∴m≠0，△＝16−12m≥0，解得：43m≤且m≠0，故答案为：43m≤且m≠0.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式．熟知一元二次方程的根和判别式之间的关系18．﹣2或1【详解】试题分析：方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把x=﹣1代入方程，即可得到一个关于a的方程：22a a0--=，解得a=﹣2或1．19．5【分析】移项可得一元二次方程的一般形式，然后根据常数项的定义直接得出答案.【详解】解：方程x2−4x＝−5整理成一般形式为：x2−4x＋5＝0，其中常数项是5，故答案为：5．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．20．-2【详解】试题分析：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，未知数的次数为2，可得220 22m m -≠⎧⎨-=⎩，可求得m=-2.故答案为-2点睛：本题考查了一元二次方程的定义，属于基础题，注意掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键．21．±4【分析】利用完全平方公式的结构特征即可确定出n的值．【详解】解：∵4x2-nx+1＝(2x)2-nx+12是完全平方式，∴n＝±4，【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．22．2008【分析】先求出x 2＋4x ＝2，然后把代数式3x 2＋12x ＋2002变形为含x 2＋4x 的形式，再整体代入求值即可．【详解】解：∵x 2＋4x−2＝0，∴x 2＋4x ＝2，∴原式＝3（x 2＋4x ）＋2002＝6＋2002＝2008．故答案为：2008．【点睛】本题考查了代数式求值，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式x 2＋4x 的值，然后把x 2＋4x 看作一个整体，整体代入计算．23．113x =-（），21x =-；（2）1x =，2x =1635x =-（），265x =；144x =-（），21x =．【分析】()1用因式分解法解方程即可.()2用公式法解方程即可.()3用因式分解法解方程即可.()4用因式分解法解方程即可.【详解】()2143x x +=-,2430x x ++=，∴()()310x x ++=，∴30x +=或10x +=，解得，13x =-，21x =-；()222340x x +-=,∵2a =，3b =，4c =-，∴()23424410=-⨯⨯-=>，∴x ==∴1x =，2x = ()2325360x -=,()()56560x x +-=,∴560x +=或560x -=， 解得，165x =-，265x =； ()()24(4)54x x +=+,()2(4)540x x +-+=,()()4450x x ++-=,()()410x x +-=,∴40x +=，10x -=，解得，14x =-，21x =．【点睛】考查一元二次方程的解法，根据题目选取合适的方法是解题的关键.24．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由四边形ABCD 是菱形，即可求得AB ＝AD ，∠B ＝∠D ，又由BE ＝DF ，根据SAS 即可证得△ABE ≌△ADF ；（2）由全等得AE ＝AF ，利用等边对等角得出结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，在△ABE和△ADF中，AD ABD B DF BE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）∵△ABE≌△ADF，∴AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE．【点睛】此题考查了菱形的性质与全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，注意菱形的四条边都相等，对角相等．25．见解析【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论．【详解】证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD=12AC=12BD∴四边形OCED是菱形．26．证明见解析【详解】试题分析：证明有三个角是直角是矩形，再证明一组邻边相等. 试题解析：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°又∵∠ACB＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴矩形DECF是正方形.点睛：证明正方形(1)对角线相等的菱形是正方形.(2)对角线互相垂直的矩形是正方形,正方形是一种特殊的矩形.(3)四边相等,有三个角是直角的四边形是正方形.(4)一组邻边相等的矩形是正方形.(5)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.(6)四边均相等,对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形.27．x1＝﹣0.5，x2＝1【分析】解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．方程中|x﹣1|的值有两个，所以就要分情况讨论，然后去掉绝对值．一种是当x﹣1≥0时，求解；另一种情况是当x﹣1＜0时，求解．【详解】解：当x﹣1≥0，即x≥1时，原方程可化为x2﹣x（x﹣1）﹣1＝0即x﹣1＝0，解得x＝1当x﹣1＜0，即x＜1时，原方程可化为x2﹣x（1﹣x）﹣1＝0即2x2﹣x﹣1＝0，解得x1＝﹣0.5，x2＝1（不合题意．舍去）∴原方程的解为x1＝﹣0.5，x2＝1【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，易出错的地方是要分情况而解，所以学生容易出现漏解的现象．28．m＝5，x1=x2=2．【分析】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值，即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根．【详解】由题意可知△＝0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）＝0，解得：m＝5．当m＝5时，原方程化为x2﹣4x+4＝0．解得：x1＝x2＝2．所以原方程的根为x1＝x2＝2．【点睛】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．。
北师大版九年级上册第一次月考数学试卷(含解析)
北师大版九年级上册第一次月考数学试卷（考试时间：90分钟总分：120分）一、选择题（共10题；共30分）1.下列各组线段中，成比例的是（）A. 2cm，3cm，4cm，5cmB. 2cm，4cm，6cm，8cmC. 3cm，6cm，8cm，12cmD. 1cm，3cm，5cm，15cm2.已知ba ＝2，则a−ba+b的值是（）A. 13B. －13C. 3D. －33.不透明袋子中装有红、绿小球各2个，除颜色外无其他差别.随机摸出一个小球后，不放回，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（）A. 18B. 16C. 14D. 134.方程x(x−2)=x的解是（）A. x=2B. x1=0,x2=2C. x1=0,x2=3D. x=35.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA=6，OH=4，则菱形ABCD的面积为（）A. 72B. 24C. 48D. 966.如图，在△ABC中，DE∥AB，且CDBD ＝32，则CECA的值为（）A. 35B. 23C. 45D. 327.若x2＝y3＝z4≠0，则下列各式正确的是（）A. 2x＝3y＝4zB. 2x+2y5＝z2C. x+12＝y+13D. x+12＝z−248.已知关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+1=0有实数根，则a的取值范围是（）A. a≤2B. a>2C. a≤2且a≠1D. a<−29.把边长分别为1和2的两个正方形按图3的方式放置.则图中阴影部分的面积为（）A. 16B. 13C. 15D. 1410.如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF= DE，连接AF,CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC=180°,FG=2,GC=3．下列结论：①DE=12BC；②四边形DBCF是平行四边形；③EF=EG；④BC=2√5．其中正确结论的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（共7题；共28分）11.在一个布袋中装有只有颜色不同的a个小球，其中红球的个数为2，随机摸出一个球记下颜色后再放回袋中，通过大量重复实验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出a大约是________.12.设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则2x12﹣x1+x22＝________．13.如图，将矩形纸片ABCD沿直线AF翻折，使点B恰好落在CD边的中点E处，点F在BC边上，若CD＝6，则AD＝________.14.小明在打网球时，为使球恰好能过网（网高0.8米），且落在对方区域离网5米的位置上，她的击球高度是2.4米，则她应站在离网的________米处。